Знайти найбільше значення функції у колі. Найбільше та найменше значення функції кількох змінних в області. Функції кількох змінних

Визначення 1.11 Нехай задана функція двох змінних z = z (x, y), (x, y) D . Крапка M 0 (x 0 ;y 0 ) - внутрішня точка області D .

Якщо в D є така околиця UM 0 крапки M 0 , що для всіх точок

то крапка M 0 називається точкою локального максимуму. А саме значення z(M 0 ) - локальним максимумом.

А якщо для всіх точок

то крапка M 0 називається точкою локального мінімуму функції z(x,y) . А саме значення z(M 0 ) - Локальним мінімумом.

Локальний максимум та локальний мінімум називаються локальними екстремумами функції z(x,y) . На рис. 1.4 пояснюється геометричний змістлокального максимуму: M 0 - точка максимуму, тому що на поверхні z = z (x, y) відповідна їй точка C 0 знаходиться вище за будь-яку сусідню точку C (У цьому локальність максимуму).

Зауважимо, що на поверхні загалом є точки (наприклад, У ), які знаходяться вище C 0 , але ці точки (наприклад, У ) не є "сусідними" з точкою C 0 .

Зокрема, точці У відповідає поняття глобального максимуму:

Аналогічно визначається і глобальний мінімум:

Знаходження глобальних максимумів та мінімумів буде розглянуто у п.1.10.

Теорема 1.3 (необхідні умови екстремуму).

Нехай задана функція z = z (x, y), (x, y) D . Крапка M 0 (x 0 ;y 0 D - Точка локального екстремуму.

Якщо у цій точці існують z" x і z" y , то

Геометричне підтвердження " очевидно " . Якщо у точці C 0 на (рис.1.4) провести дотичну площину, вона "природно" пройде горизонтально, т. е. під кутом 0° до осі Ох і до осі Оу .

Тоді відповідно до геометричного змісту приватних похідних (рис.1.3):

що і потрібно було довести.

Визначення 1.12.

Якщо у точці M 0 виконуються умови (1.41), то вона називається стаціонарною точкою функції z (x, y) .

Теорема 1.4 (достатні умови екстремуму).

Нехай задана z = z (x, y), (x, y) D , яка має приватні похідні другого порядку в околиці точки M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Причому M 0 - стаціонарна точка (тобто необхідні умови (1.41) виконані). Обчислимо:

Доказ теореми використовує теми (формула Тейлора функції кількох змінних і теорія квадратичних форм), які у цьому посібнику не розглядаються.

приклад 1.13.

Дослідити на екстремум:

1. Знайдемо стаціонарні точки, вирішуючи систему (1.41):

тобто знайдено чотири стаціонарні точки. 2.

за теоремою 1.4 у точці – мінімум. Причому

за теоремою 1.4 у точці

Максимум. Причому

§10 Найбільше та найменше значення функції двох змінних у замкнутій області

Теорема 1.5 Нехай у замкнутій області D задана функція z = z (x, y) , що має безперервні приватні похідні першого порядку. Кордон Г області D є шматково гладкою (тобто складається з шматків "гладких на дотик" кривих або прямих). Тоді в області D функція z(x,y) досягає свого найбільшого M і найменшого m значень.

Без підтвердження.

Можна запропонувати наступний план перебування M і m . 1. Будуємо креслення, виділяємо всі частини кордону області D і знаходимо всі "кутові" точки кордону. 2. Знаходимо стаціонарні точки всередині D . 3. Знаходимо стаціонарні точки кожної з кордонів. 4. Обчислюємо у всіх стаціонарних та кутових точках, а потім вибираємо найбільше M і найменше m значення.

Приклад 1.14 Знайти найбільше M і найменше m значення функції z = 4x2-2xy+y2-8x у замкнутій області D , обмеженою: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Побудуємо область D (рис. 1.5) на площині Оху .

Кутові точки: Про (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Кордон Г області D складається з трьох частин:

2. Знайдемо стаціонарні точки усередині області D :

3. Стаціонарні точки на кордонах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Обчислюємо шість значень:

З отриманих шести значень вибираємо найбільше та найменше.

Теорема 1.5 Нехай у замкнутій області D задана функція z = z (x, y) , що має безперервні приватні похідні першого порядку. Кордон Г області D є шматково гладкою (тобто складається з шматків "гладких на дотик" кривих або прямих). Тоді в області D функція z (x, y) досягає свого найбільшого M і найменшого m значень.

Без підтвердження.

Можна запропонувати наступний план перебування M і m .
1. Будуємо креслення, виділяємо всі частини кордону області D і знаходимо всі "кутові" точки кордону.
2. Знаходимо стаціонарні точки всередині D .
3. Знаходимо стаціонарні точки кожної з кордонів.
4. Обчислюємо у всіх стаціонарних та кутових точках, а потім вибираємо найбільше M і найменше m значення.

Приклад 1.14 Знайти найбільше M і найменше m значення функції z = 4x2-2xy+y2-8x у замкнутій області D , обмеженою: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Побудуємо область D (рис. 1.5) на площині Оху .

Кутові точки: Про (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Кордон Г області D складається з трьох частин:

2. Знайдемо стаціонарні точки усередині області D :

3. Стаціонарні точки на кордонах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Обчислюємо шість значень:

Приклади

приклад 1.

Ця функція визначена при всіх змінних значеннях x і y , крім початку координат, де знаменник перетворюється на нуль.

Багаточлен x 2 +y 2 безперервний усюди, а значить і безперервний корінь квадратний з безперервної функції.

Дріб буде безперервною всюди, крім точок, де знаменник дорівнює нулю. Тобто функція, що розглядається, безперервна на всій координатній площині Оху , виключаючи початок координат.

приклад 2.

Дослідити на безперервність функцію z=tg (x, y) . Тангенс визначений і безперервний за всіх кінцевих значенняхаргументу, крім значень, рівних непарному числу величини π /2 , тобто. виключаючи точки, де

При кожному фіксованому "k" рівняння (1.11) визначає гіперболу. Тому розглянута функція є безперервною функцією x та y виключаючи точки, що лежать на кривих (1.11).

приклад 3.

Знайти приватні похідні функції u=z -xy , z > 0 .

приклад 4.

Показати, що функція

задовольняє тотожності:

– ця рівність справедлива для всіх точок М(х; у; z) крім точки М 0 (a; b; c) .

Розглянемо функцію z=f(х,у) двох незалежних змінних та встановимо геометричний зміст приватних змінних z" x = f" x (х,у) і z" y = f" y (х,у) .

У цьому випадку рівняння z=f (х,у) є рівняння деякої поверхні (рис.1.3). Проведемо площину y = const . У перерізі цієї поверхні поверхні z=f (х,у) вийде деяка лінія l 1 перетину, вздовж якого змінюються лише величини х і z .

Приватна похідна z" x (її геометричний зміст безпосередньо випливає з відомого нам геометричного сенсу похідної функції однієї змінної) чисельно дорівнює тангенсу кута α нахилу, по відношенню до осі Ох , щодо L 1 до кривої l 1 , що виходить у перерізі поверхні z=f (х,у) площиною y = const у точці М(х,у,f(xy)): z" x = tgα .

У перетині ж поверхні z=f (х,у) площиною х = const вийде лінія перетину l 2 , вздовж якої змінюються лише величини у і z . Тоді приватна похідна z" y чисельно дорівнює тангенсу кута β нахилу по відношенню до осі Оу , щодо L 2 до вказаної лінії l 2 перетину в точці М(х,у,f(xy)): z" x = tgβ .

Приклад 5.

Який кут утворює із віссю Ох дотична до лінії:

у точці М(2,4,5) ?

Використовуємо геометричний зміст приватної похідної за змінною х (при постійному у ):

Приклад 6.

Згідно (1.31):

Приклад 7.

Вважаючи, що рівняння

неявно задає функцію

знайти z" x , z" y .

тому згідно (1.37) отримуємо відповідь.

Приклад 8.

Дослідити на екстремум:

1. Знайдемо стаціонарні точки, вирішуючи систему (1.41):

тобто знайдено чотири стаціонарні точки.
2.

за теоремою 1.4 у точці – мінімум.

Причому

4. Обчислюємо шість значень:

З отриманих шести значень вибираємо найбільше та найменше.

Список літератури:

ü Бєлько І. В., Кузьмич К. К. Вища математикадля економістів І семестр: Експрес-курс. - М.: Нове знання, 2002. - 140 с.

ü Гусак А. А. Математичний аналізі диференціальні рівняння. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 с.

ü Гусак А. А. Вища математика. Навчальний посібник для студентів вузів у 2-х томах. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Трішин І. М., Фрідман М. Н. Вища математика для економістів: Підручник для вузів/За ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНІТІ, 2002. - 471 с.

ü Яблонський А. І., Кузнєцов А. В., Шилкіна Є. І. та ін. Вища математика. Загальний курс: Підручник / За заг. ред. С. А. Самаля. - Мн.: Виш. шк., 2000. - 351 с.

Найбільше та найменше значення

Функція, обмежена в обмеженій замкнутій області, досягає в ній найбільшого та найменшого значень або в стаціонарних точках, або в точках, що лежать на межі області.

Для знаходження найбільшого чи найменшого значень функції необхідно:

1. Знайти стаціонарні точки, що лежать усередині цієї області, і обчислити у яких значення функції.

2. Знайти найбільше (найменше) значення функції межі області.

3. Порівняти всі отримані значення функції: найбільше (менше) і буде найбільшим (найменшим) значенням функції у цій галузі.

Приклад 2. Знайти найбільше (найменше) значення функції: у колі .

Рішення.

точка стаціонарна; .

2 . Границею цієї замкнутої області є коло чи , де .

Функція межі області стає функцією однієї змінної: , де . Знайдемо найбільше та найменше значення цієї функції.

При x = 0; (0,-3) та (0,3) - критичні точки.

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка

3 . Порівнюючи між собою значення отримуємо,

У точках A та B.

У точках C та D.

приклад 3.Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області, заданій нерівністю:

Рішення. Область є трикутником, обмеженим осями координат і прямою x+y=1.

1. Знаходимо стаціонарні точки всередині області:

; ; у = - 1/8; х = 1/8.

Стаціонарна точка не належить даної області, тому значення z у ній не обчислюємо.

2 .Досліджуємо функцію на кордоні. Оскільки межа складається з трьох ділянок, описаних трьома різними рівняннями, досліджуємо функцію кожному ділянці окремо:

а) дільниці 0A: y=0- рівняння 0A, тоді ; з рівняння видно, що функція збільшується на 0A від 0 до 1. Значить .

б) на ділянці 0B: x = 0 - рівняння 0B, тоді; -6y + 1 = 0; - Критична точка.

в) на прямий x + y = 1: y = 1-x, тоді отримаємо функцію

Обчислимо значення функції z у точці B(0,1).

3 .Порівнюючи числа отримуємо, що

На прямий AB.

У точці B.

Тести для самоконтролю знань.

1 . Екстремум функції – це

а) її похідні першого порядку

б) її рівняння

в) її графік

г) її максимум чи мінімум

2. Екстремум функції кількох змінних може досягатися:

а) тільки в точках, що лежать усередині її області визначення, в яких усі приватні похідні першого порядку більші за нуль

б) тільки в точках, що лежать усередині її області визначення, в яких усі приватні похідні першого порядку менші за нуль

в) тільки в точках, що лежать усередині її області визначення, в яких усі приватні похідні першого порядку не дорівнюють нулю

г) тільки в точках, що лежать усередині її області визначення, в яких усі приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю

3. Функція, безперервна в обмеженій замкнутій області, досягає в ній найбільшого та найменшого значень:

а) у стаціонарних точках

б) або в стаціонарних точках, або в точках, що лежать на межі області

в) у точках, що лежать на межі області

г) у всіх точках

4. Стаціонарними точками для функції кількох змінних називаються точки:

а) у яких усі приватні похідні першого порядку не дорівнюють нулю

б) у яких усі приватні похідні першого порядку більші за нуль

в) у яких усі приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю

г) у яких усі приватні похідні першого порядку менші за нуль

Нехай функція y = f (x) безперервна на відрізку. Як відомо, така функція досягає своїх найбільш. та найм. значень. Це значення функція може прийняти у внутрішній точці відрізка , або на межі відрізка, тобто. при = a або = b. Якщо точку слід шукати серед критичних точок даної функції.

Отримуємо наступне правило знаходження найбільшого та найменшого значень функції на:

1) визначити критичні точки функції на інтервалі (a, b);

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції кінцях відрізка, тобто. у точках x=a та x=b;

4) серед усіх обчислених значень функції вибрати найбільше та найменше.

Зауваження:

1. Якщо функція y = f (x) на відрізку має лише одну критичну точку і вона є точкою максимуму (мінімуму), то в цій точці функція набирає найбільшого (найменшого) значення.

2. Якщо функція y=f(x) на відрізку немає критичних точок, це означає, що у ньому функція монотонно зростає чи убуває. Отже, своє максимальне значення (М) функція приймає одному кінці відрізка, а найменше (m) – іншому.

60. Комплексні числа. Формули Муавру.
Комплексним числомназив. вираз виду z = x + iy, де x та y - дійсні числа, а i – так звані. уявна одиниця, . Якщо x=0, то число 0+iy=iy звані. числом уявним; якщо y=0, число x+i0=x ототожнюється з дійсним числом х, але це означає, що безліч R всіх діє. чисел явл. підмножиною безлічі З усіх комплексних чисел, тобто. . Число х назв. дійсною частиною z, . Два комплексних числа і називаються рівними (z1=z2) тоді й тільки тоді, коли рівні їхні дійсні частини та рівні їх уявні частини: x1=x2, y1=y2. Зокрема, комплексне число Z=x+iy дорівнює нулю і тоді, коли x=y=0. Поняття «більше» та «менше» для комплексних чисел не вводяться. Два комплексних числа z = x + iy і, що відрізняються лише знаком уявної частини, називаються сполученими.

Геометричне зображення комплексних чисел.

Будь-яке комплексне число z = x + iy можна зобразити точкою M(x,y) площини Oxy такою, що x=Re z, y=Im z. І, навпаки, кожну точку M(x;y) координатної площини можна як образ комплексного числа z = x + iy. Площина, де зображуються комплексні числа, називається комплексної площиною, т.к. у ньому лежать дійсні числа z = x + 0i = x. Вісь ординат називається уявною віссю, тому що на ній лежать суто уявні комплексні числа z = 0 + iy. Комплексне число Z=x+iy можна встановити за допомогою радіус-вектора r=OM=(x,y). Довжина вектора r, що зображує комплексне число z називається модулем цього числа і позначається | z | або r. Розмір кута між покладе. Напрямком дійсної осі та вектором r, що зображує комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа, позначається Arg z або . Аргумент комплексного числа Z = 0 не визначено. Аргумент комплексного числа - величина багатозначна і визначається з точністю до доданку, де arg z - головне значення аргументу, укладене в проміжку (), тобто. - (Іноді в кач-ві головного значення аргументу беруть величину, що належить проміжку (0; )).

Запис числа z як z=x+iy називають алгебраїчною формою комплексного числа.

Дії над комплексними числами

Додавання.Сумою двох комплексних чисел z1=x1+iy1 та z2=x2+iy2 називається комплексне число, що визначається рівністю: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Додавання комплексних чисел має переміщувальні та поєднувальні властивості: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Віднімання.Віднімання визначається як дія, зворотне додавання. Різниця комплексних чисел z1 і z2 називається таке комплексне число z, яке, будучи складеним з z2, дає число z1, тобто. z = z1-z2, якщо z + z2 = z1. Якщо z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, з цього визначення легко отримати z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). множення.Добутком комплексних чисел z1=x1+iy1 і z2=x2+iy2 називається комплексне число, що визначається рівністю z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Звідси, зокрема, і випливає: . Якщо числа задані у тригонометричній формі: .

При множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Формула Муавра(якщо є n множників і вони однакові): .

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій із іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Реєстрація учасників відкрита. Отримайте свій квиток на Марс за цим посиланням.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями у соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати та вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами іабо відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант коду завантаження, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково) , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий переддень Нового Року... морозна погода та сніжинки на шибці... Все це спонукало мене знову написати про... фрактали, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. Із цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо складніші приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що і те й інше є безліч, даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку форму, як і сама вихідна фігура. Тобто це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми бачитимемо ту саму форму, що і без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (не фракталу), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають простішу форму, ніж вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає як відрізок прямий. З фракталами такого не відбувається: за будь-якого їх збільшення ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням повторюватиметься знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактали, у своїй статті Фрактали та мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які однаково складні у своїх деталях, як і у своїй загальної форми. Тобто, якщо частина фракталу буде збільшена до розміру цілого, вона виглядатиме як ціле, або точно, або, можливо, з невеликою деформацією".