Кільце поліномів із цілими коефіцієнтами. Кінцеві поля, засновані на кільцях багаточленів. Багаточлени від однієї змінної над полем

Кільце багаточленів над полем (на відміну від багаточленів над кільцем) має ряд специфічних властивостей, близьких до властивостей кільця цілих чисел Z . Подільність багаточленів. Добре відомий для многочленів над полем R спосіб поділу "кутом" використовує тільки арифметичні дії над коефіцієнтами і тому застосовуємо багаточленів над будь-яким полем k. Він дає можливість для двох ненульових багаточленів p,sk [x] побудувати такі багаточлени q (неповне приватне) і r (залишок), що p = q * s + r, причому або r = 0, або deg (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Слідство. Будь-який ідеал у кільці багаточленів над полем є основним. Справді, нехай p - ОНД всіх многочленів, які входять у ідеал I. Тоді, де За визначенням ідеалу звідси випливає, що, отже, I =(p). Розкладання на множники. Нехай до деяке поле, p, q, s - багаточлени над k. Якщо p=q*s, причому обидва многочлени q і s мають ступінь менший, ніж p, то многочлен p називається приводним (над полем k). В іншому випадку p ненаводимо. Неприводимый багаточлен у кільці k[x] є аналогом простого числа у кільці Z . Зрозуміло, кожен ненульовий многочлен p= можна розкласти на твір: p= *, де все многочлени неприведені над k і мають старший коефіцієнт рівний 1. Можна довести, що таке розкладання єдино з точністю до порядку співмножників. Зрозуміло, серед цих множників можуть бути однакові; такі множники називаються кратними. Об'єднуючи кратні множники можна те саме розкладання записати як: p= 0. Приклади. 1. . Зауважимо, що багаточлени першого ступеня визначення неприведені над будь-яким полем. Множник х є кратним, інші - прості. 2. Багаточлен не наводиться над полем Q раціональних чисел. Справді, якщо ()=(x-a)*q, то підставляючи цю рівність x=a, отримуємо: , що неможливо для якого раціонального числа a. Той самий многочлен над полем R речових чисел наводимо: , причому другий множник має негативний дискримінант і далі не розкладемо над R . Зрештою, над полем C комплексних чиселмаємо: , де = - кубічний корінь з 1. У цьому прикладі бачимо, що поняття приводимості істотно залежить від цього над яким полем розглядається многочлен. Властивості багаточленів, що не наводяться. 1 .Якщо p-неприводимий багаточлен і d = ОНД (p, q) 1, то p | q. Справді, p = d*s і якщо deg(s)>0, це суперечить неприводимости p, і якщо deg(s)=0, то d | QP | q. 2. Якщо p | і p ненаводимо, або p | чи p | . Справді, інакше НОД(p,) = НОД(p,) =1 і тому з основний теоремі теорії подільності, звідки: отже, тобто НОД(p,)=1 і, отже, deg(p)=0 .

3. Кільце многочленів над областю цілісності.

Далі будемо розглядати тільки багаточлени з коефіцієнтами в галузі цілісності K (кільце без дільників нуля називають областю цілісності), тобто. з кільця K, у якому добуток двох елементів може дорівнювати нулю, якщо один із співмножників дорівнює нулю. Це завжди буде матися на увазі, навіть якщо не буде обговорено спеціально.

При добутку багаточленів ступеня n та ступеня m старший член, як випливає з формули (2), дорівнює (це коефіцієнт при ). Так як в кільці немає дільників нуля, то, отже, . З нашого міркування випливає також, що

Ця формула є уточненням нерівності (5) для випадку, коли у кільці K немає дільників нуля. Формула (6) також справедлива і тоді, коли один із багаточленів f(x), g(x) або вони обидва дорівнюють нулю. Отже, добуток двох ненульових багаточленів - ненульовий багаточлен, тому справедлива така теорема:

Теорема 1. Кільце многочленів над областю цілісності є областю цілісності.

Дане нами алгебраїчне визначення многочлена не містить жодної згадки про функції. Проте, з кожним многочленом над областю цілісності K можна зв'язати природним чином функцію, яка визначена на K і приймає значення в K.

Нехай - багаточлен із коефіцієнтами з K. Для будь-якого покладемо

де вираз у правій частині розуміється як результат операцій у кільці K. Одержуваний при цьому елемент називається значенням многочлена f(x) у точці x0. (Слово "крапка" використовується за аналогією з випадком , коли x0 можна представляти як точку дійсної осі.) Таким чином, кожному елементу x0 кільця K зіставляється елемент f(x0) того ж кільця і ​​тим самим визначається функція на K зі значеннями K.

Покажемо, що додавання та множення багаточленів узгоджуються зі звичайними операціями, що проводяться над функціями, коли складаються або, відповідно, перемножуються значення функцій у кожній точці.

Розглянемо два многочлени: , . Нехай h(x) = f(x) + g(x) – їх сума. Доведемо, що h(x0)= =f(x0) + g(x0) для кожного. Відповідно до формули (1) = , де , Що і потрібно довести.

Нехай тепер - добуток багаточленів f(x) і g(x). Доведемо, що для кожного . Перемножимо рівності , . Користуючись властивостями операцій у кільці K (зокрема, комутативністю та асоціативністю множення), отримаємо: , де . Порівняння отриманого результату з формулою (2) дозволяє зробити висновок, що .

Таким чином, функція, що визначається сумою (відповідно добутком) двох багаточленів, є сума (відповідно добуток) функцій, що визначаються цими багаточленами.

Взагалі кажучи, відповідність між многочленами і ними функціями не є взаємно однозначним. Проте, якщо кільце K нескінченно, то різним многочленам з кільця K[x] завжди відповідають різні функції.

