Незалежність криволінійного інтеграла від контуру. Умови незалежності криволінійного інтеграла ІІ роду від шляху інтегрування. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування

2-го роду від шляху інтегрування

Розглянемо криволінійний інтеграл 2-го роду, де L - крива, що з'єднує точки M і N. Нехай функції P(x, y) і Q(x, y) мають безперервні похідні приватні в деякій області D, в якій повністю лежить крива L. Визначимо умови, у яких аналізований криволінійний інтеграл залежить немає від форми кривої L, лише від розташування точок M і N.

Проведемо дві довільні криві MSN і MTN, що лежать в ділянці D і з'єднують точки M і N (рис.14).

Припустимо, що, тобто

де L - замкнутий контур, складений з кривих MSN і NTM (отже, його можна вважати довільним). Таким чином, умова незалежності криволінійного інтеграла 2-го роду від шляху інтегрування рівнозначна умові, що такий інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю.

Теорема 5 (теорема Гріна). Нехай у всіх точках деякої області D безперервні функції P(x, y) та Q(x, y) та їх приватні похідні. Тоді для того, щоб для будь-якого замкнутого контуру L, що лежить в області D, виконувалася умова

необхідно і достатньо, щоб у всіх точках області D.

Доведення.

1) Достатність: нехай умова = виконано. Розглянемо довільний замкнутий контур L області D, що обмежує область S, і напишемо для нього формулу Гріна:

Отже, достатність доведено.

2) Необхідність: припустимо, що умова виконано в кожній точці області D, але знайдеться хоча б одна точка цієї області, в якій -? 0. Нехай, наприклад, у точці P(x0, y0) маємо: - > 0. Так як у лівій частині нерівності стоїть безперервна функція, вона буде позитивною і більшою за деяку? > 0 у деякій малій області D`, що містить точку Р. Отже,

Звідси за формулою Гріна отримуємо, що

де L` - контур, що обмежує область D`. Цей результат суперечить умові. Отже, = у всіх точках області D, що потрібно було довести.

Зауваження 1. Аналогічно для тривимірного простору можна довести, що необхідними та достатніми умовами незалежності криволінійного інтеграла

від шляху інтегрування є:

Примітка 2. При виконанні умов (52) вираз Pdx + Qdy + Rdz є повним диференціаломдеякої функції та. Це дозволяє звести обчислення криволінійного інтеграла до визначення різниці значень і в кінцевій та початковій точках контуру інтегрування, оскільки

При цьому функцію і можна знайти за формулою

де (x0, y0, z0) - точка області D, a C - довільна стала. Справді, легко переконатися, що приватні похідні функції та заданої формулою (53), рівні P, Q і R.

приклад 10.

Обчислити криволінійний інтеграл 2-го роду

по довільній кривій, що з'єднує точки (1, 1, 1) та (2, 3, 4).

Переконаємося, що виконані умови (52):

Отже, функція існує. Знайдемо її за формулою (53), поклавши x0 = y0 = z0 = 0. Тоді

Таким чином, функція і визначається з точністю до довільного постійного доданку. Приймемо З = 0, тоді u = xyz. Отже,

Розглянемо криволінійний інтеграл

взятий за деякою плоскою кривою L, що з'єднує точки Мі N. Припускатимемо, що функції Р(х, у)і Q(x, y)мають безперервні приватні похідні в області, що розглядається D. З'ясуємо, за яких умов написаний криволінійний інтеграл не залежить від форми кривої L, а залежить тільки від положення початкової та кінцевої точок Мі N.

Розглянемо дві довільні криві MPNі MQN, що лежать у розглянутій області Dта з'єднуючі точки Мі N. Нехай

(1)

Тоді на підставі властивостей 1 та 4 криволінійних інтегралів маємо:

тобто. інтеграл по замкнутому контуру L

В останній формулі криволінійний інтеграл взятий по замкнутому контуру Lскладеному з кривих MPNі NQM. Цей контур Lможна, очевидно, вважати довільним.

Таким чином, за умови:

що для будь-яких двох точок М і N криволінійний інтеграл не залежить від форми кривої, що з'єднує їх, а залежить тільки від положення цих точок, слід, що криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю .

Справедливий і зворотний висновок:

якщо криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю, то цей криволінійний інтеграл не залежить від форми кривої, що з'єднує дві будь-які точки, а залежить тільки від становища цих точок . Дійсно, що з рівності (2) випливає рівність (1)

Теорема

Нехай у всіх точках деякої області D функції Р(х, у), Q(x, y) разом зі своїми похідними приватними і безперервні. Тоді, для того, щоб криволінійний інтеграл за будь-яким замкнутим контуром L, що лежить у цій галузі, дорівнював нулю, тобто. щоб

(2΄)

необхідно і достатньо виконання рівності

у всіх точках області D.

Доведення

Розглянемо довільний замкнутий контур Lв області Dі для нього напишемо формулу Гріна:

Якщо виконується умова (3), то подвійний інтеграл, що стоїть зліва, тотожно дорівнює нулю і, отже,

Таким чином, достатністьумови (3) доведено.

Доведемо тепер необхідністьцієї умови, тобто. доведемо, що якщо рівність (2) виконується для будь-якої замкнутої кривої Lв області D, то у кожній точці цієї області виконується умова (3).

Припустимо, навпаки, що рівність (2) виконується, тобто.

а умова (3) не виконується, тобто.

хоч би в одній точці. Нехай, наприклад, у певній точці маємо нерівність

Так як у лівій частині нерівності стоїть безперервна функція, то вона буде позитивна і більше деякого числа у всіх точках деякої досить малої області, що містить точку. Візьмемо подвійний інтеграл у цій галузі від різниці. Він матиме позитивне значення. Справді,

Але за формулою Гріна ліва частина останньої нерівності дорівнює криволінійному інтегралу по межі області, який, за припущенням, дорівнює нулю. Отже, остання нерівність суперечить умові (2), отже, припущення, що на відміну від нуля хоча б у одній точці, не так. Звідси випливає, що

у всіх точках цієї галузі D.

Отже, теорема повністю доведена.

Під час вивчення диференціальних рівнянь було доведено, що виконання умови

рівнозначно тому, що вираз Pdx + Qdyє повний диференціал деякої функції u(x, y), тобто.

Але в цьому випадку вектор

є градієнт функції u(x, y);

Функція u(x, y), градієнт якої дорівнює вектору потенціаломцього вектора.

Доведемо, що у цьому випадку криволінійний інтеграл за будь-якою кривою L, що з'єднує точки М і N, дорівнює різниці значень функції і в цих точках:

Доведення

Якщо Рdx + Qdyє повним диференціалом функції u(x, y), то і криволінійний інтеграл набуде вигляду

Для обчислення цього інтеграла напишемо параметричні рівняння кривої L, що з'єднує точки Мі N:

Вираз, що стоїть у дужках, є функцією від t, що є повною похідною від функції по t. Тому

Як ми бачимо, криволінійний інтеграл від повного диференціалу не залежить від форми кривої, за якою здійснюється інтегрування.

Таким чином:

умови незалежності криволінійних інтегралів ІІ родувід форми шляху інтегрування такі:

Якщо в деякій галузі P(x, y)і Q(x, y) безперервніразом зі своїми і , то:

1. в області D не залежить від формишляхи інтегрування, якщо його значення за шматково-гладким кривим, що лежить у цій галузі і мають загальний початок і загальний кінець однакові.

2. інтеграл уздовж будь-якої замкнутої кривої L, що лежить в області D дорівнює нулю.

3. існує така функція u(x, y), для якої вираз Pdx + QdyІснує повний диференціал, тобто.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. у цій галузі виконувалося б умова

у кожній точці області D.

Для обчислення інтеграла, що не залежить від контуру інтегрування

слід вибрати як найвигідніший шлях інтегрування ламану, що з'єднує точки і ланки якої паралельні осям Ох і Оу.

Підінтегральний вираз P(x, y)dx + Q(x, y)dyза зазначених умов є повним диференціаломдеякої функції u = u (x, y)тобто.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

функцію u(x, y)(первоподібну) можна знайти, якщо обчислити відповідний криволінійний інтеграл по ламаній де - будь-яка фіксована точка, В(х, у) – змінна точка, а точка - має координати хта . Тоді вздовж маємо та dy = 0, а вздовж маємо x = constі dx = 0.

Отримуємо таку формулу:

Аналогічно, інтегруючи ламаною де отримаємо

Приклади

1. Обчислити

Цей інтеграл залежить від контуру інтегрування, т.к.

Виберемо як шлях інтегрування ламану, ланки якої паралельні осям координат. На першій ділянці:

На другому ділянці:

Отже,

2. Знайти первісну u, якщо

Нехай і контуром Доє ламана OMN. Тоді

3. Знайти , якщо

Тут початкову точку початку координат взяти не можна, т.к. у цій точці функції Р(х, у)і Q(x, y)не визначено, тому за початкову точку візьмемо, наприклад, . Тоді

4. Знайти площу, обмежену еліпсом

Площа фігури, розташованої в площині ХОУ та обмежена замкнутою лінією С, обчислюється за формулою

де контур З обходимо у позитивному напрямку.

Перетворимо криволінійний інтаграл на певний, здійснивши заміну

Параметр tпробігає значення від 0 до 2?

Таким чином

3. Височити криволінійний інтеграл по довжині дуги L,якщо L– це арка циклоїди

ЗАВДАННЯ ПО ТЕМІ “КРИВОЛИНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ”

Варіант 1

Де L – відрізок прямої точки A(0;-2) та B(4;0) належать площині XOY.

вздовж ламаної L:OAB, де O(0,0), A(2,0), B(4,5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

За координатами, якщо L – дуга еліпса, що лежить у першій чверті.

Де L – контур трикутника з вершинами A(1,1), B(2,2), C(1,3). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

і знайти його.

7. Силове поле утворено силою F(x,y), що дорівнює відстані точки її застосування від початку координат і спрямованої на початок координат. Знайти роботу сили поля, витрачену на переміщення матеріальної точки одиничної маси по дузі параболи y2 = 8x від точки (2; 4) до точки (4; 4).

Варіант 2

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L – відрізок прямої точки, що з'єднує О (0; 0) і А (1; 2).

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга параболи від точки A(-1;1) до точки B(1,1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга кола що лежить в 1 та 2 квадратах. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл , де L – контур, утворений лінією та відрізком осі OX при обході контуру проти годинникової стрілки.

5. Установити, чи виконується умова незалежності інтеграла від шляху інтегрування для інтеграла і знайти його.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці силового поля сила має напрямок негативної півосі ординат і дорівнює квадрату абсцис точки програми. Знайти роботу поля при переміщенні одиничної маси параболі від точки (1,0) до точки (0,1).

Варіант 3

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

1. де L - дуга параболи відсічена параболою.

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L-відрізок прямий, з'єднання точки А(0,1), В(2,3). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга першої арки циклоїди. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – еліпс Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Обчислити роботу сили під час переміщення матеріальної точки вздовж верхньої половини еліпса з точки А (а,0), точку В (-а, 0).

Варіант 4.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

1. де L – контур квадрата

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга параболи точки А(0,0), до точки (1,1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – верхня половина еліпса Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур трикутника з вершинами А (1; 0), В (1; 1), С (0,1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці кола прикладена сила, прекціями якої на осі координат є Визначити роботу сили під час переміщення матеріальної точки по колу. Чому робота дорівнює нулю?

Варівнт 5.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - відрізок прямий, що з'єднує точки 0 (0,0), і А (4; 2)

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга кривої точки, що з'єднує А(0,1), до точки В (-1,е). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – 1-а чверть кола Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур, обмежений та Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Поле утворене силою // = напрямок який становить кут із напрямком радіус – вектора точки її застосування. Знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки маси m за дугою кола з точки (а,0) до точки (0,а).

Варіант 6

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L – чверть кола, що лежить у I квадранті.

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L - ламана АВС, А (1; 2), В (1; 5), C (3; 5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – верхня половина кола Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур, обмежений , обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Знайти роботу пружної сили , спрямованої на початок координат, якщо точка застосування сили описує проти годинникової стрілки чверть еліпса що лежить в Iквадранті. Величина цієї сили пропорційна віддаленню точки від початку координат.

Варіант 7.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - частина параболи від точки (1, 1/4) до точки (2; 1).

2. Обчислити криволінійний інтеграл де L - відрізок прямої, що з'єднує точки В (1; 2) і В (2; 4). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – перша арка циклоїди Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Матеріальна точка одиничної маси переміщається по колу під дією сили, проекціями якої на координаті осі є . Побудувати силу на початку кожного кола. Знайти роботу з контуру.

Варіант 8.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - контур прямокутника з вершинами в точках 0 0 (0; 0), А (4; 0), В (4; 2), С (0; 2).

2. Обчислити криволінійний інтеграл, якщо L – дуга параболи від точки А (0; 0) до точки В (1; 2). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – частина кола 1. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L - контур трикутника з вершинами А (0; 0), В (1; 0), С (0; 1). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

5. Встановити, чи виконується умова незалежності інтеграла від шляху інтегрування для інтеграла і знайти його.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. Матеріальна точка переміщається еліпсом під дією сили , величина якої дорівнює відстані точки до центру еліпса та спрямована до центру еліпса. Обчислити роботу сили, якщо точка обходить весь еліпс.

Варіант 9.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L – дуга параболи, що лежить між точками

А , (2;2).

2. Обчислити криволінійний інтеграл якщо L - відрізок прямої, що з'єднує точки А(5; 0) і В (0,5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3. Обчислити криволінійний інтеграл, якщо L – дуга еліпса між точками, що відповідають Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – коло Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці кривої прикладена сила , проекціями якої на осі координат є визначення роботи сили при переміщенні матеріальної точки одиничної маси по кривій з точки М(-4;0) в точку N (0;2).

Варіант 10.

1. Обчислити криволінійний інтеграл за довжиною дуги (декартові координати).

Де L - відрізок прямої, що з'єднує точки А

2. Обчислити криволінійний інтеграл, якщо L – дуга кривої від точки А(1;0) до В(е,5). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

3.Обчислити криволінійний інтеграл якщо L – дуга кола що лежить у 1У квадраті. Обхід контуру за годинниковою стрілкою.

4. Застосовуючи формулу Гріна, обчислити інтеграл де L – контур трикутника з вершинами А (1; 0), В (2; 0), С (1; 2). Обхід контуру проти годинникової стрілки.

6. Перевірити, чи є заданий вираз повним диференціалом функції U(x, y), та знайти її.

7. У кожній точці лінії прикладена сила , проекції якої на координатні осі Обчисліть роботу, здійснену силою при переміщенні матеріальної точки по лінії з М(1;0) до точки N(0;3).

Лекція 4

Тема: Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.

Формула Гріна.

Формула Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру Г на площині та подвійним інтегралом по області, обмеженою цим контуром.

Криволинійний інтеграл по замкнутому контуру Г позначається символом Замкнутий контур Г починається в певній точці цього контуру і закінчується в точці В. Інтеграл по замкнутому контуру не залежить від вибору точки В.

Визначення 1. Обхід контуру Г вважається позитивним, якщо при обході контуру Г область D залишається ліворуч. Р + - контур Р обходиться у позитивному напрямі, Р - - контур обходиться у негативному напрямі тобто. у протилежному напрямку

Г+

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

Y= y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Розглянемо подвійний інтеграл

Аналогічно доводиться, що:

З рівностей (1) та (2) отримуємо:

Отже,

Формула Гріна при зроблених припущеннях доведена.

Зауваження 1. Формула Гріна залишається справедливою, якщо межа Г області D деякими прямими, паралельними осі 0Х або 0Y перетинається більш ніж у двох точках. Крім цього, формула Гріна справедлива і для n-зв'язкових областей.

Умови незалежності криволінійного інтеграла від інтегрування на площині.

У цьому параграфі з'ясуємо умови, у виконанні яких криволінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування, а залежить від початкової і кінцевої точок інтегрування.

Теорема 1. Для того, щоб криволінійний інтеграл не залежав від шляху інтегрування в однозв'язковій області необхідно і достатньо, щоб цей інтеграл, взятий по будь-якому замкнутому шматково-гладкому контуру в цій галузі дорівнював нулю.

Доказ: Необхідність.Дано: залежить від шляху інтегрування. Потрібно довести, що криволінійний інтеграл за будь-яким замкненим шматково-гладким контуром дорівнює нулю.

Нехай у області D взятий довільний кусочно-гладкий замкнутий контур Г. На контурі Г візьмемо довільні точки B і C.

Оскільки залежить від шляху інтегрування, то

, тобто.

Достатність. Дано: Криволінійний інтеграл за будь-яким замкненим шматково-гладким контуром дорівнює нулю.

Потрібно довести, що інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Розглянемо криволінійний інтеграл за двома шматково-гладкими контурами, що з'єднують точки B і С. За умовою:

Тобто. криволінійний

інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Теорема 2.Нехай безперервні разом з приватними похідними та в однозв'язковій ділянці D. Для того, щоб криволінійний інтеграл не залежав від шляху інтегрування необхідно і достатньо, щоб у ділянці D виконувалося тотожність

Доказ: Достатність.Дано: . Потрібно довести, що залежить від шляху інтегрування. Для цього достатньо довести, що дорівнює нулю за будь-яким замкнутим шматково-гладким контуром. За формулою Гріна маємо:

Необхідність.Дано: По теоремі 1 криволінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування. Потрібно довести, що

6. Формула середнього значення певного інтеграла.

7. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Його безперервність та диференційованість.

8. Формула Ньютона-Лейбніца для певного інтегралу.

9. Обчислення певного інтеграла частинами та заміною змінної.

10. Застосування певного інтегралу (площа плоскої фігури, довжина кривої дуги, об'єм тіла обертання).

11. Поняття числового ряду та його суми. Критерій Коші збіжності ряду. Необхідна умова збіжності.

12. Ознаки Деламбера та Коші збіжності рядів із невід'ємними членами.

13. Інтегральна ознака Коші збіжності числового ряду.

14. Знакозмінні числові ряди. Абсолютна та умовна збіжність. Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця.

15. Функціональний ряд. Сума низки. Визначення рівномірної збіжності низки. Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду.

16. Ознака Вейєрштраса рівномірної збіжності.

18. Ступеневий ряд. Теорема Абеля.

19. Радіус збіжності статечного ряду. Формула Коші-Адамара для радіусу збіжності статечного ряду.

21. Функції багатьох змінних. Поняття n-вимірного евклідового простору. Безліч точок евклідового простору. Послідовність точок та її межа. Визначення функції кількох змінних.

22. Межа функції кількох змінних. Безперервність функції. Приватні похідні

23. Визначення диференційованої функції кількох змінних та її диференціала. Похідні та диференціали вищих порядків.

24. Формула Тейлора для багатьох змінних. Екстремум функції кількох змінних. Необхідна умова екстремуму. Достатня умова екстремуму.

25. Подвійний інтеграл та його властивості. Зведення подвійного інтеграла до повторного.

27. Заміна змінних у потрійному інтегралі. Циліндричні та сферичні координати.

28. Обчислення площі гладкої поверхні, заданої параметрично та у явному вигляді.

29. Визначення криволінійних інтегралів першого та другого роду, їх основні властивості та обчислення.

30. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.

31. Поверхневі інтеграли першого та другого роду, їх основні властивості та обчислення.

32. Теорема Гауса-Остроградського, її запис у координатній та векторній (інваріантній) формах.

33. Формула Стокса, її запис у координатній та векторній (інваріантній) формах.

34. Скалярне та векторне поля. Градієнт, дивергенція, ротор. Потенційне та соленоїдальне поля.

35. Оператор Гамільтона. (Набла) його застосування (приклади).

36. Основні поняття, що стосуються звичайних диференціальних рівнянь (оду) першого порядку: загальне та приватне рішення, загальний інтеграл, інтегральна крива. Завдання Коші, її геометричне значення.

37. Інтегрування оду першого порядку з змінними, що розділяються, і однорідних.

38. Інтегрування лінійних оду першого порядку та рівняння Бернуллі.

39. Інтегрування оду першого ладу в полярних диференціалах. Інтегруючий множник.

40. Диференціальні рівняння першого порядку, невирішені щодо похідної. Метод запровадження параметра.

41. Рівняння n-го порядку із постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Фундаментальна система рішень (ФСР) однорідного рівняння, загальне рішення неоднорідного рівняння.

42. Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку. ФСР однорідної системи. Загальне вирішення однорідної системи.

30. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.

Формула Гріна: Якщо C – замкнута межа області D та функції P(x,y) та Q(x,y) разом зі своїми приватними похідними першого порядку безперервні у замкнутій області D (включаючи кордон C), то справедлива формула Гріна:, причому обхід навколо контуру C вибирається так, що область D залишається ліворуч.

З лекцій: Нехай задані функції P(x,y) і Q(x,y), які безперервні області D разом із приватними похідними першого порядку. Інтеграл по кордоні (L), що повністю лежить в області D і містить всі точки в області D: . Позитивний напрямок контуру такий, коли обмежена частина контуру знаходиться ліворуч.

Умова незалежності криволінійного інтеграла 2-го роду шлях інтегрування. Необхідною та достатньою умовою того, що криволінійний інтеграл першого роду, що з'єднує точки M1 та M2, не залежить від шляху інтегрування, а залежить тільки від початкової та кінцевої точок, є рівність:.

31. Поверхневі інтеграли першого та другого роду, їх основні властивості та обчислення.

- Завдання поверхні.

Спроектуємо S на площину xy, отримаємо ділянку D. Розіб'ємо ділянку D сіткою ліній на частини, які називаються Di. З кожної точки кожної лінії проведемо паралельні лінії z, тоді і S розділиться на Si. Складемо інтегральну суму: . Спрямуємо максимум діаметра Di до нуля:, отримаємо:

Це поверховий інтеграл першого роду

Так вважається поверхневий інтеграл першого роду.

Визначення коротко. Якщо існує кінцева межа інтегральної суми, що не залежить від способу розбиття S на елементарні ділянки Si і від вибору точок, він називається поверхневим інтегралом першого роду.

При переході від змінних x і y до u та v:

П поверхневий інтеграл має всі властивості звичайного інтеграла. Див у питаннях вище.

Визначення поверхневого інтеграла другого роду, його основні властивості та обчислення. Зв'язок із інтегралом першого роду.

Нехай задана поверхня S, обмежена лінією L (рис. 3.10). Візьмемо на поверхні S який-небудь контур L, який не має спільних точок з кордоном L. У точці М контуру L можна відновити дві нормалі ік поверхні S. Виберемо якийсь один з цих напрямків. Обводимо точку M за контуром L з вибраним напрямком нормалі.

Якщо вихідне положення точка M повернеться з тим самим напрямком нормалі (а не з протилежним), то поверхня S називають двосторонньою. Ми розглядатимемо лише двосторонні поверхні. Двосторонньою поверхнею є будь-яка гладка поверхня з рівнянням.

Нехай S – двостороння незамкнута поверхня, обмежена лінією L, яка не має точок самоперетину. Виберемо певну сторону поверхні. Будемо називати позитивним напрямом обходу контуру L такий напрямок, при русі яким по обраній стороні поверхні сама поверхня залишається зліва. Двостороння поверхня із встановленим на ній таким чином позитивним напрямом обходу контурів називається орієнтованою поверхнею.

Перейдемо до побудови поверхового інтеграла другого роду. Візьмемо у просторі двосторонню поверхню S, що складається з кінцевого числа шматків, кожен з яких заданий рівнянням виду або є циліндричною поверхнею з утворюючими паралельними осі Oz.

Нехай R(x,y,z) – функція, визначена і безперервна на поверхні S. Мережею ліній розбиваємо S довільним чином на n "елементарних" ділянок ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, що не мають спільних внутрішніх точок. На кожній ділянці ΔSi довільним чином виберемо точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Нехай (ΔSi)xy – площа проекції ділянки ΔSi на координатну площину Оху, взята зі знаком "+", якщо нормаль до поверхні S у точці Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) утворює з віссю Oz гострий кут, і зі знаком "-", якщо цей кут тупий. Складемо інтегральну суму для функції R(x,y,z) по поверхні S за змінними x,y: . Нехай λ – найбільший із діаметрів ΔSi (i = 1, ..., n).

Якщо існує кінцева межа, яка не залежить від способу розбиття поверхні S на "елементарні" ділянки ΔSi і від вибору точок, то він називається поверхневим інтегралом по вибраній стороні поверхні S від функції R(x,y,z) за координатами х, у (або поверхневим інтегралом другого роду) і позначається .

Аналогічно можна побудувати поверхневі інтеграли за координатами x, z або у, z по відповідній стороні поверхні, тобто. і .

Якщо є всі ці інтеграли, можна ввести " загальний " інтеграл з обраної стороні поверхні: .

Поверхневий інтеграл другого роду має звичайні властивості інтеграла. Зауважимо лише, що будь-який поверхневий інтеграл другого роду змінює знак зміни сторони поверхні.

Зв'язок між поверхневими інтегралами першого та другого роду.

Нехай поверхня S задана рівнянням: z = f(x,y), причому f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) - безперервні функціїу замкнутій області τ (проекції поверхні S на координатну площину Оху), а функція R(x,y,z) безперервна на поверхні S. Нормаль до поверхні S, що має напрямні косинуси cos α, cos β, cos γ, обрана до верхньої сторони поверхні S. Тоді.

Для загального випадку маємо: