Рівняння щодо функції заданої неявно. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції. Основні властивості невизначеного інтегралу

Програми похідної.

5.1.Геометричний змил похідної:

Розглянемо графік функції y= f (x).

З малюнка 1 видно, що з будь-яких двох точок Aі Bграфіка функції: , де α - кут нахилу січної AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку Aі рухати у напрямку до неї точку B, то необмежено зменшується та наближається до 0, а січна АВнаближається до дотичної АС.

Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A, тобто. . Звідси випливає: Похідна функції точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіку функції y = f(x) у цій точці, тобто. .

1. Стосується графіка функції в точці (х 0; f(х 0) називається граничне положення січної (АС).

Рівняння дотичної : y – f(x 0) =

2. Пряма, перпендикулярна дотичній (АС) у точці (х 0; f(х 0), називається нормаллю до графіка функції.

Рівняння нормалі: y – f(x 0) =

Завдання: Скласти рівняння дотичної та нормалі, проведених до графіка функції y=10x-x у точці з абсцисою, що дорівнює х 0 =2.

Рішення:

1. Знаходимо ординату точки дотику: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної: f "(х) = (10x-x)" = 10-2х, = f "(2)=10–2∙2=6

3. Складаємо рівняння дотичної: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – рівняння дотичної,

4. Складаємо рівняння нормалі: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – рівняння нормалі.

5.2. Фізичний зміст похідної:

Визначення. Швидкість руху тіла дорівнює першій похідній від шляху за часом:

5.3. Механічний зміст похідної:

Визначення. Прискорення руху тіла дорівнює першій похідній від швидкості за часом або другий похідний шлях за часом:

Завдання: Визначити швидкість та прискорення точки, що рухається згідно із законом у момент t=4c.

Рішення:

1. Знаходимо закон швидкості: v= S"=

2. Знаходимо швидкість у момент t = 4c: v(t) = v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 од/сек

3. Знаходимо закон прискорення: а=v′=

4. Знаходимо прискорення у момент t = 4c: а(t) = а( 4)=4∙4+8=24од/сек 2

РОЗДІЛ 1.3. Диференціал функції та його застосування у наближених обчисленнях. Поняття диференціалу функції

Диференціалом функціїу=ƒ(х) у точці х називається головна частина її збільшення, рівна добутку похідної функції на збільшення аргументу, і позначається dу (або dƒ(х)): dy=ƒ"(х)∙∆х(1).

Диференціал dу називають також диференціалом першого порядку.Знайдемо диференціал незалежної змінної х, тобто диференціал функції у = х.

Так як у "=х" = 1, то, згідно з формулою (1), маємо dy = dx = ∆x, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної: dх = ∆х.

Тому формулу (1) можна записати так: dy=ƒ"(х) ∙ dх(2)іншими словами, диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції диференціал незалежної змінної.

З формули (2) випливає рівність dy/dx=ƒ"(х).

Приклад1: Знайти диференціал функції ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Рішення: За формулою dy=ƒ"(х) dx знаходимоdy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Приклад2: Визначити диференціал другого порядку функції: y = x 3 -7x.

Рішення:

РОЗДІЛ 1.4. Первісна. Невизначений інтеграл. Способи обчислення невизначеного інтегралу.

Визначення1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на деякому проміжку, диференціал якої дорівнює виразу f(x)dx. приклад: f(x) = 3х2 3х2 dx F(x) = х3.

Однак диференціалу функції відповідає не єдина первісна, а безліч їх. Розглянемо з прикладу: F 1 (x) = x 3 , F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, у вигляді F(x) + З, де З - довільна константа . Значить для функції f(x)= 3х 2 існують безліч первісних, що відрізняються один від одного постійним доданком.

Визначення2. Безліч всіх первісних функцій f(x) на певному проміжку називається невизначеним інтегралом від функцій f(x) на цьому проміжку і позначається символом f(x)dx .

Цей символ читається так: "інтеграл від f(x) до dx", таким чином за визначенням:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Символ ∫ називається знаком інтеграла, f(x) – підінтегральною функцією, f(x)dx – підінтегральним виразом, х – змінної інтегрування, F(x) - якась первісна,

С – постійна.

Основні властивості невизначеного інтегралу:

1. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції дорівнює цій функції, складеній із довільною постійною: ∫ d F(x) = F(x) + С

3. Постійний множник можна виносити за знак інтегралу: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx, k-const.

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від кожної з них: ∫ (f 1 (x) + f 2 (x)-f 3 (x)) dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Тема : Поняття щодо і нормалі.

Рівняння дотичної та нормалі.

