Об'єм тіла, одержаного обертанням арки циклоїди. Як обчислити об'єм тіла обертання за допомогою певного інтегралу? Обчислення площі фігури обмеженою лініями, заданими параметрично

Лекції 8. Програми певного інтеграла.

Додаток інтеграла до фізичних завдань ґрунтується на властивості адитивності інтеграла за безліччю. Тому за допомогою інтегралу можуть обчислюватися такі величини, які самі адитивні по множині. Наприклад, площа фігури дорівнює сумі площ її частин Довжина дуги, площа поверхні, об'єм тіла, маса тіла мають ту ж властивість. Тому ці величини можна обчислювати з допомогою певного інтеграла.

Можна використовувати два методи розв'язання задач: метод інтегральних сум та метод диференціалів.

Метод інтегральних сум повторює конструкцію певного інтеграла: будується розбиття, відзначаються точки, у яких обчислюється функція, обчислюється інтегральна сума, виробляється граничний перехід. У цьому вся методі основна складність – довести, що у межі вийде саме те, що потрібно завдання.

Метод диференціалів використовує невизначений інтегралта формулу Ньютона – Лейбніца. Обчислюють диференціал величини, яку треба визначити, та був, інтегруючи цей диференціал, за формулою Ньютона – Лейбніца отримують необхідну величину. У цьому вся методі основна складність – довести, що обчислено саме диференціал потрібної величини, а чи не що інше.

Обчислення площ плоских фігур.

1. Фігура обмежена графіком функції, заданої декартової системі координат.

Ми дійшли поняття певного інтеграла від завдання площі криволінійної трапеції (фактично, використовуючи метод інтегральних сум). Якщо функція приймає тільки не від'ємні значеннято площа під графіком функції на відрізку може бути обчислена за допомогою певного інтеграла. Зауважимо, що тому тут можна побачити метод диференціалів.

Але функція може на деякому відрізку приймати і негативні значення, тоді інтеграл цього відрізку даватиме негативну площу, що суперечить визначенню площі.

Можна обчислювати площу за формулоюS=. Це рівнозначно зміні знака функції у тих областях, у яких вона набуває негативних значень.

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженою зверху графіком функції, а знизу графіком функції, то можна користуватися формулоюS= , так як .

приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої прямими x=0, x=2 та графіками функцій y=x 2 , y=x 3 .

Зауважимо, що у інтервалі (0,1) виконано нерівність x 2 > x 3 , а при x >1 виконано нерівність x 3 > x 2 . Тому

2. Фігура обмежена графіком функції, заданої в системі полярної координат.

Нехай графік функції заданий у полярній системі координат і ми хочемо обчислити площу криволінійного сектора, обмеженого двома променями та графіком функції у полярній системі координат.

Тут можна використовувати метод інтегральних сум, обчислюючи площу криволінійного сектора як межу суми площ елементарних секторів, у яких графік функції замінено дугою кола .

Можна використовувати метод диференціалів: .

Міркувати можна так. Замінюючи елементарний криволінійний сектор, який відповідає центральному куту круговим сектором, маємо пропорцію . Звідси . Інтегруючи та використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, отримуємо .

приклад. Обчислимо площу кола (перевіримо формулу). Вважаємо. Площа кола дорівнює .

приклад. Обчислимо площу, обмежену кардіоїдою .

3 Фігура обмежена графіком функції, заданої параметрами.

Функція може бути задана параметрично як . Використовуємо формулу S= , підставляючи у ній межі інтегрування за нової змінної . . Зазвичай при обчисленні інтеграла виділяють ті області, де підінтегральна функція має певний знак і враховують відповідну площу з тим чи іншим знаком.

приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом.

Використовуємо симетрію еліпса, обчислимо площу чверті еліпса, що у першому квадранті. У цьому квадранті. Тому.

Обчислення обсягів тел.

1. Обчислення обсягів тіл за площами паралельних перерізів.

Нехай потрібно обчислити об'єм деякого тіла V за відомими площами перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до прямої OX, проведеними через будь-яку точку x відрізка прямої OX.

