Гранична ознака раабе з доказом. Числові лави підвищеної складності. Необхідна та достатня умова збіжності знакопозитивного числового ряду

У цій статті зібрана та структурована інформація, необхідна для вирішення практично будь-якого прикладу на тему числові ряди, від знаходження суми ряду до дослідження його на збіжність.

Огляд статті.

Почнемо з визначень знакопозитивного, знакозмінного ряду та поняття збіжності. Далі розглянемо стандартні ряди, такі як гармонійний ряд, узагальнено гармонійний ряд, пригадаємо формулу для знаходження суми геометричної прогресії, що нескінченно убуває. Після цього перейдемо до властивостей рядів, що сходяться, зупинимося на необхідній умові збіжності ряду і озвучимо достатні ознаки збіжності ряду. Теорію розводитимемо рішенням характерних прикладів з докладними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Основні визначення та поняття.

Нехай ми маємо числову послідовність, де .

Наведемо приклад числової послідовності: .

Числовий ряд- Це сума членів числової послідовності виду .

Як приклад числового ряду можна навести суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q = -0.5: .

Називають загальним членом числового рядуабо k-им членом ряду.

Для попереднього прикладу загальний член числового ряду має вигляд.

Часткова сума числового ряду- це сума виду, де n - деяке натуральне число. називають також n-ою частковою сумою числового ряду.

Наприклад, четверта часткова сума ряду є .

Часткові суми утворюють нескінченну послідовність часткових сум числового ряду.

Для нашого ряду n-а часткова сума знаходиться за формулою суми перших n членів геометричної прогресії тобто будемо мати наступну послідовність часткових сум: .

Числовий ряд називається схожимякщо існує кінцева межа послідовності часткових сум. Якщо межа послідовності часткових сум числового ряду не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Сумою схожого числового рядуназивається межа послідовності його часткових сум, тобто, .

У нашому прикладі , отже, ряд сходиться, причому його сума дорівнює шістнадцяти третім: .

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: . n-а часткова сума визначається виразом , а межа часткових сум нескінченна: .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду. У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як . Межа часткових сум нескінченна .

Сума виду називається гармонійним числовим рядом .

Сума виду де s – деяке дійсне число, називається узагальнено гармонійним числовим рядом.

Наведених визначень достатньо для обґрунтування таких тверджень, що дуже часто використовуються, рекомендуємо їх запам'ятати.

Гармонічний ряд є розбіжним.

Доведемо розбіжність гармонійного ряду.

Припустимо, що низка сходиться. Тоді існує кінцева межа його часткових сум. У цьому випадку можна записати і , що приводить нас до рівності .

З іншого боку,


Не викликають сумніви такі нерівності. Таким чином, . Отримана нерівність вказує нам на те, що рівність не може бути досягнуто, що суперечить нашому припущенню про збіжність гармонійного ряду.

Висновок: гармонійний ряд розходиться.

СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ ВИДУ ІЗ ЗНАМІНАЛЬНИКОМ q Є СХОДЯЧИМ ЧИСЛОВИМ РЯДОМ, ЯКЩО , І РОЗІГЛЯЄТЬСЯ РЯДОМ ПРИ .

Доведемо це.

Ми знаємо, що сума перших n членів геометричної прогресії перебуває за формулою .

При справедливо


що свідчить про збіжність числового ряду.

При q = 1 маємо числовий ряд . Його часткові суми перебувають як , а межа часткових сум нескінченна , що свідчить про розбіжність низки у разі.

Якщо q = -1 , то числовий ряд набуде вигляду . Часткові суми приймають значення для непарних n і для парних n . З цього можна дійти невтішного висновку, що межа часткових сум немає і ряд розходиться.

При справедливо


що свідчить про розбіжність числового ряду.

УЗАГАЛЬНО ГАРМОНІЧНИЙ РЯД СХОДИТЬСЯ ПРИ s > 1 І ВИДІЛЯЄТЬСЯ ПРИ .

Доведення.

Для s = 1 отримаємо гармонійний ряд , а ми встановили його розбіжність.

При s справедлива нерівність для всіх натуральних k . У силу розбіжності гармонійного ряду можна стверджувати, що послідовність його часткових сум необмежена (оскільки немає кінцевої межі). Тоді послідовність часткових сум числового ряду тим більше необмежена (кожен член цього ряду більший за відповідний член гармонічного ряду), отже, узагальнено гармонійний ряд розходиться при s .

Залишилося довести збіжність ряду при s>1.

Запишемо різницю:



Очевидно, що тоді


Розпишемо отриману нерівність для n = 2, 4, 8, 16, …



Використовуючи ці результати, з вихідним числом можна провести такі дії:



Вираз є сумою геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює . Оскільки ми розглядаємо випадок при s > 1, то. Тому
. Таким чином, послідовність часткових сум узагальнено гармонійного ряду при s > 1 є зростаючою і в той же час обмеженою зверху значенням, отже, вона має межу, що вказує на збіжність ряду. Доказ завершено.

