Аксіоми дійсних чисел. Дослідження аксіом теорії цілих чисел Аксіоматична побудова системи цілих чисел

Речових чисел, що позначається через (так звану R рубану), введено операцію додавання («+»), тобто кожній парі елементів ( x,y) з безлічі речових чисел ставиться у відповідність елемент x + yз цієї ж множини, званий сумою xі y .

Аксіоми множення

На введено операцію множення («·»), тобто кожній парі елементів ( x,y) з безлічі речових чисел ставиться у відповідність елемент (або, скорочено, xy) з цієї ж множини, званий твором xі y .

Зв'язок додавання та множення

Аксіоми порядку

На задане відношення порядку «» (менше чи одно), тобто для будь-якої пари x, yвиконується хоча б одна з умов або .

Зв'язок відношення порядку та складання

Зв'язок відношення порядку та множення

Аксіома безперервності

Коментар

Ця аксіома означає, що якщо Xі Y- дві непорожні множини дійсних чисел такі, що будь-який елемент з Xне перевершує будь-якого елемента з Y, то між цими множинами можна вставити речове число. Для раціональних чиселця аксіома не виконується; класичний приклад: розглянемо позитивні раціональні числа та віднесемо до безлічі Xті числа, квадрат яких менший за 2, а інші - до Y. Тоді між Xі Yне можна вставити раціональне число (не є раціональним числом).

Ця ключова аксіома забезпечує щільність і тим самим уможливлює побудову математичного аналізу. Для ілюстрації її важливості вкажемо на два фундаментальні наслідки з неї.

Наслідки аксіом

Безпосередньо з аксіом випливають деякі важливі властивості дійсних чисел, наприклад,

• єдиність нуля,
• єдиність протилежного та зворотного елементів.

Література

• Зорич В. А.Математичний аналіз. Том I. М.: Фазіс, 1997, розділ 2.

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Аксіоматика дійсних чисел" в інших словниках:

Речове, чи дійсне число математична абстракція, що виникла з потреби виміру геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також проведення таких операцій як вилучення кореня, обчислення логарифмів, рішення.

Речові, чи дійсні числа математична абстракція, що служить, зокрема, уявлення та порівняння значень фізичних величин. Таке число може бути інтуїтивно представлене як описує положення точки на прямій.

Речові, чи дійсні числа математична абстракція, що служить, зокрема, уявлення та порівняння значень фізичних величин. Таке число може бути інтуїтивно представлене як описує положення точки на прямій.

Речові, чи дійсні числа математична абстракція, що служить, зокрема, уявлення та порівняння значень фізичних величин. Таке число може бути інтуїтивно представлене як описує положення точки на прямій.

Речові, чи дійсні числа математична абстракція, що служить, зокрема, уявлення та порівняння значень фізичних величин. Таке число може бути інтуїтивно представлене як описує положення точки на прямій.

Речові, чи дійсні числа математична абстракція, що служить, зокрема, уявлення та порівняння значень фізичних величин. Таке число може бути інтуїтивно представлене як описує положення точки на прямій.

Речові, чи дійсні числа математична абстракція, що служить, зокрема, уявлення та порівняння значень фізичних величин. Таке число може бути інтуїтивно представлене як описує положення точки на прямій.

У Вікісловарі є стаття «аксіома» Аксіома (ін. грец... Вікіпедія

Аксіома, яка зустрічається у різних аксіоматичних системах. Аксіоматика дійсних чисел Аксіоматика Гільберта Евклідової геометрії Аксіоматика Колмогорова теорії ймовірностей … Вікіпедія

Система цілих чисел

Згадаймо, що натуральний ряд з'явився для переліку предметів. Але якщо ми захочемо робити якісь дії з предметами, то нам знадобляться арифметичні операції над числами. Тобто, якщо ми хочемо складати яблука або ділити торт, нам треба перекласти ці дії мовою чисел.

Звернемо увагу, що з введення операцій + і * у мову натуральних чисел потрібно додати аксіоми, що визначають властивості цих операцій. Але тоді і безліч натуральних чисел теж розширюється.

Подивимося, як розширюється безліч натуральних чисел. Найпростіша операція, яка була потрібна однією з перших – це додавання. Якщо ми хочемо визначити операцію додавання, необхідно визначити зворотну до неї - віднімання. Справді, якщо ми знаємо, що буде в результаті додавання, наприклад, 5 і 2, то ми повинні вміти вирішувати і завдання типу: що треба додати до 4, щоб отримати 11. Тобто, завдання, пов'язані зі складанням, обов'язково вимагатимуть вміння виробляти і зворотну дію - віднімання. Але якщо додавання натуральних чисел дає знову натуральне число, то віднімання натуральних чисел дає результат, що не вписується в N. Були потрібні якісь ще числа. За аналогією зрозумілого віднімання з більшого числаменшого було введено правило віднімання з меншого більшого – так з'явилися цілі негативні числа.

Доповнюючи натуральний ряд операціями + і - ми приходимо до безлічі цілих чисел.

Z=N+операції(+-)

Система раціональних чисел як мова арифметики

Розглянемо тепер таку за складністю дію – множення. По суті, це багаторазове додавання. І добуток цілих чисел залишається цілим числом.

Але зворотна операція до множення – це поділ. А воно далеко не завжди дає цілий результат. І знову ми стоїмо перед дилемою – або сприйняти як це, що результат поділу може «не існувати», або вигадати числа якогось нового типу. Так виникли раціональні числа.

Візьмемо систему цілих чисел і доповнимо її аксіомами, що визначають операції множення та поділу. Отримаємо систему раціональних чисел.

Q=Z+операції(*/)

Отже, мова раціональних чисел дозволяє робити всі арифметичні операціїнад числами. Мова натуральних чисел цього було недостатньо.

Наведемо аксіоматичне визначення системи раціональних чисел.

Визначення. Безліч Q називається безліччю раціональних чисел, яке елементи - раціональними числами, якщо виконується наступний комплекс умов, званий аксіоматикою раціональних чисел:

Аксіоми операції складання. Для будь-якої впорядкованої пари х,уелементів з Qвизначено деякий елемент х+уÎQ, званий сумою хі у. При цьому виконуються такі умови:

1. (Існування нуля) Існує елемент 0 (нуль) такий, що для будь-якого хÎQ

х+0=0+х=х.

2. Для будь-якого елемента х Q Q існує елемент - хÎ Q (протилежний х) такий, що

х+ (-х) = (-х) + х = 0.

3. (Комутативність) Для будь-яких х,уÎ Q

4. (Асоціативність) Для будь-яких х,у,z Q

х + (у + z) = (х + у) + z

Аксіоми операції множення.

Для будь-якої впорядкованої пари х, уелементів з Q визначено деякий елемент хуÎ Q, званий твором хі у.При цьому виконуються такі умови:

5. (Існування одиничного елемента) Існує елемент 1 Q такий, що для будь-якого хÎ Q

х . 1 = 1. х = х

6. Для будь-якого елемента х Q Q , ( х≠ 0) існує зворотний елемент х-1 ≠0 такий, що

х. х -1 = х -1. х = 1

7. (Асоціативність) Для будь-яких х, у,zÎ Q

х . (у . z) = (х . у) . z

8. (Комутативність) Для будь-яких х, уÎ Q

Аксіома зв'язку складання та множення.

9. (Дистрибутивність) Для будь-яких х, у, zÎ Q

(х+у) . z = x . z+у . z

Аксіоми порядку.

Будь-які два елементи х, у, Q Q вступають у відношення порівняння ≤. При цьому виконуються такі умови:

10. (х≤у)L ( у≤x) ó x=у

11. (х≤у) L (у≤ z) => x≤z

12. Для будь-яких х, уÎ Q або х< у, либо у < x .

Ставлення< называется строгим неравенством,

Відношення = називається рівністю елементів Q.

Аксіома зв'язку додавання та порядку.

13. Для будь-яких x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксіома зв'язку множення та порядку.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксіома безперервності Архімеда.

15. Для будь-яких a > b > 0 існує m N і n Q такі, що m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Таким чином, система раціональних чисел – це мова арифметики.

Проте, на вирішення практичних обчислювальних завдань цієї мови виявляється недостатньо.

Аксіоматичний метод у математиці.

Основні поняття та відносини аксіоматичної теорії натурального ряду. Визначення натурального числа.

Додавання натуральних чисел.

Збільшення натуральних чисел.

Властивості множини натуральних чисел

Віднімання та розподіл натуральних чисел.

Аксіоматичний метод у математиці

При аксіоматичній побудові якої-небудь математичної теорії дотримуються певні правила:

1. Деякі поняття теорії вибираються як основнихта приймаються без визначення.

2. Формулюються аксіоми, які у цій теорії приймаються без докази, у яких розкриваються властивості основних понять.

3. Кожному поняття теорії, яке не міститься у списку основних, дається визначення, у ньому пояснюється його зміст за допомогою основних та попередніх даному поняттю.

4. Кожна пропозиція теорії, яка не міститься у списку аксіом, має бути доведена. Такі пропозиції називають теоремамиі доводять їх на основі аксіом і теорем, що передують аналізованої.

Система аксіом має бути:

а) несуперечливою:ми повинні бути впевнені, що, роблячи різні висновки з даної системи аксіом, ніколи не прийдемо до суперечності;

б) незалежною: ніяка аксіома не повинна бути наслідком інших аксіом цієї системи.

в) повної, якщо в її рамках завжди можна довести чи це твердження, чи його заперечення.

Першим досвідом аксіоматичного побудови теорії вважатимуться виклад геометрії Евклідом у його " Початках " (3 в. е.). Значний внесок у розвиток аксіоматичного методу побудови геометрії та алгебри зробили Н.І. Лобачевський та Е.Галуа. Наприкінці 19 ст. італійським математиком Пеано було розроблено систему аксіом для арифметики.

Основні поняття та відносини аксіоматичної теорії натурального числа. Визначення натурального числа.