Про залишки (ХТО). Теорема. Нехай – попарно взаємно прості числа, = , …, підібрані отже 1, = , . Тоді рішення системи буде мати вигляд: . Ця теорема є основою методу ортогональних базисів під час перекладу із системи залишкових класів у позиційну систему числення. Нехай основи системи залишкових класів; = = - Обсяг діапазону системи. З вибором системи визначаються...

4. Бінарні відносини. Математика як наука відбиває світ взаємодіючих простих і складних об'єктів (речей, явищ, процесів). Абстрагуючись від реальності, математика розглядає унарні, бінарні та інші відносини. У питанні потрібно розглянути бінарні відносини, їх властивості та особливо звернути увагу на відношення еквівалентності, заданої на одній множині. Розглянемо...

X*y. Полем називається таке асоціативне комутативне кільце з одиницею k, у якому будь-який ненульовий елемент звернемо: . Таким чином, за визначенням у полі відсутні дільники нуля. Кільцем називається безліч з двома операціями алгебри R (+, *), якщо: 0. Оборотними називають ті елементи кільця R, які мають зворотні щодо операції множення, безліч R в даному випадку...

Тих, хто працював у галузі електротехніки, зацікавилася можливістю створення технології зберігання даних, що забезпечує більш економне витрачання простору. Одним із них був Клод Елвуд Шеннон, основоположник сучасної теоріїінформації. З розробок на той час пізніше практичне застосування знайшли алгоритми стиснення Хаффмана і Шеннона-Фано. А в 1977 р. математики Якоб Зів та Абрахам Лемпел...

Кінцеві поля можна побудувати з кілець багаточленів так само, як були побудовані поля з кільця цілих чисел. Нехай є кільце багаточленів F [х]над полем F.Так само, як були побудовані для кільця Z,кільця відносин, можна побудувати і кільця відносин для кільця F [х].Вибираючи з F [х]довільний багаточлен р(х),можна визначити кільце відносин, використовуючи р(х)як модуль для завдання арифметики цього кільця. Ми обмежимося розглядом лише наведених багаточленів, оскільки це обмеження знімає непотрібну невизначеність побудови.

Визначення 2.4.1.Для довільного наведеного багаточлену р(х)ненульового ступеня над полем F кільцем багаточленів за модулем р(х)називається безліч всіх многочленів над F,ступінь яких вбирається у ступеня многочлена р(х), сопераціями складання та множення багаточленів за модулем р(х).Це кільце прийнято позначати через F(х)/(р(х)).

Довільний елемент r(х)кільця F[х]можна відобразити елемент кільця РF[х]/(р(х))за допомогою відповідності r(х)-R Р(Х).Два елементи a(х)і b(х)з F[х],відображаються в один і той же елемент з F[х]/(р(х)),називаються порівнянними:

а(х) = b(х)(mod p(х)).

Тоді b(х)= а(х)+Q (х) р (х)для деякого багаточлена Q(х).

Теорема 2.4.2.Безліч F1х]/(р(х)) є кільцем.

Доведеннянадається читачеві як вправу.

Виберемо в кільці багаточленів над GF(2), наприклад, багаточлен р(х)= х 3+1. Тоді кільце багаточленів за модулем р(х)одно GF(2) [х]/(х 3 + 1). Воно складається з елементів

{0, 1, х, x + 1, x 2, x 2 +1, х 2 + х, х 2 + х + 1).У цьому кільці множення виконується, наприклад, таким чином:

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 +x) = x 2 +x,

де використано редукцію за правилом х 4 = х (х 3+ 1) + х.

Теорема 2.4.3.Кільце многочленів по модулю наведеного багаточлена р(х) є полем тоді і тільки тоді, коли багаточлен р(х) простийНагадаємо, що простий багаточлен є одночасно ненаведеним і наведеним. Для побудови поля досить неприводимости р(х), але ми домовилися розглядати лише наведені многочлени, отже подальші результати носять менш загальний характер ) .

Доведення.Нехай багаточлен р(х)простий. Щоб довести, що кільце, що розглядається, утворює поле, достатньо показати, що кожен ненульовий елемент має мультиплікативний зворотний. Нехай s (х)-деякий ненульовий елемент кільця. Тоді deg s (х)< deg р(х).Оскільки багаточлен р(х)простий, то НОД = 1. За слідством 2.3.7

НІД = 1 =a(х)р(х) + b(х) s(х)

для деяких багаточленів а(х)і b(х).Отже,

1 = R р(х)[ 1] = R р(х)= R р(х){ R р(х)

Легко бачити, що безліч усіх багаточленів з коефіцієнтами в Kутворює комутативне кільце, що позначається k[x] і зване кільцем багаточленів над k . Символ xзазвичай називають «змінною», ця термінологія виникла з розгляду поліноміальних функційнад Rабо над C. Однак у загальному випадку багаточлени та поліноміальні функції – це різні речі; наприклад, над кінцевим полем $\backslash mathbb\; F\_p$із простого числа елементів багаточлени $x$і $x^p$задають одну й ту саму функцію, але це різні багаточлени (багаточлени вважаються рівними тоді і лише тоді, коли у них збігаються всі коефіцієнти). Отже, змінну xне можна вважати належною полю k; про кільце k[x] можна думати так: ми додаємо до множини елементів поля новий елемент xі вимагаємо тільки того, щоб виконувались аксіоми кільця і ​​щоб xкомутував із елементами поля.

Оскільки елементи кільця багаточленів можна множити на скаляри з поля k, воно фактично є асоціативною алгеброю над полем k. Якщо розглядати k[x] як векторний простір(тобто забути про множення), воно має нескінченний базис з елементів 1, x, x 2 і т.д.