Цілі:

Предметні: познайомити студентів з поняттями: дотична та нормаль до кривої; закріпити дані поняття під час вирішення завдань на складання рівнянь дотичної та нормалі; з'ясувати, якою властивістю мають кутові коефіцієнти дотичної та нормалі.

Комунікативні: аргументувати свою точку зору, сперечатися та відстоювати свою позицію не ворожим для опонентів чином; вміти слухати та чути один одного.

Пізнавальні : встановлювати причинно-наслідкові зв'язки; виражати сенс ситуації різними засобами (малюнки, символи, схеми, знаки).

Регулятивні: приймати пізнавальну мету, зберігати її під час виконання навчальних дій, регулювати весь процес їх виконання та чітко виконувати вимоги пізнавального завдання.

Особистісні: формування пізнавального інтересу до вивчення нового, мотивації до самостійної та колективної дослідницької діяльності.

Хід уроку:

1. Актуалізація опорних знань студентів:

(Введення понять щодо і нормалі до кривої)

Ми знаємо аналітичний та фізичний зміст похідної: (відповіді студентів :

аналітичний зміст – це, фізичний – це швидкість процесу, заданого функцією).

З'ясуємо геометричний зміст похідної.

Для цього введемо поняття щодо кривої в даній точці.

Зі шкільного курсу геометрії, ви знаєте поняття щодо кола. (відповіді студентів : дотична до кола визначається як пряма, що лежить в одній площині з коло і має з нею єдину загальну точку).

Але таке визначення дотичної не можна застосовувати для випадку довільної кривої. Наприклад, для параболи осі мають по одній спільній точціз параболою. Однак вісь є дотичною до параболи, а вісь – ні. Дамо загальне визначення щодо до кривою у цій точці.

Нехай – деякі точки довільної кривої – крива, що січе. При наближенні точки по кривій січуча повертатиметься навколо точки

Визначення. Граничне положення січної при необмеженому наближенні точки по кривій називаєтьсядотичної до кривої в точці

Визначення . Нормаллю до кривої в точці називається пряма, що проходить через точку перпендикулярно дотичної до кривої в цій точці.

Якщо – дотична до кривої у точці,

то перпендикулярна буде нормаллю до кривої в точці

Пояснення нового матеріалу:

(З'ясуємо, у чому полягає геометричний зміст похідної , яку властивість мають кутові коефіцієнти дотичної і нормалі).

Нехай крива є графіком функції. Крапки

лежать на графіку функції. Пряма – дотична до кривої.

Кут нахилу дотичної

Похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної в точці або кутовому коефіцієнту, що стосується графіка функції в цій точці .

Рівняння дотичної до кривої в точці має вигляд

Рівняння нормалі до кривої в точці має вигляд

(3)

Проблемні питання : подивіться на рівняння дотичної та нормалі, у чому їхня відмінність і подібність?

Чому дорівнює твір? Чому так відбувається?

(Студенти повинні дати такі відповіді на запитання: -1, оскільки дотична та нормаль взаємно перпендикулярні)

Закріплення теоретичного матеріалу практично:

( Вирішення завдань в аудиторії)

П р і м е р 1. Обчисліть кутові коефіцієнти, що стосуються параболи в точках.

Рішення. З геометричного значення похідної (формула 1) кутовий коефіцієнт дотичної.

Знайдемо похідну функції: .

. Отже, .

Знайдемо значення похідної у точці

Отже, .

П р і м е р 2. У параболи проведені дотичні в точках Знайдіть кути нахилу дотичних до осі Ох.

Рішення. За формулою (1)

Знайдемо. .

Обчислимо значення похідної у точці: .

Отже, в.

Аналогічно у точці.

Отже, і

П р і м е р 3. В якій точці дотична до кривої нахилена до осі Ох

під кутом

Рішення. За формулою (1)

; . Отже, і

Підставивши у функцію, отримаємо. Отримали крапку.

П р і м е р 4. Скласти рівняння дотичної та нормалі до параболи у точці

Рішення. Рівняння дотичної до кривої має вигляд.

Із умови завдання. Знайдемо похідну.

; .

Підставивши всі значення в рівняння, отримаємо рівняння дотичної

або.

Складемо рівняння нормалі, скориставшись формулою:

або

Завдання для самостійного вирішення:

1.Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої в точці.

2.Крива задана рівнянням Визначити кути нахилу, що стосуються позитивного напрямку осі, проведених до кривої в точках у точках з абсцисами.

3.На кривій знайти точку, в якій дотична паралельна пряма.

4.У якій точці дотична до кривої: а) паралельна до осі; б) утворює з віссю кут 45?

5. Знайти абсцис точки параболи, в якій дотична паралельна осі абсцис.

6.Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої в точці.

7.У якій точці дотична до кривої утворює з віссю кут 30?

8.У якій точці дотична до графіка функції утворює кут 135

з віссю?

9.У якій точці дотична до графіка функції паралельна осі абсцис?

10.У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної параболи дорівнює 3?

11.Знайти кут нахилу дотичної до кривої в точці, абсцис якої дорівнює 2.

12.Скласти рівняння дотичної до параболи в точці з абсцисою

13.Скласти рівняння дотичної до гіперболи в точці

14.Скласти рівняння дотичної до кривої в точці.

15.Знайти дотичну до кривої в точці з абсцисою.

Відповіді : 1) .12 2). 45°,arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45°12) .у = -2х-113) .у = -х +214) .у=4х+615) .у = 4х-2.

Критерій оцінки : «5»- 15 завдань

«4»- 11-14 завдань

«3»- 8 завдань

4. Підсумки уроку : виставлення оцінок; + і - уроку для студента (що зрозумів і в чому ще належить розібратися?)

5. Домашнє завдання: підготувати відповіді на запитання:

Дайте визначення дотичної до кривої.

Що називається нормаллю до кривої?

У чому полягає геометричний зміст похідної? Запишіть формулу.

Запишіть рівняння щодо кривої в даній точці.

Запишіть рівняння нормалі до кривої у цій точці.

Розв'язати задачі 1-15 на вибір критерію оцінки;додатково за бажанням : скласти та вирішити картку на цю тему.

Стосовна - це пряма , Що стосується графіка функції в одній точці та всі точки якої знаходяться на найменшій відстані від графіка функції. Тому дотична проходить щодо графіка функції під певним кутом і не можуть проходити через точку дотику кілька дотичних під різними кутами. Рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції складаються за допомогою похідної.

Рівняння дотичної виводиться з рівняння прямої .

Виведемо рівняння дотичної, та був - рівняння нормалі до графіку функції.

y = kx + b .

В ньому k- Кутовий коефіцієнт.

Звідси отримуємо наступний запис:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Значення похідної f "(x 0 ) функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту k= tg φ дотичної до графіка функції, проведеної через точку M0 (x 0 , y 0 ) , де y0 = f(x 0 ) . У цьому полягає геометричний зміст похідної .

Таким чином, можемо замінити kна f "(x 0 ) та отримати наступне рівняння дотичної до графіка функції :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

У завданнях на складання рівняння дотичної до графіку функції (а ми вже скоро до них перейдемо) потрібно привести рівняння, що вийшло за вищенаведеною формулою до рівняння прямий у загальному вигляді. Для цього потрібно всі літери та числа перенести до лівої частини рівняння, а у правій частині залишити нуль.

Тепер про рівняння нормалі. Нормаль - це пряма, яка проходить через точку торкання графіка функції перпендикулярно дотичної. Рівняння нормалі :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для розминки перший приклад пропонується вирішити самостійно, а потім подивитися рішення. Є всі підстави сподіватися, що для наших читачів це завдання не буде холодним душем.

приклад 0.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції у точці M (1, 1) .

приклад 1.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції , якщо абсцис точки торкання .

Знайдемо похідну функції:

Тепер у нас є все, що потрібно підставити в теоретичній довідці запис, щоб отримати рівняння дотичної. Отримуємо

У цьому прикладі нам пощастило: кутовий коефіцієнт виявився рівним нулю, тому окремо наводити рівняння до загального вигляду не знадобилося. Тепер можемо скласти і рівняння нормалі:

На малюнку нижче: графік функції бордового кольору, що стосується зеленого кольору, нормаль оранжевого кольору.

Наступний приклад - теж не складний: функція, як і в попередньому, також є багаточленом, але кутовий коефіцієнт не дорівнюватиме нулю, тому додасться ще один крок - приведення рівняння до загального вигляду.

приклад 2.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

.

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

Підставляємо всі отримані дані у "формулу-болванку" і отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду (всі букви та числа, відмінні від нуля, збираємо в лівій частині, а в правій залишаємо нуль):

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 3.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

.

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

.

Знаходимо рівняння дотичної:

Перед тим, як привести рівняння до загального вигляду, потрібно його трохи "зачесати": помножити почленно на 4. Робимо це і наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 4.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

.

Отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

Поширена помилка при складанні рівнянь дотичної та нормалі - не помітити, що функція, дана в прикладі, - складна і обчислювати її похідну як похідну простий функції. Наступні приклади - вже зі складними функціями(Відповідний урок відкриється в новому вікні).

Приклад 5.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Увага! Ця функція - складна, оскільки аргумент тангенсу (2 x) сам є функцією. Тому знайдемо похідну функції як похідну складної функції.