Інваріантність першого диференціала функції кількох змінних. Диференціал складної функції інваріантність форми диференціала неявні функції дотична площина і нормаль до поверхні

Ми бачили, що диференціал функції може бути записаний у вигляді:
(1),

якщо є незалежна змінна. Нехай тепер є складна функція від , тобто.
,
і тому
. Якщо похідні функції
і
існують, то
як похідна складної функції. Диференціал
або. Але
і тому можемо записати
, тобто. отримали знову вираз для
як і (1).

Висновок:формула (1) правильна як і у випадку, коли є незалежна змінна, так і у випадку, коли є функція від незалежної змінної . У першому випадку під
розуміється диференціал незалежної змінної
, у другому – диференціал функції (при цьому
, взагалі кажучи). Ця властивість збереження форми (1) і називається інваріантністю форми диференціалу.

Інваріантність форми диференціала дає вигоди при обчисленні диференціалів складних функцій.

Наприклад: потрібно обчислити
. Незалежно від того, залежна чи незалежна змінна ми можемо записати. Якщо - функція, наприклад
, то знайдемо
та, користуючись інваріантністю форми диференціала, маємо право записати.

§18. Похідні найвищих порядків.

Нехай функція у= (х) диференційована на деякому проміжку Х, (тобто має кінцеву похідну у 1 = 1 (х) у кожній точці цього проміжку). Тоді 1 (х) є у Х сама функція від х. Може бути, що у деяких точках чи переважають у всіх х 1 (х) сама має похідну, тобто. існує похідна від похідної (у 1) 1 = ( 1 (х) 1. У цьому випадку її називають другою похідною або похідною другого порядку. підкреслити, що похідна знаходиться в т.х 0 , пишуть

у 11 /х=х 0 або 11 (х 0) або d 2 у/ dх 2 /х=х 0

похідна у 1 називається похідною першого порядку або першою похідною.

Отже, похідною другого порядку називають похідну від похідної першого порядку функції.

Цілком аналогічно, похідна (там, де вона існує) від похідної другого порядку називається похідною третього порядку або третьою похідною.

Позначають (у 11) 1 = у 111 = 111 (х)= d 3 у/ dх 3 = d 3 (х) / dх 3

Взагалі похідної n-го порядку функції у = (х) називається похідна від похідної (n-1) порядку цієї функції. (якщо вони існують, звісно).

Позначають

Читають: n-а похідна від у, від (х); d n у d х в n-ій.

Четвертий, п'ятий тощо. порядок незручно позначати штрихами, тому пишуть число в дужках замість  v (х) пишуть  (5) (х).

У дужках, щоб не плутати n-ий порядок похідної та n-ий ступінь функції.

Похідні порядку, вищі за перший, називають похідними вищих порядків.

З самого визначення випливає, що для знаходження n-ї похідної потрібно знайти послідовно всі попередні від 1-ої до (n-1)-ої.

Приклади: 1) у = х 5; у 1 = 5х 4; у 11 = 20х3;

у 111 = 60х2; у (4) = 120х; у (5) = 120; у (6) = 0, ...

2) у = е х; у 1 = е х; у 11 = е х; ...;

3) у = sinх; у 1 = cosх; у 11 = -sinх; у 111 = -cosх; у (4) = sinх;

Зауважимо, що друга похідна має певний механічний зміст.

Якщо перша похідна шляхи часу є швидкість прямолінійного нерівномірного руху

V=ds/dt, де S=f(t) – рівняння руху, то V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 -є швидкість зміни швидкості, тобто. прискорення руху:

a = f 11 (t) = dV/dt = d 2 S/dt 2 .

Отже, друга похідна шляху за часом, є прискорення руху точки – у цьому полягає механічний зміст другої похідної.

У ряді випадків вдається написати вираз похідної будь-якого порядку, минаючи проміжні.

Приклади:

у=е х; (у) (n) = (е х) (n) = е х;

у = а х; у 1 = а х lnа; у 11 = а х (lnа) 2; у (n) = а х (lnа) n;

у = х ; у 1 = αx α-1; у 11 =
; у (п) = α(α-1)… (α-n+1)x α-n , при =n маємо

у (п) = (х п) (п) = n! Похідні порядку вищевсі рівні нулю.

у = sinх; у 1 = cosх; у 11 = -sinх; у 111 = -cosх; у (4) = sinх; ... і т.д.. Т.к.

у 1 = sin(х+ /2); у 11 = sin(х+2 /2); у 111 = sin(х+3 /2); і т.д., то (п) = (sinх) (п) = sin (х + n /2).

Легко встановити послідовним диференціюванням та загальні формули:

1) (СU) (n) = С(U) (n); 2) (U±V) (n) = U (n) ± V (n)

Більш складною виявляється формула для n-ї похідної від добутку двох функцій (U·V) (n). Вона має назву формули Лейбніца.

Отримаємо її

у = U · V; у 1 = U 1 V + UV 1; у 11 = U 11 V+ U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 = U 11 V+2U 1 V 1 + UV 11 ;

у 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Аналогічно отримаємо

у (4) = U (4) V+4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) і т.д.

Неважко помітити, що праві частини всіх цих формул нагадують розкладання ступенів бінома U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 і т.д. Тільки замість ступенів U та V тут стоять похідні відповідних порядків. Подібність буде особливо повним, якщо отриманих формулах писати замість U і V, U (0) і V (0) , тобто. 0-ые похідні від функцій U і V (самі функції).

Поширюючи цей закон у разі будь-якого n, отримаємо загальну формулу

у (n) = (UV) (n) = U (n) V + n/1! U(n-1) V 1 + n(n-1)/2! U(n-2) V(2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-к+1)/К! U(к) V(n-к) +…+ UV(n) – формула Лейбниця.

Приклад: знайти (е х х) (n)

(е х) (n) = е х, х 1 = 1, х 11 = 0 і х (n) = 0, тому (е х х) (n) = (е х) (n) х + n/1 ! (е х) (n-1) х 1 = е х х + nе х = е х (х + n).

Формула диференціалу функції має вигляд

де - Диференціал незалежної змінної.

Нехай тепер дана складна (диференційована) функція, де. Тоді за формулою похідної складної функції знаходимо

так як .

Отже, , тобто. формула диференціала має один і той же вид для незалежної змінноїі для проміжного аргументу, що являє собою функцію, що диференціюється від.

Цю властивість прийнято називати властивістю інваріантності формули або форми диференціалу. Зауважимо, що похідна цією властивістю не має.

Зв'язок між безперервністю та диференційованістю.

Теорема (Необхідна умова диференційності функції).Якщо функція диференційована у точці, вона безперервна у цій точці.

Доведення.Нехай функція у=f(x) диференційована в точці х 0 . Дамо в цій точці аргументу збільшення  х. Функція отримає збільшення  у. Знайдемо.

Отже, у=f(x) безперервна в точці х 0 .

Слідство.Якщо х 0 – точка розриву функції, то ній функція не диференційована.

Твердження, обернене до теореми, не вірне. З безперервності не випливає диференційність.

Диференціал. Геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Визначення

Диференціалом функціїназивається лінійна щодо частина збільшення функції. Вона позначається як або. Таким чином:

Зауваження

Диференціал функції становить основну частину її збільшення.

Зауваження

Поруч із поняттям диференціала функції вводиться поняття диференціала аргументу. За визначенням диференціал аргументує збільшення аргументу:

Зауваження

Формулу для диференціалу функції можна записати у вигляді:

Звідси отримуємо, що

Отже, це означає, що похідна може бути представлена ​​як звичайний дріб - відношення диференціалів функції та аргументу.

Геометричний зміст диференціала

Диференціал функції у точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції у цій точці, що відповідає прирощенню аргументу.

Основні правила диференціювання. Похідна постійна, похідна суми.

Нехай функції мають похідні в точці. Тоді

1. Константуможна виносити за знак похідної.

5. Диференціал константидорівнює нулю.

2. Похідна суми/різниці.

Похідна суми/різниці двох функцій дорівнює сумі/різниці похідних від кожної функції.

Основні правила диференціювання. Похідні твори.

3. Похідна робота.

Основні правила диференціювання. Похідна складної та зворотної функції.

5. Похідна складної функції.

Похідна складної функції дорівнює похідній цієї функції за проміжним аргументом, помноженою на похідну від проміжного аргументу за основним аргументом.

І мають похідні відповідно до точок. Тоді

Теорема

(Про похідну зворотну функцію)

Якщо функція безперервна і строго монотонна в деякій околиці точки диференційована в цій точці, то зворотна функція має похідну в точці, причому .

Формули диференціювання. Похідна показової функції.

Якщо функція незалежних змінних, що диференціюється, а її повний диференціал dz дорівнює Нехай тепер Припустимо, що в точці ((,?/) функції »?) і г)) мають безперервні приватні похідні по (і по rf, а у відповідній точці (ж, у ) існують і безперервні приватні похідні і внаслідок чого функція г = f(x, у) диференційована в цій точці.За цих умов функція має в точці 17) похідні Диференціал складної функції Інваріантність форми диференціалу Неявні функції Відносна площина та нормаль до поверхні Геометричний зміст повного диференціалуНормаль до поверхні Як видно з формул (2), щ і щ безперервні в точці ((,*?). Тому функція в точці диференційована, приймемо згідно з формулою повного диференціала для функції від незалежних змінних £ і т], маємо Замінивши у правій частині рівності (3) щ і щ їх виразами з формул (2), отримаємо або як за умовою функції в точці ((,17) мають безперервні похідні приватні, то вони в цій точці диференційовані і З співвідношень (4) і (5) отримуємо , Що Порівняння формул (1) і (6) показує, що повний диференціал функції z = / (я, у) виражається формулою одного і того ж виду як у випадку, коли аргументи х і у функції / (г, у) є незалежними змінними, так і у випадку, коли ці аргументи є в свою чергу функціями від деяких змінних.Таким чином, повний диференціал функції декількох змінних має властивість інваріантності форми. кінцевого числа змінних залишаються в силі формули Нехай маємо рівняння де є функція двох змінних, задана в деякій області G на площині хОу. Якщо кожного значення х із деякого інтервалу (хо - Ло, хо + ^о) існує рівно одне значення у, яке разом із х задовольняє рівнянню (1), цим визначається функція у = у(х), на яку рівність випсишется тотожно по х у зазначеному інтервалі. У цьому випадку кажуть, що рівняння (1) визначає величину як неявну функцію х. Іншими словами, функція, задана рівнянням, не дозволеним щодо у, називається неявною функцією", вона стає явною, якщо залежність у від х задається безпосередньо. Приклади. 1. Рівняння визначає на всій OcW рх величину у як однозначну функцію х: 2. Рівнянням величина у визначається як однозначна функція х. Проілюструємо це твердження.Рівняння задовольняється парою значень х = 0, у = 0. Будемо вважати * параметром і розглянемо функції. задовольняє рівнянню (2), зводиться до того, пересіявши чи криві х а у і єдиній точці.Побудуємо їх графіки на площині хОу (рис.11). паралельним перенесеннямвздовж осі Ох іривою г = г sin у. Геометрично очевидно, що при кожному х криві х = у і г = t+c $1пу мають єдину точку перетину, ор-динств в якій є функцією від х, яка визначається рівнянням (2) неявно. Через елементарні функції ця залежність не виражається. 