Рівняння пряме у просторі. Рівняння площини: загальне, через три точки, нормальне.

Канонічними рівняннями прямої в просторі називаються рівняння, що визначають пряму, що проходить через задану точку колінеарно напрямному вектору.

Нехай дана точка та напрямний вектор. Довільна точка лежить на прямій lтільки в тому випадку, якщо вектори та колінеарні, тобто для них виконується умова:

.

Наведені вище рівняння є канонічні рівняння прямої.

Числа m , nі pє проекціями напрямного вектора координатні осі. Оскільки вектор ненульовий, то всі числа m , nі pне можуть одночасно дорівнювати нулю. Але один або два з них можуть виявитися рівними нулю. В аналітичній геометрії допускається, наприклад, такий запис:

,

яка означає, що векторні проекції на осі Ойі Ozрівні нулю. Тому і вектор , і пряма, задана канонічними рівняннями, перпендикулярні до осей. Ойі Oz, Т. е. площині yOz .

приклад 1.Скласти рівняння прямої у просторі, перпендикулярній площині і проходить через точку перетину цієї площини з віссю Oz .

Рішення. Знайдемо точку перетину цієї площини з віссю Oz. Так як будь-яка точка, що лежить на осі Ozмає координати , то, вважаючи в заданому рівнянні площини x = y = 0 , отримаємо 4 z- 8 = 0 або z= 2. Отже, точка перетину даної площини з віссю Ozмає координати (0; 0; 2). Оскільки пряма перпендикулярна площині, вона паралельна вектору її нормалі . Тому напрямним вектором прямий може бути вектор нормалі заданої поверхні.

Тепер запишемо шукані рівняння прямої, що проходить через точку A= (0; 0; 2) у напрямку вектора:

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Пряма може бути задана двома точками, що на ній лежать і У цьому випадку напрямним вектором прямий може бути вектор . Тоді канонічні рівняння прямий набудуть вигляду

.

Наведені вище рівняння визначають пряму, що проходить через дві задані точки.

приклад 2.Скласти рівняння прямої у просторі, що проходить через точки і .

Рішення. Запишемо шукані рівняння прямої у вигляді, наведеному вище в теоретичній довідці:

.

Оскільки , то пряма перпендикулярна осі Ой .

Пряма як лінія перетину площин

Пряма в просторі може бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин і, тобто як безліч точок, що задовольняють системі двох лінійних рівнянь

Рівняння системи називаються також загальними рівняннями прямої у просторі.

приклад 3.Скласти канонічні рівняння прямої у просторі, заданій загальними рівняннями

Рішення. Щоб написати канонічні рівняння прямої або, що те саме, рівняння прямої, що проходить через дві дані точки, потрібно знайти координати будь-яких двох точок прямої. Ними можуть бути точки перетину прямої з якими-небудь двома координатними площинами, наприклад yOzі xOz .

Точка перетину пряма з площиною yOzмає абсцису x= 0. Тому, вважаючи в цій системі рівнянь x= 0 отримаємо систему з двома змінними:

Її рішення y = 2 , z= 6 разом з x= 0 визначає точку A(0; 2; 6) шуканої прямої. Вважаючи потім у заданій системі рівнянь y= 0 отримаємо систему

Її рішення x = -2 , z= 0 разом з y= 0 визначає точку B(-2; 0; 0) перетину прямої з площиною xOz .

Тепер запишемо рівняння прямої, що проходить через крапки A(0; 2; 6) та B (-2; 0; 0) :

,

або після поділу знаменників на -2:

,

лекція 6-7. Елементи аналітичної геометрії.

Поверхні та їх рівняння.

приклад 1.

Сфера

приклад 2.

F(x, y, z) = 0(*),

Це - рівняння поверхні

Приклади:

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (конус)

Площина.

Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Розглянемо площину у просторі. Нехай М 0 (x 0 , y 0 , z 0) - дана точка площини Р, а - вектор перпендикулярний площині ( нормальний вектор площині).

(1) – векторне рівняння площини.

У координатній формі:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0 (2)

Отримали рівняння площини, що проходить через задану точку .

Загальне рівняння площини.

Розкриємо дужки в (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 або

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Отримане рівняння площини лінійно, тобто. рівняння 1 ступеня щодо координат x, y, z. Тому площина – поверхня першого порядку .

Твердження: Будь-яке рівняння, лінійне щодо x, y, z задає площину.

Будь-яка площина м.б. задана рівнянням (3), яке називається загальним рівнянням площини.

Окремі випадки загального рівняння.

а) D = 0: Ax + By + Cz = 0. Т.к. координати точки О(0, 0, 0) задовольняють цього рівняння, то задана площина проходить через початок координат.

б) С = 0: Ax + By + D = 0. У цьому випадку нормальний вектор площини тому площину, задана рівняннямпаралельна осі OZ.

в) С = D = 0: Ax + By = 0. Площина паралельна осі OZ (т.к. С = 0) і проходить через початок координат (т.к. D = 0). Виходить, вона проходить через вісь OZ.

г) В = С = 0: Ax + D = 0 або . вектор, тобто. та . Отже, площина паралельна до осей OY і OZ, тобто. паралельна площині YOZ і проходить через точку.

Самостійно розглянути випадки: B = 0, B = D = 0, A = 0, A = D = 0, A = C = 0, A = B = 0/

Рівняння площини через три задані точки.

Т.к. Усі чотири точки належать площині, то ці вектори компланарні, тобто. їх змішаний твіродно нулю:

Здобули рівняння площини, що проходить через три точки у векторному вигляді.

У координатній формі:

(7)

Якщо розкрити визначник, то отримаємо рівняння площини у вигляді:

Ax+By+Cz+D=0.

приклад. Написати рівняння площини, що проходить через точки М1 (1,-1,0);

М 2 (-2,3,1) та М 3 (0,0,1).

, (x - 1) · 3 - (y + 1) (-2) + z · 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Рівняння площини у відрізках

Нехай дано загальне рівняння площини Ax + By + Cz + D = 0 та D ≠ 0, тобто. площина не проходить через початок координат. Розділимо обидві частини на –D: та позначимо: ; ; . Тоді

отримали рівняння площини у відрізках .

де a, b, c – величини відрізків, що відсікаються площиною осях координат.

приклад 1.Написати рівняння площини, яка проходить через точки А(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) та С(0, 0, -3).

a=3; b = 2; c = -3, або 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

приклад 2.Знайти величини відрізків, які відтинає площину

4x - y - 3z - 12 = 0 на осях координат.

4x - y - 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Нормальне рівняння площини.

Нехай дано деяку площину Q. З початку координат проведемо перпендикуляр ОР до площини. Нехай задані |ОР|=р та вектор: . Візьмемо поточну точку M(x, y, z) площини та обчислимо скалярний добуток векторів та : .

Якщо спроектувати точку М на напрямок, то потрапимо в точку Р. Т.о., отримаємо рівняння

(9).

Встановлення лінії у просторі.

Лінію L у просторі можна задати як перетин двох поверхонь. Нехай точка M(x, y, z), що лежить лінії L, належить як поверхні Р1, і поверхні Р2. Тоді координати цієї точки повинні відповідати рівнянням обох поверхонь. Тому під рівнянням лінії L у просторі розуміють сукупність двох рівнянь, кожне з яких є рівнянням відповідної поверхні:

Лінії L належать ті й ті точки, координати яких задовольняють обох рівнянь в (*). Пізніше ми розглянемо інші способи завдання ліній у просторі.

Пучок площин.

Пучок площин- Багато всіх площин, що проходять через задану пряму - вісь пучка.

Щоб задати пучок площин, достатньо встановити його вісь. Нехай рівняння цієї прямої задано у загальному вигляді:

.

Скласти рівняння пучка– означає скласти рівняння, з якого можна отримати за додаткової умови рівняння будь-якої площини пучка, крім б.м. однієї. Помножимо II рівняння на л і складемо з I рівнянням:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) або

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, яке може набувати дійсних значень. За будь-якого обраного значення рівняння (1) і (2) лінійні, тобто. це – рівняння деякої площини.

1. Покажемо, що ця площина проходить через вісь пучка L. Візьмемо довільну точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Отже, М 0 Р 1 і М 0 Р 2 . Значить:

Отже, площина, що описується рівнянням (1) або (2), належить пучку.

2. Можна довести і протилежне: будь-яка площина, що проходить через пряму L, описується рівнянням (1) за відповідного вибору параметра л.

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин x + y + 5z – 1 = 0 та 2x + 3y – z + 2 = 0 та через точку М(3, 2, 1).

Записуємо рівняння пучка: x + y + 5z – 1 + л(2x + 3y – z + 2) = 0. Для знаходження л врахуємо, що М Р:

Будь-яку поверхню в просторі можна розглядати як геометричне місце точок, що має деяку властивість, загальну для всіх точок.

приклад 1.

Сфера – безліч точок, що рівно віддалені від даної точки С (центру). З (x 0, y 0, z 0). За визначенням |СМ|=R або . Це рівняннявиконується всім точок сфери і тільки їм. Якщо x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0, то .

Аналогічним чином можна скласти рівняння будь-якої поверхні, якщо вибрано систему координат.

приклад 2. x=0 – рівняння площини YOZ.

Виразивши геометричне визначенняповерхні через координати її поточної точки та зібравши всі складові в одній частині, отримаємо рівність виду

F(x, y, z) = 0(*),

Це - рівняння поверхні , якщо координати всіх точок поверхні задовольняють цій рівності, а координати точок, що не лежать на поверхні, не задовольняють.

Т.ч., кожній поверхні у вибраній системі координат відповідає своє рівняння. Однак, не кожному рівнянню виду (*) відповідає поверхня в значенні визначення.

Приклади:

2x - y + z - 3 = 0 (площина)

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 – координати жодної точки не задовольняють.

x 2 + y 2 + z 2 = 0 – єдина точка (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 - Пряма (вісь OZ).

Всі рівняння площини, які розібрані в наступних пунктах, можуть бути отримані із загального рівняння площини, а також приведені до загального рівняння площини. Таким чином, коли говорять про рівняння площини, то мають на увазі загальне рівняння площини, якщо не зазначено інше.

Рівняння площини у відрізках.

Рівняння площини виду , де a, b і c – відмінні від нуля дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках.

Така назва не випадкова. Абсолютні величини чисел a, b і c дорівнюють довжинам відрізків, які відсікає площину на координатних осях Ox, Oy та Oz відповідно, рахуючи від початку координат. Знак чисел a, b і c показує, у якому напрямку (позитивному чи негативному) слід відкладати відрізки на координатних осях.

Для прикладу побудуємо у прямокутній системі координат Oxyz площину, визначену рівнянням площини у відрізках . Для цього відзначаємо точку, віддалену на 5 одиниць від початку координат у негативному напрямку осі абсцис, на 4 одиниці в негативному напрямку осі ординат та на 4 одиниці у позитивному напрямку осі аплікат. Залишилося поєднати ці точки прямими лініями. Площина отриманого трикутника і є площиною, що відповідає рівнянню площини у відрізках виду .

Для отримання більш повної інформації звертайтесь до статті рівняння площини у відрізках, там показано приведення рівняння площини у відрізках до загального рівняння площини, там Ви також знайдете докладні рішення характерних прикладів і завдань.

Нормальне рівняння площини.

Загальне рівняння площини виду називають нормальним рівнянням площини, якщо дорівнює одиниці, тобто, , та .

Часто можна побачити, що нормальне рівняння площини записують як . Тут - напрямні косинуси нормального вектора даної площини одиничної довжини, тобто , а p – невід'ємне число, що дорівнює відстані від початку координат до площини.

Нормальне рівняння площини у прямокутній системі координат Oxyz визначає площину, яка віддалена від початку координат на відстань p у позитивному напрямку нормального вектора цієї площини . Якщо p=0 то площина проходить через початок координат.

Наведемо приклад нормального рівняння площини.

Нехай площина задана у прямокутній системі координат Oxyz загальним рівнянням площини виду . Це загальне рівняння площини є нормальним рівнянням площини. Справді, і нормальний вектор цієї площини має довжину рівну одиниці, оскільки .

Рівняння площини у нормальному вигляді дозволяє знаходити відстань від точки до площини.

Рекомендуємо більш детально розібратися з даним видом рівняння площини, переглянути докладні рішення характерних прикладів та завдань, а також навчитися наводити загальне рівняння площини до нормального вигляду. Це можна зробити, звернувшись до статті .

Список літератури.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
• Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

задає площину, і навпаки: будь-яка площина може бути представлена ​​рівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.

Вектор n(A, B, C), ортогональний площині, називається нормальним векторомплощині. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не дорівнюють 0.

Особливі випадки рівняння (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - площина паралельна осі Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 – площина проходить через вісь Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x=0, y=0, z=0.

Пряма у просторі може бути задана:

1) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двома своїми точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

= ; (3.3)

3) точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1), що їй належить, і вектором a(m, n, р), їй колінеарним. Тоді пряма визначається рівняннями:

. (3.4)

Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннями прямою.

Вектор aназивається напрямним вектором прямий.

Параметричні отримаємо, прирівнявши кожне із відношень (3.4) параметру t:

x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+рт. (3.5)

Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівнянь щодо невідомих xі yприходимо до рівнянь прямої в проекціяхабо до наведеним рівнянням прямої:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічних рівнянь, знаходячи zз кожного рівняння та прирівнюючи отримані значення:

.

Від загальних рівнянь(3.2) можна переходити до канонічних та інших способів, якщо знайти якусь точку цієї прямої та її напрямний n= [n 1 , n 2], де n 1 (A 1 , B 1 , C 1) та n 2 (A 2 B 2 C 2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо один із знаменників m, nабо ру рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідного дробу треба покласти рівним нулю, тобто. система

рівносильна системі ; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

Система рівносильна системі x = x 1, y = y 1; пряма паралельна осі Oz.

Приклад 1.15. Складіть рівняння площини, знаючи, що точка А(1,-1,3) є підставою перпендикуляра, проведеного з початку координат до цієї площини.

Рішення.За умовою завдання вектор ОА(1,-1,3) є нормальним вектором площини, тоді її рівняння можна записати як
x-y+3z+D=0. Підставивши координати точки А(1,-1,3), що належить площині, знайдемо D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Отже, x-y+3z-11=0.

Приклад 1.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Оz і утворює з площиною 2x+y-z-7=0 кут 60 о.

Рішення.Площина, що проходить через вісь Oz, задається рівнянням Ax + By = 0, де А і одночасно не звертаються в нуль. Нехай В не
одно 0, A/Bx+y=0. За формулою косинуса кута між двома площинами

.

Вирішуючи квадратне рівняння 3m 2 + 8m - 3 = 0, знаходимо його коріння
m 1 = 1/3, m 2 = -3, звідки отримуємо дві площини 1/3x+y = 0 та -3x+y = 0.

приклад 1.17.Складіть канонічні рівняння прямої:
5x + y + z = 0, 2x + 3y – 2z + 5 = 0.

Рішення.Канонічні рівнянняпрямий мають вигляд:

де m, n, р- координати напрямного вектора прямої, x 1 , y 1 , z 1- координати будь-якої точки, що належить прямій. Пряма задана як лінія перетину двох площин. Щоб знайти точку, що належить прямої, фіксують одну з координат (найпростіше покласти, наприклад, x=0) і отриману систему вирішують як систему лінійних рівнянь з двома невідомими. Отже, хай x = 0, тоді y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, звідки y = -1, z = 1. Координати точки М(x 1 , y 1 , z 1), що належить даній прямій, ми виявили: M (0,-1,1). Напрямний вектор прямий легко знайти, знаючи нормальні вектори вихідних площин. n 1 (5,1,1) та n 2 (2,3,-2). Тоді

Канонічні рівняння прямої мають вигляд: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z – 1)/13.

Приклад 1.18. У пучку, який визначається площинами 2х-у+5z-3=0 і х+у+2z+1=0, знайти дві перпендикулярні площини, одна з яких проходить через точку М(1,0,1).

Рішення.Рівняння пучка, що визначається даними площинами, має вигляд u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, де u та v не звертаються в нуль одночасно. Перепишемо рівняння пучка наступним чином:

(2u + v) x + (-u + v) y + (5u + 2v) z - 3u + v = 0.

Для того, щоб з пучка виділити площину, що проходить через точку М, підставимо координати точки М рівняння пучка. Отримаємо:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v = 0, або v = - u.

Тоді рівняння площини, що містить M, знайдемо, підставивши v = - u рівняння пучка:

u(2x-y+5z - 3) - u(x+y+2z+1) = 0.

Т.к. u ¹0 (інакше v=0, але це суперечить визначенню пучка), маємо рівняння площині x-2y+3z-4=0. Друга площина, що належить пучку, має бути їй перпендикулярна. Запишемо умову ортогональності площин:

(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, або v = - 19/5u.

Отже, рівняння другої площини має вигляд:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 або 9x +24y + 13z + 34 = 0.