Векторна сума діючих сил. Закони складання сил у механіці. Як знайти суму та різницю векторів у координатах

Механічна дія тіл один на одного завжди є їхньою взаємодією.

Якщо тіло 1 діє тіло 2, то при цьому обов'язково тіло 2 діє на тіло 1.

Наприклад,на провідні колеса електровоза (рис.2.3) діють із боку рейок сили тертя спокою, спрямовані у бік руху електровоза. Сума цих сил є сила тяги електровоза. У свою чергу провідні колеса діють на рейки силами тертя спокою, спрямованими в протилежний бік..

Кількісний опис механічної взаємодії було дано Ньютоном у його третій закон динаміки.

Для матеріальних точок цей закон формулюється так:

Дві матеріальні точки діють один на одного з силами, рівними за величиною та спрямованими протилежно по прямій, що з'єднує ці точки(Рис.2.4):
.

Третій закон справедливий не завжди.

Виконується суворо

у разі контактних взаємодій,

при взаємодії тих, що знаходяться на певній відстані один від одного тих, що покояться.

Перейдемо від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки механічної системи, що складається з матеріальних точок.

Для - Тієї матеріальної точки системи, згідно з другим законом Ньютона (2.5), маємо:

. (2.6)

Тут і - маса та швидкість -тої матеріальної точки, - сума всіх сил, що діють на неї.

Сили, що діють на механічну систему, поділяються на зовнішні та внутрішні. Зовнішні сили діють на точки механічної системи із боку інших, зовнішніх тіл.

Внутрішні сили діють між точками самої системи.

Тоді силу у виразі (2.6) можна подати у вигляді суми зовнішніх і внутрішніх сил:

, (2.7)

де
– результуюча всіх зовнішніх сил, що діють на -ту точку системи; - внутрішня сила, що діє на цю точку з боку -й.

Підставимо вираз (2.7) у (2.6):

, (2.8)

просумувавши ліві та праві частини рівнянь (2.8), записаних для всіх матеріальних точок системи, отримуємо

. (2.9)

За третім законом Ньютона сили взаємодії -Той і -й точок системи рівні за модулем і протилежні за напрямом
.

Тому сума всіх внутрішніх сил у рівнянні (2.9) дорівнює нулю:

. (2.10)

Векторна сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, називається головним вектором зовнішніх сил

. (2.11)

Змінивши у виразі (2.9) місцями операції підсумовування та диференціювання та враховуючи результати (2.10) та (2.11), а також визначення імпульсу механічної системи (2.3), отримуємо

- основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла

Це рівняння висловлює закон зміни імпульсу механічної системи: похідна часу від імпульсу механічної системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему.

2.6. Центр мас та закон його руху.

Центром мас(інерції) механічної системи називається крапка , радіус-вектор якої дорівнює відношенню суми творів мас усіх матеріальних точок системи на їх радіус-вектори до маси всієї системи:

(2.12)

де і - маса та радіус-вектор -тої матеріальної точки, -загальна кількість цих точок,
–сумарна маса системи.

Якщо радіус- вектори проведені з центру мас , то
.

Таким чином, центр мас – це геометрична точка , для якої сума творів мас усіх матеріальних точок, що утворюють механічну систему, на їхній радіус-вектори, проведені з цієї точки, дорівнює нулю.

У разі безперервного розподілу маси у системі (у разі протяжного тіла) радіус-вектор центру мас системи:

де r– радіус-вектор малого елемента системи, маса якого дорівнюєdm, інтегрування проводиться у всіх елементах системи, тобто. по всій масі m.

Продиференціювавши формулу (2.12) за часом, отримуємо

вираз для швидкості центру мас:

Швидкість центру масМеханічна система дорівнює відношенню імпульсу цієї системи до її маси.

Тоді імпульс системидорівнює добутку її маси на швидкість центру мас:

Підставивши цей вислів в основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла, маємо:

(2.13)

- центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і яку діє сила, рівна головному вектору прикладених до системи зовнішніх сил.

Рівняння (2.13) показує, що зміни швидкості центру мас системи необхідно, щоб у систему діяла зовнішня сила. Внутрішні сили взаємодії елементів системи можуть викликати зміни швидкостей цих елементів, але не можуть вплинути на сумарний імпульс системи та швидкість її центру мас.

Якщо механічна система замкнута, то
і швидкість центру мас не змінюється з часом.

Таким чином, центр мас замкнутої системи або спочиває, або рухається з постійною швидкістю щодо інерційної системи відліку. Це означає, що з центром мас можна пов'язати систему відліку, і ця система буде інерційною.

При одночасному впливі на одне тіло кількох сил тіло рухається з прискоренням, що є векторною сумою прискорень, які виникли б під дією кожної сили окремо. Сила, що діє на тіло, прикладена до однієї точки, складаються за правилом складання векторів.

Векторна сума всіх сил, що одночасно діють на тіло, називається рівнодіючою силою і визначається правилом векторного складання сил: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow(F))_2+(\overrightarrow(F)) _3+\dots +(\overrightarrow(F))_n=\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)$.

Равнодіюча сила має на тіло таку ж дію, як сума всіх сил, які до нього докладаються.

Для складання двох сил використовується правило паралелограма (рис.1):

Малюнок 1. Додавання двох сил за правилом паралелограма

При цьому модуль суми двох сил знаходимо за теоремою косінусів:

Якщо потрібно скласти більше двох сил, прикладених в одній точці, то користуються правилом багатокутника: з кінця першої сили проводять вектор, рівний і паралельний другій силі; з кінця другої сили - вектор, рівний і паралельний третій силі тощо.

Рисунок 2. Складання сил за правилом багатокутника

Замикаючий вектор, проведений з точки докладання сил до кінця останньої сили, за величиною та напрямом дорівнює рівнодіючої. На рис.2 це правило проілюстровано на прикладі знаходження рівнодіючої ~~чотирьох сил $(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2,(\overrightarrow(F))_3,(\overrightarrow(F) )_4 $. Зауважимо, що при цьому вектори, що складаються, не обов'язково повинні належати одній площині.

Результат дії сили на матеріальну точку залежить тільки від її модуля та напряму. Тверде тіло має певні розміри. Тому однакові за модулем і напрямом сили викликають різні рухи твердого тіла залежно від точки застосування. Пряма, що проходить через вектор сили, називається лінією дії сили.

Малюнок 3. Складання сил, доданих до різних точок тіла

Якщо сили прикладені до різних точок тіла та діють не паралельно одна одній, то рівнодіюча прикладена до точки перетину ліній дії сил (рис.3).

Точка перебуває у рівновазі, якщо векторна сума всіх сил, що діють на неї, дорівнює нулю: $\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)=\overrightarrow(0)$. У цьому випадку дорівнює нулю та сума проекцій цих сил на будь-яку вісь координат.

Заміну однієї сили двома, прикладеними в тій же точці і такими, що виробляють на тіло таку ж дію, як і ця одна сила, називають розкладанням сил. Розкладання сил виробляють, як та його додавання, за правилом паралелограма.

Завдання розкладання однієї сили (модуль та напрямок якої відомі) на дві, прикладені в одній точці та діючі під кутом один до одного, має однозначне рішення у таких випадках, якщо відомі:

напрями обох складових сил;
модуль та напрямок однієї із складових сил;
модулі обох складових сил.

Нехай, наприклад, ми хочемо розкласти силу $F$ на дві складові, що лежать в одній площині F і направлені вздовж прямих а і b (рис.4). Для цього достатньо з кінця вектора, що зображує F провести дві прямі, паралельні a і b. Відрізки $F_A$ і $F_B$ зобразять потрібні сили.

Рисунок 4. Розкладання вектора сили за напрямами

Інший варіант цього завдання - знаходження однієї з проекцій вектора сили за заданими векторами сили та другої проекції. (Рис.5 а).

Рисунок 5. Знаходження проекції вектора сили за заданими векторами

Завдання зводиться до побудови паралелограма по діагоналі та однієї зі сторін, відомої з планіметрії. На рис.5б побудований такий паралелограм і вказана складова $(\overrightarrow(F))_2$ сили $(\overrightarrow(F))$.

Другий спосіб розв'язання: додати до сили силу, що дорівнює $(\overrightarrow(F))_1$ (рис.5в).В результаті отримаємо шукану силу $(\overrightarrow(F))_2$.

Три сили~$(\overrightarrow(F))_1=1\ Н;;\ (\overrightarrow(F))_2=2\ Н;;\ (\overrightarrow(F))_3=3\ Н$ прикладені до однієї точці, лежать в одній площині (рис.6 а) і складають кути з горизонталлю $\alpha =0()^\circ ;;\beta =60()^\circ ;;\gamma =30()^\ circ $відповідно. Знайдіть рівнодіючу цих сил.

