Векторний витвір- це псевдовектор, перпендикулярний до площини, побудованої по двох співмножниках, що є результатом бінарної операції «векторне множення» над векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Векторний твір не має властивості комутативності та асоціативності (є антикомутативним) і, на відміну від скалярного твору векторів, є вектором. Широко використовується в багатьох технічних і фізичних додатках. Наприклад, момент імпульсу і сила Лоренца математично записуються як векторного твори. Векторний добуток корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів - модуль векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їх модулів, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Визначити векторний добуток можна по-різному, і теоретично, у просторі будь-якої розмірності n можна обчислити добуток n-1 векторів, отримавши при цьому єдиний вектор, перпендикулярний до них усім. Але якщо твір обмежити нетривіальними бінарними творами з векторними результатами, то традиційний векторний твір визначено лише у тривимірному та семимірному просторах. Результат векторного твору, як і скалярного, залежить від метрики Евклідова простору.

На відміну від формули для обчислення за координатами векторів скалярного добутку у тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного добутку залежить від орієнтації прямокутної системи координат або, інакше, її «хіральності».

Визначення:
Векторним добутком вектора a вектор b у просторі R 3 називається вектор c , що задовольняє наступним вимогам:
довжина вектора c дорівнює добутку довжин векторів a і b на синус кута між ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогональний кожному з векторів a і b;
вектор c спрямований так, що трійка векторів abc є правою;
у разі простору R7 потрібна асоціативність трійки векторів a, b, c.
Позначення:
c===a × b

Рис. 1. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного твору

Геометричні властивості векторного твору:
Необхідним та достатньою умовоюКолінеарність двох ненульових векторів є рівність нулю їх векторного твору.

Модуль векторного твору дорівнює площі Sпаралелограма, побудованого на приведених до загального початку векторах aі b(Див. рис.1).

Якщо e- одиничний вектор, ортогональний вектор aі bі вибраний так, що трійка a,b,e- права, а S- площа паралелограма, побудованого на них (наведених до загального початку), то для векторного твору справедлива формула:
=S e

Рис.2. Об'єм паралелепіпеда при використанні векторного та скалярного добутку векторів; пунктирні лінії показують проекції вектора c на a × b та вектора a на b × c, першим кроком є ​​знаходження скалярних творів

Якщо c- якийсь вектор, π - будь-яка площина, що містить цей вектор, e- одиничний вектор, що лежить у площині π та ортогональний до c,g- одиничний вектор, ортогональний до площини π і спрямований так, що трійка векторів ecgє правою, то для будь-кого, хто лежить у площині π вектора aсправедлива формула:
=Pr e a |c|g
де Pr e a векторна проекція e на a
|c|-модуль вектора з

При використанні векторного та скалярного творів можна вирахувати обсяг паралелепіпеда, побудованого на приведених до загального початку векторах a, bі c. Такий добуток трьох векторів називається змішаним.
V=|a (b×c)|
На малюнку показано, що цей обсяг може бути знайдений двома способами: геометричний результат зберігається навіть при заміні «скалярного» та «векторного» творів місцями:
V=a×b c=a b×c

Величина векторного твору залежить від синуса кута між початковими векторами, тому векторний твір може сприйматися як ступінь перпендикулярності векторів так само, як і скалярний твір може розглядатися як ступінь паралельності. Векторний добуток двох одиничних векторів дорівнює 1 (поодинокому вектору), якщо початкові вектори перпендикулярні, і дорівнює 0 (нульовому вектору), якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Вираз для векторного твору в декартових координатах
Якщо два вектори aі bвизначені своїми прямокутними декартовими координатами, а точніше - представлені в ортонормованому базисі
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
а система координат права, то їхній векторний твір має вигляд
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запам'ятовування цієї формули:
i = ∑ε ijk a j b k
де ε ijk- символ Леві-Чівіти.

7.1. Визначення векторного твору

Три некомпланарних вектори a, b і с, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця третього вектора з найкоротший поворот від першого вектора а до другого вектора b видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки, і ліву, якщо за годинниковою (див. рис. 16).

Векторним добутком вектора на вектор b називається вектор з , який:

1. Перпендикулярний векторам a і b, тобто з ^ а і с ^ b;

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах а іbяк у сторонах (див. рис. 17), тобто.

