Що таке власні підмножини множини. Поняття множини. Підмножини. Елементи комбінаторики: Перестановки

На простому прикладі нагадаємо, що називається підмножиною, які бувають підмножини (власні та невласні), формулу знаходження числа всіх підмножин, а також калькулятор, який видає безліч усіх підмножин.

приклад 1. Дано безліч А = (а, с, р, о). Випишіть усі підмножини
даної множини.
Рішення:

Власні підмножини:(а), (с), (р), (о), (а, с), (а, р), (а, о), (с, р), (с, о) ∈, (р, о), (а, с, р), (а, с, о), (с, р, о).

Невласні:(а, с, р, про), Ø.

Всього: 16 підмножин.

Пояснення. Множина A є підмножиною множини B якщо кожен елемент множини A міститься також у B.

Порожня множина ∅ є підмножиною будь-якої множини, називається невласною;
. будь-яка множина є підмножиною самого себе, також називається невласною;
. У будь-якої n-елементної множини рівно 2 n підмножин.

Останнє твердження є формулою для знаходження числа всіх підмножинбез перерахування кожного.

Висновок формули:Припустимо, у нас є безліч з n-елементів. При складанні підмножин перший елемент може належати підмножини або належати, тобто. перший елемент можемо вибрати двома способами, аналогічно для всіх інших елементів (всього n-елементів), кожен можемо вибрати двома способами, і за правилом множення отримуємо: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n

Для математиків сформулюємо теорему і наведемо суворий доказ.

Теорема. Число підмножин кінцевої множини, що складається з n елементів, дорівнює 2 n.

Доведення.Безліч, що складається з одного елемента a, має два (тобто 2 1) підмножини: ∅ та (a). Безліч, що складається з двох елементів a та b, має чотири (тобто 2 2) підмножини: ∅, (a), (b), (a; b).
Множина, що складається з трьох елементів a, b, c, має вісім (тобто 2 3) підмножин:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Можна припустити, що додавання нового елемента подвоює кількість підмножин.
Завершимо доказ застосуванням методу математичної індукції. Сутність цього методу в тому, що якщо твердження (властивість) справедливе для деякого початкового натурального числа n 0 і якщо припущення, що воно справедливе для довільного натурального n = k ≥ n 0 можна довести його справедливість для числа k + 1, то ця властивість справедлива для всіх натуральних чисел.

1. Для n = 1 (база індукції) (і навіть n = 2, 3) теорема доведена.

2. Припустимо, що теорема підтверджена для n = k, тобто. число підмножин множини, що складається з елементів, дорівнює 2 k .

3. Доведемо, що число підмножин множини B, що складається з n = k + 1 елемента, дорівнює 2 k+1 .
Вибираємо деякий елемент b множини B. Розглянемо безліч A = B \ (b). Воно містить елементи k. Всі підмножини множини A - це підмножини множини B, що не містять елемента b і, за припущенням, їх 2 k штук. Підмножини множини B, що містять елемент b, стільки ж, тобто. 2 к
штук.

Отже, всіх підмножин множини B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорему доведено.

У прикладі 1 безліч А = (а, с, р, о)складається з чотирьох елементів, n=4, отже, число всіх підмножин дорівнює 24 =16.

Якщо вам необхідно виписати всі підмножини, або скласти програму для написання безлічі всіх підмножин, то є алгоритм для вирішення: представляти можливі комбінації у вигляді двійкових чисел. Пояснимо на прикладі.

приклад 2.Є безліч (ab c), у відповідність ставляться такі числа:
000 = (0) (порожня множина)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (b c)
100 = (a)
101 = (a c)
110 = (a b)
111 = (a b c)

Калькулятор безлічі всіх підмножин.

У калькуляторі вже набрано елементи множини А = (а, с, р, о), достатньо натиснути кнопку Submit. Якщо вам необхідне вирішення свого завдання, то набираємо елементи множини на латиниці, через кому, як показано в прикладі.

Безліч Аназивають підмножиноюбезлічі S(або у множині 5), якщо кожен елемент множини Ає елементом множини S.Позначення: Іс5.

Вираз AqS також читають: «Авключено до 5», «Аміститься в 5», «Sмістить А», «Ачастина S».Знак з називають символ включення.

Запишемо це визначення символічно:

З визначення випливає: безліч Ає підмножиною в Sтоді і тільки тоді, коли із пропозиції ( хеА) слідує пропозиція (xeS).

Побудуємо заперечення до того, що AczS.За законами логіки маємо:

Отже, пропозиція «Множина Ане включено до S» рівнозначно пропозиції «Існує елемент множини А, який не лежить у S».

Дві множини Аі Уформально можна з'єднати знаками включення двома способами: A(z.Bі ВсА.Кожен із цих виразів визначає пропозицію, яка може бути істинною або хибною. Друге включення В (також пишуть А^В)стосовно першого називають зворотним. Не завжди із справедливості одного з включень випливає істинність іншого включення.

Приклад 6.2.1. Має місце включення (-2; 2) з (-2; 0; 1; 2), так як обидва числа (-2) і 2 є елементами множини (-2; 0; 1; 2). Однак (-2; 0; 1; 2) не включено в (-2; 2), так як, наприклад, 0г (-2; 2).

Приклад 6.2.2. Нехай А -безліч усіх ромбів, В -множина всіх квадратів.

А ? В,оскільки існує ромб, що не є квадратом.

З: А,оскільки будь-який квадрат є ромбом (що випливає з визначень даних фігур).

Другими словами, безліч всіх квадратів є підмножиною безлічі всіх ромбів.

Приклад 6.2.3. (х| *:12)с(* | дг:3), оскільки *:12=>*:3 (обгрунтуйте самостійно). Однак зворотне включення неправильне, так як х:3фх":2(Наведіть контрприклад).

З визначення випливає, що кожна безліч є підмножиною самою себе.

Візьмемо замість Апорожня множина. Тоді затвердження 0qS рівносильно V * (Хе0 xeS).Оскільки посилка імплікації завжди хибна, то будь-якого об'єкта д; імплікація набуває справжнього значення. Отже, твердження 0qS вірне. Отже, порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Висновок: у будь-якої непустої множини завжди є дві підмножини - сама множина і порожня. Їх називають тривіальними підмножинами. Саме безліч також називають невласним підмножиною.

Підмножина в Sназивається власним,якщо воно не збігається з S.Запис AaSозначає, що Ає власним підмножиною S:

Символом суворого включення знак.

Ми маємо два відношення: відношення приналежності елемента до множини (що позначається знаком е) і відношення включення множин (що позначається знаком з). Загалом це різні знаки. Наприклад, (2) з (2,3), але (2) * г (2,3). Однак іноді між множинами можна поставити обидва знаки.

Приклад 6.2.4. Безліч А =(2) є елементом множини У= (1,2, (2)). При цьому Ає підмножина безлічі У, так вага елементи множини Алежать у У(у Ає тільки один елемент - число 2, яке лежить в У).

Отже, (2)е(1,2,(2) і (2)с(1,2,(2)).

Приклад 6.2.5. Розглянемо площину аі пряму/, що лежить на цій площині. Якщо розглядати пряму як елемент площини, прийнято писати lea.Якщо ж розуміти пряму як безліч точок, що належать даній прямій, це безліч буде підмножиною безлічі всіх точок площини. Тоді можна записати /са.

Нехай вірні пряме та зворотне включення AqB та B У цьому випадку для всіх хвиконуються імплікації хеЛ ->хеВі xgB->xеЛ, що рівнозначно тому, що для всіх. хеЛтоді і лише тоді, коли хеВ.Це означає, що безліч Аі Узбігаються:

Ею просте міркування лежить в основі методу доказу рівності множин, званого методом подвійного включення: для того щоб довести, що множини А і В рівні, треба довести пряме і зворотне включення множин.

По суті, ця ідея була продемонстрована у прикладі 6.1.3, оскільки пряме включення A означає, що з предикату Р(х),задає безліч Аслідує предикат Q(x), що задає безліч У, а зворотне включення означає, що з Q(x)слід Р(х).Розглянемо ще один приклад.

Приклад 6.2.6. Візьмемо безліч:

А = {2п | neZ) -безліч всіх парних чисел,

В - (хх = а + Ь,де аі b -непарні числа) - множина всіх чисел, кожне з яких є сумою деяких непарних чисел.

Доведемо, що А = Ст.

Покажемо справедливість включення А^В.Нехай хеА,тоді маємо х = 2w = (2/f-l)+1, тобто хпредставимо у вигляді суми двох непарних чисел. Значить, хеВ.

Правильне також зворотне включення ВсА.Справді, нехай хеВ.Тоді х =(2/7+1)+(2А+1) = 2(/;+А"+1) = 2т.Значить х -парне число, тому хеА.

Обидва включення доведені. Значить, множини Аі Урівні.

Вправа. Доведіть, що множини (2/7-1 пе Z) та (2/7+1 | не Z) рівні, тобто обидва визначають безліч непарних чисел.

Приклад 6.2.7. Зауважимо, що безлічі А =(2я-1 | // eN) та У- (2/7+1 | /7 € N) нс рівні, оскільки IgA, але 1 &В.Тому безліч усіх непарних позитивних чиселзадасть тільки безліч Л.При цьому включення Л^Ввірно.

Нехай дано безліч S.Сімейство всіх підмножин множини Sназивається булеаном безлічі S(або ступенем множини S)і позначається (5) або 2s.

За визначенням В(5) = (X| AfcS).

Ясно, що 0еВ(5) і SeB(S) для будь-якої множини S.

Приклад 6.2.8. Нехай S= (1,2,3). Знайдемо булсан цієї множини.

Зауважимо, що елементами булеану є множини.

Термін «ступінь множини» і відповідне позначення мотивуються тим, що якщо ми маємо кінцеву //-елементну множину, то кількість елементів його булеану буде дорівнює ступеню 2". Розглянутий вище приклад ілюструє цю залежність. Доказ цього факту буде дано в розділі 3. Там ж буде розглянута формула, що дозволяє знаходити у //-елементної множини число підмножин, що містять фіксоване число елементів.

• У деякій літературі знайомі з позначають довільне підмножина.

Дві множини A і B рівні, якщо вони складаються з одних і тих же елементів.

З цього принципу випливає, що для будь-яких двох різних множин завжди знайдеться деякий об'єкт, який є елементом одного з них і не є елементом іншого. Оскільки порожні сукупності містять елементів, всі вони помітні і тому порожня безліч – єдино.

Підмножини. Визначення рівності множин можна сформулювати інакше, використовуючи поняття підмножини.

Визначення. Множина A називається підмножиною множини B якщо кожен елемент A є елементом B.

Наслідок 1. Очевидно,
для будь-якої множини A, т.к. кожен елемент A є елемент з A.

Наслідок 2. Для будь-якої множини A,
Бо коли б порожня множина не була підмножиною A, то в порожньому підмножині існували б елементи, що не належать A. Однак порожня множина не містить взагалі жодного елемента.

Якщо
, то пишуть
, і якщо
, то A – власне підмножина B.

Поняття підмножини множин дозволяє легко формалізувати поняття рівності двох множин.

Твердження. Для будь-яких A та B

Логічну еквівалентність, що визначається виразом (1.1) використовують як основний спосіб доказу рівності двох множин.

Зауваження . Відношення включення  має ряд очевидних властивостей:

(Рефлексивність);

(Транзитивність).

Для будь-якої множини X можна визначити спеціальну множину всіх підмножин множини X, яка називається булеаном ℬ
, Яке включає в себе саме безліч X, всі його підмножини і порожня безліч
.

приклад. Нехай
- Це безліч, що складається з трьох елементів. Тоді булеан ℬ (X) це безліч:

Власними підмножинами ℬ (X) є наступні множини:

(a), (b), (c), (a, b), (b, c), (a, c).

У загальному випадку, якщо множина X містить n елементів, то множина його підмножин ℬ (X) складається з елементів.

Операції на множинах.

Нехай U – універсальна множина,
. Тоді для множин X,Y можна визначити операції
.

Визначення . Об'єднанням множин X і Y називається безліч
, Що складається з елементів, що входять хоча б в одну з множин (X або Y):

Рис. 1.1 –Об'єднання множин Рис. 1.2- Перетин множин

Визначення . Перетином множин X і Y називається безліч
, Що складається з елементів, що входять в X і Y одночасно:

Визначення . Різницею множин X і Y називається безліч
, Що складається з елементів, що входять до множини X, але не входять до Y:

Рис. 1.3- Різниця множин
Рис. 1.4– Симетрична

різниця множин

Визначення . Симетричною різницею двох множин X і Y називається безліч
, Що складається з елементів множини X і елементів множини Y, за винятком елементів, що є загальними для обох множин:

Визначення . Для будь-якої множини
доповненням безлічі до U називається така безліч , що:

Рис. 1.5– Додаток множини X до U

На рис. 1.1  1.5 представлені діаграми Венна, які наочно демонструють результати операцій
.

Доповнення множини іноді позначається
. Операції
пов'язані між собою законами де Моргана:

, (1.7)

. (1.8)

У справедливості законів де Морган легко переконатися самостійно.

У таблиці 1.1 наведено основні властивості операцій над множинами.

Таблиця 1.1

	Властивості операцій	Об'єднання, перетин, доповнення
	комутативність	,
	асоціативність
	дистрибутивність
	ідемопотентність	, , , , ,
	теореми де Моргана	,
	інволюція

Операції об'єднання та перетину можна узагальнити. Нехай
- безліч індексів,
- Сімейство підмножин множини X.

Визначення. Сімейство підмножин
множини X, для яких
, називається розбиттяммножини X, якщо виконуються такі дві умови:

,

Визначення. Сімейство підмножин
множини X називається покриттяммножини X, якщо:
.

Визначення. Клас K підмножин з U називається алгеброю, якщо:

1.
;

2. з того, що
випливає, що
;

3. з того, що
випливає, що
.

приклад. Нехай
тоді клас
утворює алгебру.

Визначення. Клас F підмножин з U утворює -алгебру, якщо:

1.
;

2. з того, що
слід
;

3. з того, що
,
випливає, що
.

приклад. Безліч всіх підмножин U утворює -алгебру, тобто. ℬ (U) - -алгебра.

Належні $A$, також належить $B$. Формальне визначення:

$(A\; \backslash subset\; B)\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash forall\; x.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash Rightarrow\; x\; \backslash in\; B).$

Безліч $B$називається надмножиноюбезлічі $A$, якщо $A$- підмножина $B$.

Існує два символічні позначення для підмножин:

Обидві системи позначень використовують символ $\backslash subset$у різних сенсах, що може призвести до плутанини. У цій статті ми будемо використовувати останню систему позначень.

Те, що $B$називається надмножиною $A$, часто записують $B\; \backslash supset\; A$.

Безліч всіх підмножин множини $A$позначається $\backslash mathcal(P)(A)$і називається булеаном.

Власна підмножина

Будь-яка безліч $B$є своєю підмножиною. Якщо ми хочемо виключити $B$з розгляду ми користуємося поняттям власного

Безліч $A$є власним підмножиною множини $B$, якщо $A\; \backslash subset\; B$і $A\; \backslash ne\; B$.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Якщо ми також хочемо виключити з розгляду порожню безліч, ми користуємося поняттям нетривіальногопідмножини, що визначається так:

Безліч $A$є нетривіальним підмножиною множини $B$, якщо $A$є власним підмножиною $B$і $A\; \backslash ne\; \backslash varnothing$.

Приклади

• Безліч $\backslash varnothing,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Безліч $\backslash (\backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\backslash ),\; \backslash (\$,\%,*,\backslash uparrow\backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$є підмножинами множини $\backslash (\$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; moose\; \backslash )$
• Нехай $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$тоді $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Нехай $A\; =\; \backslash \; (1,2,3,4,5\; \backslash ),\; \backslash ;\; B\; =\; \backslash \; (1,2,3\; \backslash ),\; \backslash ;\; C\; =\; \backslash \; (4,5,6,7)$. Тоді $B\; \backslash subset\; A,\backslash ;\; C\; \backslash not\backslash subset\; A$.

Властивості

Ставлення підмножини має цілу низку властивостей.

• Відношення підмножини є ставленням часткового порядку :
  • Відношення підмножини рефлексивно : $B\; \backslash subset\; B$
  • Відношення підмножини антисиметрично : $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\; \backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; A)\; \backslash Leftrightarrow\; (A\; =\; B)$
  • Відношення підмножини транзитивно : $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; C)\; \backslash Rightarrow\; (A\; \backslash subset\; C)$
• Порожня безлічє підмножиною будь-якого іншого, тому воно є найменшою множиною щодо відношення підмножини: $\backslash varnothing\backslash subset\; B$
• Для будь-яких двох множин $A$і $B$наступні твердження еквівалентні:
  • $A\; \backslash subset\; B.$
  • $A\; \backslash \; cap\; B\; =\; A.$
  • $A\; \backslash cup\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash complement)\; \backslash subset\; A^(\backslash complement).$

Підмножини кінцевих множин

Якщо вихідна множина звичайно, то у нього існує кінцева кількість підмножин. А саме, у $n$-елементної множини існує $2^n$підмножин (включаючи порожнє). Щоб переконатися в цьому, досить помітити, що кожен елемент може входити або не входити в підмножину, а значить, Загальна кількістьпідмножин буде $n$-кратним твором двійок. Якщо ж розглядати лише підмножини $n$-елементної множини з $k\backslash le\; n$елементів, то їх кількість виражається біномним коефіцієнтом $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Для перевірки цього факту можна вибирати елементи підмножини послідовно. Перший елемент можна вибрати $n$способами, другий $n-1$способом, і так далі, і, нарешті, $k$-й елемент можна вибрати $n-k+1$способом. Таким чином ми отримаємо послідовність з $k$елементів, і рівно $k!$таким послідовностям відповідає одне підмножина. Значить, найдеться $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash dots(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$таких підмножин.

Напишіть відгук про статтю "Підмножина"

Примітки

Література

• Верещагін Н. К., Шень А.Лекції з математичної логіки та теорії алгоритмів. Частина 1. Початки теорії множин. - 3-тє вид., стереотип. – М.: МЦНМО, 2008. – 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Формальна Математична (теоретична, символічна) 2 константи : 0 1 Див. також

Уривок, що характеризує підмножину

– Я не винен, що розмова зайшла за інших офіцерів. Можливо, не треба було говорити при них, та я не дипломат. Я потім у гусари і пішов, думав, що тут не потрібно тонкощів, а він мені каже, що я брешу… то хай дасть мені задоволення…
- Це все добре, ніхто не думає, що ви боягуз, та не в тому річ. Запитайте у Денисова, схоже це на щось, щоб юнкер вимагав задоволення у полкового командира?
Денисов, закусивши вус, з похмурим виглядом слухав розмову, мабуть не бажаючи вступати до нього. На запитання штаб ротмістра він заперечливо похитав головою.
— Ви при офіцерах кажете полковому командиру про цю гидоту, — вів далі штаб ротмістр. – Богданович (Богдановичем називали полкового командира) вас обложив.
- Не обложив, а сказав, що я неправду говорю.
- Ну так, і ви наговорили йому дурниць, і треба перепросити.
- Нізащо! – крикнув Ростов.
- Не думав я цього від вас, - серйозно і суворо сказав штаб ротмістр. — Ви не хочете вибачитись, а ви, батюшка, не тільки перед ним, а перед усім полком, перед усіма нами, ви навкруги винні. А от як: якби ви подумали та порадилися, як обійтися з цією справою, а то ви прямо, та за офіцерів, і бухнули. Що тепер робити полковому командиру? Потрібно віддати під суд офіцера і забруднити весь полк? За одного негідника весь полк осоромити? Так, чи що, на вашу думку? А на нашу думку, не так. І Богданович молодець, він вам сказав, що ви неправду кажете. Неприємно, та що робити, батюшка, самі наскочили. А тепер, як справу хочуть зам'яти, так ви з-за фанаберії якийсь не хочете вибачитися, а хочете все розповісти. Вам прикро, що ви подежурите, та що вибачитися перед старим і чесним офіцером! Який би там не був Богданович, а все чесний і хоробрий, старий полковнику, так вам прикро; а забруднити полк вам нічого? - Голос штабу ротмістра починав тремтіти. - Ви, батюшка, у полку без року тиждень; нині тут, завтра перейшли кудись до ад'ютантики; вам начхати, що будуть говорити: «Між Павлоградськими офіцерами злодії!» А нам не байдуже. То чи що, Денисов? Не все одно?
Денисов все мовчав і не ворушився, зрідка поглядаючи своїми блискучими чорними очима на Ростова.
– Вам своя фанаберія дорога, вибачитись не хочеться, – продовжував штаб ротмістр, – а нам, старим, як ми виросли, та й померти, Бог дасть, приведеться в полку, то нам честь полку дорога, і Богданович це знає. Ох, як дорога, тату! А це недобре, недобре! Там ображайтеся чи ні, а я завжди скажу правду матку. Не добре!
І штаб ротмістр підвівся і відвернувся від Ростова.
- Пг"авда, чог"т візьми! - Закричав, схоплюючись, Денисов. - Ну, Г"кістя! Ну!
Ростов, червоніючи й блідівши, дивився то на одного, то на іншого офіцера.
– Ні, панове, ні… ви не думайте… я дуже розумію, ви даремно про мене думаєте так… я… для мене… я за честь полку… та що? це насправді я покажу, і для мене честь прапора… ну, все одно, правда, я винен!.. – Сльози стояли в його очах. – Я винен, навкруги винен!… Ну, що вам ще?…
— Оце так, графе, — повертаючись, гукнув штаб ротмістр, ударяючи його. великою рукоюпо плечу.
- Я тобі кажу, - закричав Денисов, - він малий славний.
- Так краще, графе, - повторив штаб ротмістр, ніби за його визнання починаючи звати його титулом. - Ідіть і вибачтеся, ваше сіятельство, та с.
- Панове, все зроблю, ніхто від мене слова не почує, - благаючим голосом промовив Ростов, - але вибачатися не можу, їй Богу, не можу, як хочете! Як я вибачатимуся, точно маленький, прощення просити?
Денисов засміявся.
– Вам гірше. Богданович зла пам'ятний, поплатіться за впертість, – сказав Кірстен.
- Їй Богу, не впертість! Я не можу вам описати, яке почуття не можу…
– Ну, ваша воля, – сказав штаб ротмістр. — Що ж, мерзотник цей куди подівся? - Запитав він у Денисова.
- Дався взнаки хворим, завтга велено пказином виключити, - промовив Денисов.
- Це хвороба, інакше не можна пояснити, - сказав штаб ротмістр.
- Вже там хвороба не хвороба, а не трапляйся він мені на очі - уб'ю! – кровожерно прокричав Денисов.
До кімнати зайшов Жерков.
- Ти як? – раптом звернулися офіцери до того, хто увійшов.
- Похід, панове. Мак у полон здався і з армією, зовсім.
- Брешеш!
– Сам бачив.
– Як? Мака живого бачив? з руками, з ногами?
– Похід! Похід! Дати йому пляшку за таку новину. Ти як сюди потрапив?
– Знову в полк вислали за чорта, за Мака. Австрійський генерал поскаржився. Я його привітав з приїздом Мака… Ти що, Ростов, з лазні?
– Тут, брате, у нас така каша другий день.
Увійшов полковий ад'ютант і підтвердив звістку, привезену Жерковим. На завтра велено було виступати.
- Похід, панове!
- Ну, і слава Богу, засиділися.

Кутузов відступив до Відня, знищуючи за собою мости на річках Інні (у Браунау) та Трауні (у Лінці). 23 жовтня. Російські війська переходили річку Енс. Російські обози, артилерія і колони військ у середині дня тяглися через місто Енс, звідси і з того боку мосту.