Проведемо дві взаємно перпендикулярні осі ОХ та OY так, щоб вісь ОХ збігалася з горизонталлю, вздовж якої спрямована сила $(\overrightarrow(F))_1$. p align="justify"> Спроектуємо дані сили на осі координат (рис.6 б). Проекції $F_(2y)$ і $F_(2x)$ негативні. Сума проекцій сил на вісь ОХ дорівнює проекції на цю вісь рівнодіючої: $F_1+F_2(cos \beta \ )-F_3(cos \gamma \ )=F_x=\frac(4-3\sqrt(3))(2)\ approx -0.6 \ H $. Аналогічно, для проекцій на вісь OY: $-F_2(sin \beta \ )+F_3(sin \gamma =F_y=\ )\frac(3-2\sqrt(3))(2)\approx -0.2\ H$ . Модуль рівнодіючої визначається за теоремою Піфагора: $ F = \ sqrt (F ^ 2_x + F ^ 2_y) = \ sqrt (0.36 + 0.04) \ approx 0,64 \ Н $. Напрямок рівнодіючої визначимо за допомогою кута між рівнодіючою і віссю (рис.6 в): $ tg \ varphi = \ frac (F_y) (F_x) = \ frac (3-2 \ sqrt (3)) (4-3 \ sqrt (3))\approx 0.4$

Сила $F = 1kH$ прикладена у точці В кронштейна і спрямована вертикально донизу (рис.7а). Знайдіть складові цієї сили за напрямками стрижнів кронштейна. Необхідні дані вказані малюнку.

F = 1 кН = 1000Н

$(\mathbf \beta )$ = $30^(\circ)$

$(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2$ - ?

Нехай стрижні прикріплені до стіни в точках A і C. Розкладання сили $(\overrightarrow(F))$ на складові вздовж напрямків АВ та ВС представлено на рис.7б. Звідки видно, що $ \ left | ( \ overrightarrow ( F))_1 \ right | = Ftg \ beta \ approx 577 \ H; \ \ $

\[\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F(cos \beta \ )\approx 1155\ H. \]

Відповідь: $ \ left | ( \ overrightarrow (F))_1 \ right | $ = 577 Н; $\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=1155\ Н$

Як відбувається складання векторів, який завжди зрозуміло учням. Діти не уявляють того, що за ними ховається. Доводиться просто запам'ятовувати правила, а не вдумуватись у суть. Тому саме про принципи складання та віднімання векторних величин потрібно багато знань.

У результаті додавання двох і більше векторів завжди виходить ще один. Причому він завжди обов'язково буде однаковим незалежно від прийому його знаходження.

Найчастіше у шкільному курсі геометрії розглядається складання двох векторів. Воно може бути виконане за правилом трикутника чи паралелограма. Ці малюнки виглядають по-різному, але результат від дії один.

Як відбувається додавання за правилом трикутника?

Воно застосовується тоді, коли вектори неколінеарні. Тобто не лежать на одній прямій чи паралельних.

У цьому випадку від певної довільної точки необхідно відкласти перший вектор. З його кінця потрібно провести паралельний та рівний другому. Результатом стане вектор, що виходить із початку першого і завершується наприкінці другого. Малюнок нагадує трикутник. Звідси й назва правила.

Якщо вектори колінеарні, це правило теж можна застосовувати. Лише малюнок буде розташований вздовж однієї лінії.

Як виконується додавання за правилом паралелограма?

Знову ж? застосовується лише для неколлінеарних векторів. Побудова виконується за іншим принципом. Хоча початок такий самий. Потрібно відкласти перший вектор. І від його початку – другий. На їх основі добудувати паралелограм та провести діагональ із початку обох векторів. Вона буде результатом. Так виконується складання векторів за правилом паралелограма.

Досі їх було дві. А як бути, якщо їх 3 чи 10? Використовувати наступний прийом.

Як і коли застосовується правило багатокутника?

Якщо потрібно виконати складання векторів, число яких більше двох, лякатися не варто. Достатньо послідовно відкласти їх усі і з'єднати початок ланцюжка з її кінцем. Цей вектор і буде шуканою сумою.

Які властивості дійсні для дій із векторами?

Про нульовий вектор.Яке стверджує, що при додаванні з ним виходить вихідний.

Про протилежний вектор.Тобто про таке, що має протилежний напрямок і рівне за модулем значення. Їх сума дорівнюватиме нулю.

Про комутативність складання.Те, що відомо ще з початкової школи. Зміна місць доданків не призводить до зміни результату. Іншими словами, будь-який вектор відкладати спочатку. Відповідь все одно буде вірною і єдиною.

