Східність ряду онлайн. Числові ряди: визначення, властивості, ознаки збіжності, приклади, рішення 1 3n n 3 2
Ця стаття є структурованою і докладною інформацією, яка може стати в нагоді під час розбору вправ і завдань. Ми розглянемо тему числових рядів.
Ця стаття починається з основних визначень та понять. Далі ми стандартні варіанти та вивчимо основні формули. Для того, щоб закріпити матеріал, у статті наведено основні приклади та завдання.
Базові тези
Спочатку представимо систему: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . де a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .
Наприклад, візьмемо такі числа, як: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .
Визначення 1
Числовий ряд – це сума членів ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n +. . . .
Щоб краще зрозуміти визначення, розглянемо випадок, у якому q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .
Визначення 2
a k є загальним або k –имчленом низки.
Він виглядає приблизно таким чином - 16 · - 1 2 k.
Визначення 3
Часткова сума рядувиглядає приблизно таким чином Sn = a1+a2+. . . + a n , у якій n-Будь-яке число. S n є n-ийсумою низки.
Наприклад, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .
S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . утворюють нескінченну послідовність числового ряду.
Для ряду n-асуму знаходиться за формулою S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n . Використовуємо наступну послідовність часткових сум: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .
Визначення 4
Ряд ∑ k = 1 ∞ a k є схожимтоді, коли послідовність має кінцеву межу S = lim S n n → + ∞ . Якщо межі немає або послідовність нескінченна, то ряд ∑ k = 1 ∞ a k називається розбіжним.
Визначення 5
Сумою ряду, що сходить∑ k = 1 ∞ a k є межа послідовності ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .
У даному прикладі lim S n n → + ∞ = lim 16 3 т → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , ряд ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k сходиться. Сума дорівнює 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .
Приклад 1
Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .
n -а часткова сума визначається виразом S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 1 · (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, а межа часткових сум нескінченна: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .
Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як Sn = 5n. Межа часткових сум нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.
Визначення 6
Сума такого виду як ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n +. . . – це гармонійнийчисловий ряд.
Визначення 7
Сума ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 ns + . . . , де s –дійсне число, є узагальнено гармонійним числовим рядом.
Визначення, розглянуті вище, допоможуть вам вирішити більшість прикладів і завдань.
Щоб доповнити визначення, необхідно довести певні рівняння.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний.
Діємо методом від зворотного. Якщо він сходиться, то межа скінченна. Можна записати рівняння як lim n → + ∞ S n = S та lim n → + ∞ S 2 n = S . Після певних дійми одержуємо рівність l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .
Навпаки,
S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n
Справедливі такі нерівності 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Виходить, що S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Вираз S 2 n - S n > 1 2 свідчить про те, що lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 не досягається. Ряд розбіжний.
- b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1
Необхідно підтвердити, що сума послідовності чисел сходить при q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Згідно з наведеними вище визначеннями, сума nчленів визначається згідно з формулою S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .
Якщо q< 1 верно
lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Ми довели, що числовий ряд сходиться.
При q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суми можна знайти з допомогою формули S n = b 1 · n , межа нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . У цьому варіанті ряд розходиться.
Якщо q = - 1ряд виглядає як b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Часткові суми виглядають як S n = b 1 для непарних n, і S n = 0 для парних n. Розглянувши цей випадок, ми переконаємося, що межі немає і ряд є розбіжним.
При q > 1 справедливо lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞
Ми довели, що числовий ряд розходиться.
- Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться, якщо s > 1і розходиться, якщо s ≤ 1 .
Для s = 1отримуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k , ряд розходиться.
При s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,натурального числа. Оскільки ряд є розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k , то межі немає. Дотримуючись цього, послідовність ∑ k = 1 ∞ 1 k s необмежена. Робимо висновок, що обраний ряд розходиться при s< 1 .
Необхідно надати докази, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1.
Представимо S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s
Припустимо, що 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Представимо рівняння для чисел, які є натуральними та парними n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Отримуємо:
∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Вираз 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Це сума геометричної прогресії q = 1 2 s - 1 . Згідно з вихідними даними при s > 1, то 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1збільшується і обмежується зверху 11-12s-1. Уявімо, що є межа і ряд є ∑ k = 1 ∞ 1 k s .
