Що називається десятковим дробом. Десяткові дроби: визначення, запис, приклади, дії з десятковими дробами. Розподіл десяткового дробу та цілого числа на ціле число та на десятковий дріб

Десяткові дроби поділяються на три наступні класи: кінцеві десяткові дроби, нескінченні періодичні десяткові дроби та нескінченні неперіодичні десяткові дроби.

Кінцеві десяткові дроби

Визначення. Кінцевим десятковим дробом (десятковим дробом)називають дріб або змішане число, що має знаменник 10, 100, 1000, 10000 і т.д.

Наприклад,

До десяткових дробів відносять також такі дроби, які можна призвести до дробів, що мають знаменник 10 , 100 , 1000 , 10000 і т.д., за допомогою основної властивості дробів .

Наприклад,

Твердження. Нескоротний простий дріб або нескоротне змішане неціле число є кінцевим десятковим дробом тоді і тільки тоді, коли розкладання їх знаменників на прості множники містить як множники лише числа 2 і 5, причому в довільних ступенях.

Для десяткових дробів існує спеціальний спосіб запису , використовуючи кому. Зліва від коми записується ціла частина дробу, а праворуч - чисельник дробової частини, перед яким дописується така кількість нулів, щоб число цифр після коми дорівнювало числу нулів у знаменнику десяткового дробу.

Наприклад,

Зауважимо, що десятковий дріб не зміниться, якщо приписати кілька нулів праворуч або ліворуч від нього.

Наприклад,

3,14 = 3,140 =
= 3,1400 = 003,14 .

Цифри, що стоять перед комою (ліворуч від коми) в десяткового запису кінцевого десяткового дробу, утворюють число, яке називають цілою частиною десяткового дробу.

Цифри, що стоять після коми (праворуч від коми) у десятковому записі кінцевого десяткового дробу, називають десятковими знаками.

У кінцевому десятковому дробі кінцеве число десяткових знаків. Десяткові знаки формують дробову частину десяткового дробу.

Множення та розподіл десяткових дробів на 10, 100, 1000 і т.д.

Для того щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000, 10000 і т.д., достатньо перенести кому вправона 1, 2, 3, 4 тощо. десяткових знаків відповідно.

Вже у початковій школіучні стикаються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.

Навіщо потрібні дроби?

Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Зате повсякденне життяпостійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і речей.

Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілою кількістю часточок шоколаду.

До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.

Що таке «дроб»?

Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця риса називається дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.

Насправді, дробова характеристика виявляється знаком поділу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.

Які існують дроби?

У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дробі». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.

Звичайні дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади - це зовсім різні числа.

кожну простий дрібможна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди є вірним і у зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.

Які підвиди мають вказані види дробів?

Почати краще у хронологічному порядку, оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.

Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.

Неправильна. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.

Скоротима/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них потрібно розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.

Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.

Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.

У десяткових дробів є лише два підвиди:

кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);

нескінченна - число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).

Як переводити десятковий дріб у звичайний?

Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її та записати, але вже без коми, а з дробовою рисою.

Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дрібній частині розглянутого числа.

Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але він не вказується. Залишається записати лише дрібні частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.

Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними потрібно провести ту саму операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.

Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?

Якщо вона є неперіодичною, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди переводиться або в кінцевий або періодичний.

Єдине, що допускається робити з таким дробом, це округлювати її. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення до десяткового — ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дроби у звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.

Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?

У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.

Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дрібна частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.

Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить легко. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.

Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.

Правило про те, як записати звичайний десятковий періодичний дріб, що є змішаним.

Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.

Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.

Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.

Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто у знаменнику треба написати 90.

Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.

Як переводять звичайні дроби до десяткових?

Найпростішим варіантом виявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дробовою і цілою частинами ставиться кома.

Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.

Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.

Дії зі звичайними дробами

Додавання та віднімання

З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку дроби мають однакові знаменники, а потім різні. Загальні правиламожна звести до такого плану.

Знайти найменше загальне кратне знаменників.

Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.

Помножити чисельники та знаменники на певні для них множники.

Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.

Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане число або правильний дріб.

У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.

У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».

Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.

