Інтеграли для чайників: як вирішувати правила обчислення, пояснення. Прості властивості інтегралів Невизначений інтеграл властивості невизначеного інтегралу

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Основним завданням диференціального обчисленняє знаходження похідної f'(x)або диференціала df=f'(x)dxфункції f(x).В інтегральному численні вирішується обернена задача. За заданою функцією f(x) потрібно знайти таку функцію F(x),що F'(х)=f(x)або dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Таким чином, основним завданням інтегрального обчисленняє відновлення функції F(x)за відомою похідною (диференціалу) цієї функції. Інтегральне обчислення має численні додатки у геометрії, механіці, фізиці та техніці. Воно дає загальний метод знаходження площ, обсягів, центрів важкості тощо.

Визначення. ФункціяF(x), , називається первісною для функціїf(x) на множині Х, якщо вона диференційована для будь-якого іF'(x)=f(x) абоdF(x)=f(x)dx.

Теорема. Будь-яка безперервна на відрізку [a;b] функціяf(x) має на цьому відрізку первіснуF(x).

Теорема. ЯкщоF 1 (x) таF 2 (x) – дві різні первісні однієї й тієї ж функціїf(x) на безлічі х, то вони відрізняються один від одного постійним доданком, тобто.F 2 (x)=F 1x)+C де С - постійна.

Невизначений інтеграл, його властивості.

Визначення. СукупністьF(x)+З усіх первісних функційf(x) на множині Х називається невизначеним інтегралом і позначається:

- (1)

У формулі (1) f(x)dxназивається підінтегральним виразом,f(x) - підінтегральної функцією, х - змінної інтегрування,а З – постійної інтеграції.

Розглянемо властивості не певного інтегралу, які з його визначення.

1. Похідна з невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

та .

2. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

3. Постійний множник а (а≠0) можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

4. Невизначений інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій:

5. ЯкщоF(x) – первісна функціяf(x), то:

6 (інваріантність формул інтегрування). Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо змінну інтегрування замінити будь-якою функцією цієї змінної, що диференціюється:

деu - функція, що диференціюється.

Таблиця невизначених інтегралів.

Наведемо основні правила інтегрування функций.

Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів(Зазначимо, що тут, як і в диференціальному обчисленні, буква uможе позначати як незалежну змінну (u=x), так і функцію від незалежної змінної (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u|> |a|).(|u|< |a|).

Інтеграли 1 – 17 називають табличними.

Деякі з наведених вище формул таблиці інтегралів, які мають аналога таблиці похідних, перевіряються диференціюванням їх правих частин.

Заміна змінної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Інтегрування підстановкою (заміна змінної). Нехай потрібно обчислити інтеграл

, що не є табличним. Суть методу підстановки полягає в тому, що в інтегралі змінну хзамінюють змінною tза формулою x = φ (t),звідки dx=φ’(t)dt.

Теорема. Нехай функціяx = φ (t) визначена та диференційована на деякій множині Т і нехай Х – безліч значень цієї функції, на якій визначено функціюf(x). Тоді якщо на множині Х функціяf(

Рішення інтегралів – завдання легке, але лише обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли?

Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати найпростіші та інші інтеграли і чому без цього не можна обійтися в математиці.

Вивчаємо поняття « інтеграл »

Інтегрування було відоме ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж таки. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася.

Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про межі та похідні, необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як обчислювати похідні читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первинні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції.

Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції? За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

« Інтеграл »

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішити невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

Лінійність:

Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо невизначений інтеграл та приклади з рішенням. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться в професійний сервіс для студентів, і будь-який потрійний або криволінійний інтегралпо замкнутій поверхні стане вам під силу.

У статті ми перерахуємо основні властивості певного інтеграла. Більшість цих властивостей доводяться на основі понять певного інтегралу Рімана та Дарбу.

Обчислення певного інтеграла часто-густо проводиться з використанням перших п'яти властивостей, отже ми будемо за потреби посилатися. Інші властивості певного інтеграла в основному застосовуються для оцінки різних виразів.

Перш ніж перейти до основним властивостям певного інтегралу, умовимося, що a не перевищує b .

Для функції y = f(x) , визначеної при x = a справедлива рівність .

Тобто значення певного інтеграла з збігаються межами інтегрування дорівнює нулю. Ця властивість є наслідком визначення інтеграла Рімана, тому що в цьому випадку кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття проміжку та будь-якого вибору точок дорівнює нулю, тому що, отже, межею інтегральних сум є нуль.

Для функції, що інтегрується на відрізку, виконується .

Іншими словами, при зміні верхньої та нижньої меж інтегрування місцями значення певного інтеграла змінюється на протилежне. Ця властивість певного інтеграла також випливає з поняття інтеграла Рімана, лише нумерацію розбиття відрізка слід починати з точки x = b.

для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) .

Доведення.

Запишемо інтегральну суму функції для даного розбиття відрізка та вибору точок :

де - інтегральні суми функцій y = f(x) і y = g(x) для даного розбиття відрізка відповідно.

Переходячи до межі при отримаємо , що у визначенню інтеграла Рімана рівносильно утвердженню доведеного якості.

Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу. Тобто для інтегрованої на відрізку функції y = f(x) і довільного числа k справедлива рівність .

Доказ цієї властивості певного інтеграла абсолютно схожий на попередній:

Нехай функція y = f(x) інтегрована на інтервалі X, причому і тоді .

Ця властивість справедлива як для, так і для або.

Доказ можна провести, спираючись на попередні властивості певного інтегралу.

Якщо функція інтегрована на відрізку, вона інтегрована і будь-якому внутрішньому відрізку.

Доказ ґрунтується на властивості сум Дарбу: якщо до наявного розбиття відрізка додати нові точки, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня – не збільшиться.

Якщо функція y = f(x) інтегрована на відрізку й у будь-якого значення аргументу , то .

Ця властивість доводиться через визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка і точок при буде невід'ємною (не позитивною).

Слідство.

Для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) справедливі нерівності:

Це твердження означає, що допустиме інтегрування нерівностей. Цим наслідком ми користуватимемося під час доказу наступних властивостей.

Нехай функція y = f(x) інтегрована на відрізку тоді справедлива нерівність .

Доведення.

Очевидно, що . У попередній властивості ми з'ясували, що нерівність можна почленно інтегрувати, тому справедливо . Цю подвійну нерівність можна записати як .

Нехай функції y = f(x) та y = g(x) інтегруються на відрізку і для будь-якого значення аргументу , тоді , де та .

Доказ проводиться аналогічно. Так як m і M – найменше та найбільше значенняфункції y = f(x) на відрізку , то . Примноження подвійної нерівності на невід'ємну функцію y = g(x) призводить до наступної подвійної нерівності . Інтегруючи його на відрізку, прийдемо до твердження, що доводиться.