рівновагу тіла при дії просторової системи сил. Написати рівняння рівноваги довільної просторової системи сил. Центр тяжкості стрижневої конструкції

Якщо система сил перебуває у рівновазі, її головний вектор і головний момент дорівнюють нулю:

Ці векторні рівності призводять до наступних шести скалярних рівностей:

які називаються умовами рівноваги просторової довільної системи сил.

Перші три умови виражають рівність нуля головного вектора, наступні три - рівність нуля головного моменту системи сил.

У умовах рівноваги повинні враховуватися все діючі сили- як активні (задаються), і реакції зв'язків. Останні заздалегідь невідомі, і умови рівноваги стають рівняннями визначення цих невідомих - рівняннями рівноваги.

Оскільки максимальне число рівнянь дорівнює шести, то задачі на рівновагу тіла під дією довільної просторової системи сил можна визначити шість невідомих реакцій. За більшої кількості невідомих завдання стає статично невизначеним.

І ще одне зауваження. Якщо головний вектор і головний момент щодо деякого центру О дорівнюють нулю, то вони дорівнюватимуть нулю щодо будь-якого іншого центру. Це прямо випливає з матеріалу про зміну центру приведення (довести самостійно). Отже, якщо умови рівноваги тіла виконуються в одній системі координат, вони виконуватимуться і в будь-якій іншій нерухомій системі координат. Інакше кажучи, вибір координатних осей під час упорядкування рівнянь рівноваги цілком довільний.

Прямокутна плита (рис. 51 а) вагою утримується в горизонтальному положенні сферичним шарніром О, підшипником А і тросом BE, причому точки знаходяться на одній вертикалі. У точці D до плити прикладена сила перпендикулярна стороні OD і нахилена до площини плити під кутом 45°. Визначити натяг троса та реакції опор у точках Він А, якщо і .

Для вирішення задачі розглядаємо рівновагу плити. До активних сил Р, G додаємо реакції зв'язків - складові реакції сферичного шарніру, реакції підшипника, реакцію троса. Одночасно вводимо координатні осі Oxyz (рис. 51 б). Видно, що отримана сукупність сил утворює довільну просторову систему, де сили невідомі.

Для визначення невідомих становимо рівняння рівноваги.

Починаємо з рівняння проекцій сил на вісь:

Пояснимо визначення проекції обчислення здійснюється в два прийоми; спочатку визначається проекція сили Т на площину, далі, проектуючи на ос'х (зручніше на вісь, паралельну), знаходимо (див. рис. 51,б):

Цим способом подвійного проектування зручно користуватися, коли лінія дії сили та вісь не перетинаються. Далі складаємо:

Рівняння моментів сил щодо осі має вигляд:

Моменти сил у рівнянні відсутні, оскільки ці сили або перетинають вісь х(), або паралельні їй . В обох випадках момент сили щодо осі дорівнює нулю (див. с. 41).

Обчислення моменту сили часто полегшується, якщо силу розкласти відповідним чином складові і скористатися теоремою Варіньйона. У даному випадкуце зручно зробити для сили. Розкладаючи її на горизонтальну та вертикальну складові, можемо написати.

Розглянемо довільну просторову систему сил, які діють тверде тіло. Наведемо цю систему сил до заданого центру і зупинимося тому випадку, коли головний вектор і момент цієї системи сил рівні нулю, тобто.

(1) Така система сил еквівалентна нулю, тобто. врівноважена. Отже, рівності (1) є достатніми умовамирівноваги. Але ці умови також необхідні, тобто. якщо система сил знаходиться в рівновазі, то рівності (1) також виконуються. то дана система прищепилася б до рівнодіючої в центрі приведення та рівноваги не було б. Якби але Мо =**О, дана система прищепилася б до пари і рівноваги також не було пари не можуть врівноважити один одного. Таким чином, ми довели, що для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи щодо довільно вибраного центру приведення дорівнювали нулю. Умови (1) називаються умовами рівноваги у векторній формі. Для отримання зручнішої для практичних цілей аналітичної форми умов рівноваги спроектуємо рівності (1) на осі декартової системи координат. В результаті отримаємо:

(2)умови рівноваги системи паралельних сил у просторіДля рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій усіх сил на осі координат х, у і z, а також сума моментів усіх сил щодо цих осей дорівнювали нулю. Нехай на тверде тіло діє просторова системапаралельних сил. Оскільки вибір осей довільний, можна вибрати систему координат так, щоб одна з осей була паралельна силам, а дві

інші їм перпендикулярні (рис. 138). При такому виборі координатних осей проекції кожної з сил на осі х і у та їх моменти щодо осі z завжди дорівнюватимуть нулю. Це означає, що

Ці рівності тотожно виконуються, незалежно від цього, перебуває ця система сил у рівновазі чи ні, тобто. перестають бути умовами рівноваги. Тому як умови рівноваги залишаться такі:

Таким чином, для рівноваги системи паралельних сил у просторі необхідно і достатньо, щоб сума проекцій усіх сил на вісь, паралельну цим силам, дорівнювала нулю і щоб їхня сулима моментів щодо кожної з двох координатних осей, перпендикулярних силам, також дорівнювали нулю.

17, Теорема про еквівалентність 2ух пар сила просторі.

Приведення сили до заданого центру (метод Пуансо) – силу можна перенести паралельно самої собі в будь-яку точку площини, якщо додати відповідну пару сил, момент якої дорівнює моменту цієї сили щодо точки, що розглядається. Додамо до системи у точці A дві сили, рівні за величиною між собою та величиною заданої сили, спрямовані по одній прямій у протилежні сторони та паралельні заданій силі: Кінематичний стан не змінився (аксіома про приєднання). Вихідна сила та одна з доданих сил протилежно спрямована утворюють пару сил. Момент цієї пари чисельно дорівнює моменту вихідної сили щодо центру приведення. У багатьох випадках пару сил зручно зображати дуговою стрілкою. Приведення плоскої довільної системи сил до заданого центру - вибираємо довільну точку на площині і кожну з сил переносимо методом Пуансо в цю точку. Замість вихідної довільної системи отримаємо систему сил і систему пар. Система сил, що сходить, приводиться до однієї сили, прикладеної в центрі приведення, яка раніше називалася рівнодією, але тепер ця сила не замінює вихідну систему сил, оскільки після приведення виникла система пар. Система пар приводиться до однієї пари (теорема про складання пар), момент якої дорівнює сумі алгебри моментів вихідних сил щодо центру приведення. У загальному випадку плоска довільна система сил приводиться до однієї сили, яка називається головним вектором і до пари з моментом, рівним головному моменту всіх сил системи щодо центру приведення: - головний вектор, - головний момент. A. A. Умовою рівноваги плоскої довільної системи сил є одночасне звернення головного вектора та головного моменту системи в нуль: Рівняння рівноваги (I форма) виходять у вигляді системи трьох рівнянь із умов рівноваги з використанням виразів для проекцій головного вектора: Існують ще дві форми рівнянь Рівноваги (II та III форми)

17.

27-28.залежність між головними моментами сил щодо двох довільно вибраних центрів приведення. Інваріанти системи сил

Нехай ця просторова система приведена до центру О, тобто.

де Головний момент утворює з напрямком головного вектора деякий Кут (рис 1.32)

Візьмемо тепер новий центр приведення О1 і наведемо всі сили цього центру. В результаті знову отримаємо головний вектор, що дорівнює головному вектору R, і новий головний момент, що визначається формулою де pк - радіус-вектор точки докладання сили Fk, проведений з нового центру приведення О1 (див. рис. 1.32). Головний момент Мо1 щодо нового центру приведеннязмінився і тепер утворює з напрямком головного вектора R деякий кут а1. Встановимо зв'язок між моментами Мо і Мо1. З малюнка 1.32 видно, що (3) Підставляючи (3) у рівність (2), отримаємо (4) Далі, розкриваючи дужки у правій частині рівності (4) та виносячи загальний множник О1О за знак суми, маємо

(- Проекції головного моменту щодо точки Про на координатні осі).

Приведення сили до заданого центру.

Щоб привести силу, прикладену в будь-якій точці твердого тіла до заданого центру, необхідно:

1) Перенести силу паралельно самій собі в заданий центр, не змінюючи модуля сили.

2)У заданому центрі докласти пару сил, векторний момент якої дорівнює векторному моменту сили, що переноситься щодо нового центру. Цю пару сил називають приєднаною парою.

Дія сили на тверде тіло не змінюється при переносі її паралельно до самої себе в іншу точку твердого тіла, якщо додати пару сил.

33 32

34.Для плоскої системи паралельних сил можна скласти два рівняння рівноваги. якщо сили паралельні осі У, то рівняння рівноваги мають вигляд.

Друге рівняння можна скласти щодо будь-якої точки.

35 для рівноваги абсолютно вільного тіла, на яке діє просторова довільна система сил, необхідно і достатньо, щоб виконували шість рівнянь рівноваги. Якщо тіло закріплено в одній точці, воно має три ступені свободи. Поступово рухатися таке тіло не може, а може тільки обертатися навколо будь-якої осі, тобто навколо осей координат. Для того, щоб таке тіло знаходилося в рівновазі, потрібно, щоб воно не оберталося, а для цього достатньо зажадати рівності нулю трьох рівнянь моментів

Отже, для того, щоб абсолютно тверде тіло з однією закріпленою точкою, на яке діє довільна просторова система сил, знаходилося в рівновазі, необхідно і достатньо, щоб суми моментів усіх сил щодо трьох взаємно перпендикулярних осей дорівнювали нулю.

Три інших рівняння служать для визначення складових реакції шарніра в точці кріплення Nx, Ny, Nz

37. Тіло, що має дві закріплені точки, має один ступінь свободи. Воно може обертатися тільки навколо осі, що проходить через ці дві закріплені точки.Рівновага буде в тому випадку, якщо тіло не буде обертатися навколо цієї осі. Тому для рівноваги достатньо зажадати, щоб сума моментів усіх сил, що діють на тіло, щодо осі, що проходить через дві закріплені точки, дорівнювала нулю: ∑Mxx(Fi)=0

38/Система тіл є кілька тіл, з'єднаних між собою якимось чином. Сили, що діють на тіла системи, поділяють на зовнішні та внутрішні. Внутрішніми називають сили взаємодії між тілами однієї і тієї ж системи, а зовнішніми називають сили, з якими на тіла даної системи діють тіла, які не входять до неї.

Якщо система тіл перебуває у рівновазі, то розглядаємо рівновагу кожного тіла окремо, враховуючи внутрішні сили взаємодії між тілами. Якщо задана плоска довільна система Nтіл, то цієї системи можна скласти 3N рівнянь рівноваги. При розв'язанні задач на рівновагу системи тіл можна також розглядати рівновагу як системи тіл загалом, так і для будь-яких поєднань тіл. У разі розгляду рівноваги системи загалом внутрішні сили взаємодії між тілами не враховуються на підставі аксіоми про рівність сил дії та протидії. Таким чином існує 2 типи знаходження рівноваги систем тіл ... 1сп У першу чергу розглядаємо всю конструкцію. а потім від'єднуємо від цієї системи якесь тіло і розглянути. рівновагу в ньому. 2сп.розчленовуємо сис-му на окремі тіла і сост.рівняння рівноваги для кожного тіла.

Статично визначальні системи-це системи, у яких число невідомих величин не перевищує числа незалежних рівнянь рівноваги даної системи сил.

Статично неопр. Системы-это системи у яких число невідомих величин перевищує число незалежних рівнянь рівноваги даної системи сил Kcт=R-Y де R-число реакцій. Y-число незалежних рівнянь

41.Після виходу тіла з положення рівноваги сила тертя спокою зменшується і при русі її називають силою тертя ковзання, тобто коефіцієнт тертя ковзання дещо менший за коефіцієнт тертя спокою. У технічних розрахунках приймають, що це коефіцієнти рівні. Ззбільшенням швидкості руху для більшості матеріалів коефіцієнт тертя ковзання зменшується. Коефіцієнт тертя ковзання визначають експериментально.

Сила тертя ковзання спрямована протилежно до можливого руху тіла.

Сила тертя не залежить від площі поверхонь, що стикаються.

Максимальна силатертя пропорційна нормальному тиску. Під нормальним тиском розуміють повний тиск на всю площу зіткнення поверхонь, що труться: Fmax=fN

43.За наявності тертя повна реакція шорсткої поверхні відхилена від нормалі до поверхні на деякий кут<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

Тангенс кута тертя дорівнює коефіцієнту тертя.

Конусом тертя називають конус, описаний повною реакцією R навколо напряму нормальної реакції. Якщо коефіцієнт тертя f у всіх напрямках однаковий, то конус тертя буде круговим

Для рівноваги тіла на шорсткої поверхні необхідно і достатньо, щоб рівнодіюча активна сила знаходилася всередині конуса тертя або проходила по утворюючому конусу

30.Модуль головного вектора Ro=√Rx^2+Ry^2 де Rx= Fkx Ry = Fky (Rx,Ry проекції головного вектора на відповідні осі координат)

Кути утворені головним вектором із відповідною віссю координат Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

Модуль головного моменту щодо обраного центру приведення Про Mo√Mox^2+Moy^2 де Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-проекції головного моменту щодо точки Про координатні осі)

Кути утворені головним моментом із соотв.осями координат Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

Якщо Ro не=0 Mo=0 система сил може бути замінена однією силою

Ro=0 Mo не=0 система сил замінюється парою сил

Roне=0 Mo не=0 але Ro перпендикулярноMo замінюється однією силою, що не проходить через центр приведення

31.Плоска система сил. Усі сили цієї системи лежать у одній площині. Нехай, наприклад, це буде площина XAY, де A є довільним центром приведення. Сили цієї системи на вісь AZ не проектуються і щодо осей AX і AY не створюють, оскільки лежать у площині XAY (п. 13). При цьому виконується рівність

Враховуючи це, отримаємо умови рівноваги для плоскої системи сил:

Таким чином, для рівноваги твердого тіла під дією плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю дві суми проекцій сил на осі координат і сума моментів алгебри всіх сил відносно будь-якої точки площини.

39. розподіленими називають сили, що діють на всі точки даного обсягуабо даної частини поверхні, або лінії. Рас граничнісили характеризуються інтенсивністю q,тобто силою, припадаєна одиницю об'єму, поверхні чи довжини лінії. Розподілені сили зазвичай замінюють зосередженими.

Якщо розподілені сили діють у площині на пряму лінію, їх замінюють зосередженою силою в такий спосіб.

Поступово розподілене навантаження інтенсивністю q замінюють зосередженою силою Q =qL яка прикладена в середині ділянки. Поступово розподіленим навантаженням називають сили, що мають однакові величини та напрямки на заданій ділянці тіла.

Якщо розподілені сили змінюються за лінійним законом

(по трикутнику), то зосереджена сила Q = qmaxL/2- прикладена у центрі тяжкості трикутника, розташованого з відривом - від його основания……………….

44.Тертя кочення - опір руху, що виникає при перекочуванні тіл один по одному. Виявляється, наприклад, між елементами підшипників кочення, між шиною колеса автомобіля та дорожнім полотном. Як правило, величина тертя кочення набагато менша за величину тертя ковзання, і тому кочення є поширеним видом руху в техніці.

Тертя кочення виникає межі двох тіл, і тому воно класифікується як зовнішній вигляд тертя.

45.Тертя обертання. Припустимо, що на горизонтальній площині лежить важка куля, позначимо центр кулі через О, а точку торкання кулі з площиною через С. Обертання кулі навколо прямої і називається верченням. Досвід показує, що якщо момент пари, яка повинна привести кулю у обертання, дуже малий, то куля на обертання не прийде. Звідси випливає, що дія рушійної пари паралізується якоюсь іншою парою, від якої і залежить тертя обертання.

Один з методів розрахунку моменту тертя підшипника кочення полягає в тому, що момент тертя ділиться на так званий незалежний від навантаження момент M0 і залежний від навантаження момент M1, які потім складаються і дають сумарний момент:

Дві паралельні та спрямовані в один бік сили наводяться до однієї сили – рівнодіючої, прикладеної в точці, що ділить пряму на відстані, обернено пропорційні величинам сил. Послідовно складаючи попарно паралельні сили приходимо також до однієї сили – рівнодіючої R: Оскільки силу можна переносити по лінії її дії, то точка докладання сили (рівнодіючої) по суті не визначена. Якщо всі сили повернути на той самий кут і знову провести додавання сил, то отримуємо інший напрямок лінії дії рівнодіючої. Точка перетину цих двох ліній дії рівнодіючих може розглядатися, як точка докладання рівнодіючої, що не змінює свого положення при одночасному повороті всіх сил на той самий кут. Така точка називається центром паралельних сил. Центр паралельних сил - точка додатка рівнодіє, не змінює свого положення при одночасному повороті всіх сил на один і той же кут

47Радіус-вектором точки називається вектор, початок якого збігається з початком системи координат, а кінець - з цією точкою.

Таким чином, особливістю радіус-вектора, що відрізняє його від інших векторів, є те, що його початок завжди знаходиться в точці початку координат (рис. 17).

Центр паралельних сил, точка, через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил Fk при будь-якому повороті всіх цих сил біля їх точок докладання в одну і ту ж сторону і на той самий кут. Координати Центр паралельних сил визначаються формулами:

де xk, yk, zk – координати точок докладання сил.

48Центр вагитвердого тіла - точка, незмінно пов'язана з цим тілом, через яку проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжкості частинок тіла за будь-якого положення тіла в просторі. У цьому полі тяжкості вважається однорідним, тобто. сили тяжіння частинок тіла паралельні одна одній і зберігають постійну величину за будь-яких поворотах тіла. Координати центру тяжкості:

; ; , де Р = åр k, x k, y k, z k - Координати точок докладання сил тяжкості р k. Центр тяжкості – геометрична точка і може лежати поза межами тіла (наприклад, кільце). Центр тяжкості плоскої фігури:

DF k – елементарний майданчик, F – площа фігури. Якщо площу не можна розбити кілька кінцевих частин, то . Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, центр ваги тіла знаходиться на цій осі.

49 Розв'язання задач на визначення положення (координат) центру тяжкості однорідної пластинки, системи тіл, що знаходяться на площині або просторі, зводиться до складання рівнянь та подальшої підставки до нього відомих чисельних даних та обчислення результату:

Тобто. Необхідно розбити систему на складові, визначити положення центру тяжкості цих складових елементів. Обчислити масу складових частин, виразивши її через питому щільність – лінійну, об'ємну чи поверхневу, залежно від типу представленої системи. Наприкінці рішення питома щільність скоротиться, отже не варто її соромитися вводити (зазвичай вона дана, але у тексті завдання вказується, що пластина, стрижні, плита однорідні). З особливостей цього завдання слід зазначити дві речі: 1) визначення центру тяжкості у складової прямокутної, квадратної форми або стрижня, кола не складає труднощів – центр тяжкості таких фігур знаходиться по центру.

50. кругового сектора: ; Трикутник. Розбиттям трикутника на тонкі лінії,

паралельні кожній з його сторін визначають, що оскільки центр

тяжкості кожної лінії лежить на її геометричному центрі (у центрі

симетрії), то центр тяжкості трикутника лежить на перетині його

медіан. Крапка перетину медіан ділить їх у співвідношенні (2:1).

Круговий сектор (рисунок 54). Центр тяжіння лежить на осі

симетрії. Розбиттям кругового сектора на елементарні трикутники

визначають дугу, утворену центрами тяжкості трикутників. Радіус

дуги дорівнює 2/3 радіусу сектора. Таким чином, координата центру

тяжкості кругового сектора визначається

виразом xC = sin α.

51Півкуля. Центр ваги лежить на осі симетрії з відривом

3/8 від основи.

Піраміда (конус) (рис. 55).

Центр тяжіння лежить на лінії,

що з'єднує вершину з центром

тяжкості основи на відстані ¾ від

Дуга кола Центр тяжіння лежить на осі симетрії

координати xC = sin α; уС = 0.

Кінематика

1Кінематика, Розділ теоретичної механіки, вивчає рух матеріальних тіл не цікавлячись причинами, що викликають або змінюють цей рух. Для неї важливі лише фізична обґрунтованість та математична строгість у рамках прийнятих моделей Завдання кінематикиЗадати рух матеріальної точки (системи)- це означає дати спосіб визначення положення точки (всіх точок, що утворюють систему) у будь-який момент часу.
Завдання кінематики полягають у розробці способів завдання руху точки (системи) та методів визначення швидкості, прискорення точки та інших кінематичних величин точок, що становлять механічну систему. траєкторія точки

Задати рух точки означає задати її положення у кожний момент часу. Становище це має визначатися, як зазначалося, у системі координат. Однак для цього не обов'язково завжди ставити самі координати; можна використовувати величини, однак з ними пов'язані. Нижче описано три основні способи завдання руху точки.

1. Природний метод. Цим способом користуються, якщо відома траєкторія руху точки. Траєкторією називається сукупність точок простору, через які проходить матеріальна частка, що рухається. Це лінія, яку вона викреслює у просторі. При природному методі потрібно задати (рис. 1):

а) траєкторію руху (щодо якоїсь системи координат);

б) довільну точку на ній нуль, від якого відраховують відстань S до частинки, що рухається вздовж траєкторії;

в) позитивний напрямок відліку S (при зміщенні точки М у протилежному напрямку S негативно);

г) початок відліку часу t;

д) функцію S(t), яка називається законом руху**) точки.

2. Координатний метод. Це найбільш універсальний та вичерпний спосіб опису руху. Він передбачає завдання:

а) системи координат (не обов'язково декартової) q1, q2, q3;

б) початок відліку часу t;

в) закону руху точки, тобто. функцій q1(t), q2(t), q3(t).

Говорячи про координати точки, ми завжди матимемо на увазі (якщо не обумовлено неприємне) її декартові координати.

3. Векторний метод. Положення точки у просторі може бути визначено також і радіус-вектором, проведеним з деякого початку цієї точки (рис. 2). В цьому випадку для опису руху необхідно задати:

а) початок відліку радіус-вектора r;

б) початок відліку часу t;

в) закон руху точки r(t).

Оскільки завдання однієї векторної величини r еквівалентне завдання трьох її проекцій x, y, z на осі координат, векторного способу легко перейти до координатного. Якщо ввести одиничні вектори i, j, k (i = j = k = 1), спрямовані відповідно вздовж осей x, y та z (рис. 2), то, очевидно, закон руху може бути поданий у вигляді *)

r(t) = x(t)i + y(t)j+z(t)k. (1)

Перевага векторної форми запису перед координатною компактності (замість трьох величин оперують з однієї) і часто в більшій наочності.

приклад. На нерухому дротяну півколо надіто маленьке кільце М, через яке проходить ще прямолінійний прут АВ (рис. 3), що рівномірно обертається навколо точки А (= t, де = const). Знайти закони руху кільця М вздовж стрижня АВ і щодо півкола.

Для вирішення першої частини завдання скористаємося координатним способом, направивши вісь х декартової системи вздовж стрижня і вибравши її початок у точці А. Оскільки вписаний АМС прямий (як спирається на діаметр),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

де R радіус півкола. Отриманий закон руху називається гармонійним коливанням (коливання це триватиме, очевидно, лише доти, поки колечко не дійде до точки А).

Другу частину завдання вирішуватимемо, використовуючи природний спосіб. Виберемо позитивний напрямок відліку відстані вздовж траєкторії (півкола АС) проти годинникової стрілки (рис. 3), а нуль збігається з точкою С. Тоді довжина дуги СМ як функція часу дасть закон руху точки М

S(t) = R2 = 2R t,

тобто. кільце буде рівномірно рухатися по колу радіусом R з кутовою швидкістю 2 . Як випливає з проведеного розгляду,

нуль відліку часу у обох випадках відповідав моменту, коли колечко перебував у точці З.

2.Векторний спосіб завдання руху точки

Швидкість точки спрямована щодо до траєкторії (Рис. 2.1)та обчислюється, згідно (1.2), за формулою

ПОВЕРНУТИСЯ Складне рух точки (тіла)– такий рух, при якому точка (тіло) одночасно бере участь у кількох рухах (напр. пасажир, що переміщається по вагоні, що рухається). В цьому випадку вводиться рухома система координат (Oxyz), яка здійснює заданий рух щодо нерухомої (основної) системи координат (O 1 x 1 y 1 z 1). Абсолютним рухомточки зв. рух по відношенню до нерухомої системи координат. Відносний рух- Рух по відношенню до рухомої системи коорд. (Рух по вагону). Переносний рух- Рух рухливий сист. координат щодо нерухомої (рух вагона). Теорема про складання швидкостей: , ; -орти (поодинокі вектори) рухомої системи координат, орт обертається навколо миттєвої осі, тому швидкість його кінця і т.д., Þ: , ; - Відносна швидкість. ; переносна швидкість: тому абсолютна швидкість точки = геометричній сумі її переносної (v e) і відносної (v r) швидкостей , модуль: . :
і т.д. Складові вирази, що визначає прискорення: 1) - прискорення полюса; 2) 3) - відносне прискорення точки; 4) , отримуємо: . Перші три доданки є прискоренням точки в переносному русі: – прискорення полюса О; - обертальне уск., - Застережне уск., тобто. . Теорема про складання прискорень (теорема Коріоліса): , де – прискорення Коріоліса (коріолісове прискорення) – у разі непоступального переносного руху абсолютне прискорення = геометричній сумі переносного, відносного та коріолісового прискорень. Коріолісове прискорення характеризує: 1) зміну модуля та напрямки переносної швидкості точки через її відносний рух; 2) зміна напрямку відносної швидкості точки через обертальний переносний рух. Модуль прискорення Коріоліса: а з = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), напрям вектора визначається за правилом векторного твору, або за правилом Жуковського: проекцію відносної швидкості на площину, перпендикулярну до переносної кутової швидкості, треба повернути на 90 про напрямі обертання. Коріолісове уск. = 0 трьох випадках: 1) w e =0, тобто. у разі поступального переносного руху чи момент звернення кут. швидкості 0; 2) v r =0; 3) sin (w e ^ v r) = 0, тобто. Ð(w e ^ v r)=0, коли відносна швидкість v r паралельна осі переносного обертання. У разі руху в одній площині – кут між v r і вектором w e = 90 о, sin90 o = 1, а =2×w e ×v r . Складне рух твердого тіла При додаванні двох поступальних рухів результуючий рух також є поступальним і швидкість результуючого руху дорівнює сумі швидкостей складових рухів. Складання обертань тб. тіла навколо осей, що перетинаються. Вісь обертання, становище якої у просторі змінюється згодом звання. миттєвою віссю обертання тіла. Вектор кутової швидкості – ковзний вектор, спрямований вздовж миттєвої осі обертання. Абсолютна кутова швидкість тіла = геометричній сумі швидкостей складових обертань – правило паралелограма кутових швидкостей. . Якщо тіло бере участь одночасно в миттєвих обертаннях навколо кількох осей, що перетинаються в одній точці, то . При сферичному русі твердого тіла, одна з точок якого весь час руху залишається нерухомою, маємо рівняння сферичного руху: Y = f 1 (t); q=f 2 (t); j = f 3 (t). Y – кут прецесії, q – кут нутації, j – кут свого обертання - кути Ейлера. Кутова швидкість прецесії, кут. швидкість нутації, кут. ск. власного обертання. , – Модуль кутової швидкості тіла навколо миттєвої осі. Через проекції на нерухомі осі координат: - Кінематичні рівняння Ейлера. Складання обертань навколо 2-х паралельних осей. 1) Обертання направлено в один бік. w=w 2 +w 1 , С – миттєвий центр швидкостей через неї проходить миттєва вісь обертання, , . 2) Обертання спрямовані у різні сторони. w = w 2 -w 1 З – мгн. центр ск. та мгн. вісь обертання, . Вектори кутових швидкостей при обертанні навколо ||-их осей складаються так само, як вектори паралельних сил. 3) Пара обертань- Обертання навколо | |-них осей направлені в різні сторони і кутові швидкості по модулю рівні ( - пара кутових швидкостей). У цьому випадку v A = v B , результуючий рух тіла - поступальний (або миттєвий поступальний) рух зі швидкістю v = w 1 × AB - момент пари кутових швидкостей (поступальний рух педалі велосипеда відносить рами). Мгнь. центр швидкостей знаходиться у нескінченності. Складання поступального та обертального рухів. 1) Швидкість поступального руху ^ до осі обертання – плоскопаралельний рух – миттєве обертання навколо осі Рр із кутовою швидкістю w=w". 2) Гвинтовий рух- Рух тіла складається з обертального руху навколо осі Аа з угл.ск. w та поступального зі швидкістю v||Аа. Вісь Аа – вісь гвинта. Якщо v і w в один бік, гвинт - правий, якщо в різні - лівий. Відстань, що проходить під час одного обороту будь-якою точкою тіла, що лежить на осі гвинта, зв. кроком гвинта – h. Якщо v і w постійні, h= =const, при постійному кроці будь-яка (×)М, не лежача на осі гвинта описує гвинтову лінію. направлена ​​по дотичній гвинтовій лінії. 3) Швидкість поступального руху утворює довільний кут з віссю обертання, в цьому випадку рух можна розглядати як складається з серії миттєвих гвинтових рухів, навколо гвинтових осей, що безперервно змінюються - миттєво-гвинтовий рух.

Поєднуємо початок координат з точкою перетину ліній дії сил системи. Проектуємо всі сили на осі координат та підсумовуємо відповідні проекції (рис. 7.4). Отримаємо проекції, що рівнодіє на осі координат:

Модуль рівнодіючої системи схожих сил визначимо за формулою

Напрямок вектора рівнодіючої визначається кутами.

Довільна просторова система сил

Приведення довільної просторової системи зусиль до центру Про.

Дано просторову систему сил (рис. 7.5, а). Наведемо її до центру О.

Сили необхідно паралельно переміщати, у своїй утворюється система пар сил. Момент кожної з цих пар дорівнює добутку модуля сили на відстань до центру приведення.

У центрі приведення з'являється пучок сил, який може бути замінений сумарною силою (головний вектор) F ГЛ (рис. 7.5, б).

Моменти пар сил можна скласти, отримавши сумарний момент системи М гол (головний момент).

Таким чином, довільна просторова система сил приводиться до головного вектора та головного моменту.

Головний вектор прийнято розкладати на три складові, спрямовані вздовж осей координат (рис. 7.5 в).

Зазвичай сумарний момент розкладають на складові: три моменти щодо осей координат.

Абсолютне значення головного вектора (рис. 7.5б) дорівнює

Абсолютне значення головного моменту визначається за такою формулою.

Рівняння рівноваги просторової системи сил

При рівновазі Fгол = 0; М гол = 0. Отримуємо шість рівнянь рівноваги:

Шість рівнянь рівноваги просторової системи сил відповідають шести незалежним можливим переміщенням тіла у просторі: трьом переміщенням вздовж координатних осей та трьом обертанням навколо цих осей.

Приклади розв'язання задач

приклад 1.На тіло у формі куба з ребром а= 10 см діють три сили (рис. 7.6). Визначити моменти сил щодо осей координат, що збігаються з ребрами куба.

Рішення

1. Моменти сил щодо осі Ох:

2. Моменти сил щодо осі Оу.

приклад 2.На горизонтальному валу закріплено два колеса, г 1 = 0,4 м; г 2 = 0,8 м. Інші розміри – на рис. 7.7. До колеса 1 додана сила F 1 ,до колеса 2 - сили F 2= 12 кН, F 3= 4кН.

Визначити силу F 1та реакції у шарнірах Аі Уу стані рівноваги.

Нагадаємо:

1. При рівновазі виконуються шість рівнянь рівноваги.

Рівняння моментів слід складати щодо опор А та Ст.

2. Сили F 2 \\O x; F 2 \\Oy;F 3 \\Oy.

Моменти цих сил щодо відповідних осей дорівнюють нулю.

3. Розрахунок слід завершити перевіркою, використавши додаткові рівняння рівноваги.

Рішення

1. Визначаємо силу F\,склавши рівняння моментів сил щодо осі Oz:

2. Визначаємо реакції в опорі А.На опорі діють дві складові реакції ( Y A ; X A ).

Складаємо рівняння моментів сил щодо осі Ох"(в опорі У).

Поворот навколо осі Ох"не відбувається:

Знак «мінус» означає, що реакція спрямована у протилежний бік.

Поворот навколо осі Оу"не відбувається, складаємо рівняння моментів сил щодо осі Оу"(в опорі В):

3.Визначаємо реакції у опорі У. На опорі діють дві складові реакції ( X B , Y B ). Складаємо рівняння моментів сил щодо осі Ох(опора А):

Складаємо рівняння моментів щодо осі Оу(опора А):

4.Перевірка. Використовуємо рівняння проекцій:

Розрахунок виконаний правильно.

приклад 3.Визначити чисельне значення сили P 1 , при якому вал НД(Рис. 1.21, а)перебуватиме у рівновазі. При знайденому значенні сили Р 1 визначити опорні реакції.

Діючі на зубчасті колеса сили Р і Р 1 направлені по дотичних до початкових кіл коліс; сили Т і Т 1 - по радіусах коліс; сили А 1паралельні осі валу. Т = 0,36Р, 7Т1 = Р1; А1 = 0,12P 1 .

Рішення

Опори валу, зображені на рис. 1.21 а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають лінійним переміщенням у напрямках осей іі v(Вибрана система координат показана на рис. 1.21, б).

Звільняємо вал від зв'язків та замінюємо їх дію реакціями V В, Н В, V C , НС (Рис. 1.21, б). Отримали просторову систему сил, на яку складаємо рівняння рівноваги, користуючись обраною системою координат (рис. 1.21,6):

де А 1*1,25D/2 - момент щодо осі ісили A 1 ,прикладеною до правого зубчастого колеса.

Моменти щодо осі ісил Т 1і А 1(доданих до середнього зубчастого колеса), Р 1 (доданої до правого зубчастого колеса) і Р дорівнюють нулю, так як сили Р, T 1 , Р 1 паралельні осі і,а сила А 1 перетинає вісь в.

звідки V С = 0,37P;

звідки V B =0,37P.

отже, реакції V Bі V Звизначені правильно;

де А 1* 1,25D/2- момент щодо осі vсили А 1 ,прикладеною до середнього зубчастого колеса.

Моменти щодо осі vсил Т, Р 1 (доданої до середнього зубчастого колеса), А 1і Т 1(доданих до правого зубчастого колеса) дорівнюють нулю, так як сили Т, Р 1 , Т 1паралельні осі v,сила А 1перетинає вісь v.

звідки H C = 0,81Р;

звідки H С = 1,274Р

Складемо перевірочне рівняння:

отже, реакції Н Ві Н Звизначено правильно.

На закінчення відзначимо, що опорні реакції вийшли зі знаком плюс. Це вказує на те, що обрані напрямки V B , Н В, V C і Н З збігаються з дійсними напрямками реакцій зв'язків.

приклад 4.Сила тиску шатуна парового двигуна Р = 25 кН передається на середину шийки колінчастого валу в точці Dпід кутом α = 30° до горизонту при вертикальному розташуванні щік коліна (рис. 1.22). На кінець валу насаджений шків ремінної передачі. Натяг провідної гілки ременя вдвічі більше, ніж веденої, тобто. S1 = 2S2. Сила ваги маховика G = 10 кН.

Визначити натяг гілок ремінної передачі та реакції підшипників Аі В,нехтуючи масою валу.

Рішення

Розглядаємо рівновагу горизонтального колінчастого валу зі шківом. Прикладаємо відповідно до умови завдання задані сили Р, S 1 , S 2 і G . Звільняємо вал від опорних закріплень та замінюємо їх дію реакціями V A , Н А, V Bі Н Ст.Координатні осі вибираємо так, як показано на рис. 1.22. У шарнірах Аі Уне виникає реакцій уздовж осі w,так як натяг гілок ременя і всі інші сили діють у площинах, перпендикулярних до цієї осі.

Складемо рівняння рівноваги:

Крім того, за умовою завдання маємо ще одне рівняння

Таким чином, тут є шість невідомих зусиль S 1, S 2 , Н А, V A , Н В і V B і шість зв'язуючих їх рівнянь.

Рівняння проекцій на вісь wу прикладі звертається в тотожність 0 = 0, так як всі сили лежать у площинах, перпендикулярних осі w.

Підставляючи рівняння рівноваги S 1 =2S 2 і вирішуючи їх, знаходимо:

Значення реакції Н Ввийшло зі знаком мінус. Це означає, що насправді її напрямок протилежно прийнятому на рис. 1.22.

Контрольні питання та завдання

1. Запишіть формули для розрахунку головного вектора просторової системи сил, що сходяться.

2. Запишіть формулу розрахунку головного вектора просторової системи довільно розташованих сил.

3. Запишіть формулу розрахунку головного моменту просторової системи сил.

4. Запишіть систему рівнянь рівноваги просторової системи сил.

5. Яке із рівнянь рівноваги потрібно використовувати для визначення реакції стрижня R 1 (рис. 7.8)?

6. Визначте головний момент системи сил (рис. 7.9). Точка приведення – початок координат. Координатні осі збігаються з ребрами куба, ребро куба дорівнює 20 см; F 1 - 20кН; F 2 – 30кН.

7. Визначте реакцію Хв (рис. 7.10). Вертикальна вісь із шківом навантажена двома горизонтальними силами. Сили F 1 і F 2 паралельні осі Ох. АТ = 0,3 м; ОВ= 0,5 м; F 1 = 2кН; F 2 = 3,5 кн.

Рекомендація. Скласти рівняння моментів щодо осі Оу" у точці А.

8. Дайте відповідь на запитання тестового завдання.

20. Умова рівноваги просторової системи сил:

21. Теорема про 3-х непаралельних силах:Лінії дії трьох непаралельних сил, що взаємно врівноважуються, лежать в одній площині, перетинаються в одній точці.

22. Статично визначні завдання– це завдання, які можна розв'язувати методами статики твердого тіла, тобто. завдання, у яких кількість невідомих не перевищує числа рівнянь рівноваги сил.

Статично не визначальні – це системи, у яких кількість невідомих величин перевищує кількість незалежних рівнянь рівноваги даної системи сил

23. Рівняння рівноваги плоскої системи паралельних сил:

AB не паралельно F i

24. Конус та кут тертя:Граничне становище активних сил, під впливом яких може бути рівність, описує конус тертя c кутом (φ).

Якщо активна сила проходить поза цим конусом, то тоді рівновага неможлива.

Кут φ називають кутом тертя.

25. Вказати розмірність коефіцієнтів тертя:коефіцієнти тертя спокою та тертя ковзання-безрозмірні величини, коефіцієнти тертя кочення та тертя обертання мають розмірність довжини(мм,см,м).м

26. Основні припущення, що приймаються при розрахунку плоских статично опред.ферм:-стрижні ферми вважають невагомими; -кріплення стрижнів у вузлах ферми-шарнірні; -зовнішнє навантаження накладається лише у вузлах ферми; -стрижень потрапляє під зв'язок

27. Який зв'язок між стрижнями та вузлами статично визначеної ферми?

S = 2n-3 - проста статично визначальна ферма, S-кількість стрижнів, n-кількість вузлів,

якщо S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – статично невизначена ферма, має зайві зв'язки, +розрахунок деформації

28. Статично визначна ферма повинна задовольняти умову: S = 2n-3; S-кількість стрижнів, n-кількість вузлів.

29. Метод вирізування вузлів:Цей метод полягає в тому, що подумки вирізують вузли ферми, прикладають до них відповідні зовнішні сили та реакції стрижнів та становлять рівняння рівноваги сил, що додаються до кожного вузла. Умовно припускають, що всі стрижні розтягнуті (реакції стрижнів направлені від вузлів).

30. Метод Риттера:Проводимо січну площину, що розсікає ферму на 2 частини. Перетин має починатися та закінчуватися за межами ферми. Як об'єкт рівноваги можна вибирати будь-яку частину. Перетин проходить стрижнями, а не вузлами. Сили, прикладені до об'єкта рівноваги, утворюють довільну систему сил, на яку можна скласти 3 рівняння рівноваги. Тому перетин проводимо так, щоб у нього потрапило не більше 3 стрижнів, зусилля яких невідомі.

Особливістю методу Риттера є вибір форми рівняння в такий спосіб, щоб у кожне рівняння рівноваги входила одна невідома величина. Для цього визначаємо положення точок Ріттера як точок перетину ліній дії двох невідомих зусиль і записуємо рівняння моментів отн. цих точок.

Якщо точка Риттера лежить у нескінченності, то як рівняння рівноваги складаємо рівняння проекцій на вісь, перпендикулярну цим стрижням.

31. Крапка Ріттера-точка перетину ліній дії двох невідомих зусиль. Якщо точка Риттера лежить у нескінченності, то як рівняння рівноваги складаємо рівняння проекцій на вісь, перпендикулярну цим стрижням.

32. Центр тяжкості об'ємної фігури:

33. Центр тяжкості плоскої фігури:

34. Центр тяжкості стрижневої конструкції:

35. Центр тяжкості дуги:

36. Центр тяжкості кругового сектора:

37. Центр тяжкості конуса:

38. Центр тяжкості півкулі:

39. Метод негативних величин:Якщо тверд. тіло має порожнини, тобто. порожнини з яких вийнято їх маса, ми подумки заповнюємо ці порожнини до суцільного тіла, і визначаємо центр тяжкості фігури, взявши вагу, обсяг, площу порожнин зі знаком «-».

40. 1-й інваріант: 1-м інваріантом системи сил називають головні вектори системи сил. Головний вектор системи сил залежить від центру приведення R=∑ F i

41. 2-й інваріант:Скалярний добуток головного вектора на момент системи сил для будь-якого центру приведення є величина постійна.

42. У якому разі система сил наводиться до силового гвинта?У разі, якщо головний вектор системи сил та її головний момент щодо центру приведення не дорівнюють нулю та не перпендикулярні між собою, заданий. систему сил можна призвести до силового гвинта.

43. Рівняння центральної гвинтової осі:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Момент пари сил як векторцей вектор перпендикулярний площині дії пари і спрямований у бік, звідки видно обертання пари проти годинникової стрілки. За модулем векторний момент дорівнює добутку однієї із сил пари на плече пари. Векторний момент пари явл. вільним вектором і може бути доданий до будь-якої точки твердого тіла.

46. ​​Принцип звільнення від зв'язків:Якщо зв'язки відкидаються, їх необхідно замінити силами реакцій від зв'язку.

47. Мотузковий багатокутник-це побудова графостатики, яким можна користуватися визначення лінії дії рівнодіючої плоскої системи сил для знаходження реакцій опор.

48. Який взаємозв'язок між мотузяним та силовим багатокутником:Для знаходження невідомих сил графічно в силовому багатокутнику використовуємо додаткову точку О(полюс), у мотузковому багатокутнику знаходимо рівнодіючу, переміщуючи яку в силовий багатокутник знаходимо невідомі сили

49. Умова рівноваги систем пар сил:Для рівноваги пар сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб момент еквівалентних пар сил дорівнював нулю. Наслідок: Щоб врівноважити пару сил, необхідно докласти врівноважуючу пару, тобто. пару сил можна врівноважити іншою парою сил з рівними модулями та протилежно спрямованими моментами.

Кінематика

1. Усі способи завдання руху точки:

природний спосіб

координатний

радіус векторний.

2. Як визначити рівняння траєкторії руху точки при координатному способі завдання її руху?Щоб отримати рівняння траєкторії рух матеріальної точки, при координатному способі завдання необхідно виключити параметр t із законів руху.

3. Прискорення точки при координації. способі завдання руху:

над іксом 2 точки

над y 2 точки

4. Прискорення точки при векторному способі завдання руху:

5. Прискорення точки при природному способі завдання руху:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Чому рівне і як воно спрямоване нормальне прискорення– спрямовано по радіусу до центру,