Диференціал двох змінних у точці. Диференціал функції. У чому сенс приватних похідних
Визначення:Повним диференціалом функціїкількох змінних називається сума всіх її приватних диференціалів:
Приклад 1: 
.
Рішення:
Оскільки окремі похідні цієї функції рівні:
То одразу можна записати приватні диференціали цих функцій:
, 
,
Тоді повний диференціал функції матиме вигляд:
.
Приклад 2Знайти повний диференціал функції
Рішення:
Ця функція є складною, тобто. можна уявити як
Знаходимо приватні похідні:
Аналітичний зміст повного диференціала полягає в тому, що повний диференціал функції декількох змінних є головною частиною повного збільшення цієї функції,тобто має місце наближена рівність: ∆z≈dz.
Необхідно, проте пам'ятати, що це наближені рівності справедливі лише за малих диференціалах dx і dy аргументів функції z=f(x,y).
Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях ґрунтується на використанні формули ∆z≈dz.
Дійсно, якщо в даній формулі збільшення ∆z функції подати у вигляді , а повний диференціал у вигляді 
, то отримаємо:
≈ 
,
Отриману формулу можна використовувати для наближеного знаходження «нового» значення функції двох змінних, яке вона приймає за досить малих приріст обох її аргументів.
приклад.Знайти наближене значення функції , При наступних значеннях її аргументів: 1,01, .
Рішення.
Підставивши приватні похідні функції, знайдені раніше у формулу, отримаємо:
При підстановці значень х=1, ∆х=0,01, у=2, ∆у=0,02 отримаємо:
Скалярне поле.
Якщо у кожній точці певної області простору D задана функція U(p)=U(x,y,z), то говорять, що в області D задано скалярне поле .
Якщо, наприклад, U(x,y,z) позначає температуру у точці М(х,у,z), то кажуть, що задано скалярне поле температур. Якщо область D заповнена рідиною або газом і U(x,y,z) означає тиск, то є скалярне поле тисків. Якщо в просторі встановлено розташування зарядів або масивних тіл, то говорять про поле потенціалу.
Скалярне поле називається стаціонарним,якщо функція U(x,y,z) не змінюється з часом: U(х,у,z) ≠ f(t).
Будь-яке стаціонарне поле характеризується:
1) поверхнею рівня скалярного поля
2) швидкістю зміни поля у заданому напрямку.
Поверхня рівняскалярного поля називається геометричне місце точок, у яких функція U(x,y,z) набуває постійного значення, тобто U(x,y,z) = const. Сукупність цих точок утворює деяку поверхню. Якщо візьмемо іншу константу, то отримаємо іншу поверхню.
Приклад:Нехай задано скалярне поле. Приклад такого поля є поле електричного потенціалу точкового електричного заряду (+q). Тут поверхнями рівня будуть еквіпотенційні поверхні 
тобто сфери, в центрі яких знаходиться заряд, що створює поле.
Напрямок найбільшого зростання скалярної функції визначається вектором, який називається градієнтомта позначається символом (або ).
Градієнт функції знаходиться через приватні похідні цієї функції і завжди перпендикулярний поверхні рівня скалярного поля в даній точці:
, де
Поодинокі вектори відповідно до осей OX, OY, OZ
Похідна від функції U(x,y,z) за будь-яким іншим напрямком (λ) визначається за формулою:
, де
α, β, γ – це кути між осями координат відповідно OX, OY, OZ та напрямком .
Вихідні дані збірника:
ПРО ДИФЕРЕНЦІАЛ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Ловков Іван Юрійович
студент Московського державного університетуінформаційних технологій, радіотехніки та електроніки, РФ, м. Серпухів
E- mail: alkasardancer@ Rambler. ru
Таперечкіна Віра Олексіївна
канд. фіз.-мат. наук, доцент Московського державного університету інформаційних технологій, радіотехніки та електроніки, РФ, м. Серпухів
ABOUT SECOND-ORDER DIFFERENTIAL
Lovkov Ivan
student of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Росія, Serpukhov
Vera Taperechkina
candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov
АННОТАЦІЯ
У роботі розглянуті способи знаходження похідних та диференціалів першого та другого порядків для складних функцій двох змінних.
ABSTRACT
Calculation методів derivative and first and second differentials for composite functions of 2 variables.
Ключові слова:приватні похідні; диференціал.
Keywords: partial derivatives; різні.
1. Вступ.
Сформулюємо деякі факти з теорії функцій багатьох змінних, які знадобляться далі.
Визначення: функція z=f(u, v) називається диференційованою в точці (u, v), якщо її збільшення Δz представимо у вигляді:
Лінійна частина збільшення називається повним диференціалом і позначається dz.
Теорема ( достатня умовадиференційованості) див.
Якщо в деякій околиці т.(u, v) існують безперервні похідні приватні і , то функція f(u, v) диференційована в цій точці і
(du = Δu, dv = Δv). (1)
Визначення: Другим диференціалом функції z=f(u, v) у цій точці (u, v) називається перший диференціал від першого диференціалу функції f(u, v), тобто. 
З визначення другого диференціалу z=f(u, v), де u та v – незалежні змінні, випливає
Таким чином, справедлива формула:
При виведенні формули використано теорему Шварца про рівність змішаних похідних. Ця рівність справедлива за умови, що 
визначені в околиці т.(u, v) і безперервні т.(u, v). Див.
Формула для знаходження 2-го диференціала може бути записана символічно в наступному вигляді: - Формальне зведення дужки в квадрат з подальшим формальним множенням справа на f(x y) дає отриману формулу . Аналогічно справедлива формула для 3-го диференціалу:
І взагалі:
Де формальне зведення в n-ий ступінь проводиться за формулою бінома Ньютона:
; 
Зазначимо, що перший диференціал функції двох змінних має властивість інваріантності форми. Тобто, якщо u та v - незалежні змінні, то для функції z=f(u, v), згідно з (1)
Нехай тепер u = u (x y), v = v (x y), тоді z = f (u (x y), v (x y)), x і y - незалежні змінні, тоді
Використовуючи відомі формули для похідної складної функції:
Тоді з (3) та (4) отримаємо:
Таким чином,
(5)
де 
- Перший диференціал функції u, 
- Перший диференціал функції v.
Порівнюючи (1) і (5), бачимо, що формальний запис формули для dz зберігається, але якщо (1) du=Δu, dv=Δv - збільшення незалежних змінних, то (5) du і dv - диференціали функцій u і v.
2. Другий диференціал складної функції двох змінних.
Насамперед, покажемо, що другий диференціал не має властивості інваріантності форми.
Нехай z=z(u, v) у разі незалежних змінних u та v другий диференціал знаходимо за формулою (2)
Нехай тепер u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), де незалежні змінні x та y. Тоді
.
Отже, ми отримали остаточно:
Формули (2) і (6) не збігаються формою, отже, другий диференціал не має властивістю інваріантності.
Раніше було виведено формули приватних похідних 1-го порядку для складної функції z=f(u, v), де u=u(x y), v=v(x y), де x та y - незалежні змінні див.
Виведемо формули для обчислення приватних похідних та диференціала другого порядку для функції z = f (u, v), u = u (x y), v = v (x y), де x та y - незалежні змінні.
Для функцій u(x y), v(x y) незалежних змінних x, y маємо формули:
Підставимо формули (8) (6).
Таким чином, отримали формулу для диференціалу другого порядку складної функції двох змінних.
Порівнюючи коефіцієнти при для приватних похідних другого порядку складної функції двох змінних (2) і (9), отримуємо формули:
Приклад 1 см
Нехай z = f (u, v), u = xy, v =. Знайти другий диференціал.
Рішення: обчислюємо приватні похідні:
, , , ,
, 
,
Як бачимо, знаходження диференціала потрібно помножити похідну на dx . Це дозволяє з таблиці формул для похідних одразу записати відповідну таблицю для диференціалів.
Повний диференціал для функції двох змінних:
Повний диференціал для функції трьох змінних дорівнює сумі приватних диференціалів: f (x, y, z) = d x f (x, y, z) dx + d y f (x, y, z) dy + d z f (x, y, z) dz
Визначення. Функція y=f(x) називається диференційованою у точці x 0 , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, де A – константа, а α(∆x) – нескінченно мала при ∆x → 0.
Вимога диференційованості функції у точці еквівалентна існуванню похідної у цій точці, причому A=f'(x 0).
Нехай f(x) диференційована в точці x 0 і f "(x 0)≠0 тоді ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, де α= α(∆x) →0 при ∆x → 0. Величина ∆y і кожен доданок правої частини є нескінченно малими величинами при ∆x → 0. Порівняємо їх: 
, тобто α(∆x)∆x – нескінченно мала більше високого порядку, Чим f'(x 0)∆x.
, тобто ∆y~f'(x 0)∆x. Отже, f'(x 0)∆x являє собою головну і водночас лінійну щодо ∆x частину збільшення ∆y (лінійна – значить містить ∆x у першому ступені). Це доданок називають диференціалом функції y=f(x) у точці x 0 і позначають dy(x 0) чи df(x 0). Отже, для довільних значень x
dy=f′(x)∆x. (1)
Вважають dx=∆x, тоді
dy=f′(x)dx. (2)
Приклад. Знайти похідні та диференціали даних функцій.
а) y=4 tg2 x
Рішення:
диференціал: 
б) 
Рішення:
диференціал: 
в) y=arcsin 2 (lnx)
Рішення: 
диференціал: 
г) 
Рішення:
= 
диференціал: 
Приклад. Для функції y=x 3 знайти вираз для ∆y та dy при деяких значеннях x та ∆x.
Рішення. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли головну лінійну щодо ∆x частина ∆y). У даному випадкуα(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .
Завантаження...