3. Вектори a, b і з утворюють праву трійку.

Векторний твір позначається а х b або [а, b]. З визначення векторного твору безпосередньо випливають такі співвідношення між ортами i jі k(див. рис. 18):

i x j = k , j x k = i , k x i = j .
Доведемо, наприклад, що i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, але | i x j| = | i | |J | sin(90°)=1;

3) вектори i, j і kутворюють праву трійку (рис. 16).

7.2. Властивості векторного твору

1. При перестановці співмножників векторне твір змінює знак, тобто. а хb = (b хa) (див. рис. 19).

Вектори а хb і b ха колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінною), але протилежно спрямовані (трійки а, b, а хb і a, b, b x a протилежної орієнтації). Стало бути a xb = -(b xa).

2. Векторний твір має поєднану властивість щодо скалярного множника, тобто l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Нехай l>0. Вектор l (а хb) перпендикулярний векторам а та b. Вектор ( lа) х bтакож перпендикулярний векторам а і b(Вектори а, lа лежать у одній площині). Значить, вектори l(а хb) та ( lа) х bколінеарні. Очевидно, що й напрямки збігаються. Мають однакову довжину:

Тому l(a хb) = lа хb. Аналогічно доводиться при l<0.

3. Два ненульові вектори а і bколінеарні тоді й тільки тоді, коли їхній векторний твір дорівнює нульовому вектору, тобто а ||b<=>а хb = 0.

Зокрема, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Векторний твір має розподільну властивість:

(a + b )хс = а хс + bхс.

Приймемо без підтвердження.

7.3. Вираз векторного твору через координати

Ми використовуватимемо таблицю векторного твору векторів i , jі k:

якщо напрям найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, твір дорівнює третьому вектору, а то й збігається - третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори а = а х i + a y j+a z kі b = b x i+b y j+b z k. Знайдемо векторний твір цих векторів, перемножуючи їх як багаточлени (відповідно до властивостей векторного твору):

Отриману формулу можна записати ще коротше:

оскільки права частина рівності (7.1) відповідає розкладу визначника третього порядку за елементами першого рядка.Рівність (7.2) легко запам'ятовується.

7.4. Деякі програми векторного твору

Встановлення колінеарності векторів

Знаходження площі паралелограма та трикутника

Згідно з визначенням векторного твору векторів аі b |а хb | =|а | * | b | sin g, т. е. S пар = | а x b |. І, отже, D S = 1/2 | а х b |

Визначення моменту сили щодо точки

Нехай у точці А прикладена сила F = АВі нехай Про- Деяка точка простору (див. рис. 20).

З фізики відомо, що моментом сили F щодо точки Проназивається вектор М,який проходить через точку Прота:

1) перпендикулярний площині, що проходить через точки О, А, В;

2) чисельно дорівнює добутку сили на плече

3) утворює праву трійку з векторами ОА та A .

Отже, М = ОА х F .

Знаходження лінійної швидкості обертання

Швидкість vточки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю wнавколо нерухомої осі визначається формулою Ейлера v = w хr , де r = ОМ , де О-деяка нерухома точка осі (див. рис. 21).

На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів (відразу посилання, кому потрібне саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий - навряд чи складніше, ніж те саме скалярний твір, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛЯТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя =)

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах

Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати взагалі не доведеться, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторний та змішаний твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!

У цій операції, так само, як і в скалярному творі, беруть участь два вектори. Нехай це будуть нетлінні букви.

Сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують інші варіанти, але я звик позначати векторний твір векторів саме так, у квадратних дужках з хрестиком.

І відразу питання: якщо в скалярному творі векторівберуть участь два вектори, і тут теж множаться два вектори, тоді у чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:

Результатом скалярного твору векторів є ЧИСЛО:

Результатом векторного твору векторів є ВЕКТОР: , тобто множимо вектори і знову отримуємо вектор. Закритий клуб. Власне, звідси й назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть змінюватись, я використовуватиму букву .

Визначення векторного твору

Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.

Визначення: Векторним твором неколінеарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається ВЕКТОР , довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограмапобудованого на даних векторах; вектор ортогональний векторів, і спрямований так, що базис має праву орієнтацію:

Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!

Отже, можна виділити такі суттєві моменти:

1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням не колінеарні. Випадок колінеарних векторів буде доречно розглянути пізніше.

2) Вектори взяті у строго визначеному порядку: – "а" множиться на "бе", а чи не «бе» на «а». Результатом множення векторівє ВЕКТОР, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити у зворотному порядку, отримаємо рівний за довжиною і протилежний за напрямом вектор (малиновий колір). Тобто справедливо рівність .

3) Тепер познайомимося із геометричним змістом векторного твору. Це дуже важливий пункт! ДОВжина синього вектора (а, отже, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку цей паралелограм заштрихований чорним кольором.

Примітка : креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного добутку не дорівнює площі паралелограма.

Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи із сказаного вище, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ векторного твору:

Підкреслюю, що у формулі йдеться про ДОВЖИНУ вектора, а не про сам вектор. Який практичний зміст? А сенс такий, що у завданнях аналітичної геометрії площу паралелограма часто знаходять через поняття векторного твору:

Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівні трикутники. Отже, площу трикутника, побудованого на векторах (червоне штрихування), можна знайти за формулою:

4) Не менш важливий факт полягає в тому, що вектор ортогональний векторам, тобто . Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогональний вихідним векторам.

5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площиниі зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Поясняти буду на ваших пальцях правої руки. Подумки поєднайте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець та мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- Векторний твір буде дивитися вгору. Це і є правоорієнтований базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний та середній пальці) місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний твір уже дивитиметься вниз. Це також правоорієнтований базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? "Привласніть" тим же пальцям лівої рукивектори , і отримайте лівий базис і ліву орієнтацію простору (у цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, ці базиси «закручують» або орієнтують простір у різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим чи абстрактним – так, наприклад, орієнтацію простору змінює звичайнісіньке дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із дзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці та проаналізуйте відображення;-)

…як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- та лівоорієнтованихбазисах, бо страшні висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)

Векторний твір колінеарних векторів

Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли колінеарні вектори. Якщо вектори колінеарні, їх можна розмістити на одній прямий і наш паралелограм теж «складається» в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогоПаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180 градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова

Таким чином, якщо , то і . Зверніть увагу, що сам вектор твір дорівнює нульовому вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що він також дорівнює нулю.

Окремий випадок – векторний добуток вектора на самого себе:

За допомогою векторного твору можна перевіряти колінеарність тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.

Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрична таблиця, щоб знаходити значення синусів.

Ну що ж, розпалюємо вогонь:

Приклад 1

а) Знайти довжину векторного твору векторів, якщо

б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо

Рішення: Ні, це не друкарська помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень відрізнятиметься!

а) За умовою потрібно знайти довжинувекторні (векторні твори). За відповідною формулою:

Відповідь:

Якщо питалося про довжину, то відповіді вказуємо розмірність – одиниці.

б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного добутку:

Відповідь:

Зверніть увагу, що у відповіді про векторний твір не йдеться взагалі, нас запитували про площі фігуривідповідно розмірність – квадратні одиниці.

Завжди дивимося, ЩО потрібно знайти за умовою, і виходячи з цього формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але буквоїдів серед викладачів вистачає, і завдання з добрими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута причіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розуміється на простих речах і/або не вникла в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики та й з інших предметів теж.

Куди поділася велика буква «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити до рішення, але з метою скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і це позначення одного і того ж.

Популярний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

На практиці завдання справді дуже поширене, трикутниками взагалі можуть закатувати.

Для вирішення інших завдань нам знадобляться:

Властивості векторного твору векторів

Деякі властивості векторного твору ми вже розглянули, проте я їх включу до цього списку.

Для довільних векторів та довільного числа справедливі такі властивості:

1) В інших джерелах інформації цей пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий у практичному плані. Тож нехай буде.

2) – властивість теж розібрана вище, іноді її називають антикомутативністю. Інакше кажучи, порядок векторів має значення.

3) - сполучні або асоціативнізакони векторної праці. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твору. Справді, чого їм робити?

