Процедура обчислення потрійного інтеграла аналогічна відповідній операції подвійного інтеграла. Для її опису введемо поняття правильної тривимірної області:

Визначення 9.1. Тривимірна область V, обмежена замкненою поверхнею S, називається правильною, якщо:

1. будь-яка пряма, паралельна осіОz та проведена через внутрішню точку області, перетинає S у двох точках;
2. вся область V проектується на площину Оху у правильну двовимірну область D;
3. будь-яка частина області V, відсічена від неї площиною, паралельною до будь-якої з координатних площин, має властивості 1) і 2).

Розглянемо правильну область V, обмежену знизу та зверху поверхнями z=χ(x,y) та z=ψ(x,y) та проектовану на площину Оху у правильну область D, усередині якої х змінюється в межах від а до b, обмежену кривими y=φ1(x) та y=φ2(x) (рис.1). Задамо в області V безперервну функцію f(x, y, z).

Визначення 9.2. Назвемо триразовим інтегралом від функції f(x, y, z) по області V вираз виду:

Триразовий інтеграл має ті ж властивості, що і дворазовий. Перерахуємо їх без підтвердження, оскільки вони доводяться аналогічно випадку дворазового інтеграла.

Обчислення потрійного інтегралу.

Теорема 9.1. Потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) правильної області V дорівнює триразовому інтегралу по тій же області:

. (9.3)

Доведення.

Розіб'ємо область V площинами, паралельними координатним площинам, на п правильних областей . Тоді з властивості 1 випливає, що

де – триразовий інтеграл від функції f(x,y,z) в області .

Використовуючи формулу (9.2), попередню рівність можна переписати у вигляді:

З умови безперервності функції f(x,y,z) випливає, що межа інтегральної суми, що стоїть у правій частині цієї рівності, існує і дорівнює потрійному інтегралу. Тоді, переходячи до межі при , отримаємо:

що і потрібно було довести.

Зауваження.

Аналогічно випадку подвійного інтеграла можна довести, що зміна порядку інтегрування не змінює значення триразового інтеграла.

приклад. Обчислимо інтеграл де V - трикутна піраміда з вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) та (0, 0, 1). Її проекцією на площину Оху є трикутник із вершинами (0, 0), (1, 0) та (0, 1). Знизу область обмежена площиною z = 0, а зверху – площиною x + y + z = 1. Перейдемо до триразового інтегралу:

Множники, які не залежать від змінної інтегрування, можна винести за знак відповідного інтегралу:

Криволінійні системи координат у тривимірному просторі.

1. Циліндрична система координат.

Циліндричні координати точки Р(ρ,φ,z) – це полярні координати ρ, φ проекції цієї точки на площину Оху та аплікату даної точки z (рис.2).

Формули переходу від циліндричних координат до декартових можна задати так:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Сферична система координат.

У сферичних координатах положення точки в просторі визначається лінійною координатою ρ - відстанню від точки до початку декартової системи координат (або полюса сферичної системи), φ - полярним кутом між позитивною піввіссю Ох і проекцією точки на площину Оху, і θ - кутом між позитивною піввіссю осі Оz та відрізком OP (рис.3). При цьому

Задамо формули переходу від сферичних координат до декартових:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Якобіан та його геометричний зміст.

Розглянемо загальний випадок заміни змінних у подвійному інтегралі. Нехай у площині Оху дана область D, обмежена лінією L. Припустимо, що х і у є однозначними та безперервно диференційованими функціями нових змінних u та v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Розглянемо прямокутну систему координат Оuv, точка Р(u, v) якої відповідає точці Р(х, у) з області D. Всі такі точки утворюють у площині Оuv область D, обмежену лінією L?. Можна сказати, що формули (9.6) встановлюють взаємно однозначну відповідність між точками областей D і D. При цьому лініям u = const та

v = const у площині Оuv будуть відповідати деякі лінії у площині Оху.

Розглянемо в площині Оuv прямокутний майданчик ΔS, обмежений прямими u = const, u+Δu = const, v = const і v+Δv = const. Їй відповідатиме криволінійний майданчик ΔS у площині Оху (рис.4). Площі аналізованих майданчиків теж будемо позначати ΔS і ΔS. При цьому ΔS = Δu Δv. Знайдемо площу ΔS. Позначимо вершини цього криволінійного чотирикутника Р1, Р2, Р3, Р4 де

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Замінимо малі збільшення Δu і Δv відповідними диференціалами. Тоді

При цьому чотирикутник Р1 Р2 Р3 Р4 можна вважати паралелограмом та визначити його площу за формулою з аналітичної геометрії:

(9.7)

Визначення 9.3. Визначник називається функціональним визначником або якобіаном функцій φ(х, у) та ψ(х, у).

Переходячи до межі при рівності (9.7), отримаємо геометричний зміст якобіана:

тобто модуль якобіана є межа відношення площ нескінченно малих майданчиків S і S.

Зауваження. Аналогічним чином можна визначити поняття якобіана та його геометричний зміст для п-мірного простору: якщо x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), то

(9.8)

При цьому модуль якобіана дає межу відношення "обсягів" малих областей просторів х1, х2, ..., хп і u1, u2, ..., un.

Заміна змінних у кратних інтегралах.

Досліджуємо загальний випадок заміни змінних з прикладу подвійного інтеграла.

Нехай в області D задана безперервна функція z = f(x,y), кожному значенню якої відповідає те саме значення функції z = F(u, v) в області D, де

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Розглянемо інтегральну суму

де інтегральна сума справа береться по області D. Переходячи до межі при отримаємо формулу перетворення координат в подвійному інтегралі.

Потрійні інтеграли. Обчислення об'єму тіла.
Потрійний інтеграл у циліндричних координатах

Три дні в деканаті небіжчик лежав, у штани Піфагора одягнений,
У руках Фіхтенгольця він томик тримав, що зжив його з білого світла,
До ніг прив'язали потрійний інтеграл, і в матрицю обернули труп,
А замість молитви якийсь нахабник прочитав теорему Бернуллі.

Потрійні інтеграли – це те, чого вже можна не боятися =) Бо якщо Ви читаєте цей текст, то швидше за все непогано розібралися з теорією та практикою «звичайних» інтегралів, а також подвійними інтегралами. А там, де подвійний, неподалік і потрійний:

І справді, чого тут боятися? Інтегралом менше, інтегралом більше.

Розбираємось у записі:

– значок потрійного інтегралу;
- Підінтегральна функція трьох змінних;
- Добуток диференціалів.
- Область інтегрування.

Особливо зупинимося на галузі інтегрування. Якщо в подвійному інтегралівона є плоску фігуру, то тут – просторове тіло , яка, як відомо, обмежена безліччю поверхонь. Таким чином, крім вищезгаданого ви повинні орієнтуватися в основних поверхнях просторуі вміти виконувати найпростіші тривимірні креслення.

Деякі засмутилися, розумію…. На жаль, статтю не можна назвати «потрійні інтеграли для чайників», і дещо знати/вміти потрібно. Але нічого страшного – весь матеріал викладений у гранично доступній формі та освоюється у найкоротші терміни!

Що означає обчислити потрійний інтеграл, і що це взагалі таке?

Обчислити потрійний інтеграл – це означає знайти КІЛО:

У найпростішому випадку, коли , потрійний інтеграл чисельно дорівнює обсягу тіла. І дійсно, відповідно до загальним змістом інтегрування, твір одно нескінченно маломуоб'єму елементарної «цеглинки» тіла. А потрійний інтеграл якраз і об'єднує всі ці нескінченно малі частинкипо області , внаслідок чого виходить інтегральне (сумарне) значення об'єму тіла: .

Крім того, потрійний інтеграл має важливі фізичні програми. Але про це пізніше – у 2-й частині уроку, присвяченій обчисленням довільних потрійних інтегралів, у яких функція у випадку відмінна від константи і безперервна у сфері . У цій статті детально розглянемо завдання знаходження обсягу, яка з моєї суб'єктивної оцінці зустрічається у 6-7 разів частіше.

Як вирішити потрійний інтеграл?

Відповідь логічно випливає із попереднього пункту. Необхідно визначити порядок обходу тілаі перейти до повторним інтегралам. Після цього послідовно розправитися з трьома одиночними інтегралами.

Як бачите, вся кухня дуже і дуже нагадує подвійні інтеграли, З тією відмінністю, що зараз у нас додалася додаткова розмірність (грубо кажучи, висота). І, напевно, багато хто з вас уже здогадався, як вирішуються потрійні інтеграли.

Розвіємо сумніви, що залишилися:

Приклад 1

Будь ласка, перепишіть стовпчиком на папір:

І дайте відповідь на наступні питання. Чи знаєте Ви, які поверхні задають ці рівняння? Чи зрозумілий Вам неформальний зміст цих рівнянь? Чи уявляєте Ви, як ці поверхні розташовані в просторі?

Якщо Ви схиляєтеся до загальної відповіді «швидше ні, ніж так», то обов'язково опрацюйте урок, інакше далі не просунутися!

