Кільце та векторний простір матриць. Лінійний векторний простір: визначення, властивості. Векторний лінійний простір

Лекція 6. Векторний простір.

Основні питання.

1. Векторний лінійний простір.

2. Базис та розмірність простору.

3. Орієнтація простору.

4. Розкладання вектора за базисом.

5. Координати вектора.

1. Векторний лінійний простір.

Безліч, що складається з елементів будь-якої природи, в яких визначено лінійні операції: додавання двох елементів та множення елемента на число називаються просторами, А їх елементи - векторамицього простору і позначаються як і, як і векторні величини в гео-метрии: . Векторитаких абстрактних просторів, як правило, нічого спільного не мають із звичайними геометричними векторами. Елементами абстрактних просторів можуть бути функції, система чисел, матриці і т. д., а в окремому випадку і звичайні вектори. Тому такі простори прийнято називати векторними просторами .

Векторні простори, наприклад, безліч колі-неарних векторів, що позначається V1 , безліч компланарних векторів V2 , безліч векторів звичайного (реального простору) V3 .

Для цього окремого випадку можна дати наступне визначення векторного простору.

Визначення 1.Безліч векторів називається векторним простором, Якщо лінійна комбінація будь-яких векторів множини також є вектором цього множини. Самі вектори називаються елементамивекторного простору.

Більш важливим як у теоретичному, так і в прикладному відношенні є загальне (абстрактне) поняття векторного простору.

Визначення 2.Безліч Rелементів , в якому для будь-яких двох елементів і визначена сума і для будь-якого елемента width="68" називається векторним(або лінійним) простором, яке елементи – векторами, якщо операції складання векторів і множення вектора на число задовольняють наступним умовам ( аксіомам) :

1) додавання комутативно, тобто gif width = "184" height = "25";

3) існує такий елемент (нульовий вектор), що для будь-якого https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) для будь-яких векторів та будь-якого числа λ має місце рівність ;

6) для будь-яких векторів та будь-яких чисел λ і µ справедливо рівність https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ справедливо ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

З аксіом, що визначають векторний простір, випливають найпростіші слідства :

1. У векторному просторі є лише один нуль – елемент – нульовий вектор.

2. У векторному просторі кожен вектор має єдиний протилежний вектор.

3. До кожного елемента виконується рівність .

4. Для будь-якого дійсного числа λ і нульового вектора.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> називається вектор , що задовольняє рівності https://pandia.ru/text/80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Отже, дійсно, і безліч всіх геометричних векторів є лінійним (векторним) простором, так як для елементів цього множини визначені дії додавання і множення на число, що задовольняють сформульованим аксіомам.

2. Базис та розмірність простору.

Істотними поняттями векторного простору є поняття базису та розмірність.

Визначення.Сукупність лінійно незалежних векторів, взятих у певному порядку, через які лінійно виражається будь-який вектор простору, називається базисомцього простору. Вектор. Складові базис простору, називається базисним .

Базисом безлічі векторів, розташованих на довільній прямій, можна вважати один колінеарний прямий вектор .

Базисом на площиніназвемо два неколлінеарні вектори на цій площині, взяті в певному порядку .

Якщо базисні вектори попарно перпендикулярні (ортогональні), то базис називається ортогональним, а якщо ці вектори мають довжину, рівну одиниці, то базис називається ортонормованим .

Найбільша кількістьлінійно незалежних векторів простору називається розмірністюцього простору, т. е. розмірність простору збігається з числом базисних векторів цього простору.

Отже, відповідно до даних ухвал:

1. Одномірним простором V1 є пряма лінія, а базис складається з одного колінеарноговектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Звичайний простір є тривимірним простором V3 , базис якого складається з трьох некомпланарнихвекторів.

Звідси ми бачимо, що число базисних векторів на прямий, на плоскості, в реальному просторі збігається з тим, що в геометрії прийнято називати числом вимірювань (розмірністю) прямої, площині, простору. Тому природно запровадити більш загальне визначення.

Визначення.Векторний простір Rназивається n- мірним, якщо в ньому існує не більше nлінійно незалежних векторів і позначається R n. Число nназивається розмірністюпростору.

Відповідно до розмірності простору поділяються на кінцевіі нескінченномірні. Розмірність нульового простору за визначенням вважається рівною нулю.

Зауваження 1.У кожному просторі можна вказати скільки завгодно базисів, але всі базиси даного простору складаються з однієї й тієї ж числа векторів.

Примітка 2.У n- мірному векторному просторі базисом називають будь-яку впорядковану сукупність nлінійно незалежні вектори.

3. Орієнтація простору.

Для того щоб орієнтувати простір, необхідно задати якийсь базис і оголосити його позитивним .

Можна показати, що безліч усіх базисів простору розпадається на два класи, тобто на два підмножини, що не перетинаються.

а) всі базиси, що належать одному підмножині (класу), мають однаковуорієнтацію ( однойменні базиси);

б) всякі два базиси, що належать різнимпідмножин (класами), мають протилежнуорієнтацію, ( різноіменнібазиси).

Якщо один із двох класів базисів простору оголошений позитивним, а інший – негативним, то кажуть, що це простір орієнтовано .

Часто при орієнтації простору одні базиси називають правими, а інші - лівими .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> називають правим, Якщо при спостереженні з кінця третього вектора найкоротший поворот першого вектора здійснюється проти годинникової стрілки(Рис. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Рис. 1.8. Правий базис (а) та лівий базис (б)

Зазвичай позитивним базисом оголошується правий базис простору

Правий (лівий) базис простору може бути визначений і за допомогою правила «правого» («лівого») гвинта або свердла.

За аналогією з цим вводиться поняття правої та лівої трійкинеком-нарних векторів, які повинні бути впорядковані (рис.1.8).

Таким чином, у загальному випадку дві впорядковані трійки некомпланованих векторів мають однакову орієнтацію (одноіменні) у просторі V3 якщо вони обидві праві або обидві ліві, і протилежну орієнтацію (різноіменні), якщо одна з них права, а інша ліва.

Аналогічно надходять і у разі простору V2 (Площини).

4. Розкладання вектора за базисом.

Це питання для простоти міркувань розглянемо на прикладі тривимірного векторного простору R3 .

Нехай - довільний вектор цього простору.

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР (лінійний простір), одне з фундаментальних понять алгебри, узагальнююче поняття сукупності (вільних) векторів. У векторному просторі замість векторів розглядаються будь-які об'єкти, які можна складати та множити на числа; при цьому потрібно, щоб основні властивості алгебри цих операцій були такими ж, як і для векторів в елементарній геометрії. У точному визначенні числа замінюються елементами будь-якого поля К. Векторним простором над полем К називається безліч V з операцією складання елементів з V і операцією множення елементів з V на елементи з поля К, які мають наступні властивості:

х + у = у + х для будь-яких х, у з V, тобто щодо складання V є абелевою групою;

λ(х + у) = λ χ + λу для будь-яких λ з К і х, у з V;

(λ + μ)х = λх + μх для будь-яких λ, μ з К і х з V;

(λ μ)х = λ(μх) для будь-яких λ, μ з К і х з V;

1х = х для будь-якого х із V, тут 1 означає одиницю поля К.

Прикладами векторного простору є: множини L 1 L 2 і L 3 всіх векторів з елементарної геометрії, відповідно на прямій, площині і в просторі зі звичайними операціями складання векторів і множення на число; координатний векторний простір K n , елементами якого є всілякі рядки (вектори) довжини n з елементами з поля К, а операції задані формулами

безліч F(M, К) всіх функцій, визначених на фіксованому множині М і приймають значення в полі До, зі звичайними операціями над функціями:

Елементи векторного простору е 1 ..., е n називаються лінійно незалежними, якщо з рівності λ 1 e 1 + … n = 0 Є К. У протилежному випадку елементи е 1 , е 2 , ···> е n називаються лінійно залежними. Якщо у векторному просторі V будь-які n + 1 елементів e 1 ,..., е n+1 лінійно залежні і існує n лінійно незалежних елементів, то V називається n-мірним векторним простором, а n - розмірно- стию векторного простору V. Якщо у векторному просторі V для будь-якого натурального n існує n лінійно незалежних векторів, то V називається нескінченномірним векторним простором. Наприклад, векторний простір L 1 , L 2 , L 3 і К n відповідно 1-, 2-, 3- і n-мірні; якщо М - безліч, то векторний простір F(М, К) нескінченномірно.

Векторний простір V і U над полем К називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення φ : V -> U таке, що φ(х+у) = φ(х) + φ(у) для будь-яких х, у з V та φ (λх) = λ φ(х) для будь-яких λ з К і х з V. Ізоморфні векторні простори є алгебраїчно нерозрізняються. Класифікація кінцевих векторних просторів з точністю до ізоморфності дається їх розмірністю: будь-який n-вимірний векторний простір над полем До ізоморфно координатного векторного простору До n . Дивись також простір Гільберта, Лінійна алгебра.

Нехай Р – поле. Елементи a, b, ... Î Рбудемо називати скалярами.

Визначення 1.Клас Vоб'єктів (елементів) , , , ... довільної природи називається векторний простір над полем Р, а елементи класу V називаються векторамиякщо V замкнуто щодо операції «+» та операції множення на скаляри з Р (тобто для будь-яких , ÎV +Î V;"aÎ Р aÎV), і виконуються такі умови:

А 1: алгебра - Абелева група;

А 2: для будь-яких a, bÎР, для будь-якого ÎV виконується a(b)=(ab)- узагальнений асоціативний закон;

А 3: для будь-яких a, bÎР, для будь-якого ÎV виконується (a+b)= a+ b;

А 4: для будь-якого a з Р, для будь-яких з V виконується a(+)=a+a(узагальнені дистрибутивні закони);

А 5: будь-якого з V виконується 1 = , де 1 – одиниця поля Р - властивість унітарності.

Елементи поля Р називатимемо скалярами, а елементи множини V - векторами.

Зауваження.Помноження вектора на скаляр не є бінарною операцією на множині V, оскільки це відображення PV®V.

Розглянемо приклади векторних просторів.

приклад 1.Нульовий (нуль-мірний) векторний простір - простір V 0 =() - що складається з одного нуль-вектора.

Для будь-якого aÎР a=. Перевіримо здійсненність аксіом векторного простору.

Зауважимо, що нульовий векторний простір істотно залежить від поля Р. Так, нульмерний простір над полем раціональних чиселі над полем дійсних чиселвважаються різними, хоч складаються з єдиного нуль-вектора.

приклад 2.Поле Р саме векторним простором над полем Р. Нехай V=P. Перевіримо здійсненність аксіом векторного простору. Так як Р - поле, то Р є адитивною групою і А1 виконується. З огляду на здійсненності в Р асоціативності множення виконується А 2 . Аксіоми А 3 і А 4 виконуються в силу здійсненності Р дистрибутивності множення щодо складання. Оскільки в полі Р існує одиничний елемент 1, виконується властивість унітарності А 5 . Таким чином, поле Р є векторним простір над полем Р.

приклад 3.Арифметичний n-вимірний векторний простір.

Нехай Р – поле. Розглянемо безліч V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Введемо на множині V операції складання векторів та множення вектора на скаляр за такими правилами:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) Î V, "aÎ P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Елементи множини V називатимемо n-вимірними векторами. Два n-вимірних вектори називаються рівними, якщо їх відповідні компоненти (координати) рівні. Покажемо, що V є векторним простір над полем Р. З визначення операцій складання векторів і множення вектора на скаляр випливає, що V замкнуто щодо цих операцій. Так як додавання елементів з V зводиться до складання елементів поля Р, а Р є адитивною абелевою групою, то і V є адитивною обелевою групою. Причому, = , де 0 - нуль поля Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). Таким чином, А1 виконується. Оскільки множення елемента V на елемент Р зводиться до множення елементів поля Р, то:

А 2 виконується з асоціативності множення на Р;

А 3 і А 4 виконуються з дистрибутивності множення щодо складання на Р;

А 5 виконується, тому що 1 Р - нейтральний елемент щодо множення на Р.

Визначення 2.Безліч V = P n з операціями, визначеними формулами (1) і (2) називається арифметичним n-вимірним векторним простором над полем Р.

Розглянемо послідовність, що складається з л елементів деякого простого поля GF(q) (a^, а......а п).Така послідовність називається л-по

слідчістюнад полем GF)