Момент кількості руху механічної системи. Що означає "момент кількості руху". Загальне рівняння динаміки

• 1. Алгебраїчниймомент кількості руху щодо центру. Алгебраїчний Про-- скалярна величина, взята зі знаком (+) або (-) і дорівнює добутку модуля кількості руху mна відстань h(перпендикуляр) від цього центру до лінії, вздовж якої направлений вектор m:
• 2. Векторний момент кількості руху щодо центру.

вектормомент кількості руху матеріальної точки щодо деякого центру Про --вектор, прикладений у цьому центрі і спрямований перпендикулярно до площини векторів. mі у той бік, звідки рух точки видно проти ходу годинникової стрілки. Це визначення задовольняє векторну рівність

Моментом кількості рухуматеріальної точки щодо деякої осі zназивається скалярна величина, взята зі знаком (+) або (-) і дорівнює добутку модуля векторні проекції кількості руху на площину, перпендикулярну до цієї осі, на перпендикуляр h,опущений з точки перетину осі з площиною на лінію, вздовж якої спрямована вказана проекція:

Кінетичний момент механічної системи щодо центру та осі

1. Кінетичний момент щодо центру.

Кінетичним моментомабо головним моментом кількостей руху механічної системи щодо деякого центруназивається геометрична сума моментів кількостей руху всіх матеріальних точок системи щодо того самого центру.

2. Кінетичний момент щодо осі.

Кінетичним моментом чи головним моментом кількостей руху механічної системи щодо деякої осі називається алгебраїчна сума моментів кількостей руху всіх матеріальних точок системи щодо тієї ж осі.

3. Кінетичний момент твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі z з кутовою швидкістю.

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки щодо центру та осі

1. Теорема моментів щодо центру.

Похідназа часом від моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякого нерухомого центру дорівнює моменту сили, що діє на точку, щодо того ж центру

2. Теорема моментів щодо осі.

Похідназа часом від моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякої осі дорівнює моменту сили, що діє на точку, щодо тієї ж осі

Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи щодо центру та осі

Теорема моментів щодо центру.

Похідназа часом від кінетичного моменту механічної системи щодо деякого нерухомого центру дорівнює геометричній сумі моментів усіх зовнішніх сил, які діють систему, щодо того ж центру;

Слідство.Якщо головний момент зовнішніх сил щодо деякого центру дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цього центру не змінюється (закон збереження кінетичного моменту).

2. Теорема моментів щодо осі.

Похідназа часом від кінетичного моменту механічної системи щодо деякої нерухомої осі дорівнює сумі моментів усіх зовнішніх сил, що діють на систему щодо цієї осі

Слідство.Якщо головний момент зовнішніх сил щодо певної осі дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цієї осі не змінюється.

Наприклад, = 0, тоді L z = Const.

Робота та потужність сил

Робота сили- скалярний захід дії сили.

1. Елементарна робота сили.

Елементарнаробота сили - це нескінченно мала скалярна величина, що дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор нескінченного малого переміщення точки докладання сили: ; - збільшення радіуса-вектора точки докладання сили, годографом якого є траєкторія цієї точки. Елементарне переміщення точки по траєкторії збігається з в силу їх дещиці. Тому

якщо то dA > 0;якщо, то dA = 0;якщо , то dA< 0.

2. Аналітичний вираз елементарної роботи.

Представимо вектори і dчерез їх проекції на осі декартових координат:

, . Отримаємо (4.40)

3. Робота сили на кінцевому переміщенні дорівнює інтегральній сумі елементарних робіт на цьому переміщенні

Якщо сила стала, а точка її застосування переміщається прямолінійно,

4. Робота сили тяжіння. Використовуємо формулу: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

де h-переміщення точки застосування сили по вертикалі вниз (висота).

При переміщенні точки застосування сили тяжіння вгору A 12 = -mgh(крапка М 1 -- внизу, M 2 - вгорі).

Отже, . Робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії. При русі замкнутою траєкторією ( M 2 збігається з М 1 ) робота дорівнює нулю.

5. Робота сили пружності пружини.

Пружина розтягується лише вздовж осі х:

F y = F z = О, F x = = -Сх;

де – величина деформації пружини.

При переміщенні точки докладання сили з нижнього положення у верхній напрямок сили та напрямок переміщення збігаються, тоді

Тому робота сили пружності

Робота сил на кінцевому переміщенні; Якщо = const, то

де - Кінцевий кут повороту; , де п -число обертів тіла довкола осі.

Кінетична енергія матеріальної точки та механічної системи. Теорема Кеніга

Кінетична енергія- скалярний захід механічного руху.

Кінетична енергія матеріальної точки -скалярна позитивна величина, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості,

Кінетична енергія механічної системиарифметична сума кінетичних енергій усіх матеріалів цієї системи:

Кінетична енергія системи, що складається з ппов'язаних між собою тіл, що дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій усіх тіл цієї системи:

Теорема Кеніга

Кінетична енергія механічної системиу загальному випадку її руху дорівнює сумі кінетичної енергії руху системи разом із центром мас та кінетичної енергії системи при її русі щодо центру мас:

де Vkc -швидкість k-й точки системи щодо центру мас.

Кінетична енергія твердого тіла при різному русі

Поступальний рух.

Обертання тіла навколо нерухомої осі . ,де - момент інерції тіла щодо осі обертання.

3. Плоскопаралельний рух. де - момент інерції плоскої фігури щодо осі, що проходить через центр мас.

При плоскому русітіла кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху тіла зі швидкістю центру мас та кінетичної енергії обертального руху навколо осі, що проходить через центр мас, ;

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки

Теорема у диференціальній формі.

Диференціалвід кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює елементарній роботі сили, що діє на точку,

Теорема в інтегральній (кінцевій) формі.

ЗмінаКінетичної енергії матеріальної точки на деякому переміщенні дорівнює роботі сили, що діє на точку, на тому ж переміщенні.

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Теорема у диференціальній формі.

Диференціалвід кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі елементарних робіт зовнішніх та внутрішніх сил, що діють на систему.

Теорема в інтегральній (кінцевій) формі.

ЗмінаКінетична енергія механічної системи на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до системи, на тому ж переміщенні. ; Для системи твердих тіл = 0 (за якістю внутрішніх сил). Тоді

Закон збереження механічної енергії матеріальної точки та механічної системи

Якщо на матеріальнуточку чи механічну систему діють лише консервативні сили, то будь-якому положенні точки чи системи сума кінетичної і потенційної енергій залишається величиною постійної.

Для матеріальної точки

Для механічної системи Т+ П= const

де Т+ П --повна механічна енергія системи.

Динаміка твердого тіла

Диференціальні рівняння руху твердого тіла

Ці рівняння можна отримати із загальних теорем динаміки механічної системи.

1. Рівняння поступального руху тіла - з теореми про рух центру мас механічної системи У проекціях на осі декартових координат

2. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі - з теореми про зміну кінетичного моменту механічної системи щодо осі, наприклад щодо осі

Оскільки кінетичний момент L z твердого тіла щодо осі, то якщо

Так як або, то рівняння можна записати у вигляді або форма запису рівняння залежить від того, що слід визначити в конкретній задачі.

Диференціальні рівняння плоскопаралельногорухи твердого тіла є сукупністю рівнянь поступальногоруху плоскої фігури разом з центром мас і обертальногорухи щодо осі, що проходить через центр мас:

Фізичний маятник

Фізичним маятникомназивається тверде тіло, що обертається навколо горизонтальної осі, що не проходить через центр мас тіла, і рухається під дією сили тяжіння.

Диференціальне рівняння обертання

У разі малих вагань.

Тоді, де

Вирішення цього однорідного рівняння.

Нехай при t=0Тоді

-- рівняння гармонійних коливань.

Період коливань маятника

Наведена довжинафізичного маятника - це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань фізичного маятника.

У деяких завданнях як динамічна характеристика точки, що рухається, замість самої кількості руху розглядають його момент щодо будь-якого центру або осі. Ці моменти визначаються як і моменти сили.

Моментом кількістю руху матеріальної точки щодо деякого центру Про називається вектор, який визначається рівністю

Момент кількості руху точки називають також кінетичним моментом .

Момент кількості руху щодо будь-якої осі, що проходить через центр Про, дорівнює проекції вектора кількості руху на цю вісь.

Якщо кількість руху задано своїми проекціями на осі координат і дано координати точки у просторі, то момент кількості руху щодо початку координат обчислюється так:

Проекції моменту кількості руху на осі координат дорівнюють:

Одиницею вимірювання кількості руху на СІ є – .

Теорема про зміну моменту кількості руху точки.

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого щодо якогось центру, дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Доказ: Продиференціюємо момент кількості руху за часом

, , отже, (*)

що і потрібно було довести.

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого щодо будь-якої осі, дорівнює моменту чинної на точку сили щодо тієї ж осі.

