Рівняння площини через точку та паралельну пряму. Рівняння площини, що проходить через дану точку і паралельна заданій площині онлайн. Знаходження рівняння площини, що проходить через задану пряму та задану точку
З допомогою цього онлайн калькулятораможна знайти рівняння площини, яка проходить через задану точку та паралельна даній площині. Надається докладне рішення з поясненнями. Щоб знайти рівняння площини, введіть координати точки та коефіцієнти рівняння площини в комірки та натискайте на кнопку "Вирішити".
×
Попередження
Очистити всі комірки?
Закрити Очистити
Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.
Рівняння площини, що проходить через дану точку та паралельної заданій площині – теорія, приклади та рішення
Нехай задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) та рівняння площини
Всі паралельні площини мають норми колінеарні вектори. Тому для побудови паралельної до (1) площині, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) потрібно взяти як нормальний вектор шуканої площини, нормальний вектор n=(A, B, C) площини (1). Далі потрібно знайти таке значення D, при якому точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) задовольняла рівняння площини (1):
Підставляючи значення Dз (3) до (1), отримаємо:
Рівняння (5) є рівнянням площини, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) та паралельної площини (1).
Знайти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (1, −6, 2) та паралельної площини:
Підставляючи координати точки M 0 і координати нормального вектора (3), отримаємо.
Розглянемо в просторі площину Q. Положення її цілком визначається завданням вектора N, перпендикулярного цій площині, і деякої фіксованої точки, що лежить у площині Q. Вектор N, перпендикулярний площині Q називається нормальним вектором цієї площини. Якщо позначити через А, В та С проекції нормального вектора N, то
Виведемо рівняння площини Q, що проходить через дану точку і має нормальний вектор . Для цього розглянемо вектор, що з'єднує точку з довільною точкою площини Q (рис. 81).
За будь-якого положення точки М на площині Q вектор МХМ перпендикулярний до нормального вектора N площини Q. Тому скалярний твір Запишемо скалярний твір через проекції. Оскільки , а вектор , то
і, отже,
Ми показали, що координати будь-якої точки площини Q задовольняють рівняння (4). Неважко помітити, що координати точок, що не лежать на площині Q, цього рівняння не задовольняють (в останньому випадку). Отже, нами отримано шукане рівняння площини Q. Рівняння (4) називається рівнянням площини, що проходить цю точку. Воно першого ступеня щодо поточних координат
Отже, ми показали, що будь-якій площині відповідає рівняння першого ступеня щодо поточних координат.
Приклад 1. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .
Рішення. Тут. На підставі формули (4) отримаємо
або, після спрощення,
Надаючи коефіцієнтам А, В та С рівняння (4) різні значення, ми можемо отримати рівняння будь-якої площини, що проходить через точку. Сукупність площин, що проходять цю точку, називається зв'язкою площин. Рівняння (4), в якому коефіцієнти А, В і С можуть набувати будь-яких значень, називаються рівнянням зв'язки площин.
Приклад 2. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки (рис. 82).
Рішення. Напишемо рівняння зв'язки площин, що проходять через точку
Лекція 5. Розв'язання задач на тему "Аналітична геометрія в просторі"
1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М 0 (1, -2, 5) паралельно площині 7 x-y-2z-1=0.
Рішення.Позначимо через Рзадану площину, нехай Р 0 - Шукана паралельна площина, що проходить через точку М 0 (1, -2, 5).
Розглянемо нормальний (перпендикулярний) вектор 
площині Р. Координати нормального вектора є коефіцієнтами при змінних рівняннях площини 
.
Оскільки площині Рі Р 0
паралельні, то вектор 
перпендикулярний площині Р 0
, тобто. 
- нормальний вектор площини Р 0
.
Рівняння площини, що проходить через точку М 0 (x 0 ,
y 0 , z 0) з нормаллю 
:
Підставляємо координати точки М 0 та вектора нормалі 
рівняння (1):
Розкриваючи дужки, отримуємо загальне рівняння площини (остаточна відповідь):
2. Скласти канонічні та параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М 0 (-2, 3, 0) паралельно прямий 
.
Рішення.Позначимо через Lзадану пряму, нехай L 0 - Шукана паралельна пряма, що проходить через точку М 0 (-2,3,0).
Напрямний вектор 
прямий L(ненульовий вектор, паралельний цій прямій) паралельний також і прямий L 0
. Отже, вектор 
є напрямним вектором прямої L 0
.
Координати напрямного вектора 
рівні відповідним знаменникам у канонічних рівняннях заданої прямої 
.
Канонічні рівняння прямий у просторі, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 
{l, m, n}
.
(2)
Підставляємо координати точки М 0 та напрямного вектора 
рівняння (2) і отримуємо канонічні рівняння прямої:
.
Параметричні рівняння прямої у просторі, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) паралельно ненульовому вектору 
{l, m, n), мають вигляд:
(3)
Підставляємо координати точки М 0 та напрямного вектора 
у рівняння (3) і одержуємо параметричні рівняння прямої:
3. Знайти точку 
, симетричну точку 
щодо: а) прямої 
б) площині
Рішення.а) Складемо рівняння перпендикулярної площини П, що проектує точку 
на дану пряму:
Щоб знайти 
використовуємо умову перпендикулярності заданої прямої і площини, що проектує. Напрямний вектор прямий 
перпендикулярний площині вектор 
є вектором нормалі 
до площини Рівняння площини перпендикулярної заданої прямої має вигляд або 
Знайдемо проекцію Ркрапки Мна пряму. Крапка РІснує точка перетину прямий і площині, тобто. її координати повинні одночасно задовольняти і рівнянь прямої, і рівняння площини. Вирішимо систему:
.
Щоб розв'язати її, запишемо рівняння прямої у параметричному вигляді:
Підставляючи вирази для 
в рівняння площини, отримаємо:
Знайдені координати – це координати середини Рвідрізка, що з'єднує точку
та симетричну їй точку 
У шкільному курсі геометрії формулювалася теорема.
Координати середини відрізка дорівнюють напівсум відповідних координат його кінців.
Знаходимо координати точки 
з формул для координат середини відрізка:
Отримуємо: Отже, 
.
Рішення.б) Щоб знайти точку, симетричну точку 
щодо даної площини П, опустимо перпендикуляр з точки 
на цю площину. Складемо рівняння прямої з напрямним вектором 
, що проходить через точку
:
Перпендикулярність прямої та площини означає, що напрямний вектор прямої перпендикулярний площині 
. Тоді рівняння прямої, що проектує точку 
на задану площину, має вигляд:
Вирішивши спільно рівняння 
і 
знайдемо проекцію Ркрапки 
на площині. Для цього перепишемо рівняння прямої в параметричному вигляді:
Підставимо ці значення 
в рівняння площини: Аналогічно п. а), використовуючи формули для координат середини відрізка, знаходимо координати симетричної точки 
:
Тобто. 
.
4. Скласти рівняння площини, що проходить а) через пряму 
паралельно вектору 
; б) через дві прямі, що перетинаються
і 
(попередньо довівши, що вони перетинаються); в) через дві паралельні прямі 
і 
; г) через пряму 
і точку 
.
Рішення.а) Оскільки задана пряма лежить в площині, що шукається, і площина, що шукається, паралельна вектору 
, то нормальний вектор площини буде перпендикулярний напрямному вектору прямої 
та вектору 
.
Отже, як нормальний вектор площини можна вибрати векторний добуток векторів 
і 
:
Отримуємо координати нормального вектора площини 
.
Знайдемо крапку на прямій. Прирівнюючи стосунки в канонічних рівняннях прямий до нуля:
,
знаходимо 
,
,
. Задана пряма проходить через точку 
, отже, площина теж проходить через точку 
. Використовуючи рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до вектора. 
, отримуємо рівняння площини , або , або, звичайно, 
.
Рішення.б) Дві прямі у просторі можуть перетинатися, схрещуватися чи бути паралельними. Задані прямі
і 
(4)
не паралельні, оскільки їх напрямні вектори 
і 
не колінеарні: 
.
Як перевірити, чи прямі перетинаються? Можна вирішувати систему (4) із 4 рівнянь із 3 невідомими. Якщо система має єдине рішення, ми отримуємо координати точки перетину прямих. Однак для вирішення нашого завдання - побудови площини, в якій лежать обидві прямі, точка їхнього перетину не потрібна. Тому можна сформулювати умову перетину двох непаралельних у просторі прямих без знаходження точки перетину.
Якщо дві непаралельні прямі перетинаються, то напрямні вектора 
,
і з'єднує лежачі на прямих точках 
і 
вектор лежать у одній площині, тобто. компланарні змішаний добуток цих векторів дорівнює нулю:
. (5)
Прирівнюємо відношення в канонічних рівняннях прямих до нуля (а можна до 1 або до будь-якого числа)
і 
,
та знаходимо координати точок на прямих. Перша пряма проходить через точку 
, а друга пряма – через точку 
. Напрямні вектори цих прямих відповідно дорівнюють 
і 
. Отримуємо
Рівність (5) виконано, отже задані прямі перетинаються. Отже, існує єдина площина, що проходить через ці дві прямі.
Переходимо до другої частини завдання – складання рівняння площини.
Як нормальний вектор площини можна вибрати векторний витвірїх напрямних векторів 
і 
:
Координати нормального вектора площини 
.
Ми з'ясували, що пряма 
проходить через 
Отже, шукана площина теж проходить через цю точку. Отримуємо рівняння площини, або 
або, звичайно, 
.
в) Так як прямі 
і 
паралельні, то як нормальний вектор не можна вибрати векторний добуток їх напрямних векторів, він буде дорівнює нульовому вектору.
Визначимо координати точок 
і 
через які проходять ці прямі. Нехай 
і 
тоді 
,
. Обчислимо координати вектора. Вектор 
лежить у потрібній площині і неколлінеарен вектору 
, тоді як її нормальний вектор 
можна вибрати векторний твір вектора 
та напрямного вектора першої прямої 
:
Отже, 
.
Площина проходить через пряму 
значить, вона проходить через точку 
. Отримуємо рівняння площини: , або .
г) Прирівнюючи відносини у канонічних рівняннях прямий до нуля 
, знаходимо 
,
,
. Отже, пряма проходить через точку 
.
Обчислимо координати вектора. Вектор 
належить шуканій площині, як її нормальний вектор 
виберемо векторний твір напрямного вектора прямий 
та вектора 
:
Тоді рівняння площини має вигляд: , або .
У цій статті зібрано інформацію, необхідну для вирішення завдання складання рівняння площини, що проходить через задану пряму та задану точку. Після розв'язання цього завдання у загальному вигляді ми наведемо розгорнуті рішення прикладів на складання рівняння площини, яка проходить через задану пряму та точку.
Навігація на сторінці.
Знаходження рівняння площини, що проходить через задану пряму та задану точку.
Нехай у тривимірному просторі зафіксована Oxyz, задана пряма a і точка, що не лежить на прямій a. Поставимо собі завдання: отримати рівняння площині , що проходить через пряму a і точку М 3 .
Спочатку покажемо, що існує єдина площина, рівняння якої потрібно скласти.
Нагадаємо дві аксіоми:
- через три різні точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина;
- якщо дві різні точки прямої лежать у певній площині, то всі точки цієї прямої лежать у цій площині.
З цих тверджень випливає, що через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести єдину площину. Таким чином, у поставленій нами задачі через пряму a і точку M 3 проходить єдина площина, і нам потрібно написати рівняння цієї площини.
Тепер приступимо до знаходження рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку .
Якщо пряма a задана через вказівку координат двох різних точок М 1 і М 2 , що лежать на ній, то наше завдання зводиться до знаходження рівняння площини, що проходить через три точки М 1 , М 2 і М 3 .
Якщо ж пряма a задана інакше, то нам спочатку доведеться знайти координати двох точок М 1 і М 2 , що лежать на прямій a , а вже після цього записати рівняння площини, що проходить через три точки М 1 М 2 і М 3 яке і буде шуканим рівнянням площини, що проходить через пряму і точку М 3 .
Розберемося, як знайти координати двох різних точок М1 і М2, що лежать на заданій прямій a.
У прямокутній системі координат у просторі будь-якої прямої лінії відповідають деякі рівняння прямої у просторі. Вважатимемо, що спосіб завдання прямої a в умові задачі дозволяє отримати її параметричні рівняння прямої у просторі виду 
. Тоді, прийнявши, маємо крапку 
, що лежить на прямий a . Надавши параметру відмінне від нуля дійсне значення, з параметричних рівнянь прямої ми зможемо обчислити координати точки М 2 , що також лежить на прямій a і відмінної від точки М 1 .
Після цього нам залишиться лише написати рівняння площини, що проходить через три різних і не лежать на одній прямій точці і у вигляді 
.
Отже, ми отримали рівняння площини, що проходить через задану пряму і задану точку М 3 , не лежачу на прямій a .
Приклади складання рівняння площини, що проходить через задану точку та пряму.
Покажемо розв'язання кількох прикладів, у яких розберемо розглянутий метод знаходження рівняння площини, що проходить через задану пряму та задану точку.
Почнемо з найпростішого випадку.
приклад.
Рішення.
Візьмемо на координатній прямій Ox дві різні точки, наприклад, і .
Тепер отримаємо рівняння площини, що проходить через три точки М1, М2 і М3: 
Це рівняння є загальним рівнянням площини, що проходить через задану пряму Ox і точку. 
.
Відповідь:
.
Якщо відомо, що площина проходить через задану точку і задану пряму, і потрібно написати рівняння площини у відрізках або нормальне рівняння площини, слід спочатку отримати загальне рівняння заданої площини, а від нього переходити до рівняння площини необхідного вигляду.
приклад.
Складіть нормальне рівнянняплощині, що проходить через пряму 
і точку 
.
Рішення.
Спочатку напишемо загальне рівняння заданої площини. Для цього знайдемо координати двох різних точок, що лежать на прямій . Параметричні рівняння цієї прямої мають вигляд 
. Нехай точка М1 відповідає значенню, а точка М2-. Обчислюємо координати точок М1 і М2: 
Тепер ми можемо скласти загальне рівняння прямої, яка проходить через точку та пряму :
Залишилося отримати необхідний вид рівняння площини, помноживши обидві частини отриманого рівняння на множник, що нормує. 
.
Відповідь:
.
Отже, знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку і задану пряму, упирається у знаходження координат двох різних точок, що лежать на заданій прямій. У цьому полягає основна складність при вирішенні подібних завдань. У висновку розберемо рішення прикладу на складання рівняння площини, що проходить через задану точку і пряму, яку визначають рівняння двох площин, що перетинаються.
приклад.
У прямокутній системі координат Oxyz задана точка і пряма a , яка є лінією перетину двох площин 
і 
. Напишіть рівняння площини, що проходить через пряму a та точку М 3 .
Три точки простору, що не лежать на одній прямій, визначають єдину площину. Складемо рівняння площини, яка проходить через три дані точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1), М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), М 3 (х 3 ; у 3 ; z 3). Візьмемо на площині довільну точку М(х; у; z) і складемо вектори = ( х – х 1 ; у– у 1 ; z – z 1), = (х 2 - х 1 ; у 2 – у 1 ; z 2 - z 1), = (х 3 - х 1 ; у 3 – у 1 ; z 3 - z 1). Ці вектори лежать в одній площині, отже, вони є компланарними. Використовуючи умову компланарності трьох векторів (їх змішаний добуток дорівнює нулю), отримаємо ∙ ∙ = 0, тобто
= 0. (3.5)
Рівняння (3.5) називається рівнянням площини, що проходить через три дані точки.
Взаємне розташування площин у просторі
Кут між площинами
Нехай дані дві площини
А 1 х + У 1 у + З 1 z+D 1 = 0,
А 2 х + У 2 у + З 2 z+D 2 = 0.
За кут між площинамиприймаємо кут φ між будь-якими двома перпендикулярними до них векторами (що дає два кути, гострий і тупий, що доповнюють один одного до π). Так як нормальні вектори площин = ( А 1 , У 1 , З 1) і = ( А 2 , У 2 , З 2) перпендикулярні їм, то отримуємо
cosφ = 
.
Умови перпендикулярності двох площин
Якщо дві площини перпендикулярні, то нормальні вектори цих площин також перпендикулярні та їх скалярний добуток дорівнює нулю: ∙ = 0. Отже, умовою перпендикулярності двох площин є
А 1 А 2 + У 1 У 2 + З 1 З 2 = 0.
Умова паралельності двох площин
Якщо площини паралельні, то будуть паралельні та їх нормальні вектори. Тоді однойменні координати нормальних векторів пропорційні. Отже, умовою паралельності площин є
= = .
Відстань від точкиМ 0 (x 0 , y 0 , z 0) до площини Ах + Ву + Сz+D = 0.
Відстанню від точки М 0 (x 0 , y 0 , z 0) до площини Ах + Ву + Сz+D= 0 називається довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки на площину, і знаходиться за формулою
d = 
.
приклад 1. Р(-1, 2, 7) перпендикулярно вектору = (3, - 1, 2).
Рішення
Відповідно до рівняння (3.1) отримуємо
3(х + 1) – (у – 2) + 2(z – 7) = 0,
3х – у + 2z – 9 = 0.
приклад 2.Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2; – 3; – 7) паралельно площині 2 х – 6у – 3z + 5 = 0.
Рішення
Вектор = (2; – 6; – 3) перпендикулярний до площини перпендикулярний і до паралельної площини. Значить, потрібна площина проходить через точку М(2; – 3; – 7) перпендикулярно вектору = (2; – 6; – 3). Знайдемо рівняння площини за формулою (3.1):
2(х – 2) – 6(у + 3) – 3(z + 7) = 0,
2х – 6у – 3z – 43 = 0.
приклад 3.Знайти рівняння площини, що проходить через точки М 1 (2; 3; – 1) та М 2 (1; 5; 3)перпендикулярно до площини 3 х – у + 3z + 15 = 0.
Рішення
Вектор = (3; – 1; 3) перпендикулярний до заданої площини буде паралельний шуканій площині. Таким чином, площина проходить через точки М 1 та М 2 паралельно вектору.
Нехай М(x; y; z) довільна точка площини, тоді вектори = ( х – 2; у – 3; z+ 1), = (-1; 2; 4), = (3; - 1; 3) компланарні, значить їх змішаний твір дорівнює нулю:
= 0.
Обчислимо визначник розкладанням за елементами першого рядка:
(х – 2) – (у – 3) + (z + 1) = 0,
10(х – 2) – (– 15)(у – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,
2(х – 2) + 3(у – 3) – (z + 1) = 0,
2х + 3у – z- 14 = 0 - рівняння площини.
приклад 4.Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до площин. х – у + 5z+ 3 = 0 та х + 3у – z – 7 = 0.
Рішення
Нехай – нормальний вектор шуканої площини. За умовою площина перпендикулярна даним площинам, отже, де = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Отже, як вектор можна взяти векторний добуток векторів і , тобто = × .
= = – 14 + 7 + 7 .
Підставивши координати вектора рівняння площині, що проходить через початок координат Ах + Ву + Сz= 0, отримаємо
– 14х + 7у + 7z = 0,
2х – у – z = 0.
Запитання для самоперевірки
1 Записати загальне рівняння площини.
2 Який геометричний змісткоефіцієнтів при х, у, zу загальному рівнянні площини?
3 Записати рівняння площини, що проходить через точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) перпендикулярно до вектора = ( А; У; З).
4 Записати рівняння площини у відрізках по осях і вказати геометричний зміст параметрів, що входять до нього.
5 Записати рівняння площини, що проходить через точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1), М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), М 3 (х 3 ; у 3 ; z 3).
6 Записати формулу, за якою знаходять кут між двома площинами.
7 Записати умови паралельності двох площин.
8 Записати умову перпендикулярності двох площин.
9 Записати формулу, за якою обчислюється відстань від точки до площини.
Завдання для самостійного вирішення
1 Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2; – 1; 1) перпендикулярно вектору = (1; – 2; 3). ( Відповідь: х – 2у + 3z – 7 = 0)
2 Крапка Р(1; - 2; - 2) є основою перпендикуляра, проведеного з початку координат до площини. Скласти рівняння цієї площини. ( Відповідь: х – 2у – 2z – 9 = 0)
3 Дано дві точки М 1 (2; – 1; 3) та М 2 (-1; 2; 4). Скласти рівняння площини, що проходить через точку М 1 перпендикулярно вектору. ( Відповідь: 3х – 3у – z – 6 = 0)
4 Скласти рівняння площини через три точки. М 1 (3; – 1; 2), М 2 (4; – 1; – 1), М 3 (2; 0; 2). (Відповідь: 3х + 3у + z – 8 = 0)
5 М 1 (3; – 1; 2) та М 2 (2; 1; 3) паралельно вектору = (3; - 1; 4). ( Відповідь: 9х + 7у – 5z – 10 = 0)
6 Скласти рівняння площини, що проходить через точку М 1 (2; 3; – 4) паралельно векторам = (3; 1; – 1) та = (1; – 2; 1). ( Відповідь: х + у + 7z + 14 = 0)
7 Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(1; – 1; 1) перпендикулярно до площин 2 х – у + z- 1 = 0 і х + 2у – z + 1 = 0. (Відповідь: х – 3у – 5z + 1 = 0)
8 Скласти рівняння площини, що проходить через точки М 1 (1; 0; 1) та М 2 (1; 2; – 3) перпендикулярно до площини х – у + z – 1 = 0. (Відповідь: х + 2у + z – 2 = 0)
9 Знайти кут між площинами 4 х – 5у + 3z- 1 = 0 і х – 4у – z + 9 = 0. (Відповідь: φ = arccos0,7)
10 Знайти відстань від точки М(2; – 1; – 1) до площини 16 х – 12у + 15z – 4 = 0. (Відповідь: d = 1)
11 Знайти точку перетину трьох площин 5 х + 8у – z – 7 = 0, х + 2у + 3z – 1 = 0, 2х – 3у + 2z – 9 = 0. (Відповідь: (3; – 1; 0))
12 Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М 1 (1; – 2; 6) та М 2 (5; - 4; 2) і відсікає рівні відрізки на осях Охі Оу. (Відповідь: 4х + 4у + z – 2 = 0)
13 Знайти відстань між площинами х + 2у – 2z+ 2 = 0 та 3 х + 6у – 6z – 4 = 0. (Відповідь: d = )
Завантаження...