Визначення 8
Ряд ∑ k = 1 ∞ a k позитивний у тому випадку, якщо його члени > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знак чергуєтьсяякщо знаки чисел відрізняються. Даний приклад представлений як ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (-1) k · a k або ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , де a k > 0 , k = 1, 2,. . . .
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакозмінний, тому що в ньому безліч чисел, негативних та позитивних.
Другий варіант ряд – це окремий випадок третього варіанта.
Наведемо приклади для кожного випадку відповідно:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Для третього варіанта також можна визначити абсолютну та умовну збіжність.
Визначення 9
Знак черга ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно збігається в тому випадку, коли ∑ k = 1 ∞ b k також вважається схожим.
Докладно розберемо кілька характерних варіантів
Приклад 2
Якщо ряди 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . і 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . визначаються як схожі, то правильно вважати, що 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .
Визначення 10
Знакозмінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається умовно схожим у тому випадку, якщо ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається схожим.
Приклад 3
Докладно розберемо варіант ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , що складається з абсолютних величин, визначається як розбіжний. Цей варіант вважається таким, що сходить, так як це легко визначити. З цього прикладу ми дізнаємося, що ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . буде вважатися умовно схожим.
Особливості рядів, що сходяться
Проаналізуємо властивості для певних випадків
- Якщо ∑ k = 1 ∞ a k буде сходиться, то і ряд ∑ k = m + 1 ∞ a k також визнається таким, що сходить. Можна зазначити, що ряд без mчленів також вважається схожим. У випадку, якщо ми додаємо до ∑ k = m + 1 ∞ a k кілька чисел, то результат також буде схожим.
- Якщо ∑ k = 1 ∞ a k сходиться і сума = S, то сходиться і ряд ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S , де A-Постійна.
- Якщо ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k є схожими, суми Aі Bтеж, те й ряди ∑ k = 1 ∞ a k + b k і ∑ k = 1 ∞ a k - b k також сходяться. Суми дорівнюватимуть A + Bі A - Bвідповідно.
Визначити, що ряд сходить ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .
Змінимо вираз ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 вважається схожим, оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1. Відповідно до другої властивості, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .
Приклад 5
Визначити, чи сходиться ряд ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .
Перетворимо початковий варіант ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.
Отримуємо суму ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 та ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Кожен ряд визнається таким, що сходить відповідно до властивості. Оскільки ряди сходяться, то вихідний варіант теж.
Приклад 6
Обчислити, чи сходиться ряд 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . та обчислити суму.
Розкладемо вихідний варіант:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2
Кожен ряд сходиться, оскільки є одним із членів числової послідовності. Відповідно до третього властивості, ми можемо обчислити, що вихідний варіант також є схожим. Обчислюємо суму: Перший член ряду ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, а знаменник = 0 . 5 , за цим слідує, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Перший член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , а знаменник спадної числової послідовності = 1 3 . Отримуємо: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .
Використовуємо вирази, одержані вище, для того, щоб визначити суму 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 · 9 2 = - 7
Необхідна умова для визначення, чи є ряд схожим
Визначення 11Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ ak є схожим, то межа його k-огочлена = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .
Якщо ми перевіримо будь-який варіант, потрібно не забувати про неодмінну умову. Якщо воно не виконується, ряд розходиться. Якщо lim k → + ∞ a k ≠ 0 , ряд розбіжний.
Слід уточнити, що умова важлива, але не достатньо. Якщо рівність lim k → + ∞ a k = 0 виконується, це не гарантує, що ∑ k = 1 ∞ a k є схожим.
Наведемо приклад. Для гармонійного ряду ∑ k = 1 ∞ 1 k умова виконується lim k → + ∞ 1 k = 0 , але ряд все одно розходиться.
Приклад 7
Визначити збіжність ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .
Перевіримо вихідний вираз виконання умови lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Межа n-огочлена не дорівнює 0 . Ми довели, що цей ряд розходиться.
Як визначити збіжність знакопозитивного ряду.
Якщо постійно користуватись зазначеними ознаками, доведеться постійно обчислювати межі. Цей розділ допоможе уникнути складнощів під час вирішення прикладів та завдань. Щоб визначити збіжність знакопозитивного ряду, існує певна умова.
Для збіжності знакопозитивного ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . Необхідно визначати обмежену послідовність сум.
Як порівнювати ряди
Існує кілька ознак порівняння рядів. Ми порівнюємо ряд, збіжність якого пропонується визначити, із тим рядом, збіжність якого відома.
Перша ознака
∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні ряди. Нерівність a k ≤ b k справедлива для k = 1, 2, 3, ...З цього випливає, що з ряду ∑ k = 1 ∞ b k ми можемо отримати ∑ k = 1 ∞ a k . Оскільки ∑ k = 1 ∞ a k розходиться, ряд ∑ k = 1 ∞ b k можна визначити як розбіжний.
Це правило постійно використовується для вирішення рівнянь і є серйозним аргументом, який допоможе визначити збіжність. Складнощі можуть полягати в тому, що підібрати потрібний приклад для порівняння можна знайти далеко не в кожному випадку. Досить часто ряд вибирається за принципом, згідно з яким показник k-огочлена дорівнюватиме результату віднімання показників ступенів чисельника та знаменника k-огочлена низки. Припустимо, що a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 різниця дорівнюватиме 2 – 3 = - 1 . У даному випадкуможна визначити, що для порівняння необхідний ряд k-имчленом b k = k - 1 = 1 k, який є гармонійним.
Щоб закріпити отриманий матеріал, детально розглянемо пару типових варіантів.
Приклад 8
Визначити, яким є ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .
Оскільки межа = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 ми виконали необхідна умова. Нерівність буде справедливою 1 k< 1 k - 1 2 для k ,які є натуральними. З попередніх пунктів ми дізналися, що гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний. Згідно з першою ознакою, можна довести, що вихідний варіант є розбіжним.
Приклад 9
Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .
У цьому прикладі виконується необхідна умова, оскільки lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Подаємо у вигляді нерівності 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 є схожим, оскільки гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться при s > 1. Згідно з першою ознакою, ми можемо зробити висновок, що числовий ряд є схожим.
Приклад 10
Визначити, яким є ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .
У цьому вся варіанті можна назвати виконання необхідної умови. Визначимо ряд порівняння. Наприклад, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Щоб визначити, чому дорівнює ступінь, розглянемо послідовність (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Члени послідовності ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . збільшується до безкінечності. Проаналізувавши рівняння, можна назвати, що, взявши ролі значення N = 1619 , то члени послідовності > 2 . Для даної послідовності буде справедлива нерівність 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Друга ознака
Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні числові ряди.
Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходиться, і ∑ k = 1 ∞ a k сходить також.
Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ b k розходиться, то ∑ k = 1 ∞ ak також розходиться.
Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ і lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то збіжність чи розбіжність ряду означає збіжність чи розбіжність іншого.
Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 за допомогою другої ознаки. Для порівняння ∑ k = 1 ∞ b k візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Визначимо межу: lim k → + ∞ k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Згідно з другою ознакою можна визначити, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, що сходить, означає, що початковий варіант також сходиться.
Приклад 11
Визначити, яким є ряд ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .
Проаналізуємо необхідну умову lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , яка в даному варіанті виконується. Відповідно до другої ознаки, візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k . Шукаємо межу: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →
Згідно з наведеними вище тезами, ряд, що розходиться, тягне собою розбіжність вихідного ряду.
Третя ознака
Розглянемо третю ознаку порівняння.
Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та _ ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні числові ряди. Якщо умова виконується для деякого номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , то збіжність даного ряду ∑ k = 1 ∞ b k означає, що ряд ∑ k = 1 ∞ ak також є схожим. Розбіжний ряд ∑ k = 1 ∞ a k тягне за собою розбіжність ∑ k = 1 ∞ b k .
Ознака Даламбера
Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k - знакопозитивний числовий ряд. Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 то розбіжним.
Зауваження 1
Ознака Даламбера справедлива у тому випадку, якщо межа нескінченна.
Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , то ряд є схожим, якщо lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ , то розбіжним.
Якщо lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 , то ознака Даламбера не допоможе і потрібно провести ще кілька досліджень.
Приклад 12
Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k за ознакою Даламбера.
Необхідно перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності. Обчислимо межу, скориставшись правилом Лопіталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0
Ми можемо побачити, що умова виконується. Скористаємося ознакою Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1
Ряд є схожим.
Приклад 13
Визначити, чи є ряд розбіжним ∑ k = 1 ∞ k k k ! .
Скористаємося ознакою Даламбера у тому, щоб визначити розбіжність ряду: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1
Отже, ряд є розбіжним.
Радикальна ознака Коші
Допустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k – це знакопозитивний ряд. Якщо lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 то розбіжним.
Зауваження 2
Якщо lim k → + ∞ ak k k = 1 , то ця ознака не дає жодної інформації – потрібно проведення додаткового аналізу.
Ця ознака може бути використана в прикладах, які легко визначити. Випадок буде характерним тоді, коли член числового ряду – це показово статечне вираз.
Щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька характерних прикладів.
Приклад 14
Визначити, чи є позитивний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k на схожому.
Потрібна умова вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .
Згідно з ознакою, розглянутою вище, отримуємо lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Цей рядє схожим.
Приклад 15
Чи схожий числовий ряд ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .
Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Інтегральна ознака Коші
Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ ak є знакопозитивним рядом. Необхідно позначити функцію безперервного аргументу y = f(x), Що збігається a n = f (n) . Якщо y = f(x)більше нуля, не переривається і зменшується на [a; + ∞) , де a ≥ 1
То у випадку, якщо невласний інтеграл∫ a + ∞ f (x) d x є схожим, то ряд, що розглядається, також сходиться. Якщо ж він розходиться, то в прикладі ряд теж розходиться.
При перевірці зменшення функції можна використовувати матеріал, розглянутий на попередніх уроках.
Приклад 16
Розглянути приклад ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на збіжність.
Умова збіжності ряду вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Розглянемо y = 1 x · ln x. Вона більше нуля, не переривається і зменшується на [2; + ∞). Перші два пункти достеменно відомі, а на третьому слід зупинитися докладніше. Знаходимо похідну: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Вона менша за нуль на [ 2 ; + ∞) Це доводить тезу про те, що функція є спадною.
Власне, функція y = 1 x · ln x відповідає ознакам принципу, що ми розглядали вище. Скористаємося ним: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞
Відповідно до отриманих результатів, вихідний приклад розходиться, оскільки невласний інтеграл є розбіжним.
Приклад 17
Доведіть збіжність ряду ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .
Оскільки lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, то умова вважається виконаною.
Починаючи з k = 4 , вірний вираз 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Якщо ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 буде вважатися схожим, то, згідно з одним із принципів порівняння, ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 також вважатиметься схожим. Таким чином, ми зможемо визначити, що вихідний вираз також є схожим.
Перейдемо до доказу ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Оскільки функція y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 більша за нуль, не переривається і зменшується на [ 4 ; + ∞). Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті:
∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2
В отриманому ряді, що сходиться, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , можна визначити, що ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) )) 3 також сходиться.
Ознака Раабе
Допустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k - знакопозитивний числовий ряд.
Якщо lim k → + ∞ k · ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, то сходиться.
Даний спосіб визначення можна використовувати у тому випадку, якщо описані вище техніки не дають видимих результатів.
Дослідження на абсолютну збіжність
Для дослідження беремо ∑ k = 1 ∞ b k. Використовуємо позитивний ∑ k = 1 ∞ b k . Ми можемо використовувати будь-яку з відповідних ознак, які ми описували вище. Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходиться, то вихідний ряд є абсолютно схожим.
Приклад 18
Дослідити ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 на збіжність ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k-1.
Умова виконується lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Використовуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 і скористаємось другою ознакою: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .
Ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 сходиться. Вихідний ряд також абсолютно схожий.
Розбіжність знакозмінних рядів
Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, то відповідний знакозмінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k або розбіжний, або умовно схожий.
Лише ознака Даламбера та радикальна ознака Коші допоможуть зробити висновки про ∑ k = 1 ∞ b k за розбіжністю з модулів ∑ k = 1 ∞ b k . Ряд ∑ k = 1 ∞ b k також розходиться, якщо не виконується необхідна умова збіжності, тобто якщо lim k → ∞ + b k ≠ 0 .
Приклад 19
Перевірити розбіжність 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .
Модуль k-огочлена представлений як b k = k! 7 k.
Досліджуємо ряд ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k на збіжність за ознакою Даламбер: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.
∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k розходиться як і, як і вихідний варіант.
Приклад 20
Чи є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) схожим.
Розглянемо необхідну умову lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Умова не виконана, тому ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ряд розбіжний. Межа була обчислена за правилом Лопіталя.
Ознаки умовної збіжності
Ознака Лейбниця
Визначення 12Якщо величини членів ряду, що чергується, зменшуються b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і межа модуля = 0 при k → + ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k збігається.
Приклад 17
Розглянути ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) на збіжність.
Ряд представлений як ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Потрібна умова виконується lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k за другою ознакою порівняння lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Отримуємо, що ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) розходиться. Ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) сходиться за ознакою Лейбниця: послідовність 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 = 3 10 , 2 · 2 + 1 5 · 2 · (2 + 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1, . . . зменшується і lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .
Ряд умовно сходиться.
Ознака Абеля-Діріхле
Визначення 13∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходить у тому випадку, якщо ( u k ) не зростає, а послідовність ∑ k = 1 + ∞ v k обмежена.
Приклад 17
Дослідіть 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . на збіжність.
Уявимо
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 · 1 + 1 2 · (- 3) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · (- 3) + 1 6 · = ∑ k = 1 ∞ u k · v k
де (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Незростаюча, а послідовність (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . обмежена (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Ряд сходиться.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Гармонійний ряд- сума, складена з нескінченної кількості членів, обернених послідовним числам натурального ряду:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+cdots +(\frac (1) (k))+cdots ).Енциклопедичний YouTube
1 / 5
✪ Числові ряди. Основні поняття - bezbotvy
✪ Доказ розбіжності гармонійного ряду
✪ Числові ряди-9. Східність та розбіжність ряду Діріхле
✪ Консультація №1. Мат. аналіз. Ряд Фур'є за тригонометричною системою. Найпростіші властивості
✪ РЯДИ. Огляд
Субтитри
Сума перших n членів ряду
Окремі члени ряду прагнуть нуля, але його сума розходиться. n-тою частковою сумою s n гармонійного ряду називається n-то гармонійне число:
s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+cdots +(\frac (1) (n)))Деякі значення часткових сум
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle (\begin(matrix)s_(1)& \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \approx &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\approx &2(,)083\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\approx &2(,)283\end(matrix))) | s 6 = 49 20 = 2 , 45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ 14,393 (\splaystyle(&be \frac (49)(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\approx &2(,)593\\\s_ (8)&=&(\frac (761)(280))&\approx &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\approx &7(,)484\\\\s_( 10^(6))&\approx &14(,)393\end(matrix))) |
Формула Ейлера
При значення ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0)отже, для великих n (\displaystyle n):
s n ≈ ln (n) + γ (\displaystyle s_(n)\approx \ln(n)+\gamma )- Формула Ейлера для суми перших n (\displaystyle n)членів гармонійного ряду.| n (\displaystyle n) | s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k))) | ln (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma ) | ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Більш точна асимптотична формула для часткової суми гармонійного ряду:
s n ≍ ln (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln (n) + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ 2 k n 2 k (displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\dots =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), де B 2 k (\displaystyle B_(2k))- Числа Бернуллі .Цей ряд розходиться, проте помилка обчислень щодо нього ніколи не перевищує половини першого відкинутого члена.
Теоретико-числові властивості часткових сум
∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )
Розбіжність ряду
S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty )при n → ∞ (\displaystyle n\rightarrow \infty )
Гармонічний ряд розходитьсядуже повільно (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).
Розбіжність гармонійного ряду можна продемонструвати, порівнявши його з телескопічним рядом:
v n = ln (n + 1) − ln n = ln (1 + 1 n) ~ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ left(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),часткова сума якого, очевидно, дорівнює:
∑ i = 1 n − 1 v i = ln n ~ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).Доказ Орема
Доказ розбіжності можна побудувати, групуючи доданки таким чином:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(aligned)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\right]+\left[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\right]+\left[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\right]+\left[(\frac (1)(9))+\cdots \ right]+\cdots \\&()>1+\left[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\right]+\left[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\right]+\left[(\frac (1)(16))+cdots \right]+cdots \&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ + \ quad (\ frac (1) (2)) \ \ quad + \ qquad \ quad (\ frac (1) (2)) \ quad \ \ quad \ + \ quad \ (\ frac (1 )(2))\quad +\cdots .end(aligned)))Останній ряд, очевидно, розходиться. Цей доказ належить середньовічному вченому Миколі Орему (бл. 1350).
Альтернативний доказ розбіжності
пропонуємо читачеві переконатися у помилковості цього доказу
Різниця між n (\displaystyle n)-м гармонійним числом та натуральним логарифмом n (\displaystyle n)сходиться до постійної Ейлера-Маскероні.
Різниця між різними гармонійними числами ніколи не дорівнює цілому числу і жодне гармонійне число, крім H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1)не є цілим.
Пов'язані ряди
Ряд Діріхле
Узагальненим гармонійним рядом (або поруч дирихлі) називають ряд
∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).Узагальнений гармонійний ряд розходиться при α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)і сходиться за α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .
Сума узагальненого гармонійного ряду порядку α (\displaystyle \alpha)дорівнює значенню дзета-функції Римана:
∑ k = 1 ? ))Для парних це значення явно виражається через число пі, наприклад, ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), А для α=3 його значення аналітично невідомо.
Іншою ілюстрацією розбіжності гармонійного ряду може бути співвідношення ζ (1 + 1 n) ~ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Тому кажуть, що такий ряд має ймовірність 1 , і сума ряду є випадкова величина з цікавими властивостями. Наприклад, функція, щільності, ймовірності, обчислена в точках +2 або −2 має значення:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,відрізняючись від ⅛ менш ніж 10 −42 .
«Витончений» гармонійний ряд
Ряд Кемпнера (англ.)Якщо розглянути гармонійний ряд, в якому залишені тільки доданки, знаменники яких не містять цифри 9, то виявиться, що сума, що залишилася, сходиться до числа<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), все менше доданків береться для суми «витонченого» ряду. Тобто в кінцевому рахунку відкидається переважна більшість членів, що утворюють суму гармонійного ряду, щоб не перевершити геометричну прогресію, що обмежує зверху.
Перевірити збіжність ряду можна кількома способами. По-перше, можна просто знайти суму ряду. Якщо в результаті ми отримаємо кінцеве число, то такий ряд сходиться. Наприклад, оскільки
то ряд сходиться. Якщо нам не вдалося знайти суму ряду, слід використовувати інші методи для перевірки збіжності ряду.
Одним із таких методів є ознака Даламбера
тут і відповідно n-ий та (n+1)-й члени ряду, а збіжність визначається значенням D: Якщо D< 1 - ряд сходится, если D >
Як приклад, досліджуємо збіжність низки з допомогою ознаки Даламбера. Спочатку запишемо вирази для і. Тепер знайдемо відповідний межа :
Оскільки, відповідно до ознаки Даламбера, ряд сходиться.
Ще одним методом, що дозволяє перевірити збіжність ряду радикальна ознака Коші, який записується наступним чином:
тут n-ий член ряду, а збіжність, як у разі ознаки Даламбера, визначається значенням D: Якщо D< 1 - ряд сходится, если D >1 – розходиться. При D = 1 - ця ознака не дає відповіді і потрібно проводити додаткові дослідження.
Як приклад досліджуємо збіжність ряду за допомогою радикальної ознаки Коші. Спочатку запишемо вираз для . Тепер знайдемо відповідну межу:
Оскільки відповідно до радикальної ознаки Коші, ряд розходиться.
Варто зазначити, що поряд з перерахованими, існують інші ознаки збіжності рядів, такі як інтегральна ознака Коші, ознака Раабе та ін.
Наш онлайн калькулятор, Побудований на основі системи Wolfram Alpha дозволяє протестувати збіжність ряду. При цьому, якщо калькулятор як сума ряду видає конкретне число, ряд сходиться. Інакше необхідно звертати увагу на пункт «Тест збіжності ряду». Якщо там є словосполучення «series converges», то ряд сходиться. Якщо є словосполучення «series diverges», то ряд розходиться.
Нижче наведено переклад усіх можливих значень пункту «Тест збіжності ряду»:
| Текст на англійській мові | Текст російською мовою |
|---|---|
| By harmonic series test, the series diverges. | При порівнянні досліджуваного ряду з гармонійним рядом вихідний ряд розходиться. |
| ratio test є inconclusive. | Ознака Даламбера неспроможна дати відповіді збіжності ряду. |
| The root test is inconclusive. | Радикальна ознака Коші не може дати відповіді про збіжність ряду. |
| By comparison test, the series converges. | За ознакою порівняння, ряд сходиться |
| By ratio test, the series converges. | За ознакою Даламбера, ряд сходиться |
| By the limit test, the series diverges. | На основі того, що title="(!LANG:Межа n-ого члена ряду при n->oo не дорівнює нулю або не існує"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Відповідь: ряд розходиться.
Приклад №3
Знайти суму ряду $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.
Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Складемо n-ю часткову суму низки, тобто. підсумуємо перші $n$ членів заданого числового ряду:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9cdot 11)+ldots+frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Чому я пишу саме $\frac(2)(3\cdot 5)$, а не $\frac(2)(15)$, буде ясно з подальшої розповіді. Однак запис часткової суми ні на йоту не наблизив нас до мети. Адже нам потрібно знайти $\lim_(n\to\infty)S_n$, але якщо ми просто запишемо:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$
то цей запис, абсолютно вірний за формою, нічого нам не дасть по суті. Щоб знайти межу, вираз часткової суми попередньо потрібно спростити.
Для цього є стандартне перетворення, що полягає в розкладанні дробу $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, яка представляє загальний член ряду, елементарні дроби. Питання розкладання раціональних дробів на елементарні присвячено окрему тему (див., наприклад, приклад №3 на цій сторінці). Розкладаючи дріб $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ на елементарні дроби, матимемо:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Прирівнюємо чисельники дробів у лівій та правій частинах отриманої рівності:
$$ 2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1). $$
Щоб знайти значення $A$ і $B$, є два шляхи. Можна розкрити дужки і перегрупувати доданки, а можна просто підставити замість $n$ деякі відповідні значення. Суто для різноманітності в цьому прикладі підемо першим шляхом, а наступному - підставлятимемо приватні значення $n$. Розкриваючи дужки та перегруповуючи доданки, отримаємо:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B; 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
У лівій частині рівності перед $n$ стоїть нуль. Якщо завгодно, ліву частину рівності для наочності можна як $0\cdot n+ 2$. Так як у лівій частині рівності перед $n$ стоїть нуль, а в правій частині рівності перед $n$ стоїть $2A+2B$, то маємо перше рівняння: $2A+2B=0$. Відразу розділимо обидві частини цього рівняння на 2, отримавши після цього $A+B=0$.
Оскільки лівої частини рівності вільний член дорівнює 2, а правої частини рівності вільний член дорівнює $3A+B$, то $3A+B=2$. Отже, маємо систему:
$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$
Доказ проводитимемо методом математичної індукції. На першому кроці потрібно перевірити, чи виконано рівність, що доводиться $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ при $n=1$. Ми знаємо, що $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, але чи дасть вираз $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ значення $\frac(2 ) (15) $, якщо підставити в нього $ n = 1 $? Перевіримо:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-frac(1)(5)=frac(5-3)(15)=frac(2)(15). $$
Отже, при $n=1$ рівність $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ виконано. У цьому перший крок методу математичної індукції закінчено.
Припустимо, що з $n=k$ рівність виконано, тобто. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Доведемо, що ця ж рівність буде виконано за $n=k+1$. Для цього розглянемо $S_(k+1)$:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
Оскільки $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, то $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1)-frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(2k+3)-frac(1)(2(k+1)+3)$. Відповідно до зробленого вище припущенню $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, тому формула $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ набуде вигляду:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(3)-frac(1)(2(k+1)+3). $$
Висновок: формула $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ вірна при $n=k+1$. Отже, згідно з методом математичної індукції, формула $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ вірна за будь-якого $n\in N$. Рівність доведена.
У стандартному курсі вищої математикизазвичай задовольняються "викреслюванням" доданків, що скорочуються, не вимагаючи жодних доказів. Отже, ми отримали вираз для n-ї часткової суми: $ S_n = frac (1) (3) - frac (1) (2n + 3) $. Знайдемо значення $\lim_(n\to\infty)S_n$:
Висновок: заданий ряд сходиться і його сума $S=\frac(1)(3)$.
Другий спосіб спрощення формули для часткової суми.
Чесно кажучи, я сам віддаю перевагу саме цьому способу:) Давайте запишемо часткову суму в скороченому варіанті:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Ми отримали раніше, що $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, тому:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$
Сума $S_n$ містить кінцеву кількість доданків, тому ми можемо переставляти їх так, як нам заманеться. Я хочу спочатку скласти всі складові виду $\frac(1)(2k+1)$, а потім переходити до доданків виду $\frac(1)(2k+3)$. Це означає, що часткову суму ми подаємо у такому вигляді:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+frac(1)(9)-frac(1)(11)+ldots+frac(1)(2n+1)-frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$
Звичайно, розгорнутий запис вкрай незручний, тому представлену вище рівність можна оформити компактніше:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Тепер перетворюємо вирази $\frac(1)(2k+1)$ і $\frac(1)(2k+3)$ до одного виду. Я вважаю зручним приводити до вигляду більшого дробу (хоча можна і до меншого, це справа смаку). Так як $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (чим більше знаменник, тим менше дріб), то наводитимемо дріб $\frac(1)(2k+3) $ на вигляд $\frac(1)(2k+1)$.
Вираз у знаменнику дробу $\frac(1)(2k+3)$ я представлю в такому вигляді:
$$ \frac(1)(2k+3)=frac(1)(2k+2+1)=frac(1)(2(k+1)+1). $$
І суму $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ тепер можна записати так:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
Якщо рівність $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ не викликає питань, то підемо далі. Якщо питання є, то прошу розгорнути примітку.
Як ми отримали перетворену суму? показати\сховати
У нас був ряд $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Давайте замість $k+1$ введемо нову змінну, наприклад $t$. Отже, $ t = k + 1 $.
Як змінювалася стара змінна $k$? А змінювалася вона від 1 до $ n $. Давайте з'ясуємо, як буде змінюватися нова змінна $t$. Якщо $k=1$, то $t=1+1=2$. Якщо $k=n$, то $t=n+1$. Отже, вираз $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ тепер став таким: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$
У нас є сума $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Питання: а чи не однаково, яку літеру використовувати у цій сумі? :) Банально записуючи букву $k$ замість $t$, отримаємо наступне:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
Отак і виходить рівність $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \frac(1)(2k+1)$.
Таким чином, часткову суму можна подати у такому вигляді:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$
Зауважте, що суми $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ і $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ відрізняються лише межами підсумовування. Зробимо ці межі однаковими. "Забираючи" перший елемент із суми $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ будемо мати:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
"Забираючи" останній елемент із суми $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, отримаємо:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3).$$
Тоді вираз для часткової суми набуде вигляду:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Якщо пропустити всі пояснення, то процес знаходження скороченої формули для n-ї часткової суми набуде такого вигляду:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+frac(1)(2n+3)right)=frac(1)(3)-frac(1)(2n+3). $$
Нагадаю, що ми наводили дріб $frac(1)(2k+3)$ до вигляду $frac(1)(2k+1)$. Зрозуміло, можна і навпаки, тобто. уявити дріб $\frac(1)(2k+1)$ як $\frac(1)(2k+3)$. Кінцевий вираз для часткової суми не зміниться. Процес знаходження часткової суми в цьому випадку я приховаю під примітку.
Як знайти $S_n$, якщо приводити до вигляду іншого дробу? показати\сховати
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3). $$
Отже, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Знаходимо межу $\lim_(n\to\infty)S_n$:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Заданий ряд сходиться і його сума $S=\frac(1)(3)$.
Відповідь: $S=\frac(1)(3)$.
Продовження теми знаходження суми ряду буде розглянуто у другій та третій частинах.
Завантаження...