3. Рівняння за жодних дійсних х не визначає у квк дійсну функцію аргументу х. У такому ж сенсі можна говорити про неявні функції кількох змінних. Наступна теорема дає достатні умовиоднозначної розв'язності рівняння = 0 (1) щодо у певній околиці заданої точки (®о> Уо). Теоремі 8 (существомкм неявної функції). Нехай виконані такі умови: 1) функція визначена і безперервна в деякому прямокутнику з центром в точці в точці функція у) звертається в н\ль; 3) у прямокутнику D існують і безперервні приватні похідні позитивного числае знайдеться околиця цієї околиці існує єдина ^ безперервна функція y = f(x) (рис. 12), яка набуває значення), задовольняє умову \y - yol і обертає рівняння (1) у тотожність: Ця функція безперервно диференційована в околиці точки Xq, причому Виведемо формулу (3) для похідної неявної функції, вважаючи існування цієї похідної доведеним. Нехай у = f(x) - неявна функція, що диференціюється, визначається рівнянням (1). Тоді в інтервалі) має місце тотожність. Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціалу. Неявні функції. , у), що лежить на кривій, що належить околиці точки (хо, уо)» має координати, пов'язані рівнянням Звідси при у = f(x) отримуємо, що і, отже, Приклад. Знайти j * від функції у = у (х), яка визначається рівнянням В даному випадкуЗвідси з формули (3) Зауваження. Теорсма Здастусловія для існування єдиної неявної функції, графік якої проходить через задану точку (хо, уо). достатні, але не потрібні. У справі, розглянемо рівняння Тут має безперервні приватні похідні дорівнює нулю в точці 0(0,0). Проте, дане рівняннямає єдине рішення, що дорівнює нулю при Завдання. Нехай дано рівняння – однозначна функція, що задовольняє рівняння (Р). 1) Скільки однозначних функцій (2") задовольняє рівняння (!")? 2) Скільки однозначних безперервних функцій задовольняє рівнянню (!")? 3) Скільки однозначних диференційованих фуїсцій задовольняє рівнянню (!")? 4) Скільки однозначних безперервних функцій, задовольняє "рівнянню (1"), якщо і досить мало? Теорема існування, аналогічна теоремі 8, має місце і у разі неявної функції z - z(x, у) двох змінних, яка визначається рівнянням Теорема 9. Нехай виконані наступні умовиГ) функція & визначена і безперервна в області D в області D існують і безперервні приватні похідні Тоді для будь-якого досить малого е > О знайдеться околиця Г2 точки (®о»Уо)/ в якій існує єдина безперервна функція z - / (ж, у), що приймає значення при х = ж0, у = уо, що задовольняє умові і звертає рівняння (4) у тотожність: При цьому функція в ділянці Q має безперервні приватні похідні іГГ Знайдемо вирази для цих похідних. Нехай рівняння визначає z як однозначну та диференційовану функцію z = /(ж, у) незалежних змінних хну. Якщо це рівняння замість z підставити функцію f(x, у), то отримаємо тотожність Отже, повні приватні похідні за ж і по у функції у, z), де z = /(г, у), також повинні бути рівні нулю. Диференціюючи, знайдемо звідки Ці формули дають вирази для приватних похідних неявної функції двох незалежних змінних. приклад. Знайти приватні проіааодніа від функції х(г,у), заданої рівнянням 4 Маємо звідки §11. Дотична площина та нормаль до поверхні 11.1. Попередні відомості Нехай маємо поверхню S, задану рівнянням Визначено*. Точка М(х, у, z) поверхні (1) називається звичайною точкою цієї поверхні і, якщо в точці М всі три похідні існують і безперервні, причому хоча б одна з них відмінна від нуля. Якщо в точці Му, z) поверхні (1) всі три похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з цих похідних не існує, то точка М називається особливою точкою поверхні. приклад. Розглянемо круговий конус (рис. 13). Тут так що Єдиною особливою тонкою мляться початок координат 0(0,0,0): у цій точці аса приватні похідні одночасно звертаються в нуль. Рис. 13 Розглянемо просторову криву L, задану параметричними рівняннями, Нехай функції мають безперервні похідні в інтервалі. Виключимо з розгляду особливі точки кривої, у яких нехай - звичайна точка кривої L, яка визначається значенням to параметра. Тоді - вектор, що стосується кривої в точці. Відносна площина поверхні Нехай поверхня 5 задана рівнянням Візьмемо на поверхні S звичайну точку Р і проведемо через неї деяку криву L, що лежить на поверхні і задається параметричними рівняннями. , ніде на (а)р), що не звертаються одночасно в нуль.За визначенням, дотична крива L у точці Р називається касативною до поверхні 5 в цій точці.Якщо вирази (2) підставити в рівняння (1), то, оскільки крива L лежить на поверхні S, рівняння (1) звернеться у тотожність щодо t: Диференціюючи це тотожність по t, за правилом диференціювання складної функції отримаємо Вираз у лівій частині (3) є скалярним твором двох векторів: У точці P вектор р направлений по дотичній до кривої L у цій точці (рис. 14). Що стосується вектора п, то він залежить тільки від координат цієї точки і виду функції ^"(ж, у, z) і не залежить від виду кривої, що проходить через точку Р. Так як Р - про швидкісна точка поверхні 5, то довжина вектора п відмінна від нуля, Те, що скалярний добуток означає, що вектор г, що стосується кривої L в точці Р, перпендикулярний вектору п в цій точці (рис. 14). Ці міркування зберігають свою силу для будь-якої кривої, що проходить через точку Р і лежить на поверхні S. Отже, будь-яка дотична пряма до поверхні 5 в точці Р перпендикулярна вектору п, і, отже, всі ці прямі лежать в одній площині, теж перпендикулярній вектору п .Визначення. Площина, в якій розташовані всі прямі дотичні до поверхні 5, що проходять через дану звичайну точку Р G 5, називається дотичної площиною поверхні в точці Р (рис. 15). Вектор Диференціал складної функції Інваріантність форми диференціалу Неявні функції Відносна площина і нормаль до поверхні Відносна площина поверхні ЗГ(звичайно Р0 (®о, Уо» цієї поверхні: Якщо поверхня 5 задана рівнянням то, записавши це рівняння у вигляді отримаємо і рівняння дотичної площини в точці, буде виглядати так 11.3. Геометричний зміст повного диференціала Якщо у формулі (7) покласти, то вона набуває вигляду Права частина (8) являє собою повний диференціал функції z в точці М0(х0) уо) на площині хОу> так що Таким чином, повний диференціал функції z = /(х, у) двох незалежних змінних х і у в точці М0 , Що відповідає приростам Дх і Ду змінних і у, дорівнює приросту z - z0 аплікати z точки дотичної поверхні поверхні 5 в точці Я> (хо "Уо" / (, Уо)) ПРИ переході від точки М0 (хо, Уо) до точки - 11.4. Нормаль до поверхні Визначення. Пряма, що проходить через точку Ро(хо, уо, го) поверхні перпендикулярно дотичній площині до поверхні в точці Ро, називається нормаллю до поверхні в точці Pq. Вектор)L є напрямним вектором нормалі, а її рівняння мають вигляд Якщо поверхня 5 задана рівнянням, то рівняння нормалі в точці) виглядають так: у точці Тут У точці (0,0) сті похідні дорівнюють нулю: і рівняння дотичної площини в точці 0 (0,0,0) набуває наступного вигляду: (площина хОу). Рівняння нормалі

Вираз повного диференціала функції кількох змінних має той самий вигляд незалежно від того, чи є u та v незалежними змінними чи функціями інших незалежних змінних.

Доказ спирається на формулу повного диференціалу

Що і потрібно було довести.

5.Повна похідна функції- похідна функції за часом вздовж траєкторії. Нехай функція має вигляд і її аргументи залежить від часу: . Тоді , де - параметри, що задають траєкторію. Повна похідна функції (у точці) у такому разі дорівнює приватній похідній за часом (у відповідній точці) і може бути обчислена за формулою:

де - Приватні похідні. Слід зазначити, що позначення є умовним і не має відношення до поділу диференціалів. Крім того, повна похідна функції залежить не тільки від самої функції, а й від траєкторії.

Наприклад, повна похідна функції:

Тут немає оскільки сама по собі («явно») не залежить від .

Повний диференціал

Повний диференціал

функції f (x, у, z,...) кількох незалежних змінних - вираз

у випадку, коли воно відрізняється від повного збільшення

f = f (x + x, y + y, z + z, ...) - f (x, y, z, ...)

на величину, нескінченно малу в порівнянні з

Дотична площина до поверхні

(X, Y, Z - поточні координати точки на дотичній площині; - радіус-вектор цієї точки; x, y, z - коодинати точки дотику (відповідно для нормалі); - дотичні вектори до координатних ліній відповідно v = const; u = const ; )

1.

2.

3.

Нормаль до поверхні

3.

4.

Концепція диференціала. Геометричний зміст диференціала. Інваріантність форми першого диференціалу.

Розглянемо функцію y = f(x), що диференціюється у цій точці x. Приріст Dy її представимо у вигляді

Dy = f"(x)Dx+a(Dx)Dx,

де перше доданок лінійно щодо Dx, а друге є в точці Dx = 0 нескінченно малою функцією більше високого порядкуніж Dx. Якщо f"(x)№ 0, то перший доданок є головною частиною прирощення Dy. Ця головна частина прирощення є лінійною функцією аргументу Dx і називається диференціалом функції y = f(x). Якщо f"(x) = 0, то диференціал функції визначення вважається рівним нулю.

Визначення 5 (диференціал). Диференціалом функції y = f(x) називається головна лінійна щодо Dx частина прирощення Dy, що дорівнює твору похідної на прирощення незалежної змінної

Зауважимо, що диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної dx = Dx. Тому формулу для диференціала прийнято записувати у такому вигляді: dy = f"(x)dx. (4)

З'ясуємо який геометричний зміст диференціала. Візьмемо на графіку функції y = f(x) довільну точку M(x,y) (рис21.). Проведемо дотичну до кривої y = f(x) у точці M, яка утворює кут f з позитивним напрямом осі OX, тобто f"(x) = tgf. З прямокутного трикутника MKN

KN = MNtgf = D xtg f = f"(x)D x,

тобто dy = KN.

Таким чином, диференціал функції є збільшення ординати дотичної, проведеної до графіка функції y = f(x) у цій точці, коли x отримує збільшення Dx.

Зазначимо основні властивості диференціалу, які аналогічні до властивостей похідної.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Вкажемо ще одну властивість, якою володіє диференціал, але не має похідна. Розглянемо функцію y = f(u), де u = f(x), тобто розглянемо складну функцію y = f(f(x)). Якщо кожна з функцій f і f є диференційованими, то похідна складної функції згідно з теоремою (3) дорівнює y" = f"(u) · u". Тоді диференціал функції

dy = f"(x)dx = f"(u)u"dx = f"(u)du,

тому що u"dx = du. Тобто dy = f"(u)du. (5)

Остання рівність означає, що формула диференціала не змінюється, якщо замість функції x розглядати функцію від змінної u. Ця властивість диференціала отримала назву інваріантності форми першого диференціалу.

Зауваження. Зазначимо, що у формулі (4) dx = Dx, а у формулі (5) du є лише лінійною частиною збільшення функції u.

Інтегральне обчислення - розділ математики, в якому вивчаються властивості та способи обчислення інтегралів та їх застосування. І. в. тісно пов'язане з диференціальним обчисленням і складає разом із ним одну з основних частин