Рішення прикладних завдань зводиться до обчислення інтеграла, але не завжди це можна зробити точно. Іноді потрібно знати значення певного інтегралуз деякою мірою точності, наприклад, до тисячної.

Існують завдання, коли слід знайти наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю, тоді застосовують чисельне інтегрування таке, як метод Симпосна, трапецій, прямокутників. Не всі випадки дають змогу обчислити його з певною точністю.

Ця стаття розглядає застосування формули Ньютона-Лейбніца. Це необхідно для точного обчислення певного інтегралу. Будуть наведені докладні приклади, Розглянуто заміни змінної в певному інтегралі і знайдемо значення певного інтеграла при інтегруванні частинами.

Формула Ньютона-Лейбніца

Визначення 1

Коли функція y = y (x) є безперервною з відрізка [a; b ] ,а F (x) є однією з першорядних функцій цього відрізка, тоді формула Ньютона-Лейбніцавважається справедливою. Запишемо її так ∫ a b f(x) d x = F(b) - F(a) .

Цю формулу вважають основною формулою інтегрального обчислення.

Щоб довести цю формулу, необхідно використовувати поняття інтеграла з наявною змінною верхньою межею.

Коли функція y = f(x) безперервна з відрізка [a; b], тоді значення аргументу x ∈ a; b а інтеграл має вигляд ∫ a x f (t) d t і вважається функцією верхньої межі. Необхідно прийняти позначення функції набуде вигляду ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , вона є безперервною, причому для неї справедлива нерівність виду ∫ a x f (t) d t = Φ "(x) = f (x) .

Зафіксуємо, що прирощенні функції Φ (x) відповідає прирощенню аргументу ∆ x , необхідно скористатися п'ятою основною властивістю певного інтегралу та отримаємо

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x - x = f(c) · ∆ x

де значення c ∈ x; x + ∆ x.

Зафіксуємо рівність у вигляді Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) . За визначенням похідної функції необхідно переходити до межі при ∆ x → 0 , тоді отримуємо формулу виду Φ "(x) = f (x) . розташованої на [a;b] Інакше вираз можна записати

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C де значення C є постійною.

Зробимо обчислення F(a) з використанням першої властивості певного інтеграла. Тоді отримуємо, що

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , звідси отримуємо, що C = F (a) . Результат застосуємо при обчисленні F (b) і отримаємо:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), інакше кажучи, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( a) . Рівність доводить формулу Ньютона-Лейбніца ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a)

Приріст функції приймаємо як F x a b = F (b) - F (a) . За допомогою позначення формулу Ньютона-Лейбніца набуває вигляду ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Щоб застосувати формулу, обов'язково необхідно знати одну з первісних y = F(x) підінтегральної функції y = f(x) з відрізка [a; b ] , здійснити обчислення збільшення первісної з цього відрізка. Розглянемо кілька прикладів обчислення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

Приклад 1

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ 1 3 x 2 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Розглянемо, що підінтегральна функція виду y = x2 є безперервною з відрізка [1; 3], тоді і інтегрована на цьому відрізку. За таблицею невизначених інтегралівбачимо, що функція y = x 2 має безліч первісних для всіх дійсних значень x , отже, x ∈ 1 ; 3 запишеться як F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необхідно взяти первісну з З = 0 тоді отримуємо, що F (x) = x 3 3 .

Скористаємося формулою Ньютона-Лейбніца і отримаємо, що обчислення певного інтеграла набуде вигляду ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Відповідь:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Приклад 2

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Задана функція безперервна з відрізка [-1; 2], отже, на ньому інтегрована. Необхідно знайти значення невизначеного інтеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x за допомогою методу підведення під знак диференціала, тоді отримуємо ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2+1+C.

Звідси маємо безліч первісних функцій y = x · e x 2 + 1 , які дійсні для всіх x , x ∈ - 1 ; 2 .

Необхідно взяти первісну при С = 0 і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца. Тоді отримаємо вираз виду

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Відповідь:∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Приклад 3

Здійснити обчислення інтегралів ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x і ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Рішення

Відрізок - 4; - 1 2 говорить про те, що функція, що знаходиться під знаком інтеграла, є безперервною, отже, вона інтегрована. Звідси знайдемо безліч первісних функцій y = 4 x 3 + 2 x 2 . Отримуємо, що

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Необхідно взяти первісну F (x) = 2 x 2 - 2 x тоді, застосувавши формулу Ньютона-Лейбніца, отримуємо інтеграл, який обчислюємо:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Проводимо перехід до обчислення другого інтегралу.

