Знайти всі раціональні коріння багаточлену онлайн. Рівняння у вищій математиці.Раціональне коріння багаточленів. Схема Горнер. Чи є це число раціональним

Багаточлен від змінної х називається вираз виду: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 де n - натуральне число; аn, an-1, . . . , a 1, a 0 – будь-які числа, звані коефіцієнтами цього многочлена. Вирази anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 називаються членами многочлена, а 0 - вільним членом. an - коефіцієнт при хn, аn-1 - коефіцієнт при хn-1 і т. д. Багаточлен, у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, називається нульовим. наприклад, багаточлен 0х2+0х+0 - нульовий. З запису многочлена видно, що він складається з кількох членів. Звідси і походить термін «багаточлен» (багато членів). Іноді багаточлен називають поліномом. Цей термін походить від грецьких слів πολι - багато і νομχ - член.

Багаточлен від однієї змінної х позначається: . f (x), g (x), h (x) і т. д. наприклад, якщо перший наведених вище багаточленів позначити f (x), то можна записати: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Багаточлен h(x) називається найбільшим спільним дільником багаточленів f(x) та g(x), якщо він ділить f(x), g(x) і кожен їх загальний дільник. 2. Багаточлен f(x) з коефіцієнтами з поля Р ступеня п називається приводним над полем Р, якщо існують багаточлени h(x), g(x) Î P[x] ступеня меншого п такі, що f(x) = h( x) g (x).

Якщо є багаточлен f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 і an≠ 0, то число n називають ступенем багаточлена f(x) (або кажуть: f(x) - n-го ступеня) і пишуть ст. f(x) = n. І тут an називається старшим коефіцієнтом, а anxn - старшим членом даного многочлена. Наприклад, якщо f(x) = 5 x 4 -2 x +3, то ст. f(x) = 4, старший коефіцієнт – 5, старший член – 5 х4. Ступінь многочлена – це найбільший із номерів його коефіцієнтів, відмінних від нуля. Багаточлени нульового ступеня – це числа, відмінні від нуля. нульовий багаточлен ступеня не має; багаточлен f(x) = a, де а - число, відмінне від нуля, має ступінь 0; ступінь ж будь-якого іншого многочлена, що дорівнює найбільшому показнику ступеня змінної х, коефіцієнт при якій дорівнює нулю.

Рівність багаточленів. Два багаточлени f(x) і g(x) вважаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної х і вільні члени (рівні їх відповідні коефіцієнти). f(x) = g(x). Наприклад, багаточлени f(x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 і g(x) =2 x 23 x+1 не рівні, у першого з них коефіцієнт при х3 дорівнює 1, а у другого - нулю ( згідно з прийнятими умовностями ми можемо записати: g (x) = 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. У цьому випадку: f (x) ≠ g (x). x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, оскільки вони коефіцієнти при х різні.

А ось багаточлени f 1 (x) = 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) = 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 рівні тоді і тільки тоді, коли а = 3, а b = -2. Нехай дані багаточлен f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 та деяке число с. Число f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 називається значенням многочлена f(x) при х = с. Таким чином, щоб знайти f (c), багаточлен замість х потрібно підставити з і провести необхідні обчислення. Наприклад, якщо f(x) = 2x3+3x2-x+5, то f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Багаточлен при різних значеннях змінної х може приймати різні значення. Число називається коренем многочлена f (x), якщо f (c) =0.

Звернімо увагу на різницю між двома твердженнями: "багаточлен f(x) дорівнює нулю (або, що те ж саме, багаточлен f(x) - нульовий)" і "значення многочлена f(x) при х=з дорівнює нулю". Наприклад, многочлен f (x) = x 2 -1 не дорівнює нулю, він має ненульові коефіцієнти, яке значення при х=1 дорівнює нулю. f(x) ≠ 0, а f(1) =0. Між поняттями рівності багаточленів та значення багаточлена існує тісний взаємозв'язок. Якщо дані два рівних многочлена f(x) і g(x), то їх відповідні коефіцієнти рівні, а значить, f(c) = g(c) для кожного числа с.

Операції над многочленами Багаточлени можна складати, віднімати та множити за звичайними правилами розкриття дужок та приведення подібних членів. При цьому в результаті знову виходить багаточлен. Зазначені операції мають відомі властивості: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x).

Нехай дано два багаточлени f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, і g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Зрозуміло, що ст. f(x)=n, а ст. g(x) = m. Якщо перемножити ці два многочлени, вийде багаточлен виду f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Оскільки an≠ 0 і bn≠ 0, то anbm≠ 0, отже, ст. (f(x)g(x))=m+n. Звідси випливає важливе твердження.

Ступінь добутку двох ненульових багаточленів дорівнює сумі ступенів співмножників, ст. (f(x)g(x)) = ст. f(x) +ст. g(x). Старший член (коефіцієнт) твору двох ненульових багаточленів дорівнює добутку старших членів (коефіцієнтів) співмножників. Вільний член твору двох багаточленів дорівнює твору вільних членів співмножників. Ступені багаточленів f(x), g(x) та f(x) ±g(x) пов'язані наступним співвідношенням: ст. (f (x) ± g (x)) ≤ max (ст. f (x), ст. g (x)).

Суперпозицією багаточленів f(x) та g(x) називається. багаточлен, що позначається f (g (x)), який виходить якщо в многочлен f (x) замість x підставити многочлен g (x). Наприклад, якщо f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, то f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+ 3=2 x 2+4 x+1. Видно, що f(g(x)) ≠g(f(x)), тобто суперпозиція багаточленів f(x), g(x) та суперпозиція багаточленів g(x), f(x) різні. Таким чином, операція суперпозиції не має властивості переміщування.

, Алгоритм поділу із залишком Для будь-яких f(x), g(x) існують q(x) (приватне) і r(x) (залишок), такі, що f(x)=g(x)q(x)+ r(x), причому ступінь r(x)

Дільники многочлена Дільник багаточлена f(x) - багаточлен g(x), такий, що f(x)=g(x)q(x). Найбільший спільний дільник двох багаточленів Найбільший спільний дільник багаточленів f(x) і g(x) - такий їхній спільний дільник d(x), який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Алгоритм Евкліда (алгоритм послідовного поділу) знаходження найбільшого загального дільника багаточленів f(x) та g(x) Тоді - найбільший спільний дільник f(x) та g(x).

Зменшити дріб Рішення: Знайдемо НОД даних багаточленів, застосовуючи алгоритм Евкліда 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 2) х3 + 7 х2 + 14 х + 8 х3 + 3 х2 + 2 х – х2 – 3 х – 2 –х– 4 4 х2 + 12 х + 8 0 Отже, багаточлен (– х2 – 3 х – 2) є НОД чисельника та знаменника даного дробу. Результат поділу знаменника цей многочлен відомий.

Знайдемо результат поділу чисельника. x 3 + 6 х2 + 11 х + 6 - х2 - 3 х - 2 х3 + 3 х2 + 2 х - х - 3 3 х2 + 9 х + 6 0 Таким чином, Відповідь:

Схема Горнера Розділити із залишком багаточлен f(x) на ненульовий багаточлен g(x) - це означає уявити f(x) у вигляді f(x)=g(x) s(x)+r(x), де s(x) ) і r(x) -багаточлени і або r(x) = 0, або ст. r(x)

Багаточлени, що стоять у лівій та правій частинах цього співвідношення, рівні, а отже, рівні їхні відповідні коефіцієнти. Прирівняємо їх, розкривши попередньо дужки та привівши подібні члени у правій частині цієї рівності. Отримаємо: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0. Нагадаємо, що потрібно знайти неповне приватне, тобто його коефіцієнти і залишок. Виразимо їх із отриманих рівностей: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Ми знайшли формули, якими можна обчислювати коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. При цьому обчислення оформлюються у вигляді наступної таблиці; вона називається схемою Горнера.

Таблиця 1. Коефіцієнти f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Коефіцієнти s(x) залишок У перший рядок цієї таблиці записують поспіль усі коефіцієнти многочлена f(x), залишаючи першу клітину вільною. У другому рядку у першій клітині записують число c. Решта клітин цього рядка заповнюють, обчислюючи один за одним коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. У другій клітині записують коефіцієнт bn-1, який, як ми встановили, дорівнює an.

Коефіцієнт, що стоять у кожній наступній клітині, обчислюються за таким правилом: число c множиться на число, що стоїть у попередній клітині, і до результату додається число, що стоїть над клітиною, що заповнюється. Щоб запам'ятати, скажімо, п'яту клітину, тобто знайти стоїть у ній коефіцієнт, потрібно c помножити на число, що знаходиться в четвертій клітині, і до результату додати число, що стоїть над п'ятою клітиною. Розділимо, наприклад, багаточлен f(x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 на х-2 із залишком, використовуючи схему Горнера. При заповненні першого рядка цієї схеми не можна забувати про нульові коефіцієнти многочлена. Так, коефіцієнти f(x) - це числа 3, 0, - 5, 3, - 1. І ще слід пам'ятати, що ступінь не повного приватного на одиницю менший від ступеня багаточлена f(x).

Отже, виконуємо розподіл за схемою Горнера: Таблиця 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Отримаємо неповне приватне s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 та залишок r=33. зауважимо, що ми обчислили значення многочлена f (2) =33. Розділимо тепер той самий багаточлен f(x) на х+2 із залишком. У цьому випадку с=-2. отримаємо: Таблиця 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 В результаті маємо f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) +21 .

Коріння многочленів Нехай с1, с2, …, сm - Різне коріння многочлена f(x). Тоді f(x) ділиться на х-с1, тобто f(x) = (x-c1) s1(x). Покладемо у цій рівності х=с2. Отримаємо f(c2) = (c2-c1) s1(c2) і, так f(c2) =0, то (с2-с1) s1(c2) =0. Але с2≠с1, тобто с2 -с1≠ 0, а значить, s 1 (c 2) = 0. Отже, с2 - корінь многочлена s 1 (x). Звідси випливає, що s1(x) ділиться на х-с2, тобто s1(x) = (x-c2) s2(x). Підставимо отриманий вираз для s 1 (x) у рівність f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Маємо f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Поклавши в останній рівності х = с3 з урахуванням того, що f (c 3) = 0, с3 с1, с3 с2, отримаємо, що с3 - корінь многочлена s 2 (x). Значить, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), а тоді f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) і т. д. Продовживши ці міркування для коренів, що залишилися, с4, с5, …, сm, ми, нарешті, отримаємо f(x) = (x-c 1) (x-c 2) … (х-сm) sm (x), тобто доведено формулюване нижче твердження.

Якщо с1, с2, …, сm - різне коріння многочлена f(x), то f(x) можна подати у вигляді f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x). Звідси випливає важливе слідство. Якщо с1, с2, …, сm-різне коріння многочлена f(x), то f(x) ділиться на многочлен (х-с1) (х-с2) … (х-сm). Число різних коренів ненульового многочлена f(x) не більше, ніж його ступінь. Справді, якщо f(x) коріння немає, то ясно, що теорема вірна, бо ст. f(x) ≥ 0. Нехай тепер f(x) має m коріння с1, с2, …, сm, причому всі вони різні. Тоді, тільки що доведеному f (x) ділиться на (х-с1) (х -с2) ... (х-сm). У разі ст. f(x)≥ст. ((Х-С1) (Х-С2) ... (Х-Сm)) = ст. (х-с1) + ст. (Х-С2) + ... + Ст. (х-сm) = m, тобто ст. f(x)≥m, а m - це число коренів багаточлена, що розглядається. А ось у нульового багаточлена нескінченно багато коренів, адже його значення для будь-якого х дорівнює 0. Зокрема, з цієї причини йому і не наказують жодного певного ступеня. З щойно доведеної теореми випливає таке твердження.

Якщо многочлен f(x) не є багаточленом ступеня, більшим, ніж n, і має більше, ніж n коренів, то f(x) - нульовий многочлен. Насправді, з умов цього твердження випливає, що f (x) - нульовий многочлен, або ст. f(x) ≤n. Якщо припустити, що многочлен f(x) не нульовий, то ст. f(x) ≤n, і тоді f(x) має не більше, ніж n коренів. Приходимо до суперечності. Значить, f(x) – ненульовий багаточлен. Нехай f(x) і g(x) - ненульові багаточлени ступеня, не більшого, ніж n. Якщо ці многочлени набувають однакових значень при n+1 значенні змінної х, то f (x) = g (x).