Про асоціативність складання.Цей закон дозволяє складати попарно будь-які вектори із трійки та до них додавати третій. Якщо записати це за допомогою знаків, то вийде таке:

перший + (другий + третій) = другий + (перший + третій) = третій + (перший + другий).

Що відомо про різницю векторів?

Окремої операції віднімання немає. Це з тим, що його, власне, є додаванням. Тільки другому з них задається протилежний напрямок. А потім все виконується так, ніби розглядалося складання векторів. Тому про їх різницю практично не говорять.

Для того щоб спростити роботу з їх відніманням, видозмінено правило трикутника. Тепер (при відніманні) другий вектор потрібно відкласти з початку першого. Відповіддю буде те, що з'єднує кінцеву точку зменшуваного з нею ж віднімається. Хоча можна і відкладати так, як було описано раніше, просто змінивши напрямок другого.

Як знайти суму та різницю векторів у координатах?

У задачі дані координати векторів і потрібно дізнатися їх значення для підсумкового. При цьому побудов виконувати не потрібно. Тобто можна скористатися нескладними формулами, що описують правило складання векторів. Вони виглядають так:

а (х, у, z) + (k, l, m) = з (х + k, y + l, z + m);

а (х, у, z) - (k, l, m) = з (х-k, y-l, z-m).

Легко помітити, що координати потрібно просто скласти чи відняти залежно від конкретного завдання.

Перший приклад із рішенням

Умови. Дано прямокутник АВСД. Його сторони дорівнюють 6 і 8 см. Точка перетину діагоналей позначена буквою О. Потрібно обчислити різницю векторів АТ і ВО.

Рішення. Спочатку слід зобразити ці вектори. Вони спрямовані від вершин прямокутника до точки перетину діагоналей.

Якщо уважно подивитися на креслення, то можна побачити, що вектори вже поєднані так, щоб другий з них стикався з кінцем першого. Ось тільки його напрямок неправильний. Він має з цієї точки починатися. Це якщо вектори складаються, а задачі — віднімання. Стоп. Ця дія означає, що потрібно додати протилежний вектор. Значить, ВО потрібно замінити на ВВ. І вийде, що два вектори вже утворили пару сторін із правила трикутника. Тому результат від їхнього складання, тобто різниця, що шукається, — вектор АВ.

А він збігається із стороною прямокутника. Для того щоб записати числову відповідь, знадобиться таке. Накреслити прямокутник вздовж так, щоб більша сторона йшла горизонтально. Нумерацію вершин починати з лівої нижньої та йти проти годинникової стрілки. Тоді довжина вектора АВ дорівнюватиме 8 см.

Відповідь. Різниця АТ і ВО дорівнює 8 см.

Другий приклад та його докладне рішення

Умови. У ромба АВСД діагоналі дорівнюють 12 і 16 см. Точка їх перетину позначена літерою О. Обчисліть довжину вектора, утвореного різницею векторів АТ і ВО.

Рішення. Нехай позначення вершин ромба буде таким самим, як у попередній задачі. Аналогічно рішенню першого прикладу виходить, що різниця, що шукається, дорівнює вектору АВ. А його довжина невідома. Розв'язання задачі звелося до того, щоб обчислити одну із сторін ромба.

Для цього потрібно розглянути трикутник АВО. Він прямокутний, тому що діагоналі ромба перетинаються під кутом 90 градусів. А його катети дорівнюють половинам діагоналей. Тобто 6 і 8 см. сторона, що шукається в задачі, збігається з гіпотенузою в цьому трикутнику.

Для її знаходження потрібно теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи дорівнюватиме сумі чисел 6 2 і 8 2 . Після зведення у квадрат вийдуть значення: 36 і 64. Їх сума — 100. Звідси випливає, що гіпотенуза дорівнює 10 див.

Відповідь. Різниця векторів АТ і ВО становить 10 см.

Третій приклад із детальним рішенням

Умови. Обчислити різницю та суму двох векторів. Відомі їх координати: у першого - 1 і 2, у другого - 4 і 8.

Рішення. Для знаходження суми потрібно скласти попарно перші та другі координати. Результатом будуть числа 5 та 10. Відповіддю буде вектор з координатами (5; 10).

Для різниці потрібно виконати віднімання координат. Після виконання цієї дії вийдуть числа -3 та -6. Вони будуть координатами шуканого вектора.

