Подвійний інтеграл має властивості, аналогічні властивостям певного інтеграла. Відзначимо лише основні з них:

1. Якщо функції та
інтегровані в області
, то інтегровані в ній їх сума та різницю, причому

2. Постійний множник можна виносити за знак подвійного інтегралу:

3. Якщо
інтегрована в області
, а ця область розбита на дві області, що не перетинаються і
, то

.

4. Якщо
і
інтегровані в області
, в якій

, то

.

5. Якщо в області
функція
задовольняє нерівностям


де
і
деякі дійсні числа, то

,

де – площа області
.

Докази цих властивостей аналогічні доказу відповідних теорем для певного інтегралу.

Обчислення подвійного інтеграла у прямокутних декартових координатах

Нехай потрібно обчислити подвійний інтеграл
, де область - Прямокутник, що визначається нерівностями ,.

Припустимо, що
безперервна в цьому прямокутнику і набуває в ньому невід'ємних значень, тоді даний подвійний інтеграл дорівнює об'єму тіла з основою , обмеженого зверху поверхнею
, з боків - площинами
,
,
,
:

.

З іншого боку, обсяг такої фігури можна обчислити за допомогою певного інтегралу:

,

де
- площа перерізу даного тіла площиною, що проходить через точку та перпендикулярної до осі
. Оскільки аналізований переріз є криволінійною трапецією
, обмеженою зверху графіком функції
, де фіксовано, а , то

.

З цих трьох рівностей випливає, що

.

Отже, обчислення цього подвійного інтеграла звелося обчислення двох певних інтегралів; при обчисленні "внутрішнього інтеграла" (записаного в дужках) вважається незмінним.

Зауваження.Можна довести, що остання формула вірна і при
, а також у випадку, коли функція
змінює знак у вказаному прямокутнику.

Права частина формули називається повторним інтегралом і позначається так:

.

Аналогічно можна показати, що

.

З вище сказаного випливає, що

.

Остання рівність означає, що результат інтегрування залежить від порядку інтегрування.

Щоб розглянути загальніший випадок, введемо поняття стандартної області. Стандартною (або правильною) областю в напрямку даної осі називається така область, для якої будь-яка пряма, паралельна до цієї осі перетинає межу області не більше, ніж у двох точках. Інакше кажучи, перетинає саму область та її кордон лише з одному відрізку прямий.

Припустимо, що обмежена область

та обмежена зверху графіком функції
, знизу - графіком функції
. Нехай R ( ,) - мінімальний прямокутник, в якому укладена ця область
.

Нехай в області
визначена та безперервна функція
. Введемо нову функцію:

,

тоді відповідно до властивостей подвійного інтеграла

.

І, отже,

.

Оскільки відрізок
повністю належить області
то, отже,
при


, а якщо лежить поза цим відрізком, то
.

При фіксованому можемо записати:

.

Оскільки перший і третій інтеграли у правій частині дорівнюють нулю, то

.

Отже,

.

З чого отримуємо формулу для обчислення подвійного інтеграла по області стандартної щодо осі
шляхом зведення до повторного інтегралу:

.

Якщо область
є стандартною у напрямку осі
та визначається нерівностями ,

, аналогічно можна довести, що

.

Зауваження.Для області
, стандартною у напрямку осей
і
, будуть виконані обидві останні рівністі, тому

За цією формулою здійснюється зміна порядку інтегрування під час обчислення відповідного подвійного інтеграла.

Зауваження.Якщо область інтегрування перестав бути стандартної (правильної) у бік обох осей координат, її розбивають у сумі стандартних областей і представляють інтеграл як суми інтегралів з цих областях.

приклад. Обчислити подвійний інтеграл
по області
, обмеженою лініями:
,
,
.

Рішення.

Ця область є стандартною як щодо осі
, так і щодо осі
.

Обчислимо інтеграл, вважаючи область стандартної щодо осі
.

.

Зауваження.Якщо обчислити інтеграл, вважаючи область стандартною щодо осі
, ми отримаємо той самий результат:

.

приклад. Обчислити подвійний інтеграл
по області
, обмеженою лініями:
,
,
.

Рішення.Зобразимо на малюнку задану область інтегрування.

Ця область є стандартною щодо осі
.

.

приклад. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі:

Рішення.Зобразимо на малюнку область інтегрування.

З меж інтегрування знаходимо лінії, що обмежують область інтегрування: ,
,
,
. Для зміни порядку інтегрування висловимо як функції від і знайдемо точки перетину:

,
,
.

Так як на одному з інтервалів функція виражена двома аналітичними виразами, то область інтегрування необхідно розбити на дві області, а повторний інтеграл подати як суму двох інтегралів.

.

1.1 Визначення подвійного інтегралу

1.2 Властивості подвійного інтегралу

Властивості подвійного інтеграла (та його висновок) аналогічні відповідним властивостям одноразового певного інтеграла.