З відрізка [-1; 1 ] маємо, що підінтегральна функція вважається необмеженою, тому що lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ тоді звідси випливає, що необхідною умовоюінтегрованості із відрізка. Тоді F(x) = 2 x 2 - 2 x не є первісною для y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1 ] , оскільки точка O належить відрізку, але не входить до області визначення. Отже, є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].

Відповідь: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].

Перед використанням формули Ньютона-Лейбніца потрібно точно знати існування певного інтеграла.

Заміна змінної у певному інтегралі

Коли функція y = f(x) є певною і безперервною з відрізка [a; b], тоді наявна безліч [a; b] вважається областю значень функції x = g (z), визначеної на відрізку α; β з наявною безперервною похідною, де g (α) = a і g β = b , звідси отримуємо, що ?

Дану формулу застосовують тоді, коли потрібно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , де невизначений інтеграл має вигляд f (x) d x , обчислюємо за допомогою методу підстановки.

Приклад 4

Здійснити обчислення певного інтеграла виду ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Рішення

Підінтегральна функція вважається безперервною на відрізку інтегрування, отже певний інтеграл має місце існування. Дамо позначення, що 2 x – 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значення х = 9 означає, що z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 отримуємо, що z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 тоді g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При підстановці отриманих значень формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z отримуємо, що

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблиці невизначених інтегралів маємо, що з першорідних функції 2 z 2 + 9 приймає значення 2 3 a r c t g z 3 . Тоді при застосуванні формули Ньютона-Лейбніца отримуємо, що

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3

Знаходження можна було робити, не використовуючи формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z .

Якщо за методу заміни використовувати інтеграл виду ∫ 1 x 2 x - 9 d x , можна дійти результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Звідси зробимо обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца і обчислимо певний інтеграл. Отримуємо, що

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 - 9 3 - a r c t g 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - π 4 = π 18

Результати збіглися.

Відповідь: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Інтегрування частинами під час обчислення певного інтеграла

Якщо на відрізку [a; b ] визначені і безперервні функції u (x) і v (x) , тоді їх похідні першого порядку v "(x) · u (x) є інтегрованими, таким чином з цього відрізка для функції інтегрованої u "(x) · v ( x) рівність ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x справедливо.

Формулу можна використовувати тоді, необхідно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , причому ∫ f (x) d x необхідно було шукати його за допомогою інтегрування частинами.

Приклад 5

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Рішення

Функція x · sin x 3 + π 6 інтегрована на відрізку - π 2; 3 π 2 означає вона безперервна.

Нехай u (x) = х, тоді d (v (x)) = v "(x) d x = sin x 3 + 6 d x , причому d (u (x)) = u "(x) d x = d x , а v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . З формули ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x отримаємо, що

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Рішення прикладу можна виконати в інший спосіб.

Знайти безліч первісних функцій x · sin x 3 + π 6 за допомогою інтегрування частинами із застосуванням формули Ньютона-Лейбніца:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Відповідь: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Похідні вищих порядків

На цьому уроці ми навчимося знаходити похідні вищих порядків, а також записувати загальну формулу енної похідної. Крім того, буде розглянута формула Лейбніца такою похідною і на численні прохання - похідні вищих порядків від неявно заданої функції. Пропоную одразу ж пройти міні-тест:

Ось функція: і ось її перша похідна:

У тому випадку, якщо у вас виникли якісь труднощі/непорозуміння щодо цього прикладу, будь ласка, почніть із двох базових статей мого курсу: Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Після освоєння елементарних похідних рекомендую ознайомитись із уроком Найпростіші завдання з похідною, на якому ми розібралися, зокрема зі другий похідний.

Неважко навіть здогадатися, що друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:

У принципі другу похідну вже вважають похідною вищого порядку.

Аналогічно: третя похідна – це похідна від 2-ї похідної:

Четверта похідна – є похідна від 3-ї похідної:

П'ята похідна: , і очевидно, що всі похідні вищих порядків теж дорівнюватимуть нулю:

Крім римської нумерації на практиці часто використовують такі позначення:
, Похідну ж «енного» порядку позначають через . При цьому надрядковий індекс потрібно обов'язково укладати у дужки.– щоб відрізняти похідну від «гравця» у мірі.

Іноді зустрічається такий запис: - Третя, четверта, п'ята, ..., «Енна» похідні відповідно.

Вперед без страху та сумнівів:

Приклад 1

Дана функція. Знайти.