Застосуємо метод диференціалів. Вважаючи елементарний об'єм, над відрізком об'ємом прямого кругового циліндра з площею основи та висотою, отримаємо . Інтегруючи та застосовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, отримаємо

2. Обчислення обсягів тіл обертання.

Нехай потрібно вирахувати OX.

Тоді .

Аналогічно, об'єм тіла обертання навколо осіOYякщо функція задана у вигляді, можна обчислити за формулою.

Якщо функція задана у вигляді та потрібно визначити об'єм тіла обертання навколо осіOYформулу для обчислення обсягу можна отримати наступним чином.

Переходячи до диференціала та нехтуючи квадратичними членами, маємо . Інтегруючи та застосовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, маємо .

приклад. Обчислити обсяг кулі.

приклад. Обчислити об'єм прямого кругового конуса, обмеженого поверхнею та площиною .

Обчислимо об'єм, як об'єм тіла обертання, утвореного обертанням навколо осі OZ прямокутного трикутника в площині OXZ, катети якого лежать на осі OZ і пряма z = H , а гіпотенуза лежить на прямій .

Виражаючи x через z, отримаємо .

Обчислення довжини дуги.

Щоб отримати формули для обчислення довжини дуги, згадаємо виведені в 1 семестрі формули для диференціала довжини дуги.

Якщо дуга є графіком безперервно диференційованої функції, диференціал довжини дуги можна обчислити за формулою

. Тому

Якщо гладка дуга задана параметрично, то

. Тому .

Якщо дуга задана у полярній системі координат, то

. Тому .

приклад. Розрахувати довжину дуги графіка функції, . .

Перш ніж перейти до формул площі поверхні обертання, дамо коротке формулювання самої поверхні обертання. Поверхня обертання, або, що те саме - поверхня тіла обертання - просторова фігура, утворена обертанням відрізка ABкривою навколо осі Ox(Рисунок нижче).

Уявімо криволінійну трапецію, обмежену зверху згаданим відрізком кривої. Тіло, утворене обертанням цієї трапеції навколо тієї ж осі Oxі є тіло обертання. А площа поверхні обертання або поверхні тіла обертання - це його зовнішня оболонка, не рахуючи кіл, утворених обертанням навколо осі прямих x = aі x = b .

Зауважимо, що тіло обертання і, відповідно, його поверхня можуть бути утворені також обертанням фігури не навколо осі. Ox, а навколо осі Ой.

Обчислення площі поверхні обертання, заданої у прямокутних координатах

Нехай у прямокутних координатах на площині рівнянням y = f(x) задана крива, обертанням якої навколо координатної осі утворено тіло обертання.

Формула для обчислення площі поверхні обертання:

(1).

приклад 1.Знайти площу поверхні параболоїда, утворену обертанням навколо осі Oxдуги параболи , що відповідає зміні xвід x= 0 до x = a .

Рішення. Виразимо явно функцію, яка задає дугу параболи:

Знайдемо похідну цієї функції:

Перш ніж скористатися формулу для знаходження площі поверхні обертання, напишемо ту частину її підінтегрального виразу, яка є коренем і підставимо туди знайдену тільки похідну:

Відповідь: довжина дуги кривої дорівнює

.

приклад 2.Знайти площу поверхні, що утворюється обертанням навколо осі Oxастроїди.

Рішення. Достатньо обчислити площу поверхні, що виходить від обертання однієї гілки астроіди, розташованої в першій чверті, і помножити її на 2. З рівняння астроіди виразимо явно функцію, яку нам потрібно буде підставити у формулу для знаходження площі повержності обертання:

.

Виробляємо інтегрування від 0 до a:

Обчислення площі поверхні обертання, заданої параметрично

Розглянемо випадок, коли крива, що утворює поверхню обертання, задана параметричними рівняннями

Тоді площа поверхні обертання обчислюється за формулою

(2).

приклад 3.Знайти площу поверхні обертання, утвореної обертанням навколо осі Ойфігури, обмеженою циклоїдою та прямою y = a. Циклоїда задана параметричними рівняннями

Рішення. Знайдемо точки перетину циклоїди та прямої. Прирівнюючи рівняння циклоїди та рівняння прямої y = a, знайдемо

З цього випливає, що межі інтегрування відповідають

Тепер можемо застосувати формулу (2). Знайдемо похідні:

Запишемо підкорене вираз у формулі, підставляючи знайдені похідні:

Знайдемо корінь із цього виразу:

.