Як основне (невизначуване) поняття в деякій множині N вибирається ставлення , і навіть використовуються теоретико-множинні поняття, і навіть правила логіки.

Елемент, що безпосередньо наступає за елементом а,позначають а".

Відносини «безпосередньо слідувати за» задовольняють наступним аксіомам:

Аксіоми Пеано:

Аксіома 1. У безлічі N існує елемент, безпосередньо не наступнийні за яким елементом цієї множини. Будемо називати його одиницеюта позначати символом 1 .

Аксіома 2. Для кожного елемента а з N існує єдиний елемент а" , безпосередньо наступний за а .

Аксіома 3. Для кожного елемента а з Nіснує не більше одного елемента, за яким безпосередньо слідує а .

Аксіома 4.Будь-яке підмножина М безлічі N співпадає з N , якщо має властивості: 1) 1 міститься в М ; 2) з того, що а міститься в М , слід, що і а" міститься в М.

Визначення 1. Безліч N , для елементів якого встановлено ставлення «безпосередньо слідувати за», що задовольняє аксіомам 1-4, називається безліччю натуральних чисел, а його елементи - натуральними числами.

У даному визначенні нічого не йдеться про природу елементів множини N . Значить, вона може бути будь-якою. Вибираючи як безліч N деяка конкретна множина, на якій задано конкретне відношення «безпосередньо слідувати за», що задовольняє аксіомам 1-4, ми отримаємо модель даної системи аксіом.

Стандартною моделлю системи аксіом Пеано є ряд чисел, що виник у процесі історичного розвитку суспільства: 1,2,3,4,... Натуральний ряд починається з числа 1 (аксіома 1); за кожним натуральним числом безпосередньо слідує єдине натуральне число (аксіома 2); кожне натуральне число безпосередньо слідує не більше ніж за одним натуральним числом (аксіома 3); починаючи від числа 1 і переходячи по порядку до безпосередньо наступних один за одним натуральних чисел, отримуємо всі множини цих чисел (аксіома 4).

Отже, ми розпочали аксіоматичну побудову системи натуральних чисел з вибору основного відносини «безпосередньо слідувати за»та аксіом, в яких описані його властивості. Подальша побудова теорії передбачає розгляд відомих властивостей натуральних чисел та операцій з них. Вони мають бути розкриті у визначеннях і теоремах, тобто. виведені суто логічним шляхом з відношення «безпосередньо слідувати за», та аксіом 1-4.

Перше поняття, яке ми введемо після визначення натурального числа, – це ставлення «безпосередньо передує» , яке часто використовують під час розгляду властивостей натурального ряду.

Визначення 2.Якщо натуральне число b безпосередньо слідує занатуральним числом а, то число а називається безпосередньо попереднім(або попереднім) числу b .

Відношення «передує» має рядом властивостей.

Теорема 1. Одиниця немає попереднього натурального числа.

Теорема 2. Кожне натуральне число а, Відмінне від 1, має єдине попереднє число b,таке, що b"= а.

Аксіоматична побудова теорії натуральних чисел не розглядається ні в початковій, ні в середній школі. Проте властивості відносини «безпосередньо слідувати за», які відбито у аксіомах Пеано, є предметом вивчення у початковому курсі математики. Вже у першому класі під час розгляду чисел першого десятка з'ясовується, як можна одержати кожне число. У цьому використовуються поняття «слід» і «передує». Кожне нове число постає як продовження вивченого відрізка натурального ряду чисел. Учні переконуються у цьому, що з кожним числом йде таке, і лише одне, що натуральний ряд чисел нескінченний.

Додавання натуральних чисел

За правилами побудови аксіоматичної теорії, визначення додавання натуральних чисел потрібно запровадити, використовуючи лише відношення «безпосередньо слідувати за», і поняття «натуральне число»і «попереднє число».

Випередимо визначення складання наступними міркуваннями. Якщо до будь-якого натурального числа адодати 1, то отримаємо число а",безпосередньо наступне за а, тобто. а+ 1= а"і, отже, отримаємо правило додавання 1 до будь-якого натурального числа. Але як додавати до анатуральне число b,відмінне від 1? Скористаємося наступним фактом: якщо відомо, що 2 + 3 = 5, то сума 2 + 4 = 6, яке безпосередньо слідує за числом 5. Відбувається так тому, що в сумі 2 + 4 друге доданок є число, що безпосередньо наступає за числом 3. Таким чином, 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". В загальному вигляді маємо, .

Ці факти покладено основою визначення складання натуральних чисел в аксіоматичної теорії.

Визначення 3. Додаванням натуральних чиселназивається алгебраїчна операція, що має властивості:

Число а + b називається сумою чисел аі b , а самі числа аі b - доданками.

ОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЛІЯ ОмДПУ у Г. ТАРІ
ББК Друкується за рішенням редакційно-видавничого
22я73 сектори філії ОмДПУ у м.Тарі
Ч67

Рекомендації призначені для студентів педагогічних вузів, які вивчають дисципліну "Алгебра та теорія чисел". У рамках цієї дисципліни відповідно до державного стандарту у 6 семестрі вивчається розділ "Числові системи". У цих рекомендаціях викладається матеріал про аксіоматичну побудову систем натуральних чисел (система аксіом Пеано), систем цілих та раціональних чисел. Ця аксіоматика дозволяє глибше зрозуміти, що таке число, яке одна із основних понять шкільного курсу математики. Для кращого засвоєння матеріалу наводяться завдання відповідні теми. Наприкінці рекомендацій є відповіді, вказівки, розв'язання задач.

Рецензент: д.п.н., проф. Далінгер В.А.

(С) Можан Н.М.

Підписано до друку - 22.10.98

Папір газетний
Тираж 100 екз.
Спосіб друку оперативний
ОмДПУ, 644099, Омськ, наб. Тухачевського, 14
філія, 644500, Тара, вул. Шкільна, 69

1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА.

При аксіоматичному побудові системи натуральних чисел вважатимемо відомими поняття множини, відносини, функції та інші теоретико-множинні поняття.

1.1 Система аксіом Пеано та найпростіші наслідки.

Початковими поняттями в аксіоматичній теорії Пеано є безліч N (яке називатимемо безліччю натуральних чисел), особливе число нуль (0) з нього і бінарне відношення "слідує" на N, що позначається S(a) (або a().
АКСІОМИ:
1. ((a(N) a"(0 (Існує натуральне число 0, яке не слідує ні за яким числом.))
2. a=b (a"=b" (Для кожного натурального числа a існує наступне за ним натуральне число a", і до того лише одне.)
3. a"=b" (a=b (Кожне натуральне число слід лише за одним числом.)
4. (аксіома індукції) Якщо множина M(N і M задовольняє двом умовам:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, то M=N).
У функціональній термінології це означає, що відображення S:N®N є ін'єктивним. З аксіоми 1 випливає, що відображення S:N®N не є сюр'єктивним. Аксіома 4 - основа доказу тверджень "методом математичної індукції".
Відзначимо деякі властивості натуральних чисел, що безпосередньо випливають з аксіом.
Властивість 1. Кожне натуральне число a(0 слід за одним і лише одним числом.
Доведення. Позначимо через M безліч натуральних чисел, що містить нуль і всі ті натуральні числа, кожне з яких слідує за якимось числом. Достатньо показати, що M=N, єдиність випливає з аксіоми 3. Застосуємо аксіому індукції 4:
A) 0(M - по побудові множини M;
B) якщо a(M, те й a"(M, бо a" слідує за a.
Значить з аксіоми 4 M=N.
Властивість 2. Якщо a(b, то a"(b").
Доводиться властивість методом "від неприємного", використовуючи аксіому 3. Аналогічно доводиться таку властивість 3, використовуючи аксіому 2.
Властивість 3. Якщо a "(b", то a (b.)"
Властивість 4. ((a(N)a(a". (Ніяке натуральне число не слідує за собою).)
Доведення. Нехай M=(x(x(N, x(x")). Досить показати, що M=N. Оскільки по аксіомі 1 ((x(N)x"(0, то зокрема і 0"(0, і)) таким чином умова A) аксіоми 4 0(M - виконується. Якщо x(M, тобто x(x"), то за властивістю 2 x"((x")", а це означає, що виконується і умова B) x( M ® x"(M. Але тоді згідно з аксіомою 4 M=N."
Нехай (- деяка властивість натуральних чисел. Той факт, що число a має властивість (, записуватимемо ((a)).
Завдання 1.1.1. Доведіть, що аксіома 4 з визначення безлічі натуральних чисел дорівнює наступному твердженню: для будь-якої властивості (, якщо ((0) і, то).
Завдання 1.1.2. На триелементній множині A=(a,b,c) в такий спосіб визначено унарна операція (: a(=c, b(=c, c(=a)).) Які з аксіом Пеано істинні на множині A з операцією (?
Завдання 1.1.3. Нехай A = (a) - одноелементна множина, a (= a) Які з аксіом Пеано істинні на множині A з операцією (?)
Завдання 1.1.4. На множині N визначимо унарну операцію, вважаючи для будь-кого. З'ясуйте, чи будуть у N істинні твердження аксіом Пеано, сформульовані в термінах операції.
Завдання 1.1.5. Нехай. Доведіть, що A замкнуто щодо операції (. Перевірте істинність аксіом Пеано на множині A з операцією (.).
Завдання 1.1.6. Нехай, . Визначимо на A унарну операцію, вважаючи. Які з аксіом Пеано є істинними на множині A з операцією?

1.2. Несуперечливість та категоричність системи аксіом Пеано.

Система аксіом називається несуперечливою, якщо з її аксіом неможливо довести теорему T та її заперечення (T. Зрозуміло, що суперечливі системи аксіом не мають у математиці жодного значення, бо в такій теорії можна довести все, що завгодно і така теорія не відображає закономірностей дійсного світу Тому несуперечність системи аксіом - абсолютно необхідна вимога.
Якщо в аксіоматичній теорії не зустрілося теорема T і її заперечення (T, то це ще не означає, що система аксіом несуперечлива; такі теорії можуть зустрітися надалі. Тому, несуперечність системи аксіом треба доводити. Найбільш поширеним способом доказу несуперечності є метод інтерпретацій, заснований на тому, що якщо існує інтерпретація системи аксіом у явно несуперечливій теорії S, то й сама система аксіом несуперечлива. і в її інтерпретації, а це суперечить несуперечності теорії S. Метод інтерпретацій дозволяє довести лише відносну несуперечність теорії.
Для системи аксіом Пеано можна збудувати багато різних інтерпретацій. Особливо багата на інтерпретації теорія множин. Зазначимо одну з таких інтерпретацій. Натуральними числами вважатимемо множини (, ((), ((())), (((())),..., особливим числом нуль вважатимемо (. Відношення "слід за" будемо інтерпретувати наступним чином: за множиною M слід безліч (M), єдиним елементом якого є саме M. Таким чином, ("=((), (()"=((()) і т. д.)). невелика: вона показує, що система аксіом Пеано несуперечлива, якщо несуперечлива теорія множин, але доказ несуперечності системи аксіом теорії множин - ще більш важке завдання.
Несуперечлива система аксіом називається незалежною, якщо кожна аксіома цієї системи не може бути доведена як теорема на основі інших аксіом. Щоб довести, що аксіома (не залежить від інших аксіом системи
(1, (2, ..., (n, ((1))
достатньо довести, що несуперечлива система аксіом
(1, (2, ..., (n, (((2))
Справді, якби (доводилася виходячи з інших аксіом системи (1), то система (2) була суперечливою, оскільки у ній були б вірними теорема (і аксіома ((.)).
Отже, щоб довести незалежність аксіоми (від інших аксіом системи (1), достатньо побудувати інтерпретацію системи аксіом (2).
Незалежність системи аксіом – вимога необов'язкова. Іноді, щоб уникнути доказу "важких" теорем, будують свідомо надмірну (залежну) систему аксіом. Однак "зайві" аксіоми ускладнюють вивчення ролі аксіом у теорії, а також внутрішніх логічних зв'язків між різними розділами теорії. Крім того, побудова інтерпретацій для залежних систем аксіом значно складніша, ніж для незалежних; адже доводиться перевіряти справедливість "зайвих" аксіом. З цих причин питання залежності між аксіомами з давніх-давен надавалося першорядне значення. Свого часу спроби довести, що 5 постулат в аксіоматиці Евкліда "Існує не більше однієї прямої , що проходить через точку A паралельно прямий (", є теоремою (тобто залежить від інших аксіом) і призвели до відкриття геометрії Лобачевського).
Несуперечлива система називається дедуктивно повною, якщо будь-яка пропозиція A даної теорії можна або довести, або спростувати, тобто або A, або (A є теоремою даної теорії. Якщо ж існує така пропозиція, яку не можна ні довести, ні спростувати, то система аксіом називається Дедуктивна повнота - теж не обов'язкова вимога, наприклад, система аксіом теорії груп, теорії кілець, теорії полів - неповні, оскільки існують і кінцеві та нескінченні групи, кільця, поля, то в цих теоріях не можна ні довести, ні спростувати пропозицію. : "Група (кільце, поле) містить кінцеву кількість елементів".
Слід зазначити, що у багатьох аксіоматичних теоріях (саме, у неформалізованих) безліч пропозицій не можна вважати точно визначеним і тому довести дедуктивну повноту системи аксіом такої теорії неможливо. Інший зміст повноти називають категоричністю. Система аксіом називається категоричною, якщо будь-які дві її інтерпретації ізоморфні, тобто існує така взаємно однозначна відповідність між множинами початкових об'єктів тієї та іншої інтерпретації, яка зберігається за всіх початкових відносин. Категоричність – теж необов'язкова умова. Наприклад, система аксіом теорії груп не категорична. Це випливає з того, що кінцева група не може бути ізоморфною нескінченною групою. Однак при аксіоматизації теорії якоїсь числової системи категоричність обов'язкова; наприклад, категоричність системи аксіом, що визначає натуральні числа, означає, що з точністю до ізоморфізму існує лише один натуральний ряд.
Доведемо категоричність системи аксіом Пеано. Нехай (N1, s1, 01) та (N2, s2, 02) - будь-які дві інтерпретації системи аксіом Пеано. Потрібно вказати таке бієктивне (взаємно однозначне) відображення f:N1®N2, для якого виконуються умови:
а) f(s1(x)=s2(f(x)) для будь-якого x N1;
б) f(01) = 02
Якщо обидві унарні операції s1 та s2 позначати однаково штрихом, то умова а) перепишеться у вигляді
а) f(x()=f(x)(.
Визначимо на множині N1(N2 бінарне відношення f наступними умовами:
1) 01f02;
2) якщо xfy, x(fy(.
Переконаємося, що це відношення є відображенням N1 до N2, тобто для кожного x з N1
(((y(N2) xfy (1)
Позначимо через M1 безліч усіх елементів x N1, для яких умова (1) виконується. Тоді
А) 01(M1 з 1);
B) x(M1 ® x((M1 в силу 2) та властивості 1 пункту 1).
Звідси, згідно з аксіомою 4 укладаємо, що M1=N1, а це і означає, що відношення f є відображенням N1 N2. У цьому з 1) випливає, що f(01)=02. Умова 2) записується як: якщо f(x)=y, то f(x()=y(. Звідси випливає, що f(x()=f(x)(. Отже, для відображення f умови а)) і б) виконуються Залишається довести біоактивність відображення f.
Позначимо через M2 безліч тих елементів N2, кожен з яких є образом одного і тільки одного елемента N1 при відображенні f.
Оскільки f(01)=02, то 02 є. При цьому якщо x(N2 і x(01), то за властивістю 1 пункту 1 x слідує за деяким елементом c з N1 і тоді f(x)=f(c()=f(c)((02. Значить, 02 є) чином єдиного елемента 01, тобто 02(M2.
Нехай далі y(M2 і y=f(x), де x - єдиний прообраз елемента y. Тоді в силу умови а) y(=f(x)(=f(x()), тобто y(є образом елемента x) (. Нехай c - будь-який прообраз елемента y(, тобто f(c)=y(. Оскільки y((02, то c(01 і c) є попередній елемент, який позначимо через d.)) Тоді y(=f( c)=f(d()=f(d)(, звідки в силу аксіоми 3 y=f(d)). якщо y є образом єдиного елемента, то і y(є образом єдиного елемента, тобто y(M2 ® y((M2. Обидві умови аксіоми 4 виконуються і, отже , M2=N2), чим і завершується доказ категоричності).
Вся догрецька математика мала емпіричний характер. Окремі елементи теорії тонули у масі емпіричних прийомів розв'язання практичних завдань. Греки піддали цей емпіричний матеріал логічній обробці, постаралися знайти зв'язок між різними емпіричними відомостями. У цьому вся сенсі у геометрії велику роль зіграв Піфагор та її школа (5 століття е.). Ідеї ​​аксіоматичного методу чітко прозвучали й у працях Аристотеля (4 століття е.). Проте, практичне здійснення цих ідей було проведено Евклідом у його "Початках" (3 століття е.).
Нині можна назвати три форми аксіоматичних теорій.
1). Змістовна аксіоматика, яка була єдиною до середини минулого століття.
2). Напівформальна аксіоматика, що виникла в останній чверті минулого століття.
3). Формальна (або формалізована) аксіоматика, датою народження якої можна вважати 1904, коли Д.Гільберт опублікував свою знамениту програму про основні принципи формалізованої математики.
Кожна нова форма не заперечує попередню, а її розвитком і уточненням, отже рівень суворості кожної нової форми вище, ніж попередньої.
Змістовна аксіоматика характеризується тим, що початкові поняття мають інтуїтивно ясне значення ще до формулювання аксіом. Так, у "Початках" Евкліда під точкою розуміється саме те, що ми інтуїтивно собі уявляємо під цим поняттям. При цьому використовується звичайна мова та звичайна інтуїтивна логіка, що сягає ще Аристотеля.
У напівформальних аксіоматичних теоріях також використовується звичайна мова та інтуїтивна логіка. Однак на відміну від змістовної аксіоматики, первісним поняттям не надається жодного інтуїтивного сенсу, вони характеризуються лише аксіомами. Тим самим підвищується строгість, оскільки інтуїція певною мірою заважає строгості. Крім того, набувається спільності, тому що кожна теорема, доведена в такій теорії, буде справедлива у будь-якій її інтерпретації. Зразком напівформальної аксіоматичної теорії є теорія Гільберта, викладена в його книзі "Підстави геометрії" (1899). Прикладами напівформальних теорій є також теорія кілець та інших теорій, викладених у курсі алгебри.
Прикладом формалізованої теорії є обчислення висловлювань, що вивчається у курсі математичної логіки. На відміну від змістовної та напівформальної аксіоматики, у формалізованій теорії використовується особлива символічна мова. Саме задається алфавіт теорії, тобто деяка безліч символів, що грають ту ж роль, що літери у звичайній мові. Будь-яка кінцева послідовність символів називається виразом чи словом. Серед виразів виділяється клас формул, причому вказується точний критерій, що дозволяє кожному виразу дізнатися - чи є формулою. Формули відіграють ту ж роль, що речення у звичайній мові. Деякі формули оголошуються аксіомами. Крім того, задаються логічні правила виведення; кожне таке правило означає, що з деякої сукупності формул безпосередньо випливає цілком певна формула. Сам доказ теореми - це кінцева ланцюжок формул, у якій остання формула - це сама теорема і кожна формула - це або аксіома, або доведена раніше теорема, або безпосередньо випливає з попередніх формул ланцюжка по одному з правил виведення. Таким чином, питання про суворість доказів зовсім не стоїть: або даний ланцюжокє доказом, або є, сумнівних доказів немає. У зв'язку з цим формалізована аксіоматика вживається в особливо тонких питаннях обґрунтування математичних теорій, коли звичайна інтуїтивна логіка може призвести до помилкових висновків, що відбуваються головним чином через неточності та двозначності нашої звичайної мови.
Так як у формалізованій теорії про кожен вираз можна сказати - чи воно є формулою, то безліч пропозицій формалізованої теорії можна вважати певним. У зв'язку з цим можна в принципі порушувати питання про доказ дедуктивної повноти, а також про доказ несуперечності, не вдаючись до інтерпретацій. У ряді найпростіших випадків це вдається здійснити. Наприклад, несуперечність обчислення висловлювань доводиться без інтерпретацій.
У неформалізованих теоріях безліч пропозицій чітко не визначено, тому питання про доказ несуперечності, не звертаючись до інтерпретацій, ставити безглуздо. Те саме стосується і питання про доказ дедуктивної повноти. Однак, якщо зустрілася така пропозиція неформалізованої теорії, яку не можна ні довести, ні спростувати, то теорія, очевидно, є дедуктивно неповною.
Аксіоматичний метод з давніх-давен застосовувався не тільки в математиці, а й у фізиці. Перші спроби цьому напрямі робилися ще Аристотелем, але справжнє своє застосування у фізиці аксіоматичний метод отримав лише роботах Ньютона з механіці.
У зв'язку з бурхливим процесом математизації наук йде також процес аксіоматизації. Нині аксіоматичний метод застосовується у деяких розділах біології, наприклад, у генетиці.
Проте можливості аксіоматичного методу не безмежні.
Насамперед зазначимо, що навіть у формалізованих теоріях не вдається повністю уникнути інтуїції. Сама формалізована теорія без інтерпретацій немає жодного значення. Тому виникає низка питань про зв'язок між формалізованою теорією та її інтерпретацією. Крім того, як і у формалізованих теоріях, ставляться питання про несуперечність, незалежність та повноту системи аксіом. Сукупність всіх таких питань становить зміст іншої теорії, яка називається метатеорією формалізованої теорії. На відміну від формалізованої теорії, мова метатеорії - це звичайна повсякденна мова, а логічні міркування проводяться правилами звичайної інтуїтивної логіки. Таким чином, інтуїція, повністю вигнана з формалізованої теорії, знову з'являється у її метатеорії.
Але основна слабкість аксіоматичного методу не в цьому. Раніше вже згадувалося про програму Д.Гільберта, яка поклала основу формалізованому аксіоматичному методу. Основна ідея Гільберта у тому, щоб висловити класичну математику як формалізованої аксіоматичної теорії, та був довести її несуперечність. Однак ця програма в основних своїх пунктах виявилася утопічною. У 1931 році австрійський математик К.Гедель довів свої знамениті теореми, з яких випливало, що обидві головні завдання, поставлені Гільбертом, нездійсненні. Йому вдалося за допомогою свого методу кодування висловити за допомогою формул формалізованої арифметики деякі справжні припущення з метатеорії та довести, що ці формули не виводяться у формалізованій арифметиці. Таким чином, формалізована арифметика виявилася дедуктивно неповною. З результатів Геделя випливало, що якщо цю недоказну формулу включити до числа аксіом, то знайдеться інша недоказна формула, що виражає певну справжню пропозицію. Все це означало, що не тільки всю математику, а навіть арифметику - її найпростішу частину, не можна повністю формалізувати. Зокрема, Гедель побудував формулу, що відповідає пропозиції "Формалізована арифметика несуперечлива", і показав, що ця формула також не виводиться. Цей факт означає, що несуперечність формалізованої арифметики не можна довести всередині самої арифметики. Зрозуміло, можна побудувати сильнішу формалізовану теорію та її засобами довести несуперечність формалізованої арифметики, але тоді виникає важче питання про несуперечність цієї нової теорії.
Результати Геделя вказують на обмеженість аксіоматичного методу. І, тим щонайменше, підстав для песимістичних висновків у теорії пізнання у тому, що є непізнавані істини, - немає. Той факт, що існують арифметичні істини, які не можна довести у формалізованій арифметиці, не означає наявність непізнаваних істин і не означає обмеженості людського мислення. Він означає тільки, що можливості нашого мислення не зводяться лише до процедур, що повністю формалізуються, і що людству ще належить відкривати і винаходити нові принципи доказу.

1.3.Складання натуральних чисел

Операції складання та множення натуральних чисел системою аксіом Пеано не постулюються, ми визначатимемо ці операції.
Визначення. Додаванням натуральних чисел називається бінарна алгебраїчна операція + на множині N, що має властивості:
1с. ((a(N) a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Виникає питання - чи є така операція, а якщо є, то чи єдина?
Теорема. Додавання натуральних чисел існує і при тому тільки одне.
Доведення. Бінарна операція алгебри на множині N - це відображення (:N(N®N. Потрібно довести, що існує єдине відображення (:N(N®N з властивостями: 1)) ((x(N) ((x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). Для кожного натурального числа x ми доведемо існування відображення fx:N®N з властивостями 1() fx(0) )=x; ).
Визначимо на множині N, бінарне відношення fx умовами:
а) 0fxx;
б) якщо yfxz, y(fxz(.
Переконаємося, що це відношення є відображенням N до N, тобто для кожного y з N
(((z(N) yfxz (1)
Позначимо через M множину натуральних чисел y, для яких умова (1) виконується. Тоді з умови а) випливає, що 0(M, а з умови б) і властивості 1 п.1 випливає, що якщо y(M, то y(M. Звідси на підставі аксіоми 4 укладаємо, що M=N, а це і означає, що відношення fx є відображенням N до N. Для цього відображення виконуються умови:
1() fx(0)=x - з а);
2() fx((y)=fx(y() - через б).
Тим самим було існування складання доведено.
Доведемо єдиність. Нехай + і (- будь-які дві бінарні операції алгебри на множині N з властивостями 1с і 2с. Потрібно довести, що
((x, y (N) x + y = x (y)
Зафіксуємо довільне число x і позначимо через S безліч тих натуральних чисел y, для яких рівність
x+y=x(y (2)
виконується. Оскільки згідно 1с x+0=x і x(0=x, то
А) 0(S
Нехай тепер y(S, тобто рівність (2) виконується. Так як x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, то)) аксіомі 2 x+y(=x(y(, тобто виконується умова)
В) y(S ® y((S.)
Звідси, по аксіомі 4 S=N, що й завершується доказ теореми.
Доведемо деякі властивості додавання.
1. Число 0 є нейтральним елементом додавання, тобто a+0=0+a=a для кожного натурального числа a.
Доведення. Рівність a+0=a випливає із умови 1с. Доведемо рівність 0+a=a.
Позначимо через M безліч усіх чисел, котрим воно виконується. Очевидно, 0+0=0 і отже 0(M. Нехай a(M, тобто 0+a=a.) Тоді 0+a(=(0+a)(=a(і, отже, a((M)). Отже, M=N, як і потрібно довести.
Далі нам знадобиться лема.
Лемма. a(+b=(a+b)(.
Доведення. Нехай M - безліч всіх натуральних чисел b, для яких рівність a(+b=(a+b)(вірно за будь-якого значення a.):
А) 0(M, оскільки a(+0=(a+0)(;);
В) b(M ® b((M. Дійсно, з того, що b(M та 2с) маємо)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
тобто b ((M. Значить, M = N, що і потрібно довести).
2. Додавання натуральних чисел комутативно.
Доведення. Нехай M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Досить довести, що M=N. Маємо:
А) 0(M - з якості 1.
В) a(M ® a((M. Дійсно, застосовуючи лему і те, що a(M) отримаємо:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Значить a((M, і з аксіомі 4 M=N).
3. Додавання асоціативно.
Доведення. Нехай
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Потрібно довести, що M=N. Так як (a+b)+0=a+b та a+(b+0)=a+b, то 0(M. Нехай з(M, тобто (a+b)+c=a+(b+c) ).
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Значить c((M і по аксіомі 4 M=N).
4. a+1=a(, де 1=0(.
Доведення. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Якщо b(0), то ((a(N)a+b(a)).
Доведення. Нехай M=(a(a(N(a+b(a)). Оскільки 0+b=b(0, то 0(M)). 2 п.1 (a+b)((a(або a(+b(a)). Значить a((M і M=N)).
6. Якщо b(0, то ((a(N)a+b(0))
Доведення. Якщо a=0, то 0+b=b(0, якщо ж a(0 і a=c(, то a+b=c(+b=(c+b))((0. Значить, у будь-якому разі a) + b (0.
7. (Закон трихотомії складання). Для будь-яких натуральних чисел a і b справедливе одне і лише одне із трьох співвідношень:
1) a = b;
2) b=a+u де u(0;
3) a=b+v де v(0.
Доведення. Зафіксуємо довільне число a і позначимо через M множину всіх натуральних чисел b, для яких виконується хоча б одне із співвідношень 1), 2), 3). Потрібно довести, що M=N. Нехай b = 0. Тоді якщо a=0, то виконується співвідношення 1), а якщо a(0, справедливе співвідношення 3), так як a=0+a. Отже, 0(M.
Припустимо тепер, що b(M, тобто обраного a виконується одне із співвідношень 1), 2), 3). Якщо a=b, то b(=a(=a+1, тобто для b(виконується співвідношення 2).) Якщо b=a+u, то b(=a+u(, тобто для b(виконується співвідношення) 2) Якщо ж a=b+v, то можливі два випадки: v=1 і v(1. Якщо v=1, то a=b+v=b", тобто для b" виконується співвідношень 1). а v(1, то v=c", де c(0 і тоді a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, де c(0, тобто для b" виконується співвідношення 3).Отже, ми довели, що b(M®b"(M, і, отже M=N, тобто для будь-яких a і b виконується хоча б одне із співвідношень 1), 2), 3). , що жодні два з них не можуть виконуватися одночасно.Дійсно: якби виконувались співвідношення 1) і 2), то мали б b = b + u, де u (0, а це суперечить властивості 5. Аналогічно перевіряється неможливість здійсненності 1) і 3) Нарешті, якби виконувались співвідношення 2) і 3), то мали б a = (a + u) + v = a + + (u + v), а це неможливо через властивості 5 і 6. Властивість 7 повністю доведено .
Завдання 1.3.1. Нехай 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Доведіть, що 3+5=8, 2+4=6.

1.4. УМНОЖЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Визначення 1. Множенням натуральних чисел називається така бінарна операція (на множині N, для якої виконуються умови:
1у. ((x(N) x(0=0);
2у. ((x, y (N) x (y) = x (y + x).
Знову виникає питання - чи існує така операція і якщо існує, то чи єдина?
Теорема. Операція множення натуральних чисел існує і лише одна.
Доказ проводиться майже так само, як і для додавання. Потрібно знайти таке відображення (:N(N®N), яке відповідає умовам
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Зафіксуємо довільне число x. Якщо доведемо для кожного x(N існування відображення fx: N®N з властивостями
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
то функція ((x,y), що визначається рівністю ((x,y)=fx(y) і задовольнятиме умовам 1) і 2).
Отже, доказ теореми зводиться до доказу існування та єдиності при кожному x функції fx(y) з властивостями 1") та 2"). Встановимо на множині N відповідність за таким правилом:
а) числу нуль зіставимо число 0,
б) якщо числу y зіставлено число c, то числу y(порівнюємо число c+x.
Переконаємося, що з такому зіставленні кожне число y має єдиний образ: і означатиме, що відповідність є відображенням N в N. Позначимо через M безліч всіх натуральних чисел y, мають єдиний образ. З умови а) та аксіоми 1 випливає, що 0(M. Нехай y(M. Тоді з умови б) та аксіоми 2 випливає, що y((M. Значить, M=N, тобто наша відповідність є відображенням N) в N, позначимо його через fx, тоді fx(0)=0 в силу умови а) і fx(y()=fx(y)+x - в силу умови б).
Отже, існування операції множення підтверджено. Нехай тепер (і (- будь-які дві бінарні операції на множині N з властивостями 1у і 2у. Залишається довести, що ((x,y(N) x(y=x(y) Зафіксуємо довільне число x і нехай))
S = (y? y (N (x (y = x (y))
Оскільки через 1у x(0=0 і x(0=0, то 0(S. Нехай y(S), тобто x(y=x(y))
x (y (= x (y + x = x (y + x = x (y (
і, отже, y((S. Значить, S=N, ніж і завершується доказ теореми).
Зазначимо деякі властивості множення.
1. Нейтральним елементом щодо множення є число 1=0(, тобто ((a(N) a(1=1(a=a))).
Доведення. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Таким чином, рівність a(1=a доведено. Залишається довести рівність 1(a=a. Нехай M=(a?a(N) (1(a=a). Так як 1(0=0, то 0(M. Нехай a(M, тобто 1(a=a)). Тоді 1(a(=1(a+1=a+1=) a(, і, отже, a((M. Значить, з аксіоми 4 M=N, що потрібно було довести).
2. Для множення справедливий правий дистрибутивний закон, тобто
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Доведення. Нехай M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , то 0(M. Якщо c(M, тобто (a+b)c=ac+bc), то (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(.) Значить, c((M і M=N).
3. Множення натуральних чисел комутативно, тобто ((a,b(N) ab=ba).
Доведення. Доведемо спочатку для будь-яких b (N рівність 0 (b = b (0 = 0. Рівність b (0 = 0) випливає з умови 1у. Нехай M = (b (b (N (0 (b = 0)))) 0=0, то 0(M. Якщо b(M, тобто 0(b=0, то 0(b(=0(b+0=0)) і, отже, b((M. Значить, M=N, тобто рівність 0(b=b(0 доведено всім b(N. Нехай далі S=(a (a(N(ab=ba))). Оскільки 0(b=b(0, то 0(S) Нехай a) (S, тобто ab = ba. Тоді a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, тобто a ((S. Значить S = N), що і потрібно довести).
4. Множення дистрибутивно щодо складання. Ця властивість випливає з властивостей 3 та 4.
5. Множення асоціативно, тобто ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Доказ проводиться, як й у складання, індукцією по с.
6. Якщо a(b=0, то a=0 чи b=0, тобто N немає дільників нуля.
Доведення. Нехай b(0 і b=c(. Якщо ab=0, то ac(=ac+a=0, звідки слід з властивості 6 п.3, що a=0).
Завдання 1.4.1. Нехай 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Доведіть, що 2(4=8, 3(3=9.
Нехай n, a1, a2, ..., an - натуральні числа. Сумою чисел a1, a2,...,an називається число, яке позначається через та визначається умовами; для будь-якого натурального числа k
Добутком чисел a1, a2,...,an називається натуральне число, яке позначається через і визначається умовами: ; для будь-якого натурального числа k
Якщо то число позначається через an.
Завдання 1.4.2. Доведіть, що
а);
б);
в);
г);
д);
е);
ж);
з);
і) .

1.5. ПОРЯДОЧНІСТЬ СИСТЕМИ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Ставлення "слідує" антирефлексивно і антисиметрично, але не транзитивно і тому ставленням порядку не є. Ми визначимо відношення порядку, спираючись на додавання натуральних чисел.
Визначення 1. a
Визначення 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Переконаємося, що відношення Відзначимо деякі властивості натуральних чисел, пов'язаних із відносинами рівності та нерівності.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3 a
1.4 a
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6 ac = bc (c (0 (a = b).
1.7 a+c
1.8 ac
1.9 a
1.10 a
Доведення. Властивості 1.1 і 1.2 випливають із однозначності операцій складання та множення. Якщо a
2. ((a(N) a
Доведення. Оскільки a(=a+1, то a
3. Найменшим елементом N є 0, а найменшим N\(0) є число 1.
Доведення. Так як ((a(N) a=0+a, то 0(a, і, отже, 0 - найменший елемент N.) Далі, якщо x(N\(0), то x=y(, y(N) , або x = y + 1. Звідси і випливає, що ((x (N \ (0)) 1 (x, тобто 1 - найменший елемент в N \ (0)).
4. Відношення ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Доведення. Очевидно, для будь-якого натурального a існує таке натуральне число n, що
a Таким числом є, наприклад, n = a (. Далі, якщо b (N \ (0), то за властивістю 3
1 (b (2)
З (1) та (2) на підставі властивостей 1.10 та 1.4 отримаємо aa.

1.6. ПОВНА ПОРЯДОЧНІСТЬ СИСТЕМИ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Визначення 1. Якщо кожна непуста підмножина впорядкованої множини (M; Переконаємося, що повний порядок є лінійним. Нехай a і b - будь-які два елементи із цілком упорядкованої множини (M; Лема) . 1) a
Доведення.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Теорема 1. Природний порядок на множині натуральних чисел є повним порядком.
Доведення. Нехай M - будь-яка непорожня безліч натуральних чисел, а S - безліч його нижніх меж в N, тобто S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). З властивості 3 п.5 слід, що 0(S. Якби виконувалося і друга умова аксіоми 4 n(S(n((S, то мали б S=N)).
Теорема 2. Будь-яке непусте обмежене зверху безліч натуральних чисел має найбільший елемент.
Доведення. Нехай M - будь-яке непусте обмежене зверху безліч натуральних чисел, а S - безліч його верхніх кордонів, тобто S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Позначимо через x0 найменший елемент у S. Тоді нерівність m(x0 виконується всім чисел m з M, а сувора нерівність m
Завдання 1.6.1. Доведіть, що
а);
б);
в).
Завдання 1.6.2. Нехай (- деяка властивість натуральних чисел і k - довільне натуральне число. Доведіть, що
а) будь-яке натуральне число має властивість (як тільки 0 має цю властивість для будь-якого n (0
б) будь-яке натуральне число, більше або рівне k, має властивість (, як тільки k має цю властивість і для будь-якого n (k(n) з припущення, що n має властивість (, слід, що число n+1 також володіє цією властивістю). ;
в) будь-яке натуральне число, більше або рівне k, має властивість (як тільки k має цю властивість і для будь-якого n (n>k) з припущення, що всі числа t, визначені умовою k(t

1.7. ПРИНЦИП ІНДУКЦІЇ.

Використовуючи повну впорядкованість системи натуральних чисел, можна довести таку теорему, де заснований одне із методів докази, званий методом математичної індукції.
Теорема (принцип індукції). Усі висловлювання з послідовності A1, A2, ..., An, ... є істинними, якщо виконуються умови:
1) висловлювання A1 істинно;
2) якщо дійсні висловлювання Ak при k
Доведення. Припустимо неприємне: умови 1) і 2) виконуються, але теорема не вірна, тобто не пустим є безліч M = (m (N (N \ (0), Am - хибно)). елемент, який ми позначимо через n. Оскільки згідно з умовою 1) A1 істинно, а An хибно, то 1(n, і, отже, 1)
За підтвердженням методом індукції можна виділити два етапи. У першому етапі, який називають базисом індукції, перевіряється здійсненність умови 1). З другого краю етапі, званому індукційним кроком, доводиться здійсненність умови 2). При цьому найчастіше трапляються випадки, коли для доказу істинності висловлювання An немає потреби використовувати істинність висловлювань Ak при k
приклад. Довести нерівність Покладемо = Sk. Потрібно довести істинність висловлювань Ak=(Sk Послідовність висловлювань, про яку йдеться в теоремі 1, може виходити з предикату A(n), визначеного на множині N або на його підмножині Nk=(x(x(N, x(k)), де k – будь-яке фіксоване натуральне число.
Зокрема, якщо k=1, то N1=N(0), і нумерацію висловлювань можна проводити за допомогою рівностей A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), ... Якщо ж k(1, то послідовність висловлювань можна отримати з допомогою рівностей A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), .. .Відповідно до таких позначень теорему 1 можна сформулювати в іншій формі.
Теорема 2. Предикат A(m) є тотожно істинним на множині Nk, якщо виконуються умови:
1) висловлювання A(k) істинно;
2) якщо дійсні висловлювання A(m) при m
Завдання 1.7.1. Доведіть, що такі рівняння не мають рішень у галузі натуральних чисел:
а) x + y = 1;
б) 3x = 2;
в) x2 = 2;
г) 3x+2=4;
д) x2+y2=6;
е) 2x+1=2y.
Завдання 1.7.2. Доведіть, використовуючи принцип математичної індукції:
а) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
б);
в);
г);
д);
е) .

1.8. ВІДЧИТАННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Визначення 1. Різницею натуральних чисел a та b називається таке натуральне число x, що b+x=a. Різницю натуральних чисел a і b позначають через a-b, а операцію знаходження різниці називають відніманням. Віднімання не є операцією алгебри. Це випливає із наступної теореми.
Теорема 1. Різниця a-b існує тоді і лише тоді, коли b(a. Якщо різниця існує, то тільки одна).
Доведення. Якщо b(a, то за визначенням відношення (існує таке натуральне число x, що b+x=a. Але це і означає, що x=a-b. Назад, якщо різниця a-b існує, то за визначенням 1 існує таке натуральне число x, що b + x = a. Але це означає, що b (a.
Доведемо єдиність різниці a-b. Нехай a-b=x та a-b=y. Тоді згідно з визначенням 1 b+x=a, b+y=a. Звідси b+x=b+y і, отже, x=y.
Визначення 2. Часткою двох натуральних чисел a і b(0 називається таке натуральне число c, що a = bc. Операція знаходження приватного називається поділом. Питання про існування приватного вирішується в теорії подільності.
Теорема 2. Якщо приватне існує, лише одне.
Доведення. Нехай = x та = y. Тоді згідно з визначенням 2 a=bx та a=by. Звідси bx=by і, отже, x=y.
Зауважимо, що операції віднімання та поділу визначаються майже дослівно так само, як і у шкільних підручниках. Це означає, що в п.п.1-7 на основі аксіом Пеано закладено міцний теоретичний фундамент арифметики натуральних чисел та її подальший виклад послідовно здійснюється у шкільному курсі математики та у вузівському курсі "Алгебра та теорія чисел".
Завдання 1.8.1. Доведіть справедливість таких тверджень, припускаючи, що всі різниці, що зустрічаються в їх формулюваннях, існують:
а) (a-b)+c=(a+c)-b;
б) (a-b) (c = a (c-b (c);
в) (a+b)-(c+b)=a-c;
г) a-(b+c)=(a-b)-c;
д) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
е) (a-b)-(c-d)=a-c;
ж) (a+b)-(b-c)=a+c;
з) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
і) a-(b-c)=(a+c)-b;
до) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
л) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
м) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
н) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
о) a2-b2=(a-b)(a+b).
Завдання 1.8.2. Доведіть справедливість наступних тверджень, припускаючи, що всі приватні, що зустрічаються в їхньому формулюванні, існують.
а); б); в); г); д); е); ж); з); і); к); л); м); н); о); п); р).
Завдання 1.8.3. Доведіть, що такі рівняння не можуть мати двох різних натуральних рішень: а) ax2+bx=c (a,b,c(N); б) x2=ax+b (a,b(N); в) 2x=ax2 + b (a, b (N).
Завдання 1.8.4. Розв'яжіть у натуральних числах рівняння:
а) x2+(x+1)2=(x+2)2; б) x + y = x (y; в); г) x2+2y2=12; д) x2-y2 = 3; е) x + y + z = x (y (z.
Завдання 1.8.5. Доведіть, що такі рівняння немає рішень у сфері натуральних чисел: а) x2-y2=14; б) x-y = xy; в); г); д) x2=2x+1; е) x2 = 2y2.
Завдання 1.8.6. Розв'яжіть у натуральних числах нерівності: а) ; б); в); г) x+y2 Завдання 1.8.7. Доведіть, що в області натуральних чисел справедливі наступні співвідношення: а) 2ab(a2+b2; б) ab+bc+ac(a2+b2+c2; в) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. КІЛЬКІСНИЙ СМЕР Натуральних чисел.
Насправді натуральні числа застосовуються головним чином рахунки елементів, а цього треба встановити кількісний зміст натуральних чисел теоретично Пеано.
Визначення 1. Безліч (x(x(N, 1(x(n)) називається відрізком натурального ряду) і позначається через (1;n()).
Визначення 2. Кінцевою множиною називається будь-яка множина, рівносильна деякому відрізку натурального ряду, а також порожня множина. Безліч, яке не є кінцевим, називається нескінченним.
Теорема 1. Кінцева множина A не рівноважна жодному своєму власному підмножині(тобто підмножини, відмінному від A).
Доведення. Якщо A=(, теорема вірна, оскільки порожня безліч немає власних підмножин. Нехай А((і A рівнопотужно (1,n((A((1,n()).)) Доводитимемо теорему індукцією по n. Якщо n= 1, тобто A((1,1(, то єдиним власним підмножиною множини A є порожня множина). Зрозуміло, що A(і, отже, при n=1 теорема вірна. Припустимо, що теорема вірна при n=m, тобто всі кінцеві множини, рівносильні відрізку (1,m(, не мають рівносильних власних підмножин. Нехай A - будь-яка множина, рівнопотужна відрізку (1,m+1(і (:(1,m+1(®A) - деяке біоективне відображення відрізка)) (1,m+1(в A. Якщо ((k) позначити через ak, k=1,2,...,m+1, то безліч A можна записати у вигляді A=(a1, a2, ...)) , am, am+1) Наше завдання довести, що A не має рівносильних власних підмножин.Припустимо неприємне; (і f, що am+1(B та f(am+1)=am+1).
Розглянемо множини A1 = A (am + 1) і B1 = B (am + 1). Так як f(am+1)=am+1, то функція f здійснюватиме біоактивне відображення множини A1, на множину B1. Таким чином, безліч A1 буде рівносильно власному своєму підмножині B1. Але оскільки A1((1,m(, це суперечить припущенню індукції).
Наслідок 1. Безліч натуральних чисел нескінченна.
Доведення. З аксіом Пеано випливає, що відображення S:N®N\(0), S(x)=x(бієктивно).
Наслідок 2. Будь-яка непуста кінцева множина A рівносильна одному і тільки одному відрізку натурального ряду.
Доведення. Нехай A((1,m(і A((1,n(. Тоді) (1,m(((1,n(, звідки в силу теореми 1 і випливає), що m=n.)).
Наслідок 2 дозволяє ввести визначення.
Визначення 3. Якщо A((1,n(, то натуральне число n називається кількістю елементів множини A), а сам процес встановлення взаємно однозначної відповідності між множинами A і (1,n(називається рахунком елементів множини A. Кількість елементів порожньої множини природно вважати) число нуль.
Про величезне значення рахунку у практичному житті говорити зайве.
Зауважимо, що, знаючи кількісний зміст натурального числа, можна було б операцію множення визначити через додавання саме:
.
Ми навмисно не пішли цим шляхом, щоб показати, що сама арифметика в кількісному сенсі не потребує: кількісний сенс натурального числа потрібен тільки в додатках арифметики.

1.10. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ, ЯК ДИСКРЕТНЕ ПОВНІ ПОРЯДОЧНЕ БАГАТО.

Ми показали, що безліч натуральних чисел щодо природного порядку є цілком упорядкованим. При цьому, ((a(N) a
1. для будь-якого числа a(N існує сусіднє наступне за ним щодо 2. для будь-якого числа a(N\(0) існує сусіднє йому попереднє щодо Цілком упорядковане безліч (A;()) з властивостями 1 і 2 називатимемо дискретним цілком Виявляється, що повна впорядкованість з властивостями 1 і 2 є характеристичною властивістю системи натуральних чисел. наступним чином: a(=b, якщо b є сусіднім наступним за a елементом щодо (. Зрозуміло, що найменший елемент множини A не слід ні за яким елементом і, отже, аксіома 1 Пеано виконується).
Так як відношення (є лінійний порядок, то для будь-якого елемента a існує єдиний наступний за ним елемент і не більше одного попереднього сусіднього елемента. Звідси випливає здійсненність аксіом 2 і 3. Нехай тепер M - будь-яке підмножина множини A, для якого виконуються умови:
1) a0(M, де a0 - найменший A елемент;
2) a(M (a((M.))
Доведемо, що M=N. Припустимо неприємне, тобто A\M((. Позначимо через b найменший елемент в A\M. Оскільки a0(M, то b(a0) і, отже, існує такий елемент c, що c(=b.).
Тож ми довели можливість ще одного визначення системи натуральних чисел.
Визначення. Системою натуральних чисел називається будь-яка цілком упорядкована множина, на якій виконуються умови:
1. для будь-якого елемента існує сусідній наступний за ним елемент;
2. для будь-якого елемента, відмінного від найменшого, існує сусідній попередній елемент.
Існують інші підходи визначення системи натуральних чисел, на яких ми тут не зупиняємося.

2. ЦІЛІ І РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА.

2.1. ВИЗНАЧЕННЯ І ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМИ ЦІЛІХ ЧИСЕЛ.
Відомо, що безліч цілих чисел у їхньому інтуїтивному розумінні є кільцем щодо складання та множення, причому це кільце містить усі натуральні числа. Зрозуміло також, що немає власного підкільця в кільці цілих чисел, яке містило б всі натуральні числа. Ці властивості, виявляється, можна покласти основою суворого визначення системи цілих чисел. У п.2.2 та 2.3 буде доведено коректність такого визначення.
Визначення 1. Системою цілих чисел називається алгебраїчна система, для якої виконуються такі умови:
1. Алгебраїчна система є кільцем;
2. Безліч натуральних чисел міститься в, причому додавання та множення в кільці на підмножині збігаються зі складанням та множенням натуральних чисел, тобто
3. (умова мінімальності). Z є мінімальна за включенням множина з властивостями 1 і 2. Іншими словами, якщо підкільце кільця містить усі натуральні числа, то Z0=Z.
Визначення 1 можна надати розгорнутий аксіоматичний характер. Початковими поняттями в цій аксіоматичній теорії будуть:
1) Безліч Z, елементи якого називають цілими числами.
2) Особливе ціле число, яке називається нулем і позначається через 0.
3) Тернарні відносини + та (.
Через N, як звичайно, позначається безліч натуральних чисел зі складанням (і множенням (. Відповідно до визначення 1, системою цілих чисел називається така система алгебри (Z; +, (, N), для якої виконуються наступні аксіоми):
1. (Аксіоми кільця.)
1.1.
Ця аксіома означає, що + є бінарна операція алгебри на множині Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, тобто число 0 є нейтральним елементом щодо додавання).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), тобто для кожного цілого числа існує протилежне йому число a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Ця аксіома означає, що множення є бінарна операція алгебри на множині Z.
1.7. ((a, b, c (Z)) (a (b) (c = a ((b (c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Аксіоми зв'язку кільця Z із системою натуральних чисел.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b (N)) a (b = a (b).
3. (Аксіома мінімальності.)
Якщо Z0 - підкільце кільця Z та N(Z0, то Z0=Z.
Зазначимо деякі властивості системи цілих чисел.
1. Кожне ціле число представимо у вигляді різниці двох натуральних чисел. Це уявлення неоднозначно, причому z=a-b та z=c-d, де a,b,c,d(N, тоді і тільки тоді, коли a+d=b+c).
Доведення. Позначимо через Z0 безліч всіх цілих чисел, кожне з яких є у вигляді різниці двох натуральних. Очевидно, ((a(N) a=a-0, і, отже, N(Z0).
Далі, нехай x,y(Z0, тобто x=a-b, y=c-d, де a,b,c,d(N. Тоді x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b +c)=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))-( a(d(b(c). Звідси видно, що x-y, x(y(Z0 і, отже, Z0 є підкільцем кільця Z, що містить безліч N.)). Друге твердження цієї якості очевидно.
2. Кільце цілих чисел є комутативним кільцем з одиницею, причому нуль цього кільця є натуральним числом 0, а одиниця цього кільця є натуральним числом 1.
Доведення. Нехай x,y(Z. Відповідно до властивості 1 x=a-b, y=c-d, де a,b,c,d(N.) Тоді x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-(ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)). Звідси, в силу комутативності множення натуральних чисел, укладаємо, що xy=yx. Комутативність множення в кільці Z доведена. Інші твердження властивості 2 випливають з наступних очевидних рівностей, у яких через 0 і 1 позначені натуральні числа нуль і одиниця: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(-b)=(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 = a-b = x)))

2.2. ІСНУВАННЯ СИСТЕМИ ЦІЛІХ ЧИСЛ.

Система цілих чисел визначена у 2.1 як мінімальне за включенням кільце, що містить усі натуральні числа. Виникає питання - чи існує таке кільце? Іншими словами - чи суперечлива система аксіом з 2.1. Щоб довести несуперечність цієї системи аксіом, треба побудувати її інтерпретацію в явно несуперечливій теорії. Такою теорією вважатимуться арифметику натуральних чисел.
Отже, розпочинаємо побудову інтерпретації системи аксіом 2.1. Вихідним вважатимемо безліч. У цьому безлічі визначимо дві бінарні операції, і бінарне ставлення. Оскільки додавання та множення пар зводиться до додавання та множення натуральних чисел, то як і для натуральних чисел, додавання та множення пар коммутативні, асоціативні та множення дистрибутивно щодо додавання. Перевіримо, наприклад, комутативність додавання пар: +===+.
Розглянемо властивості відношення ~. Оскільки a+b=b+a, то ~, тобто ставлення ~ рефлексивно. Якщо ~, тобто a+b1=b+a1, то a1+b=b1+a, тобто ~. Отже, ставлення ~ симетрично. Нехай далі ~ і ~. Тоді справедливі рівності a+b1=b+a1 та a1+b2=b1+a2. Складаючи ці рівності, отримаємо a+b2=b+a2, тобто ~. Отже, ставлення ~ також транзитивно і, отже, є еквівалентністю. Клас еквівалентності, що містить пару, будемо позначати через. Таким чином, клас еквівалентності може позначатися будь-якою своєю парою і при цьому
(1)
Безліч всіх класів еквівалентності позначимо через. Наше завдання – показати, що ця множина при відповідному визначенні операцій складання та множення і буде інтерпретацією системи аксіом з 2.1. Операції на безлічі визначимо рівностями:
(2)
(3)
Якщо і, тобто на множині N справедливі рівності a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,), справедлива також рівність (a+c)+(b(+d()=(b) +d)+(a(+c(), з якого в силу (1) отримуємо, що. Це означає, що рівність (2) визначає однозначну операцію додавання на множині, яка не залежить від вибору пар, що позначають доданки). і однозначність множення класів Таким чином, рівності (2) і (3) визначають на множині бінарні операції алгебри.
Оскільки додавання і множення класів зводиться до складання і множення пар, ці операції коммутативны, асоціативні і множення класів дистрибутивно щодо складання. З рівностей, укладаємо, що клас є нейтральним елементом щодо складання і кожного класу існує протилежний йому клас. Значить, множина є кільцем, тобто аксіоми групи 1 з 2.1 виконуються.
Розглянемо в кільці підмножину. Якщо a(b, то через (1) , а якщо a
На безлічі визначимо бінарне відношення (слід за (; саме, за класом слід клас, де x (є натуральне число, наступне за x. Клас, наступний за природно позначити через). Зрозуміло, що клас не слід ні за яким класом і за кожним класом існує наступний за ним клас і до того ж тільки один.Остання означає, що відношення (слід за(є унарна операція алгебри на множині N.).
Розглянемо відображення. Очевидно, це відображення є бієктивним і виконуються умови f(0)= , f(x()==(=f(x)(.) Це означає, що відображення f є ізоморфізмом алгебри (N;0,() на алгебру (;, () Іншими словами, алгебра (;,() є інтерпретацією системи аксіом Пеано. Ототожнюючи ці ізоморфні алгебри, тобто вважаючи можна вважати, що саме безліч N є підмножиною кільця. Це ж ототожнення у очевидних рівностях, призводить до рівностей a(c) =a+c, a(c=ac, які означають, що додавання та множення в кільці на підмножині N збігаються зі складанням та множенням натуральних чисел. Таким чином, встановлена ​​здійсненність аксіом групи 2. Залишається перевірити здійсненність аксіоми мінімальності.
Нехай Z0 - будь-яке кільце підкільце, що містить безліч N і. Зауважимо, що й, отже, . Але оскільки Z0 - кільце, то різниця цих класів теж належить кільцю Z0. З рівностей -= (= укладаємо, що (Z0 і, отже, Z0=. Несуперечність системи аксіом п.2.1 доведено).

2.3. ЄДИНІСТЬ СИСТЕМИ ЦІЛІХ ЧИСЕЛ.

Існує лише одна система цілих чисел у їхньому інтуїтивному розумінні. Це означає, що система аксіом, що визначає цілі числа, має бути категоричною, тобто будь-які інтерпретації цієї системи аксіом ізоморфні. Категоричність і означає, що з точністю до ізоморфізму існує лише одна система цілих чисел. Переконаємося, що це справді так.
Нехай (Z1;+,(,N) і (Z2;(,(,N)) - будь-які дві інтерпретації системи аксіом п. 2.1.) Достатньо довести існування такого бієктивного відображення f:Z1®Z2, при якому натуральні числа залишаються нерухомими і крім для будь-яких елементів x і y з кільця Z1 справедливі рівності
(1)
. (2)
Зауважимо, що оскільки N(Z1 та N(Z2, то
, a(b=a(b. (3)
Нехай x(Z1 і x=a-b, де a,b(N. Зіставимо цьому елементу x=a-b елемент u=a(b, де) (віднімання в кільці Z2. Якщо a-b=c-d, то a+d=b+c, звідки з (3) a(d=b(c і, отже, a(b=c(d)) це означає, що наша відповідність залежить від представника елемента x як різниці двох натуральних чисел і цим визначається відображення f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Зрозуміло, що якщо v(Z2 і v=c(d), то v=f(c-d).) Отже, кожен елемент із Z2 є чином при відображенні f і, отже, відображення f сюр'єктивно.
Якщо x = a-b, y = c-d, де a, b, c, d (N і f (x) = f (y), то a (b = c (d). Але тоді a (d = b (d, в) силу (3) a+d=b+c, ​​тобто a-b=c-d Ми довели, що з рівності f(x)=f(y) випливає рівність x=y, тобто відображення f ін'єктивно.
Якщо a(N, то a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Значить, натуральні числа нерухомі при відображенні f. Далі, якщо x=a-b, y=c-d, де a, b, c, d (N, то x + y = (a + c) - і f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Справедливість рівності (1) доведена. Перевіримо рівність (2). Оскільки f(xy)=(ac+bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), а з іншого боку f(x)(f(y))=(a(b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Значить, f(xy)=f(x)(f(y)), чим і завершується доказ категоричності системи аксіом п.). 2.1.

2.4. ВИЗНАЧЕННЯ І ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМИ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Безліч Q раціональних чисел в їхньому інтуїтивному розумінні є поле, для якого безліч Z цілих чисел є підкільцем. При цьому очевидно, що якщо Q0 - підполе поля Q, що містить усі цілі числа, то Q0 = Q. Ці властивості ми й покладемо основою суворого визначення системи раціональних чисел.
Визначення 1. Системою раціональних чисел називається така система алгебри (Q;+,(;Z), для якої виконуються умови:
1. алгебраїчна система (Q; +, () є полем;
2. кільце Z цілих чисел є підкільцем поля Q;
3. (умова мінімальності) якщо підполе Q0 поля Q містить підкільце Z, то Q0=Q.
Коротше, система раціональних чисел - це мінімальне за включенням поле, що містить підкільце цілих чисел. Можна дати більш докладне аксіоматичне визначення системи раціональних чисел.
Теорема. Кожне раціональне число x представимо як приватного двох цілих чисел, тобто
, де a, b (Z, b (0. (1)
Це уявлення неоднозначно, причому, де a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Доведення. Позначимо через Q0 безліч усіх раціональних чисел, що у вигляді (1). Досить переконатися, що Q0 = Q. Нехай, де a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Тоді за властивостями поля маємо: , а при c(0 ) Значить Q0 замкнуто щодо віднімання та поділу на нерівні нулю числа, і, отже, є підполем поля Q. Так як будь-яке ціле число a представимо у вигляді, то Z (Q0. Звідси в силу умови мінімальності і випливає, що Q0 = Q. Доказ другої частини теореми очевидний.

2.5. ІСНУВАННЯ СИСТЕМИ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Система раціональних чисел визначена як мінімальне поле, що містить підкільце цілих чисел. Звичайно виникає питання - чи існує таке поле, тобто чи є несуперечливою система аксіом, що визначає раціональні числа. Для підтвердження несуперечності треба побудувати інтерпретацію цієї системи аксіом. У цьому можна спиратися існування системи цілих чисел. Вихідним при побудові інтерпретації вважатимемо безліч Z(Z\(0). На цій множині визначимо дві бінарні операції алгебри
, (1)
(2)
та бінарне відношення
(3)
Доцільність саме такого визначення операцій та відносини ~ випливає з того, що в тій інтерпретації, яку ми будуємо, пара висловлюватиме приватне.
Легко перевірити, що операції (1) та (2) комутативні, асоціативні та множення дистрибутивно щодо складання. Всі ці властивості перевіряються на підставі відповідних властивостей додавання та множення цілих чисел. Перевіримо, наприклад, асоціативність множення пар: .
Аналогічно перевіряється, що відношення ~ є еквівалентністю, і, отже, безліч Z(Z\(0) розбивається на класи еквівалентності. Багато класів позначимо через, а клас, що містить пару - через. Таким чином, клас може позначатися будь-якою своєю парою і в силу умови (3) отримаємо:
. (4)
Наше завдання – так визначити операцію складання та множення на множині, щоб було полем. Ці операції визначимо рівностями:
, (5)
(6)
Якщо, тобто ab1=ba1 і тобто cd1=dc1, то перемножуючи ці рівності, отримаємо (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), а це означає, що Це переконує нас у тому, що рівність (6) ) дійсно визначає однозначну операцію на безлічі класів, яка залежить від вибору представників у кожному класі. Аналогічно перевіряється однозначність операції (5).
Оскільки додавання та множення класів зводиться до складання та множення пар, то операції (5) та (6) комутативні, асоціативні та множення дистрибутивно щодо додавання.
З рівностей, укладаємо, що клас є нейтральним елементів щодо додавання і для кожного класу існує протилежний йому елемент. Аналогічно, з рівностей випливає, що клас є нейтральним елементом щодо множення і для кожного класу існує зворотний клас. Отже, є полем щодо операцій (5) та (6); перша умова у визначенні п.2.4 виконується.
Розглянемо далі безліч. Вочевидь, . Безліч замкнено щодо віднімання та множення і, отже, є підкільцем поля. Справді, . Розглянемо далі відображення, . Сюр'єктивність цього відображення є очевидною. Якщо f(x)=f(y), тобто, то x(1=y(1 або x=y. Значить відображення f та ін'єктивно. Крім того, . Таким чином, відображення f є ізоморфізмом кільця в кільце.) ізоморфні кільця, можна вважати, що кільце Z є підкільцем поля, тобто виконується умова 2 у визначенні п. 2.4. поля і,нехай. Бо, а, то. Але оскільки - поле, то приватне цих елементів теж належить полю. Тим самим було доведено, що якщо , то, тобто. Існування системи раціональних чисел доведено.

2.6. ЄДИНІСТЬ СИСТЕМИ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.

Оскільки система раціональних чисел в їхньому інтуїтивному розумінні існує лише одна, то аксіоматична теорія раціональних чисел, яка тут викладається, має бути категоричною. Категоричність і означає, що з точністю до ізоморфізму існує лише одна система раціональних чисел. Покажемо, що це справді так.
Нехай (Q1;+, (; Z) та (Q2; (, (; Z)) - будь-які дві системи раціональних чисел. Достатньо довести існування такого бієктивного відображення, при якому всі цілі числа залишаються нерухомими і крім того виконуються умови
(1)
(2)
для будь-яких елементів x та y з поля Q1.
Приватне елементів a та b у полі Q1 будемо позначати через, а в полі Q2 – через a:b. Так як Z є підкільце кожного з полів Q1 і Q2, то для будь-яких цілих чисел a і b справедливі рівність
, . (3)
Нехай і де, . Зіставимо цьому елементу x елемент y=a:b із поля Q2. Якщо в полі Q1 справедлива рівність, де, теорема п.2.4 в кільці Z виконується рівність ab1=ba1, або в силу (3) рівність, і тоді за тією ж теоремі в полі Q2 справедлива рівність a:b=a1:b1 . Це означає, що зіставляючи елементу поля Q1 елемент y=a:b з поля Q2, ми визначаємо відображення, .
Будь-який елемент з поля Q2 представимо як a:b, де, отже, є чином елемента з поля Q1. Отже, відображення f є сюр'єктивним.
Якщо, то в полі Q1 і тоді. Таким чином, відображення f є бієктивним і всі цілі числа залишаються нерухомими. Залишається довести справедливість рівностей (1) та (2). Нехай і де a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Тоді і, звідки в силу (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Аналогічно, і звідки.
Ізоморфізм інтерпретацій (Q1; +, (; Z) і (Q2; (, (; Z)) доведений.

ВІДПОВІДІ, ВКАЗІВКИ, РІШЕННЯ.

1.1.1. Рішення. Нехай умова аксіоми 4 істинна (така властивість натуральних чисел, що ((0) і. Покладемо. Тоді M задовольняє посилці аксіоми 4, оскільки ((0)(0(M і. Отже), M=N, тобто будь-яке натуральне). число має властивість (. Назад. Припустимо, що для будь-якої властивості (з того, що ((0) і, слід. Нехай M - таке підмножина з N, що 0(M і.) Покажемо, що M=N. Введемо в розгляд властивість (, вважаючи. Тоді ((0), оскільки, і.) Отже, M=N.
1.1.2. Відповідь: Істинні твердження 1-й та 4-й аксіом Пеано. Твердження 2-ї аксіоми хибне.
1.1.3. Відповідь: правдиві твердження 2,3,4 аксіом Пеано. Твердження 1-ї аксіоми хибне.
1.1.4. Істинні твердження 1, 2, 3-й аксіом Пеано. Твердження 4-ї аксіоми хибне. Вказівка: доведіть, що множина задовольняє посилці аксіоми 4, сформульованої в термінах операції, але.
1.1.5. Вказівка: для доказу істинності затвердження аксіоми 4 розгляньте підмножина M з A, яка задовольняє умовам: а) 1((M, б) , і безліч. Доведіть, що. Тоді M=A.
1.1.6. Істинні твердження 1,2,3-й аксіом Пеано. Твердження 4-ї аксіоми Пеано хибне.
1.6.1. а) Рішення: Спочатку доведіть, що якщо 1am. Назад. Нехай am
1.6.2. а) Рішення: Допустимо неприємне. Через M позначимо безліч всіх чисел, які не мають властивості (. В силу припущення, M((. В силу теореми 1 в M існує найменший елемент n(0). Будь-яке число x
1.8.1. е) Використовуйте п. д) і п. в): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, отже, (a-b)-(c-b)=a-c.
з) Використовуйте властивість.
л) Використовуйте п. б).
м) Використовуйте п. б) та п. з).
1.8.2. в) Маємо, отже, . Отже, .
г) Маємо. Отже, .
ж).
1.8.3. а) Якщо (і (різні рішення рівняння ax2+bx=c), то a(2+b(=a(2+b(.)), якщо, наприклад, (б) Нехай (і (- різні рішення рівняння). Якщо ((. Однак (2=a(+b>a(, отже, (>a.))).
в) Нехай (і (- різні корені рівняння і (>(. Тоді 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())(((+( ) Отже, a((+()=2), але (+(>2), отже, a((+()>2), що неможливо).
1.8.4. а) x = 3; б) x = y = 2. Вказівка: оскільки і маємо x=y; в) x=y(y+2), y – будь-яке натуральне число; г) x = y = 2; д) x = 2, y = 1; е) З точністю до перестановок x=1, y=2, z=3. Рішення: Нехай, наприклад, x(y(z. Тоді xyz=x+y+z(3z, тобто xy(3.) Якщо xy=1, то x=y=1 і z=2+z, що) Неможливо: якщо xy = 2, то x = 1, y = 2. У цьому випадку 2z = 3 + z, тобто z = 3. Якщо xy = 3, то x = 1, y = 3. Тоді 3z = 4+z, тобто z=2, що суперечить припущенню y(z.
1.8.5. б) Якщо x=a, y=b - розв'язання рівняння, то ab+b=a, тобто. a>ab, що неможливо. г) Якщо x=a, y=b - розв'язання рівняння, то b
1.8.6. а) x=ky, де k,y - довільні натуральні числа та y(1. б) x - довільне натуральне число, y=1. в) x - довільне натуральне число y=1. г) Рішення немає. д) x1 = 1; x2=2; x3=3. е) x>5.
1.8.7. а) Якщо a = b, то 2ab = a2 + b2. Нехай, наприклад, a

ЛІТЕРАТУРА

1. Редьков М.І. Числові системи. /Методичні рекомендації до вивчення курсу "Числові системи". Частина 1. - Омськ: ОмДПІ, 1984. - 46с.
2. Єршова Т.І. Числові системи. / Методична розробкадля практичних занять. - Свердловськ: СДПІ, 1981. - 68с.