Множення та розподіл

Для виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це полегшує виконання дій. Але в них все одно слід дотримуватися правил.

При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменниках. Якщо якийсь чисельник та знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.

Перемножити чисельники.

Перемножити знаменники.

Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно знову спростити.

При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).

Потім діяти, як із множенні (починаючи з пункту 1).

У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильної дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.



Дії з десятковими дробами

Додавання та віднімання

Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без цього перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.

Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній недостатню кількість нулів.

Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.

Скласти (відняти) як натуральні числа.

Знести кому.

Множення та розподіл

Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.

Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.

Помножити як натуральні числа.

Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує в дробових частинах обох множників.

Для поділу потрібно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дрібній частині дільника.

На те число помножити поділене.

Розділити десятковий дріб на натуральне число.

Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.



Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?

І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно здійснити події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.

Перший шлях: уявити звичайні десятковими

Він підходить, якщо при розподілі чи перекладі виходять кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.

Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними

Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже великий звичайний дріб та десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.

У цій статті ми з Вами розберемося, що таке десятковий дріб, які має особливості та властивості. Поїхали! 🙂

Десятковий дріб є окремим випадком звичайних дробів (у якої знаменник кратний 10).

Визначення

Десятичними називають дроби, знаменники яких є числа, що складаються з одиниці і деякої кількості наступних за нею нулів. Тобто це дроби із знаменником 10, 100, 1000 і т.д. Інакше десятковий дріб можна охарактеризувати як дріб зі знаменником 10 або одним із ступенів десятки.

Приклади дробів:

, ,

Десятковий дріб записується інакше, ніж звичайний. Операції з цими дробами також відмінні від операцій із звичайними. Правила дій над ними значною мірою наближені до правил дій над цілими числами. Цим, зокрема, обумовлена ​​їхня затребуваність при вирішенні практичних завдань.

Подання дробу в десятковому записі

У записі десяткового дробу немає знаменника, у ньому відображено число чисельника. У загальному вигляді запис десяткового дробу здійснюється за такою схемою:

де Х – ціла частина дробу, Y – її дробова частина, «,» – десяткова кома.

Для правильного уявлення звичайного дробу у вигляді десяткового потрібно, щоб він був правильним, тобто з виділеною цілою частиною (якщо це можливо) і чисельником, який менше знаменника. Тоді в десятковому записі ціла частина записується до десяткової коми (Х), а чисельник звичайного дробу – після десяткової коми (Y).

Якщо в чисельнику представлено число з кількістю знаків, меншим, ніж кількість нулів у знаменнику, то в частині Y недостатня кількість знаків у десятковому записі заповнюється нулями попереду цифр чисельника.

Приклад:

Якщо звичайна дріб менше 1, тобто. немає цілої частини, то Х у десятковому вигляді записують 0.

У дробовій частині (Y), після останнього значущого (відмінного від нуля) розряду, може бути вписана довільна кількість нулів. На значення дробу це впливає. І навпаки: всі нулі наприкінці дробової частини десяткового дробу можна опустити.

Прочитання десяткових дробів

Частина Х читається у випадку так: «Х цілих».

Частина Y прочитується відповідно до числа в знаменнику. Для знаменника 10 слід читати: Y десятих, для знаменника 100: Y сотих, для знаменника 1000: Y тисячних і так далі ... 😉

Коректнішим вважається інший підхід до прочитання, заснований на підрахунку кількості розрядів дробової частини. Для цього потрібно розуміти, що дробові розряди розташовані у дзеркальному відображенні по відношенню до розрядів цілої частини дробу.

Найменування для правильного прочитання наведено в таблиці:

Виходячи з цього, прочитання має спиратися на відповідність найменуванню розряду останньої цифри дробової частини.

• 3,5 читається як «три цілих п'ять десятих»
• 0,016 читається як «нуль цілих шістнадцять тисячних»

Переведення довільного звичайного дробу до десяткового

Якщо в знаменнику звичайного дробу коштує 10 або якийсь ступінь десятки, то переклад дробу виконується як описано вище. В інших ситуаціях потрібні додаткові перетворення.

Існує 2 способи перекладу.