Підставимо знайдене у формулу (2):

.

Зробимо підстановку:

І, нарешті, знаходимо

У перетворенні виразів були використані тригонометричні формули

Відповідь: площа поверхні обертання дорівнює.

Обчислення площі поверхні обертання, заданої у полярних координатах

Нехай крива, обертанням якої утворена поверхня, задана у полярних координатах.

Як і для завдання знаходження площі, потрібні впевнені навички побудови креслень – це чи не найважливіше (оскільки інтеграли власними силами частіше будуть легкими). Освоїти грамотну та швидку техніку побудови графіків можна за допомогою методичних матеріалів та геометричних перетворень графіків. Але, власне, про важливість креслень я вже неодноразово говорив на уроці.

Взагалі в інтегральному обчисленні дуже багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні обертання та багато іншого. Тому буде весело, будь ласка, налаштуйтеся на оптимістичний лад!

Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Уявили? ... Цікаво, хто що представив... =))) Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

- навколо осі абсцис;
- Навколо осі ординат.

У цій статті буде розібрано обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке ж, як і в поширеному обертанні навколо осі абсцис. Як бонус я повернуся до задачі знаходження площі фігури, і розповім вам, як знаходити площу другим способом - по осі. Навіть не так бонус, скільки матеріал успішно вписується в тему.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

плоскої фігури навколо осі

Приклад 1

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення: Як і в задачі на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функційі Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

В результаті обертання виходить така трохи яйцевидна літаюча тарілка, яка симетрична щодо осі. Насправді у тіла є математична назва, але за довідником щось ліньки уточнювати, тому їдемо далі.

Як визначити обсяг тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - підінтегральна функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення: Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, яка обведена зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що в даному випадкурішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, видана ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, тобто, фактично дані готові межі інтегрування. Правильно накресліть графіки тригонометричних функцій, нагадаю матеріал уроку про геометричних перетвореннях графіків: якщо аргумент ділиться на два: , то графіки розтягуються по осі удвічі. Бажано знайти хоча б 3-4 крапки за тригонометричними таблицями, щоб точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат – теж досить частий гість контрольні роботи. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як із усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери і оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Рекомендую для прочитання всім навіть повним чайникам. Більш того, засвоєний матеріал другого параграфа надасть неоціненну допомогу при обчисленні подвійних інтегралів.

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція визначає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
- На відрізку ;
- На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтегрування по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, потрібно висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Відповідь:

Однак нехилий метелик.

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Приклад 6

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Це приклад самостійного рішення. Бажаючі також можуть знайти площу фігури «звичайним» способом, виконавши цим перевірку пункту 1). А от якщо, повторюся, обертатимете плоску фігуру навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання з іншим обсягом, до речі, правильна відповідь (теж для любителів вирішувати).

Повне рішення двох запропонованих пунктів завдання наприкінці уроку.

Так, і не забувайте нахиляти голову праворуч, щоб розібратися в тілах обертання та в межах інтегрування!

Вітаю вас, шановні студенти ВНЗ Аргемони!

Ще трохи – і курс буде закінчено, а зараз ми займемося ось чим.

Чжоулі трохи змахнула рукою - і в повітрі виявилася постать. А точніше, то була прямокутна трапеція. Вона просто висіла в повітрі, створена магічною енергією, яка текла по її сторонах, а також клубилася всередині самої трапеції, через що та вся виблискувала і переливалася.
Потім викладач трохи помітно зробила круговий рух пальцями руки – і трапеція почала обертатися довкола невидимої осі. Спочатку повільно, потім все швидше і швидше - так, що в повітрі виразно почала проступати об'ємна постать. Здавалося, що магічна енергія розтікалася нею.

Далі трапилося таке: блискучі контури фігури та її нутрощі стали заповнюватись якоюсь речовиною, світіння ставало все менш помітним, зате сама фігура все більше була схожа на щось відчутне. Крупинки матеріалу поступово розподілялися по фігурі. І ось все скінчилося: і обертання, і свічення. У повітрі висів предмет, схожий на вирву. Чжоулі акуратно пересунула його на стіл.

Ну ось. Приблизно так можна матеріалізувати багато предметів - шляхом обертання якихось плоских фігур навколо уявних прямих. Звичайно, для матеріалізації потрібна певна кількість речовини, яка заповнить собою весь об'єм, що утворюється і тимчасово утримується за допомогою магічної енергії. А ось для того, щоб точно підрахувати, скільки речовини треба, - і потрібно знати обсяг тіла, що отримується. Інакше, якщо речовини буде мало, воно не заповнить собою весь об'єм і тіло може вийти неміцним, з вадами. А матеріалізувати та ще утримувати великий надлишок речовини – це непотрібні витрати магічної енергії.
Ну, а якщо у нас обмежена кількість речовини? Тоді, вміючи обчислювати обсяги тіл, можна прикинути, яке за розмірами тіло ми можемо зробити без особливих витрат магічної енергії.
Щодо надлишків залученого матеріалу є ще й інша думка. Куди надлишки речовини подіються? Обсипаються, будучи не задіяними? Чи налипають на тіло абияк?
Загалом тут ще є над чим подумати. Якщо раптом у вас якісь думки з'явилися, то із задоволенням вислухаю їх. А поки що перейдемо до обчислення обсягів тіл, отриманих у такий спосіб.
Тут розглядається кілька випадків.

Випадок 1.

Область, яку ми будемо обертати, є найкласичнішою криволінійною трапецією.

Звичайно, що обертати її ми можемо тільки навколо осі ОХ. Якщо ж цю трапецію зрушити праворуч по горизонталі так, щоб вона не перетинала вісь OY, її можна обертати і щодо цієї осі. Заклинальні формули для обох випадків такі:

Ми з вами вже досить добре освоїли основні магічні впливина функції, тому для вас, думаю, не складе труднощів при необхідності пересунути фігуру так в координатних осях, щоб вона була зручна для роботи з нею.

Випадок 2

Можна обертати не тільки класичну криволінійну трапецію, а й фігуру такого вигляду:

При обертанні ми отримаємо своєрідне кільце. А пересунувши фігуру на позитивну область, ми можемо її обертати і щодо осі OY. Теж отримаємо кільце чи ні. Все залежить від того, як розташовуватиметься фігура: якщо її ліва межа пройде точно по осі OY, то кільця не вийде. Розрахувати обсяги таких тіл обертання можна, використовуючи такі заклинання:

Випадок 3.

Згадаймо, що у нас є чудові криві, але такі, що задаються не звичним нам способом, а в параметричному вигляді. Такі криві часто замкнуті. Параметр t повинен змінюватися таким чином, щоб замкнута фігура при обході її кривою (кордоном) залишалася зліва.

Тоді для обчислення об'ємів тіл обертання щодо осі ОХ або OY треба використовувати такі заклинання:

Ці формули можна використовувати й у випадку незамкнутих кривих: коли обидва кінця лежать осі ОХ чи осі OY. Фігура по-любому виходить замкненою: кінці замикає відрізок осі.

Випадок 4.

Частина чудових кривих у нас задаються полярними координатами (r=r(fi)). І тоді фігуру можна обертати щодо полярної осі. У цьому випадку декартова система координат поєднується з полярною і належить
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Таким чином, ми приходимо до параметричного вигляду кривої, де параметр fi повинен змінюватися так, щоб при обході кривої область залишалася ліворуч.
І користуємося заклинальними формулами з нагоди 3.

Однак, для випадку полярних координат є і своя заклинальна формула:

Звичайно, плоскі фігури можна обертати і щодо будь-яких інших прямих, не тільки щодо осей OX та OY, але ці маніпуляції вже складніші, тому ми обмежимося тими випадками, що були розглянуті в лекції.

А зараз домашнє завдання . Я не даватиму вам конкретних фігур. Ми вже вивчили багато функцій, і мені хочеться, щоб ви самі сконструювали щось таке, що вам може знадобитися в магічній практиці. Думаю, чотирьох прикладів на всі вказані у лекції випадки буде достатньо.