Завдання, що веде до поняття подвійного інтегралу.

Припустимо, що на визначено функцію елементів і запишемо суму

яка називається інтегральною.

В: Під певним інтегралом (о.і.) від функції та від вибору

Позначення:

Числа називають інтегрованою (за Ріманом) на .

Т. існування: За умови, що .

Відповідно до визначення о.і. зазначимо, що інтеграл має залежність від виду , меж і , проте залежить від символу позначення змінної , інакше висловлюючись

Відповідно до п.17.1.1 та 17.1.2 та визначення о.і. запишемо формули площі криволінійної трапеції: , роботи сили

на:

Поняття подвійного інтеграла, інтегральних сум.

Існування подвійного інтеграла, тобто межі інтегральної суми для здається очевидним, так як ця межа дає об'єм циліндричного тіла. Однак це міркування не є суворим. У повніших курсах це твердження суворо доводиться і зветься теореми існування подвійного інтеграла.

Теорема існування. Для будь-якої функції, безперервної в обмеженій замкнутій області, що має площу а, існує подвійний інтеграл, тобто існує межа інтегральних сум при необмеженому збільшенні числа малих майданчиків за умови, що кожен з них стягується в крапку. Ця межа не залежить ні від способу розбиття області, а на частині ні від вибору точок.

Надалі ми розглядатимемо лише функції, безперервні у сфері інтегрування.

З теореми існування випливає, що ми можемо, наприклад, розбити область на малі прямокутники зі сторонами прямими, паралельними осям координат (рис. 230). При цьому. Вибираючи потім у кожному малому прямокутнику по точці ми можемо написати, згідно з визначенням подвійного інтеграла

Щоб підкреслити, що подвійний інтеграл можна одержати як межа суми виду замість позначення використовують також позначення

Вираз називається елементом площі в декартових координатах і дорівнює площі прямокутника зі сторонами паралельними координатним осям.

Зауважимо, що при складанні інтегральної суми майданчики, що прилягають до межі області а, не мають форми прямокутників. Однак можна довести, що помилка від заміни таких майданчиків прямокутниками з площами межі зведеться до нуля.

Властивості подвійних інтегралів

Властивості подвійного інтеграла (та його висновок) аналогічні відповідним властивостям одноразового певного інтеграла.

1°. Адитивність. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області Dі якщо область Dза допомогою кривої Гплощі нуль розбивається на дві зв'язкові та не мають загальних внутрішніх точок області D 1 та D 2 , то функція f(x, y) інтегрована в кожній з областей D 1 та D 2 , причому

2°. Лінійна властивість . Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегровані в області D, а α і β - будь-які речові числа, то функція [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] також інтегрована в області D, причому

3°. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегровані в області D, то і добуток цих функцій інтегрується в D.

4°. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) обидві інтегровані в області Dі всюди в цій галузі f(x, y) ≤ g(x, y), то

5°. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області D, те й функція | f(x, y)| інтегрована в області D, причому

(Звичайно, з інтегрованості | f(x, y)| в Dне випливає інтегрованість f(x, y) в D.)

6°. Теорема про середнє значення. Якщо обидві функції f(x, y) та g(x, y) інтегровані в області D, функція g(x, y) невід'ємна (непозитивна) всюди в цій галузі, Mі m- точна верхня та точна нижня грані функції f(x, y) в області D, то знайдеться число μ , що задовольняє нерівності m ≤ μ ≤ Mі таке, що справедлива формула

Зокрема, якщо функція f(x, y) безперервна в D, а область D зв'язкова, то в цій галузі знайдеться така точка ( ξ , η ), що μ = f(ξ , η ), і формула (11) набуває вигляду

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

лекція 1

Подвійні інтеграли.Визначення подвійного інтеграла та його властивості. Повторні інтеграли. Зведення подвійних інтегралів до повторних. Розміщення меж інтегрування. Обчислення подвійних інтегралів у декартовій системі координат.

Подвійний інтеграл є узагальнення поняття певного інтеграла у разі функції двох змінних. В цьому випадку замість відрізка інтегрування буде присутня якась плоска фігура.

Нехай D- Деяка замкнута обмежена область, а f(x,y) – довільна функція, визначена та обмежена у цій галузі. Припускатимемо, що межі області Dскладаються з кінцевого числа кривих, заданих рівняннямивиду y=f(x) або x= g ( y), де f(x) та g(y) – безперервні функції.

Розіб'ємо область Dдовільним чином на nчастин. Площа i-ї ділянки позначимо символом D s i. На кожній ділянці довільно виберемо якусь точку P i ,і нехай вона в будь-якій фіксованій декартовій системі має координати ( x i ,y i). Складемо інтегральну сумудля функції f(x,y) по області D,для цього знайдемо значення функції у всіх точках P i, помножимо їх на площі відповідних ділянок Ds iі підсумуємо всі отримані результати:

Назвемо діаметром diam(G) області Gнайбільша відстань між граничними точками цієї області.

Подвійним інтегралом функції f(x,y) по області D називається межа, до якої прагне послідовність інтегральних сум (1.1) при необмеженому збільшенні числа розбиття n (при цьому). Це записують так

Зауважимо, що, взагалі кажучи, інтегральна сума для заданої функції та заданої області інтегрування залежить від способу розбиття області Dта вибору точок P i. Проте якщо подвійний інтеграл існує, це означає, що межа відповідних інтегральних сум не залежить від зазначених чинників. Для того, щоб подвійний інтеграл існував(або, як кажуть, щоб функція f(x,y) була інтегрованою в області D), достатньо щоб підінтегральна функція була безперервнийу заданій галузі інтегрування.

Нехай функція f(x,y) інтегрована в області D. Оскільки межа відповідних інтегральних сум для таких функцій не залежить від способу розбиття області інтегрування, розбиття можна проводити за допомогою вертикальних і горизонтальних ліній. Тоді більшість ділянок області Dматиме прямокутний вигляд, площа яких дорівнює D s i=D x i D y i. Тому диференціал площі можна записати як ds=dxdy. Отже, у декартовій системі координат подвійні інтегралиможна записувати у вигляді

Зауваження. Якщо підінтегральна функція f(x,y)º1, то подвійний інтеграл дорівнюватиме площі області інтегрування:

Зазначимо, що подвійні інтеграли мають такі ж властивості, що і певні інтеграли. Зазначимо деякі з них.

Властивості подвійних інтегралів.

1 0 .Лінійна властивість. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:

і постійний множник можна виносити за знак інтегралу:

2 0 .Адитивна властивість. Якщо область інтегрування D розбити на дві частини, то подвійний інтеграл дорівнюватиме сумі інтегралів по кожній цій частині:

3 0 .Теорема про середнє. Якщо функція f( x,y)безперервна в області D, то в цій галузі знайдеться така точка(x, h) , що:

Далі постає питання: як обчислюються подвійні інтеграли? Його можна вирахувати приблизно, з цією метою це розроблено ефективні методискладання відповідних інтегральних сум, які потім обчислюються чисельно з допомогою ЕОМ. При аналітичному обчисленні подвійних інтегралів їх зводять до двох певних інтегралів.

Подвійні інтеграли для чайників

Цей урок відкриває велику тему кратних інтегралів, із якими студенти зазвичай зіштовхуються другого курсі. Подвійними та потрійними інтеграламиможна залякати обивателя не гірше, ніж диференціальними рівняннямитому відразу ж розберемося з питанням: складно чи ні? Звичайно, деяким буде складно, і, якщо чесно, я трохи злукавив з назвою статті – для того, щоб навчитися вирішувати подвійні інтеграли, необхідно мати деякі навички. По-перше, якщо йдеться про інтеграли, то, очевидно, доведеться інтегрувати. Логічно. Отже, для освоєння прикладів потрібно вміти знаходити невизначені інтегралита обчислювати певні інтегралихоч би на середньому рівні. Хороша новина полягає в тому, що власними силами інтеграли в більшості випадків досить прості.

Кому доведеться туго? Зрозуміла справа. Тим, хто багато пив пиво протягом перших семестрів. Однак нормальних студентів теж обнадій – на сайті є всі матеріали, щоб заповнити прогалини або непорозуміння. Просто вам доведеться витратити більше часу. Посилання на теми, які слід вивчити або повторити, додаватимуться під час статті.

На вступному уроці поетапно та докладно будуть розібрані наступні базові моменти:

– Поняття подвійного інтегралу

– Область інтегрування. Порядок обходу області інтегрування. Як змінити порядок обходу?

Після того, як ви ДОБРО зрозумієте всі ази, можна буде перейти до статті Як визначити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Крім того, існує поширене завдання про обчисленні подвійного інтеграла в полярних координатахта типовий додаток про знаходження центру тяжкості плоскої обмеженої фігури.

Почнемо з нагального питання – що це таке?

Поняття подвійного інтегралу

Подвійний інтеграл у загальному вигляді записується так:

Розбираємось у термінах та позначеннях:
- Значок подвійного інтеграла;
- Область інтегрування (плоска фігура);
- Підінтегральна функція двох змінних, часто вона досить проста;
- Значки диференціалів.

Що означає обчислити подвійний інтеграл?

Обчислити подвійний інтеграл – це означає знайти КІЛО. Найпростіше число:

І вкрай бажано знайти його правильно =)

Результат (число) може бути негативним. І нуль теж запросто може вийти. Спеціально зупинився на даний момент, оскільки чимало студентів занепокоєні, коли відповідь виходить «шото наче дивна».

Багато хто пам'ятає, що «звичайний» визначений інтеграл- Теж число. Тут так само. У подвійного інтеграла існує і відмінний геометричний зміст, Але про це пізніше, усьому свій час.

Як визначити подвійний інтеграл?

Для того, щоб обчислити подвійний інтеграл, його необхідно звести до так званих повторним інтегралам. Зробити це можна двома способами. Найбільш поширений наступний спосіб:

Замість питань питання необхідно розставити межі інтегрування. Причому поодинокі знаки питання зовнішнього інтеграла – це числа, а подвійні знаки питання у внутрішнього інтеграла – це функціїоднієї змінної , що залежить від «ікс».

Звідки взяти межі інтегрування?Вони залежить від цього, яка за умови завдання дана область . Область є звичайною плоскою фігурою, з якою ви неодноразово стикалися, наприклад, при обчисленні площі плоскої фігуриабо обчисленні об'єму тіла обертання. Незабаром ви дізнаєтеся, як правильно розставляти межі інтегрування.

Після того, як перехід до повторних інтегралів здійснено, слід безпосередньо обчислення: спочатку береться внутрішній інтеграл, а потім – зовнішній. Один за одним. Звідси назва – повторні інтеграли.

Грубо кажучи, завдання зводиться до обчислення двох певних інтегралів. Як бачите все не так складно і страшно, і якщо ви впоралися із «звичайним» певним інтегралом, що заважає розібратися з двома інтегралами?!

Другий спосіб переходу до повторних інтегралів зустрічається дещо рідше:

Що змінилося? Змінився порядок інтегрування: тепер внутрішній інтеграл береться за «ікс», а зовнішній – за «ігроком». Межі інтегрування, позначені зірочками – будуть іншими!Поодинокі зірочки зовнішнього інтегралу – це числа, а подвійні зірочки внутрішнього інтеграла – це зворотні функції, що залежать від "ігрок".

Який би ми не вибрали спосіб переходу до повторних інтегралів, остаточна відповідь обов'язково вийде та сама:

Будь ласка, запам'ятайте цю важливу властивість, яке можна використовувати, зокрема, для перевірки рішення.

Алгоритм рішення подвійного інтегралу:

Систематизуємо інформацію: в якому порядку потрібно вирішувати розглянуте завдання?

1) Необхідно виконати креслення. Без креслення завдання не вирішити. Точніше, вирішувати вона вирішується, але це буде схоже на гру в шахи наосліп. На кресленні слід зобразити область, яка є плоскою фігурою. Найчастіше фігура нехитра і обмежена якимись прямими, параболами, гіперболами і т.д. Грамотну та швидку техніку побудови креслень можна освоїти на уроках Графіки та основні властивості елементарних функцій, геометричні перетворення графіків . Отже, перший етап – виконати креслення.

2) Розставити межі інтегрування та перейти до повторних інтегралів.

3) Взяти внутрішній інтеграл

4) Взяти зовнішній інтеграл та отримати відповідь (число).

Область інтегрування. Порядок обходу області інтегрування.
Як змінити порядок обходу?

У цьому параграфі ми розглянемо найважливіше питання – як перейти до повторних інтегралів та правильно розставити межі інтегрування. Як було сказано вище, зробити це можна так:

І так:

На практиці це начебто нескладне завдання викликає найбільші труднощі, і студенти часто плутаються у розташуванні меж інтегрування. Розглянемо конкретний приклад:

Приклад 1

Рішення:Зобразимо область інтегрування на кресленні:

Звичайна плоска фігура та нічого особливого.

Тепер я видам кожному з вас знаряддя праці - палицю-копалку лазерну указку. Завдання полягає в тому, щоб просканувати променем лазера кожну точку заштрихованої області:

Промінь лазера проходить область інтегрування строго знизу нагору, тобто вказівку ви ЗАВЖДИ тримаєте нижчеплоских фігур. Промінь входить в область через вісь абсцис, яка задається рівнянням і виходить із області через параболу (червона стрілка). Щоб просвітити всю область, вам потрібно суворо зліва направопровести вказівкою вздовж осі від 0 до 1 (зелена стрілка).

Отже, що вийшло:
«Ігрек» змінюється від 0 до ;
"ікс" змінюється від 0 до 1.

У задачах вищесказане записують у вигляді нерівностей:

Дані нерівності називають порядком обходу галузі інтегруванняабо просто порядком інтегрування

Після того, як ми розібралися з порядком обходу, можна перейти від подвійного інтеграла до повторних інтегралів:

Половина задачі вирішена. Тепер необхідно перейти до повторних інтегралів другим способом. Для цього слід знайти зворотні функції. Хто ознайомився з другим параграфом уроку Об'єм тіла обертаннятому буде легше. Дивимося на функції, якими задається область . Якщо дуже просто, то перейти до зворотних функцій, це означає висловити «ікси» через «ігреки». Єдиною функцією, де є і «ікс» та «ігрок», є.

Якщо , то , причому:
зворотна функція задає праву гілку параболи;
зворотна функція задає ліву гілку параболи.

Нерідко виникають сумніви, ось, наприклад, функція визначає ліву чи праву гілку параболи? Сумніви розвіяти дуже просто: візьміть якусь точку параболи, наприклад, (з правої гілки) і підставте її координати в будь-яке рівняння, наприклад, те саме рівняння :

Отримано правильну рівність, отже, функція визначає саме праву гілку параболи, а чи не ліву.

Більш того, цю перевірку(подумки або на чернетці) бажано проводити завждипісля того, як ви перейшли до зворотних функцій. Часу займе нічого, а від помилки вбереже напевно!

Обходимо область інтегрування другим способом:

Тепер лазерну указку тримаємо ліворучвід галузі інтегрування. Промінь лазера проходить область суворо зліва направо. У даному випадкувін входить в область через гілку параболи і виходить із області через пряму, яка задана рівнянням (червона стрілка). Щоб просканувати лазером всю область, потрібно провести вказівкою вздовж осі строго знизу нагорувід 0 до 1 (зелена стрілка).

Таким чином:
"ікс" змінюється від до 1;
"Ігрек" змінюється від 0 до 1.

Порядок обходу області слід записати як нерівностей:

Отже, перехід до повторних інтегралів такий:

Відповідьможна записати так:

Ще раз нагадую, що остаточний результат обчислень не залежить від того, який порядок обходу області ми вибрали (тому встановлено рівність). Але до кінцевого результату ще далеко, зараз наше завдання – лише правильно розставити межі інтегрування.

Приклад 2

Даний подвійний інтеграл з областю інтегрування. Перейти до повторних інтегралів та розставити межі інтегрування двома способами.

Це приклад самостійного рішення. Грамотно побудуйте креслення та суворо дотримуйтесь напрямків обходу(звідки та куди світити лазерною указкою). Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Найчастіше типове завданнязустрічається трохи в іншому формулюванні:

Приклад 3

Побудувати область інтегрування та

Рішення:За умовою дано перший спосіб обходу області. Рішення знову починається з креслення. Тут область не лежить на блюдечку з блакитною облямівкою, але побудувати її не складає особливих труднощів. Спочатку «знімаємо» функції з меж інтегрування: , . Функція, зрозуміло, задає пряму, але що задає функція? Давайте її трохи перетворимо:
- коло з центром на початку координат радіуса 2. Функція ж задає верхню півколо (не забуваємо, що якщо є сумніви, то завжди можна підставити точку, що лежить на верхній або нижній півкола).

Дивимося межі зовнішнього інтеграла: «ікс» змінюється від –2 до 0.

Виконаємо креслення:

Для наочності я вказав стрілками перший спосіб обходу області, що відповідає повторним інтегралам умови: .

Тепер потрібно змінити порядок обходу області, для цього перейдемо до зворотних функцій (виразимо «ікси» через «ігреки»):

Нещодавно ми перетворили функцію до рівняння кола, далі виражаємо «ікс»:
В результаті отримуємо дві зворотні функції:
- Визначає праву півколо;
- Визначає ліву півколо.
Знову ж таки, якщо виникають сумніви, візьміть будь-яку точку кола і з'ясуйте, де ліво, а де право.

Змінимо порядок обходу області:

Згідно з другим способом обходу, лазерний промінь входитьв область ліворуччерез ліву півколо і виходить праворуччерез пряму (червона стрілка). В той же час лазерна вказівкапроводиться вздовж осі ординат знизу вгорувід 0 до 2 (зелена стрілка).

Таким чином, порядок обходу області:

Загалом можна записати відповідь:

Приклад 4

Це приклад самостійного рішення. Приклад не дуже складний, але зауважте, що порядок обходу спочатку заданий другим способом! Що робити в таких випадках? По-перше, виникає труднощі з кресленням, оскільки креслити графік зворотної функції на зразок незвично навіть мені самому. Я рекомендую наступний порядок дій: спочатку отримуємо «звичайну» функцію (виражаємо «гравець» через «ікс»). Далі будуємо графік цієї «звичайної» функції (завжди можна побудувати хоча б крапково). Аналогічно поводимося з більш простою лінійною функцією: висловлюємо «гравець» і проводимо пряму.

Аналізуємо вихідні межі інтегрування: входимо зліва область через і виходимо через . При цьому всі справи відбуваються в «ігрекової» смузі від -1 до 0. Після того, як ви визначили на кресленні область інтегрування, змінити порядок обходу не складе особливих труднощів. Зразок оформлення рішення наприкінці уроку.

Схожий приклад я ще розберу трохи пізніше.

Навіть якщо ви все добре зрозуміли, будь ласка, не поспішайте переходити безпосередньо до обчислень подвійного інтегралу. Порядок обходу - річ підступна, і дуже важливо трохи набити руку на цьому завданні, тим більше, я ще не все розглянув!

У попередніх чотирьох прикладах область інтегрування знаходилася цілком у 1-й, 2-й, 3-й та 4-й координатних чвертях. Чи завжди це так? Ні, звичайно.

Приклад 5

Змінити порядок інтегрування

Рішення:Виконаємо креслення, при цьому графік функції фактично є кубічною параболою, просто вона «лежать на боці»:

Порядок обходу області, що відповідає повторним інтегралам , позначені стрілками. Зверніть увагу, що в ході виконання креслення промалювалася ще одна обмежена фігура (ліворуч від осі ординат). Тому слід бути уважним щодо області інтегрування – за область можна помилково прийняти не ту фігуру.

Перейдемо до зворотних функцій:
– потрібна нам права гілка параболи;

Змінимо порядок обходу області. Як ви пам'ятаєте, при другому способі обходу область потрібно сканувати лазерним променем зліва направо. Але тут спостерігається цікава річ:

Як чинити в подібних випадках? У таких випадках слід розділити область інтегрування на дві частини і для кожної частини скласти свої повторні інтеграли:

1) Якщо «гравець» змінюється від –1 до 0 (зелена стрілка), то промінь входить у область через кубічну параболу і виходить через пряму (червона стрілка). Тому порядок обходу області буде таким:

2) Якщо «гравець» змінюється від 0 до 1 (коричнева стрілка), то промінь входить в область через гілку параболи і виходить через ту саму пряму (малинова стрілка). Отже, порядок обходу області буде таким:

І відповідні повторні інтеграли:

У певних і кратних інтегралів є дуже зручна властивість адитивностітобто їх можна скласти, що в даному випадку і слід зробити:
- А ось і наш обхід області другим способом у вигляді суми двох інтегралів.

Відповідьзаписуємо так:

Який порядок обходу вигідніший? Звичайно той, який був дано в умові завдання – обчислень буде вдвічі менше!

Приклад 6

Змінити порядок інтегрування

Це приклад самостійного рішення. У ньому присутні півкола, розбірки з якими були докладно розглянуті в Прикладі 3. Зразок оформлення рішення наприкінці уроку.

А зараз обіцяне завдання, коли спочатку заданий другий спосіб обходу області:

Приклад 7

Змінити порядок інтегрування

Рішення:Коли порядок обходу заданий другим способом, перед побудовою креслення доцільно перейти до «звичайним» функцій. У цьому прикладі є два пацієнти для перетворення: і .
З лінійною функцією все просто:

Графік функції є параболу з претензією на канонічність.

Виразимо «ігрок» через «ікс»:

Отримуємо дві гілки параболи: і . Яку з них вибрати? Найпростіше відразу виконати креслення. І навіть якщо ви міцно забули матеріал аналітичної геометрії про параболу, то все одно обидві гілки можна побудувати крапково:

Ще раз звертаю увагу на той факт, що на даному кресленні вийшло кілька плоских фігур і дуже важливо вибрати потрібну фігуру! У виборі фігури, що шукається, якраз допоможуть межі інтегрування вихідних інтегралів:
, при цьому не забувайте, що зворотна функція задає всюпараболу.

Стрілки, якими позначено обхід фігури, точно відповідають межам інтегрування інтегралів .

Досить швидко ви навчитеся проводити такий аналіз у думках і знаходити потрібну область інтегрування.

Коли фігура знайдена, заключна частина рішення загалом дуже проста, змінюємо порядок обходу області:

Зворотні функції вже знайдені, і необхідний порядок обходу області:

Відповідь:

Заключний приклад параграфа для самостійного розв'язання:

Приклад 8

Змінити порядок інтегрування

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Починаємо розглядати власне процес обчислення подвійного інтеграла та знайомитися з його геометричним змістом.

Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі плоскої фігури (області інтегрування). Це найпростіший вид подвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці: .

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді. Зараз ви здивуєтеся, наскільки все дійсно просто! Обчислимо площу плоскої фігури , обмеженою лініями. Для певності вважаємо, що у відрізку . Площа цієї фігури чисельно дорівнює:

Зобразимо область на кресленні:

Виберемо перший спосіб обходу області:

Таким чином:

І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім зовнішній інтеграл. Даний спосіб настійно рекомендую початківцям у темі чайникам.

1) Обчислимо внутрішній інтеграл, при цьому інтегрування проводиться за змінною «гравець»:

Невизначений інтегралтут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією різницею, що межами інтегрування не числа, а функції. Спочатку підставили в «ігрок» (первоподібну функцію) верхню межу, потім нижню межу

2) Результат, отриманий у першому пункті, необхідно підставити у зовнішній інтеграл:

Більш компактний запис всього рішення виглядає так:

Отримана формула – це точно робоча формула для обчислення площі плоскої фігури за допомогою «звичайного» певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою певного інтегралу, Там вона на кожному кроці!

Тобто, завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтегралу мало чим відрізняєтьсявід завдання знаходження площі за допомогою певного інтегралу!Фактично це одне й теж!

Відповідно ніяких труднощів виникнути не повинно! Я розгляну небагато прикладів, оскільки ви, по суті, неодноразово стикалися з цим завданням.

Приклад 9

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями ,

Рішення:Зобразимо область на кресленні:

Площу фігури обчислимо за допомогою подвійного інтегралу за формулою:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Тут і далі я не зупинятимусь на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.

Таким чином:

Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу дотримуватимуся і я:

1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:

2) Результат, отриманий першому кроці, підставляємо у зовнішній інтеграл:

Пункт 2 – фактично перебування площі плоскої постаті з допомогою певного інтеграла.

Відповідь:

Ось таке дурне і наївне завдання.

Цікавий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 10

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями , ,

Зразок чистового оформлення рішення наприкінці уроку.

У Прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу та обчислити площі другим способом. Якщо не припуститеся помилки, то, природно, вийдуть ті самі значення площ.

1.1 Визначення подвійного інтегралу

1.2 Властивості подвійного інтегралу

Властивості подвійного інтеграла (та його висновок) аналогічні відповідним властивостям одноразового певного інтеграла.

1°. Адитивність. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області D і якщо область D за допомогою кривої Г площі нуль розбивається на дві зв'язкові і не мають спільних внутрішніх точок області D 1 і D 2 то функція f(x, y) інтегрована в кожній з областей D 1 і D 2 , причому

2 °. Лінійна властивість. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегруються в ділянці D, а? і? - будь-які речові числа, то функція [? · f (x, y) + ? · g (x, y)] також інтегрована в області D, причому

3 °. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегруються в області D, то і добуток цих функцій інтегрується в D.

4 °. Якщо функції f(x, y) і g(x, y) обидві інтегруються в області D і скрізь у цій галузі f(x, y)? g(x, y), то

5 °. Якщо функція f(x, y) інтегрована області D, то й функція |f(x, y)| інтегрована в області D, причому

(Звичайно, з інтегрованості | f (x, y) | D не випливає інтегрованість f (x, y) в D.)

6 °. Теорема про середнє значення. Якщо обидві функції f(x, y) і g(x, y) інтегруються в області D, функція g(x, y) невід'ємна (непозитивна) усюди в цій галузі, M і m - точна верхня та точна нижня грані функції f( x, y) в області D, то знайдеться число?, Що задовольняє нерівність m? ? ? M і таке, що справедлива формула

Зокрема, якщо функція f(x, y) безперервна D, а область D зв'язкова, то в цій області знайдеться така точка (?, ?), Що? = f(?, ?), і формула набуває вигляду

7 °. Важлива геометрична властивість. дорівнює площі області D

Нехай у просторі дано тіло T (рис. 2.1), обмежене знизу областю D , зверху - графіком безперервної та невід'ємної функції) z = f (x, y ,) яка визначена в ділянці D , з боків - циліндричною поверхнею, спрямовуючою якої є межа області D, а утворюють паралельні осі Оz. Тіло такого виду називається циліндричним тілом.

1.3 Геометрична інтерпретація подвійного інтегралу

1.4 Поняття подвійного інтеграла прямокутника

Нехай довільна функція f(x, y) визначена всюди прямокутнику R = ? (див. рис. 1).

Розіб'ємо сегмент a? x? b на n часткових сегментів за допомогою точок a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Цьому розбиття за допомогою прямих, паралельних осях Ox і Oy відповідає розбиття прямокутника R на n · p часткових прямокутників R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Вказане розбиття прямокутника R позначимо символом T. Надалі у цьому розділі під терміном "прямокутник" розумітимемо прямокутник зі сторонами, паралельними координатним осям.

На кожному частковому прямокутнику Rkl виберемо довільну точку (?k,?l). Поклавши ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, позначимо через ?R kl площа прямокутника R kl . Вочевидь, ?R kl = ?x k ?y l .

називається інтегральною сумою функції f(x, y), що відповідає даному розбиття T прямокутника R і даному вибору проміжних точок (? k , l) на часткових прямокутниках розбиття T.

Діагональ називатимемо діаметром прямокутника R kl . Символом? позначимо найбільший із діаметрів всіх часткових прямокутників R kl .

Число I називається межею інтегральних сум (1) при? > 0, якщо будь-якого позитивного числа? можна вказати таке додатне число?, Що при?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I |< ?.

Функція f(x, y) називається інтегрованою (за Ріманом) на прямокутнику R, якщо існує кінцева межа I інтегральних сум цієї функції при? >0.

Зазначена межа I називається подвійним інтегралом від функції f(x, y) прямокутником R і позначається одним з наступних символів:

Зауваження. Так само, як і для одноразового певного інтеграла, встановлюється, що будь-яка інтегрована на прямокутнику R функція f(x, y) є обмеженою на цьому прямокутнику.

Це дає підставу розглядати надалі лише обмежені функції f(x, y).

Подвійний інтеграл має властивості, аналогічні властивостям певного інтеграла. Відзначимо лише основні з них:

1. Якщо функції та
інтегровані в області
, то інтегровані в ній їх сума та різницю, причому

2. Постійний множник можна виносити за знак подвійного інтегралу:

3. Якщо
інтегрована в області
, а ця область розбита на дві області, що не перетинаються і
, то

.

4. Якщо
і
інтегровані в області
, в якій

, то

.