Рішення: використовуємо формулу

Для того, щоб з'ясувати порядок обходу тілаі перейти до повторним інтегралампотрібно (все геніальне просто) зрозуміти, що це тіло. І такому розумінню в багатьох випадках здорово сприяють креслення.

За умовою тіло обмежене кількома поверхнями. З чого почати шикування? Пропоную наступний порядок дій:

Спочатку зобразимо паралельну ортогональнупроекцію тіла на координатну площину. Перший раз сказав, як ця проекція називається, lol =)

Якщо проектування проводиться вздовж осі, то в першу чергу доцільно розібратися з поверхнями, які паралельні до цієї осі. Нагадую, що рівняння таких поверхонь не містять літери «зет». У розглянутому завданні їх три:

- Рівняння задає координатну площину, яка проходить через вісь;
- Рівняння задає координатну площину, яка проходить через вісь;
– рівняння задає площина «плоску» прямупаралельно осі.

Швидше за все, шукана проекція є наступним трикутником:

Можливо, не всі остаточно зрозуміли, про що йдеться. Уявіть, що з екрана монітора виходить вісь і втикається прямо у ваш перенісся ( тобто. виходить, що ви дивитеся на 3-мірний креслення зверху). Досліджуване просторове тіло знаходиться в нескінченному тригранному «коридорі» і його проекція на площину найімовірніше є заштрихованим трикутником.

Звертаю особливу увагу, що поки що ми висловили лише припущення про проекціюі застереження «найшвидше», «найімовірніше» були випадкові. Справа в тому, що проаналізовані ще не всі поверхні і може статися так, що якась із них «відтяпає» частину трикутника. Як наочний приклад напрошується сфераз центром на початку координат радіусом меншим одиниці, наприклад, сфера – її проекція на площину (коло ) не повністю «накриє» заштриховану область, і підсумкова проекція тіла буде зовсім не трикутником (коло «зріже» йому гострі кути).

З другого краю етапі з'ясовуємо, чим тіло обмежене зверху, ніж знизу і виконуємо просторовий креслення. Повертаємося до умови завдання та дивимося, які поверхні залишилися. Рівняння задає саму координатну площину, а рівняння – параболічний циліндр, розташований надплощиною і проходить через вісь. Таким чином, проекція тіла дійсно є трикутником.

До речі, тут виявилася надмірністьумови - в нього було не обов'язково включати рівняння площини, оскільки поверхня, торкаючись осі абсцис, і так замикає тіло. Цікаво відзначити, що в цьому випадку ми б не одразу змогли накреслити проекцію – трикутник «прорисувався» лише після аналізу рівняння .

Акуратно зобразимо фрагмент параболічного циліндра:

Після виконання креслень з порядком обходу тіланіяких проблем!

Спочатку визначимо порядок обходу проекції (при цьому НАЙЗручніше орієнтуватися за двовимірним кресленням).Це робиться АБСОЛЮТНО ТАК Ж, як і в подвійних інтегралах! Згадуємо лазерну указкута сканування плоскої області. Виберемо «традиційний» 1-й спосіб обходу:

Далі беремо в руки чарівний ліхтарик, дивимося на тривимірне креслення і строго знизу нагорупросвічуємо пацієнта. Промені входять у тіло через площину і виходять із нього через поверхню. Таким чином, порядок обходу тіла:

Перейдемо до повторних інтегралів:

1) Почати слід із «зетового» інтегралу. Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

Підставимо результат у «ігровий» інтеграл:

Що вийшло? По суті, рішення звелося до подвійного інтегралу, і саме – до формули. об'єму циліндричного бруса! Подальше добре знайоме:

2)

Зверніть увагу на раціональну техніку вирішення 3-го інтегралу.

Відповідь:

Обчислення завжди можна записати і «одним рядком»:


Але з цим способом будьте обережнішими – виграш у швидкості загрожує втратою якості, і чим важчий приклад, тим більше шансів припуститися помилки.

Відповімо на важливе питання:

Чи потрібно робити креслення, якщо умова завдання не потребує їх виконання?

Можна піти чотирма шляхами:

1) Зобразити проекцію та саме тіло. Це найвиграшніший варіант - якщо є можливість виконати два пристойних креслення, не лінуйтеся, робіть обидва креслення. Рекомендую насамперед.

2) Зобразити лише тіло. Годиться, коли у тіла нескладна та очевидна проекція. Так, наприклад, у розібраному прикладі вистачило б і тривимірного креслення. Однак тут є й мінус – по 3D-картинці незручно визначати порядок обходу проекції, і цей спосіб я радив би тільки людям з хорошим рівнем підготовки.

