Алгебраїчне розширення поля. Прості розширення полів. Складове розширення поля алгебри

алгебраїчне розширення поля- — Тема захисту інформації EN extension field … Довідник технічного перекладача

Поле E, що містить дане поле K як підполя. Типи розширень Розширення алгебри розширення розширення, всі елементи якого є алгебраїчними над K, тобто будь-який елемент якого є коренем деякого багаточлена f(x) c ... Вікіпедія

Алгебраїчне розширення поля EÉ K, що є нормальним та сепарабельним. За цих умов E буде мати найбільшу кількість автоморфізмів над K (якщо E звичайно, то кількість автоморфізмів також звичайно і дорівнює ступеню розширення).

Напівугрупи А напівгрупа S, що містить Ав як підполугрупи. Зазвичай йдеться про розширення напівгрупи А, пов'язані з Атемі чи іншими умовами. Найбільш розвинена теорія ідеальних Р. напівгруп (напівгруп, що містять Ав як……) Математична енциклопедія

Рівняння виду де багаточлен n й ступеня від одного або кількох змінних. А. в. з одним невідомим зв. рівняння виду: Тут п ціле невід'ємне число, зв. коефіцієнтами рівняння та є даними, хназ. невідомим і є… Математична енциклопедія

Поля k алгебраїч. розширення поля k, що є замкненим алгебраїчним полем. Таке розширення для будь-якого поля існує п визначено однозначно з точністю до ізоморфізму. А. з. поля дійсних чиселє поле комплексних чисел(Див. … … Математична енциклопедія

Нормальне розширення алгебраїчне розширення поля EÉ K для якого кожен неприводимий багаточлен f(x) над K, що має хоча б один корінь E, розкладається в E на лінійні множники. Рівносильне визначення: Якщо KÌ EÌ K*, де K* … … Вікіпедія

Сепарабельне розширення алгебраїчне розширення поля, що складається з сепарабельних елементів, тобто таких елементів α, мінімальний анулятор f(x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f(x) має бути за вищевказаним… … Вікіпедія

Розширення поля, таке, що E, звичайно, над K як векторний простір. Розмірність векторного простору E над K називається ступенем розширення і позначається. Властивості кінцевих розширень Кінцеве розширення завжди алгебраїчне. В… … Вікіпедія

Поля алгебраїчне розширення Lполя К, що задовольняє одну з наступних еквівалентних умов: 1) будь-яке вкладення поля Lв алгебраїч. замикання поля є автоморфізмом поля L; 2) L поле розкладання деякого сімейства многочленів з ... ... Математична енциклопедія

Алгебраїчні розширення полів

Вступ.

У педагогічних вузах запроваджено програму єдиного курсу алгебри та теорії чисел. Головна мета цього курсу - вивчення основних систем алгебри та виховання алгебраїчної культури, необхідної майбутньому вчителю для глибокого розуміння цілей і завдань як основного шкільного курсу математики, так і шкільних факультативних курсів.

На наш погляд, найбільш доцільним є введення у шкільне викладання елементів сучасної абстрактної алгебри.

Процес алгебраізації математики, що почався в ХХ столітті, не припиняється, а це викликає завзяті спроби введення в шкільну математичну освіту основних алгебраїчних понять.

Математична глибина і надзвичайно широка сфера застосування полів поєднуються з простотою її основних положень - понять полів, цілий ряд важливих теорем можна сформулювати і довести, маючи початкові уявлення в галузі теорії множин. Тому теорія полів якнайкраще підходить для того, щоб показати школярам зразок сучасної математики.

Крім того, вивчення елементів теорії поля корисне для школярів, сприяє їхньому інтелектуальному зростанню, що виявляється у розвитку та збагаченні різних сторін їх мислення, якостей і рис особистості, а також вихованню у учнів інтересу до математики, науки.

1. Просте розширення алгебри поля.

1.1.Просте розширення поля.

Нехай P[x] - кільце поліномів від x над полем P, де P - підполі поля F. Нагадаємо, що елемент a поля F називається алгебраїчним над полем P, якщо a є коренем якогось полінома позитивного ступеня з P[x].

Визначення. Нехай P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Нехай a0F, P [x] - кільце поліномів від x і

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

тобто P [a] є безліч всіх виразів виду a 0 + a 1 a + ... + a n a n де а 0 , a 1, ... a n 0P і n - будь-яке натуральне число.

Легко бачити, що алгебра +P[a], +, -, ., 1, - підкільце поля P(a) - є кільцем; це кільце позначається символом P[a].

Теорема 1.1. Нехай P [x] - кільце поліномів від х над P і P (a) - просте розширення поля P. Нехай y - відображення P [x] на P [a] таке, що y (f) = f (a) для будь-якого f із P[x]. Тоді:

(а) для будь-якого а з Р y (а) = а;

(с) y є гомоморфізмом кільця P[x] на кільце P[a];

(d) Ker y = (f0P [x] * f (a) = 0);

(е) фактор-кільце P[x]/Кег y ізоморфне кільцю P[a].

Доведення. Твердження (а) і (Ь) безпосередньо випливають із визначення y. Відображення y зберігає головні операції кільця P[x], тому що для будь-яких f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Твердження (d) безпосередньо випливає із визначення відображення y.

Оскільки y - гомоморфізм кільця P[x] на P[a], то фактор-кільце P[x]/Кег y ізоморфне кільцю P[a].

Наслідок 1.2. Нехай a - трансцендентний елемент над полем P. Тоді кільце поліномів P[x] ізоморфне кільцю P[a].

Доведення. З огляду на трансцендентності a над P Kery=(0). Тому P[x]/(0) - P[a]. Крім того, фактор-кільце кільця P[x] за нульовим ідеалом ізоморфно P[x]. Отже, P[x] - P[a].

1.2.Мінімальний поліном алгебраїчного елемента.

Нехай P [x] – кільце поліномів над полем P.

Визначення. Нехай a - алгебраїчний елемент над полем P. Мінімальним поліномом елемента a над P називається нормований поліном з P [x] найменшого ступеня, коренем якого є a. Ступінь мінімального полінома називається ступенем елемента a над P.

Легко бачити, що для будь-якого елемента a, алгебраїчного над P існує мінімальний поліном.

