Переклад з комплексної форми до тригонометричної. Тригонометрична форма комплексних чисел. Комплексні числа xi

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел

Нехай вектор задається на комплексній площині числом.

Позначимо через φ кут між позитивною піввіссю Ox і вектором (кут φ вважається позитивним, якщо він відраховується проти годинникової стрілки, і негативним інакше).

Позначимо довжину вектора через r. Тоді. Позначимо також

Запис відмінного від нуля комплексного числа z у вигляді

називається тригонометричною формою комплексного числа z. Число r називається модулем комплексного числа z, а число називається аргументом цього комплексного числа і позначається Arg z.

Тригонометрична форма запису комплексного числа – (формула Ейлера) – показова форма запису комплексного числа:

У комплексного числа z є безліч аргументів: якщо φ0 – будь-який аргумент числа z, то всі інші можна знайти за формулою

Для комплексного числа аргумент та тригонометрична форма не визначаються.

Таким чином, аргументом відмінного від нуля комплексного числа є будь-яке рішення системи рівнянь:

(3)

Значення аргументу комплексного числа z, що задовольняє нерівностей, називається головним і позначається arg z.

Аргументи Arg z та arg z пов'язані рівністю

, (4)

Формула (5) є наслідком системи (3), тому всі аргументи комплексного числа задовольняють рівності (5), але не всі рішення рівняння φ (5) є аргументами числа z.

Головне значення аргументу відмінного від нуля комплексного числа знаходиться за формулами:

Формули множення та поділу комплексних чисел у тригонометричній формі мають такий вигляд:

. (7)

При зведенні до натурального ступеня комплексного числа використовується формула Муавра:

При вилучення кореня з комплексного числа використовується формула:

, (9)

де k = 0, 1, 2, …, n-1.

Завдання 54. Обчисліть , де.

Подамо рішення цього виразу в показовій формі запису комплексного числа: .

Якщо то .

Тоді , . Тому тоді і де .

Відповідь: , за .

Завдання 55. Запишіть комплексні числа у тригонометричній формі:

а); б); в); г); д); е) ; ж).

Оскільки тригонометрична форма комплексного числа має вигляд, тоді:

а) У комплексному числі: .

Тому

б) де ,

г) де ,

е) .

ж) , а , то.

Тому

Відповідь: ; 4; ; ; ; ; .

Завдання 56. Знайдіть тригонометричну форму комплексного числа

Нехай .

Тоді , , .

Оскільки і , , то , а

Отже, тому

Відповідь: де .

Завдання 57. Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, зробіть вказані дії: .

Представимо числа та у тригонометричній формі.

1) , де тоді

Знаходимо значення головного аргументу:

Підставимо значення і вираз , отримаємо

2) , де тоді

Тоді

3) Знайдемо приватне

Вважаючи k=0, 1, 2, отримаємо три різних значенняшуканого кореня:

Якщо то

якщо то

якщо то .

Відповідь:

: .

Задача 58. Нехай , , , – різні комплексні числа та . Доведіть, що

а) число є дійсним позитивним числом;

б) має місце рівність:

а) Подаємо дані комплексні числа в тригонометричній формі:

Так як .

Припустимо, що . Тоді

Останній вираз є позитивним числом, тому що під знаками синусів стоять числа з інтервалу.

тому що число речовинно та позитивно. Дійсно, якщо a і b - комплексні числа і речовинно і більше за нуль, то .

Крім того,

отже, необхідну рівність доведено.

Завдання 59. Запишіть в формі алгебри число .

Представимо число в тригонометричній формі, а потім знайдемо його форму алгебри. Маємо . Для отримуємо систему:

Звідси випливає рівність: .

Застосовуючи формулу Муавра:

отримуємо

Знайдено тригонометричну форму заданого числа.

Запишемо тепер це число в формі алгебри:

Відповідь: .

Завдання 60. Знайдіть суму , ,

Розглянемо суму

Застосовуючи формулу Муавра, знайдемо

Ця сума є сумою n членів геометричної прогресії зі знаменником та першим членом .

Застосовуючи формулу для суми членів такої прогресії, маємо

Виділяючи уявну частину в останньому виразі, знаходимо

Виділяючи дійсну частину, отримуємо таку формулу: , , .

Завдання 61. Знайдіть суму:

а) ; б).

За формулою Ньютона для зведення у ступінь маємо

За формулою Муавра знаходимо:

Прирівнюючи речові та уявні частини отриманих виразів для , маємо:

і .

Ці формули у компактному вигляді можна записати так:

де - ціла частина числа a.

Завдання 62. Знайдіть усі , котрим .

Оскільки , то, застосовуючи формулу

, Для вилучення коренів, отримуємо ,

Отже, , ,

, .

Точки, що відповідають числам, розташовані у вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2 з центром у точці (0; 0) (рис. 30).

Відповідь: , ,

, .

Завдання 63. Розв'яжіть рівняння , .

За умовою ; тому дане рівнянняне має кореня, і, отже, воно рівносильне рівнянню.

Для того, щоб число z було коренем даного рівняння, потрібно, щоб число було корінням п-йступеня із числа 1.

Звідси укладаємо, що вихідне рівняння має коріння, визначене з рівностей

Таким чином,

тобто. ,

Відповідь: .

Завдання 64. Розв'яжіть у безлічі комплексних чисел рівняння .

Так як число не є коренем даного рівняння, то при даному рівнянні рівносильне рівнянню

Т. е. рівняння.

Усі коріння цього рівняння виходять із формули (див. задачу 62):

; ; ; ; .

Завдання 65. Намалюйте на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівності: . (2-й спосіб розв'язання задачі 45)

Нехай .

Комплексним числам, що мають однакові модулі, відповідають точки площини, що лежать на колі з центром на початку координат, тому нерівності задовольняють всі точки відкритого кільця, обмеженого колами із загальним центром на початку координат і радіусами (рис. 31). Нехай деяка точка комплексної площини відповідає числу w0. Число , має модуль, в раз менший за модуль w0, аргумент, на більший аргумент w0. З геометричної точки зору точку, що відповідає w1, можна отримати, використовуючи гомотетію з центром на початку координат і коефіцієнтом , а також поворот щодо початку координат на кут проти годинникової стрілки. В результаті застосування цих двох перетворень до точок кільця (рис. 31) останнє перейде в кільце, обмежене кіл з тим же центром і радіусами 1 і 2 (рис. 32).

Перетворення реалізується за допомогою паралельного перенесенняна вектор. Переносячи кільце з центром у точці на зазначений вектор, отримаємо кільце такого ж розміру з центром у точці (рис. 22).

Запропонований спосіб, що використовує ідею геометричних перетворень площини, напевно, менш зручний в описі, але дуже витончений та ефективний.

Завдання 66. Знайдіть , якщо .

Нехай тоді і . Вихідна рівність набуде вигляду . З умови рівності двох комплексних чисел отримаємо, звідки,. Таким чином, .

Запишемо число z у тригонометричній формі:

де , . Згідно з формулою Муавра, знаходимо .

Відповідь: - 64.

Завдання 67. Для комплексного числа знайдіть усі комплексні числа , такі, що , а .

Представимо число у тригонометричній формі:

. Звідси,. Для числа отримаємо, може дорівнювати або.

В першому випадку , у другому

Відповідь: , .

Завдання 68. Знайдіть суму таких чисел, що . Вкажіть одне із таких чисел.

Зауважимо, що вже з самого формулювання завдання можна зрозуміти, що сума коренів рівняння можна знайти без обчислення самого коріння. Справді, сума коренів рівняння є коефіцієнт при , взятий із протилежним знаком (узагальнена теорема Вієта), тобто.

Учнів, шкільну документацію, зробити висновки про рівень засвоєння цього поняття. Підбити підсумок про вивчення особливостей математичного мислення та процесу формування поняття комплексного числа. Опис методів. Діагностичні: І етап. Розмова проводилася з учителем математики, яка у 10Є класі викладає алгебру та геометрію. Розмова відбулася через деякий час з початку...

Резонанс" (!)), що включає також оцінку власної поведінки. 4. Критичне оцінювання свого розуміння ситуації (сумніву). 5. Нарешті, використання рекомендацій юридичної психології (облік юристом психологічних аспектів виконуваних професійних дій - професійно-психологічна підготовленість). Розглянемо тепер психологічний аналіз юридичних фактів.

Математики тригонометричної підстановки та перевірка ефективності розробленої методики викладання. Етапи роботи: 1. Розробка факультативного курсу на тему: «Застосування тригонометричної підстановки на вирішення алгебраїчних завдань» з учнями класів з поглибленим вивченням математики. 2. Проведення розробленого факультативного курсу. 3. Проведення діагностичної контрольної...

Пізнавальні завдання покликані лише доповнити існуючі засоби навчання і повинні знаходитись у доцільному поєднанні з усіма традиційними засобами та елементами навчального процесу. Відмінність навчальних завдань у викладанні гуманітарних наук від точних, математичних завдань у тому, що у історичних завданнях відсутні формули, жорсткі алгоритми тощо., що ускладнює їх вирішення. ...

Для визначення положення точки на площині можна скористатися полярними координатами [г, (р), де г- Відстань точки від початку координат, а (р- кут, який становить радіус - вектор цієї точки з позитивним напрямом осі Ох.Позитивним напрямом зміни кута (рвважається напрямок проти годинникової стрілки. Скориставшись зв'язком декартових та полярних координат: х = г cos ср, у = г sin (р,

отримаємо тригонометричну форму запису комплексного числа

z - r(sin (p + i sin

де г

Xі + у2, (р - аргумент комплексного числа, який знаходять з

л X . у у

формул cos (р --, sin^9 = - або через те, що tg(p --, (p-arctg

Зауважимо, що при виборі значень срз останнього рівняння необхідно враховувати знаки х та у.

Приклад 47. Записати у тригонометричній формі комплексне число 2 = -1 + л/З/.

Рішення. Знайдемо модуль та аргумент комплексного числа:

= yj 1 + 3 = 2 . Кут срзнайдемо із співвідношень cos (р = -, sin(p = - .Тоді

отримаємо cos(p = -,suup

у/з г~

- -. Очевидно, точка z = -1 + V3-/ знаходиться
2 до 3

у другій чверті: (р= 120 °

Підставляючи

2 до.. cos-h; sin

у формулу (1) знайдені 27Г Л

Зауваження. Аргумент комплексного числа визначено не однозначно, а з точністю до складового, кратного 2п.Тоді через сп^ гпозначають

значення аргументу, укладене в межах (Р 0 %2 Тоді

А)^г = + 2кк.

Використовуючи відому формулу Ейлера е, отримуємо показову форму запису комплексного числа.

Маємо г = г (з ^ (р + і?, п (р) = ге,

Дії над комплексними числами

1. Сума двох комплексних чисел г, = Х] + у х/ і г 2 - х 2+у 2 / визначається згідно з формулою г! +2 2 = (х, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) ' г
2. Операція віднімання комплексних чисел визначається як операція, зворотна до складання. Комплексне число г = г х - г 2якщо г 2 +г = г х,

є різницею комплексних чисел 2, та г 2 .Тоді г = (х, - х 2) + (у, - у 2) /.

3. Добуток двох комплексних чисел г х= х, +у, -г та 2 2 = х 2+ У2' г визначається за формулою
*1*2 =(* +У"0(Х 2+ Т 2 -0 = Х 1 Х 2 У 1 2 -1 +х У2 " * + У1 У2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+( Х У2 + Х 2У)-"-

Зокрема, г-г= (х + у-г) (х-у /) = х 2 + у 2.

Можна отримати формули множення комплексних чисел у показовій та тригонометричній формах. Маємо:

1^ 2 - Г х е 1 = )Г 2 е > = Г]Г 2 cOs((P + ср 2) + isin
4. Розподіл комплексних чисел визначається як операція, зворотна

множення, тобто. число г--називається приватним від розподілу г! на р 2 ,

якщо г х -1 2 ? 2 . Тоді

Х + Ті _ (*і + ІУ 2 ~ 1 У2 ) х 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

х, х 2 + / у, х 2 - їх х у 2 - і 2 у х у 2 (х х х 2 + у х у 2)+ /(- х,у 2 + Х 2 У])

2 2 х 2 +У 2

1 е

і(р г

- 1У е "(1 Фг) - І.сОї((Р -СР 1)+ І- (р-,)] >2 >2
5. Зведення в цілий позитивний ступінь комплексного числа краще робити, якщо число записано у показовій чи тригонометричній формах.

Справді, якщо г = ге 1 то

=(ге,) = г п е т = г"(Со8 пср+іьт гкр).

Формула г" = p (cosn(p+is n(p))називається формулою Муавра.

6. Вилучення кореня п-й ступеня з комплексного числа визначається як операція, зворотна до зведення в ступінь п, п- 1,2,3,... тобто. комплексне число = у[гназивається коренем п-ступеня з комплексного числа

г, якщо г = г х. З цього визначення випливає, що г - г", а г х= л/р. (р-пср х,а ср-ср/п, що випливає з формули Муавра, записаної для числа = г/*+ ііпп(р).

Як було зазначено вище, аргумент комплексного числа визначено не однозначно, а з точністю до доданку, кратного 2 ж.Тому = (р + 2пк, а аргумент числа г, що залежить від до,позначимо (Р доі бу

дем обчислювати за формулою (Р до= - +. Ясно, що існує пком-

плексних чисел, п-я ступінь яких дорівнює числу 2. Ці числа мають один

і той самий модуль, рівний у[г,а аргументи цих чисел виходять за до = 0, 1, п - 1. Таким чином, у тригонометричній формі корінь і-йступеня обчислюють за формулою:

(р + 2кп) . . ср + 2кп

, до = 0, 1, 77-1,

.(р+2ктг

а в показовій формі – за формулою л[г - у[ге п

Приклад 48. Виконати дії над комплексними числами в формі алгебри:

а) (1-/Ч/2) 3 (3+/)

(1 - /л/2) 3 (з + /) = (1 - Зл/2/ + 6/ 2 - 2 л/2 / ? 3)(3 + /) =
(1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15+л/2)-(5+Зл/2)/;

Приклад 49. Звести число г = Уз - / п'яту ступінь.

Рішення. Отримаємо тригонометричну форму запису числа р.

Г =л/3+1 =2, С08 (р --, 5ІІ7 (р =

(1 - 2/Х2+/)
(З-,)

Про - 2.-Х2 + про

12+ 4/-9/
2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
(З-О "(З-О

З/2 12-51 + 3 15 - 5/

(3-і) 'з+/
9 + 1 з_±.
5 2 1 "

Звідси про--, а г = 2

Муавра отримаємо: і -2

/ ^ _ 7Г, . ?Г

-СШ-- ІБІП -

--Ь / -

= - (Л / З + г) = -2.

Приклад 50. Знайти всі значення

Рішення, г = 2, а срзнайдемо з рівняння соь(р = -, зт--.

Ця точка 1 - /д/з перебуває у четвертій чверті, тобто. ф =--. Тоді

1 - 2
( (УГ Л

Значення кореня знаходимо з виразі

V1 - /л/з = л/2

--+ 2А:/г ---ь 2 кк
3 . . 3

С08--1-і 81П-

При до - 0 маємо 2 0 = л/2

Можна знайти значення кореня з числа 2, представивши число у показі

-* К/ 3 + 2 кл

При до= 1 маємо ще одне значення кореня:

7Г. 7Г _
---ь27г ---ь2;г
3 . . з

7Г . . 7Г Л-С05 - + 181П - 6 6

--Н -

зі? - 7Г+/5Ш - Я"

л/3__т_

ній формі. Так як г= 2, а ср= , то г = 2е 3 а у[г = у/2е 2

Лекція

Тригонометрична форма комплексного числа

План

1.Геометричне зображення комплексних чисел.

2.Тригонометричний запис комплексних чисел.

3.Дії над комплексними числами у тригонометричній формі.

Геометричне зображення комплексних чисел.

а) Комплексні числа зображують точками площини за таким правилом: a + bi = M ( a ; b ) (Рис.1).

Малюнок 1

б) Комплексне число можна зобразити вектором, який має початок у точціПро і кінець у цій точці (рис.2).

Малюнок 2

Приклад 7. Побудуйте точки, що зображають комплексні числа:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Рис.3).

Малюнок 3

Тригонометричний запис комплексних чисел.

Комплексне числоz = a + bi можна задати за допомогою радіусу. з координатами( a ; b ) (Рис.4).

Малюнок 4

Визначення . Довжина вектора , що зображує комплексне числоz , називається модулем цього числа та позначається абоr .

Для будь-якого комплексного числаz його модульr = | z | визначається однозначно за формулою .

Визначення . Величина кута між позитивним напрямком дійсної осі та вектором , що зображує комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа і позначаєтьсяА rg z абоφ .

Аргумент комплексного числаz = 0 не визначений. Аргумент комплексного числаz≠ 0 – величина багатозначна і визначається з точністю до доданку2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , деarg z - Головне значення аргументу, укладене в проміжку(-π; π] , тобто-π < arg z ≤ π (Іноді як головне значення аргументу беруть величину, що належить проміжку .

Цю формулу приr =1 часто називають формулою Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Приклад 11. Обчисліть(1 + i ) 100 .

Запишемо комплексне число1 + i у тригонометричній формі.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos · 100 + i sin · 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Вилучення квадратного кореня з комплексного числа.

При вилучення квадратного кореня з комплексного числаa + bi маємо два випадки:

якщоb > про , то ;

3.1. Полярні координати

На площині часто застосовується полярна система координат . Вона визначена, якщо задана точка O, яка називається полюсом, і промінь, що виходить з полюса (для нас це вісь Ox) – полярна вісь.Положення точки M фіксується двома числами: радіусом (або радіус-вектором) та кутом φ між полярною віссю та вектором .Кут φ називається полярним кутом; вимірюється в радіанах та відраховується від полярної осі проти годинникової стрілки.

Положення точки в полярній системі координат визначається впорядкованою парою чисел (r; φ). Біля полюса r = 0,а φ не визначено. Для всіх інших точок r > 0,а φ визначено з точністю до складеного кратного 2π. При цьому парам чисел (r; φ) і (r 1 ; φ 1) зіставляється одна і та ж точка, якщо .

Для прямокутної системи координат xOyДекартові координати точки легко виражаються через її полярні координати таким чином:

3.2. Геометрична інтерпретація комплексного числа

Розглянемо на площині декартову прямокутну систему координат xOy.

Будь-якому комплексному числу z=(a, b) ставиться у відповідність точка площини з координатами ( x, y), де координата x = a, тобто. дійсній частині комплексного числа, а координата y = bi - уявної частини.

Площина, точками якої є комплексні числа - комплексна площина.

На малюнку комплексному числу z = (a, b)відповідає точка M(x, y).

Завдання.Зобразіть на координатній площині комплексні числа:

3.3. Тригонометрична форма комплексного числа

Комплексне число на площині має координати точки M (x; y). При цьому:

Запис комплексного числа - тригонометрична форма комплексного числа.

Число r називається модулем комплексного числа zі позначається. Модуль – невід'ємне речове число. Для .

Модуль дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли z = 0, тобто. a = b = 0.

Число φ називається аргументом z і позначається. Аргумент z визначений неоднозначно, як і полярний кут у полярній системі координат, а саме з точністю до кратного, що додається, 2π.

Тоді приймаємо: , де? найменше значенняаргументу. Очевидно, що

За більш глибокого вивчення теми вводиться допоміжний аргумент φ*, такий, що

Приклад 1. Знайти тригонометричну форму комплексного числа.

Рішення. 1) вважаємо модуль: ;

2) шукаємо φ: ;

3) тригонометрична форма:

приклад 2.Знайти форму алгебри комплексного числа .

Тут достатньо підставити значення тригонометричних функцій і перетворити вираз:

приклад 3.Знайти модуль та аргумент комплексного числа;

1) ;

2); φ – у 4 чверті:

3.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі

· Додавання та відніманнязручніше виконувати з комплексними числами в формі алгебри:

· множення– за допомогою нескладних тригонометричних перетворень можна показати, що при множенні модулі чисел перемножуються, а аргументи складаються: ;

Дії над комплексними числами, записаними в формі алгебри

Алгебраїчною формою комплексного числа z =(a,b).називається алгебраїчне вираз виду

z = a + bi.

Арифметичні операції над комплексними числами z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i, Записаними в формі алгебри, здійснюються наступним чином.

1. Сума (різниця) комплексних чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

тобто. додавання (віднімання) здійснюються за правилом складання багаточленів з приведенням подібних членів.

2. Добуток комплексних чисел

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

тобто. множення проводиться за звичайним правилом множення багаточленів, з урахуванням того, що i 2 = 1.

3. Розподіл двох комплексних чисел здійснюється за таким правилом:

, (z 2 ≠ 0),

тобто. розподіл здійснюється множенням ділимого та дільника на число, пов'язане дільнику.

Зведення до ступеня комплексних чисел визначається так:

Легко показати, що

Приклади.

1. Знайти суму комплексних чисел z 1 = 2 – iі z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Знайти добуток комплексних чисел z 1 = 2 – 3iі z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Знайти приватне zвід розподілу z 1 = 3 - 2на z 2 = 3 – i.

z = .

4. Розв'язати рівняння: , xі y Î R.

(2x + y) + (x + y)i = 2 + 3i.

В силу рівності комплексних чисел маємо:

звідки x =–1 , y= 4.

5. Обчислити: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Обчислити, якщо.

7. Обчислити число протилежне числу z=3-i.

Комплексні числа у тригонометричній формі

Комплексною площиноюназивається площину з декартовими координатами ( x, y), якщо кожній точці з координатами ( a, b) поставлено у відповідність комплексне число z = a + bi. При цьому вісь абсцис називається справжньою віссю, а вісь ординат - уявний. Тоді кожне комплексне число a + biгеометрично зображується на площині як точка A (a, b) або вектор.

Отже, положення точки А(і, отже, комплексного числа z) можна встановити довжиною вектора | | = rта кутом j, утвореним вектором | | із позитивним напрямком дійсної осі. Довжина вектора називається модулем комплексного числата позначається | z |=r, а кут jназивається аргументом комплексного числаі позначається j = arg z.

Зрозуміло, що | z| ³ 0 та | z | = 0 Û z = 0.

З рис. 2 видно, що .

Аргумент комплексного числа визначається неоднозначно, а з точністю до 2 pk, kÎ Z.

З рис. 2 видно також, що якщо z=a+biі j = arg z,то

cos j =, sin j =, tg j = .

Якщо zÎRі z > 0,то arg z = 0 +2pk;

якщо z ÎRі z< 0,то arg z = p + 2pk;

якщо z = 0,arg zне визначений.

Головне значення аргументу визначається на відрізку 0 £ arg z£ 2 p,

або -p£ arg z £ p.

Приклади:

1. Знайти модуль комплексних чисел z 1 = 4 – 3iі z 2 = –2–2i.