3) Зобразити лише проекцію. Теж непогано, але обов'язкові додаткові письмові коментарі, ніж обмежена область з різних сторін. На жаль, третій варіант часто буває вимушеним – коли тіло занадто велике чи його побудова пов'язані з іншими труднощами. І такі приклади ми також розглянемо.

4) Обійтися взагалі без креслень. У цьому випадку потрібно представляти тіло подумки і закоментувати його форму/розташування письмово. Підходить для дуже простих тіл чи завдань, де виконання обох креслень важко. Але все ж таки краще зробити хоча б схематичний малюнок, оскільки «голе» рішення можуть і забракувати.

Наступне тіло для самостійної справи:

Приклад 2

За допомогою потрійного інтегралу обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями

У даному випадкуобласть інтегрування задана переважно нерівностями, і це навіть краще – безліч нерівностей задає 1-й октант, включаючи координатні площини, а нерівність – напівпростір, що містить початок координат (перевірте)+ саму площину. «Вертикальна» площина розтинає параболоїд параболою і на кресленні бажано побудувати даний перетин. Для цього потрібно знайти додаткову опорну точку, найпростіше – вершину параболи. (Розглядаємо значення і розраховуємо відповідне «зет»).

Продовжуємо розминатися:

Приклад 3

Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об'єм тіла обмеженого зазначеними поверхнями. Виконати креслення.

Рішення: формулювання "виконати креслення" дає нам деяку свободу, але, швидше за все, передбачає виконання просторового креслення. Однак і проекція теж не завадить, тим більше вона тут не найпростіша.

Дотримуємося відпрацьованої раніше тактики - спочатку розберемося з поверхнями, які паралельні осі аплікату. Рівняння таких поверхонь не містять явно змінну «зет»:

- Рівняння задає координатну площину, що проходить через вісь ( яка на площині визначається «одноіменним» рівнянням );
– рівняння задає площина, що проходить через «одноіменну» «плоску» прямупаралельно осі.

Тело, що шукається, обмежене площиною знизу і параболічним циліндромзверху:

Складемо порядок обходу тіла, при цьому «іксові» та «ігрокові» межі інтегрування, нагадую, зручніше з'ясовувати за двовимірним кресленням:

Таким чином:

1)

При інтегруванні за «ігроком» – «ікс» вважається константою, тому константу доцільно відразу винести за знак інтеграла.

3)

Відповідь:

Так, мало не забув, здебільшого отриманий результат малокорисно (і навіть шкідливо) звіряти з тривимірним кресленням, оскільки з великою ймовірністю виникне ілюзія обсягу, Про яку я розповів ще на уроці Об'єм тіла обертання. Так, оцінюючи тіло розглянутого завдання, особисто мені здалося, що в ньому набагато більше 4 «кубиків».

Наступний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об'єм тіла обмеженого зазначеними поверхнями. Зробити креслення даного тіла та його проекції на площину.

Зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Не рідкість, коли виконання тривимірного креслення утруднене:

Приклад 5

За допомогою потрійного інтеграла знайти об'єм тіла, заданого поверхнями, що обмежують його.

Рішення: проекція тут нескладна, але над порядком її обходу треба подумати Якщо вибрати 1-й спосіб, то фігуру доведеться розділити на 2 частини, що неілюзорно загрожує обчисленням суми двохпотрійних інтегралів. У цьому набагато перспективніше виглядає другий шлях. Виразимо та зобразимо проекцію даного тіла на кресленні:

Перепрошую за якість деяких картинок, я їх вирізаю прямо з власних рукописів.

Вибираємо більш вигідний порядок обходу фігури:

Тепер справа за тілом. Знизу воно обмежене площиною, зверху – площиною, яка проходить через вісь ординат. І все б було нічого, але остання площина занадто крута і побудувати область не так просто. Вибір тут незавидний: або ювелірна робота в дрібному масштабі (бо тіло досить тонке), або креслення висотою близько 20 сантиметрів (та й те, якщо вміститься).

Але є і третій, споконвічно російський метод вирішення проблеми – забити =) А замість тривимірного креслення обійтися словесним описом: «Це тіло обмежене циліндрами і площиною збоку, площиною – знизу та площиною – зверху».

«Вертикальні» межі інтегрування, очевидно, такі:

Обчислимо об'єм тіла, не забуваючи, що проекцію ми обійшли менш поширеним способом:

1)

Відповідь:

Як ви помітили, пропоновані в завданнях тіла не дорожчі за сотню баксів часто обмежені площиною знизу. Але це не є якесь правило, тому завжди потрібно бути напоготові – може потрапити завдання, де тіло розташоване і підплощиною. Так, наприклад, якщо в розібраному завданні замість розглянути площину, то досліджене тіло симетрично відобразиться в нижній напівпростір і буде обмежено площиною знизу, а площиною вже зверху!

Легко переконатися, що вийде той самий результат:

(Пам'ятаємо, що тіло потрібно обходити строго знизу нагору!)

Крім того, "улюблена" площина може виявитися взагалі не при справах, найпростіший приклад: куля, розташована вище площини - при обчисленні його обсягу рівняння не знадобиться взагалі.

Всі ці випадки ми розглянемо, а поки що аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 6

За допомогою потрійного інтегралу знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Переходимо до другого параграфу з не менш популярними матеріалами:

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах

Циліндричні координати - це, по суті, полярні координатив просторі.
У циліндричній системі координат положення точки простору визначається полярними координатами і точки – проекції точки на площину та аплікати самої точки.

Перехід від тривимірної декартової системи до циліндричної системи координат здійснюється за такими формулами:

Стосовно нашої теми перетворення виглядає так:

І, відповідно, у спрощеному випадку, який ми розглядаємо у цій статті:

Головне, не забувати про додатковий множник «ер» та правильно розставляти полярні межі інтегруванняпри обході проекції:

Приклад 7

Рішення: дотримуємося того ж порядку дій: насамперед розглядаємо рівняння, в яких відсутня змінна «зет» Воно тут одне. Проекція циліндричної поверхніна площину є «одноіменною» коло .

Площини обмежують шукане тіло знизу і зверху («висікають» його з циліндра) і проектуються в коло:

На черзі тривимірне креслення. Основна труднощі полягає в побудові площини, яка перетинає циліндр під «косим» кутом, внаслідок чого виходить еліпс. Уточнимо цей переріз аналітично: для цього перепишемо рівняння площини у функціональному вигляді і обчислимо значення функції («висота») в точках, що напрошуються , які лежать на межі проекції:

Відзначаємо знайдені точки на кресленні та акуратно (а не так, як я =))з'єднуємо їх лінією:

Проекція тіла на площину є коло, і це вагомий аргумент на користь переходу до циліндричної системи координат:

Знайдемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах:

Тепер слід з'ясувати порядок обходу тіла.

Спочатку розберемося із проекцією. Як визначити її порядок обходу? Точно так, як і при обчисленні подвійних інтегралів у полярних координатах. Тут він елементарний:

"Вертикальні" межі інтегрування теж очевидні - входимо в тіло через площину і виходимо з нього через площину:

Перейдемо до повторних інтегралів:

При цьому множник "ер" відразу ставимо в "свій" інтеграл.

Віник як завжди легше зламати по прутикам:

1)

Зносимо результат у наступний інтеграл:

А тут не забуваємо, що фі вважається константою. Але це до певного часу:

Відповідь:

Подібне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 8

Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об'єм тіла обмеженого поверхнями . Виконати креслення даного тіла та його проекції на площину.

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Зверніть увагу, що в умовах задач жодного слова не сказано про перехід до циліндричної системи координат, і необізнана людина буде боротися з важкими інтегралами в декартових координатах. …А може й не буде – адже є третій, споконвічно російський спосіб вирішення проблем.

Все тільки починається! …в хорошому сенсі: =)

Приклад 9

За допомогою потрійного інтегралу знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями

Скромно та зі смаком.

Рішення: це тіло обмежене конічною поверхнеюі еліптичним параболоїдом. Читачі, які уважно ознайомились із матеріалами статті Основні поверхні простору, вже представили, як виглядає тіло, але на практиці часто трапляються складніші випадки, тому я проведу докладну аналітичну мірку.

Спочатку знайдемо лінії, якими перетинаються поверхні. Складемо і вирішимо таку систему:

З 1-го рівняння почленно віднімемо друге:

В результаті отримано два корені:

Підставимо знайдене значення будь-яке рівняння системи:
звідки випливає, що
Отже, кореню відповідає єдина точка – початок координат. Природно – адже вершини цих поверхонь збігаються.

Тепер підставимо другий корінь – теж у будь-яке рівняння системи:

Який геометричний зміст отриманого результату? «На висоті» (у площині) параболоїд і конус перетинаються по кола- одиничного радіусу з центром у точці.

При цьому «чаша» параболоїда вміщує «воронку» конуса, тому утворюютьконічної поверхні слід прокреслити пунктиром (за винятком відрізка далекої від нас твірної, що видно з даного ракурсу):

Проекцією тіла на площину є колоз центром на початку координат радіуса 1, який я навіть не спромігся зобразити через очевидність даного факту (проте письмовий коментар робимо!). До речі, у двох попередніх завданнях на креслення проекції теж можна було б забити, якби не умова.

При переході до циліндричних координат за стандартними формулами нерівність запишеться у найпростішому вигляді та з порядком обходу проекції жодних проблем:

Знайдемо рівняння поверхонь у циліндричній системі координат:

Так як у задачі розглядається верхня частина конуса, то з рівняння виражаємо:

"Скануємо тіло" знизу вгору. Промені світла входять до нього через еліптичний параболоїді виходять через конічну поверхню. Таким чином, «вертикальний» порядок обходу тіла:

Інша справа техніки:

Відповідь:

Не рідкість, коли тіло задається не обмежують його поверхнями, а безліччю нерівностей:

Приклад 10

Геометричний змістпросторових нерівностей я докладно роз'яснив у тій же довідковій статті. Основні поверхні простору та їх побудова.

Це завдання хоч і містить параметр, але допускає виконання точного креслення, що відбиває важливий вид тіла. Подумайте, як виконати побудову. Коротке рішення та відповідь – наприкінці уроку.

…ну що, ще кілька завдань? Думав закінчити урок, але так і відчуваю, що ви хочете ще =)

Приклад 11

За допомогою потрійного інтеграла обчислити об'єм заданого тіла:
, Де - Довільне позитивне число.

Рішення: нерівність задає кулю з центром на початку координат радіусу, а нерівність - «Внутрішність» кругового циліндра з віссю симетрії радіуса. Таким чином, тіло, що шукається, обмежене круговим циліндром збоку і симетричними щодо площини сферичними сегментами зверху і знизу.

Приймаючи за базову одиницю виміру, виконаємо креслення:

Точніше, його слід назвати малюнком, оскільки пропорції по осі я витримав не дуже добре. Проте, заради справедливості, за умовою взагалі не потрібно було нічого креслити і такої ілюстрації виявилося цілком достатньо.

Зверніть увагу, що тут не обов'язково з'ясовувати висоту, на якій циліндр висікає з кулі "шапки" - якщо взяти в руки циркуль і намітити їм коло з центром на початку координат радіусу 2 см, то точки перетину з циліндром вийдуть самі собою.

1. Циліндричні координати являють собою з'єднання полярних координат у площині xy із звичайною декартовою аплікатою z (рис. 3).

Нехай M(x, y, z) – довільна точка у просторі xyz, P – проекція точки M на площину xy. Точка M однозначно визначається трійкою чисел - полярні координати точки P, z - апліката точки M. Формули, що зв'язують їх із декартовими, мають вигляд

Якобіан відображення (8)

Приклад 2.

Обчислити інтеграл

де T - область, обмежена поверхнями

Рішення. Перейдемо в інтегралі до сферичних координат за формулами (9). Тоді область інтегрування можна поставити нерівностями

А значить,

Приклад 3Знайти об'єм тіла, обмеженого:

x 2 +y 2 +z 2 =8,

Маємо: x 2 +y 2 +z 2 =8 - сфера радіусу R = v8 з центром у точці O(000),

Верхня частина конуса z2 = x2+y2 з віссю симетрії Оz і вершиною в точці O (рис. 2.20).

Знайдемо лінію перетину сфери та конуса:

І оскільки за умовою z? 0, то

Окружність R=2, що лежить у площині z=2.

Тому згідно (2.28)

де область U обмежена зверху

(частина сфери),

(Частина конуса);

область U проектується на площині Оху область D - коло радіуса 2.

Отже, доцільно перейти в потрійному інтегралі до циліндричних координат, використовуючи формули (2.36):

Межі зміни ц, r знаходимо по ділянці D v повне коло R=2 з центром у точці О, тим самим: 0?ц?2р, 0?r?2. Таким чином, область U в циліндричних координатах визначається наступними нерівностями:

Зауважимо, що

Завантажити з Depositfiles

Потрійний інтеграл.

Контрольні питання.

Потрійний інтеграл, його властивості.

Заміна змінних у потрійному інтегралі. Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних координатах.

Обчислення потрійного інтеграла у сферичних координатах.

Нехай функція u= f(x,y,z) визначена в обмеженій замкнутій області Vпростору R 3 . Розіб'ємо область Vдовільним чином на nелементарних замкнутих областей V 1 , … ,V n, що мають обсяги  V 1 , …,  V nвідповідно. Позначимо d– найбільший із діаметрів областей V 1 , … ,V n. У кожній області V kвиберемо довільну точку P k (x k , y k ,z k)і складемо інтегральну сумуфункції f(x, y,z)

S =

Визначення.Потрійним інтеграломвід функції f(x, y,z) по області Vназивається межа інтегральної суми
якщо він існує.

Таким чином,

(1)

Зауваження.Інтегральна сума Sзалежить від способу розбиття області V та вибору точок P k (k=1, …, n). Однак, якщо існує межа, то вона не залежить від способу розбиття області Vта вибору точок P k. Якщо порівняти визначення подвійного та потрійного інтегралів, то легко побачити в них повну аналогію.

Достатня умова існування потрійного інтегралу.Потрійний інтеграл (13) існує, якщо функція f(x, y,z) обмежена в Vі безперервна в V, за винятком кінцевого числа кусково-гладких поверхонь, розташованих у V.

Деякі властивості потрійного інтегралу.

1) Якщо З- Чисельна константа, то

3) Адитивність по області. Якщо область V розбита на області V 1 і V 2 , то

4) Обсяг тіла Vдорівнює

(2 )

Обчислення потрійного інтеграла у декартових координатах.

Нехай D проекція тіла Vна площину xOy, поверхні z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) обмежують тіло Vзнизу та зверху відповідно. Це означає що

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Таке тіло назвемо z-Циліндрічним. Потрійний інтеграл (1) z-циліндричному тілу Vобчислюється переходом до повторного інтегралу, що складається з подвійного та певного інтегралів:

(3 )

У цьому повторному інтегралі спочатку обчислюється внутрішній певний інтеграл змінної z, при цьому x, yвважаються незмінними. Потім обчислюється подвійний інтегралвід отриманої функції по області D.

Якщо V x-циліндричне або y-циліндричне тіло, то вірні відповідно до формули

У першій формулі D  проекція тіла Vна координатну площину yOz, а в другій – на площину xOz

приклади. 1) Обчислити обсяг тіла V, обмеженого поверхнями z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Рішення. Обчислимо обсяг за допомогою потрійного інтеграла за формулою (2)

Перейдемо до повторного інтеграла за формулою (3).

Нехай D коло x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 + y 2 . Тоді за формулою (3) отримаємо

Для обчислення цього інтегралу перейдемо до полярних координат. При цьому коло Dперетворюється на безліч

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Тіло V обмежено поверхнями z=y , z = -y , x= 0 , x= 2, y= 1. Обчислити

Площини z = y , z = -yобмежують тіло відповідно знизу і зверху, площині x= 0 , x= 2 обмежують тіло відповідно ззаду та спереду, а площина y= 1 обмежує праворуч. V -z-циліндричне тіло, його проекцією Dна площину хОує прямокутник ОАВС. Покладемо φ 1 (x , y ) = -y

Перетворення подвійного інтеграла від прямокутних координат до полярних координат
, пов'язаних із прямокутними координатами співвідношеннями
,
, здійснюється за формулою

Якщо область інтегрування
обмежена двома променями
,
(
), що виходять з полюса, та двома кривими
і
, то подвійний інтеграл обчислюють за формулою

.

приклад 1.3.Обчислити площу фігури, обмеженою даними лініями:
,
,
,
.

Рішення.Для обчислення площі області
скористаємося формулою:
.

Зобразимо область (Рис. 1.5). Для цього перетворюємо криві: , , , . Перейдемо до полярних координат: , . . У полярній системі координат область описується рівняннями:

.

1.2. Потрійні інтеграли

Основні властивості потрійних інтегралів аналогічні властивостям подвійних інтегралів.

У декартових координатах потрійний інтеграл зазвичай записують так:

.

Якщо
, то потрійний інтеграл по області чисельно дорівнює об'єму тіла :

.

Обчислення потрійного інтегралу

Нехай область інтегрування обмежена знизу та зверху відповідно однозначними безперервними поверхнями
,
, причому проекція області на координатну площину
є плоска область
(Рис. 1.6).

Тоді при фіксованих значеннях відповідні аплікати точок області змінюються у межах. Тоді отримуємо: . Якщо, крім того, проекція визначається нерівностями , , де - однозначні безперервні функціїна , то

.

приклад 1.4.Обчислити
, де - тіло, обмежене площинами:

	, , , ( , , ). Рішення.Областю інтегрування є піраміда (рис. 1.7). Проекція області є трикутник , обмежений прямими , , (Рис. 1.8). При аплікати точок задовольняють нерівності тому .
	Розставляючи межі інтегрування для трикутника , отримаємо

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах

При переході від декартових координат
до циліндричних координат
(рис. 1.9), пов'язаних з
співвідношеннями
,
,
, причому

	, ,, потрійний інтеграл перетворюється на: приклад 1.5.Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями: , , . Рішення.Об'єм тіла, що шукається дорівнює .
	Області інтегрування є частиною циліндра, обмеженого знизу площиною. , а зверху площиною (Рис. 1.10). Проекція області є коло з центром на початку координат та одиничним радіусом. Перейдемо до циліндричних координат. , , . При аплікати точок , задовольняють нерівності або в циліндричних координатах:

Область
, обмежена кривою
, набуде вигляду, або
при цьому полярний кут
. У результаті маємо

.

2. Елементи теорії поля

Нагадаємо попередньо способи обчислення криволінійних та поверхневих інтегралів.

Обчислення криволінійного інтеграла за координатами від функцій, визначених на кривій , зводиться до обчислення певного інтегралу виду

якщо крива задана параметрично
відповідає початковій точці кривої , а
- Її кінцевої точки.

Обчислення поверхневого інтегралу від функції
, визначеної на двосторонній поверхні , зводиться до обчислення подвійного інтеграла, наприклад, виду

,

якщо поверхня , задана рівнянням
, однозначно проектується на площину
в область
. Тут - кут між одиничним вектором нормалі до поверхні і віссю
:

.

Потрібна умовами завдання сторона поверхні визначається вибором відповідного знака у формулі (2.3).

Визначення 2.1. Векторне поле
називається векторна функція точки
разом із областю її визначення:

Векторне поле
характеризується скалярною величиною – дивергенцією:

Визначення 2.2. потоком векторного поля
через поверхню називається поверхневий інтеграл:

,

де - одиничний вектор нормалі до вибраної сторони поверхні , а
- скалярний добуток векторів і .

Визначення 2.3. Циркуляцією векторного поля

по замкнутою кривою називається криволінійний інтеграл

,

де
.

Формула Остроградського-Гаусса встановлює зв'язок між потоком векторного поля через замкнуту поверхню та дивергенцією поля:

де - Поверхня, обмежена замкнутим контуром , а - Поодинокий вектор нормалі до цієї поверхні. Напрямок нормалі має бути узгоджений із напрямом обходу контуру .

приклад 2.1.Обчислити поверхневий інтеграл

,

де - Зовнішня частина конуса
(
), що відсікається площиною
(Рис 2.1).

Рішення.Поверхня однозначно проектується в область
площині
, та інтеграл обчислюється за формулою (2.2).

Поодинокий вектор нормалі до поверхні знайдемо за формулою (2.3): . Тут для нормалі вибрано знак плюс, оскільки кут між віссю та нормаллю - тупий і, отже, має бути негативним. Враховуючи що , на поверхні отримуємо

Область
є коло
. Тому в останньому інтегралі переходимо до полярних координат, при цьому
,
:

приклад 2.2.Знайти дивергенцію та ротор векторного поля
.

Рішення.За формулою (2.4) отримуємо

Ротор цього векторного поля знаходимо за формулою (2.5)

приклад 2.3.Знайти потік векторного поля
через частину площини :
, розташовану у першому октанті (нормаль утворює гострий кут із віссю
).

	Рішення.У силу формули (2.6) . Зобразимо частину площини : , розташовану у першому октанті. Рівняння даної площини у відрізках має вигляд (Рис. 2.3). Вектор нормалі до площини має координати: , одиничний вектор нормалі
	. . , , звідки , отже,

де
- проекція площини на
(Рис. 2.4).

Приклад 2.4.Обчислити потік векторного поля через замкнуту поверхню , утворену площиною
та частиною конуса
(
) (рис. 2.2).

Рішення.Скористаємося формулою Остроградського-Гаусса (2.8)

.

Знайдемо дивергенцію векторного поля за формулою (2.4):

де
- обсяг конуса, яким ведеться інтегрування. Скористайтеся відомою формулою для обчислення об'єму конуса
(- радіус основи конуса, - Його висота). У нашому випадку отримуємо
. Остаточно отримуємо

.

приклад 2.5.Обчислити циркуляцію векторного поля
по контуру , утвореному перетином поверхонь
і
(
). Перевірити результат за формулою Стокс.

Рішення.Перетином зазначених поверхонь є коло
,
(Рис. 2.1). Напрямок обходу вибирається зазвичай те щоб обмежена ним область залишалася зліва. Запишемо параметричні рівняння контуру :

звідки

причому параметр змінюється від до
. За формулою (2.7) з урахуванням (2.1) та (2.10) отримуємо

.

Застосуємо тепер формулу Стокса (2.9). Як поверхня , натягнутою на контур , можна взяти частину площини
. Напрямок нормалі
до цієї поверхні узгоджується з напрямом обходу контуру . Ротор цього векторного поля обчислений у прикладі 2.2:
. Тому шукана циркуляція

де
- площа області
.
- коло радіусу
, звідки