Які числа є ірраціональними? Ірраціональне число— це раціональне речове число, тобто. воно не може бути представлене як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m- ціле число, n- натуральне число . Ірраціональне числоможна уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.

Ірраціональне числонеспроможна мати точного значення. Тільки у форматі 3,333333. Наприклад, квадратний корінь із двох - є числом ірраціональним.

Яке число ірраціональне? Ірраціональним числом(на відміну від раціональних) називається нескінченна десяткова неперіодична дріб.

Безліч ірраціональних чиселнайчастіше позначають великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливання. Т.о.:

Тобто. безліч ірраціональних чисел це різниця множин речових і раціональних чисел.

Властивості ірраціональних чисел.

• Сума 2-х неотрицательных ірраціональних чисел то, можливо раціональним числом.
• Ірраціональні числа визначають дедекіндові перерізи у безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає самого великої кількості, а у верхньому немає меншого.
• Будь-яке речовинне трансцендентне число- Це ірраціональне число.
• Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними або трансцендентними.
• Безліч ірраціональних чисел скрізь щільно на числовій прямий: між кожною парою чисел є ірраціональне число.
• Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
• Безліч ірраціональних чисел нескінченно є безліччю 2-ї категорії.
• Результатом кожної арифметичної операції з раціональними числами (крім поділу на 0) є раціональні числа. Результатом арифметичних операцій над ірраціональними числами може стати як раціональне, і ірраціональне число.
• Сума раціонального та ірраціонального чисел завжди буде ірраціональним числом.
• Сума ірраціональних чисел може бути раціональним числом. Наприклад,нехай xірраціональне, тоді y=x*(-1)також ірраціональне; x+y=0,а число 0 раціональне (якщо, наприклад, скласти корінь будь-якого ступеня з 7 і мінус корінь такого ж ступеня із семи, то отримаємо раціональне число 0).

Ірраціональні числа, приклади.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Приклад:
\(4\) - раціональне число,т.к.його можна записати як \(\frac(4)(1)\);
\(0,0157304\) - теж раціональне,т.к.його можна записати у вигляді \(\frac(157304)(10000000)\);
\(0,333(3)…\)-і це раціональне число: можна уявити як \(\frac(1)(3)\);
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) - раціональне, тому що можна уявити як \(\frac(1)(2)\) . Справді, ми можемо провести ланцюжок перетворень \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(=\) \ (\frac(1)(2)\)

Ірраціональне число- Це число, яке неможливо записати у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником.

Неможливо, бо це нескінченнідроби, та ще й неперіодичні. Тому немає таких цілих чисел, які поділилися б один на одного, дали б ірраціональне число.

Приклад:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) -ірраціональне число;
\(π≈3,1415926 ... \) -ірраціональне число;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\)-ірраціональне число.

приклад (Завдання з ОДЕ). Значення якого з виразів є числом раціональним?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2) ((sqrt (9)-sqrt (14)) (sqrt (9) + sqrt (14)));
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Рішення:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - корінь з \(14\) взяти не можна, значить і уявити число як дробу з цілими числами теж не можна, отже число ірраціонально.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14 = -5 \) - Коренів не залишилося, число легко уявити у вигляді дробу, наприклад такий \(\frac(-5)(1)\) , означає воно раціональне.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - Корінь не можна отримати - число ірраціональне.

4) \(sqrt(54)+3sqrt(6)=sqrt(9cdot 6)+3sqrt(6)=3sqrt(6)+3sqrt(6)=6sqrt (6) \) - теж ірраціональне.

1. Доказ є прикладами дедуктивного міркування і від індуктивних чи емпіричних аргументів. Доказ повинен продемонструвати, що твердження, що доводиться, завжди вірне, іноді шляхом перерахування всіх можливих випадків і показуючи, що твердження виконується в кожному з них. Доказ може спиратися на очевидні чи загальноприйняті явища чи випадки, відомі як аксіоми. Попри це доводиться ірраціональність “кореня квадратного з двох”.
2. Втручання топології тут пояснюється самою природою речей, що означає, що суто алгебраїчного способу доказу ірраціональності, зокрема, виходячи з раціональних чисел немає. Ось приклад, за вами право вибору: ….= 2 чи 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Якщо ви приймете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, що вважається “алгебраїчним” підходом, то зовсім не важко показати, що існує n/m ∈ ℚ, яке на нескінченній послідовності є ірраціональним і Кінцевим числом. Це підказує, що ірраціональні числа є замиканням поля ℚ, але це стосується топологічної особливості.
Так для чисел Фібоначчі, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Це лише показує, що існує безперервний гомоморфізм ℚ → I, і можна показати суворо, що існування такого ізоморфізму не є логічним наслідком алгебраїчних аксіом.

Ця властивість відіграє у вирішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння

є функція

де c- Довільна константа.

• 1. Число eірраціонально і навіть трансцендентно. Його трансцендентність було доведено лише 1873 року Шарлем Ермітом. Передбачається, що e- Нормальне число, тобто ймовірність появи різних цифр у його записі однакова.
• 2. Число eє обчислюваним (отже, і арифметичним) числом.

Формула Ейлера, зокрема

5. т.з. "інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"

8. Подання Каталана:

9. Подання через твір:

10. Через числа Белла:

11. Міра ірраціональності числа eдорівнює 2 (що є найменше можливе значення для ірраціональних чисел).

Доказ ірраціональності

Припустимо, що

де a та b - натуральні числа. Враховуючи цю рівність і розглядаючи розкладання в ряд:

отримуємо наступну рівність:

Представимо дану суму у вигляді суми двох доданків, одна з яких - сума членів ряду по nвід 0 до a, а друге - сума решти членів ряду:

Тепер перенесемо першу суму до лівої частини рівності:

Помножимо обидві частини набутої рівності на. Отримаємо

Тепер спростимо отриманий вираз:

Розглянемо ліву частину отриманої рівності. Очевидно, що ціле число. Цілим є і число, оскільки (звідси випливає, що це числа виду цілі). Тим самим ліва частина набутої рівності - ціле число.

Перейдемо тепер до правої частини. Ця сума має вигляд

За ознакою Лейбніца цей ряд сходиться, та його сума Sє речовим числом, укладене між першим доданком і сумою перших двох доданків (зі знаками), тобто.

Обидва ці числа належать між 0 і 1. Отже, тобто. - права частина рівності - може бути цілим числом. Отримали протиріччя: ціле число не може бути рівне числу, яке не є цілим. Це протиріччя доводить, що число eне є раціональним, а отже є ірраціональним.

Матеріал цієї статті є початковою інформацією про ірраціональні числа. Спочатку ми дамо визначення ірраціональних чисел і роз'яснимо його. Далі наведемо приклади ірраціональних чисел. Нарешті, розглянемо деякі підходи до з'ясування, чи є за це числоірраціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади ірраціональних чисел

Під час вивчення десяткових дробів ми окремо розглянули нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби виникають при десятковому вимірі довжин відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Також ми відзначили, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (дивіться переведення звичайних дробів у десяткові і назад), отже, ці числа не є раціональними числами, вони представляють так звані ірраціональні числа.

Так ми підійшли до визначення ірраціональних чисел.

Визначення.

Числа, які в десяткового записуявляють собою нескінченні неперіодичні десяткові дроби, що називаються ірраціональними числами.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади ірраціональних чисел. Наприклад, нескінченний неперіодичний десятковий дріб 4,10110011100011110000… (кількість одиниць і нулів щоразу збільшується на одну) є ірраціональним числом. Наведемо ще приклад ірраціонального числа: −22,353335333335… (кількість трійок, що розділяють вісімки, щоразу збільшується на дві).

Слід зазначити, що ірраціональні числа досить рідко зустрічаються у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Зазвичай вони зустрічаються у вигляді , і т.п., а також у вигляді спеціально введених букв. Найвідомішими прикладами ірраціональних чисел у такому записі є арифметичний квадратний корінь із двох, число «пі» π=3,141592…, число e=2,718281… та золоте число.

Ірраціональні числа також можна визначити через дійсні числа, які поєднують раціональні та ірраціональні числа.

Визначення.

Ірраціональні числа– це дійсні числа, які не є раціональними.

Чи є це число ірраціональним?

Коли число задано над вигляді десяткового дробу, а вигляді деякого , кореня, логарифма тощо., відповісти питанням, чи є воно ірраціональним, у часто досить складно.

Безперечно, при відповіді на поставлене питання дуже корисно знати, які числа не є ірраціональними. З визначення ірраціональних чисел випливає, що ірраціональними числами є раціональні числа. Таким чином, ірраціональними числами НЕ є:

• кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби.

Також не є ірраціональним числом будь-яка композиція раціональних чисел, пов'язаних знаками арифметичних операцій (+, −, ·, :). Це тим, що сума, різницю, добуток і частки двох раціональних чисел є раціональним числом. Наприклад, значення виразів є раціональними числами. Тут же зауважимо, що якщо в подібних виразах серед раціональних чисел міститься одне ірраціональне число, то значення всього виразу буде ірраціональним числом. Наприклад, у виразі число - ірраціональне, а інші числа раціональні, отже - ірраціональне число. Якби було раціональним числом, то з цього випливала б раціональність числа, а воно не є раціональним.

Якщо вираз, яким задано число, містить кілька ірраціональних чисел, знаки кореня, логарифми, тригонометричні функції, числа π, e тощо, то потрібно проводити доказ ірраціональності або раціональності заданого числа в кожному конкретному випадку. Однак існує низка вже отриманих результатів, якими можна скористатися. Перелічимо основні їх.

Доведено, що корінь ступеня k із цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під коренем є k-им ступенем іншого цілого числа, в інших випадках такий корінь задає ірраціональне число. Наприклад, числа і - ірраціональні, тому що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 7 і не існує цілого числа, зведення якого в п'яту ступінь дає число 15 . А числа і є ірраціональними, оскільки і .

Що стосується логарифмів, то довести їхню ірраціональність іноді вдається методом від протилежного. Наприклад доведемо, що log 2 3 є ірраціональним числом.

Припустимо, що log 2 3 раціональне число, а чи не ірраціональне, тобто його можна у вигляді звичайного дробу m/n . і дозволяють записати наступний ланцюжок рівностей: . Остання рівність неможлива, тому що в його лівій частині непарне число, а правої частини – парне. Так ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення виявилося неправильним, і цим доведено, що log 2 3 - ірраціональне число.

Зауважимо, що lna за будь-якого позитивного і відмінному від одиниці раціональному a є ірраціональним числом. Наприклад, і – ірраціональні числа.

Також доведено, що число e a при будь-якому відмінному від нуля раціональному a є ірраціональним, і що π z при будь-якому відмінному від нуля цілому z є ірраціональним. Наприклад, числа – ірраціональні.

Ірраціональними числами також є тригонометричні функції sin, cos, tg і ctg при будь-якому раціональному і відмінному від нуля значенні аргументу. Наприклад, sin1 , tg(−4) , cos5,7 є ірраціональними числами.

Існують і інші доведені результати, на які ми обмежимося вже перерахованими. Слід також сказати, що за доказі озвучених вище результатів застосовується теорія, пов'язана з алгебраїчними числами і трансцендентними числами.

Насамкінець зазначимо, що не варто робити поспішних висновків щодо ірраціональності заданих чисел. Наприклад, здається очевидним, що ірраціональне число в ірраціональному ступені є ірраціональне число. Однак, це не завжди так. Як підтвердження озвученого факту наведемо ступінь. Відомо, що ірраціональне число, а також доведено, що ірраціональне число, але раціональне число. Також можна навести приклади ірраціональних чисел, сума, різницю, твір та приватне яких є раціональні числа. Більше того, раціональність чи ірраціональність чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e та багатьох інших досі не доведена.

Список літератури.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.