Алгебраїчні та трансцендентні числа. Транцендентні числа Транцендентні числа

яке за a = 1 служило нам визначення суми геометричної прогресії. Припускаючи теорему Гауса доведеної, припустимо, що a = a 1 є корінь рівняння (17), отже

Віднімаючи цей вираз з f(x) і перегруповуючи члени, ми отримаємо тотожність

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Користуючись тепер формулою (20), ми можемо виділити множник x − a 1 з кожного члена і потім винести його за дужку, причому ступінь багаточлена, що залишається в дужках, стане на одиницю меншою. Перегруповуючи знову члени, ми отримаємо тотожність

f(x) = (x − a1 )g(x),

де g(x) - багаточлен ступеня n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0.

(Обчислення коефіцієнтів, позначених через b, нас тут цікавить.) Застосуємо далі той самий міркування до многочлену g(x). За теоремою Гауса існує корінь a2 рівняння g(x) = 0, так що

g(x) = (x − a2 )h(x),

де h(x) - новий многочлен ступеня вже n − 2. Повторюючи ці міркування n − 1 раз (мається на увазі, звичайно, застосування принципу математичної індукції), ми зрештою приходимо до розкладання

З тотожності (22) випливає не тільки те, що комплексні числа a1, a2,

An суть коріння рівняння (17), а й те, що інших коренів рівняння (17) немає. Справді, якби число y було коренем рівняння (17), то з (22) слід би

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Але ми бачили (стор. 115), що добуток комплексних чисел дорівнює нулю в тому і лише тому випадку, якщо один із множників дорівнює нулю. Отже, один із множників y−ar дорівнює 0, тобто y = ar, що й потрібно встановити.

§ 6.

1. Визначення та питання існування. Алгебраїчним числом називається всяке число x, дійсне або уявне, що задовольняє деяке рівняння алгебри виду

130 МАТЕМАТИЧНА ЧИСЛОВА СИСТЕМА гл. II

де числа ai цілі. Так, наприклад, число 2 алгебраїчне, тому що воно задовольняє рівняння

x2 − 2 = 0.

Таким же чином алгебраїчним числом є будь-який корінь будь-якого рівняння з цілими коефіцієнтами третього, четвертого, п'ятого, будь-якої міри, і незалежно від того, виражається або не виражається він у радикалах. Поняття алгебраїчного числа є природне узагальнення поняття раціонального числа, яке відповідає окремому випадку n = 1.

Не всяке дійсне число є алгебраїчним. Це випливає з наступної, висловленої Кантором, теореми: безліч всіх чисел алгебри рахунків. Бо безліч усіх дійсних чиселнезліченна, то обов'язково повинні існувати дійсні числа, які не є алгебраїчними.

Вкажемо один із методів перерахунку безлічі алгебраїчних чисел. Кожному рівнянню виду (1) порівняємо ціле додатне число

h = | an | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | + n,

яке назвемо заради стислості «висотою» рівняння. До кожного фіксованого значення n існує лише кінцеве число рівнянь виду (1) з висотою h. Кожне з таких рівнянь має якнайбільше n коренів. Тому може існувати лише кінцеве число чисел алгебри, що породжуються рівняннями з висотою h; отже, все алгебраїчні числаможна розташувати у вигляді послідовності, перераховуючи спочатку ті з них, які породжуються рівняннями висоти 1 потім - висоти 2 і т. д.

Цей доказ лічильності безлічі алгебраїчних чисел встановлює існування дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Такі числа називають трансцендентними (від латинського transcendere – переходити, перевершувати); таке найменування їм дав Ейлер, тому що вони «перевершують потужність методів алгебри».

Канторово доказ існування трансцендентних чисел не належить до конструктивних. Теоретично міркуючи, можна було б побудувати трансцендентне число за допомогою діагональної процедури, що проводиться над уявним списком десяткових розкладів всіх чисел алгебри; але така процедура позбавлена ​​будь-якого практичного значення і не привела б до числа, розкладання якого в десятковий (або якийсь інший) дріб можна було б насправді написати. Найбільш цікаві проблеми, пов'язані з трансцендентними числами, полягають у доказі того, що певні, конкретні числа (сюди відносяться числа p і e, про які див. стор. 319-322) є трансцендентними.

**2. Теорема Ліувіля та конструювання трансцендентних чисел. Доказ існування трансцендентних чисел ще до Кантора було надано Ж. Ліувілем (1809–1862). Воно дозволяє насправді конструювати приклади таких чисел. Доказ Ліувіля важче, ніж доказ Кантора, і це не дивно, оскільки сконструювати приклад, взагалі кажучи, складніше, ніж довести існування. Наводячи нижче доказ Ліувіля, маємо у вигляді лише підготовленого читача, хоча розуміння доказу цілком достатньо знання елементарної математики.

Як виявив Ліувілль, ірраціональні алгебраїчні числа мають ту властивість, що вони не можуть бути наближені раціональними числами з дуже великим ступенем точності, якщо тільки не взяти знаменники дробів, що наближають, надзвичайно великими.

Припустимо, що число z задовольняє рівняння алгебри з цілими коефіцієнтами

але не задовольняє такому ж рівнянню нижчого ступеня. Тоді

кажуть, що саме x є число алгебри ступеня n. Так наприклад,

число z = 2 є числом алгебри ступеня 2, так як задовольняє рівняння x2 − 2 = 0√ ступеня 2, але не задовольняє рівняння першого ступеня; число z = 3 2 - ступеня 3, тому що задовольняє рівняння x3 - 2 = 0, але не задовольняє (як ми покажемо в розділі III) рівняння нижчого ступеня. Алгебраїчне число ступеня n > 1

не може бути раціональним, тому що раціональне число z = p q удо-

задовольняє рівняння qx − p = 0 ступеня 1. Кожне ірраціональне число z може бути з будь-яким ступенем точності наближено за допомогою раціонального числа; це означає, що завжди можна вказати послідовність раціональних чисел

p 1, p 2,. . .

q 1 q 2

з необмежено зростаючими знаменниками, що володіє тим-

що, що

p r → z. qr

Теорема Ліувіля стверджує: яке б не було число алгебри z ступеня n > 1, воно не може бути наближене за допомогою раци-

досить великих знаменниках обов'язково виконується нерівність

Ми збираємось навести доказ цієї теореми, але раніше покажемо, як за її допомогою можна будувати трансцендентні числа. Розглянемо число

z = a1 · 10-1! + a2 · 10-2! + a3 · 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

де ai позначають довільні цифри від 1 до 9 (найпростіше було б покласти всі ai рівними 1), а символ n!, як завжди (див. стор 36), позначає 1 · 2 · . . . · n. Характерною властивістю десяткового розкладання такого числа є те, що групи, що швидко зростають за своєю довжиною, нулів чергуються в ньому з окремими цифрами, відмінними від нуля. Позначимо через zm кінцевий десятковий дріб, що утворюється, коли в розкладі візьмемо всі члени до am · 10−m! включно. Тоді отримаємо нерівність

Припустимо, що z було б числом алгебри ступеня n. Тоді, вважаючи в нерівності Ліувіля (3) pq = zm = 10pm! , ми повинні мати

|z − zm | > 10 (n+1)m!

при досить високих значеннях m. Зіставлення останньої нерівності з нерівністю (4) дає

звідки слідує (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 за досить великих m. Але це неправильно для значень m, більших ніж n (нехай читач намагатиметься дати детальний доказ цього твердження). Ми дійшли суперечності. Отже, число z – трансцендентне.

Залишається довести теорему Ліувілля. Припустимо, що z - число алгебри ступеня n > 1, що задовольняє рівнянню (1), так що

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Ділячи обидві частини на zm − z та користуючись алгебраїчною формулою

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

ми отримуємо:

Так як zm прагне z, то при досить великих m раціональне число zm відрізнятиметься від z менше ніж на одиницю. Тому за досить великих m можна зробити таку грубу оцінку:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

причому стоїть праворуч число M - постійне, оскільки z не змінюється у процесі доказу. Виберемо тепер m настільки великим, щоб

у дробу z m = p m знаменник q m був більшим, ніж M; тоді qm

тому що тоді можна було б із многочлена f(x) виділити множник (x − zm ), і, отже, z задовольняло б рівняння ступеня нижчого ніж n. Отже, f(zm ) 6= 0. Але чисельник у правій частині рівності (9) є ціле число і, отже, по абсолютній величині він щонайменше дорівнює одиниці. Таким чином, зі зіставлення співвідношень (8) і (9) випливає нерівність

таки складовий зміст зазначеної теореми.

Протягом кількох останніх десятиліть дослідження щодо можливості наближення алгебраїчних чисел раціональними просунулися набагато далі. Наприклад, норвезький математик А. Туе (1863–1922) встановив, що у нерівності Лиувилля (3) показник n + 1 може бути замінений меншим показником n 2 + 1.

Зігель показав, що можна взяти і ще менший (ще менший

при більших n) показник 2 n.

Трансцендентні числа завжди були темою, яка приковує до себе увагу математиків. Але до порівняно недавнього часу серед чисел, які цікаві власними силами, було відомо дуже небагато таких, трансцендентний характер яких було б встановлено. (З трансцендентності числа p, про яку йтиметься у розділі III, слід неможливість квадратури кола з допомогою лінійки і циркуля.) У своєму виступі на Паризькому міжнародному математичному конгресі 1900 р. Давид Гільберт запропонував тридцять математичних

проблем, що допускають просте формулювання, деякі - навіть зовсім елементарне і популярне, з яких жодна не тільки не була вирішена, але навіть і не здавалася здатною бути дозволеною засобами математики тієї епохи. Ці «проблеми Гільберта» надали сильний збуджуючий вплив упродовж наступного періоду розвитку математики. Майже всі вони поступово були дозволені, і в багатьох випадках їх вирішення було пов'язане з ясно вираженими успіхами в сенсі вироблення більш загальних і глибших методів. Одна з проблем, що здавалася досить безнадійною, полягала в

доказ того, що число

є трансцендентним (чи хоча б ірраціональним). Протягом трьох десятиліть не було навіть натяку на такий підхід до питання з чийогось боку, який відкривав би надію на успіх. Зрештою, Зігель і, незалежно від нього, молодий російський математик А. Гельфонд відкрили нові методи для доказу трансцендентності багатьох

чисел, що мають значення у математиці. Зокрема, було встановлено

трансцендентність як гільбертова числа 2 2 , а й цілого досить великого класу чисел виду ab , де a - алгебраїчне число, відмінне від 0 і 1, a b - ірраціональне алгебраїчне число.

ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ II

Алгебра множин

1. Загальна теорія. Поняття класу, чи сукупності, чи безлічі об'єктів - одне з найбільш фундаментальних у математиці. Безліч визначається деякою властивістю («атрибутом») A, яким повинен або мати, або не мати кожен аналізований об'єкт; ті об'єкти, які мають властивість A, утворюють безліч A. Так, якщо ми розглядаємо цілі числа та властивість A полягає в тому, щоб «бути простим», то відповідна безліч A складається з усіх простих чисел 2, 3, 5, 7, . . .

Математична теоріямножин виходить з того, що з множин за допомогою певних операцій можна утворювати нові множини (подібно до того, як з чисел за допомогою операцій складання та множення виходять нові числа). Вивчення операцій над множинами становить предмет «алгебри множин», яка має багато спільного зі звичайною числовою алгеброю, хоча в чому і відрізняється від неї. Той факт, що методи алгебри можуть бути застосовані до вивчення нечислових об'єктів, якими є безлічі, ілю-

струє велику спільність ідей сучасної математики. Останнім часом з'ясувалося, що алгебра множин кидає нове світло на багато галузей математики, наприклад, теорію міри та теорію ймовірностей; вона корисна також під час систематизації математичних понятьта з'ясуванні їх логічних зв'язків.

Надалі I позначатиме деяку постійну безліч об'єктів, природа яких байдужа, і яку ми можемо називати універсальною безліччю (або універсумом міркування), а

A, B, C, . . . будуть якісь підмножини I. Якщо I є сукупність всіх натуральних чисел, то A, скажімо, може позначати безліч всіх парних чисел, B - безліч всіх непарних чисел, C - безліч всіх простих чисел, і т. п. Якщо I означає сукупність всіх точок на площині, то A може бути безліччю точок всередині якогось кола, B - безліччю точок всередині іншого кола і т. п. До «підмножин» нам зручно включити саме I, а також «порожнє» безліч, що не містить ніяких елементів. Мета, яку переслідує таке штучне розширення, полягає у збереженні того положення, що кожній властивості A відповідає деяка множина елементів з I, що володіють цією властивістю. У разі, якщо A є універсально виконувана властивість, прикладом якого може служити (якщо йдеться про числа) властивість задовольняти тривіальній рівності x = x, то відповідне підмножина I буде саме I, оскільки кожен елемент має таку властивість; з іншого боку, якщо A є якась внутрішньо суперечлива властивість (на кшталт x 6= x), то відповідне підмножина не містить зовсім елементів, воно - «порожнє» і позначається символом.

Кажуть, що множина A є підмножина множини B, коротше, «A входить у B», або «B містить A», якщо у множині A немає такого елемента, який не був би також у множині B. Цьому співвідношенню відповідає запис

A B або B A.

Наприклад, безліч A всіх цілих чисел, що діляться на 10, є підмножина безлічі B всіх цілих чисел, що діляться на 5, так як кожне число, що ділиться на 10, ділиться також на 5. Співвідношення A B не виключає співвідношення B A. Якщо має місце і те й інше, то

Це означає, що кожен елемент A є водночас елемент B, і назад, так що множини A і B містять якраз одні й ті самі елементи.

Співвідношення A B між множинами багато в чому нагадує співвідношення a 6 b між числами. Зокрема, відзначимо слід-

дуючі властивості цього співвідношення:

1) A A.

2) Якщо AB і BA, то A = B.

3) Якщо A B та B C, то A C.

З цієї причини співвідношення AB іноді називають «відношенням порядку». Головна відмінність аналізованого співвідношення від співвідношення a 6 b між числами полягає в тому, що між будь-якими двома заданими (дійсними) числами a і b неодмінно здійснюється щонайменше одне із співвідношень a 6 b або b 6 a, тоді як для співвідношення A B між множинами аналогічне твердження неправильне. Наприклад, якщо A є безліч, що складається з чисел 1, 2, 3,

а B - множина, що складається з чисел 2, 3, 4,

то немає місця ні співвідношення A B, ні співвідношення B A. З цієї причини говорять, що підмножини A, B, C, . . . множини I є «частково впорядкованими», тоді як дійсні числа a, b, c, . . .

утворюють «цілком упорядковану» сукупність.

Зауважимо, між іншим, що з визначення співвідношення A B слід, що, яке б не було підмножина A множини I,

Властивість 4) може бути дещо парадоксальним, але, якщо вдуматися, воно логічно суворо відповідає точному змісту визначення знака. Справді, співвідношення A порушувалося б тільки

в тому випадку, якби порожня множина містила елемент, який не містився б A; але так як порожня безліч не містить зовсім елементів, то цього не може бути, яке б не було A.

Ми визначимо тепер дві операції над множинами, що формально володіють багатьма алгебраїчними властивостями додавання та множення чисел, хоча за своїм внутрішнім змістом зовсім відмінні від цих арифметичних дій. Нехай A і B - якісь дві множини. Під об'єднанням, або «логічною сумою», A і B розуміється безліч, що складається з тих елементів, які містяться в A або

в B (включаючи і ті елементи, які містяться в A і B). Ця множина позначається A + B. 1 Під "перетином", або "логічним твором", A і B розуміється безліч, що складається з тих елементів, які містяться і в A і в B. Ця множина позначається AB.2

Серед важливих властивостей алгебри операцій A + B і AB перерахуємо наступні. Читач зможе перевірити їхню справедливість, виходячи з визначення самих операцій:

Перевірка всіх цих законів – справа найпростішої логіки. Наприклад, правило 10) констатує, що безліч елементів, що містяться або A, або A, є якраз безліч A; правило 12) констатує, що безліч тих елементів, які містяться в A і разом з тим містяться або B, або C, збігається з безліччю елементів, які або містяться одночасно в A і B, або містяться одночасно в A і C Логічні міркування, що використовуються при доказах подібного роду правил, зручно ілюструються, якщо ми умовимося зображувати безліч A, B, C, . . . у вигляді деяких фігур на площині і будемо дуже уважні в тому відношенні, щоб не упустити жодної з логічних можливостей, коли йдеться про наявність загальних елементів двох множин або, навпаки, наявності в одному множині елементів, які не містяться в іншому.

Читач, безсумнівно, звернув увагу на те, що закони 6), 7), 8), 9) і 12) зовні тотожні з добре знайомими комутативним, асоціативним і дистрибутивним законами звичайної алгебри. Звідси випливає, що це правила звичайної алгебри, які з цих законів, дійсні й у алгебрі множин. Навпаки, закони 10), 11) і 13) немає своїх аналогів у звичайній алгебрі, і вони надають алгебрі множин простішу структуру. Наприклад, формула бінома в алгебрі множин зводиться до найпростішої рівності

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

яке випливає із закону 11). Закони 14), 15) і 17) говорять про те, що властивості множин і I по відношенню до операцій об'єднання та перетину множин дуже схожі на властивості чисел 0 і 1 по відношенню до операцій числових дій додавання та множення. Але закон 16) немає аналога в числовій алгебрі.

Залишається дати визначення ще однієї операції в алгебрі множин. Нехай A - якесь підмножина універсальної множини I. Тоді під додатком A в I розуміється безліч всіх елементів I, які не містяться в A. Для цієї множини ми введемо позначення A0 . Так, якщо I є безліч всіх натуральних чисел, а A - безліч всіх простих чисел, то A0 є безліч, що складається з усіх складових чисел і числа 1. Операція переходу від A до A0, для якої немає аналога у звичайній алгебрі, має наступні властивості :

23) A00 = A.

24) Співвідношення A B еквівалентне співвідношенню B 0 A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Перевірку цих властивостей ми знову надаємо читачеві.

Закони 1)-26) лежать в основі алгебри множин. Вони мають чудову властивість «двоїстості» в наступному сенсі:

Якщо в одному із законів 1)–26) замінити один на одного відпо-

(у кожному їх входженні), то в результаті знову виходить один із цих законів. Наприклад, закон 6) перетворюється на закон 7), 12) - в 13), 17) - в 16) тощо. буд. , «Двійна» їй теорема, що виходить з першої за допомогою зазначених перестановок символів. Справді, оскільки доказ

гол. II АЛГЕБРА МНОЖИН 139

перша теорема складається з послідовного застосування (на різних стадіях міркування, що проводиться) деяких із законів 1–26), то застосування на відповідних стадіях «двоїх» законів складе доказ «двоїстої» теореми. (З приводу такої ж «двоїстості» в геометрії див. Розділ IV.)

2. Застосування математичної логіки. Перевірка законів алгебри множин ґрунтувалася на аналізі логічного сенсу співвідношення A B та операцій A + B, AB та A0. Ми можемо тепер звернути цей процес і розглядати закони 1)–26) як основу для «алгебри логіки». Скажімо точніше: та частина логіки, яка стосується множин, або, що по суті те саме, властивостей об'єктів, що розглядаються, може бути зведена до формальної алгебраїчної системи, заснованої на законах 1)–26). Логічний «умовний всесвіт» визначає безліч I; кожна властивість A визначає безліч A, що складається з тих об'єктів I, які мають цю властивість. Правила перекладу звичайної логічної термінології на мову множин зрозумілі з

У термінах алгебри множин силогізм «Barbara», що означає, що «якщо всяке A є B і всяке B є C, то всяке A є C», набуває простого вигляду:

3) Якщо AB і BC, то АС.

Аналогічно «закон протиріччя», який стверджує, що «об'єкт не може одночасно володіти і не володіти деякою властивістю», записується у вигляді:

20) AA 0 = ,

а «закон виключеного третього», який говорить, що «об'єкт повинен або мати, або не мати деяку властивість», записується:

19) A+A0=I.

Таким чином, та частина логіки, яка виразна в термінах символів, +, · і 0, може трактуватися як формальна система алгебри, підпорядкована законам 1)–26). На основі злиття логічного аналізу математики та математичного аналізулогіки створилася нова дисципліна - математична логіка, яка нині перебуває у процесі бурхливого розвитку.

З аксіоматичної точки зору заслуговує на увагу той чудовий факт, що твердження 1)-26), разом з усіма іншими теоремами алгебри множин, можуть бути логічно виведені з наступних трьох рівностей:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Звідси випливає, що алгебра множин може бути побудована як суто дедуктивна теорія, на кшталт евклідової геометрії, на базі цих трьох положень, що приймаються як аксіом. Якщо ці аксіоми прийняті, то операція AB та відношення A B визначаються в термінах A + B та A0 :

Зовсім іншого приклад математичної системи, в якій виконуються всі формальні закони алгебри множин, дається системою восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: тут a + b позначає,

визначенню, загальне найменше кратне a і b, ab - загальний найбільший дільник a і b, a b - твердження «b поділяється на a» та a0 - число 30 a . Су-

Існування таких прикладів спричинило вивчення загальних алгебраїчних систем, що задовольняють законам 27). Такі системи називаються "булевими алгебрами" - на честь Джорджа Буля (1815-1864), англійського математика і логіка, книга якого "Ан investigation of the laws of thought" (Дослідження законів мислення) з'явилася в 1854 році.

3. Одне із застосувань до теорії ймовірностей. Алгебра множин має найближче відношення до теорії ймовірностей і дозволяє глянути на неї у новому світлі. Розглянемо найпростіший приклад: уявімо собі експеримент із кінцевим числом можливих наслідків, які всі мисляться як «рівноможливі». Експеримент може, наприклад, полягати в тому, що ми витягуємо навмання карту з повною колоди, що добре перетасована. Якщо множина всіх результатів експерименту позначимо через I, а A позначає якесь підмножина I, то ймовірність того, що результат експерименту виявиться належать до підмножини A, визначається як відношення

p(A) = число елементів A. число елементів I

Якщо умовимося число елементів у якомусь множині A позначати через n(A), то останній рівності можна надати вигляду

Ідеї ​​алгебри множин виявляються при обчисленні ймовірностей тоді, коли доводиться, знаючи ймовірність одних множин, обчислювати ймовірності інших. Наприклад, знаючи ймовірності p(A), p(B) та p(AB), можна обчислити ймовірність p(A + B):

Довести це не важко. Ми маємо

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

оскільки елементи, що містяться одночасно в A і B, тобто елементи AB, вважаються двічі при обчисленні суми n(A) + n(B), і, значить, потрібно відняти n(AB) з цієї суми, щоб підрахунок n(A + B) був зроблений правильно. Потім ділячи обидві частини рівності на n(I), ми отримуємо співвідношення (2).

Цікавіша формула виходить, якщо йдеться про три множини A, B, C з I. Користуючись співвідношенням (2), ми маємо

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Закон (12) із попереднього пункту дає нам (A + B) C = AC + BC. Звідси випливає:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Підставляючи в отримане раніше співвідношення значення p[(A + B)C] і значення p(A + B), взяте з (2), ми приходимо до потрібної формули:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Як приклад розглянемо наступний експеримент. Три цифри 1, 2, 3 пишуться в будь-якому порядку. Якою є ймовірність того, що принаймні одна з цифр опиниться на належному (у сенсі нумерації) місці? Нехай A є безліч перестановок, у яких цифра 1 стоїть першому місці, B - безліч перестановок, у яких цифра 2 стоїть другою місці, C - безліч перестановок, у яких цифра 3 стоїть третьому місці. Нам потрібно обчислити p(A+B+C). Зрозуміло, що

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

дійсно, якщо якась цифра стоїть на належному місці, то є дві можливості переставити решту двох цифр із загального числа 3 · 2 · 1 = 6 можливих перестановок трьох цифр. Далі,

Вправа. Виведіть відповідну формулу для p(A + B + C + D) та застосуйте її до експерименту, в якому братимуть участь 4 цифри. Відповідна ймовірність дорівнює 58 = 0,6250.

Загальна формула для об'єднання n множин має вигляд

комбінаціям, що містять одну, дві, три, . . . , (n − 1) літер із числа A1 , A2 , . . .

An. Ця формула може бути встановлена ​​за допомогою математичної індукції - так само, як формула (3) була виведена з формули (2).

З формули (4) можна зробити висновок, що якщо n цифр 1, 2, 3, . . . n написані в будь-якому порядку, то ймовірність того, що принаймні одна з цифр опиниться на належному місці, дорівнює

причому перед останнім членом стоїть знак + або −, зважаючи на те, чи є n парним чи непарним. Зокрема, за n = 5 ця ймовірність дорівнює

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

У розділі VIII ми побачимо, що коли n прагне нескінченності, вираз

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ± n!

прагне межі 1 e , значення якого, з п'ятьма знаками після коми,

одно 0,36788. Оскільки з формули (5) видно, що pn = 1 − Sn, то звідси випливає, що за n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Слово «трансцендентний» зазвичай асоціюється з трансцендентальною медитацією та різноманітною езотерикою. Але щоб вживати його правильно, потрібно як мінімум відрізняти його від терміна «трансцендентальний», а як максимум – згадати його роль у роботах Канта та інших філософів.

Це поняття походить від латинського transcendens - "переступає", "перевершує", "виходить за межі". У цілому нині він позначає те, що важливо недоступно для емпіричного пізнання або засноване на досвіді. Передумови терміна виникли ще філософії неоплатонізму - засновник напряму Плотін створив вчення про Єдиному - всеблагом першопочатку, яке неможливо пізнати ні зусиллями думки, ні з допомогою чуттєвого досвіду. "Єдине не є суще, але батько його" - пояснює філософ.

Найповніше термін «трансцендентний» було розкрито у філософії Іммануїла Канта, де він використовувався для характеристики , існуючих незалежно від свідомості і які діють наші органи почуттів, залишаючись у своїй принципово непізнаваними, як у практиці, і у теорії. Протилежність трансцендентності - : вона означає або невід'ємність, внутрішній зв'язок будь-якої якості об'єкта з самим об'єктом, або пізнаваність об'єкта на особистому досвіді. Наприклад, якщо припустити, що Всесвіт створений за якимось вищим задумом, сам задум для нас є трансцендентним - ми можемо тільки будувати гіпотези про нього. Але якщо цей задум існує насправді, його наслідки для нас є іманентними, виявляючись у фізичних законах та обставинах, у які ми потрапляємо. Тому в деяких теологічних концепціях Бог трансцендентен і перебуває поза створеним ним буттям.

Деякі речі все-таки доступні апріорному пізнанню: наприклад, простір і час, ідеї Бога, добра і краси, логічні категорії. Тобто трансцендентальні об'єкти - це, образно кажучи, «заздалегідь встановлені» у нашому розумі

Уявлення про трансцендентність існує і в математиці: трансцендентне число - це число, яке не може бути обчисленим за допомогою алгебри або вираженим алгебраїчно (тобто, не може бути коренем багаточлена з цілими коефіцієнтами, не тотожного нулю). До них входять, наприклад, числа π і e.

Поняття, близьке до «трансцендентного», але інше за значенням – «трансцендентальне». Спочатку воно позначало просто область абстрактних розумових категорій, а згодом його розвинув Кант, потрапивши у власну пастку: побудувати філософську систему тільки на емпіричних даних виявилося неможливо, а жодних інших джерел досвіду, крім емпірики, він не визнавав. Щоб викрутитися, філософові довелося припустити, що деякі речі все-таки доступні апріорному пізнанню: наприклад, простір і час, ідеї Бога, добра і краси, логічні категорії. Тобто трансцендентальні об'єкти – це, образно кажучи, «попередньо встановлені за умовчанням» у нашому розумі – при цьому інформація про них існує сама по собі і не випливає з нашого досвіду.

Існує і ще одне споріднене поняття – трансценденція. У широкому значенні слова воно означає перехід кордону між двома різнорідними областями, особливо перехід зі сфери посюстороннього у сферу потойбіччя, трансцендентного. Для простоти візьмемо приклад із фантастики: паралельний світ для звичайної людини- трансцендентне явище. Але коли герой потрапляє у цей паралельний світ чи якимось чином виявляється здатним його сприймати, це трансценденція. Або складніший приклад з екзистенційної філософії: Жан-Поль Сартр вважав, що людина трансцендентна, оскільки вона виходить за рамки будь-якого можливого власного досвіду: ми можемо вивчати себе і навколишній світз різних боків, але ніколи навіть не наблизимося до повного пізнання себе. Але одночасно людина має здатність до трансценденції: він трансцендує будь-яку річ, надаючи їй якесь значення. Трансценденція - важливий елемент і в релігії: вона допомагає людині звільнитися від своєї матеріальної природи і доторкнутися до чогось позамежного.

З філософії поняття трансцендентальності перекочувало і до психології: швейцарський психолог Карл Юнг ввів поняття «трансцендентальна функція» - це функція, що поєднує свідоме та несвідоме. Зокрема, трансцендентальну функцію може виконувати психоаналітик – він допомагає пацієнту проаналізувати образи несвідомого (наприклад, сновидіння) та пов'язати їх разом із свідомими процесами у його психіці.

Як говорити

Неправильно «Я записалася на заняття з трансцендентної медитації». Правильно – «трансцендентальною».

Правильно «Коли я заходжу до храму, я відчуваю поєднання з чимось трансцендентним».

Правильно «Мистецтво трансцендує знайомі нам предмети з матеріального світу, наповнюючи їх найвищим змістом».

Ілля Щуров

Математик Ілля Щуров про десяткові дроби, трансцендентність та ірраціональність числа Пі.

Як «одиниця» допомогла побудувати перші міста та великі імперії? Як надихала видатні уми людства? Яку роль у появі грошей вона відіграла? Як "одиниця" об'єдналася з нулем, щоб правити сучасним світом? Історія одиниці нерозривно пов'язані з історією європейської цивілізації. Террі Джонс вирушає в гумористичну подорож з метою зібрати воєдино дивовижну історію нашого найпростішого числа. За допомогою комп'ютерної графіки в цій програмі одиниця оживає в різних іспостасях. З історії одиниці стає зрозуміло, звідки з'явилися сучасні числа, і як винахід нуля врятував від необхідності сьогодні використовувати римські цифри.

Жак Сезіано

Ми знаємо про Діофанта небагато. Здається, він жив у Олександрії. Ніхто з грецьких математиків не згадує його до IV століття, тому він, ймовірно, жив у середині III століття. Найголовніша робота Діофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), відбулася на початку з 13 «книг» (βιβλία), тобто розділах. Ми сьогодні маємо 10 із них, а саме: 6 у грецькому тексті та 4 інших у середньовічному арабському перекладі, місце яких у середині грецьких книг: книги I-III по-грецьки, IV-VII по-арабськи, VIII-X по-грецьки . «Арифметика» Діофанта насамперед зібрання завдань, лише близько 260. Теорії, правду кажучи, немає; є лише загальні інструкції у вступі книги, і приватні зауваження у деяких завданнях, коли потрібно. "Арифметика" вже має риси алгебраїчного трактату. Спочатку Діофант користується різними знаками, щоб висловлювати невідоме та його ступеня, також деякі обчислення; як і всі алгебраїчні символіки середньовіччя, його символіка походить від математичних слів. Потім, Діофант пояснює, як вирішити задачу методом алгебри. Але завдання Діофанта не алгебраїчні у звичному значенні, тому що майже всі зводяться до вирішення невизначеного рівняння або систем таких рівнянь.

Георгій Шабат

Програма курсу: Історія. Перші оцінки. Проблема сумісності довжини кола з її діаметром. Нескінченні ряди, твори та інші вирази для π. Збіжність та її якість. Вирази, що містять π. Послідовності, що швидко сходяться до π. Сучасні методиобчислення π, використання комп'ютерів. Про ірраціональність та трансцендентність π та деяких інших чисел. Попередніх знань для розуміння курсу не потрібно.

Вчені з Оксфордського університету заявили, що раннім відомим вживанням цифри 0 для позначення відсутності значення розряду (як у числі 101) слід вважати текст індійського манускрипта Бахшалі.

Василь Піспанен

Хто не грав у дитинстві у гру "назви найбільше число"? Мільйони, трильйони та інші "-они" уявити в думці вже складно, але ми з вами спробуємо розібрати "мастодонта" в математиці - число Грема.

Віктор Клепцин

Справжнє число можна як завгодно точно наблизити раціональними. А наскільки добрим може бути таке наближення – порівняно з його складністю? Наприклад, обірвавши десятковий записчисла x на k-й цифріпісля коми ми отримаємо наближення x≈a/10^k з помилкою порядку 1/10^k. І взагалі, зафіксувавши знаменник q у дробі, що наближає, ми точно можемо отримати наближення з помилкою порядку 1/q. А чи можна зробити краще? Знайоме всім наближення π≈22/7 дає помилку порядку 1/1000 – тобто явно краще, ніж можна було б очікувати. А чому? Чи нам пощастило, що у π таке наближення є? Виявляється, що для будь-якого ірраціонального числа є безліч дробів p/q, що наближають його краще, ніж 1/q^2. Це стверджує теорема Діріхле – і ми почнемо курс із її трохи нестандартного доказу.

У 1980 році Книга рекордів Гіннесса повторила твердження Гарднера, ще більше підігрівши інтерес публіки до цього числа. Число Грехема в неймовірну кількість разів більше, ніж інші добре відомі великі числа, такі, як гугол, гуголплекс і навіть більше, ніж число Скьюза та число Мозера. Насправді весь спостерігається всесвіт занадто мала у тому, щоб умістити у собі звичайну десяткову запис числа Грехема.

Дмитро Аносов

Лекції читає Аносов Дмитро Вікторович, доктор фізико-математичних наук, професор, академік РАН. Літня школа "Сучасна математика", м. Дубна. 16-18 липня 2002 р.

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий рядне має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, тому що більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Зрозуміло, що в кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільше. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заразом дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.

Число називається алгебраїчнимякщо воно є коренем деякого багаточлена з цілими коефіцієнтами

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(т. е. коренем рівняння a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, де a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- цілі числа, n 1, a n 0).

Безліч алгебраїчних чисел позначимо буквою .

Легко бачити, що будь-яке раціональне число є алгебраїчним. Справді, - корінь рівняння qx-p=0з цілими коефіцієнтами a 1 =qі a 0 =-p. Отже, .

Однак не всі алгебраїчні числа раціональні: наприклад, число є коренем рівняння x 2 -2 = 0, отже, --- алгебраїчнечисло.

Довгий час залишалося невирішеним важливе для математики питання: Чи існують неалгебраїчні дійсні числа ? Лише 1844 року Ліувіль вперше навів приклад трансцендентного (тобто. неалгебраїчного) числа.

Побудова цього числа та доказ його трансцендентності дуже складні. Довести теорему існування трансцендентних чисел можна значно простіше, використовуючи міркування про еквівалентність та нееквівалентність числових множин.

А саме, доведемо, що безліч алгебраїчних чисел є рахунковим. Тоді, оскільки багато всіх дійсних чисел незліченна, ми встановимо існування неалгебраїчних чисел.

Побудуємо взаємно однозначну відповідність між і деякою підмножиною . Це означатиме, що - Звісно чи рахунково. Але оскільки , то нескінченно, отже, рахунково.

Нехай - деяке число алгебри. Розглянемо всі багаточлени з цілими коефіцієнтами, коренем яких є , і виберемо серед них багаточлен Pмінімального ступеня (тобто не буде коренем жодного багаточлена з цілими коефіцієнтами меншого ступеня).

Наприклад, для раціонального числа такий многочлен має ступінь 1, а числа - ступінь 2.

Розділимо всі коефіцієнти багаточлена Pна їхній найбільший спільний дільник. Отримаємо многочлен, коефіцієнти якого взаємно прості разом (їх найбільший спільний дільник дорівнює 1). Зрештою, якщо старший коефіцієнт a nвід'ємний, помножимо всі коефіцієнти многочлена на -1 .

Отриманий багаточлен (тобто багаточлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є число, що має мінімально можливий ступінь, взаємно прості коефіцієнти та позитивний старший коефіцієнт) називається мінімальним багаточленом числа.

Можна довести, що такий многочлен визначається однозначно: кожне число алгебри має рівно один мінімальний многочлен.

Кількість дійсних коренів многочлена не більше, ніж його ступінь. Отже, можна пронумерувати (наприклад, за зростанням) усі коріння такого багаточлена.

Тепер будь-яке число алгебри повністю визначається своїм мінімальним багаточленом (тобто набором його коефіцієнтів) і номером, який відрізняє від інших коренів цього многочлена: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Отже, кожному алгебраїчному числу ми поставили у відповідність кінцевий набір цілих чисел, причому за цим набором відновлюється однозначно (тобто різним числам відповідають різні набори).

Пронумеруємо в порядку зростання всі прості числа (неважко показати, що їх дуже багато). Отримаємо нескінченну послідовність (p k): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7, ... Тепер набору цілих чисел (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)можна поставити у відповідність твір

(Це число позитивне та раціональне, але не завжди натуральне, адже серед чисел a 0, a 1, ..., a n-1, може бути негативні). Зауважимо, що це число є нескоротним дріб, оскільки прості множники, що входять до розкладання чисельника і знаменника, різні. Зауважимо також, що два нескоротні дроби з позитивними чисельниками та знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли і їх чисельники рівні, та їх знаменники рівні.

Розглянемо тепер наскрізне відображення:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Оскільки різним числам алгебри ми поставили у відповідність різні набори цілих чисел, а різним наборам --- різніраціональні числа, то ми, таким чином, встановили взаємно однозначну відповідність між множиною і деякою підмножиною . Тому безліч алгебраїчних чисел лічильна.

Оскільки безліч дійсних чисел незліченна, ми довели існування неалгебраїчних чисел.

Однак теорема існування не вказує, як визначити, чи є це числоалгебраїчним. А це питання іноді дуже важливо для математики.

Трансцендентне число

число (дійсне або уявне), що не задовольняє ніякому рівняння алгебри (Див. Алгебраїчне рівняння) з цілими коефіцієнтами. Таким чином, Т. ч. протиставляються алгебраїчним числам. Існування Т. ч. вперше встановив Ж. Ліувілль (1844). Відправною точкою для Ліувіля служила його теорема, згідно з якою порядок наближення раціонального дробу з даним знаменником до цього ірраціонального алгебраїчного числа не може бути довільно високим. Саме якщо алгебраїчне число азадовольняє неприведеного рівня алгебри nз цілими коефіцієнтами, то для будь-якого раціонального числа залежить тільки від α ). Тому, якщо для заданого ірраціонального числа α можна вказати безліч раціональних наближень, що не задовольняють наведеній нерівності ні при яких зі n(одних і тих же для всіх наближень), то α є Т. ч. Приклад такого числа дає:

Інше доказ існування Т. ч. дав Р. Кантор (1874), помітивши, що безліч всіх алгебраїчних чисел лічимо (тобто всі алгебраїчні числа можуть бути перенумеровані; див. Множин теорія), тоді як безліч всіх дійсних чисел незліченна. Звідси випливало, що безліч Т. ч. незліченна, і далі, що Т. ч. становлять основну масу серед множини всіх чисел.

Найважливіше завдання теорії Т. ч. - це з'ясування того, чи є Т. ч. значення аналітичних функцій, що мають ті чи інші арифметичні та аналітичні властивості при алгебраїчних значеннях аргументу. Завдання цього роду належать до найважчих завдань сучасної математики. У 1873 Ш. Ерміт довів, що Неперове число

У 1882 німецький математик Ф. Ліндеман отримав більш загальний результат: якщо α - число алгебри, то еα - Т. ч. Результат Ліпдемана був значно узагальнений німецьким математиком К. Зігелем (1930), який доказав, наприклад, трансцендентність значення широкого класу циліндричних функцій при значеннях алгебри аргументу. У 1900 році на математичному конгресі в Парижі Д. Гільберт серед 23 невирішених проблем математики вказав на наступну: чи є трансцендентним числом α β , де α і β - алгебраїчні числа, причому β - ірраціональне число, і, зокрема, чи є трансцендентним число е π (проблема трансцендентності чисел виду α β була вперше у приватній формі поставлена ​​Л. Ейлером, 1744). Повне вирішення цієї проблеми (в ствердному сенсі) вдалося отримати лише в 1934 А. О. Гельфонду. З відкриття Гельфонда, зокрема, випливає, що всі десяткові логарифми натуральних чисел (тобто «табличні логарифми») суть Т. ч. Методи теорії Т. ч. додаються до ряду питань вирішення рівнянь у цілих числах.

Літ.:Гельфонд А. О., Трансцендентні та алгебраїчні числа, М., 1952.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Трансцендентне число" в інших словниках:

Число, що не задовольняє ніякого рівня алгебри з цілими коефіцієнтами. Трансцендентними числами є: число? 3,14159...; десятковий логарифм будь-якого цілого числа, що не зображується одиницею з нулями; число е = 2,71828 ... та ін ... Великий Енциклопедичний словник

- (від лат. transcendere переходити, перевершувати) це речове або комплексне число, що не є алгебраїчним іншими словами, число, яке не може бути коренем багаточлену з цілими коефіцієнтами. Зміст 1 Властивості 2… … Вікіпедія

Число, що не задовольняє ніякого рівня алгебри з цілими коефіцієнтами. Трансцендентними числами є число π = 3,14159...; десятковий логарифм будь-якого цілого числа, що не зображується одиницею з нулями; число е = 2,71828... та ін. Енциклопедичний словник

Число, яке не задовольняє жодному алгебр. ур нію з цілими коефіцієнтами. Т. год. є: число ПІ = 3,14159...; десятковий логарифм будь-якого цілого числа, що не зображується одиницею з нулями; число е = 2,71828... та ін. Природознавство. Енциклопедичний словник

Число, яке не є коренем жодного багаточлена з цілими коефіцієнтами. Областю визначення таких чисел є нуль дійсних, комплексних і радіальних чисел. Існування та явні побудови дійсних Т. ч. обґрунтував Ж. Ліувіль… Математична енциклопедія

Рівняння, яке не є алгебраїчним. Зазвичай це рівняння, що містять показові, логарифмічні, тригонометричні, зворотні тригонометричні функції, наприклад: Суворіше визначення таке: Трансцендентне рівняння це рівняння … Вікіпедія

Число, приблизно дорівнює 2,718, яке часто зустрічається в математиці та природничих науках. Наприклад, при розпаді радіоактивної речовини після закінчення часу t від вихідної кількості речовини залишається частка, що дорівнює e kt, де k число, … Енциклопедія Кольєра

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою «e».

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою «e».