Числовий ряд називається знакопозитивнимякщо всі його члени позитивні, тобто, .

Числовий ряд називається знакочереднимякщо знаки його сусідніх членів різні. Знайомий числовий ряд можна записати у вигляді або , де .

Числовий ряд називається знакозмінним, якщо він містить безліч як позитивних, так і негативних членів.

Знакочередующийся числовий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

Ряди

є знакопозитивним, знакочередним і знакозмінним відповідно.

Для знакозмінного ряду існує поняття абсолютної та умовної збіжності.

абсолютно схожим, якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів, тобто, сходиться позитивний числовий ряд .

Наприклад, числові ряди і абсолютно сходяться, оскільки сходиться ряд , що є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знакозмінний ряд називається умовно схожимякщо ряд розходиться, а ряд сходиться.

Як приклад умовно схожого числового ряду можна навести ряд . Числовий ряд , Складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, що розходиться, так як є гармонійним. У той же час, вихідний ряд є схожим, що легко встановлюється за допомогою . Таким чином, числовий ряд умовно схожий.

Властивості схожих числових рядів.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду.

Рішення.

Запишемо ряд в іншому вигляді . Числовий ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є схожим при s > 1, а в силу другого властивості числових рядів, що сходяться, буде сходиться і ряд з числовим коефіцієнтом .

приклад.

Чи сходиться числовий ряд.

Рішення.

Перетворимо вихідний ряд: . Таким чином, ми отримали суму двох числових рядів і , причому кожен із них сходиться (дивіться попередній приклад). Отже, в силу третьої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться і вихідний ряд.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду та обчисліть його суму.

Рішення.

Даний числовий ряд можна подати у вигляді різниці двох рядів:

Кожен із цих рядів є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, отже, є схожим. Третя властивість рядів, що сходяться, дозволяє стверджувати, що вихідний числовий ряд сходиться. Обчислимо його суму.

Перший член ряду є одиниця, а знаменник відповідної геометричної прогресії дорівнює 0.5, отже, .

Першим членом ряду є 3, а знаменник відповідної нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1/3, тому .

Скористаємося отриманими результатами для знаходження суми вихідного числового ряду:

Необхідна умова збіжності низки.

Якщо числовий ряд сходиться, межа його k-ого члена дорівнює нулю: .

При дослідженні будь-якого числового ряду на збіжність насамперед слід перевіряти виконання необхідної умови збіжності. Невиконання цієї умови свідчить про розбіжність числового ряду, тобто, якщо , то ряд розходиться.

З іншого боку, треба розуміти, що ця умова не є достатньою. Тобто виконання рівності не говорить про збіжність числового ряду. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна умова збіжності виконується , а ряд розходиться.

приклад.

Дослідити числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності числового ряду:

Межа n-ого члена числового ряду не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивного ряду.

При використанні достатніх ознак для дослідження числових рядів на збіжність постійно доводиться стикатися з так, що рекомендуємо звертатися до цього розділу при труднощі.

Необхідна та достатня умова збіжності знакопозитивного числового ряду.

Для збіжності знакопозитивного числового ряду необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Почнемо із ознак порівняння рядів. Їх суть полягає в порівнянні досліджуваного числового ряду з рядом, збіжність чи розбіжність якого відома.

Перший, другий та третій ознаки порівняння.

Перша ознака порівняння рядів.

Нехай і - два знакопозитивних числових ряду і виконується нерівність для всіх k = 1, 2, 3, ... Тоді зі збіжності ряду випливає збіжність, а з розбіжності ряду випливає розбіжність.

Перша ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужний інструментдослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд порівняння зазвичай (але завжди) вибирається отже показник ступеня його k-ого члена дорівнює різниці показників ступеня чисельника і знаменника k-ого члена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай , різницю показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 – 3 = -1 , тому, порівняння вибираємо ряд із k-ым членом , тобто, гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Встановити збіжність чи розбіжність ряду.

Рішення.

Так як межа загального члена ряду дорівнює нулю, то необхідна умова збіжності ряду виконано.

Неважко помітити, що справедлива нерівність для всіх натуральних . Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння вихідний ряд також є розбіжним.

приклад.

Дослідіть числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, оскільки . Очевидно виконання нерівності для будь-кого натурального значення k. Ряд сходиться, оскільки узагальнено гармонійний ряд є схожим на s > 1 . Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду.

приклад.

Визначте збіжність чи розбіжність числового ряду.

Рішення.

Отже, необхідну умову збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність. Члени числової послідовності зростають до нескінченності. Таким чином, починаючи з деякого номера N (а саме з N = 1619), члени цієї послідовності будуть більше 2 . Починаючи з цього номера N, справедлива нерівність. Числовий ряд сходить у силу першого властивості рядів, що сходяться, тому що виходить з ряду, що сходить, відкиданням перших N - 1 члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння схожим є ряд , а в силу першої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться буде і ряд .

Друга ознака порівняння.

