Системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення векторних систем. Ступінчаста система векторів Елементарні перетворення систем

Визначення 5. Елементарними перетвореннямисистеми лінійних рівнянь називаються її наступні перетворення:

1) перестановка будь-яких двох рівнянь місцями;

2) множення обох частин одного рівняння на будь-яке число;

3) додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке число k;

(при цьому решта рівнянь залишаються незмінними).

Нульовим рівняннямназиваємо рівняння наступного виду:

Теорема 1. Будь-яка кінцева послідовність елементарних перетворень і перетворення викреслення нульового рівняння переводить одну систему лінійних рівнянь рівносильну їй іншу систему лінійних рівнянь.

Доведення.З огляду на властивості 4 попереднього пункту досить довести теорему кожному за перетворення окремо.

1. При перестановці рівнянь у системі місцями самі рівняння незмінюються, тому за визначенням отримана система рівносильна початковій.

2. У силу першої частини доказу достатньо довести твердження для першого рівняння. Помножимо перше рівняння системи (1) на число , отримаємо систему

(2)

Нехай  системи (1) . Тоді числа задовольняють усі рівняння системи (1). Оскільки всі рівняння системи (2) крім першого збігаються з рівняннями системи (1), то числа задовольняють всі ці рівняння. Оскільки числа задовольняють першому рівнянню системи (1), має місце вірне числове рівність:

Помножуючи його на число K, Отримаємо правильну числову рівність:

Т. о. встановлюємо, що  системи (2).

Назад, якщо рішення системи (2), то числа задовольняють усім рівнянням системи (2). Оскільки всі рівняння системи (1) крім першого збігаються з рівняннями системи (2), то числа задовольняють всі ці рівняння. Оскільки числа задовольняють першому рівнянню системи (2), то справедлива числова рівність (4). Розділивши обидві його частини на число, отримаємо числову рівність (3) і доводимо, що  розв'язання системи (1).

Звідси за визначенням 4 система (1) рівносильна системі (2).

3. У силу першої частини доказу достатньо довести твердження для першого та другого рівняння системи. Додамо до обох частин першого рівняння системи відповідні частини другого помножені на число K, отримаємо систему

(5)

Нехай рішення системи (1) . Тоді числа задовольняють усі рівняння системи (1). Оскільки всі рівняння системи (5) крім першого збігаються з рівняннями системи (1), то числа задовольняють всі ці рівняння. Оскільки числа задовольняють першому рівнянню системи (1), мають місце вірні числові рівності:

Додаючи почленно до першої рівності друге, помножене на число Kотримаємо правильну числову рівність.

§7. Системи лінійних рівнянь

Рівносильні системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь.

Нехай З– поле комплексних чисел. Рівняння виду

де
, називається лінійним рівнянням з nневідомими
. Упорядкований набір
,
називається рішенням рівняння (1), якщо .

Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система рівнянь виду:

- Коефіцієнти системи лінійних рівнянь, - Вільні члени.

Прямокутна таблиця

,

називається матрицею розміру
. Введемо позначення: - i-Та рядок матриці,
- k-Тий стовпець матриці. Матрицю Аще позначають
або
.

Наступні перетворення рядків матриці Аназиваються елементарними:
) виключення нульового рядка; ) множення всіх елементів будь-якого рядка на число
; ) додаток до будь-якого рядка будь-якого іншого рядка, помноженого на
. Аналогічні перетворення стовпців матриці Аназиваються елементарними перетвореннями матриці А.

Перший ненульовий елемент (вважаючи зліва направо) будь-якого рядка матриці Аназивається провідним елементом цього рядка.

Визначення. Матриця
називається ступінчастою, якщо виконуються такі умови:

1) нульові рядки матриці (якщо вони є) знаходяться нижче ненульових;

2) якщо
провідні елементи рядків матриці, то

Будь-яку ненульову матрицю А у вигляді рядкових елементарних перетворень можна призвести до ступінчастої матриці.

приклад. Наведемо матрицю
до ступінчастої матриці:
~
~
.

Матрицю, складену з коефіцієнтів системи лінійних рівнянь (2) називають основною матрицею системи. Матрицю
, Отриману з приєднанням стовпця вільних членів, називають розширеною матрицею системи.

Упорядкований набір називається рішенням системи лінійних рівнянь (2), якщо він є рішенням кожного лінійного рівняння цієї системи.

Система лінійних рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має рішень.

Система лінійних рівнянь називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.

Наступні перетворення системи лінійних рівнянь називають елементарними:

) виключення із системи рівняння виду ;

) множення обох частин будь-якого рівняння на
,
;

) додавання до будь-якого рівняння будь-якого іншого рівняння, помноженого на ,.

Дві системи лінійних рівнянь від nневідомих називаються рівносильними, якщо вони не спільні або множини їх рішень збігаються.

Теорема. Якщо одну систему лінійних рівнянь отримано з іншого у вигляді елементарних перетворень типу ), ), ), вона рівносильна вихідної.

Вирішення системи лінійних рівнянь методом виключення невідомих (методом Гауса).

Нехай дана система mлінійних рівнянь з nневідомими:

Якщо система (1) містить рівняння виду

то ця система не є спільною.

Припустимо, що система (1) не містить рівняння виду (2). Нехай у системі (1) коефіцієнт при змінній x 1 у першому рівнянні
(якщо це не так, то перестановкою рівнянь місцями досягнемо того, що , так як не всі коефіцієнти при x 1 дорівнюють нулю). Застосуємо до системи лінійних рівнянь (1) наступний ланцюжок елементарних перетворень:

, Додамо до другого рівняння;

Перше рівняння, помножене на
, Додамо до третього рівняння і так далі;

Перше рівняння, помножене на
додамо до останнього рівняння системи.

В результаті отримаємо систему лінійних рівнянь (надалі використовуватимемо скорочення СЛУ для системи лінійних рівнянь) рівносильну системі (1). Може виявитися, що в отриманій системі жодне рівняння з номером i, i 2, не містить невідомої x 2 . Нехай kтаке найменше натуральне число, що невідома x kміститься хоча б в одному рівнянні з номером i, i 2. Тоді отримана система рівнянь має вигляд:

Система (3) рівносильна системі (1). Застосуємо тепер до підсистеми
системи лінійних рівнянь (3) міркування, які були застосовані до СЛУ (1). І так далі. В результаті цього процесу приходимо до одного із двох результатів.

1. Отримаємо СЛУ, що містить рівняння виду (2). І тут СЛУ (1) несовместна.

2. Елементарні перетворення, застосовані до СЛУ (1), не призводять до системи, що містить рівняння виду (2). У цьому випадку СЛП (1) елементарними перетвореннями
наводиться до системи рівнянь виду:

(4)

де, 1< k < l < . . .< s,

Система лінійних рівнянь виду (4) називається ступінчастою. Тут можливі такі два випадки.

а) r= nтоді система (4) має вигляд

(5)

Система (5) має єдине рішення. Отже, система (1) має єдине рішення.

Б) r< n. У цьому випадку невідомі
у системі (4) називаються головними невідомими, інші ж невідомі у цій системі – вільними (їх число одно n- r). Надамо довільні числові значення вільним невідомим, тоді СЛУ (4) матиме такий самий вигляд, як і система (5). Із неї головні невідомі визначаються однозначно. Таким чином, система має рішення, тобто є спільною. Оскільки вільним невідомим надавали довільні числові значення З, то система (4) є невизначеною. Отже, система (1) є невизначеною. Виразивши в СЛУ (4) головні невідомі через вільні невідомі, отримаємо систему, що називається загальним рішенням системи (1).

приклад. Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса

Випишемо розширену матрицю системи лінійних рівнянь і за допомогою елементарних рядкових перетворень наведемо її до ступінчастої матриці:

~

~
~
~

~ . По отриманій матриці відновимо систему лінійних рівнянь:
Ця система рівносильна вихідній системі. Як головні невідомі візьмемо тоді
вільні невідомі. Висловимо головні невідомі лише через вільні невідомі:

Отримали спільне рішення СЛУ. Нехай тоді

(5, 0, -5, 0, 1) – приватне рішення СЛП.

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайти загальне рішення та одне окреме рішення системи рівнянь методом виключення невідомих:

1)
2)

4)
6)

2. Знайти за різних значеньпараметра азагальне рішення системи рівнянь:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Векторні простори

Концепція векторного простору. Найпростіші властивості.

Нехай V ≠ Ø, ( F, +,∙) – поле. Елементи поля називатимемо скалярами.

Відображення φ : F× V –> Vназивається операцією множення елементів множини Vна скаляри із поля F. Позначимо φ (λ,а) через λатвір елемента ана скаляр λ .

Визначення.Безліч Vіз заданою алгебраїчною операцією складання елементів множини Vта множення елементів множини Vна скаляри із поля Fназивається векторним простором над полем F, якщо виконуються аксіоми:

приклад. Нехай Fполе, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Кожен елемент множини F nназивається n-мірним арифметичним вектором. Введемо операцію додавання n-мірних векторів та множення n-мірного вектора на скаляр з поля F. Нехай
. Покладемо = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Безліч F n щодо введених операцій є векторним простором, і воно називається n-мірним арифметичним векторним простором над полем F.

Нехай V- векторний простірнад полем F, ,
. Мають місце такі характеристики:

1)
;

3)
;

4)
;

Доказ якості 3.

З рівності за законом скорочення групи ( V,+) маємо
.

Лінійна залежність, незалежність систем векторів.

Нехай V- Векторний простір над полем F,

. Вектор називається лінійною комбінацією системи векторів
. Безліч всіх лінійних комбінацій системи векторів називається лінійною оболонкоюцією системою векторів і позначається.

Визначення.Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі скаляри
не всі рівні нулю, що

Якщо рівність (1) виконується тоді і лише тоді, коли λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, система векторів називається лінійно незалежної.

приклад.Чи з'ясувати чи є система векторів = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) простору R 3 лінійно залежною або незалежною.

Рішення.Нехай λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – рішення системи. Отже, система векторів є лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності системи векторів.

1. Система векторів, що містить хоча б один нульовий вектор, є лінійно залежною.

2. Система векторів, що містить лінійно залежну підсистему, є лінійно залежною.

3. Система векторів, де
є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли хоча б один вектор цієї системи, відмінний від вектора, є лінійною комбінацією попередніх векторів.

4. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система векторів
лінійно залежна, то вектор можна у вигляді лінійної комбінації векторів і до того ж єдиним чином.

Доведення.Оскільки система векторів лінійно залежна, то
не всі рівні нулю, що

У векторній рівності (2) λ m+1 ≠ 0. Якщо припустити, що λ m+1 =0, то з (2) => Звідси випливає, що система векторів лінійно залежна, оскільки λ 1 , λ 2 , … , λ mне всі дорівнюють нулю. Прийшли протиріччя з умовою. З (1) => де
.

Нехай вектор можна уявити також у вигляді: Тоді з векторної рівності
через лінійну незалежність системи векторів випливає, що
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Нехай дані дві системи векторів і
, m>k. Якщо кожен вектор системи векторів можна як лінійну комбінацію системи векторів , то система векторів лінійно залежна.

Базис, ранг системи векторів.

Кінцева система векторів простору Vнад полем F позначимо через S.

Визначення.Будь-яка лінійно незалежна підсистема системи векторів Sназивається базисом системи векторів Sякщо будь-який вектор системи Sможна у вигляді лінійної комбінації системи векторів.

приклад.Знайти базис системи векторів = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Система векторів , лінійно незалежна, оскільки, відповідно до властивості 5 система векторів отримана із системи векторів Так якнавчальне допомога основамелектромеханотроніки: навчальнийдопомога основиелектротехніки" ; ...

До елементарних перетворень відносяться:

1) Додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на те саме число, не дорівнює нулю.

2) Перестановка рівнянь місцями.

3)Видалення із системи рівнянь, що є тотожністю для всіх х.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРУ – КАПЕЛЛІ

(Умова спільності системи)

(Леопольд Кронекер (1823–1891) німецький математик)

Теорема: Система спільна (має хоча б одне рішення) тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:

x 1 + x 2 + … + x n

Доведення.

1) Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, отже додавання цього стовпця в матрицю, тобто. перехід А®А* не змінюють рангу.

2) Якщо RgA = RgA * , це означає, що вони мають і той ж базисний мінор. Стовпець вільних членів – лінійна комбінація стовпців базового мінору, ті правильна запис, наведена вище.

приклад.Визначити спільність системи лінійних рівнянь:

~ . RgA = 2.

A* = RgA * = 3.

Система несумісна.

приклад.Визначити сумісність системи лінійних рівнянь.

А =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система спільна. Рішення: x1 = 1; x 2 = 1/2.

2.6 МЕТОД ГАУСА

(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) німецький математик)

На відміну від матричного методу та методу Крамера, метод Гауса може бути застосований до систем лінійних рівнянь із довільним числом рівнянь та невідомих. Суть методу полягає у послідовному виключенні невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Розділимо обидві частини 1–го рівняння на a 11 ¹ 0, потім:

1) помножимо на а 21 і віднімемо з другого рівняння

2) помножимо на а 31 і віднімемо з третього рівняння

, де d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

приклад.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.

, Звідки отримуємо: x 3 = 2; x 2 = 5; x1=1.

приклад.Вирішити систему методом Гаусса.

Складемо розширену матрицю системи.

Таким чином, вихідна система може бути представлена ​​у вигляді:

, Звідки отримуємо: z = 3; y = 2; x = 1.

Отримана відповідь збігається з відповіддю, отриманою для даної системи методом Крамера та матричним методом.

Для самостійного вирішення:

Відповідь: (1, 2, 3, 4).

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ

Визначення.Векторназивається спрямований відрізок (упорядкована пара точок). До векторів відноситься також і нульовийвектор, початок та кінець якого збігаються.

Визначення.Довжиною (модулем)вектор називається відстань між початком і кінцем вектора.

Визначення. Вектори називаються колінеарнимиякщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору.

Визначення. Вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди є компланарними, але не всі компланарні вектори колінеарними.

Визначення. Вектори називаються рівнимиякщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають однакові модулі.

Будь-які вектори можуть призвести до загального початку, тобто. побудувати вектори відповідно рівні даних і мають загальний початок. З визначення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має безліч векторів, рівних йому.

Визначення.Лінійними операціяминад векторами називається додавання та множення на число.

Сумою векторів є вектор -

Твір - , при цьому колінеарен .

Вектор направлений із вектором ( ), якщо a > 0.

Вектор протилежно спрямований з вектором (?), якщо a< 0.

ВЛАСТИВОСТІ ВЕКТОРІВ

1) + = + - комутативність.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b ) – асоціативність

6) (a+b) = a + b - дистрибутивність

7) a(+) = a + a

Визначення.

1) Базисому просторі називаються будь-які 3 некомпланарні вектори, взяті в певному порядку.

2) Базисомна площині називаються будь-які 2 неколлінеарні вектори, взяті в певному порядку.

3)Базисомна прямий називається будь-який ненульовий вектор.

Дві системи лінійних рівнянь від одного набору x 1 ..., x n невідомих і відповідно з m і p рівнянь

Називаються еквівалентними, якщо їх безлічі рішень і збігаються (тобто підмножини і K n збігаються, ). Це означає, що: або вони одночасно є порожніми підмножинами (тобто обидві системи (I) і (II) несумісні), або вони одночасно непусті, і (тобто кожне рішення системи I є рішенням системи II і кожне рішення Система II є рішенням системи I).

Приклад 3.2.1.

Метод Гауса

План алгоритму, запропонованого Гаусом, був дуже простий:

1. застосовувати до системи лінійних рівнянь послідовно перетворення, що не змінюють безліч рішень (у такий спосіб ми зберігаємо безліч рішень вихідної системи), і перейти до еквівалентної системи, що має "простий вигляд" (так звану ступінчасту форму);
2. для "простого виду" системи (зі ступінчастою матрицею) описати безліч рішень, що збігаються з безліччю рішень вихідної системи.

Зазначимо, що близький метод "фан-чен" був відомий вже у давньокитайській математиці.

Елементарні перетворення систем лінійних рівнянь (рядок матриць)

Визначення 3.4.1 (елементарне перетворення 1-го типу). При до i-му рівняння системи додається k-е рівняння, помножене на число (позначення: (i)"=(i)+c(k); тобто лише одне i-е рівняння (i) замінюється на нове рівняння (i)"=(i)+c(k)). Нове i-е рівняння має вигляд (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k, або, коротко,

Т. е. в новому i-му рівнянні a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Визначення 3.4.2 (елементарне перетворення 2-го типу). При i -е і k -е рівняння змінюються місцями, інші рівняння не змінюються (позначення: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Зауваження 3.4.3. Для зручності у конкретних обчисленнях можна застосовувати елементарне перетворення 3-го типу: i-е рівняння множиться на ненульове число , (i)" = c (i) .

Пропозиція 3.4.4. Якщо від системи I ми перейшли до системи II за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень 1-го та 2-го типу, то від системи II можна повернутися до системи I також елементарними перетвореннями 1-го та 2-го типу.

Доведення.

Зауваження 3.4.5. Твердження вірно і з включенням до елементарних перетворень елементарного перетворення 3-го типу. Якщо і (i)"=c(i) , то та (i)=c -1 (i)" .

Теорема 3.4.6.Після послідовного застосування кінцевого числа елементарних перетворень 1-го або 2-го типу до системи лінійних рівнянь виходить система лінійних рівнянь, еквівалентна початковій.

Доведення. Зауважимо, що досить розглянути випадок переходу від системи I до системи II за допомогою одного елементарного перетворення і довести для багатьох рішень включення (оскільки через доведену пропозицію від системи II можна повернутися до системи I і тому матимемо включення, тобто буде доведено рівність).

Визначення 1.Система лінійних рівнянь виду (1) , де , поле, називається системою m лінійних рівнянь із n невідомими над полем, - Коефіцієнти при невідомих, , , - вільні члени системи (1).

Визначення 2.Впорядкована n-ка (), де , називається вирішенням системи лінійних рівнянь(1), якщо при заміні змінної на кожне рівняння системи (1) перетворюється на правильну числову рівність.

Визначення 3. спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Інакше система (1) називається несумісний.

Визначення 4.Система лінійних рівнянь (1) називається певноюякщо вона має єдине рішення. Інакше система (1) називається невизначеною.

Система лінійних рівнянь

(є рішення) (немає рішень)

спільна несумісна

(єдине рішення) (не єдине рішення)

певна невизначена

Визначення 5.Система лінійних рівнянь над полем Рназивається одноріднийякщо всі її вільні члени дорівнюють нулю. Інакше система називається неоднорідний.

Розглянемо систему лінійних рівнянь (1). Тоді однорідна система виду називається однорідною системою, асоційованоюіз системою (1). Однорідна СЛУ завжди спільна, оскільки має рішення .

Для кожної СЛУ можна ввести на розгляд дві матриці - основну та розширену.

Визначення 6. Основною матрицею системи лінійних рівнянь(1) називається матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих наступного виду: .

Визначення 7. Розширеною матрицею системи лінійних рівнянь(1) називається матриця , отримана з матриці шляхом приєднання до неї стовпця вільних членів: .

Визначення 8.Елементарними перетвореннями системи лінійних рівняньназиваються такі: 1) множення обох частин деякого рівняння системи на скаляр; 2) додавання до обох частин одного рівняння системи відповідних частин іншого рівняння, помножених на елемент; 3) додавання або відкидання рівняння виду.

Визначення 9.Дві системи лінійних рівнянь над полем Рщодо змінних називаються рівносильними, якщо їх безліч рішень збігаються.

Теорема 1 . Якщо одна система лінійних рівнянь отримана з іншого за допомогою елементарних перетворень, такі системи рівносильні.

Зручно елементарні перетворення застосовувати не до системи лінійних рівнянь, а її розширеної матриці.

Визначення 10.Нехай дано матрицю з елементами з поля Р. Елементарними перетвореннямиматриці називаються такі:

1) множення всіх елементів якогось рядка на матриці на aÎ Р # ;

2) множення всіх елементів якогось рядка на матриці на aÎ Р # і додавання з відповідними елементами іншого рядка;

3) перестановка місцями будь-яких двох рядків матриці;

4) додавання або викреслювання нульового рядка.

8. Рішення СЛУ:м етод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).

Розглянемо один із основних методів розв'язання систем лінійних рівнянь, який називається методом послідовного виключення невідомих, чи інакше, методом Гауса. Розглянемо систему(1) mлінійних рівнянь з nневідомими над полем Р:(1) .

У системі (1) хоча б один з коефіцієнтів при не дорівнює 0 . Інакше (1) – система рівнянь із () невідомими – це суперечить умові. Поміняємо місцями рівняння так, щоб коефіцієнт при першому рівнянні був не дорівнює 0 . Таким чином, можна вважати, що . Помножимо обидві частини першого рівняння і додамо до відповідних частин другого, третього, …, m-го рівнянь відповідно. Отримаємо систему виду: , де s- найменше число, таке що хоча б один з коефіцієнтів при не дорівнює 0 . Поміняємо місцями рівняння так, щоб у другому рядку коефіцієнт при змінній дорівнював 0 , тобто. можемо вважати, що . Тоді помножимо обидві частини другого рівняння і додамо до відповідних частин третього, …, m-го рівнянь відповідно. Продовжуючи цей процес, отримаємо систему виду:

Система лінійних рівнянь, яка, згідно з теоремою 1, рівносильна системі (1) . Система називається ступінчастою системою лінійних рівнянь. Можливі два випадки: 1) Хоча б один із елементів не дорівнює 0 . Нехай, наприклад, . Тоді у системі лінійних рівнянь є рівняння виду , що неможливе. Це означає, що система немає рішень, і тому система (1) немає рішень (у разі (1) - несовместная система).

2) Нехай, ...,. Тоді за допомогою елементарного перетворення З) отримаємо систему – систему rлінійних рівнянь з nневідомими. При цьому змінні за коефіцієнтів називаються головними змінними(це ), їх всього r. Інші ( n-r) змінних називають вільними.

Можливі два випадки: 1) Якщо r=n, то - система трикутного вигляду. У цьому випадку з останнього рівняння знаходимо змінну, з передостаннього - змінну, з першого рівняння - змінну. Отже, отримуємо єдине рішення системи лінійних рівнянь , отже, і системи лінійних рівнянь (1) (у разі система (1) визначена).

2) Нехай r . І тут основні перемінні виражають через вільні й одержують загальне рішення системи лінійних рівнянь (1). Надаючи вільним змінним довільні значення, набувають різні приватні рішення системи лінійних рівнянь (1) (у цьому випадку система (1) невизначена).