Знайти приватні похідні та повний диференціал функції. Приватні похідні та повний диференціал функцій кількох змінних. Застосування похідних на дослідження функцій

Розглянемо зміну функції при заданні збільшення лише одному з її аргументів – х iі назвемо його.

Визначення 1.7.Приватна похіднафункції за аргументом х iназивається .

Позначення: .

Таким чином, приватна похідна функції кількох змінних визначається фактично як похідна функції однією змінною – х i. Тому для неї справедливі всі властивості похідних, доведені для функції однієї змінної.

Зауваження. При практичному обчисленні приватних похідних користуємося звичайними правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи аргумент, яким ведеться диференціювання, змінним, інші аргументи – постійними.

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y ,

Геометрична інтерпретація окремих похідних функції двох змінних.

Розглянемо рівняння поверхні z = f(x, y)і проведемо площину х = const. Виберемо на лінії перетину площини з поверхнею крапку М (х,у). Якщо задати аргумент уприріст Δ ута розглянути точку Т на кривій з координатами ( х, у+Δ у, z+Δ y z), то тангенс кута, утвореного січною МТ з позитивним напрямом осі у, дорівнюватиме . Переходячи до межі при отримаємо, що приватна похідна дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичної до отриманої кривої в точці Мз позитивним напрямом осі у.Відповідно приватна похідна дорівнює тангенсу кута з віссю хдотичної до кривої, отриманої в результаті перерізу поверхні z = f(x, y)площиною y = const.

Визначення 2.1. Повним збільшенням функції u = f(x, y, z) називається

Визначення 2.2. Якщо збільшення функції u = f (x, y, z) у точці (x 0 , y 0 , z 0) можна подати у вигляді (2.3), (2.4), то функція називається диференційованою в цій точці, а вираз - головною лінійною частиною збільшення чи повним диференціалом аналізованої функції.

Позначення: du, df (x 0, y 0, z 0).

Так само, як у випадку функції однієї змінної, диференціалами незалежних змінних вважаються їх довільні збільшення, тому

Зауваження 1. Отже, твердження «функція диференційована» не рівнозначно твердженню «функція має приватні похідні» - для диференційності потрібна ще й безперервність цих похідних у точці, що розглядається.

4. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала.

Нехай функція z = f(x, y)є диференційованої на околиці точки М (х 0, у 0). Тоді її приватні похідні і є кутовими коефіцієнтами, що стосуються ліній перетину поверхні. z = f(x, y)з площинами у = у 0і х = х 0, які будуть дотичні і до самої поверхні z = f(x, y).Складемо рівняння площини, що проходить через ці прямі. Напрямні вектори дотичних мають вигляд (1; 0; ) і (0; 1; ), тому нормаль до площини можна у вигляді їх векторного твору: n = (-, -, 1). Отже, рівняння площини можна записати так:

де z 0 = .

Визначення 4.1.Площина, що визначається рівнянням (4.1), називається дотичною площиноюдо графіку функції z = f(x, y)у точці з координатами (х 0, у 0, z 0).

З формули (2.3) для двох змінних випливає, що збільшення функції fна околиці точки Мможна уявити у вигляді:

Отже, різниця між аплікатами графіка функції і дотичної площини є нескінченно малою. високого порядкучим ρ, при ρ→ 0.

При цьому диференціал функції fмає вигляд:

що відповідає прирощенню аплікати дотичної площини до графіка функції. У цьому полягає геометричне значення диференціала.

Визначення 4.2.Ненульовий вектор перпендикулярний дотичній площині в точці. М (х 0, у 0)поверхні z = f(x, y), називається нормаллюдо поверхні у цій точці.

В якості нормалі до розглянутої поверхні зручно прийняти вектор - n = { , ,-1}.

Для спрощення запису та викладення матеріалу обмежимося випадком функцій двох змінних. Все подальше справедливо також для функцій будь-якої кількості змінних.

Визначення. Приватна похіднафункції z = f(х, у) по незалежній змінній хназивається похідна

обчислена при постійному у.

Аналогічно визначається приватна похідна за змінною у.

Для окремих похідних справедливі звичайні правила і формули диференціювання.

Визначення.Добуток приватної похідної на збільшення аргументу х(y) називається приватним диференціаломпо змінній х(у) функції двох змінних z = f(x, y) (Позначення: ):

Якщо під диференціалом незалежної змінної dx(dy) розуміти збільшення х(у), то

Для функції z = f(x, y) з'ясуємо геометричний зміст її частотних похідних та .

Розглянемо точку, точку P 0 (х 0 ,y 0 , z 0) на поверхні z = f(x,у) та криву Lяка вийде при перерізі поверхні площиною у = у 0 . Цю криву можна розглядати як графік функції однієї змінної z = f(x, y) у площині у = у 0 . Якщо провести у точці Р 0 (х 0 , у 0 , z 0) дотичну до кривої L, то, згідно з геометричним змістом похідної функції однієї змінної , де a – кут, утворений дотичною з позитивним напрямком осі Ох.

z = f(x 0 , y) можна розглянути як функцію однієї змінної у:

де b- Кут, утворений дотичної в точці М 0 (х 0 , у 0) з позитивним напрямом осі Ой(Рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ілюстрація геометричного значення приватних похідних.

приклад 1.6.Дана функція z = х 2 – 3ху - 4у 2 - х + 2у + 1. Знайти та .

Рішення.Розглядаючи уяк постійну величину, отримаємо

Вважаючи хпостійною, знаходимо

Приватна похіднафункції z = f(x, y по змінній хназивається похідна цієї функції при постійному значенні змінної у вона позначається або z" х.

Приватна похіднафункції z = f(x, y) по змінній уназивається похідна з у при постійному значенні змінної у; вона позначається або z".

Приватна похідна функції кількох змінних по одній змінній визначається як похідна цієї функції відповідною змінною за умови, що інші змінні вважаються постійними.

Повним диференціаломфункції z = f(x, y) у певній точці М(Х, у) називається вираз

,

Де й обчислюються у точці М(х, у), а dx = , dy = у.

Приклад 1

Обчислити повний диференціал функції.

z = х 3 – 2х 2 у 2 + у 3 у точці М(1; 2)

Рішення:

1) Знаходимо приватні похідні:

2) Обчислимо значення приватних похідних у точці М(1; 2)

() М = 3 · 1 2 - 4 · 1 · 2 2 = -13

() М = - 4 · 1 2 · 2 + 3 · 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Запитання для самоконтролю:

1. Що називається первісною? Перелічити властивості первісної.

2. Що називається невизначеним інтегралом?

3. Перелічити властивості не певного інтегралу.

4. Перелічити основні формули інтегрування.

5. Які методи інтегрування ви знаєте?

6. У чому полягає суть формули Ньютона - Лейбніца?

7. Дати визначення певного інтегралу.

8. У чому суть обчислення певного інтеграла шляхом підстановки?

9. У чому суть методу обчислення певного інтеграла частинами?

10. Яка функція називається функцією двох змінних? Як вона позначається?

11. Яка функція називається функцією трьох змінних?

12. Яка множина називається областю визначення функції?

13. За допомогою яких нерівностей можна поставити замкнуту ділянку Д на площині?

14. Що називається приватною похідною функцією z = f(x, y) за змінною х? Як вона позначається?

15. Що називається приватною похідною функції z = f(x, y) за змінною у? Як вона позначається?

16. Який вираз називається повним диференціалом функції

Тема 1.2. Звичайні диференціальні рівняння.

Завдання, що призводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються. Загальні та приватні рішення. Однорідні диференціальні рівняння першого ладу. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.

Практичне заняття № 7 «Знаходження загальних і приватних рішень диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються»*

Практичне заняття № 8 «Лінійні та однорідні диференціальні рівняння»

Практичне заняття № 9 «Рішення диференціальних рівнянь 2-го порядку із постійними коефіцієнтами»*

Л4, розділ 15, стор 243 - 256

Методичні вказівки

Приватними похідними функції у тому випадку, якщо вони існують не в одній точці, а на деякій множині, є функції, визначені на цій множині. Ці функції можуть бути безперервними і в деяких випадках можуть мати приватні похідні в різних точках області визначення.

Приватні похідні цих функцій називаються приватними похідними другого порядку чи іншими приватними похідними.

Приватні похідні другого порядку розбиваються на дві групи:

· другі приватні похідні від змінної;

· Змішані приватні похідні від змінних і.

При подальшому диференціювання можна визначити окремі похідні третього порядку і т.д. Аналогічними міркуваннями визначаються та записуються приватні похідні вищих порядків.

Теорема.Якщо всі входять до обчислення приватні похідні, які розглядаються як функції своїх незалежних змінних, безперервні, то результат приватного диференціювання не залежить від послідовності диференціювання.

Часто виникає потреба вирішення зворотної задачі, яка полягає у визначенні того, чи є повним диференціалом функції вираз виду, де безперервні функціїз безперервними похідними першого порядку.

Необхідну умову повного диференціала можна сформулювати як теореми, яку приймемо без докази.

Теорема.Для того, щоб диференціальний вираз був в області повним диференціалом функції, визначеної і диференційованої в цій галузі, необхідно, щоб у цій галузі тотожно було виконано умову будь-якої пари незалежних змінних і.

Завдання обчислення повного диференціала другого порядку функції можна вирішити так. Якщо вираз повного диференціалу також диференціюється, то другим повним диференціалом (або повним диференціалом другого порядку) можна вважати вираз, отриманий в результаті застосування операції диференціювання до першого повного диференціалу, тобто. . Аналітичний вираз другого повного диференціала має вид:

З урахуванням того, що змішані похідні не залежать від порядку диференціювання, формулу можна згрупувати та уявити у вигляді квадратичної форми:

Матриця квадратичної форми дорівнює:

Нехай задана суперпозиція функцій, визначеної в і

Певних ст. При цьому. Тоді, якщо мають безперервні приватні похідні до другого порядку в точках і, то існує другий повний диференціал складної функціїнаступного виду:

Як видно, другий повний диференціал не має властивості інваріантності форми. У вираз другого диференціалу складної функції входять доданки, які відсутні у формулі другого диференціалу простої функції.

Побудова приватних похідних функції вищих порядків можна продовжувати, виконуючи послідовне диференціювання цієї функції:

Де індекси набувають значення від до, тобто. похідна порядку розглядається як приватна похідна першого порядку від похідної порядку. Аналогічно можна запровадити і поняття повного диференціалу порядку функції, як повного диференціалу першого порядку від диференціалу порядку: .

У разі простої функції двох змінних формула для обчислення повного диференціалу порядку функції має вигляд

Застосування оператора диференціювання дозволяє отримати компактну форму запису, що легко запам'ятовується, для обчислення повного диференціала порядку функції, аналогічну формулі бінома Ньютона. У двовимірному випадку вона має вигляд.

Нехай функція визначена у певній (відкритій) області D точок
мірного простору, та
– точка у цій галузі, тобто.
D.

Приватним збільшенням функціїбагатьох змінних за якою-небудь змінною називається те збільшення, яке отримає функція, якщо ми дамо збільшення цієї змінної, вважаючи, що всі інші змінні мають постійні значення.

Наприклад, приватне збільшення функції змінної буде

Приватної похідної незалежної змінної у точці
від функції називається межа (якщо існує) відносини приватного збільшення
функції до збільшення
змінної при прагненні
до нуля:

Приватну похідну позначають одним із символів:

;
.

Зауваження.Індекс внизу в цих позначеннях лише вказує, за якою із змінних береться похідна, і не пов'язана з тим, у якій точці
ця похідна обчислюється.

Обчислення приватних похідних не представляє нічого нового в порівнянні з обчисленням звичайної похідної, необхідно тільки пам'ятати, що при диференціюванні функції будь-якої змінної всі інші змінні приймаються за постійні. Покажемо на прикладах.

приклад 1.Знайти приватні похідні функції
.

Рішення. При обчисленні приватної похідної функції
за аргументом розглядаємо функцію як функцію лише однієї змінної , тобто. вважаємо, що має фіксоване значення. При фіксованому функція
є статечною функцією аргументу . За формулою диференціювання статечної функції отримуємо:

Аналогічно при обчисленні приватної похідної вважаємо, що фіксоване значення , і розглядаємо функцію
як показову функцію аргументу . У результаті отримуємо:

Приклад 2. Найті приватні похідні і функції
.

Рішення.При обчисленні приватної похідної за задану функцію ми розглядатимемо як функцію однієї змінної , а вирази, що містять , Будуть постійними множниками, тобто.
виступає у ролі постійного коефіцієнта при статечній функції (
). Диференціюючи цей вираз по , Отримаємо:

.

Тепер, навпаки, функцію розглядаємо як функцію однієї змінної , в той час як вирази, що містять , виступають у ролі коефіцієнта
(
).Диференціюючи за правилами диференціювання тригонометричних функцій, отримуємо:

приклад 3. Обчислити приватні похідні функції
у точці
.

Рішення.Знаходимо спочатку приватні похідні цієї функції у довільній точці
її області визначення. При обчисленні приватної похідної за вважаємо, що
є незмінними.

при диференціюванні по постійними будуть
:

а при обчисленні приватних похідних за і по , аналогічно, постійними будуть, відповідно,
і
, тобто:

Тепер обчислимо значення цих похідних у точці
, підставляючи у тому висловлювання конкретні значення змінних. У результаті отримуємо:

11. Приватні та повні диференціали функції

Якщо тепер до приватного збільшення
застосувати теорему Лагранжа про кінцеві збільшення змінної , то, вважаючи безперервної, отримаємо такі співвідношення:

де
,
- Безмежно мала величина.

Приватним диференціалом функціїпо змінній називається головна лінійна частина приватного збільшення
, рівна добутку приватної похідної за цією змінною на збільшення цієї змінної, і позначається

Очевидно, приватний диференціал відрізняється від приватного збільшення на нескінченно малу вищого порядку.

Повним збільшенням функціїбагатьох змінних називається її приріст, яке вона отримає, коли всім незалежним змінним дамо приріст, тобто.

де всі
, залежать ті разом із нею прагнуть нулю.

Під диференціалами незалежних змінних домовилися мати на увазі довільніприрощення
і позначати їх
. Таким чином, вираз приватного диференціала набуде вигляду:

Наприклад, приватний диференціал по визначається так:

.

Повним диференціалом
функції багатьох зміннихназивається головна лінійна частина повного збільшення
, Рівна, тобто. сумі всіх її приватних диференціалів:

Якщо функція
має безперервні приватні похідні

у точці
, то вона диференційована в даній точці.

При досить малому для функції, що диференціюється
мають місце наближені рівності

,

за допомогою яких можна робити наближені обчислення.

приклад 4.Знайти повний диференціал функції
трьох змінних
.

Рішення.Насамперед, знаходимо приватні похідні:

Помітивши, що вони безперервні за всіх значень
, знаходимо:

Для диференціалів функцій багатьох змінних вірні всі теореми про властивості диференціалів, доведені для випадку функції однієї змінної, наприклад: якщо і – безперервні функції змінних
, що мають безперервні приватні похідні по всіх змінних, а і - довільні постійні, то:

(6)