Нехай і знакопозитивні числові ряди. Якщо, то зі збіжності ряду випливає збіжність. Якщо, то з розбіжності числового ряду випливає розбіжність.

Слідство.

Якщо і , то зі збіжності одного ряду випливає збіжність іншого, та якщо з розбіжності випливає розбіжність.

Досліджуємо ряд збіжність з допомогою другого ознаки порівняння. Як ряд візьмемо ряд, що сходить. Знайдемо межу відношення k-их членів числових рядів:

Таким чином, за другою ознакою порівняння зі збіжності числового ряду слідує збіжність вихідного ряду.

приклад.

Дослідити на збіжність числовий ряд.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності ряду . Умова виконана. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межу відношення k-их членів:

Отже, з розбіжності гармонійного ряду випливає розбіжність вихідного ряду за другою ознакою порівняння.

Для інформації наведемо третю ознаку порівняння рядів.

Третя ознака порівняння.

Нехай і знакопозитивні числові ряди. Якщо з деякого номера N виконується умова, то зі збіжності ряду випливає збіжність, та якщо з розбіжності ряду слід розбіжність.

Ознака Даламбер.

Зауваження.

Ознака Даламбера справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо , то ознака Даламбера дає інформацію про збіжності чи розбіжності низки і потрібно додаткове дослідження.

приклад.

Дослідіть числовий ряд на збіжність за ознакою Даламбер.

Рішення.

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності числового ряду, межу обчислимо за :

Умова виконана.

Скористаємося ознакою Даламбера:

Таким чином, низка сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Нехай – знакопозитивний числовий ряд. Якщо , то числовий ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Зауваження.

Радикальна ознака Коші справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо радикальна ознака Коші не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Зазвичай досить легко розглянути випадки, коли краще використовувати радикальний ознака Коші. Характерним є випадок, коли загальний член числового ряду є показово статечним виразом. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Дослідити позитивний числовий ряд на збіжність за допомогою радикальної ознаки Коші.

Рішення.

. За радикальною ознакою Коші отримуємо .

Отже, низка сходиться.

приклад.

Чи сходиться числовий ряд .

Рішення.

Скористаємося радикальною ознакою Коші Отже, числовий ряд сходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Нехай – знакопозитивний числовий ряд. Складемо функцію безперервного аргументу y = f (x), аналогічну функції. Нехай функція y = f(x) позитивна, безперервна і спадна на інтервалі , де ). Тоді у разі збіжності невласного інтегралусходиться досліджуваний числовий ряд. Якщо ж невласний інтегралрозходиться, то вихідний ряд теж розходиться.

При перевірці зменшення функції y = f(x) на інтервалі може знадобитися теорія з розділу .

приклад.

Дослідіть числовий ряд із позитивними членами на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності ряду виконана, оскільки . Розглянемо функцію. Вона позитивна, безперервна і спадна на інтервалі. Безперервність і позитивність цієї функції не викликає сумніву, а на спаданні зупинимося трохи докладніше. Знайдемо похідну:
. Вона негативна на проміжку, отже, функція зменшується на цьому інтервалі.

У випадках, коли ознаки Даламбера і Коші не дають результату, іноді позитивна відповідь можуть дати ознаки, засновані на порівнянні з іншими рядами, що сходяться або розходяться «повільніше», ніж ряд геометричної прогресії.

Наведемо без доказу формулювання чотирьох громіздкіших ознак збіжності рядів. Докази цих ознак ґрунтуються також на теоремах порівняння 1–3 (теореми 2.2 та 2.3) досліджуваного ряду з деякими рядами, збіжність чи розбіжність яких уже встановлена. Ці докази можна знайти, наприклад, у фундаментальному підручнику Г. М. Фіхтенгольця (т. 2).

Теорема 2.6. Ознака Раабе. Якщо для членів позитивного числового ряду починаючи з деякого номера М виконується нерівність

(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)

то ряд сходиться (розходиться).

Ознака Раабе у граничній формі. Якщо для членів зазначеного вище ряду виконується умова

Примітка 6. Якщо порівняти ознаки Даламбера і Раабе, можна показати, що другий значно сильніше першого.

Якщо для ряду існує межа

то для послідовності Раабе існує межа

Таким чином, якщо ознака Даламбера дає відповідь на питання про збіжність або розбіжність ряду, то ознака Раабе також його дає, причому ці випадки охоплюються лише двома з можливих значень R: + і -. Всі інші випадки кінцевого R 1 , коли ознака Раабе дає ствердну відповідь на питання про збіжність чи розбіжність ряду, відповідають нагоді D = 1, тобто нагоди, коли ознака Даламбера не дає ствердної відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Теорема 2.7. Ознака Куммера. Нехай (сn) – довільна послідовність позитивних чисел. Якщо для членів позитивного числового ряду починаючи з деякого номера М виконується нерівність

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

то ряд сходиться .

Ознака Куммера у граничній формі. Якщо для зазначеного вище ряду існує межа

то ряд сходиться .

З ознаки Куммера як наслідок легко отримати докази ознак Даламбера, Раабе та ознаки Бертрана. Останній виходить, якщо як послідовність (сn) взяти

сn=nln n, "n Î N,

для якої ряд

розходиться (розбіжність цього ряду буде показано у прикладах даного параграфа).

Теорема 2.8. Ознака Бертрана у граничній формі. Якщо для членів позитивного числового ряду послідовність Бертрана

(2.12)

(Rn – послідовність Раабе) має межу

то ряд сходиться (розходиться).

Нижче сформулюємо ознаку Гауса – найбільш потужний у послідовності розташованих за зростанням області застосування ознак збіжності рядів: Даламбера, Раабе і Бертрана. Ознака Гаусса узагальнює всю міць попередніх ознак і дозволяє вивчати значно складніші ряди, але, з іншого боку, для його застосування потрібно проводити більш тонкі дослідження, щоб отримати асимптотичне розкладання відносин сусідніх членів ряду до другого порядку дещиці щодо величини.

Теорема 2.9. Ознака Гауса. Якщо для членів позитивного числового ряду починаючи з деякого номера М виконується рівність

, "n ³ M, (2.13)

де l та p – постійні, а tn – обмежена величина.

а) при l> 1 або l = 1 і р> 1 ряд сходиться;

б) при l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. Інтегральна ознака Коші-Маклорена,

«телескопічна» ознака Коші та ознака Єрмакова

Розглянуті вище ознаки збіжності рядів засновані на теоремах порівняння і є достатніми, тобто при виконанні умов ознаки даного рядуможна зробити певні твердження про його поведінку, але якщо умови ознаки для нього не виконані, то нічого про збіжність ряду стверджувати не можна, він може як сходитися так і розходитися.

Інтегральна ознака Коші-Маклорена відрізняється від вивчених вище за змістом, будучи необхідним і достатнім, а також формою, базуючись на зіставленні нескінченної суми (ряду) з нескінченним (невласним) інтегралом, і демонструє природний взаємозв'язок теорії рядів і теорії інтегралів. Цей взаємозв'язок легко простежується на прикладі ознак порівняння, аналоги яких мають місце для невласних інтегралів та його формулювання майже дослівно збігаються з формулюваннями для рядів. Повна аналогія спостерігається також у формулюваннях достатніх ознак збіжності довільних числових рядів, які будуть вивчені у наступному параграфі, та ознак збіжності невласних інтегралів – таких як ознаки збіжності Абеля та Діріхле.

Нижче будуть наведені також «телескопічна» ознака Коші та оригінальна ознака збіжності рядів, отримана російським математиком В.П. Єрмаковим; ознака Єрмакова за своєю потужністю має приблизно ту область застосування, як і інтегральний ознака Коши–Маклорена, проте містить у формулюванні термінів і понять інтегрального обчислення.

Теорема 2.10. Ознака Коші-Маклорена. Нехай для членів позитивного числового ряду, починаючи з деякого номера М, виконується рівність

де функція f(х) невід'ємна та незростаюча на напівпрямій (х ³ М). Числовий ряд сходиться тоді і лише тоді, коли сходиться невласний інтеграл

Тобто ряд сходиться, якщо існує межа

, (2.15)

та ряд розходиться, якщо межа I = + ¥.

Доведення. Через зауваження 3 (див. § 1) очевидно, що без обмеження спільності можемо вважати М = 1, оскільки, відкинувши (М – 1) членів ряду і зробивши заміну k = (n – М + 1), приходимо до розгляду ряду , для котрого

, ,

і, відповідно, до розгляду інтегралу.

Далі зауважимо, що невід'ємна та незростаюча на напівпрямій (х ³ 1) функція f(х) задовольняє умовам інтегрованості по Ріману на будь-якому кінцевому проміжку , і тому розгляд відповідного невласного інтеграла має сенс.

Перейдемо до підтвердження. На будь-якому сегменті одиничної довжини m £ х £ m + 1 через незростання f(х) виконується нерівність

Проінтегрувавши його по відрізку та скориставшись відповідною властивістю певного інтегралу, отримаємо нерівність

, . (2.16)

Підсумовуючи ці нерівності почленно від m = 1 до m = n, отримаємо

Оскільки f(х) невід'ємна функція, то інтеграл

є безперервною безперервною функцією аргументу А. Тоді

, .

Звідси і з нерівності (15) випливає, що:

1) якщо I< +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм обмежена, тобто ряд сходитьcя;

2) якщо I = + ¥ (тобто невласний інтеграл розходиться),

те й неубутня послідовність часткових сум необмежена, т. е. ряд розходиться.

З іншого боку, позначивши , з нерівності (16) одержуємо:

1) якщо S< +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей безперервної функції I(А), "А ³ 1 існує номер n такий, що n + 1 ³ А, і I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а отже, , Т. е. інтеграл сходиться;

2) якщо S = +¥ (тобто ряд розходиться), то для будь-якого досить великого А існує n £ А такий, що I(А) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), тобто інтеграл розходиться. Що і потрібно було довести.

Наведемо без доказу ще дві цікаві ознаки збіжності.

Теорема 2.11. «Телескопічна» ознака Коші. Числовий позитивний ряд, члени якого монотонно зменшуються, сходиться тоді і лише тоді, коли сходиться ряд.

Теорема 2.12. Ознака Єрмакова. Нехай члени позитивного числового ряду такі, що з деякого номера М0, виконуються рівності

an = (n), "n ³ М0,

де функція (х) шматково-безперервна, позитивна і монотонно зменшується при х ³ М0.

Тоді якщо існує число М ³ М0 таке, що для всіх х ³ М виконується нерівність

,

то ряд сходиться (розходиться).

2.6. Приклади застосування ознак збіжності

За допомогою теореми 2 легко дослідити на збіжність наступний ряд

(a > 0, b ³ 0; "a, b Î R).

Якщо а 1, то порушується необхідна ознака збіжності (властивість 2) (див. § 1).

,

отже, ряд розходиться.

Якщо а > 1, то сn має місце оцінка , з якої з збіжності низки геометричної прогресії слід збіжність аналізованого ряду.

сходиться з ознаки порівняння 1 (теорема 2.2), оскільки маємо нерівність

,

а ряд сходить як ряд геометричної прогресії.

Покажемо розбіжність кількох рядів, що випливає з ознаки порівняння 2 (наслідок 1 теореми 2.2). Ряд

розходиться, оскільки

.

розходиться, оскільки

.

розходиться, оскільки

.

(p > 0)

розходиться, оскільки

.

сходить за ознакою Даламбера (теорема 2.4). Дійсно

.

сходиться за ознакою Даламбер. Дійсно

.

.

сходиться за ознакою Коші (теорема 2.5). Дійсно

.

Наведемо приклад застосування ознаки Раабе. Розглянемо ряд

,

де позначення (k)!! означає добуток усіх парних (непарних) чисел від 2 до k (від 1 до k), якщо k парно (непарно). Використовуючи ознаку Даламбера, отримаємо

Таким чином, ознака Даламбера не дозволяє зробити певного твердження про збіжність низки. Застосуємо ознаку Раабе:

отже, ряд сходиться.

Наведемо приклади застосування інтегрального ознаки Коши–Маклорена.

Узагальнений гармонійний ряд

сходиться чи розходиться одночасно з невласним інтегралом

Очевидно, що I< +¥ при p >1 (інтеграл сходиться) і I = + ¥ при p £ 1 (розходиться). Таким чином, вихідний ряд також сходить при p > 1 і розходиться при p £ 1.

розходиться одночасно з невласним інтегралом

таким чином, інтеграл розходиться.

§ 3. Знакозмінні числові ряди

3.1. Абсолютна та умовна збіжності рядів

У цьому параграфі вивчимо властивості рядів, члени яких є речовими числами з довільним знаком.

Визначення 1. Числовий ряд

називається абсолютно схожим, якщо сходиться ряд

Визначення 2. Числовий ряд (3.1) називається таким, що умовно сходиться або неабсолютно сходиться, якщо ряд (3.1) сходиться, а ряд (3.2) розходиться.

Теорема 3.1. Якщо ряд сходиться абсолютно, він сходиться.

Доведення. Відповідно до критерію Коші (теорема 1.1) абсолютна збіжність ряду (3.1) еквівалентна виконанню співвідношень

" e > 0, $ М > 0 таке, що " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Оскільки відомо, що модуль суми кількох чисел не перевищує суми їх модулів («нерівність трикутника»), то з (3.3) випливає нерівність (справедлива для тих же, що в (3.3), чисел e, М, п, р)

Виконання останньої нерівності означає виконання умов критерію Коші ряду (3.1), отже, цей ряд сходиться.

Наслідок 1. Нехай ряд (3.1) сходиться абсолютно. Складемо з позитивних членів ряду (3.1), перенумерувавши їх по порядку (як вони зустрічаються в процесі зростання індексу), позитивний числовий ряд

, (uk =). (3.4)

Аналогічно складемо з модулів негативних членів ряду (3.1), перенумерувавши їх по порядку, наступний позитивний числовий ряд:

, (Vm = ). (3.5)

Тоді ряди (3.3) та (3.4) сходяться.

Якщо позначити суми рядів (3.1), (3.3), (3.4) відповідно до літер A, U, V, то справедлива формула

A = U - V. (3.6)

Доведення. Позначимо суму ряду (3.2) через А*. По теоремі 2.1 маємо, що всі часткові суми ряду (3.2) обмежені числом А*, а оскільки часткові суми рядів (3.4) і (3.5) виходять в результаті підсумовування частини членів часткових сум ряду (3.2), то очевидно, що вони тим більш обмежені числом А *. Тоді, вводячи відповідні позначення, одержуємо нерівності

;

з яких через теорему 2.1 випливає збіжність рядів (3.4) і (3.5).

(3.7)

Оскільки числа k і m залежать від п, то очевидно, що при п ® ¥ одночасно k ® ¥ і m ® ¥. Тоді, переходячи в рівності (3.7) до межі (всі межі існують через теорему 3.1 і за доведеною вище), отримуємо

т. е. рівність (3.6) доведено.

Наслідок 2. Нехай ряд (3.1) сходиться умовно. Тоді ряди (3.4) і (3.5) розходяться і формула (3.6) для рядів, що умовно сходяться, не вірна.

Доведення. Якщо розглянемо п-ю часткову суму ряду (3.1), то, як і попередньому доказі, її можна записати

(3.8)

З іншого боку, для п-ї часткової суми ряду (3.2) можна аналогічно написати вираз

(3.9)

Припустимо неприємне, т. е. нехай хоча б один із рядів (3.3) або (3.4) сходиться. Тоді з формули (3.8) через збіжність ряду (3.1) випливає, що і другий з рядів (відповідно (3.5) або (3.4)) сходиться як різниця двох рядів, що сходяться. А тоді з формули (3.9) випливає збіжність ряду (3.2), тобто абсолютна збіжність ряду (3.1), що суперечить умові теореми про його умовну збіжність.

Таким чином (3.8) і (3.9) випливає, що так як

що і потрібно було довести.

Зауваження 1. Сполучна властивість для рядів. Сума нескінченного ряду суттєво відрізняється від суми кінцевого числа елементів тим, що включає граничний перехід. Тому звичні характеристики кінцевих сум нерідко порушуються для рядів або зберігаються лише за виконання певних умов.

Так, для кінцевих сум має місце поєднаний (асоціативний) закон, а саме: сума не змінюється, якщо елементи суми групувати у будь-якому порядку

Розглянемо довільне угруповання (без перестановки) членів числового ряду (3.1). Позначимо зростаючу послідовність номерів

і введемо позначення

Тоді ряд, отриманий вищезазначеним способом, можна записати у вигляді

У наведеній нижче без доказу теоремі зібрано кілька найважливіших тверджень, пов'язаних із сполучною властивістю рядів.

Теорема 3.2.

1. Якщо ряд (3.1) сходиться і має суму А (досить умовної збіжності), то довільний ряд виду (3.10) сходиться і має ту ж суму А. Тобто ряд, що сходиться, має поєднану властивість.

2. Зі збіжності якогось ряду виду (3.10) не випливає збіжність ряду (3.1).

3. Якщо ряд (3.10) отримано спеціальним угрупуванням, так що всередині кожної з дужок знаходяться складові лише одного знака, то зі збіжності цього ряду (3.10) випливає збіжність ряду (3.1).

4. Якщо ряд (3.1) позитивний і будь-який ряд виду (3.10) йому сходиться, то ряд (3.1) сходиться.

5. Якщо послідовність членів ряду (3.1) нескінченно мала (тобто ап) і кількість доданків у кожній групі – члені ряду (3.10) – обмежена однією постійною М (тобто nk –nk–1 £ М, "k = 1, 2,…), то зі збіжності ряду (3.10) випливає збіжність ряду (3.1).

6. Якщо ряд (3.1) сходиться умовно, то без перестановки завжди можна згрупувати члени ряду так, що отриманий ряд (3.10) буде абсолютно схожим.

2. Переміщувальна властивість для рядів. Для кінцевих числових сум має місце переміщувальний (комутативний) закон, а саме: сума не змінюється при будь-якій перестановці доданків

де (k1, k2, …, kn) – довільна перестановка із набору натуральних чисел (1, 2,…, п).

Виявляється, що аналогічна властивість має місце для рядів, що абсолютно сходяться, і не виконується для умовно схожих рядів.

Нехай є взаємно однозначне відображення множини натуральних чисел на себе: N ® N, тобто кожному натуральному числу k відповідає єдине натуральне число пk, причому безліч відтворює без перепусток весь натуральний ряд чисел. Позначимо ряд, отриманий із ряду (3.1) за допомогою довільної перестановки, що відповідає зазначеному вище відображенню, таким чином:

Правила застосування переміщувальних властивостей рядів відображені у наведених нижче без доказів теоремах 3.3 та 3.4.

Теорема 3.3. Якщо ряд (3.1) сходиться абсолютно, то ряд (3.11), отриманий довільною перестановкою членів ряду (3.1), також сходиться абсолютно та має ту саму суму, що й вихідний ряд.

Теорема 3.4. Теорема Рімана. Якщо ряд (3.1) сходиться умовно, то члени цього ряду можна переставити так, що його сума дорівнюватиме будь-якому заздалегідь заданому числу D (кінцевому або нескінченному: ±¥) або буде не визначена.

На підставі теорем 3.3 та 3.4 легко встановити, що умовна збіжність ряду виходить внаслідок взаємного погашення зростання n-йчасткової суми при п ® ¥ за рахунок додавання до суми то позитивних, то негативних доданків, і тому умовна збіжність ряду істотно залежить від порядку членів ряду. Абсолютна ж збіжність ряду є результатом швидкого зменшення абсолютних величин членів ряду

і не залежить від порядку їхнього прямування.

3.2. Знак черга ряд. Ознака Лейбніца

Серед знакозмінних рядів виділяється важливий приватний клас рядів – ряди, що знаковуються.

Визначення 3. Нехай – послідовність позитивних чисел bп > 0, "n N N. Тоді ряд виду

називається знакочередним рядом. Для рядів виду (3.12) має місце таке твердження.

Теорема 5. Ознака Лейбніца. Якщо послідовність, складена з абсолютних величин членів ряду (3.8), що чергується, монотонно зменшується до нуля

bn > bn+1, "n Î N; (3.13)

то такий знак чередующийся ряд (3.12) називається поруч Лейбніца. Ряд Лейбниця завжди сходиться. Для залишку ряду Лейбниця

має місце оцінка

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nÎN. (3.14)

Доведення. Запишемо довільну часткову суму ряду (3.12) з парним числом доданків у вигляді

За умовою (3.13) кожна з дужок у правій частині цього виразу є додатне число, Отже, зі зростанням k послідовність монотонно зростає. З іншого боку, будь-який член послідовності В2k можна записати у вигляді

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

і оскільки за умовою (3.13) у кожній із дужок останньої рівності стоїть позитивне число, то, очевидно, виконується нерівність

B2k< b1, "k ³ 1.

Таким чином, маємо монотонно зростаючу та обмежену зверху послідовність , a така послідовність за відомою теоремою з теорії меж має кінцеву межу

B2k-1 = B2k + b2k,

і враховуючи, що загальний член ряду (за умовою теореми) прагне нуля при п ® ¥, отримуємо

Таким чином доведено, що ряд (3.12) за умови (3.13) сходиться та його сума дорівнює Ст.

Доведемо оцінку (3.14). Вище показано, що часткові суми парного порядку В2k, монотонно зростаючи, прагнуть межі У – сумі ряду.

Розглянемо часткові суми непарного порядку

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

З цього виразу, очевидно (оскільки виконано умова (3.13)), що послідовність зменшується і, отже, по доведеному вище прагне своєї межі зверху. Таким чином, доведено нерівність

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Якщо тепер розглянути залишок ряду (3.12)

як новий знак чергується ряд із першим членом bп+1, то для цього ряду на підставі нерівності (3.15) можна записати при парних та непарних індексах відповідно

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.

Отже, доведено, що залишок ряду Лейбніца має знак свого першого члена і менше його за абсолютною величиною, т. е. йому виконується оцінка (3.14). Теорему доведено.

3.3. Ознаки збіжності довільних числових рядів

У цьому підпараграфі наведемо без доказу достатні ознаки збіжності для числових рядів із членами, є довільними дійсними числами (будь-якого знака), навіть ці ознаки придатні й у рядів із комплексними членами.

2) послідовність є схожою до нуля (bп ® 0 при n ® ¥) послідовністю з обмеженою зміною.

Тоді ряд (3.16) сходиться.

Теорема 3.9. Ознака Діріхле. Нехай члени числового ряду (3.16) задовольняють умовам:

послідовність часткових сум низки обмежена (нерівності (3.17));

2) послідовність є монотонною послідовністю, що сходить до нуля (bп ® 0 при n ®¥).

Тоді ряд (3.16) сходиться.

Теорема 3.10. Друга узагальнена ознака Абеля. Нехай члени числового ряду (3.16) задовольняють умовам:

1) ряд сходиться;

2) послідовність є довільною послідовністю з обмеженою зміною.

Тоді ряд (3.16) сходиться.

Теорема 3.11. Ознака Абеля. Нехай члени числового ряду (3.16) задовольняють умовам:

1) ряд сходиться;

2) послідовність є монотонною обмеженою послідовністю.

Тоді ряд (3.16) сходиться.

Теорема 3.12. Теорема Коші. Якщо ряди і сходяться абсолютно та їх суми рівні відповідно А і В, то ряд, складений з усіх творів виду aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥), занумерованих у будь-якому порядку , також сходиться абсолютно та його сума дорівнює АВ.

3.4. Приклади

Розглянемо спочатку кілька прикладів абсолютну збіжність рядів. Нижче вважаємо, що змінна х може бути будь-яким дійсним числом.

2) розходиться за |х| > е з тієї ж ознакою Даламбера;

3) розходиться за |x| = е за ознакою Даламбера у ненасиченій формі, оскільки

в силу того, що експоненційна послідовність, що стоїть у знаменнику, прагне до своєї межі, монотонно зростаючи,

(a ¹ 0 – дійсне число)

1) сходиться абсолютно при | x / a |< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в даному випадкумаємо ряд, складений із членів спадної геометричної прогресії зі знаменником q = x/a, або за радикальною ознакою Коші (теорема 2.5);

2) розходиться за |x/a| ³ 1, тобто при | x | ³ |a|, оскільки у разі порушується необхідний ознака збіжності (властивість 2 (див. § 1))

Ряд texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): \sum_(n=1)^\infty a_nсходиться, якщо за досить великих Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc виконується нерівність Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): R_n=n\left(\frac(a_n)(a_(n+1))-1\right)\geqslant r, де Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): r>1 . Якщо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): R_n< 1 , починаючи з деякого Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): n, то ряд Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): a_nрозходиться.

Формулювання у граничній формі

Зауваження.Якщо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): R=1, то ознака Раабе не дає відповіді питання про збіжності ряду.

Доведення

Доказ ґрунтується на застосуванні узагальненої ознаки порівняння при порівнянні з узагальненим гармонійним рядом

Див. також

• Ознака збіжності д'Аламбера - аналогічна ознака, заснована на сусідніх членів.

Напишіть відгук про статтю "Ознака Раабе"

Література

• Архіпов, Р. І., Садовничий, Ст А., Чубариков, Ст Н.Лекції з математичного аналізу: Підручник університетів та пед. вузів/За ред. В. А. Садовничого. – М.: Вища школа, 1999. – 695 с. - ISBN 5-06-003596-4..
• - стаття з Математичної енциклопедії

Посилання

• Weisstein, Eric W.(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

- Так-так-так... У Мадонни Ізідори гості!.. Дуже кумедно. З самої Метеори, якщо не помиляюсь? Велика Північ своєю персоною!.. Чи не познайомите мене, Ізидоро? Думаю, всім нам це буде дуже корисним! І досить засміявшись, Караффа спокійно сів у крісло. Караффа безцеремонно розглядав Півночі, ніби той був рідкісною, дивовижною твариною. Обличчя Папи з незрозумілої причини світилося впевненістю, що мене лякало більше, ніж, якби він кидав у нас «блискавки» свого моторошного невдоволення... - Ну що ж, шановна Північ, ось ми з Вами нарешті й зустрілися! Адже я обіцяв колись, що ви прийдете до мене – я своїх обіцянок не змінюю, звичайно. - Не зваблюйся, Караффо. - Спокійно промовив Північ. - Я б ніколи не приніс тобі такого задоволення. І ти чудово це знаєш. Це мадонна Ізідора мене цікавить... Вона надто цінна, щоб перебувати в твоїх руках. Але ти, звичайно, не зможеш цього зрозуміти, на жаль... – Людська цінність залежить від того, наскільки він може бути корисним Богові... Ну, а мадонна Ізідора, як Вам відомо, – відьма. І дуже могутня. Тому її ставлення до Господа не залишає жодних надій змінитись на краще. І таким чином, її «цінність» для мене та нашої найсвятішої церквизводитися до нуля, дорогий Північ.

Візьмемо в ознаці Куммера як розбіжний ряд (12.1) гармонійний ряд

У цьому випадку ми маємо

Отримана ознака збіжності може бути сформульована в такий спосіб.

Теорема (ознака збіжності Раабе). Ряд

сходиться, якщо знайдеться таке що

Цей ряд розходиться, якщо, починаючи з деякого буде

Гранична форма ознаки Раабе виглядає так:

то ряд (12.9) сходиться, а якщо

щось розходиться.

Ознака збіжності Раабе значно чутливіша, ніж подібний із нею ознака збіжності Даламбера. Дійсно, там, де ознака Даламбера, взята у його граничній формі, встановлює збіжність ряду (12.9):

там ознака Раабе дає.

Аналогічно для ряду, на розбіжність якого вказує ознака Даламбер, за ознакою Раабе буде

1. Розглянемо ряд

Тут так що при кожному конкретному х

та застосування ознаки Даламбера тут безрезультатно. Ознака ж Раабе дає

Звідси видно, що з розглядається ряд сходиться, а при розходиться. Зауважимо принагідно, що за ряд (12.10) перетворюється на гармонійний, який, як відомо, розходиться. Те, що ознака Раабе у своїй вихідній (ненасиченій) формі встановлює розбіжність гармонійного ряду, не може вважатися самостійним результатом, тому що саме складова ознака Раабе твердження спирається на цю розбіжність.

Складемо відношення сусідніх членів цього ряду:

Розкладатимемо праворуч Логарифми і квадратне коріння відповідно до формули Тейлора за ступенями . У цьому і наступних прикладах ми будемо користуватися граничними ознаками збіжності. Це означає, що нам доведеться необмежено збільшувати значення змінної. Тому кожен наступний ступінь буде при збільшенні нескінченно малому вищого порядкупроти попередніми. Відкидаючи всі ступені, починаючи з деякої, будемо робити помилку, яка буде мала не тільки абсолютно, а й порівняно з останнім із утриманих членів. Ця відносна помилка буде тим меншою, чим більше значення і зникає у межі при необмеженому зростанні. Залежно від необхідної точності міркувань ми утримуватимемо у формулах Тейлора для відповідних функцій те чи інше число членів. Далі ми будемо пов'язувати знаком висловлювання, які відрізняються один від одного величинами, малими порівняно з тією точністю, яку дають утримані та виписані члени.

Спочатку обмежимося членами логарифмів і коріння, що містять у ступеню не вище за першу. Ми будемо мати

Отже, і ознака збіжності Даламбер тут нам ніякої відповіді дати не може.