5. Якщо в області
функція
задовольняє нерівностям


де
і
деякі дійсні числа, то

,

де – площа області
.

Докази цих властивостей аналогічні доказу відповідних теорем для певного інтегралу.

Обчислення подвійного інтеграла у прямокутних декартових координатах

Нехай потрібно обчислити подвійний інтеграл
, де область - Прямокутник, що визначається нерівностями ,.

Припустимо, що
безперервна в цьому прямокутнику і набуває в ньому невід'ємних значень, тоді даний подвійний інтеграл дорівнює об'єму тіла з основою , обмеженого зверху поверхнею
, з боків - площинами
,
,
,
:

.

З іншого боку, обсяг такої фігури можна обчислити за допомогою певного інтегралу:

,

де
- площа перерізу даного тіла площиною, що проходить через точку та перпендикулярної до осі
. Оскільки аналізований переріз є криволінійною трапецією
, обмеженою зверху графіком функції
, де фіксовано, а , то

.

З цих трьох рівностей випливає, що

.

Отже, обчислення цього подвійного інтеграла звелося обчислення двох певних інтегралів; при обчисленні "внутрішнього інтеграла" (записаного в дужках) вважається незмінним.

Зауваження.Можна довести, що остання формула вірна і при
, а також у випадку, коли функція
змінює знак у вказаному прямокутнику.

Права частина формули називається повторним інтегралом і позначається так:

.

Аналогічно можна показати, що

.

З вище сказаного випливає, що

.

Остання рівність означає, що результат інтегрування залежить від порядку інтегрування.

Щоб розглянути загальніший випадок, введемо поняття стандартної області. Стандартною (або правильною) областю в напрямку даної осі називається така область, для якої будь-яка пряма, паралельна до цієї осі перетинає межу області не більше, ніж у двох точках. Інакше кажучи, перетинає саму область та її кордон лише з одному відрізку прямий.

Припустимо, що обмежена область

та обмежена зверху графіком функції
, знизу - графіком функції
. Нехай R ( ,) - мінімальний прямокутник, в якому укладена ця область
.

Нехай в області
визначена та безперервна функція
. Введемо нову функцію:

,

тоді відповідно до властивостей подвійного інтеграла

.

І, отже,

.

Оскільки відрізок
повністю належить області
то, отже,
при


, а якщо лежить поза цим відрізком, то
.

При фіксованому можемо записати:

.

Оскільки перший і третій інтеграли у правій частині дорівнюють нулю, то

.

Отже,

.

З чого отримуємо формулу для обчислення подвійного інтеграла по області стандартної щодо осі
шляхом зведення до повторного інтегралу:

.

Якщо область
є стандартною у напрямку осі
та визначається нерівностями ,

, аналогічно можна довести, що

.

Зауваження.Для області
, стандартною у напрямку осей
і
, будуть виконані обидві останні рівністі, тому

За цією формулою здійснюється зміна порядку інтегрування під час обчислення відповідного подвійного інтеграла.

Зауваження.Якщо область інтегрування перестав бути стандартної (правильної) у бік обох осей координат, її розбивають у сумі стандартних областей і представляють інтеграл як суми інтегралів з цих областях.

приклад. Обчислити подвійний інтеграл
по області
, обмеженою лініями:
,
,
.

Рішення.

Ця область є стандартною як щодо осі
, так і щодо осі
.

Обчислимо інтеграл, вважаючи область стандартної щодо осі
.

.

Зауваження.Якщо обчислити інтеграл, вважаючи область стандартною щодо осі
, ми отримаємо той самий результат:

.

приклад. Обчислити подвійний інтеграл
по області
, обмеженою лініями:
,
,
.

Рішення.Зобразимо на малюнку задану область інтегрування.

Ця область є стандартною щодо осі
.

.

приклад. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі:

Рішення.Зобразимо на малюнку область інтегрування.

З меж інтегрування знаходимо лінії, що обмежують область інтегрування: ,
,
,
. Для зміни порядку інтегрування висловимо як функції від і знайдемо точки перетину:

,
,
.

Так як на одному з інтервалів функція виражена двома аналітичними виразами, то область інтегрування необхідно розбити на дві області, а повторний інтеграл подати як суму двох інтегралів.

.