Перший спосіб перекладу

Чисельник і знаменник необхідно примножити на таке ціле число, щоб у знаменнику було отримано число 10 або один із ступенів десятки. А далі дріб подається в десятковому записі.

Цей спосіб застосовується для дробів, знаменник яких розкладається тільки на 2 і 5. Так, у попередньому прикладі . Якщо ж у розкладанні присутні інші прості множники (наприклад, ), то доведеться вдатися до 2 способу.

Другий спосіб перекладу

2-й спосіб полягає в розподілі чисельника на знаменник у стовпчик або на калькуляторі. Ціла частина, якщо така є, у перетворенні не бере участі.

Правило розподілу в стовпчик, що веде в результаті до десяткового дробу, описано нижче (див. Розділ десяткових дробів).

Переведення десяткового дробу у звичайний

Для цього слід її дробову частину (праворуч від коми) записати у вигляді чисельника, а результат прочитання дробової частини – у вигляді відповідного числа у знаменнику. Далі, якщо це можливо, потрібно скоротити отриманий дріб.

Кінцевий і нескінченний десятковий дріб

Кінцевим називають десятковий дріб, дробова частина якого складається з кінцевої кількості цифр.

Вище всі наведені приклади містять саме кінцеві десяткові дроби. Однак не будь-який звичайний дріб можна представити у вигляді кінцевої десяткової. Якщо 1-й спосіб перекладу для даного дробу не застосовується, а 2-й спосіб демонструє, що розподіл неможливо завершити, значить, отриманий може бути тільки нескінченний десятковий дріб.

У повному вигляді нескінченний дріб записати неможливо. У неповному вигляді такі дроби можна представить:

1. як результат скорочення до бажаної кількості розрядів після коми;
2. у вигляді періодичного дробу.

Періодичним називається дріб, у якого після коми можна виділити послідовність цифр, що повторюється нескінченно.

Інші дроби називаються неперіодичними. Для неперіодичних дробів допустимо лише 1-й спосіб подання (округлення).

Приклад періодичного дробу: 0,8888888… Тут є повторювана цифра 8, яка, очевидно, повторюватиметься до нескінченності, оскільки немає підстав припускати інше. Ця цифра називається періодом дробу.

Періодичні дроби бувають чистими та змішаними. Чистим є десятковий дріб, у якого період починається безпосередньо після коми. Змішаний дроб до періоду після коми має 1 або більше цифр.

54,33333… – періодичний чистий десят.дробь

2,5621212121… – періодичний змішаний дріб

Приклади запису нескінченних десяткових дробів:

У 2-му прикладі показано, як правильно оформляти період запису періодичної дробу.

Переведення періодичних десяткових дробів у звичайні

Для переведення чистого періодичного дробу в звичайний період записують у чисельник, а в знаменник пишуть число, що складається з дев'яток в кількості, що дорівнює кількості цифр в періоді.

Змішаний періодичний десятковий дріб перекладається таким чином:

1. потрібно сформувати число, що складається з числа, що стоїть після коми до періоду, та першого періоду;
2. від отриманого числа відняти число, що стоїть після коми до періоду. Підсумок складе чисельник звичайного дробу;
3. в знаменнику потрібно вписати число, що складається з кількості дев'яток, рівних кількості цифр періоду, а за ними нулів, кількість яких дорівнює кількості цифр числа, що стоїть після коми до 1-го періоду.

Порівняння десяткових дробів

Десяткові дроби порівнюють спочатку за цілими частинами. Більше той дріб, у якого більша її ціла частина.

Якщо цілі частини однакові, порівнюють цифри відповідних розрядів дробової частини, починаючи з першого (з десятих). Тут діє той самий принцип: більше той із дробів, у якого більший розряд десятих; за рівності цифр розряду десятих порівнюють розряди сотих тощо.

Оскільки

, оскільки при рівних цілих частинах і рівних десятих у дробовій частині у 2-го дробу більше цифра сотих.

Додавання та віднімання десяткових дробів

Десяткові дроби складають і віднімають так само, як і цілі числа, записавши відповідні цифри один під одним. Для цього потрібно, щоб один під одним знаходилися десяткові коми. Тоді одиниці (десятки тощо) цілої частини, і навіть десяті (соті тощо.) дробової виявляться відповідно. Розряди дробової частини, що бракують, заповнюють нулями. Безпосередньо процес складання та віднімання здійснюється так само, як і для цілих чисел.

Розмноження десяткових дробів

Для множення десяткових дробів потрібно записати їх один під одним, вирівнявши за останньою цифрою і не звертаючи уваги на місце розташування десяткових ком. Потім потрібно перемножити числа так само, як і при множенні цілих чисел. Після отримання результату слід перерахувати кількість цифр після коми в обох дробах і відокремити коми в результуючому сумарну кількість дробових розрядів. Якщо розрядів не вистачає, вони замінюються нулями.

Розмноження та розподіл десяткових дробів на 10 n

Ці дії прості та зводяться до перенесення десяткової коми. П при множенні кома переноситься вправо (дроб збільшується) на кількість знаків, рівних кількості нулів в 10 n , де n - довільний цілий ступінь. Тобто кілька цифр переноситься з дробової частини в цілу. При розподілі, відповідно, кома переноситься вліво (кількість зменшується), і деяка частина цифр переноситься з цілої частини в дробову. Якщо цифр для перенесення виявляється недостатньо, то розряди, що відсутні, заповнюються нулями.

Розподіл десяткового дробу та цілого числа на ціле число та на десятковий дріб

Розподіл у стовпчик десяткового дробу на ціле число виконується аналогічно поділу двох цілих чисел. Додатково потрібен лише облік положення десяткової коми: при знесенні цифри розряду, за яким слід кома, необхідно поставити кому після поточної цифри відповіді, що формується. Далі потрібно продовжувати ділити до одержання нуля. Якщо знаків у ділимому повного розподілу бракує, у ролі слід використовувати нулі.

Аналогічно поділяються на стовпчик 2 цілих числа, якщо знесені всі цифри поділеного, а повне розподіл ще завершено. У цьому випадку після зносу останньої цифри ділимого ставиться 10. кома у відповіді, що формується, а як зносні цифри використовують нулі. Тобто. ділене тут, по суті, представляють як десятковий дріб з нульовою дробовою частиною.

Для поділу десят.дроби (або цілого числа) на десят.число необхідно домножити поділюване і дільник на число 10 n, в якому кількість нулів дорівнює кількості цифр після десятої коми в дільнику. У такий спосіб позбавляються від десятої коми в дробі, на яку потрібно ділити. Далі процес поділу збігається з описаним вище.

Графічне уявлення десяткових дробів

Графічно десяткові дроби зображуються за допомогою координатної прямої. Для цього поодинокі відрізки ділять додатково на 10 рівних часток подібно до того, як на лінійці відкладаються одночасно сантиметри і міліметри. Це забезпечує точне відображення десяткових дробів та можливість об'єктивного їх порівняння.

Щоб поздовжні поділки на одиничних відрізках були однаковими, слід ретельно продумувати довжину самого одиничного відрізка. Вона має бути такою, щоб можна було забезпечити зручність додаткового розподілу.

Ми вже казали, що дроби бувають звичайніі десяткові. На даний момент ми трохи вивчили прості дроби. Ми дізналися, що звичайні дроби бувають правильні та неправильні. Також ми дізналися, що звичайні дроби можна скорочувати, складати, віднімати множити та ділити. І ще ми дізналися, що бувають так звані змішані числа, які складаються з цілої та дрібної частини.

Ми ще не до кінця вивчили прості дроби. Є чимало тонкощів та деталей, про які слід поговорити, але вже сьогодні ми почнемо вивчати десятковідроби, оскільки звичайні та десяткові дроби досить часто доводиться поєднувати. Тобто при вирішенні завдань доводиться працювати з обома видами дробів.

Цей урок, можливо, здасться складним і незрозумілим. Це цілком нормально. Такі уроки вимагають, щоб їх саме вивчали, а не переглядали поверхово.

Вираз величин у дробовому вигляді

Іноді зручно буває показати щось у дрібному вигляді. Наприклад, одна десята частина дециметра записується так:

Цей вислів означає, що один дециметр був поділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин було взято одну частину. А одна частина з десяти даному випадкудорівнює одному сантиметру:

Розглянемо наступний приклад. Показати 6 см та ще 3 мм у сантиметрах у дробовому вигляді.

Отже, потрібно показати 6 см та 3 мм у сантиметрах, але у дробовому вигляді. 6 цілих сантиметрів у нас вже є:

Але залишилося ще 3 міліметри. Як показати ці 3 міліметри, причому у сантиметрах? На допомогу приходять дроби. Один сантиметр це десять міліметрів. Три міліметри – це три частини з десяти. А три частини з десяти записуються як см

Вираз см означає, що один сантиметр був поділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин взяли три частини.

В результаті маємо шість цілих сантиметрів і три десяті сантиметри:

У цьому 6 показує число цілих сантиметрів, а дріб — число дробових. Цей дріб читається як «шість цілих і три десяті сантиметри».

Дроби, у знаменнику яких є числа 10, 100, 1000 можна записувати без знаменника. Спочатку пишуть цілу частину, а потім чисельник дробової частини. Ціла частина відокремлюється від чисельника дробової частини коми.

Наприклад, запишемо без знаменника. Спочатку записуємо цілу частину. Ціла частина це 6

Цілу частину записано. Відразу ж після написання цілої частини ставимо кому:

І тепер записуємо чисельник дробової частини. У змішаному числі чисельник дробової частини це число 3. Записуємо після коми трійку:

Будь-яке число, яке представляється в такому вигляді, називається десятковим дробом.

Тому показати 6 см і ще 3 мм у сантиметрах можна за допомогою десяткового дробу:

6,3 см

Виглядати це буде так:

Насправді десяткові дроби це самі звичайні дроби і змішані числа. Особливість таких дробів у тому, що у знаменнику їх дробової частини стоять числа 10, 100, 1000 чи 10000.

Як і змішане число, десятковий дріб має цілу частину та дробову. Наприклад, у змішаному числі ціла частина це 6, а частина це .

У десятковому дробі 6,3 ціла частина це число 6, а дробова частина це чисельник дробу, тобто число 3.

Буває і так, що прості дроби в знаменнику яких числа 10, 100, 1000 дано без цілої частини. Наприклад, дріб дано без цілої частини. Щоб записати такий дріб як десятковий, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини. Дроб без знаменника буде записано наступним чином:

Читається як "нуль цілих п'ять десятих".

Переклад змішаних чисел у десяткові дроби

Коли записуємо змішані числа без знаменника, ми цим переводимо їх у десяткові дроби. При переведенні звичайних дробів до десяткових дробів потрібно знати кілька моментів, про які ми зараз поговоримо.

Після того, як записана ціла частина, обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини, оскільки кількість нулів дробової частини та кількість цифр після коми в десятковому дробі має бути однаковою. Що це означає? Розглянемо наступний приклад:

Спочатку

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і десятковий дріб готовий, але обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини.

Отже, вважаємо кількість нулів у дрібній частині змішаного числа . У знаменнику дробової частини один нуль. Значить у десятковому дробі після коми буде одна цифра і ця цифра буде чисельником дробової частини змішаного числа, тобто число 2

Таким чином, змішане число при переведенні в десятковий дріб перетворюється на 3,2.

Цей десятковий дріб читається так:

«Три цілих, дві десятих»

"Десятих" тому що в дробовій частині змішаного числа знаходиться число 10.

приклад 2.Перевести змішане число в десятковий дріб.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і отримати десятковий дріб 5,3 але правило говорить, що після коми має бути стільки цифр скільки нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа . А ми бачимо, що у знаменнику дробової частини два нулі. Значить у нашому десятковому дробі після коми має бути дві цифри, а не одна.

У таких випадках чисельник дробової частини потрібно трохи видозмінити: додати нуль перед чисельником, тобто перед числом 3

Тепер можна перевести це змішане число в десятковий дріб. Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І записуємо чисельник дробової частини:

Десятковий дріб 5,03 читається так:

«П'ять цілих, три соті»

"Сотих" тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 100.

приклад 3.Перевести змішане число в десятковий дріб.

З попередніх прикладів ми дізналися, що для успішного переведення змішаного числа в десятковий дріб, кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини має бути однаковим.

Перед переведенням змішаного числа в десятковий дріб, його дробову частину потрібно трохи видозмінити, а саме зробити так, щоб кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини була однаковою.

Насамперед дивимося на кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там три нулі:

Наше завдання організувати у чисельнику дробової частини три цифри. Одна цифра у нас вже є — це число 2. Залишилось додати ще дві цифри. Ними будуть два нулі. Додамо їх перед число 2. У результаті кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику стане однаковим:

Тепер можна зайнятися переведенням цього змішаного числа в десятковий дріб. Записуємо спочатку цілу частину і ставимо кому:

і відразу записуємо чисельник дробової частини

3,002

Бачимо, що кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа однакова.

Десятковий дріб 3,002 читається так:

«Три цілих, дві тисячні»

«Тисячні» тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 1000.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Прості дроби, у яких у знаменнику числа 10, 100, 1000 або 10000, теж можна перевести в десяткові дроби. Оскільки у звичайного дробу ціла частина відсутня, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини.

Тут також кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику має бути однаковою. Тому слід бути уважним.

приклад 1.

Ціла частина відсутня, значить спочатку записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику одна цифра. Отже можна спокійно продовжити десятковий дріб, записавши після коми число 5

В отриманому десятковому дробі 0,5 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,5 читається так:

"Нуль цілих п'ять десятих"

приклад 2.Перевести звичайний дріб у десятковий дріб.

Ціла частина відсутня. Записуємо спочатку 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там два нулі. А в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість цифр та кількість нулів однаковою, додамо в чисельнику перед числом 2 один нуль. Тоді дріб набуде вигляду. Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб:

В отриманому десятковому дробі 0,02 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,02 читається так:

«Нуль цілих, дві сотих».

приклад 3.Перевести звичайний дріб у десятковий дріб.

Записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер вважаємо кількість нулів у знаменнику дробу. Бачимо, що там п'ять нулів, а в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однаковим, потрібно в чисельнику перед числом 5 дописати чотири нулі:

Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб. Записуємо після коми чисельник дробу

В отриманому десятковому дробі 0,00005 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,00005 читається так:

"Нуль цілих, п'ять стотисячних".

Переведення неправильних дробів у десятковий дріб

Неправильний дріб це дріб, у якого чисельник більший за знаменник. Трапляються неправильні дроби, у яких у знаменнику знаходяться числа 10, 100, 1000 або 10000. Такі дроби можна переводити в десяткові дроби. Але перед переведенням у десятковий дріб, у таких дробів необхідно виділяти цілу частину.

приклад 1.

Дріб є неправильним дробом. Щоб перевести такий дріб у десятковий дріб, потрібно насамперед виділити в нього цілу частину. Згадуємо, як виділяти цілу частину неправильних дробів. Якщо забули, радимо повернутися і вивчити його.

Отже, виділимо цілу частину в неправильному дробі. Нагадаємо, що дріб означає розподіл - в даному випадку розподіл числа 112 на число 10

Подивимося на цей малюнок і зберемо нове змішане число, подібно до дитячого конструктора. Число 11 буде цілою частиною, число 2 - чисельником дробової частини, число 10 - знаменником дробової частини.

Ми отримали змішане число. Його і переведемо в десятковий дріб. А як переводити такі числа до десяткових дробів ми вже знаємо. Спочатку записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику дробової частини одна цифра. Значить кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 11,2 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий дріб звертається до 11,2

Десятковий дріб 11,2 читається так:

"Одинадцять цілих, дві десятих".

приклад 2.Перевести неправильний дріб у десятковий дріб.

Це неправильний дріб, оскільки чисельник більший за знаменник. Але її можна перевести в десятковий дріб, оскільки в знаменнику є число 100.

Насамперед виділимо цілу частину цього дробу. Для цього розділимо 450 на 100 куточків:

Зберемо нове змішане число - отримаємо. А як переводити змішані числа до десяткових дробів ми вже знаємо.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини. Бачимо, що кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 4,50 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий дріб звертається до 4,50

При розв'язанні задач, якщо наприкінці десяткового дробу виявляються нулі, їх можна відкинути. Давайте і ми відкинемо нуль у нашій відповіді. Тоді ми отримаємо 4,5

Це одна з найцікавіших особливостей десяткових дробів. Вона полягає в тому, що нулі, які стоять в кінці дробу, не надають цьому дробу ніякої ваги. Іншими словами, десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Поставимо між ними знак рівності:

4,50 = 4,5

Постає питання: а чому так відбувається? Адже на вигляд 4,50 та 4,5 різні дроби. Весь секрет криється в основному властивості дробу, який ми вивчали раніше. Ми спробуємо довести, чому дорівнюють десяткові дроби 4,50 і 4,5, але після вивчення наступної теми, яка називається «переведення десяткового дробу в змішане число».

Переведення десяткового дробу в змішане число

Будь-який десятковий дріб може бути переведений назад в змішане число. Для цього достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 6,3 у змішане число. 6,3 це шість цілих і три десятих. Записуємо спочатку шість цілих:

і поряд три десятих:

приклад 2.Перевести десятковий дріб 3,002 у змішане число

3,002 це три цілих та дві тисячних. Записуємо спочатку три цілі

і поруч записуємо дві тисячі:

приклад 3.Перевести десятковий дріб 4,50 у змішане число

4,50 це чотири цілих та п'ятдесят сотих. Записуємо чотири цілих

і поруч п'ятдесят сотих:

До речі, давайте згадаємо останній приклад із попередньої теми. Ми сказали, що десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Також ми сказали, що нуль можна відкинути. Спробуємо довести, що десяткові 4,50 та 4,5 рівні. Для цього переведемо обидві десяткові дроби до змішаних чисел.

Після переведення в змішане число десятковий дріб 4,50 звертається до , а десятковий дріб 4,5 звертається до

Маємо два змішані числа і . Переведемо ці змішані числа до неправильних дробів:

Тепер маємо два дроби та . Настав час згадати основну властивість дробу, яке говорить, що при множенні (чи розподілі) чисельника і знаменника дробу на те саме число значення дробу не змінюється.

Давайте розділимо перший дріб на 10

Отримали , а це другий дріб. Значить і рівні між собою і рівні тому самому значенню:

Спробуйте на калькулятор розділити спочатку 450 на 100, а потім 45 на 10. Забавна штука вийде.

Переведення десяткового дробу у звичайний дріб

Будь-який десятковий дріб може бути назад переведений у звичайний дріб. Для цього знову ж таки достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 0,3 у звичайний дріб. 0,3 це нуль цілих та три десятих. Записуємо спочатку нуль цілих:

і поряд три десятих 0 . Нуль за традицією не записують, тому остаточна відповідь буде не 0, а просто.

приклад 2.Перевести десятковий дріб 0,02 у звичайний дріб.

0,02 це нуль цілих та дві сотих. Нуль по не записуємо, тому відразу записуємо дві сотих

приклад 3.Перекласти 0,00005 у звичайний дріб

0,00005 це нуль цілих та п'ять сто тисячних. Нуль не записуємо, тому одразу записуємо п'ять сто тисячних

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Пам'ятаєте, як у самому першому уроці про десяткові дроби я казав, що існують числові дроби, які не представлені у вигляді десяткових дробів (див. урок «Десятичні дроби»)? Ми ще вчилися розкладати знаменники дробів на множники, щоб перевірити, чи немає там чисел відмінних від 2 і 5.

Так ось: я набрехав. І сьогодні ми навчимося переводити абсолютно будь-який числовий дріб у десятковий. Заодно познайомимося з цілим класом дробів із нескінченною значущою частиною.

Періодичний десятковий дріб - це будь-який десятковий дріб, у якого:

1. Значна частина складається з безлічі цифр;
2. Через певні інтервали цифри у значній частині повторюються.

Набір цифр, що повторюються, з яких складається значна частина, Називається періодичною частиною дробу, а кількість цифр в цьому наборі - періодом дробу. Решта відрізку значущої частини, який не повторюється, називається неперіодичною частиною.

Оскільки визначень багато, варто докладно розглянути такі дроби:

Цей дріб зустрічається в завданнях найчастіше. Неперіодична частина: 0; періодична частина: 3; Довжина періоду: 1.

Неперіодична частина: 0,58; періодична частина: 3; Довжина періоду: знову 1.

Неперіодична частина: 1; періодична частина: 54; довжина періоду: 2.

Неперіодична частина: 0; періодична частина: 641025; довжина періоду: 6. Для зручності частини, що повторюються, відокремлені один від одного пробілом - у цьому рішенні так робити не обов'язково.

Неперіодична частина: 3066; періодична частина: 6; Довжина періоду: 1.

Як бачите, визначення періодичного дробу засноване на понятті значній частині числа. Тому якщо ви забули, що це таке, рекомендую повторити - див. урок « ».

Перехід до періодичного десяткового дробу

Розглянемо звичайний дріб виду a/b. Розкладемо її знаменник на прості множники. Можливі два варіанти:

1. У розкладанні присутні лише множники 2 та 5. Ці дроби легко наводяться до десяткових – див. урок «Десятичні дроби». Такі нас не цікавлять;
2. У розкладанні присутнє щось ще, крім 2 і 5. У цьому випадку дріб непредставний у вигляді десяткового, зате з нього можна зробити періодичний десятковий дріб.

Щоб задати періодичний десятковий дріб, треба знайти його періодичну та неперіодичну частину. Як? Переведіть дріб у неправильний, а потім розділіть чисельник на знаменник куточком.

При цьому відбуватиметься таке:

1. Спочатку розділиться ціла частинаякщо вона є;
2. Можливо, буде кілька чисел після десяткової точки;
3. Через деякий час цифри почнуть повторюватися.

От і все! Повторювані цифри після десяткової точки позначаємо періодичною частиною, а те, що стоїть попереду – неперіодичною.

Завдання. Перекладіть звичайні дроби в періодичні десяткові:

Всі дроби без цілої частини, тому просто ділимо чисельник на знаменник «куточком»:

Як бачимо, залишки повторюються. Запишемо дріб у «правильному» вигляді: 1,733...=1,7(3).

Через війну виходить дріб: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записуємо у нормальному вигляді: 4,0909...=4,(09).

Отримуємо дріб: 0,4141...=0,(41).

Перехід від періодичного десяткового дробу до звичайного

Розглянемо періодичний десятковий дріб X = abc (a 1 b 1 c 1). Потрібно перевести її в класичну «двоповерхову». Для цього виконаємо чотири прості кроки:

1. Знайдіть період дробу, тобто. підрахуйте, скільки цифр знаходиться у періодичній частині. Нехай це буде число k;
2. Знайдіть значення виразу X · 10 k. Це рівносильно зрушенню десяткової точки на повний період праворуч - див. урок «Множення та розподіл десяткових дробів»;
3. З отриманого числа треба відняти вихідний вираз. При цьому періодична частина «спалюється» і залишається звичайний дріб;
4. В отриманому рівнянні знайти X. Усі десяткові дроби переводимо у прості.

Завдання. Приведіть до звичайного неправильного дробу числа:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Працюємо з першим дробом: X = 9, (6) = 9,666.

У дужках міститься лише одна цифра, тому період k = 1. Далі множимо цей дріб на 10 k = 10 1 = 10. Маємо:

10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...

Віднімаємо вихідний дріб і розв'язуємо рівняння:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Тепер розберемося з другим дробом. Отже, X = 32, (39) = 32,393939.

Період k = 2, тому множимо все на 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Знову віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаємо до третього дробу: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та сама, тому я просто наведу викладки:

Період k = 1 ⇒ множимо все на 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Нарешті, останній дріб: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Знову ж таки, для зручності періодичні частини відокремлені один від одного пробілами. Маємо:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10000X = 10000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.