Лінійна оболонка векторної системи. Пов'язані визначення та властивості

Нехай система векторів з векторного простору Vнад полем P.

Визначення 2:Лінійною оболонкою Lсистеми Aназивається безліч всіх лінійних комбінацій векторів системи A. Позначення L(A).

Можна показати, що для будь-яких двох систем Aі B,

Aлінійно виражається через Bтоді і лише тоді, коли . (1)

Aеквівалентна Bтоді і лише тоді, коли L(A)=L(B). (2)

Доказ випливає із попередньої властивості

3 Лінійна оболонка будь-якої системи векторів є підпростором простору V.

Доведення

Візьмемо будь-які два вектори та з L(A), що мають наступні розкладання по векторах з A: . Перевіримо здійсненність умов 1) та 2) критерію:

Так як є лінійною комбінацією векторів системи A.

Оскільки теж є лінійною комбінацією векторів системи A.

Розглянемо тепер матрицю. Лінійна оболонка рядків матриці Aназивається рядковим простором матриці та позначається L r (A). Лінійна оболонка стовпців матриці Aназивається стовпцевим простором і позначається L c (A). Зверніть увагу, що при рядковому та стовпцевому просторі матриці Aє підпросторами різних арифметичних просторів P nі P mвідповідно. Користуючись твердженням (2), можна дійти такого висновку:

Теорема 3:Якщо одна матриця отримана з іншого ланцюжком елементарних перетворень, рядкові простори таких матриць збігаються.

Сума та перетин підпросторів

Нехай Lі M- два простори простору R.

Сумою L+Mназивається безліч векторів x+y , де x ∈Lі y ∈M. Очевидно, що будь-яка лінійна комбінація векторів з L+Mналежить L+M, отже L+Mє підпростором простору R(може збігатися з простором R).

Перетином L∩Mпідпросторів Lі Mназивається безліч векторів, що належать одночасно підпросторам Lі M(може складатися лише з нульового вектора).

Теорема 6.1. Сума розмірностей довільних підпросторів Lі Mкінцевомірного лінійного простору Rдорівнює розмірності суми цих підпросторів та розмірності перетину цих підпросторів:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доведення. Позначимо F=L+Mі G=L∩M. Нехай G g-мірне підпростір. Виберемо в ньому базис. Так як G⊂Lі G⊂M, отже базис Gможна доповнити до базису Lі до базису M. Нехай базис підпростору Lі нехай базис підпростору M. Покажемо, що вектори

(6.1) складають базис F=L+M. Для того, щоб вектори (6.1) складали базис простору Fвони мають бути лінійно незалежними і будь-який вектор простору Fможна уявити лінійною комбінацією векторів (6.1).

Доведемо лінійну незалежність векторів (6.1). Нехай нульовий вектор простору Fпредставляється лінійною комбінацією векторів (6.1) з деякими коефіцієнтами:

Ліва частина (6.3) є вектором підпростору L, а права частина є вектором підпростору M. Отже вектор

(6.4) належить підпростору G=L∩M. З іншого боку, вектор v можна уявити лінійною комбінацією базисних векторів підпростору G:

(6.5)З рівнянь (6.4) та (6.5) маємо:

Але вектори є базисом підпростору M, отже вони лінійно незалежні та . Тоді (6.2) набуде вигляду:

З огляду на лінійну незалежність базису підпростору Lмаємо:

Оскільки всі коефіцієнти у рівнянні (6.2) виявилися нульовими, вектори

лінійно незалежні. Але будь-який вектор z з F(за визначенням суми підпросторів) можна подати сумою x+y , де x ∈ L,y ∈ M. В свою чергу x представляється лінійною комбінацією векторів y - Лінійною комбінацією векторів. Отже вектори (6.10) вражають підпростір F. Отримали, що вектори (6.10) утворюють базис F=L+M.

Вивчаючи базиси підпросторів Lі Mта базис підпростору F=L+M(6.10), маємо: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Отже:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Пряма сума підпросторів

Визначення 6.2. Простір Fявляє собою пряму суму підпросторів Lі Mякщо кожен вектор x простору Fможе бути єдиним способом представлений у вигляді суми x=y+z , де y ∈L та z ∈M.

Пряма сума позначається L⊕M. Кажуть, що якщо F=L⊕M, то Fрозкладається у пряму суму своїх підпросторів Lі M.

Теорема 6.2. Для того щоб n-мірний простір Rявляло собою пряму суму підпросторів Lі M, достатньо, щоб перетин Lі Mмістило тільки нульовий елемент і щоб розмірність R дорівнювала сумі розмірностей підпросторів Lі M.

Доведення. Виберемо деякий базис у підпросторі L та деякий базис у підпросторі M. Доведемо, що

(6.11) є базисом простору R. За умовою теореми розмірність простору R nдорівнює сумі підпросторів Lі M (n=l+m). Достатньо довести лінійну незалежність елементів (6.11). Нехай нульовий вектор простору Rпредставляється лінійною комбінацією векторів (6.11) з деякими коефіцієнтами:

(6.13)Оскільки ліва частина (6.13) є вектором підпростору Lа права частина - вектором підпростору Mі L∩M=0 , то

(6.14) Але вектори і є базисами підпросторів Lі Mвідповідно. Отже, вони лінійно незалежні. Тоді

(6.15)Встановили, що (6.12) справедливо лише за умови (6.15), але це доводить лінійну незалежність векторів (6.11). Отже вони утворюють базис у R.

Нехай x∈R. Розкладемо його за базисом (6.11):

(6.16) З (6.16) маємо:

(6.18)З (6.17) і (6.18) слід, що будь-який вектор з Rможна уявити сумою векторів x 1 ∈Lі x 2 ∈M. Залишається довести, що це уявлення є єдиним. Нехай крім уявлення (6.17) є й таке уявлення:

(6.19) Віднімаючи (6.19) з (6.17), отримаємо

(6.20)Оскільки , і L∩M=0 , і . Отже і. ■

Теорема 8.4 про розмірність суми підпросторів. Якщо і підпростору кінцевого лінійного простору, то розмірність суми підпросторів дорівнює сумі їх розмірностей без розмірності їх перетину ( формула Грассмана):

Справді, хай - базис перетину. Доповнимо його впорядкованим набором векторів до базису підпростору та впорядкованим набором векторів до базису підпростору. Таке доповнення можливе за теоремою 8.2. З зазначених трьох наборів векторів складемо впорядкований набір векторів. Покажемо, що ці вектори є такими, що утворюють простори . Справді, будь-який вектор цього простору представляється у вигляді лінійної комбінації векторів із впорядкованого набору

Отже, . Доведемо, що утворюють лінійно незалежні і тому є базисом простору . Справді складемо лінійну комбінацію цих векторів і прирівняємо її нульовому вектору: . Всі коефіцієнти такого розкладання нульові: підпростор векторного простору з білінійною формою - це безліч всіх векторів, ортогональних кожному вектору з . Ця множина є векторним підпростором, який зазвичай позначається.

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим X. Зазвичай позначається. Говорять також, що лінійна оболонка натягнута набезліч X .

Властивості

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Джангар
• Платіжний баланс

Дивитись що таке "Лінійна оболонка" в інших словниках:

ЛІНІЙНА ОБОЛОНКА- перетин Мусих підпросторів, що містять безліч Авекторного простору Е. При цьому Мназ. також підпростором, породженим А. М. І. Войцеховським. Математична енциклопедія

Лінійна оболонка векторів

Лінійна оболонка векторів- множина лінійних комбінацій цих векторів ∑αiаi з усіма можливими коефіцієнтами (α1, …, αn) … Економіко-математичний словник

лінійна оболонка векторів- Безліч лінійних комбінацій цих векторів??iаi з усіма можливими коефіцієнтами (?1, …, ?n). Тематика економіка EN linear hull …

лінійна алгебра- Математична дисципліна, розділ алгебри, що містить, зокрема, теорію лінійних рівнянь, матриць та визначників, а також теорію векторних (лінійних) просторів. Лінійна залежність «співвідношення виду: a1x1 + a2x2 + … +… … Довідник технічного перекладача

Лінійна залежність- «Співвідношення виду: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, де a1, a2, …, an числа, з яких хоча б одне відмінно від нуля; x1, x2, …, xn ті чи інші математичні об'єкти, котрим визначено операції складання … Економіко-математичний словник

Оболонка- див. Лінійна оболонка … Економіко-математичний словник

Лінійна залежність

Лінійна комбінація- Лінійний простір, або векторний простір, основний об'єкт вивчення лінійної алгебри. Зміст 1 Визначення 2 Найпростіші властивості 3 Пов'язані визначення та властивості … Вікіпедія

ЛІНІЙНА ГРУПА- Група лінійних перетвореньвекторного простору Vкінцевої розмірності n над деяким тілом К. Вибір базису в просторі Vреалізує Л. р. як групу невироджених квадратних матриць ступеня над тілом К. Тим самим встановлюється ізоморфізм … Математична енциклопедія

Книги

• Лінійна алгебра. Підручник та практикум для СПО Купити за 1471 грн (тільки Україна)
• Лінійна алгебра. Підручник і практикум для академічного бакалавріату, Кремер Н.Ш.

Нехай – система векторів із . Лінійною оболонкою системи векторівназивається безліч всіх лінійних комбінацій векторів цієї системи, тобто

Властивості лінійної оболонки: Якщо , то для і .

Лінійна оболонка має властивість замкнутості по відношенню до лінійних операцій (операції складання та множення на число).

Підмножина простору, що має властивість замкнутості по відношенню до операцій складання та множення на числа, називаєтьсялінійним підпростором простору .

Лінійна оболонка системи векторів - лінійний підпростір простору.

Система векторів називається базисом ,якщо

Будь-який вектор можна виразити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

2. Система векторів є лінійно незалежною.

Лемма Коефіцієнти розкладання вектора за базисом визначено однозначно.

Вектор складений з коефіцієнтів розкладання вектора за базисом називається координатним вектором вектора у базисі .

Позначення . Цей запис підкреслює, що координати вектора залежать від базису.

Лінійні простори

Визначення

Нехай надано безліч елементів довільної природи. Нехай для елементів цієї множини визначено дві операції: додавання та множення на будь-яке речове число : і безліч замкнутощодо цих операцій: . Нехай ці операції підпорядковуються аксіомам:

3. існує нульовий вектор з властивістю для ;

4. для кожного існує зворотний вектор із властивістю;

6. для , ;

7. для , ;

Тоді така множина називається лінійним (векторним) простором, його елементи називаються векторами, і - щоб підкреслити їхню відмінність від чисел з - останні називаються скалярами 1). Простір, що складається з одного лише нульового вектора, називається тривіальним .

Якщо в аксіомах 6 - 8 допустити множення і на комплексні скаляри, то такий лінійний простір називається комплексним. Для спрощення міркувань усюди надалі ми розглядатимемо лише речові простори.

Лінійний простір є групою щодо операції додавання, причому групою обелевой.

Елементарно доводиться єдиність нульового вектора, і єдиність вектора, зворотного вектору: , його зазвичай позначають .

Підмножина лінійного простору, що саме є лінійним простором (тобто замкнуто щодо складання векторів і множення на довільний скаляр), називається лінійним підпросторомпростору. Тривіальними просторамилінійного простору називаються саме і простір, що складається з одного нульового вектора.

приклад.Простір упорядкованих трійок дійсних чисел

операціями, що визначаються рівностями:

Геометрична інтерпретація очевидна: вектор у просторі, «прив'язаний» початку координат, може бути заданий в координатах свого кінця . На малюнку показано і типове підпростір простору: площину, яка проходить через початок координат. Точніше, елементами є вектори, що мають початок на початку координат і кінці - у точках площини. Замкненість такої множини щодо складання векторів та їх розтягування 2) очевидна.

Виходячи з цієї геометричної інтерпретації, часто говорять про вектор довільного лінійного простору як про точці простору. Іноді цю точку називають "кінцем вектора". Крім зручності асоціативного сприйняття, цим словам не надається жодного формального сенсу: поняття «кінець вектора» відсутнє в аксіоматиці лінійного простору.

приклад.Ґрунтуючись на тому ж прикладі, можна дати й іншу інтерпретацію векторного простору (закладену, до речі, вже в самому походженні слова «вектор» 3)) – воно визначає набір «зсувів» точок простору. Ці зрушення - або паралельні перенесеннябудь-якої просторової фігури - вибираються паралельними площині.

Взагалі кажучи, з подібними інтерпретаціями поняття вектора все не так просто. Спроби апелювати до його фізичного змісту – як до об'єкта, що має величинуі напрямок- Викликають справедливу відповідь суворих математиків. Визначення вектора як елемента векторного простору дуже нагадує епізод з сепулькамизі знаменитого фантастичного оповідання Станіслава Лема (див. ☞ТУТ). Не зациклюватимемося на формалізмі, а досліджуємо цей нечіткий об'єкт у його приватних проявах.

приклад.Природним узагальненням служить простір: векторний простір рядків або стовпчик . Один із способів завдання підпростору - завдання набору обмежень.

приклад.Безліч рішень системи лінійних однорідних рівнянь:

утворює лінійне підпростір простору. Справді, якщо

Рішення системи, то й

Теж рішення за будь-якого. Якщо

Ще одне рішення системи, то й

Теж буде її рішенням.

Чому безліч рішень системи неоднорідних рівнянь не утворює лінійного підпростору?

приклад.Узагальнюючи далі, можемо розглянути простір «нескінченних» рядків або послідовностей , що зазвичай є об'єктом математичного аналізу - при розгляді послідовностей та рядів. Можна розглядати рядки (послідовності) "нескінченні в обидві сторони" - вони використовуються в ТЕОРІЇ СИГНАЛІВ.

приклад.Безліч -матриць з речовими елементами з операціями додавання матриць і множення на речові числа утворює лінійний простір.

У просторі квадратних матриць порядку можна виділити два підпростори: підпростір симетричних матриць і кососиметричних простір матриць. Крім того, підпростору утворюють кожну з множин: верхньотрикутних, нижньотрикутних ідіагональних матриць.

приклад.Безліч поліномів одного змінного ступеня в точності дорівнює коефіцієнтам з (де - будь-яка з множин або ) зі звичайними операціями складання поліномів і множення на число з не утворює лінійного простору. Чому? - Тому що воно не є замкненим щодо додавання: сума поліномів і не буде поліномом-го ступеня. Але ось безліч поліномів ступеня Не вище

лінійний простір утворює; тільки до цієї множини треба надати ще й тотожно нульової поліном 4) . Очевидними підпросторами є. Крім того, підпросторами будуть безліч парних і безліч непарних поліномів ступеня не вище. Безліч різних поліномів (без обмеження на ступені) теж утворює лінійний простір.

приклад.Узагальненням попереднього випадку буде простір поліномів кількох змінних ступеня не вище з коефіцієнтами. Наприклад, безліч лінійних поліномів

утворює лінійний простір. Безліч однорідних поліномів(форм) ступеня (з приєднанням до цієї множини тотожно нульового полінома) - також лінійний простір.

З точки зору наведеного вище визначення, безліч рядків з цілими компонентами

розглядається щодо операцій покомпонентної додавання та множення на цілочисленні скаляри, що не є лінійним простором. Тим не менш, всі аксіоми 1 - 8 будуть виконані, якщо ми допустимо множення тільки на цілі скаляри. У цьому розділі ми не акцентуватимемо увагу на цьому об'єкті, але він досить корисний у дискретній математиці, наприклад у ☞ ТЕОРІЇ КОДИРУВАННЯ. Лінійні простори над кінцевими полямирозглядаються ☞ ТУТ.

Змінні ізоморфні простору симетричних матриць-го порядку. Ізоморфізм встановлюється відповідністю, яку ми проілюструємо для випадку:

Поняття ізоморфізму вводиться для того, щоб дослідження об'єктів, що виникають у різних галузях алгебри, але з «схожими» властивостями операцій, вести на прикладі одного зразка, відпрацьовуючи на ньому результати, які можна буде дешево тиражувати. Яке саме лінійне місце взяти «для зразка»? - Див. кінцівку наступного пункту

Векторне(або лінійне) простір- математична структура, яка є набором елементів, званих векторами, котрим визначено операції складання друг з одним і множення на число - скаляр. Ці операції підпорядковані восьми аксіом. Скаляри можуть бути елементами речового, комплексного або будь-якого іншого поля чисел. Приватним випадком подібного простору є звичайне тривимірне евклідове простір, вектори якого використовуються, наприклад, для подання фізичних сил. При цьому слід зазначити, що вектор як елемент векторного простору не обов'язково повинен бути заданий у вигляді спрямованого відрізка. Узагальнення поняття «вектор» до елемента векторного простору будь-якої природи не тільки не викликає змішування термінів, а й дозволяє усвідомити або навіть передбачити низку результатів, справедливих просторів довільної природи.

Векторні простори є предметом вивчення лінійної алгебри. Однією з головних характеристик векторного простору є його розмірність. Розмірність являє собою максимальну кількість лінійно незалежних елементів простору, тобто, вдаючись до грубої геометричної інтерпретації, число напрямків, невимовних один через одного за допомогою операцій складання і множення на скаляр. Векторний простір можна наділити додатковими структурами, наприклад, нормою або скалярним твором. Подібні простори природно з'являються в математичному аналізі, переважно у вигляді нескінченномірних функціональних просторів. (англ.), де ролі векторів виступають функції . Багато проблем аналізу вимагають з'ясувати, чи сходиться послідовність векторів до цього вектора. Розгляд таких питань можливий у векторних просторах з додатковою структурою, в більшості випадків - відповідною топологією, що дозволяє визначити поняття близькості та безперервності. Такі топологічні векторні простори, зокрема, банахові та гільбертові, допускають глибше вивчення.

Перші праці, що передбачили введення поняття векторного простору, відносяться до XVII століття. Саме тоді свій розвиток отримали аналітична геометрія, вчення про матриці, системи лінійних рівнянь, евклідові вектори.

Визначення

Лінійнеабо векторний простір V (F) (\displaystyle V\left(F\right))над полем F (\displaystyle F)- це впорядкована четвірка (V, F, +, ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), де

• V (\displaystyle V)- Непорожня безліч елементів довільної природи, які називаються векторами;
• F (\displaystyle F)- поле , елементи якого називаються скалярами;
• Визначено операцію додаваннявекторів V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), зіставляє кожній парі елементів x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )безлічі V (\displaystyle V) V (\displaystyle V), званий їх сумоюі позначається x + y (\displaystyle \mathbf(x) +\mathbf(y) );
• Визначено операцію множення векторів на скалярі F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), що співставляє кожному елементу λ (\displaystyle \lambda)поля F (\displaystyle F)і кожному елементу x (\displaystyle \mathbf (x) )безлічі V (\displaystyle V)єдиний елемент множини V (\displaystyle V), що позначається λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )або λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Векторні простори, задані на тому самому безлічі елементів, але над різними полями, будуть різними векторними просторами (наприклад, безліч пар дійсних чисел R 2 (\displaystyle \mathbb(R) ^(2))може бути двовимірним векторним простір над полем дійсних чисел або одномірним - над полем комплексних чисел).

Найпростіші властивості

1. Векторний простір є абелевою групою по додаванню.
2. Нейтральний елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf(x) =\mathbf(0) )для будь-якого.
4. Для будь-кого x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V)протилежний елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)є єдиним, що випливає із групових властивостей.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf(x) =\mathbf(x) )для будь-кого x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V).
6. (−α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot(-\mathbf(x))=- \alpha \mathbf (x)))для будь-яких і x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf(0) =\mathbf(0) )для будь-кого α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Пов'язані визначення та властивості

Підпростір

Алгебраїчне визначення: Лінійний підпростірабо векторний підпростір― непуста підмножина K (\displaystyle K)лінійного простору V (\displaystyle V)таке, що K (\displaystyle K)саме є лінійним простором по відношенню до певних V (\displaystyle V)діям складання та множення на скаляр. Багато підпространств зазвичай позначають як Lat (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Щоб підмножина була підпростором, необхідно і достатньо, щоб

Останні два твердження еквівалентні наступному:

Для будь-яких векторів x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf(x) +\beta \mathbf(y) )також належав K (\displaystyle K)для будь-яких α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Зокрема, векторний простір, що складається з лише нульового вектора, є підпростором будь-якого простору; будь-який простір є підпростором самого себе. Підпростори, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

Властивості підпросторів

Лінійні комбінації

Кінцева сума виду

Лінійна комбінація називається:

Базис. Розмірність

Вектори x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))називаються лінійно залежнимиякщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, значення якої дорівнює нулю; тобто

за деяких коефіцієнтів α 1 , α 2 , … , α n ∈ F (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,)причому хоча б один із коефіцієнтів α i (\displaystyle \alpha _(i))відмінний від нуля.

В іншому випадку ці вектори називаються лінійно незалежними.

Дане визначення допускає наступне узагальнення: безліч векторів з V (\displaystyle V)називається лінійно залежнимякщо лінійно залежно деяке кінцевейого підмножина, і лінійно незалежнимякщо будь-яке його кінцевепідмножина лінійно незалежно.

Властивості базису:

Лінійна оболонка

Лінійна оболонкапідмножини X (\displaystyle X)лінійного простору V (\displaystyle V)- перетин усіх підпросторів V (\displaystyle V), що містять X (\displaystyle X).

Лінійна оболонка є підпростором V (\displaystyle V).

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим X (\displaystyle X). Говорять також, що лінійна оболонка V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- простір, натягнуте набезліч X (\displaystyle X).