Для доказу розглянемо багаточлен h(x) = f(x) – g(x). Зрозуміло, що - або h(x) = 0, або ст. h (x) ≤n, тобто h (x) не є багаточленом ступеня, більшим, ніж n. Нехай тепер число таке, що f (c) = g (c). Тоді h(c) = f(c) - g(c) = 0, тобто з - корінь многочлена h(x). Отже, багаточлен h(x) має n+1 корінь, а коли, як щойно доведено, h(x) = 0, тобто f(x) = g(x). Якщо ж f(x) і g(x) набувають однакових значень при всіх значеннях змінної х, то ці багаточлени рівні

Кратні корені багаточлена Якщо число є коренем багаточлена f (x), цей многочлен, як відомо, ділиться на х-с. Може статися, що f(x) ділиться і на якийсь ступінь багаточлена х-с, Т. е. на (х-с) k, k>1. У цьому випадку називають кратним коренем. Сформулюємо визначення чіткіше. Число називається коренем кратності k (k-кратним коренем) многочлена f (x), якщо многочлен ділиться на (х-с) k, k>1 (k - натуральне число), але не ділиться на (х-с) k+ 1. Якщо k=1, то називають простим коренем, а якщо k>1, - кратним коренем многочлена f (x).

Якщо многочлен f(x) представимо як f(x)=(x-c)mg(x), m - натуральне число, він ділиться на (х-с) m+1 і тоді, коли g(x) ділиться на х-с. Справді, якщо g(x) ділиться на х-с, тобто g(x)=(x-c)s(x), то f(x)=(x-c) m+1 s(x), а отже, f(x) поділяється на (х-с) m+1. Назад, якщо f(x) ділиться на (х-с) m+1, то f(x)=(x-c) m+1 s(x). Тоді (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1 s (x) і після скорочення на (х-с) m отримаємо g (x) = (x-c) s (x). Звідси випливає, що g(x) поділяється на х-с.

З'ясуємо, наприклад, чи є число 2 коренем багаточлена f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, і якщо так, то знайдемо його кратність. Щоб відповісти на перше запитання, перевіримо за допомогою схеми Ґорнера, чи ділиться f(x) на х-2. маємо: Таблиця 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Як бачимо, залишок при розподілі f(x) на х-2 дорівнює 0, тобто ділиться на х-2. Значить, 2-корінь цього многочлена. Крім того, ми отримали, що f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Тепер з'ясуємо, чи є f(x) на (х-2) 2. Це залежить, як ми щойно довели, від ділимості многочлена g(x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12 на х-2.

Знову скористаємося схемою Горнера: Таблиця 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Отримали, що g(x) ділиться на х-2 та g(x)=(x-2)(x 3 -x2 -5x +6). Тоді f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Отже, f(x) ділиться на (х-2) 2 тепер потрібно з'ясувати, чи ділиться f(x) на (x-2)3. Для цього перевіримо, чи ділиться h(x) = x 3 -x 2 -5 x+6 на х-2: Таблиця 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Отримаємо, що h(x) ділиться на х-2, отже, f(x) ділиться на (х-2) 3, і f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Далі аналогічно перевіряємо, чи ділиться f(x) на (х-2)4, тобто чи ділиться s(x)=x 2+x-3 на х-2: Таблиця 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Знаходимо, що залишок при розподілі s(x) на х-2 дорівнює 3, тобто s(x) не поділяється на х-2. Отже, f(x) не поділяється на (х-2) 4. Таким чином, f(x) поділяється на (х-2)3, але не поділяється на (х-2)4. Отже, число 2 є коренем кратності багаточлену 3 f(x).

Зазвичай перевірку кореня на кратність виконують лише у таблиці. Для даного прикладу ця таблиця має такий вигляд: Таблиця 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Іншими словами, за схемою Горнер поділ багаточлена f (x) на х-2, в другому рядку ми отримаємо коефіцієнти многочлена g (x). Потім цей другий рядок вважаємо першим рядком нової системи Горнера і виконуємо розподіл g (x) на х-2 і т. д. продовжуємо обчислення до тих нір, поки не отримаємо залишок, відмінний від нуля. У цьому випадку кратність кореня дорівнює кількості отриманих нульових залишків. У рядку, що містить останній ненульовий залишок, знаходиться і коефіцієнти частки при розподілі f (x) на (x-2) 3.

Тепер, використовуючи щойно запропоновану схему перевірки кореня на кратність, вирішимо наступне завдання. При яких a та b багаточлен f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 має число - 2 коренем кратності 2? Так кратність кореня - 2 повинна дорівнювати 2, то, виконуючи розподіл на х+2 за запропонованою схемою, ми повинні двічі отримати залишок 0, а втретє - залишок, відмінний від нуля. Маємо: Таблиця 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa а+4 а+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Таким чином, число - 2 є коренем кратності 2 вихідного багаточлена тоді і лише тоді, коли

Раціональне коріння многочлена Якщо нескоротний дріб l/m (l, m - цілі числа) є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1. Справді, якщо f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, де an, an-1, . . . , a 1, a 0 - цілі числа, то f(l/m) = 0, тобто аn(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Помножимо обидві частини цієї рівності на mn. Отримаємо anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Звідси випливає anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Бачимо, ціле число anln ділиться на m. Але l/m - нескоротний дріб, тобто числа l і m взаємно прості, а тоді, як відомо з теорії подільності цілих чисел, числа ln і m теж взаємно прості. Отже, anln ділиться на m і m взаємно прості з ln, отже, an ділиться на m. Знайдемо раціональне коріння багаточлена f(x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Відповідно до теореми, раціональне коріння цього многочлена знаходиться серед нескоротних дробів виду l/m, де l - дільник вільного члена a 0 = 8, а m - дільник старшого коефіцієнта a 4 = 6. при цьому, якщо дріб l/m - негативний, то знак "-" відноситимемо до чисельника. Наприклад, - (1/3) = (-1)/3. Отже, можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - позитивний дільник числа 6.

Оскільки дільники числа 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а позитивними дільниками числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональне коріння розглянутого багаточлена знаходиться серед чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. нагадаємо, що ми виписали лише нескоротні дроби. Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" корінням. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які справді є корінням. Наступна теорема полегшує цю роботу. Якщо нескоротний дріб l/m є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то f(k) ділиться на l-km для будь-якого цілого числа k за умови, що l-km≠0.

Для доказу цієї теореми розділимо f(x) на x-k із залишком. Отримаємо f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Оскільки f(x) - багаточлен з цілими коефіцієнтами, то таким є багаточлен s(x), а f(k) - ціле число. Нехай s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Тоді f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Покладемо у цій рівності 1 x=l/m. Враховуючи, що f(l/m)=0, отримуємо f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Помножимо обидві частини останньої рівності на mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). Звідси випливає, що число mnf (k) ділиться на l-km. Але оскільки l і m взаємно прості, то mn і l-km теж взаємно прості, отже, f(k) ділиться на l-km. Теорему доведено.

Повернемося до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше звузимо коло пошуків раціонального коріння. Застосуємо зазначену теорему при k=1 і k=-1, тобто якщо нескоротний дріб l/m є коренем багаточлена f(x), то f(1)/(l-m), а f(-1)/(l +m). Легко знаходимо, що у разі f(1)=-5, а f(-1)= -15. Зауважимо, що заразом ми виключили з розгляду ± 1. Отже раціональне коріння нашого багаточлена слід шукати серед чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Розглянемо l/m=1/2. Тоді l-m=-1 та f(1)=-5 ділиться на це число. Далі, l+m=3 і f(1) =-15 так само ділиться на 3. Значить, дріб 1/2 залишається серед "кандидатів" у корені.

Нехай тепер lm=-(1/2)=(-1)/2. У цьому випадку l-m=-3 і f(1) =-5 не ділиться на - 3. Значить, дріб -1/2 не може бути коренем даного багаточлена, і ми виключаємо його з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожного з виписаних вище дробів, отримаємо, що коріння знаходиться серед чисел 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Таким чином, досить-таки простим прийомом ми значно звузили область пошуку раціональних коренів розглянутого многочлена. Ну, а для перевірки чисел, що залишилися, застосуємо схему Горнера: Таблиця 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Бачимо, що 1/2 - корінь багаточлена f(x) і f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 х 2 -8 х-8). Зрозуміло, що й інші коріння многочлена f(x) збігаються з корінням многочлена g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, отже, подальшу перевірку " кандидатів " в корені можна проводити вже цього многочлена. Знаходимо: Таблиця 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Отримали, що залишок при розподілі g(x) на x-2/3 дорівнює - 80/9, тобто. 2/3 не є коренем многочлена g(x), отже, і f(x). Далі знаходимо, що - 2/3 - корінь многочлена g(x) та g(x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Тоді f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x 2+2 x-4, що звичайно простіше, ніж для g (x) або тим більше для f (x). В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 корінням не є. Отже, багаточлен f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 має два раціональні корені: 1/2 і - 2/3. Цей метод дає можливість знаходити лише раціональне коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами. Тим часом багаточлен може мати і ірраціональне коріння. Так, наприклад, розглянутий у прикладі багаточлен має ще два корені: - 1±√5 (це коріння багаточлена х2+2 х-4). многочлен може і зовсім не мати раціонального коріння.

При випробуванні "кандидатів" у корені багаточлена f(x) за допомогою другої з доведених вище теорем зазвичай використовують останню для випадків k=± 1. Іншими словами, якщо l/m - "кандидат" у корені, то перевіряють, чи f( 1) і f(-1) на l-m та l+m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f(1) =0, т. е. 1 - корінь, тоді f(1) ділиться будь-яке число, і перевірка втрачає сенс. У цьому випадку слід розділити f(x) на x-1, тобто отримати f(x)=(x-1)s(x) і проводити випробування для многочлена s(x). При цьому слід забувати, що один корінь многочлена f(x)-x 1=1 - ми вже знайшли. Якщо перевірці "кандидатів" у корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональне коріння, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, l/m - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f(x)=(x-l/m) ks(x), і подальшу перевірку можна виконувати для s(x), що скорочує обчислення.

Рішення. Виконавши заміну змінної y=2 x, перейдемо до многочлена з коефіцієнтом рівним одиниці за старшого ступеня. Для цього спочатку домножимо вираз на 4. Якщо отримана функція має ціле коріння, то вони знаходяться серед дільників вільного члена. Запишемо їх: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Обчислимо послідовно значення функції g(y) у цих точках до отримання нуля. Тобто, y=-5 є коренем, отже, є коренем вихідної функції. Проведемо поділ стовпчиком (куточком) багаточлена на двочлен

Перевірку дільників, що залишилися, продовжувати недоцільно, так як простіше розкласти на множники отриманий квадратний тричлен Отже,

Використання формул скороченого множення та бінома Ньютона для розкладання багаточлена на множники Іноді зовнішній виглядмногочлена наводить на думку про спосіб розкладання його на множники. Наприклад, після нескладних перетворень коефіцієнти вишиковуються в рядок з трикутника Паскаля для коефіцієнтів бінома Ньютона. приклад. Розкласти багаточлен на множники.

Рішення. Перетворюємо вираз до виду: Послідовність коефіцієнтів суми в дужках явно вказують, що це є. Отже, Тепер застосуємо формулу різниці квадратів: Вираз у другій дужці дійсний коренів не має, а для багаточлена з першої дужки ще раз застосуємо формулу різниці квадратів

Формули Виета виражають коефіцієнти многочлена через його коріння. Цими формулами зручно користуватися для перевірки правильності знаходження коріння багаточлена, а також для складання багаточлена за заданим корінням. Формулювання Якщо коріння многочлена то коефіцієнти виражаються у вигляді симетричних багаточленів від коренів, а саме

Іншими словами ak дорівнює сумі всіх можливих творів з k коренів. Якщо старший коефіцієнт многочлена, то застосування формули Вієта необхідно попередньо розділити всі коефіцієнти на a 0. І тут формули Виета дають вираз відносин всіх коефіцієнтів до старшому. З останньої формули Вієта випливає, що якщо коріння багаточлена цілечисленне, то вони є дільниками його вільного члена, який також цілочисленний. Доказ здійснюється розглядом рівності, отриманої розкладанням багаточлена по корінням, враховуючи, що a 0 = 1 Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x одержуємо формули Вієта.

Розв'язати рівняння x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Розв'язання. Позначимо y = x 3, тоді вихідне рівняння набуває вигляду y 2 – 5 y + 4 = 0, вирішивши яке отримуємо Y 1 = 1; Y 2 = 4. Отже, вихідне рівняння еквівалентно сукупності рівнянь: x 3 = 1 чи x 3 = 4, т. е. X 1 = 1 чи X 2 = Відповідь: 1;

Теорема Безу Визначення 1. Елемент називається коренем багаточлена, якщо f(c)=0. Теорема Безу. Залишок від поділу полінома Pn(x) на двочлен (x-a) дорівнює значенню цього полінома при x = a. Доведення. У силу алгоритму розподілу f(x)=(xc)q(x)+r(x), де або r(x)=0, або тому. Отже, f(x)=(x-c)q(x)+r, отже, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, і тому f(x)=(xc)q(x) +f(c).

Наслідок 1: Залишок від поділу полінома Pn (x) на двочлен ax+b дорівнює значенню цього полінома при x = -b/a, тобто R = Pn (-b/a). Наслідок 2: Якщо число a є коренем многочлена P (x), цей многочлен ділиться на (x-a) без залишку. Наслідок 3: Якщо многочлен P(x) має попарно різне коріння a 1 , a 2 , … , an, він ділиться на твір (x-a 1) … (x-an) без залишку. Наслідок 4: Багаточлен ступеня n має трохи більше n різних коренів. Наслідок 5: Для будь-якого многочлена P(x) та числа a різниця (P(x)-P(a)) ділиться без залишку на двочлен (x-a). Наслідок 6: Число a є коренем многочлена P(x) ступеня не нижче першого і тільки тоді, коли P(x) ділиться на (x-a) без залишку.

Розклад раціонального дробу на найпростіші Покажемо, що будь-який правильний раціональний дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів. Нехай дано правильний раціональний дріб (1).

Теорема 1. Нехай х=а є корінь знаменника стислості k, тобто , де f(a)≠ 0, тоді цей правильний дріб можна подати у вигляді суми двох інших правильних дробів наступним чином: (2) , де А- постійна не рівна нулю, а F 1(x) - багаточлен, ступінь якого нижче ступеня знаменника

де багаточлен, ступінь якого нижчий від ступеня знаменника. І аналогічно до попередньої формули можна отримати: (5)

Як ми вже зазначали, однією з найважливіших завдань теорії багаточленів є завдання відшукання їх коренів. Для вирішення цього завдання можна використовувати метод підбору, тобто. брати навмання число і перевіряти, чи воно корінням даного многочлена.

При цьому можна досить швидко натрапити на корінь, а можна і ніколи його не знайти. Адже перевірити всі числа неможливо, тому що їх дуже багато.

Інша річ, якби нам удалося звузити область пошуку, наприклад знати, що коріння знаходиться, скажімо, серед тридцяти вказаних чисел. А для тридцяти чисел можна і зробити перевірку. У зв'язку з усім сказаним вище важливим та цікавим видається таке твердження.

Якщо нескоротний дріб l/m (l,m - цілі числа) є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1.

Справді, якщо f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, де an, an-1,...,a1, a0 - цілі числа, то f (l/m) = 0, тобто аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Помножимо обидві частини цієї рівності на mn. Отримаємо anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Звідси випливає:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Бачимо, ціле число anln ділиться на m. Але l/m - нескоротний дріб, тобто. числа l і m взаємно прості, тоді, як відомо з теорії ділимості цілих чисел, числа ln і m теж взаємно прості. Отже, anln ділиться на m і m взаємно прості з ln, отже, an ділиться на m.

Доведена тема дозволяє значно звузити область пошуку раціонального коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Знайдемо раціональне коріння багаточлена f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Відповідно до теореми, раціональне коріння цього многочлена знаходиться серед нескоротних дробів виду l/m, де l - дільник вільного члена a0 = 8, а m - дільник старшого коефіцієнта a4 = 6. при цьому, якщо дріб l/m - негативний, то знак "-" відноситимемо до чисельника. Наприклад, - (1/3) = (-1)/3. Отже, можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - позитивний дільник числа 6.

Оскільки дільники числа 8 - це ±1, ±2, ±4, ±8, а позитивними дільниками числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональне коріння розглянутого багаточлена знаходиться серед чисел ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. нагадаємо, що ми виписали лише нескоротні дроби.

Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" корінням. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які справді є корінням. Але знову-таки доведеться зробити чимало перевірок. А ось наступна теорема полегшує цю роботу.

Якщо нескоротний дріб l/m є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то f(k) ділиться на l-km для будь-якого цілого числа k за умови, що l-km?0.

Для доказу цієї теореми розділимо f(x) на x-k із залишком. Отримаємо f (x) = (x-k) s (x) +f (k).Так як f(x) - багаточлен з цілими коефіцієнтами, то таким є многочлен s(x), а f(k) - ціле число. Нехай s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Тоді f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Покладемо у цій рівності x=l/m. Враховуючи, що f (l/m) = 0, отримуємо

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Помножимо обидві частини останньої рівності на mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Звідси випливає, що число mnf (k) ділиться на l-km. Але оскільки l і m взаємно прості, то mn і l-km теж взаємно прості, отже, f(k) ділиться на l-km. Теорему доведено.

Повернемося тепер до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше звузимо коло пошуків раціонального коріння. Застосуємо зазначену теорему при k=1 і k=-1, тобто. якщо нескоротний дріб l/m є коренем багаточлена f(x), то f(1)/(l-m), а f(-1)/(l+m). Легко знаходимо, що у разі f(1) =-5, а f(-1) =-15. Зауважимо, що заразом ми виключили з розгляду ±1.

Отже раціональне коріння нашого багаточлена слід шукати серед чисел ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Розглянемо l/m=1/2. Тоді l-m=-1 та f(1)=-5 ділиться на це число. Далі, l+m=3 і f(1) =-15 так само ділиться на 3. Значить, дріб 1/2 залишається серед "кандидатів" у корені.

Нехай тепер lm = - (1/2) = (-1) /2. У цьому випадку l-m=-3 і f(1) =-5 не ділиться на - 3. Значить, дріб - 1/2 не може бути коренем даного багаточлена, і ми виключаємо його з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожного з виписаних вище дробів, отримаємо, що коріння знаходиться серед чисел 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Таким чином, досить-таки простим прийомом ми значно звузили область пошуку раціонального коріння аналізованого многочлена. Ну, а для перевірки решти чисел застосуємо схему Горнера:

Таблиця 10

Отримали, що залишок при розподілі g(x) на x-2/3 дорівнює - 80/9, тобто 2/3 не є коренем багаточлена g(x), а значить, і f(x).

Далі легко знаходимо, що - 2/3 - корінь багаточлена g(x) та g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тоді f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x2+2x-4, що, звичайно, простіше, ніж g(x) або тим більше f(x). В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 корінням не є.

Отже, багаточлен f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 має два раціональні корені: 1/2 і - 2/3.

Нагадаємо, що описаний вище метод дає можливість знаходити лише раціональне коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами. Тим часом багаточлен може мати і ірраціональне коріння. Так, наприклад, розглянутий у прикладі багаточлен має ще два корені: - 1±v5 (це коріння багаточлена х2+2х-4). А, взагалі кажучи, багаточлен може і зовсім не мати раціонального коріння.

Тепер дамо кілька порад.

При випробуванні "кандидатів" у корені багаточлена f(x) за допомогою другої з доведених вище теорем зазвичай використовують останню для випадків k=±1. Іншими словами, якщо l/m - "кандидат" у корені, то перевіряють, чи f (1) і f (-1) ділиться на l-m і l+m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f(1) = 0, тобто 1 - корінь, а тоді f(1) ділиться на будь-яке число, і наша перевірка втрачає сенс. І тут слід розділити f (x) на x-1, тобто. отримати f(x) = (x-1) s(x), і проводити випробування для многочлена s(x). При цьому не слід забувати, що один корінь багаточлена f(x) – x1=1 – ми вже знайшли. Якщо при перевірці "кандидатів" у корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональне коріння, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, l/m - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f(x) = (x-l/m) ks(x), і подальшу перевірку можна виконувати для s(x), що скорочує обчислення.

Таким чином, ми навчилися знаходити раціональне коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами. Виявляється, тим самим ми навчилися знаходити ірраціональне коріння багаточлена з раціональними коефіцієнтами. Справді, якщо ми маємо, наприклад, багаточлен f(x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, то, привівши коефіцієнти до спільного знаменника та внісши його за дужки, отримаємо f(x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Зрозуміло, що коріння многочлена f(x) збігаються з корінням багаточлена, що стоїть у дужках, а в нього коефіцієнти - цілі числа. Доведемо, наприклад, що sin100 – число ірраціональне. Скористаємося відомою формулою sin3?=3sin?-4sin3?. Звідси sin300 = 3sin100-4sin3100. З огляду на те, що sin300=0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8sin3100-6sin100+1=0. Отже, sin100 є коренем багаточлена f(x) = 8x3-6x+1. Якщо ж ми шукатимемо раціональне коріння цього багаточлена, то переконаємося, що їх немає. Отже, корінь sin100 є раціональним числом, тобто. sin100 – число ірраціональне.

Нехай

- багаточлен ступеня n ≥ 1 від дійсної чи комплексної змінної z з дійсними чи комплексними коефіцієнтами a i . Приймемо докази таку теорему.

Теорема 1

Рівняння P n (z) = 0має хоча б один корінь.

Доведемо наступну лему.

Лемма 1

Нехай P n (z)- багаточлен ступеня n, z 1 - корінь рівняння:
P n (z 1) = 0.
Тоді P n (z)можна уявити єдиним способом у вигляді:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
де P n- 1 (z)- багаточлен ступеня n - 1 .

Доведення

Для доказу, застосуємо теорему (див. Ділення та множення багаточлена на багаточлен куточком та стовпчиком), згідно з якою для будь-яких двох багаточленів P n (z)і Q k (z), ступенів n і k , причому n ≥ k існує єдине уявлення у вигляді:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
де P n-k (z)- багаточлен ступеня n-k, U k- 1 (z)- багаточлен ступеня не вище k- 1 .

Покладемо k = 1 , Q k (z) = z - z 1тоді
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
де c – постійна. Підставимо сюди z = z 1 та врахуємо, що P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Звідси c = 0 . Тоді
P n ,
що і потрібно було довести.

Розкладання багаточлена на множники

Отже, на підставі теореми 1 багаточлен P n (z)має хоча б один корінь. Позначимо його як z 1 , P n (z 1) = 0. Тоді на підставі леми 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Далі, якщо n > 1 , то многочлен P n- 1 (z)також має хоча б один корінь, який позначимо як z 2 , P n- 1 (z 2) = 0. Тоді
P n- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Продовжуючи цей процес, ми приходимо до висновку, що існує n чисел z 1, z 2, ..., z nтаких, що
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Але P 0 (z)– це постійна. Прирівнюючи коефіцієнти при z n , знаходимо, що вона дорівнює a n . В результаті одержуємо формулу розкладання багаточлена на множники:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Числа z i є корінням багаточлена P n (z).

У загальному випадку не всі z i , що входять до (1) , Різні. Серед них можуть бути однакові значення. Тоді розкладання багаточлена на множники (1) можна записати у вигляді:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Тут z i ≠ z j при i ≠ j. Якщо n i = 1 , то корінь z i називається простим. Він входить у розкладання на множники у вигляді (z-z i ). Якщо n i > 1 , то корінь z i називається кратним коренем кратності n i . Він входить у розкладання на множники у вигляді добутку n i простих множників: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Багаточлени з дійсними коефіцієнтами

Лемма 2

Якщо - комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то комплексно пов'язане число також є коренем многочлена, .

Доведення

Дійсно, якщо , і коефіцієнти многочлена - дійсні числа, то.

Таким чином, комплексне коріння входить у розкладання на множниками парами зі своїми комплексно пов'язаними значеннями:
,
де , - Реальні числа.
Тоді розкладання (2) багаточлена з дійсними коефіцієнтами на множники можна подати у вигляді, в якому присутні тільки дійсні постійні:
(3) ;
.

Методи розкладання багаточлена на множники

З урахуванням сказаного вище, для розкладання многочлена на множники потрібно знайти все коріння рівняння P n (z) = 0 і визначити їхню кратність. Множники з комплексним корінням потрібно згрупувати з комплексно сполученим. Тоді розкладання визначається за формулою (3) .

Таким чином, метод розкладання багаточлена на множники полягає в наступному:
1. Знаходимо корінь z 1 рівняння P n (z 1) = 0.
2.1. Якщо корінь z 1 дійсний, то в розкладання додаємо множник (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1 (z), починаючи з пункту (1) , Поки не знайдемо все коріння.
2.2. Якщо корінь комплексний, те й комплексно сполучене число є коренем багаточлена. Тоді до розкладання входить множник

,
де b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
У цьому випадку, в розкладання додаємо множник (z 2 + b 1 z + c 1)і ділимо багаточлен P n (z) на (z 2 + b 1 z + c 1). В результаті отримуємо багаточлен ступеня n - 2 :
.
Далі повторюємо процес для многочлена P n- 2 (z), починаючи з пункту (1) , Поки не знайдемо все коріння.

Знаходження коріння багаточлена

Головним завданням, при розкладанні многочлена на множники є знаходження його коріння. На жаль, не завжди це можна зробити аналітично. Тут ми розберемо кілька випадків, коли можна знайти коріння багаточлену аналітично.

Коріння багаточлена першого ступеня

Багаточлен першого ступеня – це лінійна функція. Вона має один корінь. Розкладання має тільки один множник, що містить змінну z:
.

Коріння багаточлена другого ступеня

Щоб знайти коріння багаточлена другого ступеня, потрібно розв'язати квадратне рівняння:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Якщо дискримінант , то рівняння має два дійсні корені:
, .
Тоді розкладання на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант D = 0 , то рівняння має один дворазовий корінь:
;
.
Якщо дискримінант D< 0 , то коріння рівняння комплексне,
.

Багаточлени ступеня вище за другий

Існують формули для знаходження коренів багаточленів 3-го і 4-го ступенів. Проте ними рідко користуються, оскільки вони є громіздкими. Формул для знаходження коренів багаточленів ступеня вище 4-го немає. Незважаючи на це, в деяких випадках вдається розкласти багаточлен на множники.

Знаходження цілого коріння

Якщо відомо, що багаточлен, у якого коефіцієнти - цілі числа, має цілий корінь, його можна знайти, перебравши всі можливі значення.

Лемма 3

Нехай багаточлен
,
коефіцієнти a i якого - цілі числа, що має цілий корінь z 1 . Тоді цей корінь є дільником числа a 0 .

Доведення

Перепишемо рівняння P n (z 1) = 0у вигляді:
.
Тоді - ціле,
M z 1 = - a 0.
Розділимо на z 1 :
.
Оскільки M – ціле, то і – ціле. Що і потрібно було довести.

Тому, якщо коефіцієнти многочлена - цілі числа, можна спробувати знайти цілі коріння. Для цього потрібно знайти всі дільники вільного члена 0 і, підстановкою рівняння P n (z) = 0, перевірити, чи є вони корінням цього рівняння.
Примітка. Якщо коефіцієнти многочлена - раціональні числа, то помножуючи рівняння P n (z) = 0на загальний знаменник чисел a i отримаємо рівняння для многочлена з цілими коефіцієнтами.

Знаходження раціонального коріння

Якщо коефіцієнти многочлена - цілі числа і цілих коренів немає, то за a n ≠ 1 , можна спробувати знайти раціональне коріння. Для цього потрібно зробити підстановку
z = y/a n
і помножити рівняння на a n n- 1 . В результаті ми отримаємо рівняння для багаточлена від змінної y з цілими коефіцієнтами. Далі шукаємо ціле коріння цього багаточлена серед дільників вільного члена. Якщо ми знайшли такий корінь y i , то перейшовши до змінної x , отримуємо раціональний корінь
z i = y i / a n.

Корисні формули

Наведемо формули, з допомогою яких можна розкласти многочлен на множники.

У більш загальному випадку, щоб розкласти багаточлен
P n (z) = z n - a 0,
де a 0 - комплексне, потрібно знайти все його коріння, тобто розв'язати рівняння:
z n = a 0 .
Це рівняння легко вирішується, якщо виразити a 0 через модуль r і аргумент?
.
Оскільки a 0 не зміниться, якщо до аргументу додати 2 π, то представимо a 0 у вигляді:
,
де k – ціле. Тоді
;
.
Присвоюючи значення k k = 0, 1, 2, ... n-1, Отримуємо n коренів многочлена. Тоді його розкладання на множники має вигляд:
.

Біквадратний багаточлен

Розглянемо біквадратний багаточлен:
.
Біквадратний багаточлен можна розкласти на множники, без коріння.

При , маємо:

,
де.

Бікубічний та багаточлени, що приводяться до квадратного

Розглянемо багаточлен:
.
Його коріння визначається з рівняння:
.
Воно наводиться до квадратному рівняннюпідстановкою t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Вирішивши це рівняння, знайдемо його коріння, t 1 , t 2 . Після чого знаходимо розкладання у вигляді:
.
Далі методом, наведеним вище, розкладаємо на множники z n - t 1 і z n - t 2 . У висновку групуємо множники, що містять комплексно пов'язані корені.

Поворотні багаточлени

Багаточлен називається зворотнимякщо його коефіцієнти симетричні:

Приклад зворотного багаточлена:
.

Якщо ступінь зворотного многочлена n - непарна, такий многочлен має корінь z = -1 . Розділивши такий багаточлен на z + 1 , отримаємо зворотний багаточлен ступеня

При розв'язанні рівнянь і нерівностей нерідко виникає необхідність розкласти на множники многочлен, ступінь якого дорівнює трьом або вищим. У цій статті ми розглянемо, як це зробити найпростіше.

Як завжди, звернемося за допомогою до теорії.

Теорема Безустверджує, що залишок від розподілу многочлена на двочлен дорівнює .

Але для нас важлива не сама теорема, а слідство з неї:

Якщо число є коренем многочлена, то многочлен ділиться без залишку двочлен.

Перед нами стоїть завдання якимось способом знайти хоча б один корінь багаточлена, потім розділити багаточлен на , де - корінь багаточлена. В результаті ми отримуємо багаточлен, ступінь якого на одиницю менший, ніж рівень вихідного. А потім за потреби можна повторити процес.

Це завдання розпадається на дві: як знайти корінь багаточлена, і як розділити багаточлен на двочлен.

Зупинимося докладніше цих моментах.

1. Як знайти корінь багаточлена.

Спочатку перевіряємо, чи є числа 1 і -1 корінням багаточлена.

Тут нам допоможуть такі факти:

Якщо сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює нулю, число є коренем многочлена.

Наприклад, у многочлен сума коефіцієнтів дорівнює нулю: . Легко перевірити, що коріння багаточлена.

Якщо сума коефіцієнтів многочлена при парних ступенях дорівнює сумі коефіцієнтів при непарних ступенях, число є коренем многочлена.Вільний член вважається коефіцієнтом при парному ступені, оскільки , а - парне число.

Наприклад, в многочлен сума коефіцієнтів при парних ступенях : , і сума коефіцієнтів при непарних ступенях : . Легко перевірити, що коріння багаточлена.

Якщо ні 1, ні -1 є корінням многочлена, то рухаємося далі.

Для наведеного багаточлена ступеня (тобто багаточлена, в якому старший коефіцієнт - коефіцієнт при - дорівнює одиниці) справедлива формула Вієта:

Де - коріння багаточлена.

Є ще формул Вієта, що стосуються інших коефіцієнтів многочлена, але нас цікавить саме ця.

З цієї формули Вієта випливає, що якщо коріння багаточлена цілочисленні, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим числом.

Виходячи з цього, нам треба розкласти вільний член багаточлена на множники, і послідовно, від меншого до більшого, перевіряти, який із множників є коренем багаточлена.

Розглянемо, наприклад, багаточлен

Дільники вільного члена: ; ; ;

Сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює , отже, число 1 перестав бути коренем многочлена.

Сума коефіцієнтів при парних ступенях:

Сума коефіцієнтів при непарних ступенях:

Отже, число -1 також є коренем многочлена.

Перевіримо, чи є число 2 коренем багаточлена: отже, число 2 є коренем багаточлена. Отже, за теоремою Безу, багаточлен ділиться без залишку на двочлен.

2. Як поділити багаточлен на двочлен.

Багаточлен можна розділити на двочлен стовпчиком.

Розділимо багаточлен на двочлен стовпчиком:

Є й інший спосіб розподілу многочлена на двочлен – схема Горнера.

Подивіться це відео, щоб зрозуміти, як ділити багаточлен на двочлен стовпчиком і за допомогою схеми Горнера.

Зауважу, що й при розподілі стовпчиком якась ступінь невідомого у вихідному многочлене відсутня, її місці пишемо 0 - як і, як із складанні таблиці для схеми Горнера.

Отже, якщо нам потрібно розділити багаточлен на двочлен і в результаті поділу ми отримуємо багаточлен, то коефіцієнти ми можемо знайти за схемою Горнера:

Ми також можемо використовувати схему Горнерадля того, щоб перевірити, чи є дане число коренем багаточлена: якщо число є коренем багаточлена , то залишок від поділу багаточлена дорівнює нулю, тобто в останньому стовпці другого рядка схеми Горнера ми отримуємо 0.

Використовуючи схему Горнера, ми "вбиваємо двох зайців": одночасно перевіряємо, чи є число коренем багаточлена і ділимо цей багаточлен на двочлен.

приклад.Вирішити рівняння:

1. Випишемо дільники вільного члена, і шукатимемо коріння багаточлена серед дільників вільного члена.

Дільники числа 24:

2. Перевіримо, чи є число 1 коренем багаточлена.

Сума коефіцієнтів многочлена, отже, число 1 є коренем многочлена.

3. Розділимо вихідний багаточлен на двочлен за допомогою схеми Горнера.

А) Випишемо у перший рядок таблиці коефіцієнти вихідного многочлена.

Оскільки член, що містить відсутня, у тому стовпці таблиці, у якому має стояти коефіцієнт при пишем 0. Зліва пишемо знайдений корінь: число 1.

Б) Заповнюємо перший рядок таблиці.

В останньому стовпці, як і очікувалося, ми отримали нуль, ми розділили вихідний багаточлен на двочлен без залишку. Коефіцієнти многочлена, що у результаті поділу зображені синім кольором у другому рядку таблиці:

Легко перевірити, що числа 1 і -1 не є корінням багаточлена

В) Продовжимо таблицю. Перевіримо, чи є число 2 коренем багаточлена:

Так ступінь многочлена, який виходить в результаті розподілу на одиницю менше ступеня вихідного багаточлена, отже кількість коефіцієнтів і кількість стовпців на одиницю менше.

В останньому стовпці ми отримали -40 - число, що не дорівнює нулю, отже, багаточлен ділиться на двочлен із залишком, і число 2 не є коренем багаточлена.

В) Перевіримо, чи є число -2 коренем багаточлена. Так як попередня спроба виявилася невдалою, щоб не було плутанини з коефіцієнтами, я зітру рядок, що відповідає цій спробі:

Чудово! У залишку ми отримали нуль, отже, багаточлен розділився на двочлен без залишку, отже, число -2 є коренем багаточлена. Коефіцієнти многочлена, який у результаті поділу многочлена на двучлен у таблиці зображені зеленим кольором.

В результаті поділу ми отримали квадратний тричлен , коріння якого легко знаходиться за теоремою Вієта:

Отже, коріння вихідного рівняння:

{}

Відповідь: ( }

Якщо багаточлен

Доведення

Нехай усі коефіцієнти многочлена є цілими числами, і нехай ціле число a є коренем цього багаточлена. Тому що в цьому випадку звідси випливає, що коефіцієнт ділиться на a.

Зауваження. Ця теорема фактично дозволяє знаходити коріння багаточленів вищих ступенів у тому випадку, коли коефіцієнти цих багаточленів – цілі числа, а корінь – раціональне число. Теорему можна переформулювати так: якщо нам відомо, що коефіцієнти многочлена - цілі числа, а коріння його - раціональні, то це раціональне коріння може бути тільки виду де p є дільником числа (вільного члена), а число q є дільником числа (старшого коефіцієнта) .

Теорема про ціле коріння,що містить у собі

Якщо ціле число α – корінь багаточлена з цілими коефіцієнтами, то α – дільник його вільного члена.

Доведення. Нехай:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

багаточлен з цілими коефіцієнтами і ціле число α - його корінь.

Тоді визначення кореня виконується рівність P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Виносячи загальний множник α за дужки, отримаємо рівність:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , звідки

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Оскільки числа a 0 , a 1 ,…a n-1 , an і α −цілі, то дужці стоїть ціле число, отже, a n ділиться, на α, як і вимагалося довести.

Доведена теорема може бути сформульована і таким чином: кожен цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.
На теоремі заснований алгоритм пошуку цілого коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами: виписати всі дільники вільного члена і по черзі виписати значення багаточленів цих чисел.

2.Додаткова теорема про ціле коріння

Якщо ціле число α-корінь багаточлена P(x) з цілими коефіцієнтами, то α-1-ділитель числа P(1), α+1-ділитель числа P(-1)

Доведення.З тотожності

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

випливає, що з цілих чисел b і c число bⁿ-cⁿ ділиться на b∙c. Але для будь-якого багаточлена P різниця

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, отже, для многочлена P з цілими коефіцієнтами і цілих чисел b і c різниця P(b)-P(c) поділяється на b-c.

Потім: при b = α, з = 1, P (α)-P (1) = -P (1), а значить, P (1) ділиться на α-1. Аналогічно розглядається другий випадок.

Схема Горнера

Теорема:Нехай нескоротний дріб p/q є коренем рівняння a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 з цілими коефіцієнтами, тоді число q є дільником старшого коефіцієнта a0, а число р є дільником вільного члена an.

Зауваження 1. Будь-який корінь рівняння з цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.

Зауваження 2.Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, всі раціональні коріння, якщо вони існують - цілі.

Корінь багаточлена.Коренем багаточлена f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , таке, що f (c)=0 .

Примітка 3.Якщо x = c корінь багаточлена , то багаточлен можна записати у вигляді: f(x)=(x−c)q(x) , де це приватне від поділу багаточлена f(x) на одночлен x - c

Розподіл багаточлена на одночлен можна виконати за схемою Горнера:

Якщо f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , то при розподілі f (x) на g (x) приватне q(x) має вигляд q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , де b 0 =a 0 ,

b k = c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1.Залишок r знаходиться за формулою r=c b n − 1 +a n

Рішення:Коефіцієнт при старшому ступені дорівнює 1, тому цілі корені рівняння треба шукати серед дільників вільного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. використовуючи схему Горнера, знайдемо цілі корені рівняння:

Якщо один корінь підібраний за схемою Горнера. то можна далі вирішувати так x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3