Пропозиція 1.3. Якщо а - елемент алгебри над полем P, а g і j - його мінімальні поліноми над P, то g = j.

Доведення. Ступені мінімальних поліномів g та j збігаються. Якщо g ¹ j, то елемент a (ступеня n над P) буде коренем полінома g - j, ступінь якого менший за ступінь полінома j (менший за n), що неможливо. Отже, g = j.

Теорема 1.4. Нехай a - елемент алгебри ступеня n над полем P (aóP) і g - його мінімальний поліном над P. Тоді:

(а) поліном g ненаводимо в кільці P [x];

(b) якщо f (a) = 0, де f 0 P[x], g ділить f;

(с) фактор-кільце P[x]/(g) ізоморфне кільцю P[a];

(d) P [x]/(g) є полем;

(е) кільце P [a] збігається з полем P (a).

Доведення. Припустимо, що поліном g наводимо в кільці P [x], тобто існують в P [x] такі поліноми j і h, що

g = jh, 1£deg j, deg h

Тоді g(a) = j(a)h(a) = 0. Так як P(a) - поле, то j(a) = Про або h(a) = 0, що неможливо, оскільки, за умовою, ступінь елемента a над P дорівнює п.

Припустимо, що f 0 P[x] і f(a) = 0. За умовою, g(a) = 0. Отже f і g не можуть бути взаємно простими. Оскільки поліном g ненаводимо, то g ділить f.

Нехай j - гомоморфізм кільця P[x] на кільце P[a] (y(f)=f(a) для будь-якого f з P[x]), розглянутий у теоремі 2.1. З (Ь) ядро ​​гомоморфізму y складається з кратних полінома g, тобто. Кег y = (g). Отже, фактор-кільце P = P[x]/(g) ізоморфне кільцю P[a].

Оскільки P[a]ÌP(a), то P[a] є область цілісності. Так як P @ P [a], то фактор-кільце P також є область цілісності. Нам треба показати, що будь-який ненульовий елемент f з P звернемо до P. Нехай f - елемент суміжного класу f. Оскільки f ¹ 0, то f(a)¹0; тому поліном g не ділить поліном f. Оскільки поліном g неприводимий, звідси випливає, що поліноми f і g - прості взаємно. Отже, Р[x] існують такі поліноми u і v, що uf + vg=1. Звідси випливає рівність uf = 1, що показує, що елемент f звернемо в кільце P. Отже, встановлено, що фактор-кільце P є полем.

З (с) і (d) P [a] є полем і тому P(a)ÌP[a]. З іншого боку, очевидно, P[a]ÌP(a). Отже, P[a] = P(a). Отже, кільце P[a] збігається з полем P(a).

1.3. Будова простого розширення алгебри поля.

Теорема 1.5. Нехай a – алгебраїчний над полем P елемент позитивного ступеня n. Тоді будь-який елемент поля P(a) однозначно представимо у вигляді лінійної комбінації n елементів 1, a, ..., a n-1 з коефіцієнтами Р.

Доведення. Нехай b-будь-який елемент поля P (a). По теоремі 1.4, P(a) = P[a]; отже, існує в P[x] поліном f такий, що

Нехай g - мінімальний поліном для a над P; в силу умови теореми його ступінь дорівнює п. По теоремі про поділ із залишком, існують в P [x] поліноми h і r такі, що

(2) f = gh + r, де r = 0 або der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 +c 1 a + ... c n -1 a n-1

Покажемо, що елемент однозначно представимо у вигляді лінійної комбінації елементів 1, a, ..., a n-1 . Нехай

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Будь-яке таке уявлення. Розглянемо поліном j

j = (з 0 – d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Випадок, коли ступінь j менший за n, неможливий, оскільки в силу (3) і (4) j(a) = 0 і ступінь j менший від ступеня g. Можливий лише випадок, коли j = 0, тобто з 0 = d 0 . . . , З n-1 = d п-1. Отже, елемент b однозначно представимо як лінійної комбінації елементів 1, a,…,a n-1 .

1.4.Звільнення від алгебраїчної ірраціональності у знаменнику дробу.

Завдання про звільнення від ірраціональності алгебри в знаменнику дробу полягає в наступному. Нехай a - елемент алгебри ступеня n>1 над полем P; f і h - поліноми з кільця поліномів P[x] та h(a) ¹0. Потрібно подати елемент f(a)/h(a)0P(a) у вигляді лінійної комбінації ступенів елемента a, тобто у вигляді j(a),

Це завдання вирішується так. Нехай g - мінімальний поліном для a над P. Оскільки, за теоремою 1.4, поліном ненаводимо над P і h(a) ¹ 0, то g не ділить h і, отже, поліноми h і g - взаємно прості. Тому існують у P[x] такі поліноми u та v, що

Оскільки g(a) = 0, із (1) випливає, що

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Отже, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причому f,u 0P[x] та f(a)u(a)0P[a]. Отже, ми звільнилися від ірраціональності у знаменнику дробу f(a)/h(a) .

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу

Багаточлени p(x) та g(x)=-x 2 +x+1 взаємно прості. Тому існують такі багаточлени j та y, що

Для відшукання j і y застосуємо алгоритм Евкліда до многочленів p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

Таким чином,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Звідки знаходимо

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

Таким чином,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Отже

.

2.Складне розширення алгебри поля.

2.1. Кінцеве розширення поля.

Нехай P - підполі поля F. Тоді ми можемо розглядати F як векторний простір над P, тобто розглядати векторний простір +F, +, (w l ½l 0P),

де w l - операція множення елементів F на скаляр l0P.

Визначення. Розширення поля F називається кінцевим, якщо F, як векторний простір над P, має кінцеву розмірність. Ця розмірність позначається через .

Пропозиція 2.1. Якщо a – алгебраїчний елемент ступеня n над P, то = n.

Ця пропозиція безпосередньо випливає з теореми 1.5.

Визначення. Розширення F поля P називається алгебраїчним, якщо кожен елемент F є алгебраїчним над P.

Теорема 2.2. Будь-яке кінцеве розширення поля F є алгебраїчним над P.

Доведення. Нехай n-розмірність F над P. Теорема, очевидно, вірна, якщо n = 0. Припустимо, що n>0. Будь-які n+1 елементів з F лінійно залежні над P. Зокрема, лінійно залежна система елементів 1, a, ..., a n , тобто існують P такі елементи з 0 , з 1, ..., c n не всі рівні нулю, що з 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Отже елемент a є алгебраїчним над P.

Зазначимо, що існують розширення алгебри поля, що не є кінцевими розширеннями.

2.2. Складове розширення поля алгебри.

Розширення F поля P називається складеним, якщо існує

зростаючий ланцюжок підполів L i поля F такий, що

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Теорема 2.3. Нехай F - кінцеве розширення поля L і L - кінцеве розширення поля P. Тоді F є кінцевим розширенням поля P і

= @ [L: P].

Доведення. Нехай

(1) a 1 ,…,a m - базис поля L над P (як векторного простору) та

(2) b 1 ..., b n - базис поля F над L . Будь-який елемент d з F можна лінійно виразити через базис:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Коефіцієнти 1 k можна лінійно виразити через базис (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​(p ik 0P).

Підставляючи вирази для коефіцієнтів l k (3), отримуємо

d = p a a b k .

Таким чином, кожен елемент поля F представимо у вигляді лінійної комбінації елементів множини B, де

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Зазначимо, що множина B складається з nm елементів.

Покажемо, що є базис F над полем P. Нам треба показати, що система елементів множини B лінійно незалежна. Нехай

(5) åc ik a i b k = 0,

де c ik 0 P. Оскільки система (2) лінійно незалежна над L , то (5) слідують рівності

(6) з 1 k a 1 +...+з mk a m ​​= 0 (k = 1,..., n).

Оскільки елементи a 1 , ..., a m лінійно незалежні над P, то (6) слідують рівності

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

що показують, що це коефіцієнти в (5) дорівнюють нулю. Таким чином, система елементів B є лінійно незалежною і є базисом F над P.

Отже, встановлено, що = nm = ×. Отже F є кінцевим розширенням поля P і має місце формула (I).

Визначення. Розширення F поля P називається складовим алгебраїчним, якщо існує зростаючий ланцюжок підполів поля P

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k> 1 (1)

така, що за i = 1,..., k полі L i є простим розширенням алгебри поля L i-1 . Число k називається довжиною ланцюжка (1).

Наслідок 2.4. Складове розширення алгебри F поля P є кінцевим розширенням поля P.

Доказ легко проводиться індукцією за довжиною ланцюжка (1) на підставі теореми 2.3.

Теорема 2.5. Нехай a 1 ,..., ak - алгебраїчні над полем P елементи поля F . Тоді поле P(a 1 ,..., ak) є кінцевим розширенням поля P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Тоді L 1 = P є просте розширення алгебри поля L 0 ; L 2 є просте розширення алгебри поля L 1 , так як

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) і т.д.

Таким чином,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

де L i = L i -1 (a i) при i = 1, ..., k, тобто кожен член ланцюжка (2) є простим розширенням алгебри попереднього члена ланцюжка. Отже, поле F є складовим розширенням алгебри поля P. Отже, в силу слідства 2.4 поле F є кінцевим розширенням поля P .

Наслідок 2.6. Складове розширення алгебри поля є розширенням алгебри цього поля.

2.3. Простота складового розширення алгебри поля.

Теорема 2.7. Нехай числове поле F є складовим розширенням алгебри поля P . Тоді F є простим розширенням алгебри поля P.

Доведення. Нехай P - L - F , причому L = P (a), F = L (b) і, отже, F = P (a, b).

Нехай f і g – мінімальні поліноми над P відповідно для чисел a та b та deg f = m, deg g = n. Поліноми f і g не наводяться над P і, отже, немає в полі E комплексних чисел кратних коренів. Нехай

a = a 1 ,..., a m - корені полінома f C і

b = b 1 ,..., b n - коріння полінома g C.

Розглянемо кінцеве безліч М:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Оскільки P - числова множина (і, значить, нескінченна), то P існує число c, відмінне від елементів множини М, c0P(М, cóМ. Нехай

Тоді виконуються співвідношення

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Справді, у разі рівності a + cb = a i + cb k було б

з = (a i -a)/(b-b k) 0 M

що суперечило б вибору числа с.

Нехай F 1 = P(g) та F 1 - кільце поліномів від x. Нехай h = f(g - cx) - поліном із F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Покажемо, що x-b є найбільшим спільним дільником поліномів h і g у кільці F 1 [x]. Оскільки g(b) = 0, то x-b ділить g E[x]. Далі, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Тому x-b ділить поліном h E[x]. Таким чином, x-b є спільним дільником h і g в кільці E[x].

Доведемо, що g і h С немає коренів, відмінних від b. Справді, припустимо, що b k , k0(2 ,..., n) є їх загальний корінь. Тоді h(b k) = f(g - сb k) = 0. Отже, знайдеться такий індекс i0(1 ,..., m), що g = a i + cb k (k>1), а це суперечить (2 ). З цього укладаємо, що x-b є найбільший спільний дільник g і h в E[x]. Оскільки x – b – нормований поліном, то звідси випливає, що x – b є найбільшим загальним дільником g та h у кільці F 1 [x]. Тому

(x-b) 0 F 1 [x] та b 0 F 1 = P(g).

Крім того, a = g - cb 0 F 1 . Таким чином,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Поле алгебраїчних чисел.

У класі підполів поля комплексних чисел одним із найважливіших є поле алгебраїчних чисел.

Визначення. Алгебраїчне число називається комплексне число, що є коренем полінома позитивного ступеня з раціональними коефіцієнтами.

Зазначимо, що число алгебри є будь-яке комплексне число, алгебричне над полем Q. Зокрема, будь-яке раціональне число є алгебраїчним.

Теорема 2.8. Безліч A всіх алгебраїчних чисел замкнено в кільці E = +С, +, -, 1, комплексних чисел. Алгебра A = +А, +, -, , 1 є полем, підполем поля E.

Доведення. Нехай a та b - будь-які елементи з А. За наслідком 2.6, поле Q(a, b) є алгебраїчним над Q. Тому числа a+b, -а, ab, 1 є алгебраїчними, тобто належать множині A. Таким чином, безліч А замкнуто щодо головних операцій кільця E. Тому алгебра A - підкільце кільця E - є кільцем.

Крім того, якщо a -ненульовий елемент з А, a -1 0 Q (a, b) і тому а -1 належить А. Отже, алгебра A є поле, підполі поля E.

Визначення. Поле A = +А, +, -, , 1 називається полем алгебраїчних чисел.

Показати, що число a = алгебраїчним.

Рішення. З a = випливає a-.

Зведемо обидві частини останньої рівності в третій ступінь:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Тепер обидві частини рівності зводимо до другого ступеня:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Таким чином a є коренем багаточлена

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

із раціональними коефіцієнтами. Це означає, що a - алгебраїчне число.

2.5. Алгебраїчна замкнутість поля чисел алгебри.

Теорема 2.9. Поле чисел алгебри алгебраїчно замкнуте.

Доведення. Нехай A [x] – кільце поліномів від x над полем A алгебраїчних чисел. Нехай

f = а 0 + а 1 x+... + а n х n (а 0 ..., а n 0 A)

Будь-який поліном позитивного ступеня A[x]. Нам треба довести, що f має корінь в А. Оскільки f0C[x] і поле E замкнено алгебраїчно, то f має корінь в E тобто існує таке комплексне число з, що f(с) = 0. Нехай L= Q(а 0, ..., а n) і L(с) - просте розширення алгебри поля L за допомогою с. Тоді Q - L - L (c) є кінцеве розширення алгебри поля L. По теоремі 2.2, L є кінцеве розширення поля Q. В силу теореми 2.3 L (с) є кінцевим розширенням поля Q. Звідси, по теоремі 2.2, слід, що поле L (с) є розширенням алгебри поля Q і, значить, c0A. Таким чином, будь-який поліном з A[x] позитивного ступеня має A корінь, тобто поле A алгебраїчно замкнуте.

3. Сепарабельні та несепарабельні розширення.

Нехай D – поле.

З'ясуємо, чи може нерозкладний D[x] многочлен мати кратним корінням?

Для того щоб f(x) володів кратним корінням, багаточлени f(x) і fN(x) повинні мати загальний відмінний від константи множник, який можна обчислити вже в D[x]. Якщо многочлен f(x) нерозкладний, то ні з яким багаточленом меншого ступеня f(x) не може мати непостійних загальних множників, отже, має місце рівність f"(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Так як fN(x) = О, в нуль повинен звертатися кожен коефіцієнт:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Що стосується характеристики нуль звідси випливає, що a n = 0 всім n ¹ 0. Отже, непостійний многочлен може мати кратних коренів. У разі характеристики p рівності na n = 0 можливі й у n ¹ 0, але тоді мають виконуватися порівняння

f(x) = a 0 +a p x p +a 2p x 2p +…

Назад: якщо f(x) має такий вигляд, то fN(x)=0.

У цьому випадку ми можемо записати:

Тим самим доведено твердження: У разі характеристики нуль нерозкладний в D [x] багаточлен f (x) має тільки просте коріння, у разі оке характеристики p многочлен f (x) (якщо він відмінний від константи) має кратне коріння тоді і тільки тоді, коли його можна уявити як многочлен j від x p.

У разі може бути, що j(x) своєю чергою є многочленом від x p . Тоді f(x) є многочлен від x p 2 . Нехай f(x) - багаточлен від xpe

але є многочленом від x pe +1 . Зрозуміло, многочлен y(у) нерозкладний. Далі, y¢(у) ¹ 0, тому що інакше y(у) мав би вигляд c(у р) і, отже, f(x) представлявся б у вигляді c(х pе+1), що суперечить припущенню. Отже, y(у) має тільки просте коріння.

Розкладемо многочлен y у деякому розширенні основного поля на лінійні множники: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Нехай a i - якийсь корінь многочлена x pe - bi. Тоді x i pe = b i ,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Отже, a i є р е -кратним коренем многочлена x pe - b i

f(x) = J(x -a i) р е.

Усі коріння многочлена f(x) мають, таким чином, одну й ту саму кратність р е.

Ступінь m многочлена y називається редукованим ступенем многочлена f(x) (або кореня a i); число e називається показником многочлена f (x) (або кореня a i) над полем D. Між ступенем, редукованим ступенем та показником має місце співвідношення

де m дорівнює кількості різних коренів многочлена f(x).

Якщо q - корінь нерозкладного в кільці D[x] многочлена, що має лише простим корінням, то q називається сепарабельним елементом над D або елементом першого роду над D 1). При цьому нерозкладний багаточлен, все коріння якого сепарабельне, називається сепарабельним. Інакше алгебраїчний елемент q і нерозкладний багаточлен f(x) називаються несепарабельним або елементом (відповідно багаточленом) другого роду. Нарешті, розширення алгебри S, всі елементи якого сепарабельні над D, називається сепарабельним над D, а будь-яке інше розширення алгебри називається несепарабельним.

У разі характеристики нуль згідно з сказаним вище кожен нерозкладний багаточлен (а тому і кожне розширення алгебри) є сепарабельним. Пізніше ми побачимо, що більшість найважливіших і найцікавіших розширень полів сепарабельні і що існують цілі класи полів, які взагалі не мають несепарабельних розширень (так звані «досконалі поля»). З цієї причини все пов'язане спеціально з несепарабельними розширеннями набрано дрібним шрифтом.

Розглянемо тепер розширення алгебри S = ​​D (q). Коли ступінь n рівняння f(x) = 0, що визначає це розширення, дорівнює ступеню (S: D), редукований ступінь m виявляється рівним числу ізоморфізмів поля S у наступному сенсі: розглянемо лише такі ізоморфізми [email protected]", при яких елементи підполя D залишаються нерухомими і, отже, S перекладається в еквівалентне поле S" (ізоморфізм поля S над полем D) і при яких поле-образ S" лежить разом з полем S всередині деякого загального для них поля W. В цих умовах має місце теорема:

При підходящому виборі поля W розширення S=D(q) має рівно m ізоморфізмів над D і за будь-якого вибору поля W поле S не може мати більше m таких ізоморфізмів.

Доведення. Кожен ізоморфізм над D повинен переводити елемент q у пов'язаний з ним елемент q" з W. Виберемо W так, щоб f(x) розкладався над W на лінійні множники; тоді виявиться, що елемент q має рівно m сполучених елементів q,qПри цьому, як би не вибиралося поле W, елемент q не матиме в ньому більше m сполучених. Зауважимо тепер, що кожен ізоморфізм D(q)@D(q") над D повністю визначається завданням відповідності q® q". Дійсно, якщо q переходить у q" і всі елементи з D залишаються на місці, то елемент

3a k q k (як 0D)

повинен переходити в

а цим визначається ізоморфізм.

Зокрема, якщо q - сепарабельний елемент, то m = n і, отже, число ізоморфізмів над основним полем дорівнює рівні розширення.

Якщо є якесь фіксоване поле, що містить всі поля, що розглядаються, в якому містяться всі коріння кожного рівняння f(x) = 0 (як, наприклад, в полі комплексних чисел), то в якості W можна раз і назавжди взяти це поле і тому відкинути додавання «всередині деякого W» у всіх реченнях про ізоморфізми. Так завжди чинять теоретично числових полів. Пізніше ми побачимо, що для абстрактних полів можна побудувати таке поле W.

Узагальненням наведеної вище теореми є таке твердження:

Якщо розширення S виходить із D послідовним приєднанням m

алгебраїчних елементів a 1 , ..., a m , причому кожне з a i , є коренем

нерозкладного над D(a 1 , ..., a i-1) рівняння редукованого ступеня n" i , то

розширення S має рівно ?n i ¢ ізоморфізмів над D і в жодному

розширенні немає більшого числатаких ізоморфізмів поля S.

Доведення. Для m = 1 теорема вже було доведено вище. Припустимо її справедливою для розширення S 1 = D(a 1 , ..., a m-1): у деякому відповідному розширенні

W 1 є рівно n i ¢ ізоморфізмів поля S над D.

Нехай S 1 ®S 1 - один із цих Õ n i ¢ ізоморфізмів. Стверджується, що у відповідним чином обраному полі W він може бути продовжений до ізоморфізму S = S 1 (a m) @ S = S (a m) не більше ніж n m способами.

Елемент a m задовольняє деяке рівняння f 1 (x) = 0 над S 1 з n¢ m різним корінням. За допомогою ізоморфізму S 1 ® S 1 багаточлен f 1 (x) переводиться в деякий багаточлен f 1 (x). Але тоді f 1 (x) у відповідному розширенні має знов-таки n m різних коренів і не більше. Нехай a m - одне з цих коренів. З огляду на вибір елемента a m ізоморфізм S 1 @S 1 триває до ізоморфізму S (a m) @ S (a m) з a m ®a m одним і тільки одним способом: дійсно, це продовження задається формулою

åc k a m ​​k ®å c k a m ​​k

Оскільки вибір елемента a m може бути здійснений n" m способами, існує n" m продовжень такого сорту для обраного ізоморфізму å 1 ®å 1

Оскільки у свою чергу цей ізоморфізм може бути обраний

Õ n" i способами,

то всього існує (у тому полі W, в якому містяться всі корені всіх рівнянь, що розглядаються)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

ізоморфізмів розширення S над полем D, що потрібно було довести.

Якщо n i - повна (нередукована) ступінь елемента a i над D (a 1 ,...,a i-1), то n i дорівнює ступені розширення D (a 1 , ... , a i) поля D(a 1 , .. ., a i-1);

отже, ступінь (S: D) дорівнює

Якщо порівняти це число з числом ізоморфізмів

Число ізоморфізмів розширення S = D(a 1 , ... , a m) над D(у деякому відповідному розширенні W) дорівнює ступеню (S: D) тоді і тільки тоді, коли кожен елемент a i сепарабельний над полем D(a 1 , . .. , a i-1). Якщо ж хоча б один елемент a i несепарабельний над відповідним полем, то кількість ізоморфізмів менша від ступеня розширення.

З цієї теореми одразу виходить кілька важливих наслідків. Насамперед теорема стверджує, що властивість кожного елемента a i бути сепарабельним над попереднім полем є властивість самого розширення S незалежно від вибору елементів, що породжують a i . Так як довільний елемент поля може бути взятий в якості першого породжує, елемент b виявляється сепарабельним, якщо всі a i є такими. Отже:

Якщо до поля D послідовно приєднуються елементи a i , ... ,a n і кожен елемент a i виявляється сепарабельним над полем, отриманим приєднанням попередніх елементів a 1, a 2 ,...,a i-1 розширення

S = D(a 1 , ... ,a n)

сепарабельно над D.

Зокрема, сума, різницю, твір та приватне сепарабідька елементів сепарабельні.

Далі, якщо b сепарабелен над S, а поле S сепарабельно над D, то елемент b сепарабелен над D. Це пояснюється тим, що b задовольняє деякому рівнянню з кінцевим числом коефіцієнтів a 1 , ... ,a m з S і, отже, сепарабелен над D (a 1, ..., a m). Тим самим сепарабельне та розширення

D (a 1, ..., a m, b).

Нарешті, має місце таке речення: числа ізоморфізмів кінцевого сепарабельного розширення S над полем D дорівнює ступеню розширення (S: D).

4. Нескінченні розширення полів.

Кожне поле виходить зі свого простого підполя за допомогою кінцевого чи нескінченного розширення. У цьому розділі розглядаються нескінченні розширення полів, спочатку алгебраїчні, а потім трансцендентні.

4.1. Алгебраїчно замкнуті поля

Серед розширень алгебри заданого поля важливу роль відіграють, звичайно, максимальні розширення алгебри, тобто такі, які не допускають подальшого розширення алгебри. Існування таких розширень буде доведено у цьому параграфі.

Щоб поле W було максимальним розширенням алгебри, необхідна наступна умова: кожен многочлен кільця W[x] повністю розкладається на лінійні множники. Ця умова є достатньою. Дійсно, якщо кожен многочлен в W[x] розкладається на лінійні множники, то всі прості многочлени в W[x] лінійні і кожен елемент будь-якого розширення алгебри W" поля W виявляється коренем деякого лінійного багаточлена x - a в W[x], т е. збігається з деяким елементом a поля W.

Тому дамо таке визначення:

Поле W називається замкненим алгебри, якщо будь-який многочлен в W [x] розкладається на лінійні множники.

Рівнозначне з цим визначення таке: поле W, алгебраїчно замкнуте, якщо кожен відмінний від константи многочлен з W[x] має W хоч одним коренем, тобто хоч одним лінійним множником в W[x].

Дійсно, якщо така умова виконана і довільно взятий многочлен f(x) розкладається на множники, що не розкладаються, то всі вони повинні бути лінійними.

"Основна теорема алгебри" стверджує, що поле комплексних чисел алгебраїчно замкнуте. Наступним прикладом алгебраїчно замкнутого поля може бути поле всіх комплексних алгебраїчних чисел, тобто безліч тих комплексних чисел, які задовольняють будь-якому рівнянню з раціональними коефіцієнтами. Комплексне коріння рівняння з коефіцієнтами алгебри є і насправді алгебраїчними не тільки над полем алгебраїчних чисел, але і над полем раціональних чисел, Т. е. Самі є алгебраїчними числами.

Тут ми покажемо, як побудувати замкнене алгебраїчне розширення довільно заданого поля P і до того ж чисто алгебраїчним шляхом. Штейніцу належить така

Основна теорема. Для кожного поля P існує замкнене алгебраїчне розширення алгебри W. З точністю до еквівалентності це розширення визначено однозначно: будь-які два алгебраїчно замкнутих алгебраїчних розширення W, W " поля P еквівалентні.

Доказом цієї теореми ми повинні надіслати кілька лем:

Лемма 1. Нехай W, - розширення алгебри поля Р. Достатньою умовоюдля того, щоб W було замкненим алгебри, є розкладання на лінійні множники будь-якого многочлена з P[x] в кільці W[x].

Доведення. Нехай f(x) - довільний многочлен із W[x]. Якщо він не розкладається на лінійні множники, то можна приєднати деякий його корінь a і прийти до власного надполя W". Елемент a є алгебраїчним над W, а W є розширенням алгебри поля P; отже, елемент a алгебраїчний і над Р. Тому він є коренем деякого многочлена g(x) з P[x] Цей багаточлен розкладається в W[x] на лінійні множники, отже a -корінь деякого лінійного множника в W[x], тобто належить полю W, що суперечить припущенню .

Лемма 2. Якщо поле P цілком упорядковане, то кільце многочленів P[x] може бути цілком упорядковане і до того ж, що у цьому упорядкуванні поле P буде відрізком.

Доведення. Визначимо відношення порядку між многочленами f(x) з P[x] так: нехай f(x)

1) ступінь f(x) менший від ступеня g(x);

2) ступінь f(x) дорівнює ступеню g(x) і дорівнює n, тобто.

f(x) = а 0 x n + ...+ а n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

і за деякого індексу k:

а i = b i для i

a k

При цьому для многочлена 0 робиться виняток: йому присвоюється ступінь 0. Очевидно, що у такий спосіб виходить деяке впорядкування, у сенсі якого P[x] цілком упорядковано. Показується це так: у кожній непустій ​​множині багаточленів є непусте підмножина багаточленів найменшого ступеня; нехай така дорівнює п. У цьому підмножині є непусте підмножина багаточленів, коефіцієнт а 0 яких є першим у сенсі існуючого порядку серед вільних членів багаточленів, що розглядаються; у зазначеному підмножині є у свою чергу підмножина багаточленів з першим а 1 і т. д. Підмножина з першим а n яке врешті-решт вийде може складатися лише з одного-єдиного многочлена (бо а 0 ..., а n визначаються однозначно завдяки умові мінімності, що послідовно виконується, у виборі); цей многочлен є першим елементом у заданій множині.

Лемма 3. Якщо поле P цілком упорядковане та задані багаточлен f(x) ступеня n і n символів a 1 ..., a n то поле P (a 1 ,..., a n), в якому f(x) повністю розкладається на лінійні множники

Õ(x-a i), будується єдиним чином і є цілком

упорядкованим. Поле P у сенсі цього є відрізком.

Доведення. Ми приєднуватимемо коріння a 1 ..., a n послідовно, внаслідок чого з P = Р 0 послідовно виникатимуть поля Р 1 , ..., Р n . Припустимо, що Р i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - вже побудоване поле і що P - відрізок у Р i-1; тоді Р i будуватиметься так.

Насамперед з леми 2 кільце многочленів Р i-1 [x] цілком упорядковується. Многочлен f розкладається у цьому кільці на нерозкладні множники, серед яких першому місці стоятимуть x - a 1 ,..., x - a i-1 ; серед інших множників нехай f i (x) буде першим у сенсі існуючого порядку. Разом із символом a i, що позначає корінь багаточлена f i (x), ми визначаємо поле Р i = P i -1 як сукупність усіх сум

де h -ступінь багаточлена f i (x). Якщо f i (x) лінійний, то, звичайно, ми вважаємо Р i = P i -1; символ a i у разі не потрібен. Побудоване поле цілком упорядковується за допомогою наступної умови: кожному елементу поля

зіставимо багаточлен

і елементи поля упорядкуємо так само, як упорядковані відповідні їм багаточлени.

Очевидно, тоді Р i-1 є відрізком у Р i , а тому і P - відрізок у Р i.

Тим самим поля Р 1 ,..., Р n побудовані н цілком упорядковані. Поле Р n є однозначно шуканим певним полем P(a 1 ,..., a n).

Лемма 4. Якщо в упорядкованому множині полів кожне попереднє поле є підполем наступного, то об'єднання цих полів є полем.

Доведення. Для будь-яких двох елементів a, b об'єднання існують два поля S a , S b , які містять a, b і з яких одне передує іншому. У охоплюючому полі визначені елементи a + b і a×b і саме так визначаються ці елементи в кожному з полів, що містять a і b, тому що з двох таких полів одне передує іншому і є його підполем. Наприклад, щоб довести закон асоціативності

ab g = a bg,

знайдемо серед полів S a , Sb, S g те, що містить два інші поля (найбільше); у цьому полі містяться a, b та g і в ньому закон асоціативності виконано. У такий же спосіб перевіряються решта правил обчислень з елементами об'єднання.

Доказ основної теореми розпадається на частини: побудова поля W і доказ єдиності.

Побудова поля W.. Лемма 1 свідчить про те, що для побудови алгебраїчно замкнутого розширення W поля P достатньо побудувати таке розширення алгебри поля Р, щоб кожен многочлен з Р[x] розкладався над цим розширенням на лінійні множники.

1. Поле Р f є об'єднанням поля Р і всіх полів S g для g

2. Поле Р f цілком упорядковується так, щоб Р та всі поля S g при g

3. Поле S f виходить із Р f приєднанням усіх коренів багаточлена f за допомогою символів a 1 ,..., a n відповідно до леми 3.

Потрібно довести, що таким способом дійсно однозначно визначаються цілком упорядковані поля Р f , S f якщо тільки вже визначені всі попередні Р g , S g перерахованим вище вимогам.

Якщо виконано вимогу 3, то насамперед Р f - відрізок S f . З цього і вимоги 2 випливає, що поле Р і кожне поле S g (g

Р - відрізок S h при h

S g - відрізок S h при g

Звідси випливає, що Р і поля S h (h b, яке має зберігатися в Рf. Його відношення порядку є одним і тим же у всіх полях Р або S g які містять як а, так і b, тому що всі ці поля є відрізками один одного. Отже, ставлення до порядку визначено. Те, що воно визначає цілком упорядковане безліч, очевидно, так як кожне непорожнє безліч x в Р f містить щонайменше один елемент з Р або з деякого поля S g , а тому і перший елемент з x Ç Р або x Ç S g . Цей елемент одночасно є і першим елементом x.

З огляду на умови 3 многочлен f(x) повністю розкладається на лінійні множники у полі S f . Далі, за допомогою трансфінітної індукції, показується, що S f є алгебраїчним над Р. Справді, припустимо, що всі поля S g (g

Складемо тепер об'єднання W всіх полів Sf; згідно з лемою 4 воно є полем. Це поле алгебраїчно над Р і над ним розкладаються всі багаточлени f (оскільки кожен многочлен f розкладається вже над S f). Отже, поле W замкнено алгебраїчно (лема 1).

Єдиність поля W. Нехай W і W" - два поля, що є алгебраїчними і замкненими алгебраїчними розширеннями поля Р. Доведемо еквівалентність цих полів. Для цього будемо вважати, що обидва поля цілком упорядковані. Побудуємо для кожного відрізка Â з W (саме поле W також вважається одним з таких відрізків) підмножина ¢ в W" і деякий ізоморфізм

P(Â) @ Р(¢).

Останній має задовольняти наступним рекурентним співвідношенням.

1. Ізоморфізм P(Â) @ Р(¢) повинен залишати кожен елемент поля Р на місці.

2. Ізоморфізм P(Â) @ Р(¢) при ÁÌ Â має бути продовженням ізоморфізму Р(Á) @Р(Á").

3. Якщо Â має останній елемент a, так що Â = ÁÈ(a), і якщо а - корінь нерозкладного в Р (Á) багаточлена f(x), то елемент а" повинен бути першим коренем відповідного чинності Р(Á) @Р(Á"), многочлена f¢(x) у цілком упорядкованому полі W".

Потрібно показати, що цими трьома вимогами дійсно визначається ізоморфізм P(Â) @ Р(¢), якщо він уже визначений для всіх попередніх відрізків ÁÌ Â. Тут потрібно розрізняти два випадки.

Перший випадок. Безліч  не має останнього елемента. Тоді кожен елемент належить певному попередньому відрізку Á; тому  є об'єднанням відрізків Á, тому Р(Â) - об'єднанням полів Р(Á) для ÁÌ Â. Оскільки кожен із ізоморфізмів Р(Á) @Р(Á") є продовженням усіх попередніх, то кожному елементу a при всіх цих ізоморфізмах зіставляється лише один елемент a". Тому існує одне і лише одне відображення P(Â) → Р(¢), що продовжує всі попередні ізоморфізми Р(Á)→ Р(Á"), а саме відображення a®a". Очевидно, воно є ізоморфізмом і відповідає вимогам 1 і 2.

Другий випадок. Безліч має останній елемент а; отже,  =ÁÈ(а). Внаслідок вимоги 3 елемент а", сопоставляемый елементу а, однозначно визначений. Так як а" над полем Р(Á") (в сенсі аналізованого ізоморфізму) задовольняє «тому ж» нерозкладне рівняння, що і а над Р(Á), то ізоморфізм Р(Á)→Р(Á") (і в тому випадку, коли Á порожньо, тобто тотожний ізоморфізм Р®Р) триває до ізоморфізму Р(Á, a) ®Р(Á", a¢), при якому а переходить у а". Кожною з наведених вище вимог цей ізоморфізм визначено однозначно, тому що кожна раціональна функція j(а) з коефіцієнтами з обов'язково переходить у функцію j"(а") з відповідними коефіцієнтами з Á". Те, що так певний ізоморфізм P(Â) ® Р(¢) відповідає вимогам 1 і 2, очевидно.

Таким чином, побудова ізоморфізму P(Â)→Р(¢) завершена. Позначимо через W" об'єднання всіх полів Р(¢); тоді існує ізоморфізм Р(W)®W" або W®W", що залишає на місці кожен елемент поля Р. Так як поле W алгебраїчно замкнуте, таким же має бути і W ", а тому W" збігається з усім полем W¢.Звідси випливає еквівалентність полів W і W¢.

Значення алгебраїчно замкнутого розширення даного поля полягає в тому, що з точністю до еквівалентності воно містить усі можливі розширення алгебри цього поля. Точніше:

Якщо W - алгебраїчно замкнуте розширення алгебри поля Р і S - довільне алгебраїчне розширення поля Р, то всередині W існує розширення S 0 , еквівалентне розширенню S.

Доведення. Продовжимо S до деякого замкнутого алгебраїчного розширення W". Воно буде алгебраїчним і над Р, а тому еквівалентним розширенню W. При якомусь ізоморфізмі, що переводить W" в W і зберігає нерухомим кожен елемент з Р, поле S переходить в деяке еквівалентне йому підполі S 0 W.

4.2. Прості трансцендентні розширення.

Кожне просте трансцендентне розширення поля D, як відомо, еквівалентно полю приватних D(x) кільця многочленов D[x]. Тому ми вивчимо це поле приватних

Елементами поля W є раціональні функції

Теорема. Кожен відмінний від константи елемент h ступеня п трансцендентний над D і поле D(x) - розширення алгебри поля D(h) ступеня п.

Доведення. Подання h = f(х)/g(х) вважатимемо нескоротним. Тоді елемент х задовольняє рівняння

g(x)×h - f(x)=0

з коефіцієнтами D(h). Ці коефіцієнти не можуть бути рівними нулю. Справді, якби всі вони дорівнювали нулю і ak був би при тій же мірі х будь-яким ненульовим коефіцієнтом многочлена g(x), а b k - ненульовим коефіцієнтом многочлена f(x), то мало б мати місце рівність

звідки h = b k / ak = const, що суперечить припущенню. Отже, елемент х алгебраїчний над D(h).

Якби елемент h був алгебраїчним над D, то х був би алгебраїчним над D, що, однак, не так. Отже, елемент h трансцендентний над D.

Елемент х є коренем багаточлена ступеня n

у кільці D(h)(z). Цей многочлен нерозкладний в D(h)[z], оскільки інакше він був би розкладемо п в кільці D, і, оскільки він лінійний по h, одне із множників мав би залежати немає від h, лише від z. Але такого множника не може бути, тому що g(z) та f(z) взаємно прості.

Отже, елемент х є ступенем алгебри п над полем D(h). Звідси випливає твердження, що (D(x) : D(h)) = n

Для подальшого зазначимо, що багаточлен

не має множників, що залежать тільки від z (тобто лежать у D[z]). Це твердження залишається вірним, коли h замінюється своїм значенням f(х)/g(х) і множиться на знаменник g(х), тим самим многочлен.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

кільця D немає множників, залежать тільки від z.

З доведеної теореми випливають три наслідки.

1. Ступінь функції h - f(х)/g(х) залежить лише від полів D(h) і D(x), а не від того чи іншого вибору елемента, що породжує х.

2. Рівність Д(h) = D(х) має місце тоді й лише тоді, коли h має ступінь 1, тобто є дробово-лінійною функцією. Це означає: породжувальним елементом поля, крім елемента х, може бути будь-яка дробно-лінійна функція від x і тільки така функція.

3. Будь-який автоморфізм поля D(х), що залишає на місці кожен елемент поля D, повинен переводити елемент x в будь-який елемент поля. Назад, якщо х переводиться в якийсь породжувальний елемент х = (ax+b)/(cx+d) і кожна функція j(х) - у функцію j(х), то виходить автоморфізм, при якому всі елементи D залишаються на місці. Отже,

Усі автоморфізми поля D(x) над полем D є дробово-лінійними підстановками

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Важливою для деяких геометричних досліджень є

Теорема Люрота. Кожне проміжне поле S, для якого DÌSID(x) є простим трансцендентним розширенням: S = D(q).

Доведення. Елемент х повинен бути алгебраїчним над S, тому що якщо h - будь-який елемент S не належить полю D, то, як було показано, елемент х є алгебраїчним над D(h) і тим більше алгебраїчним над S. Нехай нерозкладний в кільці многочленів S [z] багаточлен зі старшим коефіцієнтом 1 і коренем x має вигляд

f 0 (z) = z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (1)

З'ясуємо будову цього багаточлена.

Елементи a i є раціональними функціями x. За допомогою множення на спільний знаменник їх можна зробити цілими раціональними функціями і, окрім того, отримати багаточлен щодо x із вмістом 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Ступінь цього многочлена по позначимо через т, а по z - через п.

Коефіцієнти a i = b i / b 0 з (1) не можуть бути незалежними від х, так як інакше х виявився б алгебраїчним елементом над D; тому один із них, скажімо,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

повинен фактично залежати від x; запишемо його в нескороченому вигляді:

Ступені многочленів g(х) і h(х) не перевищують т. Многочлен

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(що не є тотожним нулем) має корінь z = x, тому він ділиться на f 0 (z) в кільці S[z]. Якщо перейти від цих раціональних по х багаточленів до цілих по х багаточленів зі змістом 1, то відношення ділимості збережеться, і ми отримаємо

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Ліва частина у цій рівності має ступінь по х, що не перевищує т. Але справа вже багаточлен f має ступінь т; отже, ступінь лівої частини точно точно дорівнює т і q(х, z) не залежить від х. Однак залежить лише від z множник не може ділити ліву частину (див. вище); тому q(х, z) є константою:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Оскільки присутність константи q ролі не грає, будова многочлена f(х, z) описано повністю. Ступінь многочлена f(х, z) по х дорівнює т отже (з міркувань симетрії), і ступінь по z дорівнює т, так що m = п. Щонайменше один із ступенів багаточленів g(x) і h(х) повинен фактично досягати значення m, отже, і функція q повинна мати ступінь т х.

Тим самим, оскільки з одного боку встановлено рівність

(D(х):D(q)) = т,

а з іншого - рівність

те, оскільки містить D(q),

Висновок.

У роботі були розглянуті такі види розширень числового поля P:

Просте розширення алгебри поля.

Складове розширення поля алгебри.

Сепарабельні та несепарабельні розширення.

Нескінченні розширення полів.

Аналізуючи роботу, можна зробити деякі висновки.

З розглянутих у перших двох частинах розширень, таких як:

прості розширення алгебри;

кінцеві розширення;

складові розширення алгебри.

Слід, що це види розширень збігаються і, зокрема, вичерпуються простими алгебраїчними розширеннями поля P.

Список літератури

1. Л.Я. Куликів. Алгебра і теорія чисел. - М.: Вищ. Школа, 1979.-528-538с.

2. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра.- М., 1976 - 138-151с., 158-167с., 244-253с.

3. Е.Ф. Шмигірьов, С.В. Ігнатович. Теорія багаточленів. - Мозир 2002.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали із сайту