1°. Адитивність. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області D і якщо область D за допомогою кривої Г площі нуль розбивається на дві зв'язкові і не мають спільних внутрішніх точок області D 1 і D 2 то функція f(x, y) інтегрована в кожній з областей D 1 і D 2 , причому

2 °. Лінійна властивість. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегруються в ділянці D, а? і? - будь-які речові числа, то функція [? · f (x, y) + ? · g (x, y)] також інтегрована в області D, причому

3 °. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегруються в області D, то і добуток цих функцій інтегрується в D.

4 °. Якщо функції f(x, y) і g(x, y) обидві інтегруються в області D і скрізь у цій галузі f(x, y)? g(x, y), то

5 °. Якщо функція f(x, y) інтегрована області D, то й функція |f(x, y)| інтегрована в області D, причому

(Звичайно, з інтегрованості | f (x, y) | D не випливає інтегрованість f (x, y) в D.)

6 °. Теорема про середнє значення. Якщо обидві функції f(x, y) і g(x, y) інтегруються в області D, функція g(x, y) невід'ємна (непозитивна) усюди в цій галузі, M і m - точна верхня та точна нижня грані функції f( x, y) в області D, то знайдеться число?, Що задовольняє нерівність m? ? ? M і таке, що справедлива формула

Зокрема, якщо функція f(x, y) безперервна D, а область D зв'язкова, то в цій області знайдеться така точка (?, ?), Що? = f(?, ?), і формула набуває вигляду

7 °. Важлива геометрична властивість. дорівнює площі області D

Нехай у просторі дано тіло T (рис. 2.1), обмежене знизу областю D , зверху - графіком безперервної та невід'ємної функції) z = f (x, y ,) яка визначена в ділянці D , з боків - циліндричною поверхнею, спрямовуючою якої є межа області D, а утворюють паралельні осі Оz. Тіло такого виду називається циліндричним тілом.

1.3 Геометрична інтерпретація подвійного інтегралу

1.4 Поняття подвійного інтеграла прямокутника

Нехай довільна функція f(x, y) визначена всюди прямокутнику R = ? (див. рис. 1).

Розіб'ємо сегмент a? x? b на n часткових сегментів за допомогою точок a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Цьому розбиття за допомогою прямих, паралельних осям Ox і Oy відповідає розбиття прямокутника R на n · p часткових прямокутників R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Вказане розбиття прямокутника R позначимо символом T. Надалі у цьому розділі під терміном "прямокутник" розумітимемо прямокутник зі сторонами, паралельними координатним осям.

На кожному частковому прямокутнику Rkl виберемо довільну точку (?k,?l). Поклавши ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, позначимо через ?R kl площа прямокутника R kl . Вочевидь, ?R kl = ?x k ?y l .

називається інтегральною сумою функції f(x, y), що відповідає даному розбиття T прямокутника R і даному вибору проміжних точок (? k , l) на часткових прямокутниках розбиття T.

Діагональ називатимемо діаметром прямокутника R kl . Символом? позначимо найбільший із діаметрів всіх часткових прямокутників R kl .

Число I називається межею інтегральних сум (1) при? > 0, якщо будь-якого позитивного числа? можна вказати таке додатне число?, Що при?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I |< ?.

Функція f(x, y) називається інтегрованою (за Ріманом) на прямокутнику R, якщо існує кінцева межа I інтегральних сум цієї функції при? >0.

Зазначена межа I називається подвійним інтегралом від функції f(x, y) прямокутником R і позначається одним з наступних символів:

Зауваження. Так само, як і для одноразового певного інтеграла, встановлюється, що будь-яка інтегрована на прямокутнику R функція f(x, y) є обмеженою на цьому прямокутнику.

Це дає підставу розглядати надалі лише обмежені функції f(x, y).

Властивості подвійних інтегралів.

Частина властивостей подвійних інтегралів безпосередньо випливає з визначення цього поняття та властивостей інтегральних сум, а саме:

1. Якщо функція f(x, y)інтегрована в D, то kf(x, y)теж інтегрована у цій галузі, причому (24.4)

2. Якщо в області Dінтегровані функції f(x, y)і g(x, y), то в цій галузі інтегруються та функції f(x, y) ± g(x, y), і при цьому

3. Якщо для інтегрованих в області Dфункцій f(x, y)і g(x, y)виконується нерівність f(x, y)≤g(x, y), то

(24.6)

Доведемо ще кілька властивостей подвійного інтегралу:

4. Якщо область Dрозбита на дві області D 1 та D 2 без загальних внутрішніх точок та функція f(x, y)безперервна в області D, то

(24.7) Доведення . Інтегральну суму по області Dможна уявити у вигляді:

де розбиття області Dпроведено так, що межа між D 1 та D 2 складається з меж частин розбиття. Переходячи потім до межі при отримаємо рівність (24.7).

5. У разі інтегрованості на Dфункції f(x, y)у цій галузі інтегрована та функція | f(x, y) |, і має місце нерівність

(24.8)

Доведення.

звідки за допомогою граничного переходу при одержуємо нерівність (24.8)

6. де S D– площа області D.Доказ цього твердження отримаємо, підставляючи інтегральну суму f(x, y)≡ 0.

7. Якщо інтегрована в області Dфункція f(x, y)задовольняє нерівності

m ≤ f(x, y) ≤ M,

то (24.9)

Доведення.

Доказ проводиться граничним переходом із очевидної нерівності

Слідство.

Якщо поділити всі частини нерівності (24.9) на D, можна отримати так звану теорему про середнє:

Зокрема, за умови безперервності функції fв Dзнайдеться така точка цієї області ( х 0 , у 0), в якій f(х 0 , у 0) = μ , тобто

-

Ще одне формулювання теореми про середнє.

Геометричний змістподвійний інтеграл.

Розглянемо тіло V, обмежена частиною поверхні, що задається рівнянням z = f(x, y),проекцією Dцієї поверхні на площину хута бічною циліндричною поверхнею, отриманою з вертикальних утворюючих, що з'єднують точки межі поверхні з їх проекціями.

z = f (x, y)

V

y P i DРис.2.

Шукатимемо об'єм цього тіла як межу суми об'ємів циліндрів, основами яких є частини Δ S iобласті D, а висотами – відрізки завдовжки f(P i), де точки P iналежать Δ S i. Переходячи до межі при , отримаємо, що

(24.11)

тобто подвійний інтеграл є обсягом так званого циліндроїда, обмеженого зверху поверхнею z = f(x, y), а знизу – областю D.

Обчислення подвійного інтеграла шляхом зведення його до повторного.

Розглянемо область D, обмежену лініями x = a, x = b(a< b ), де φ 1 ( х) та φ 2 ( х) безперервні на [ a, b]. Тоді будь-яка пряма, паралельна координатній осі уі проходить через внутрішню точку області D, перетинає кордон області у двох точках: N 1 та N 2 (рис.1). Назвемо таку область правильноюв на-

управління осі О у. Аналогічно визначає-

y=φ 2 (x) ється область, правильна у напрямку

N 2 осі О х. Область, правильну в напрямі-

Нії обох координатних осей, будемо на-

Dзвати просто правильною. Наприклад,

правильна область зображено на рис.1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Нехай функція f(x, y)безперервна в області D. Розглянемо вираз

, (24.12)

зване дворазовим інтеграломвід функції f(x, y)по області D. Обчислимо спочатку внутрішній інтеграл (стоячий у дужках) по змінній у, вважаючи хпостійним. В результаті вийде безперервна функціявід х:

Отриману функцію проінтегруємо за хв межах від адо b. В результаті отримаємо число

Доведемо важливе властивість дворазового інтеграла.

Теорема 1. Якщо область D, правильна у напрямку у, розбита на дві області D 1 та D 2 прямий, паралельної осіПро уабо осі О х, то дворазовий інтеграл по області Dдорівнюватиме сумі таких же інтегралів по областях D 1 та D 2:

Доведення.

а) Нехай пряма х = срозбиває Dна D 1 та D 2 , правильні в напрямку у. Тоді

+

+

б) Нехай пряма y = hрозбиває Dна правильні у напрямку уобласті D 1 та D 2 (рис.2). Позначимо через M 1 (a 1 , h) та M 2 (b 1 , h) точки перетину прямої y = hз кордоном Lобласті D.

yОбласть D 1 обмежена безперервними лініями

y=φ 2 (x) 1) y = φ 1 (x);

D 2 2) кривий А 1 М 1 М 2 У, рівняння якої запишемо

h M 1 M 2 y = φ 1 *(x), де φ 1 *(х) = φ 2 (х) при а ≤ х ≤ а 1 та

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(х) = hпри а 1 ≤ х ≤ b 1 ;

3) прямими x = a, x = b.

Область D 2 обмежена лініями y = φ 1 *(x),

A у= φ 2 (х),а 1 ≤ х ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Застосуємо до внутрішнього інтегралу теорему про

розбиття проміжку інтегрування:

O a a 1 b 1 b

+

Подамо другий з отриманих інтегралів у вигляді суми:

+ + .

Оскільки φ 1 *(х) = φ 2 (х) при а ≤ х ≤ а 1 та b 1 ≤ x ≤ b, Перший і третій з отриманих інтегралів тотожно дорівнюють нулю. Отже,

I D = , тобто .

Основні властивості подвійного інтегралу

Властивості подвійного інтеграла (та його висновок) аналогічні відповідним властивостям одноразового певного інтеграла.

1°. Адитивність. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області Dі якщо область Dза допомогою кривої Гплощі нуль розбивається на дві зв'язкові та не мають загальних внутрішніх точок області D 1 та D 2 , то функція f(x, y) інтегрована в кожній з областей D 1 та D 2 , причому

2°. Лінійна властивість. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегровані в області D, а α і β - будь-які речові числа, то функція [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] також інтегрована в області D, причому

3°. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) інтегровані в області D, то і добуток цих функцій інтегрується в D.

4°. Якщо функції f(x, y) та g(x, y) обидві інтегровані в області Dі всюди в цій галузі f(x, y) ≤ g(x, y), то

5°. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області D, те й функція | f(x, y)| інтегрована в області D, причому

(Звичайно, з інтегрованості | f(x, y)| в Dне випливає інтегрованість f(x, y) в D.)

6°. Теорема про середнє значення. Якщо обидві функції f(x, y) та g(x, y) інтегровані в області D, функція g(x, y) невід'ємна (непозитивна) всюди в цій галузі, Mі m- точна верхня та точна нижня грані функції f(x, y) в області D, то знайдеться число μ , що задовольняє нерівності m ≤ μ ≤ Mі таке, що справедлива формула

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

лекція 1

Подвійні інтеграли.Визначення подвійного інтеграла та його властивості. Повторні інтеграли. Зведення подвійних інтегралів до повторних. Розміщення меж інтегрування. Обчислення подвійних інтегралів у декартовій системі координат.

Подвійний інтеграл є узагальнення поняття певного інтеграла у разі функції двох змінних. В цьому випадку замість відрізка інтегрування буде присутня якась плоска фігура.

Нехай D- Деяка замкнута обмежена область, а f(x,y) – довільна функція, визначена та обмежена у цій галузі. Припускатимемо, що межі області Dскладаються з кінцевого числа кривих, заданих рівняннями виду y=f(x) або x= g ( y), де f(x) та g(y) – безперервні функції.

Розіб'ємо область Dдовільним чином на nчастин. Площа i-ї ділянки позначимо символом D s i. На кожній ділянці довільно виберемо якусь точку P i ,і нехай вона в будь-якій фіксованій декартовій системі має координати ( x i ,y i). Складемо інтегральну сумудля функції f(x,y) по області D,для цього знайдемо значення функції у всіх точках P i, помножимо їх на площі відповідних ділянок Ds iі підсумуємо всі отримані результати:

Назвемо діаметром diam(G) області Gнайбільша відстань між граничними точками цієї області.

Подвійним інтегралом функції f(x,y) по області D називається межа, до якої прагне послідовність інтегральних сум (1.1) при необмеженому збільшенні числа розбиття n (при цьому). Це записують так

Зауважимо, що, взагалі кажучи, інтегральна сума для заданої функціїі заданої області інтегрування залежить від способу розбиття області Dта вибору точок P i. Проте якщо подвійний інтеграл існує, це означає, що межа відповідних інтегральних сум не залежить від зазначених чинників. Для того, щоб подвійний інтеграл існував(або, як кажуть, щоб функція f(x,y) була інтегрованою в області D), достатньо щоб підінтегральна функція була безперервнийу заданій галузі інтегрування.

Нехай функція f(x,y) інтегрована в області D. Оскільки межа відповідних інтегральних сум для таких функцій не залежить від способу розбиття області інтегрування, розбиття можна проводити за допомогою вертикальних і горизонтальних ліній. Тоді більшість ділянок області Dматиме прямокутний вигляд, площа яких дорівнює D s i=D x i D y i. Тому диференціал площі можна записати як ds=dxdy. Отже, у декартовій системі координат подвійні інтегралиможна записувати у вигляді

Зауваження. Якщо підінтегральна функція f(x,y)º1, то подвійний інтеграл дорівнюватиме площі області інтегрування:

Зазначимо, що подвійні інтеграли мають такі ж властивості, що і певні інтеграли. Зазначимо деякі з них.

Властивості подвійних інтегралів.

1 0 .Лінійна властивість. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:

і постійний множник можна виносити за знак інтегралу:

2 0 .Адитивна властивість. Якщо область інтегрування D розбити на дві частини, то подвійний інтеграл дорівнюватиме сумі інтегралів по кожній цій частині:

3 0 .Теорема про середнє. Якщо функція f( x,y)безперервна в області D, то в цій галузі знайдеться така точка(x, h) , що:

Далі постає питання: як обчислюються подвійні інтеграли? Його можна вирахувати приблизно, з цією метою це розроблено ефективні методискладання відповідних інтегральних сум, які потім обчислюються чисельно з допомогою ЕОМ. При аналітичному обчисленні подвійних інтегралів їх зводять до двох певних інтегралів.