Рішення: Що тут попишеш ... - вперед за четвертою похідною :)

Чотири штрихи ставити вже не прийнято, тому переходимо на числові індекси:

Відповідь:

Добре, а тепер замислимося над таким питанням: що робити, якщо за умовою потрібно знайти не 4-ту, а, наприклад, 20-ту похідну? Якщо для похідної 3-4-5-го (максимум, 6-7-го)Порядок рішення оформляється досить швидко, то до похідних вищих порядків ми «доберемося» ой як не скоро. Не записувати ж справді 20 рядків! У подібній ситуації потрібно проаналізувати кілька знайдених похідних, побачити закономірність і скласти формулу енної похідної. Так, у Прикладі №1 легко зрозуміти, що при кожному наступному диференціюванні перед експонентою «вискакуватимуть» додаткова «трійка», причому на будь-якому кроці ступінь «трійки» дорівнює номеру похідної, отже:

Де – довільне натуральне число.

Якщо , то виходить точно 1-я похідна: якщо – то 2-а: і т.д. Таким чином, двадцята похідна визначається миттєво: – і жодних «кілометрових простирадл»!

Розігріваємось самостійно:

Приклад 2

Знайти функції. Записати похідну систему

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після розминки, що бадьорить, розглянемо більш складні приклади, в яких відпрацюємо вищенаведений алгоритм рішення. Тим, хто встиг ознайомитись із уроком Межа послідовності, буде трохи легше:

Приклад 3

Знайти функції .

Рішення: щоб прояснити ситуацію знайдемо кілька похідних:

Отримані числа перемножувати не поспішаємо! ;-)


Мабуть, годі. …Навіть трохи переборщив.

На наступному кроці найкраще скласти формулу «енної» похідної. (якщо умова цього не вимагає, то можна обійтися чернеткою). Для цього дивимося на отримані результати та виявляємо закономірності, з якими виходить кожна наступна похідна.

По-перше, вони знаходять черги. Знакочередування забезпечує «мигалка», І оскільки 1-я похідна позитивна, то загальну формулу увійде наступний множник: . Підійде й еквівалентний варіант, але особисто я, як оптиміст, люблю знак «плюс» =)

По-друге, у чисельнику «накручується» факторіал, причому він «відстає» від похідної номера на одну одиницю:

І по-третє, у чисельнику зростає ступінь «двійки», яка дорівнює номеру похідної. Те саме можна сказати про ступінь знаменника. Остаточно:

З метою перевірки підставимо парочку значень «ен», наприклад, і :

Чудово, тепер припуститися помилки – просто гріх:

Відповідь:

Простіша функція для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти функції.

І завдання цікавіше:

Приклад 5

Знайти функції.

Ще раз повторимо порядок дій:

1) Спочатку знаходимо кілька похідних. Щоб уловити закономірності зазвичай вистачає трьох-чотирьох.

2) Потім настійно рекомендую скласти (хоча б на чернетці)"Енну" похідну - вона гарантовано вбереже від помилок. Але можна уникнути і без , тобто. подумки прикинути і відразу записати, наприклад, двадцяту або восьму похідну. Більше того, деякі люди взагалі здатні вирішити ці завдання усно. Однак слід пам'ятати, що «швидкі» способи загрожують, і краще перестрахуватися.

3) На заключному етапі виконуємо перевірку «енної» похідної – беремо пару значень «ен» (краще за сусідні) і виконуємо підстановку. А ще надійніше – перевірити всі знайдені раніше похідні. Після чого підставляємо в потрібне значення, наприклад, і акуратно зачісуємо результат.

Коротке рішення 4 і 5 прикладів наприкінці уроку.

У деяких завданнях, щоб уникнути проблем, над функцією потрібно трохи почаклувати:

Приклад 6

Рішення: диференціювати запропоновану функцію зовсім не хочеться, оскільки вийде «поганий» дріб, який дуже ускладнить перебування наступних похідних.

У цьому доцільно виконати попередні перетворення: використовуємо формулу різниці квадратіві властивість логарифму :

Зовсім інша справа:

І старі подруги:

Думаю, все проглядається. Зверніть увагу, що другий дріб знак чергується, а перший - ні. Конструюємо похідну систему:

Контроль:

Ну і для краси винесемо факторіал за дужки:

Відповідь:

Цікаве завдання для самостійного вирішення:

Приклад 7

Записати формулу похідної порядку для функції

А зараз про непорушну кругову поруку, якою позаздрить навіть італійська мафія:

Приклад 8

Дана функція. Знайти

Вісімнадцята похідна у точці. Усього.

Рішення: спочатку, очевидно, потрібно знайти Поїхали:

З синусу починали, до синуса і прийшли. Зрозуміло, що за подальшого диференціювання цей цикл триватиме нескінченно, і виникає таке запитання: як краще «дістатись» до вісімнадцятої похідної?

Спосіб «аматорський»: швиденько записуємо праворуч у стовпчик номера наступних похідних:

Таким чином:

Але це працює, якщо порядок похідної не дуже великий. Якщо ж треба знайти, скажімо, соту похідну, слід скористатися подільністю на 4 . Сто ділиться на чотири без залишку, і легко бачити, що такі числа розташовуються в нижньому рядку, тому: .

До речі, 18 похідну теж можна визначити з аналогічних міркувань:
у другому рядку знаходяться числа, які поділяються на 4 із залишком 2.

Інший, більш академічний метод заснований на періодичності синусуі формулах наведення. Користуємося готовою формулою «енної» похідної синусу , в яку просто підставляється потрібний номер. Наприклад:
(формула приведення ) ;
(формула приведення )

У нашому випадку:

(1) Оскільки синус – це періодична функція з періодом , то аргумент можна безболісно «відкрутити» 4 періоду (тобто .).

Похідну систему від виконання двох функцій можна знайти за формулою:

Зокрема:

Спеціально запам'ятовувати нічого не треба, бо чим більше формул знаєш – тим менше розумієш. Набагато корисніше ознайомитися з біномом Ньютонаоскільки формула Лейбніца дуже і дуже на нього схожа. Ну а ті везунчики, яким дістанеться похідна 7-го або вищих порядків (що, правда, малоймовірно), будуть змушені це зробити. Втім, коли черга дійде до комбінаторики– то все одно доведеться =)

Знайдемо третю похідну функції. Використовуємо формулу Лейбніца:

У даному випадку: . Похідні легко переклали усно:

Тепер акуратно та уважно виконуємо підстановку та спрощуємо результат:

Відповідь:

Аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 11

Знайти функції

Якщо у попередньому прикладі рішення «в лоб» ще конкурувало з формулою Лейбниця, то тут воно вже буде справді неприємним. І ще неприємніше – у разі вищого порядку похідної:

Приклад 12

Знайти похідну вказаного порядку

Рішення: перше і суттєве зауваження - вирішувати ось так , напевно, не потрібно =) =)

Запишемо функції та знайдемо їх похідні до 5-го порядку включно. Припускаю, що похідні правого стовпця стали для вас усними:

У лівому ж стовпці «живі» похідні швидко «закінчилися» і це дуже добре – у формулі Лейбниця обнуляться три доданки:

Знову зупинюся на дилемі, яка фігурувала у статті про складних похідних: чи спрощувати результат? В принципі, можна залишити і так – викладачеві навіть легше перевірятиме. Але він може вимагати довести рішення до пуття. З іншого боку, спрощення за власною ініціативою загрожує помилками алгебри. Однак у нас є відповідь, отримана «первісним» способом =) (Див. посилання на початку), і я сподіваюся, він правильний:

Чудово, все зійшлося.

Відповідь:

Щасливе завдання для самостійного вирішення:

Приклад 13

Для функції:
а) визначити безпосереднім диференціюванням;
б) знайти за формулою Лейбніца;
в) обчислити.

Ні, я зовсім не садист - пункт "а" тут досить простий =)

А якщо серйозно, то «пряме» рішення послідовним диференціюванням теж має «право на життя» – у ряді випадків його складність можна порівняти зі складністю застосування формули Лейбніца. Використовуйте, якщо вважаєте за доцільне – це навряд чи буде основою незаліку завдання.

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Щоб підняти заключний параграф, потрібно вміти диференціювати неявні функції:

Похідні вищих порядків від функцій, заданих неявно

Багато хто з нас витратив довгі години, дні та тижні життя на вивчення кіл, парабол, гіпербол– а іноді це взагалі здавалося покаранням. Тож давайте помстимось і продиференціюємо їх як слід!

Почнемо зі «шкільної» параболи до неї канонічному становищі:

Приклад 14

Дано рівняння. Знайти.

Рішення: перший крок добре знайомий:

Те, що функція та її похідна виражені неявно суті справи не змінює, друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:

Однак свої правила гри існують: похідні 2-го та більш високих порядків прийнято висловлювати тільки через «ікс» та «ігрок». Тому в отриману 2-ю похідну підставимо:

Третя похідна – є похідна від 2-ї похідної:

Аналогічно, підставимо:

Відповідь:

«Шкільна» гіпербола в канонічному становищі– для самостійної роботи:

Приклад 15

Дано рівняння. Знайти.

Повторюю, що 2-у похідну і результат слід висловити лише через «ікс»/«ігрок»!

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після дитячих витівок подивимося німецьку порногр@фію розглянемо більш дорослі приклади, з яких дізнаємося ще один важливий прийом рішення:

Приклад 16

Еліпсвласною персоною.

Рішення: знайдемо 1-у похідну:

А тепер зупинимося і проаналізуємо наступний момент: зараз маємо диференціювати дріб, що зовсім не тішить. В даному випадку вона, звичайно, проста, але в реально зустрічаються завдання таких подарунків разів два і влаштувався. Чи існує спосіб уникнути знаходження громіздкої похідної? Існує! Беремо рівняння та використовуємо той самий прийом, що і при знаходженні 1-ї похідної – «навішуємо» штрихи на обидві частини:

Друга похідна повинна бути виражена тільки через і тому зараз (саме зараз)зручно позбутися 1-ї похідної. Для цього в отримане рівняння підставимо:

Щоб уникнути зайвих технічних труднощів, помножимо обидві частини на:

І лише на завершальному етапі оформляємо дріб:

Тепер дивимося на вихідне рівняння та помічаємо, що отриманий результат піддається спрощенню:

Відповідь:

Як знайти значення 2-ї похідної в будь-якій точці (яка, зрозуміло, належить еліпсу), наприклад, у точці ? Дуже легко! Цей мотив вже зустрічався на уроці про рівнянні нормалі: у вираз 2-ї похідної потрібно підставити :

Безперечно, у всіх трьох випадках можна отримати явно задані функціїі диференціювати їх, але тоді морально настройте працювати з двома функціями, які містять коріння. На мою думку, рішення зручніше провести «неявним шляхом».

Заключний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 17

Знайти неявно задану функцію

Наводиться формула Лейбниця для обчислення n-йпохідної роботи двох функцій. Надано її доказ двома способами. Розглянуто приклад обчислення похідної n-го порядку.

Зміст

Див. також: Похідна робота двох функцій

Формула Лейбниця

За допомогою формули Лейбніца можна обчислити похідну n-го порядку від двох функцій. Вона має такий вигляд:
(1) ,
де
- Біноміальні коефіцієнти.

Біноміальні коефіцієнти є коефіцієнтами розкладання бінома за ступенями і:
.
Також число є числом поєднань з n k .

Доказ формули Лейбниця

Застосуємо формулу похідної добутку двох функцій :
(2) .
Перепишемо формулу (2) у такому вигляді:
.
Тобто ми вважаємо, що одна функція залежить від змінної x, а інша - від змінної y. Наприкінці розрахунку ми вважаємо. Тоді попередню формулу можна записати так:
(3) .
Оскільки похідна дорівнює сумі членів, і кожен член є добутком двох функцій, то для обчислення похідних вищих порядків можна послідовно застосовувати правило (3).

Тоді для похідної n-го порядку маємо:

.
Враховуючи, що і ми отримуємо формулу Лейбніца:
(1) .

Доказ методом індукції

Наведемо доказ формули Лейбніца методом математичної індукції.

Ще раз випишемо формулу Лейбніца:
(4) .
При n = 1 маємо:
.
Це формула похідної праці двох функцій. Вона справедлива.

Припустимо, що формула (4) справедлива для похідної n-го порядку. Доведемо, що вона справедлива для похідної n+ 1 -го порядку.

Диференціюємо (4):
;



.
Отже, ми знайшли:
(5) .

Підставимо в (5) і врахуємо, що :

.
Звідси видно, що формула (4) має той самий вигляд і для похідної n + 1 -го порядку.

Отже, формула (4) справедлива за n = 1 . З припущення, що вона виконується для деякого числа n = m випливає, що вона виконується для n = m + 1 .
Формулу Лейбницю доведено.

приклад

Обчислити n-ю похідну функції
.

Застосуємо формулу Лейбниця
(2) .
У нашому випадку
;
.

за таблиці похіднихмаємо:
.
Застосовуємо властивості тригонометричних функцій :
.
Тоді
.
Звідси видно, що диференціювання функції синус призводить до зсуву на . Тоді
.

Знаходимо похідні від функції.
;
;
;
, .

Оскільки при , то у формулі Лейбніца відмінні від нуля лише перші три члени. Знаходимо біномні коефіцієнти.
;
.

За формулою Лейбниця маємо:

.

Див. також: