Визначення моментів інерції перерізу при паралельному перенесенні осей. Зміна моментів інерції при паралельному перенесенні осей координат Формули перенесення осей

Нехай z з, у з– центральні осі перерізів; – моменти інерції перерізу щодо цих осей. Визначимо моменти інерції перерізу щодо нових осей z 1, у 1, паралельних центральним осям та зміщених щодо них на відстані aі d. Нехай dA– елементарний майданчик на околиці точки Мз координатами yі zу центральній системі координат. З рис. 4.3 видно, що координати точки З нової системі координат дорівнюють, .

Визначимо момент інерції перерізу щодо осі у 1 :

Рис.4.3

z c

y c

z 1

y 1

d

a

C

Вочевидь, перший інтеграл дає, другий – , оскільки вихідна система координат – центральна, а третій – площа перерізу А.

Таким чином,

Аналогічно

Зміна моментів інерції перерізу при повороті осей

Знайдемо залежність між моментами інерції щодо осей y, zта моментами інерції щодо осей y 1, z 1, повернутих на кут a. Нехай J y> J zта позитивний кут aвідраховується від осі yпроти годинникової стрілки. Нехай координати точки Мдо повороту - y, z, після повороту – y 1, z 1(Рис. 4.4).

З малюнка випливає:

Тепер визначимо моменти інерції щодо осей y 1і z 1:

Рис. 4.4

M

z

z 1

y 1

y

a

y

y 1

z 1

z

. (4.13)

Аналогічно:

Склавши почленно рівняння (4.13) та (4.14), отримаємо:

тобто. сума моментів інерції щодо будь-яких взаємно перпендикулярних осей залишається постійною та не змінюється при повороті системи координат.

Головні осі інерції та головні моменти інерції

Зі зміною кута повороту осей aкожна з величин і змінюється, а їхня сума залишається незмінною. Отже, існує таке значення

a = a 0 , у якому моменти інерції досягають екстремальних значень, тобто. один із них досягає свого максимального значення, а інший – мінімального. Для знаходження значення a 0 візьмемо першу похідну від (або) та прирівняємо її нулю:

Покажемо, що щодо отриманих осей відцентровий момент інерції дорівнює нулю. І тому прирівняємо праву частину рівняння (4.15) нулю: , звідки, тобто. отримали ту ж формулу для a 0 .

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень, називаються головними осями. Якщо ці осі є і центральними, всі вони називаються головними центральними осями. осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції.

Позначимо головні осі через y 0і z 0. Тоді

Якщо перетин має вісь симетрії, то ця вісь є однією з головних центральних осей інерції перерізу.

Розглянемо визначення моментів інерції плоскої фігури (рис) щодо осей $(Z_1)$ і $(Y_1)$ за відомих моментів інерції щодо осі $X$ і $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

де $(S_x)$ - статичний момент фігури щодо осі $X$.

Аналогічно щодо осі $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Відцентровий момент інерції щодо осей $(X_1)$ і $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Найчастіше використовується перехід від центральних осей (власних осей плоскої фігури) до довільних, паралельних. Тоді $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, оскільки осі $X$ і $Y$ є центральними. Остаточно маємо

де , - власні моменти інерції, тобто моменти інерції щодо власних центральних осей;

$a$, $b$ - відстані від центральних осей до аналізованих;

$A$ - площа фігури.

Слід зазначити, що при визначенні відцентрового моменту інерції у величинах $a$ і $b$ повинен бути врахований знак, тобто вони є по суті координатами центру тяжкості фігури в осях, що розглядаються. При визначенні осьових моментів інерції ці величини підставляють за модулем (як відстані), оскільки вони однаково піднімаються до квадрата.

За допомогою формул паралельного перенесенняможливо здійснювати перехід від центральних осей до довільних, або навпаки- від довільних центральних осей Перший перехід здійснюється зі знаком "+". Другий перехід здійснюється зі знаком- ".

Приклади використання формул переходу між паралельними осями

Прямокутний перетин

Визначимо центральні моменти інерції прямокутника за відомих моментів інерції щодо осей $Z$ і $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Аналогічно $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Трикутний переріз

Визначимо центральні моменти інерції трикутника за відомого моменту інерції щодо основи $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Щодо центральної осі $(Y_c)$ трикутник має іншу конфігурацію, тож розглянемо таке. Момент інерції всієї фігури щодо осі $(Y_c)$ дорівнює сумі моменту інерції трикутника $ABD$ щодо осі $(Y_c)$ і моменту інерції трикутника $CBD$ щодо осі $(Y_c)$, тобто

.

Визначення моменту інерції складеного перерізу

Складеним вважаємо перетин, що складається з окремих елементів, геометричні характеристики яких відомі. Площа, статичний момент та моменти інерції складової фігури дорівнюють сумі відповідних характеристик їх складових. Якщо складений переріз можна утворити шляхом вирізання однієї фігури з іншої, геометричні характеристики вирізаної фігури віднімаються. Наприклад, моменти інерції складової фігури, показаної на рис. будуть визначатися так

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72 \, 300 $ см 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\,490\,000$см 4

Нехай відомі і Ix, Iy, Ixy. Паралельно осям хy проведемо нову вісь x1, y1.

І визначимо момент інерції того самого перерізу щодо нових осей.

X 1 = x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2 A.

Якщо вісь проходить через центр тяжкості перерізу, то статичний момент Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Аналогічно нової осі y 1 матимемо формулу I y 1 = Iy + a 2 A

Відцентровий момент інерції щодо нових осей

Ix 1 y 1 = Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Якщо осі xy проходять через центр тяжкості перерізу, то Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Якщо перетин симетрично, хоча одна з центральних осей збігається з віссю симетрії, то Ixy =0 , отже Ix 1 y 1 = abA

Зміна моментів інерції під час повороту осей.

Нехай відомі осьові моменти інерції щодо осей xy.

Нову систему координат xy отримаємо шляхом повороту старої системи на кут (a> 0), якщо поворот проти годинникової стрілки.

Встановимо залежність між старими та новими координатами майданчика

y 1 = ab = ac - bc = ab-de

з трикутника acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

з трикутника oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

Підставимо ці значення у вираз для y

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α .

Аналогічно

x 1 = x cos α + y sin α.

Обчислимо осьовий момент інерції щодо нової осі x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Аналогічно Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Складемо ліві та праві частини отриманих виразів:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Сума осьових моментів інерції при повороті не змінюється.

Визначимо відцентровий момент інерції щодо нових осей. Уявімо значення x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Основні моменти та основні осі інерції.

Головними моментами інерціїназивають їх екстремальні значення.

Осі, щодо яких отримані екстремальні значення, називаються головними осями інерції. Вони завжди взаємно перпендикулярні.

Відцентровий момент інерції щодо головних осей завжди дорівнює 0. Оскільки відомо, що у перерізі є вісь симетрії, то відцентровий момент дорівнює 0, отже вісь симетрії є головною віссю. Якщо взяти першу похідну від виразу I x 1 потім прирівняти її до “0”, то отримаємо значення кута = відповідного положенню головних осей інерції.

tg2 α 0 = -

Якщо α 0 >0 , то певного становища головних осей стару вісь треба повернути проти ходу годинникової стрілки. Одна з основних осей є max, а інша – min. При цьому вісь max завжди відповідає менший кут тієї випадкової, віссю щодо якої має більший осьовий момент інерції. Екстремальні значення осьового моменту інерції визначається за такою формулою:

Глава 2. Основні поняття опору матеріалів. Завдання та методи.

Під час проектування різних споруд необхідно вирішувати різні питання міцності, жорсткості, стійкості.

Міцність- Здатність даного тіла витримувати різні навантаження без руйнування.

Жорсткість– здатність конструкції приймати навантаження без великих деформацій (переміщень). Попередньо допустимі значення деформації регламентують будівельні норми та правила (СНІП).

Стійкість

Розглянемо стиск гнучкого стрижня

Якщо навантаження поступово збільшувати, то спочатку відбуватиметься скорочення стрижня. При досягненні силою F деякої критичної величини відбудеться випучування стрижня. - Абсолютне скорочення.

При цьому стрижень не руйнується, але різко змінює свою форму. Таке явище називається втратою стійкості та призводить до руйнування.

Сопромат- Це основи наук про міцність, жорсткість, стійкість інженерних конструкцій. У співпроматі використовуються методи теоретичної механіки, фізики, математики На відміну від теоретичної механіки сопромат враховує зміну розмірів та форми тіл під дією навантаження та температури.

Визначимо залежність між різними моментами інерції перерізу щодо двох паралельних осей (рис. 6.7), пов'язаних залежностями

1. Для статичних моментів інерції

Звісно,

2. Для осьових моментів інерції

отже,

Якщо вісь zпроходить через центр тяжкості перерізу, то

З усіх моментів інерції щодо паралельних осей осьовий момент інерції має найменше значення щодо осі, що проходить через центр тяжкості перерізу.

Аналогічно для осі

Коли вісь yпроходить через центр тяжкості перерізу

3. Для відцентрових моментів інерції отримаємо

Остаточно можна записати

У разі коли початок системи координат yzзнаходиться в центрі тяжкості перерізу, отримаємо

У випадку, коли одна або обидві осі є осями симетрії,

6.7. Зміна моментів інерції при повороті осей

Нехай задані моменти інерції перерізу щодо координатних осей zy.

Потрібно визначити моменти інерції того ж перерізу щодо осей, повернутих на деякий кут по відношенню до системи координат zy(Рис. 6.8).

Кут вважається позитивним, якщо стару систему координат для переходу до нової потрібно повернути проти годинникової стрілки (для правої прямокутної декартової системи координат). Нова і стара zyсистеми координат пов'язані залежностями, які випливають із рис. 6.8:

1. Визначимо вирази для осьових моментів інерції щодо осей нової системи координат:

Аналогічно щодо осі

Якщо скласти величини моментів інерції щодо осей і, то отримаємо

т. е. при повороті осей сума осьових моментів інерції є постійною величиною.

2. Виведемо формули для відцентрових моментів інерції.

.

6.8. Основні моменти інерції. Головні осі інерції

Екстремальні значення осьових моментів інерції перерізу називають головними моментами інерції.

Дві взаємно перпендикулярні осі, щодо яких осьові моменти інерції мають екстремальні значення, називаються головними осями інерції.

Для знаходження основних моментів інерції та положення головних осей інерції визначимо першу похідну по кутку від моменту інерції, визначеного за формулою (6.27)

Прирівняємо цей результат нулю:

де - Кут, на який потрібно повернути координатні осі yі zщоб вони збіглися з головними осями.

Порівнюючи вирази (6.30) та (6.31), можна встановити, що

,

Отже, щодо основних осей інерції відцентровий момент інерції дорівнює нулю.

Взаємно перпендикулярні осі, з яких одна або обидві збігаються з осями симетрії перерізу, є головними осями інерції.

Розв'яжемо рівняння (6.31) щодо кута:

.

Якщо >0, то визначення положення однієї з головних осей інерції для правої (лівої) декартової прямокутної системи координат необхідно вісь zповернути на кут проти ходу обертання (по ходу обертання) годинникової стрілки. Якщо<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьzповернути на кут по ходу обертання (проти ходу обертання) годинникової стрілки.

Ось максимум завжди складає менший кут з тієї осі ( yабо z), щодо якої осьовий момент інерції має більше значення (рис. 6.9).

Вісь максимум спрямована під кутом до осі(), якщо() і розташована в парних (непарних) чвертях осей, якщо().

Визначимо основні моменти інерції та. Використовуючи формули з тригонометрії, що зв'язують функції,, з функціями, з формули (6.27) отримаємо

,