Відповідь. Сума векторів - (5; 10), їх різниця - (-3; -6).

Четвертий приклад

Умови. Довжина вектора АВ дорівнює 6 см, НД - 8 см. Другий відкладений від кінця першого під кутом в 90 градусів. Обчислити: а) різницю модулів векторів ВА і ПС і модуль різниці ВА та ПС; б) суму цих модулів і модуль суми.

Рішення: а) Довжини векторів вже дано завдання. Тому обчислити їх різницю не складе труднощів. 6 – 8 = -2. Дещо складніше ситуація з модулем різниці. Спочатку потрібно дізнатися, який вектор буде результатом віднімання. З цією метою слід відкласти вектор ВА, який спрямований у протилежний бік АВ. Потім від кінця провести вектор ВС, направивши його у бік, протилежну вихідному. Результатом віднімання вийде вектор СА. Його модуль можна визначити по теоремі Піфагора. Прості обчислення призводять до значення 10 см.

б) Сума модулів векторів виходить рівною 14 см. Для пошуку другої відповіді знадобиться деяке перетворення. Вектор ВА протилежно спрямований до того, що дано — АВ. Обидва вектори спрямовані з однієї точки. У цій ситуації можна використовувати правило паралелограма. Результатом додавання буде діагональ, причому не просто паралелограма, а прямокутника. Його діагоналі рівні, отже, модуль суми такий самий, як у попередньому пункті.

Відповідь: а) -2 та 10 см; б) 14 та 10 см.

Розділ 1. "СТАТИКА"

Ньютони

Плече сили-це найкоротша відстань від точки до лінії дії сили

Твір сили на плечі дорівнює моменту сили.

8. Сформулюйте «правило правої руки» для визначення спрямування моменту сили.

9. Як визначається головний момент системи сил щодо точки?

Головний момент щодо центру – векторна сума моментів усіх сил, прикладених до тіла щодо того самого центру.

10. Що називається парою сил? Чому дорівнює момент пари сил? Чи залежить він від вибору точки? Як спрямований і чому дорівнює за величиною момент пари сил?

Парою сил називається система сил у якій сили рівні, паралельні та протилежно спрямовані одна одній. Момент дорівнює добутку однієї з сил на плечі, не залежить від вибору точки, спрямований перпендикулярно до площини в якій лежить пара.

11. Сформулюйте теорему Пуансо.

Будь-яку систему сил, що діють абсолютно тверде тіло, можна замінити однією силою і однією парою сил. У цьому сила буде головним вектором, а момент пари –головним моментом цієї системи сил.

12. Сформулюйте необхідні та достатні умовирівноваги системи сил.

Для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми алгебри проекцій всіх сил на дві координатні осі і алгебраїчна сума моментів всіх сил відносно довільної точки дорівнювали нулю. Другою формою рівняння рівноваги є рівність нулю алгебраїчних сум моментів усіх сил щодо будь-яких трьох точок, що не лежать на одній прямій

14. Які системи сил називаються еквівалентними?

Якщо, не порушуючи стану тіла, одну систему сил (F 1 , F 2 , ..., F n) можна замінити іншою системою (Р 1 , P 2 , ... , P n) і навпаки, такі системи сил називаються еквівалентними

15. Яка сила називається рівнодією даної системи сил?

Коли система сил (F1, F2, ..., Fn) еквівалентна одній силі R, то R звані. рівнодіючою. Равнодіюча сила може замінити дію всіх цих сил. Але не будь-яка система сил має рівнодіючу.

16. Відомо, що сума проекцій усіх сил, прикладених до тіла, на цю вісь дорівнює нулю. Як спрямована рівнодіюча така система?

17. Сформулюйте аксіому інерції (принцип інерції Галілея).

Під дією сил, що врівноважуються, матеріальна точка (тіло) знаходиться в стані спокою або рухається прямолінійно і рівномірно.

28. Сформулюйте аксіому рівноваги двох сил.

Дві сили, прикладені до абсолютно твердого тіла, будуть врівноважені тоді й тільки тоді, коли вони рівні за модулем, діють по одній прямій та спрямовані у протилежні сторони

19. Чи можна переносити силу вздовж лінії дії, не змінюючи кінематичного стану абсолютно твердого тіла?

Не змінюючи кінематичного стану абсолютно твердого тіла, силу можна переносити вздовж лінії її дії, зберігаючи незмінними її модуль та напрямок.

20. Сформулюйте аксіому паралелограма сил.