Для підтвердження достатньо спроектувати векторне рівняння (*) на цю вісь. Для осі це виглядатиме так:

Наслідки з теорем:

1. Якщо момент сили щодо точки дорівнює нулю, то момент кількості руху щодо цієї точки величина стала.

2. Якщо момент сили щодо осі дорівнює нулю, то момент кількості руху щодо цієї осі величина стала.

Робота сил. Потужність.

Одна з основних характеристик сили, що оцінюють дію сили на тіло при його переміщенні.

Елементарна робота сили скалярна величина дорівнює добутку елементарного переміщення на проекцію сили цього переміщення.

Одиницею виміру роботи у СІ є –

При при

Приватні випадки:

Елементарне переміщення дорівнює диференціалу радіуса вектора точки докладання сили.

Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку сили на елементарне переміщення або диференціал радіуса вектора точки докладання сили.

Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку елементарного імпульсу сили швидкість точки.

Якщо сила задана своїми проекціями () на осі координат та елементарне переміщення задано своїми проекціями () на осі координат, то елементарна робота сили дорівнює:

(Аналітичне вираження елементарної роботи).

Робота сили будь-якому кінцевому переміщенні дорівнює взятому вздовж цього переміщення інтегралу від елементарної роботи.

Потужністю сили називається величина, що визначає роботу, що здійснюється силою в одиницю часу. У випадку потужність дорівнює першої похідної за часом від роботи.

,

Потужність дорівнює скалярному добутку сили на швидкість.

Одиницею вимірювання потужності СІ є –

У техніці за одиницю сили приймається .

Приклад 1. Робота сили тяжіння.

Нехай точка М, яку діє сила тяжкості Р, переміщається з положення у становище. Виберемо осі координат так, щоб вісь була спрямована вертикально нагору.

Тоді, , , і

Робота сили тяжіння дорівнює взятому зі знаком плюс або мінус добутку модуля сили на вертикальне переміщення точки її застосування. Робота позитивна, якщо початкова точка вище кінцевої, і негативна, якщо початкова точка нижче кінцевої.

Приклад 2. Робота сили пружності.

Розглянемо матеріальну точку закріплену на пружному елементі жорсткості с, яка здійснює коливання вздовж осі х. Сила пружності (або сила, що відновлює) . Нехай точка М, яку діє лише сила пружності, переміщається з положення в положення . ( , ).

Потужність пари сил дорівнює

Кінетична енергія точки

Кінетичною енергієюматеріальної точки (або її живою силою) називають половину добутку маси крапки на квадрат її швидкості.

Квиток 14

Питання 1

Під фізичним маятником можна розуміти будь-яке тіло, яке здійснює малі коливання щодо нерухомої горизонтальної осі під дією сили тяжіння.

Як дослідним шляхом визначити положення центру тяжкості тіла складної формищодо осі (відстань ОС), розглядалося у розділі "Статика". За виміряним періодом коливань цього тіла можна визначити його момент інерції щодо осі Oz, що проходить через точку О,

та щодо горизонтальної осі, що проходить через центр мас тіла.

Цікаво знати ще й таке. У фізичних тіл, що коливаються, на продовженні лінії, що проходить через вісь обертання і центр тяжкості тіла, існує точка, яку називають центром хитань.

Якщо тіло змусити коливатися щодо осі, що проходить через центр коливань, то період коливань цього тіла буде таким самим, як і при коливаннях щодо осі, що проходить через точку О.

Знаходиться центр коливань (т. D малюнку) на продовженні лінії ОС нижче центру тяжкості тіла з відривом, яке прийнято називати наведеної довжиною фізичного маятника.

Дамо цьому поняттю таке визначення.

Під наведеною довжиною фізичного маятника розуміється довжина математичного

Маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань фізичного маятника.

Наведену довжину маятника легко визначити, прирівнявши вирази, з яких

визначаються циклічна частота коливань у кожному з випадків.

Питання 2

Кінетичний момент точки та системи щодо центру та осі

Розглянемо систему матеріальних точок з масами m 1 m 2 ....m n , що мають на даний момент швидкості v 1 v 2 .....v nщодо інерційної системи відліку. Виберемо довільний центрПро (Рис.1). Кінетичним моментом точки m j щодо центру називається вектор моменту її кількості руху щодо цього центру.

K oj = m o (q j) = r j  m j v j(j=1,2...n) (1)

Відомо, що векторне множення можна записати через приєднану матрицю першого співмножника-радіуса вектора r.

Опускаючи індекс j, запишемо матричний вираз в осях xyz c початком О:

K o =m Rv(2)

де R-кососиметрична приєднана матриця стовпця r

= m =m (3)

Проекція кінетичного моменту на вісь називаються кінетичним моментом точки щодо осі . Він обчислюється або аналітично за формулами (3) або як момент сили щодо осі. Момент дає лише дотична складова вектора q(Рис.2).

K Z = + q t h (4)

Момент звертається в нуль, якщо вектор кількості руху (швидкість точки) лежить в одній площині з віссю (паралелен або перетинає вісь)

Кінетичним моментом системи щодо центру Про називається головний момент кількостей рухів точок системи щодо цього центру.

K o =SK oj =S m j r j v j(5)

Аналогічно з формулою (3) проекції вектора (4) утворюють стовпець кінетичних моментів щодо осей координат

= Sm j (6)

Кінетичним моментом механічної системи щодо полюса (осі) називають векторну (алгебраїчну) суму моментів кількостей руху всіх точок системи щодо цього ж полюса Про(тієї ж осі)

() . (3.22)

Кінетичний момент механічної системи часто називають головним моментом кількості руху системи відповідно щодо полюса чи осі.

Якщо спроектувати кінетичний момент (3.22) на прямокутні декартові осі координат, то отримаємо проекції кінетичного моменту на ці осі або кінетичні моменти щодо осей координат

Якщо система матеріальних точок рухається поступально, те, отже, .

Ми скористалися властивістю сполучності векторного творущодо скалярного множника та формулою для визначення радіусу - вектора центру мас (2.4).

Таким чином, кінетичний момент системи щодо полюса при поступальному русі дорівнює моменту кількості руху системи щодо цього полюса за умови, що кількість руху системи прикладена в центрі мас.

^ Кінетичний момент твердого тіла щодо осі обертання

Рис. 18

Нехай тверде тіло обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю (рис. 18). Виберемо довільну точку у твердому тілі та обчислимо кінетичний момент цього тіла щодо осі обертання. За визначенням кінетичного моменту системи щодо осі маємо

.
Але при обертанні тіла навколо осі,

причому кількість руху точки - перпендикулярно до відрізка і знаходиться в площині, перпендикулярній осі обертання . Отже, момент кількості руху щодо осі для точки

Для всього тіла ,

тобто . (3.24)

Кінетичний момент обертового тіла щодо осі обертання дорівнює добутку кутової швидкості тіла на його момент інерції щодо осі обертання.

Квиток 15

Питання 1

Відповідно до принципу можливих переміщень (основного рівняння статики), для того, щоб механічна система, на яку накладені ідеальні, стаціонарні, утримуючі та голономні зв'язки, знаходилася в рівновазі, необхідно і достатньо, щоб у цій системі дорівнювали нулю всі узагальнені сили:

де Q j- узагальнена сила, що відповідає j -ой узагальненої координати;

s- Число узагальнених координат в механічній системі.

Якщо досліджуваної системи було складено диференціальні рівняння руху на формі рівнянь Лагранжа II - го роду, то визначення можливих положень рівноваги досить прирівняти узагальнені сили нулю і вирішити отримані рівняння щодо узагальнених координат.

Якщо механічна система знаходиться в рівновазі в потенційному силовому полі, то з рівнянь (1) отримуємо такі умови рівноваги:

Отже, положення рівноваги потенційна енергія має екстремальне значення. Не всяка рівновага, що визначається вищенаведеними формулами, може бути реалізована практично. Залежно від поведінки системи при відхиленні від положення рівноваги говорять про стійкість чи нестійкість цього положення.

рівновагу механічної системи,стан механічної системи, що перебуває під впливом сил, у якому її крапки спочивають стосовно аналізованої системі отсчёта. Якщо система відліку є інерційною (див. Інерційна система відліку), рівновага називається абсолютною, інакше - відносною. Вивчення умов Р. м. с. - одне з основних завдань статики. Умови Р. м. с. мають вигляд рівностей, що пов'язують діючі силита параметри, що визначають положення системи; число цих умов дорівнює числу ступенів свободи системи. Умови відносності Р. м. с. складаються так само, як і умови абсолютної рівноваги, якщо до діючих на точки сил додати відповідні переносні сили інерції. Умови рівноваги вільного твердого тіла перебувають у рівності нулю сум проекцій на три координатні осі Oxyzі сум моментів щодо цих осей всіх прикладених до тіла сил, тобто.

При виконанні умов (1) тіло буде по відношенню до даної системи відліку перебувати у спокої, якщо швидкості всіх його точок щодо цієї системи в момент початку дії сил дорівнювали нулю. В іншому випадку тіло при виконанні умов (1) здійснюватиме т.з. рух за інерцією, наприклад, рухатися поступально, рівномірно і прямолінійно. Якщо тверде тіло не є вільним (див. механічні зв'язки), то умови його рівноваги дають ті з рівностей (1) (або їх наслідків), які не містять реакцій накладених зв'язків; Інші рівності дають рівняння визначення невідомих реакцій. Наприклад, для тіла, що має нерухому вісь обертання Oz,умовою рівноваги буде m z(F k) = 0; Інші рівності (1) служать визначення реакцій підшипників, що закріплюють вісь. Якщо тіло закріплено накладеними зв'язками жорстко, всі рівні (1) дають рівняння для певної реакції зв'язків. Такі завдання часто вирішуються в техніці.

На підставі затвердіння принципу рівності (1), що не містять реакцій зовнішніх зв'язків, дають одночасно необхідні (але недостатні) умови рівноваги будь-якої механічної системи і, зокрема, тіла, що деформується. Необхідні та достатні умовирівноваги будь-якої механічної системи можна знайти за допомогою можливих переміщень принципу. Для системи, що має sступенів свободи, ці умови перебувають у рівності нулю відповідних узагальнених сил:

Q 1= 0, Q 2= 0, ×××, Q s= 0. (2)

Зі станів рівноваги, що визначаються умовами (1) і (2), практично реалізуються лише ті, які є стійкими (див. Стійкість рівноваги). Рівноваги рідин та газів розглядаються в гідростатиці та аеростатиці.

Питання 2

Квиток 18

для врівноваженої системи сил вже відповідно до принципу можливих переміщень сума віртуальних робіт сил на будь-якому можливому переміщенні системи повинна дорівнювати нулю.

Сформулювати записане можна в такий спосіб.

У будь-який момент руху механічної системи з ідеальними зв'язками сума віртуальних робіт активних сил та сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю.

Цю рівність прийнято називати

загальним рівняннямдинаміки або принцип Лагранжа-Даламбера.

Питання 2

"Принцип можливих переміщень".

Цей принцип вважається найбільш загальною умовою рівноваги чи рівномірного руху будь-якої механічної системи. З нього можна отримати всі аналітичні умови рівноваги тіла під дією системи сил, що розглядаються у розділі "Статика".

Формулюється принцип так:

Для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо,

щоб сума елементарних робіт активних сил на будь-якому можливому переміщенні системи

дорівнювала нулю.

Для доказу необхідності цієї умови рівноваги будь-якої механічної системи, що перебуває в спокої, розділимо сили, що діють на будь-яку точку системи, на задані і сили реакції зв'язків.

Квиток 19

Питання 1

Наближена теорія гіроскопа

Гіроскопом називають тіло, що має нерухому точку і обертається навколо осі матеріальної симетрії.

Припустимо, що гіроскоп обертається з кутовою швидкістю навколо своєї осі симетрії. У цьому випадку кінетичний момент

Це одна з найважливіших характеристик при русі гіроскопа.

У наближеній теорії гіроскопа приймають, що 1<< и кинетический момент гироскопа равен

Гіроскоп з трьома ступенями свободи

Гіроскоп із трьома ступенями свободи здатний чинити опір спробі зміни осі обертання гіроскопа.

Розглянемо гіроскоп, у якого нерухома точка збігається із центром мас.

Розглянемо спочатку гіроскоп (= 0, L= 0). Якщо до гіроскопа прикласти силу, то очевидно, що гіроскоп отримає обертальний рух і впаде (тобто вісь гіроскопа повертатиметься в площині креслення).

Розглянемо гіроскоп, що обертається (швидко). Прикладаємо силу.

За теоремою про зміну кінетичного моменту

Момент перпендикулярний до площини креслення, тоді

Якщо до осі гіроскопа прикладається сила, то вісь гіроскопа зміщується перпендикулярно діючою силою у напрямку крутного моменту.

Якщо дія сили припиняється, вісь обертання гіроскопа зупиняється. ^ Кажуть, що гіроскоп здатний протидіяти дії зовнішніх сил.

Розглянемо випадок регулярної прецесії.

Є гіроскоп, у якого центр ваги не збігається з нерухомою точкою.

На тіло діє сила

Допустимо OC = hтоді

Зазначимо:

Під дією сили тяжіння вісь гіроскопа обертатиметься навколо вертикальної осі. z. Таке явище називається регулярною прецесією.

Введемо кутову швидкість 1 – це кутова швидкість, з якою вісь гіроскопа обертається навколо осі z, її ще називають "кутова швидкість прецесії".

Рух юли – дуже добрий приклад руху гіроскопа.

Гіроскоп із трьома ступенями свободи знаходить широке застосування у сучасних системах орієнтування (гірокомпас, гіророрізонт…).

УЗАГАЛЬНІ КООРДИНАТИ

незалежні параметри qi (i=1, 2, ..., s) будь-якої розмірності, число яких брало дорівнює числу s ступенів свободи механич. системи і які однозначно визначають положення системи. Закон руху системи в О. до. дається s ур-нями виду qi = qi (t), де t - час. О. до. користуються при рішенні мн. завдань, особливо коли система підпорядкована зв'язкам, що накладає обмеження щодо її руху. У цьому значно зменшується кількість ур-ний, що описують рух системи, порівняно, напр., з ур-ниями в декартових координатах (див. ЛАГРАНЖУ РІВНЯННЯ У МЕХАНІКУ). У системах з нескінченно великим числом ступенів свободи (суцільні середовища, фіз. поля) О. до. є особливі функції просторових координат і часу, зв. потенціалами, хвиль. функціями тощо.

У механіці, ступеня свободи - це сукупність незалежних координат переміщення та/або обертання, що повністю визначає положення системи або тіла (а разом з їх похідними за часом - відповідними швидкостями - повністю визначальна станмеханічної системи або тіла - тобто їх становище та рух).

Число ступенів свободи-це кількість незалежних переміщень, при якому стан системи змінюється!

Таким чином, узагальненою силою, Що відповідає i-й узагальненої координати, називається величина, що дорівнює коефіцієнту при варіації даної узагальненої координати у вираженні можливої ​​роботи сил, що діють на механічну систему.

У випадку узагальнена сила є функцією узагальнених координат, швидкостей точок системи та часу. З визначення слідує, що узагальнена сила - скалярна величина, яка залежить від обраних для даної механічної системи узагальнених координат. Це означає, що з зміні набору узагальнених координат, визначальних становище даної системи, зміняться і узагальнені сили. Так, для диска радіусом r та масою m, який котиться без ковзання по похилій площині (рис. 18.8), за узагальнені координати можна прийняти або s - координата центру мас диска, або "фі" - кут повороту диска.

4.1. Узагальнена сила системи з одним ступенем свободи

Для системи з одним ступенем свободи узагальненою силою, що відповідає узагальненій координаті qназивають величину, що визначається формулою

де  q- Мале збільшення узагальненої координати; - Сума елементарних робіт сил системи на її можливому переміщенні.

Квиток 21

Питання 1

Рівняння двоступеневого гіроскопа.

Рівняння двоступеневого гіроскопа виходять автоматично з отриманих раніше рівнянь триступеневого гіроскопа.

визначає рух двоступеневого гіроскопа. Друге рівняння описує рух корпусу, на якому встановлений двоступеневий гіроскоп.

Якщо (момент інерції) тіла великий, а гіроскопічний момент малий, то рівняння (2) може взагалі враховуватися і користуватися лише (1).

Гіроскопічний момент:

θ - кут нутації

ω 1 - кутова швидкість власного обертання

ω 2 – швидкість прецесії

J z – момент інерції

Нутація - слабке нерегулярне рух твердого тіла, що обертається, що здійснює прецесію.

Прецесія - явище, у якому вісь об'єкта, що обертається, повертається, наприклад, під дією зовнішніх моментів.

Спостерігати прецесію досить просто. Достатньо запустити дзигу і почекати, поки він почне сповільнюватися. Спочатку вісь обертання дзиги вертикальна. Потім його верхня точка поступово опускається і рухається по спіралі, що розходиться. Це і є прецесія осі дзиги.

Правило Жуковського:Якщо гіроскопу повідомляють вимушений прецесійний рух, виникає гіроскопічна пара сил, що прагне зробити вісь гіроскопа паралельної осі симетрії, причому так, щоб напрямки обертання стали однаковими після їх збігу.

Питання 2

Якщо голономна механічна система описується лагранжіаном (- узагальнені координати, t- час, точкою позначено диференціювання за часом) і в системі діють лише потенційні сили, то рівняння Лагранжа другого роду мають вигляд

де i = 1, 2, … n (n- Число ступенів свободи механічної системи). Лагранжіан є різницею кінетичної та потенційної енергій системи.

Якщо в системі діють непотенційні сили (наприклад, сили тертя), рівняння Лагранжа другого роду мають вигляд

де – кінетична енергія системи, – узагальнена сила.

Порівняно з ур-нями в декартових координатах (див., напр., ур-нія Лагранжа 1-го роду) ур-нія (3) мають ту важливу перевагу, що число їх дорівнює числу ступенів свободи системи і не залежить від кіл- а) входять до системи матеріальних частинок або тіл; крім того, при ідеальних зв'язках із ур-ний (3) автоматично виключаються всі наперед невідомі реакції зв'язків. Л. в. 2-го роду, що дають дуже загальний і до того ж досить простий метод вирішення завдань, широко користуються вивчення руху разл. механіч. систем, зокрема в динаміці механізмів та машин, у теорії гіроскопа, Теоретично коливань та ін.

Квиток 22

Перегляд:ця стаття прочитана 18006 разів

Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська

Короткий огляд

Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки

Момент кількості руху

Момент кількості руху точки М щодо центру Про це вектор, спрямований перпендикулярно площині, що проходить через вектор кількості руху і центр Про в той бік, звідки поворот вектора кількості руху щодо центру Про видно проти руху годинникової стрілки.

Момент кількості руху точки М щодо ос і дорівнює добутку проекції вектора кількості руху на площину перпендикулярну до осі на плече цієї проекції щодо точки перетину осі з площиною.

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки щодо центру

Похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякого нерухомого центру дорівнює геометричній сумі моментів сил, що діють на точку, щодо того ж центру.

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки щодо осі

Похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякої нерухомої осі дорівнює сумі алгебри моментів сил, що діють на точку, щодо цієї ж осі.

Закони збереження моменту кількості руху матеріальної точки

1. Якщо лінія дії рівнодіючої прикладених до матеріальної точки сил постійно проходить через деякий нерухомий центр, то момент кількості руху матеріальної точки залишається постійним.
2. Якщо момент рівнодіючої прикладених до матеріальної точки сил щодо деякої осі весь час дорівнює нулю, то момент кількості руху матеріальної точки щодо цієї ж осі залишається постійним.

Теорема про зміну головного моменту кількості руху системи

Кінетичний момент

Кінетичним моментом чи головним моментом кількості руху механічної системи щодо центру називають вектор, рівний геометричній сумі моментів кількості руху всіх матеріальних точок системи щодо цього центру.

Кінетичним моментом чи головним моментом кількості руху механічної системи щодо осі називають алгебраїчну суму моментів кількостей руху всіх матеріальних точок щодо тієї ж осі

Проекція кінетичного моменту механічної системи щодо центру Про вісь, що проходить через цей центр, дорівнює кінетичному моменту системи щодо цієї осі.

Теорема про зміну головного моменту кількості руху системи (щодо центру) – теорема моментів

Похідна за часом від кінетичного моменту механічної системи щодо деякого нерухомого центру геометрично дорівнює головному моменту зовнішніх сил, що діють на цю систему, щодо того ж центру

Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи (щодо осі)

Похідна за часом від кінетичного моменту механічної системи щодо деякої осі дорівнює головному моменту зовнішніх сил щодо цієї осі.

Закони збереження кінетичного моменту механічної системи

1. Якщо головний момент зовнішніх сил щодо деякого нерухомого центру постійно дорівнює нулю, то кінетичний момент механічної системи щодо цього центру величина постійна.
2. Якщо головний момент зовнішніх сил щодо деякої осі дорівнює нулю, то кінетичний момент механічної системи щодо цієї осі величина постійна.

1. Теорема моментів має велике значення щодо обертального руху тіл і дозволяє не враховувати свідомо невідомі внутрішні сили.
2. Внутрішні сили що неспроможні змінити головний момент кількості руху системи.

Кінетичний момент обертової системи

Для системи, що обертається навколо нерухомої осі (або осі, що проходить через центр мас), кінетичний момент щодо осі обертання дорівнює добутку моменту інерції щодо цієї осі та кутової швидкості.

Формат: PDF

Мова: російська, українська

Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.

Приклад розв'язання задачі на вигин балки
У прикладі побудовані епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, проведено порівняльний аналіз різних поперечних перерізів балки.

Приклад розв'язання задачі на кручення валу
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується

Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень. Власна вага стрижня не враховується

Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи

Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху

Визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі

Визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми
Приклад розв'язання задачі на визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми методом Риттера та методом вирізування вузлів

Момент кількості руху момент кількості руху

(кінетичний момент, момент імпульсу, кутовий момент), міра механічного руху тіла чи системи тіл щодо якогось центру (точки) чи осі. Для обчислення моменту кількості руху Kматеріальної точки (тіла) справедливі самі формули, як і обчислення моменту сили, якщо замінити у яких вектор сили на вектор кількості руху mv, тобто. K = [r· mv], де r- Відстань до осі обертання. Сума моментів кількості руху всіх точок системи щодо центру (осі) називається головним моментом кількості руху системи (кінетичним моментом) щодо цього центру (осі). При обертальному русі твердого тіла головний момент кількості руху щодо осі обертання z I zна кутову швидкість ω тіла, тобто. K z = I zω.

МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ

МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ (кінетичний момент, момент імпульсу, кутовий момент), міра механічного руху тіла або системи тіл щодо будь-якого центру (точки) або осі. Для обчислення моменту кількості руху Доматеріальної точки (тіла) справедливі самі формули, як і обчислення моменту сили (див.МОМЕНТ СИЛИ)якщо замінити в них вектор сили на вектор кількості руху mv, зокрема K 0 = [r· mv]. Сума моментів кількості руху всіх точок системи щодо центру (осі) називається головним моментом кількості руху системи (кінетичним моментом) щодо цього центру (осі). При обертальному русі твердого тіла головний момент кількості руху щодо осі обертання zтіла виражається добутком моменту інерції (див.МОМЕНТ ІНЕРЦІЇ) I z на кутову швидкість w тіла, тобто. До Z = I z w.

Енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитись що таке "момент кількості руху" в інших словниках:

- (Кінетичний момент, кутовий момент), один із заходів механіч. руху матеріальної точки чи системи. Особливо важливу роль М. до. д. грає при вивченні обертаючих. руху. Як і для моменту сили, розрізняють М. до. д. щодо центру (точки) і… Фізична енциклопедія

- (кінетичний момент Момент імпульсу, кутовий Момент), міра механічного руху тіла чи системи тіл щодо якогось центру (точки) чи осі. Для обчислення моменту кількості руху До матеріальної точки (тіла) справедливі самі… Великий Енциклопедичний словник

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, яка залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена щодо осі.

момент кількості руху- кінетичний момент, один із заходів механічного руху матеріальної точки або системи. Особливо важливу роль момент кількості руху грає щодо обертального руху. Як і моменту сили, розрізняють момент… … Енциклопедичний словник з металургії

момент кількості руху- judesio kiekio momentas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, lygus dalelės padėties vektoriaus is tam tikro taško y. L = r · p; čia L – judesio kiekio momento… …

момент кількості руху- judesio kiekio momentas statusas t sritis standartizacija ir metrologija apibrėžtis materialiojo taško arba dalelės spindulio vectoriaus ir judesio kiekio vektorinė sandauga. Dažniausiai apibūdina sukamąjį judesį taško arba ašejs, iš kurios yra… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

момент кількості руху- judesio kiekio momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular moment; moment of momentum; rotation moment vok. Drehimpuls, m; Impulsmoment, n; Rotationsmoment, n rus. момент імпульсу, m; момент кількості руху, м; кутовий момент … Fizikos terminų žodynas

Кінетичний момент, один із заходів механічного руху матеріальної точки або системи. Особливо важливу роль М. до. д. грає при вивченні обертального руху. Як і для моменту сили (…). Велика Радянська Енциклопедія

- (Кінетич. момент, момент імпульсу, кутовий момент), міра механич. рухи тіла або системи тіл щодо к. л. центру (точки) або осн. Для обчислення М. до. д. До матеріальної точки (тіла) справедливі самі формули, що й у обчислення моменту … Природознавство. Енциклопедичний словник

Те саме, що момент імпульсу. Великий енциклопедичний політехнічний словник

Книги

• Твори, Карл Маркс. Другий том Творів К. Маркса та Ф. Енгельса містить твори, написані з вересня 1844 до лютого 1846 року. Наприкінці серпня 1844 р. у Парижі відбулася зустріч Маркса та Енгельса,...
• Теоретична механіка. Динаміка металоконструкцій, В. Н. Шинкін. Розглянуто основні теоретичні та практичні питання динаміки матеріальної системи та аналітичної механіки за такими темами: геометрія мас, динаміка матеріальної системи та твердого…