4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторної праці. З розкриттям дужок також немає проблем.

Як демонстрацію розглянемо коротенький приклад:

Приклад 3

Знайти , якщо

Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твору. Розпишемо нашу мініатюру:

(1) Згідно з асоціативними законами, виносимо константи за межі векторного твору.

(2) Виносимо константу межі модуля, у своїй модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж може бути негативною.

(3) Подальше зрозуміло.

Відповідь:

Пора підкинути дров у вогонь:

Приклад 4

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою . Загвоздка у тому, що вектори «це» і «де» самі представлені як сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади №3 та 4 уроку Скалярний добуток векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:

1) На першому кроці висловимо векторний твір через векторний твір, по суті, виразимо вектор через вектор. Про довжини поки що ні слова!

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів.

(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо всі константи за межі векторних творів. При малому досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.

(4) Перший і останній доданок дорівнює нулю (нульовому вектору) завдяки приємній властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикомутативності векторного твору:

(5) Наводимо подібні доданки.

В результаті вектор виявився через вектор, чого і потрібно досягти:

2) На другому етапі знайдемо довжину необхідного нам векторного твору. Ця дія нагадує Приклад 3:

3) Знайдемо площу шуканого трикутника:

Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.

Відповідь:

Розглянуте завдання досить поширене у контрольних роботах, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти , якщо

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні щодо попередніх прикладів;-)

Векторний твір векторів у координатах

, заданих в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Формула і справді простецька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, у другий і третій рядки «укладаємо» координати векторів, причому вкладаємо у строгому порядку- Спершу координати вектора "ве", потім координати вектора "дубль-ве". Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то рядки слід поміняти місцями:

Приклад 10

Перевірити, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:
а)
б)

Рішення: Перевірка заснована на одному із тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їхній векторний добуток дорівнює нулю (нульовому вектору): .

а) Знайдемо векторний твір:

Таким чином, вектори не колінеарні.

б) Знайдемо векторний твір:

Відповідь: а) не колінеарні, б)

Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторний добуток векторів.

Даний розділ буде не дуже великим, оскільки завдань, де використовується змішане твір векторів, небагато. Фактично все впиратиметься у визначення, геометричний зміст і пару робочих формул.

Змішаний твір векторів – це твір трьох векторів:

Ось так вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх обчислять.

Спочатку знову визначення та картинка:

Визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається об'єм паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, з знаком «+», якщо базис правий, і знаком «–», якщо базис лівий.

Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром:

Поринаємо у визначення:

2) Вектори взяті у певному порядку, тобто перестановка векторів у творі, як ви здогадуєтеся, не минає без наслідків.

3) Перед тим, як прокоментувати геометричний зміст, зазначу очевидний факт: змішаний добуток векторів є ЧИСЛОМ: . У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати змішане твір через , а результат обчислень літерою «пе».

За визначенням змішаний твір – це обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами та лініями чорного кольору). Тобто число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.

Примітка : креслення є схематичним.

4) Не будемо знову паритися з поняттям орієнтації базису і простору. Сенс заключної частини у тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним: .

Безпосередньо з визначення слідує формула обчислення об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах.

Даний онлайн калькулятор обчислює векторний добуток векторів. Надається докладне рішення. Для обчислення векторного добутку векторів введіть координати векторів у комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Векторний твір векторів

Перш ніж перейти до визначення векторного твору векторів, розглянемо поняття впорядкована трійка векторів, ліва трійка векторів, права трійка векторів.

Визначення 1. Три вектори називаються упорядкованої трійкою(або трійкою ), якщо зазначено, який із цих векторів перший, який другий та який третій.

Запис cba- означає - першим є вектор c, другим є вектор bі третім є вектор a.

Визначення 2. Трійка некомпланарних векторів abcназивається правою (лівою), якщо при приведенні до загального початку ці вектори розташовуються так, як розташовані відповідно великий, незігнутий вказівний і середній пальці правої (лівої) руки.

Визначення 2 можна формулювати і інакше.

Визначення 2". Трійка некомпланарних векторів abcназивається правою (лівою), якщо при приведенні до загального початку, вектор cрозташовується по той бік від площини, що визначається векторами aі b, звідки найкоротший поворот від aдо bвідбувається проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою).

Трійка векторів abc, зображена на рис. 1 є правою, а трійка abcзображена на рис. 2 є лівою.

Якщо дві трійки векторів є правими чи лівими, кажуть, що вони однієї орієнтації. Інакше кажуть, що вони є протилежною орієнтацією.

Визначення 3. Декартова або афінна система координат називається правою (лівою), якщо три базові вектори утворюють праву (ліву) трійку.

Для певності, надалі ми розглядатимемо лише праві системи координат.

Визначення 4. Векторним творомвектора aна вектор bназивається вектор з, що позначається символом c=[ab] (або c=[a,b], або c=a×b) і задовольняє наступним трьом вимогам:

• довжина вектора здорівнює добутку довжин векторів aі bна синус кута φ між ними:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• вектор зортогональний до кожного з векторів aі b;
• вектор cспрямований так, що трійка abcє правою.

Векторний добуток векторів має такі властивості:

• [ab]=−[ba] (антиперестановністьспівмножників);
• [(λa)b]=λ [ab] (сполучністьщодо числового множника);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (розподільністьщодо суми векторів);
• [aa]=0 для будь-якого вектора a.

Геометричні властивості векторного твору.

Теорема 1. Для колінеарності двох векторів необхідна і досить рівність нуля їхнього векторного твору.

Доведення. Необхідність. Нехай вектори aі bколінеарні. Тоді кут між ними 0 або 180° sinφ=sin180=sin 0 = 0. Отже, враховуючи вираз (1), довжина вектора cдорівнює нулю. Тоді cнульовий вектор.

Достатність. Нехай векторний добуток векторів aі bнавно нулю: [ ab]=0. Доведемо, що вектори aі bколінеарні. Якщо хоча б один із векторів aі bнульовий, то ці вектори колінеарні (бо нульовий вектор має невизначений напрямок і його можна вважати колінеарним будь-якому вектору).

Якщо ж обидва вектори aі bненульові, то | a|>0, |b|>0. Тоді з [ ab]=0 і з (1) випливає, що sinφ=0. Отже вектори aі bколінеарні.

Теорему доведено.

Теорема 2. Довжина (модуль) векторного твору ab] дорівнює площі Sпаралелограма, побудованого на наведених до загального початку векторах aі b.

Доведення. Як відомо, площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін цього паралелограма на синус кута між ними. Отже:

Тоді векторний добуток цих векторів має вигляд:

Розкриваючи визначник за елементами першого рядка, ми отримаємо розкладання вектора. a×bпо базису i, j, k, Яке еквівалентно формулі (3).

Доказ теореми 3. Складемо всі можливі пари з базових векторів i, j, kі порахуємо їхній векторний твір. Потрібно враховувати, що базисні вектори взаємно ортогональні, утворюють праву трійку і мають одиничну довжину (іншими словами можна припускати, що i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k= (0, 0, 1)). Тоді маємо:

З останньої рівності та співвідношень (4), отримаємо:

Складемо 3×3 матрицю, перший рядок якої базисні вектори i, j, k,а інші рядки заповнені елементами векторів aі b:

Таким чином, результатом векторного твору векторів aі bбуде вектор:

.

Приклад 2. Знайти векторний добуток векторів [ ab], де вектор aпредставлений двома точками. Початкова точка вектора: , кінцева точка вектор a: , вектор bмає вигляд .

Розв'язання. Перемістимо перший вектор на початок координат. Для цього віднімемо з відповідних координат кінцевої точки координати початкової точки:

Обчислимо визначник цієї матриці, розклавши її по першому рядку. Результатом цих обчислень отримаємо векторний добуток векторів aі b.

ЗМІШАНИЙ ТВОР ТРИХ ВЕКТОРІВ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Змішаним творомтрьох векторів називають число, що дорівнює . Позначається . Тут перші два вектори множаться векторно і потім отриманий вектор скалярно множиться на третій вектор . Очевидно, такий твір є кілька.

Розглянемо властивості змішаного твору.

1. Геометричний змістзмішаного твору. Змішане твір 3-х векторів з точністю до знака дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого цих векторах, як у ребрах, тобто. .

   Таким чином, і .

   

   Доведення. Відкладемо вектори від загального початку та побудуємо на них паралелепіпед. Позначимо і зауважимо, що . За визначенням скалярного твору

   Припускаючи, що і позначивши через hвисоту паралелепіпеда, знаходимо .

   Таким чином, при

   Якщо ж, то й. Отже, .

   Об'єднуючи обидва ці випадки, отримуємо або .

   З підтвердження цієї якості зокрема випливає, що й трійка векторів права, то змішане твір , і якщо – ліва, то .

2. Для будь-яких векторів , , справедлива рівність

   Доказ цієї властивості випливає із властивості 1. Справді, легко показати, що і . До того ж знаки "+" і "-" беруться одночасно, т.к. кути між векторами та і одночасно гострі або тупі.

3. При перестановці будь-яких двох співмножників змішаний твір змінює знак.

   Справді, якщо розглянемо змішаний твір, то, наприклад, або

4. Змішаний твір тоді і тільки тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю або вектори – компланарні.

   Доведення.

   Т.ч., необхідною та достатньою умовою компланарності 3-х векторів є рівність нулю їх змішаного твору. Крім того, звідси випливає, що три вектори утворюють базис у просторі, якщо .

   Якщо вектори задані в координатній формі , то можна показати, що їхнє змішане твір знаходиться за формулою:

   .

   Т. о., змішаний добуток дорівнює визначнику третього порядку, у якого в першому рядку стоять координати першого вектора, у другому рядку - координати другого вектора і в третьому рядку - третього вектора.

   приклади.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ

Рівняння F(x, y, z)= 0 визначає у просторі Oxyzдеяку поверхню, тобто. геометричне місце точок, координати яких x, y, zзадовольняють цього рівняння. Це рівняння називається рівнянням поверхні, а x, y, z- поточними координатами.

Однак, часто поверхня задається не рівнянням, а як безліч точок простору, що мають ту чи іншу властивість. І тут потрібно знайти рівняння поверхні, з її геометричних властивостей.

ПЛОЩІСТЬ.

НОРМАЛЬНИЙ ВЕКТОР ПЛОЩИНИ.

РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДАНУ ТОЧКУ

Розглянемо у просторі довільну площинуσ. Її положення визначається завданням вектора , перпендикулярного цій площині, та деякої фіксованої точки M 0(x 0, y 0, z 0), що лежить у площині σ.

Вектор перпендикулярний площині σ називається нормальнимвектор цієї площини. Нехай вектор має координати.

Виведемо рівняння площини σ, що проходить через дану точку M 0і має нормальний вектор. Для цього візьмемо на площині σ довільну точку M(x, y, z)і розглянемо вектор.

Для будь-якої точки MÎ σ вектор .Тому їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Ця рівність – умова того, що точка MÎ σ. Воно справедливе для всіх точок цієї площини і порушується, як тільки точка Mопиниться поза площиною σ.

Якщо позначити через радіус-вектор точки M, – радіус-вектор точки M 0, то й рівняння можна записати у вигляді

Це рівняння називається векторнимрівнянням площини. Запишемо його у координатній формі. Оскільки , то

Отже, ми отримали рівняння площини, що проходить цю точку. Таким чином, для того, щоб скласти рівняння площини, потрібно знати координати нормального вектора та координати деякої точки, що лежить на площині.

Зауважимо, що рівняння площини є рівнянням 1-го ступеня щодо поточних координат x, yі z.

приклади.

ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ

Можна показати, що будь-яке рівняння першого ступеня щодо декартових координат x, y, zє рівнянням деякої площини. Це рівняння записується як:

Ax+By+Cz+D=0

і називається загальним рівняннямплощині, причому координати A, B, Cтут є координати нормального вектора площини.

Розглянемо окремі випадки загального рівняння. З'ясуємо, як розташовується площина щодо системи координат, якщо один або декілька коефіцієнтів рівняння звертаються до нуля.

A – це довжина відрізка, що відсікається площиною на осі Ox. Аналогічно, можна показати, що bі c- Довжини відрізків, що відсікаються площиною на осях, що розглядається. Ойі Oz.

Рівнянням площини у відрізках зручно користуватися для побудови площин.