Не змінюючи стану тіла, дві сили, прикладені до однієї його точки, можна замінити однією рівнодіючою силою, прикладеною в тій же точці та рівною їх геометричній сумі

21. Як формулюється третій закон Ньютона?

Будь-якій дії відповідає рівна і протилежно спрямована протидія

22. Яке тверде тіло називається невільним?

Сили, що діють між тілами системи, називаються внутрішніми.

Шарнірно-рухлива опора. Цей вид зв'язку конструктивно виконується як циліндричного шарніра, який може вільно переміщатися вздовж поверхні. Реакція шарнірно-рухливої опори завжди спрямована перпендикулярно до опорної поверхні.

Шарнірно-нерухома опора. Реакція шарнірно-нерухомої опори подається у вигляді невідомих складових і лінії дії яких паралельні або збігаються з осями координат

29. Яка опора називається жорстким закладенням (затиском)?

Це незвичайний вид зв'язку, так як крім перешкоди переміщенню в площині жорстка загортання перешкоджає повороту стрижня (балки) щодо точки . Тому реакція зв'язку зводиться як до реакції ( , ), до реактивного моменту

30. Яка опора називається підп'ятником?

Підп'ятник і сферичний шарнір Такий вид зв'язку можна подати у вигляді стрижня, що має на кінці сферичну поверхню, яка кріпиться в опорі, що є частиною сферичної порожнини. Сферичний шарнір перешкоджає переміщенню по будь-якому напрямку в просторі, тому реакція його представляється у вигляді трьох складових , , паралельних відповідним координатним осям

31. Яка опора називається сферичним шарніром?

32. Яка система сил називається схожою? Як формулюються умови рівноваги системи сил, що сходяться?

Якщо (абсолютно тверде) тіло знаходиться в рівновазі під дією плоскої системи трьох непаралельних сил (тобто сил, з яких хоча б дві непаралельні), лінії їх дії перетинаються в одній точці.

34. Чому дорівнює сума двох паралельних сил, спрямованих в один бік? У різні боки?

рівнодіючий двох парал-их сил F 1 і F 2 одного напрямку має такий же напрям, її модуль дорівнює сумі модулів доданків сил, а точка додатка ділить відрізок між точками докладання сил на частини обернено пропорційні модулям сил: R=F 1 + F 2; АС/ВС=F2/F1. Рівночинна двох протилежно спрямованих паралельних сил має напрямок сили більшої за модулем і модуль, що дорівнює різниці модулів сил.

37. Як формулюється теорема Варіньйона?

Якщо пласка система сил, що розглядається, приводиться до рівнодіючої, то момент цієї рівнодіючої щодо будь-якої точки дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил даної системи відносно тієї оке самої точки.

40. Як визначається центр паралельних сил?

За теоремою Варіньйона

41. Як визначається центр ваги твердого тіла?

45. Де знаходиться центр тяжіння трикутника?

Точка перетину медіан

46. Де знаходиться центр ваги піраміди та конуса?

Розділ 2. «КІНЕМАТИКА»

1. Що називається траєкторією точки? Який рух точки називається прямолінійним? Криволінійним?

Лінію, вздовж якої рухається матеріальна крапка , називають траєкторією .

Якщо траєкторія – пряма лінія, то рух точки називають прямолінійним; якщо траєкторія - крива лінія, то рух називають криволінійним

2. Як визначається декартова прямокутна система координат?

3. Як визначається абсолютна швидкість точки у нерухомій (інерційній) системі координат? Як спрямований вектор швидкості щодо її траєкторії? Чому дорівнюють проекції швидкості точки на осі декартових координат?

Для точки ці залежності є такими: абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі відносної та переносної швидкостей, тобто:

3. Як визначається абсолютне прискорення точки в нерухомій (інерційній) системі координат? Чому дорівнюють проекції прискорення точки на осі декартових координат?

5. Як визначається вектор кутової швидкості твердого тіла при його обертанні навколо нерухомої осі? Як спрямований вектор кутової швидкості?

Кутова швидкість- Векторна фізична величина, що характеризує швидкість обертання тіла. Вектор кутової швидкості за величиною дорівнює куту повороту тіла в одиницю часу:

а спрямований по осі обертання згідно з правилом свердла, тобто, в той бік, в який би вкручувався свердлик з правим різьбленням, якби обертався в ту ж сторону.

6. Як визначається вектор кутового прискорення твердого тіла при його обертанні навколо нерухомої осі? Як спрямовано вектор кутового прискорення?

При обертанні тіла навколо нерухомої осі, кутове прискорення по модулю дорівнює:

Вектор кутового прискорення α спрямований уздовж осі обертання (убік при прискореному обертанні та протилежно - при уповільненому).

При обертанні навколо нерухомої точки вектор кутового прискорення визначається як перша похідна від вектора кутової швидкості за часом , тобто

8. Чому рівні абсолютна, переносна та відносна швидкості точки при її складному русі?

9. Як визначаються переносне та відносне прискорення при складному русі точки?

10. Як визначається прискорення коріолісового при складному русі точки?

11. Сформулюйте теорему Коріоліса.

Теорема про складання прискорень (теорема Коріоліса): , де – прискорення Коріоліса (коріолісове прискорення) – у разі непоступального переносного руху абсолютне прискорення = геометричній сумі переносного, відносного та коріолісового прискорень.

12. При яких рухах точки дорівнюють нулю:

а) щодо прискорення?

б) нормальне прискорення?

14. Який рух тіла називається поступальним? Чому рівні швидкості та прискорення точок тіла при такому русі?

16. Який рух тіла називається обертальним? Чому рівні швидкості та прискорення точок тіла при такому русі?

17. Як виражаються дотичне та доцентрове прискорення точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі?

18. Яким є геометричне місце точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, швидкості яких в даний момент мають однакову величину і однаковий напрямок?

19. Який рух тіла називається плоскопаралельним? Чому рівні швидкості та прискорення точок тіла при такому русі?

20. Як визначається миттєвий центр швидкостей плоскої фігури, що рухається у своїй площині?

21. Як можна графічно знайти положення миттєвого центру швидкостей, якщо відомі швидкості двох точок плоскої фігури?

22. Якими будуть швидкості точок плоскої фігури у випадку, коли миттєвий центр обертання цієї фігури нескінченно видалено?

23. Як пов'язані між собою проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на пряму, яка з'єднує ці точки?

24. Дані дві точки ( Аі У) плоскої фігури, що рухається, причому відомо, що швидкість точки Аперпендикулярна до АВ. Як спрямована швидкість точки У?

Розділ 1. "СТАТИКА"

1. Якими факторами визначається сила, що діє на тверде

2. У яких одиницях вимірюється сила у системі «СІ»?

Ньютони

3. Чому дорівнює головний вектор системи сил? Як побудувати силовий багатокутник для заданої системи сил?

Головний вектор – векторна сума всіх сил, що додаються до тіла

5. Що називається моментом сили щодо цієї точки? Як спрямований момент сили щодо вектора сили та радіус-вектора точки докладання сили?
Моментом сили щодо точки (центру) називається вектор, чисельно рівний добутку модуля сили на плече, тобто на найкоротшу відстань від зазначеної точки до лінії дії сили. Він спрямований перпендикулярно площині поширення сили та р.в. точки.

6. У якому разі момент сили щодо точки дорівнює нулю?
Коли плече дорівнює 0(Центр моментів розташований на лінії дії сили)

7. Як визначається плече сили щодо точки? Чому дорівнює добуток сили на плече?

При вплив на одне тіло кількох сил одночасно тіло починає рухатися з прискоренням, що є векторною сумою прискорень, які виникли б під впливом кожної сили окремо. До сил, що діють на тіло, доданих до однієї точки, застосовується правило складання векторів.

Визначення 1

Векторна сума всіх сил, що одночасно впливають на тіло, це сила рівнодіюча, Яка визначається за правилом векторного складання сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → +. . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодіюча сила діє на тіло так само, як і сума всіх сил, що діють на нього.

Визначення 2

Для складання 2-х сил використовують правило паралелограма(малюнок 1).

Малюнок 1 . Додавання 2-х сил за правилом паралелограма

Виведемо формулу модуля рівнодіючої сили за допомогою теореми косінусів:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

Визначення 3

При необхідності додавання більше 2-х сил використовують правило багатокутника: від кінця
1-ї сили необхідно провести вектор, рівний і паралельний 2-й силі; від кінця 2-ї сили необхідно провести вектор, рівний і паралельний 3-й силі і т.д.

Малюнок 2 . Складання сил правилом багатокутника

Кінцевий вектор, проведений від точки докладання сил у кінець останньої сили, за величиною та напрямом дорівнює рівнодіючій силі. Малюнок 2 наочно ілюструє приклад знаходження рівнодіючої сил із 4-х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причому вектори, що підсумовуються, зовсім необов'язково повинні бути в одній площині.

Результат дії сили на матеріальну точку залежатиме лише від її модуля та напряму. Твердого тіла є певні розміри. Тому сили з однаковими модулями та напрямками викликають різні рухи твердого тіла залежно від точки застосування.

Визначення 4

Лінією дії силиназивають пряму, що проходить через вектор сили.

Малюнок 3 . Складання сил, доданих до різних точок тіла

Якщо сили прикладені до різних точок тіла і діють не паралельно по відношенню одна до одної, тоді рівнодіюча прикладена до точки перетину ліній дії сил (рисунок 3 ). Точка перебуватиме в рівновазі, якщо векторна сума всіх сил, що діють на неї, дорівнює 0: ∑ i = 1 n F i → = 0 → . У даному випадкудорівнює 0 та сума проекцій даних сил на будь-яку координатну вісь.

Визначення 5

Розкладання сил на дві складові– це заміна однієї сили двома, прикладеними в тій же точці і такими, що роблять на тіло таку ж дію, як і ця одна сила. Розкладання сил здійснюється, як і додавання, правилом паралелограма.

Завдання розкладання однієї сили (модуль та напрямок якої задані) на 2 , прикладені в одній точці та діючі під кутом один до одного, має однозначне рішення у таких випадках, коли відомі:

напрями 2-х складових сил;
модуль та напрямок однієї із складових сил;
модулі 2-х складових сил.

Приклад 1

Необхідно розкласти силу F на 2 складові, що знаходяться в одній площині з F і направлені вздовж прямих a і b (рисунок 4 ). Тоді достатньо від кінця вектора F провести 2 прямі, паралельні прямим a і b. Відрізок F A та відрізок F B зображують шукані сили.

Малюнок 4 . Розкладання вектора сили за напрямами

Приклад 2

Другий варіант даної задачі – знайти одну з проекцій вектора сили за заданими векторами сили та 2 проекції (рисунок 5 а).

Малюнок 5 . Знаходження проекції вектора сили за заданими векторами

У другому варіанті завдання необхідно побудувати паралелограм по діагоналі та одній зі сторін, як у планіметрії. На малюнку 5 б зображено такий паралелограм і позначено шукану складову F 2 → сили F → .

Отже, 2-й спосіб розв'язання: додамо до сили силу, що дорівнює - F 1 → (рисунок 5 в). У результаті отримуємо потрібну силу F → .

Приклад 3

Три сили F 1 → = 1 Н; F 2 → = 2 Н; F 3 → = 3 Н прикладені до однієї точки, знаходяться в одній площині (рисунок 6 а) і становлять кути з горизонталлю α = 0 °; β = 60°; γ = 30° відповідно. Необхідно знайти рівнодіючу силу.

Рішення

Малюнок 6 . Знаходження рівнодіючої сили за заданими векторами

Намалюємо взаємно перпендикулярні осі О Х і О Y таким чином, щоб вісь О Х збігалася з горизонталлю, вздовж якої спрямована сила F 1 → . Зробимо проекцію цих сил координатні осі (рисунок 6 б). Проекції F 2 y та F 2 x негативні. Сума проекцій сил на координатну вісь О Х дорівнює проекції на цю вісь рівнодіючої: F 1 + F 2 cos β - F 3 cos γ = F x = 4 - 3 3 2 ≈ - 0,6 Н.

Так само для проекцій на вісь O Y: - F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 - 2 3 2 ≈ - 0 , 2 Н.

Модуль рівнодіючої визначимо за допомогою теореми Піфагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0,36 + 0,04 ≈ 0,64 Н.

Напрямок рівнодіючої знайдемо за допомогою кута між рівнодіючою та віссю (рисунок 6 в):

t g φ = F y F x = 3 - 2 3 4 - 3 3 ≈ 0,4.

Приклад 4

Сила F = 1 к Н прикладена у точці В кронштейна і спрямована вертикально донизу (рисунок 7 а). Необхідно знайти складові цієї сили за напрямами стрижнів кронштейна. Усі необхідні дані відображені на малюнку.

Рішення

Малюнок 7 . Знаходження складових сили F за напрямками стрижнів кронштейна

Дано:

F = 1 до Н = 1000 Н

Нехай стрижні прикручені до стіни в точках А та С. На малюнку 7 б зображено розкладання сили F → на складові вздовж напрямків АВ та В С. Звідси зрозуміло, що

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н.

Відповідь: F 1 → = 557 Н; F 2 → = 1155 н.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter