Геометричні можливості. Геометричне визначення ймовірності події Імовірне вирішення фігури у процесі контакту

Інша схема опису експериментів з неоднозначно прогнозованими наслідками, яка дозволяє досить просто ввести кількісну характеристику здійсненності тієї чи іншої події - це схема геометричних ймовірностей, яка, як і розглянута вище схема випадків, експлуатує ідею рівноправності результатів експерименту. Аналогічно тому, як це було зроблено у схемі випадків, кількісна характеристика здійсненності події - його ймовірність - визначається як нормована певним чином величина, пропорційна запасу результатів, що сприяють здійсненню події. Нехай безліч результатів досліджуваного експерименту може бути описано як безліч П точок деякого геометричного континууму - кожному результату відповідає деяка точка і кожній точці відповідає деякий результат. В якості «геометричного континууму» Q може виступати відрізок на прямий, дуга спрямовується кривою на площині або в просторі, безліч квадрується на площині (трикутник, прямокутник, коло, еліпс і т.п.) або частина поверхні, що квадрується, деякий об'єм у просторі ( багатогранник - призма, піраміда, куля, еліпсоїд і т. п.) Подією назвемо будь-яке квадруване підмножина безлічі Як і в схемі випадків, подія складається з точок-і сходів, проте вже не будь-яка сукупність результатів утворює подію, а тільки така, міру якої (довжину, площу, обсяг) ми можемо виміряти. Припускаючи рівноможливість наслідків, назвемо ймовірністю події А число, пропорційне мірі підмножини А множини П: Геометричні ймовірності Якщо 0 - подія, неможлива в даному експерименті, a Q - достовірна, то покладемо Р(0) = О, = 1. Імовірність будь-якої події А буде при цьому укладено між нулем - ймовірністю події неможливої, і одиницею - ймовірністю події достовірної4*. Умова нормування дозволяє визначити константу до - коефіцієнт пропорційності, що задає можливість. Він виявляється дорівнює Таким чином, у схемі геометричних ймовірностей ймовірність будь-якої події визначається як відношення міри підмножини А, що описує подію, до міри безлічі il, що описує експеримент в цілому: Відзначимо деякі властивості так певної ймовірності: Властивість очевидно випливає з тієї обставини, що безліч, що міститься всередині іншого, не може бути більше останнього. Як і у схемі випадків, події у схемі геометричних ймовірностей можна об'єднувати, поєднувати і будувати на їх основі протилежні - при цьому виходитимуть, взагалі кажучи, відмінні від вихідних події. Наступна властивість дуже важлива. 3. Якщо події - несумісні, то, зокрема, справедливий принцип додатковості: Це властивість, зване зазвичай правилом складання ймовірностей, очевидно випливає з адитивності меры5 *. На закінчення відзначимо, що ймовірність здійснення будь-якого результату в схемі геометричних ймовірностей завжди дорівнює нулю, так само як і нулю ймовірність будь-якої події, що описується «худим» безліччю точок, тобто. безліччю, міра якого (відповідно - довжина, площа, обсяг) дорівнює нулю. Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють обчислення ймовірностей у схемі геометричних ймовірностей. Приклад 1. Експеримент полягає у випадковому виборі точки відрізка [а, 6|. Знайти ймовірність того, що обрана точка, що лежить у лівій половині відрізка, що розглядається. 4 За визначенням, ймовірність вибору точки з будь-якої множини на відрізку більше нуля, а їх твір негативно.
Відповідь: 0;25.

4.6. Під час бойового навчання н-ська ескадрилья бомбардувальників отримала завдання атакувати нафтобазу "противника". На території нафтобази, що має форму прямокутника зі сторонами 30 і 50 м, знаходяться чотири круглі нафтобаки діаметром 10 м кожен. Знайдіть ймовірність прямого ураження нафтобаків бомбою, що потрапила на територію нафтобази, якщо попадання бомби в будь-яку точку цієї бази є рівноймовірним.
Відповідь: π/15.

4.7. Два дійсні числа x і y вибираються навмання так, що сума їх квадратів менша за 100. Яка ймовірність, що сума квадратів цих чисел виявиться більшою за 64?
Відповідь: 0;36.

4.8. Двоє друзів домовилися зустрітися між 13 та 14 годинами. Прийшовши першим чекає другого протягом 20 хвилин, після чого йде. Визначте ймовірність зустрічі друзів, якщо моменти їхнього приходу у вказаному проміжку часу рівноможливі.
Відповідь: 5/9.

4.9. Два пароплави повинні підійти до одного і того ж причалу. Час приходу обох пароплавів рівноможливий протягом доби. Визначте ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава дорівнює одній годині, а другій - на дві години.
Відповідь: ≈ 0;121.

4.10. Навмання взяті два позитивні числа x і y, кожне з яких не перевищує двох. Знайдіть ймовірність того, що добуток x · y буде не більше одиниці, а приватне y/x не більше двох.
Відповідь: ≈ 0;38.

4.11. В області G, обмеженою еліпсоїдом , навмання зафіксована точка. Яка ймовірність того, що координати (x; y; z) цієї точки задовольнятимуть нерівності x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Відповідь: 1/3.

4.12. У прямокутник з вершинами R(-2;0), L(-2;9), M(4;9), N(4;0) кинута точка. Знайдіть ймовірність того, що її координати задовольнятимуть нерівності 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Відповідь: 2/3.

4.13. Область G обмежена колом x 2 + y 2 = 25, а область g - цим колом і параболою 16x - 3y 2 > 0. Знайдіть ймовірність влучення в область g.
Відповідь: ≈ 0;346.

4.14. Навмання взяті два позитивні числа x і y, кожне з яких не перевищує одиниці. Знайдіть ймовірність того, що сума x + y не перевищує одиниці, а добуток x · y не менший за 0,09.
Відповідь: ≈ 0;198.

Розглянемо, що таке геометрична імовірність (геометричне визначення імовірності) на прикладах деяких завдань. Нехай дано відрізок завдовжки. Розділимо його навпіл (для однозначності точку поділу віднесемо до лівої половини). Навмання викладається крапка на цей відрізок. Можливі два випадки: "точка потрапила на ліву половину" - подія; "точка потрапила на праву половину" - подія. Так як точка кладеться навмання, тоді доцільно вважати, що ці події рівноможливі. Тоді ймовірність події, так само виходить і з.

Тепер розділимо відрізок на 10 рівних частин (довжина кожного). Випадково кидаємо крапку на цей відрізок. Можливі випадки: "крапка потрапила на перший відрізок" - подія, "крапка потрапила на другий відрізок" - подія, "крапка потрапила на третій відрізок" - подія і так до відрізка десятого -. Вважаючи ці події рівноможливими отримуємо, що ймовірність кожної з цих подій дорівнює 0,1. Тобто, .

Нехай подія полягає в тому, що випадково покинута точка потрапила, наприклад, на відрізок . Оскільки події сприяють чотири з можливих випадків, тоді ймовірність можна уявити:

Звідси випливає:

- Імовірність випадкового попадання точки на відрізок довжиною, який міститься на відрізку довжиною.

Наведений вище підхід можна узагальнити для плоских фігур (див. рис. 1), а також у просторі для тел.

Рис. 1

Нехай фігура , площа якої дорівнює , поміщається у фігурі , площа якої , тоді ймовірність події , яка полягає в тому, що навмання покинута точка потрапить у фігуру , дорівнює відношенню площі цих фігур, тобто:

Для формул (1) і (2) мається на увазі "рівноможливість" випадкового попадання точки в довільну точку відрізка або фігури.

Геометрична модель

З метою наочності розглянемо таку модель:

Нехай фігура – ​​це прямокутник розміру x (його площа), описаний навколо фігури намальованої на асфальті. Замість точок, які вибираються навмання у прямокутнику, вважатимемо краплі дощу, що тільки починається. Після певного часу прямокутник закриємо від дощу і порахуємо кількість крапель, які потрапили на весь прямокутник, а також кількість крапель, які потрапили на фігуру. Обчислимо відносну частоту. Нам вже відомо, що за формулою (2) можна знайти ймовірність подій, яка полягає у випадковому виборі точки з фігури. У разі це співвідношення площ , з другого боку . Тому в нас виходить наближена рівність, за допомогою якої можна знайти площу фігури,

Зрозуміло, що цей приклад наведено для наочності, а насправді краще обчислювати за допомогою комп'ютерної програми. Однак техніка і не завжди може бути під рукою. Хотілося б показати ще кілька прикладів, щоб ви чіткіше зрозуміли тему геометричної ймовірності.

Завдання на тему: “Геометричне визначення ймовірності”

Приклад 1

Завдання

Два студенти після занять домовилися зустрітись біля входу корпусу. Так як у кожного з них могли з'явитися непередбачені обставини, вони домовилися, що зустріч відбудеться з 14:00 до 15:00. Таким чином, хто перший приходить до місця призначення, той чекає 15 хвилин (але не пізніше 15:00) і йде. Знайти ймовірність зустрічі, якщо взяти годину очікування:

а) 15 хвилин;

б) 20 хвилин;

в) 30 хв.

Рішення

Нехай – година приходу першого студента на місце зустрічі – другого.

Зустріч відбувається за умови, що:

Безліч розв'язків нерівностей зображено на рис. 2.

Площа квадрата . Площа фігури .

Тому ймовірність зустрічі (подія):

При хвилин маємо;

за хвилин: ;

за хвилин: .

Рис. 2

Відповідь

Можливість зустрічі при очікуванні 15 хвилин приблизно 0, 44;

Імовірність зустрічі при очікуванні 20 хвилин = 0,55;

Імовірність зустрічі при очікуванні 30 хвилин близько 0,75.

Приклад 2

Завдання

Знайти площу параболічного сегмента, який заданий рівностями:

Рішення

Параболічний сегмент показано на рис. 3.

Рис. 3

Крапки перетину з віссю – і .

Цю площу можна обчислити за допомогою певного інтегралу або за допомогою формули:

де – коефіцієнт при рівності параболи.

Покажемо, як знайти потрібну площу, використовуючи геометричне визначення ймовірності. Опишемо навколо параболічного сегмента квадрат із стороною 4 одиниці. Площа кв. од. (Див. рис. 3). За допомогою стандартної функції генерування випадкових точок , які потрапляють у квадрат, у тому числі точок, що знаходяться в параболічному сегменті, знайдемо відносну частоту потрапляння випадкових точок у параболічний сегмент. Тоді за формулою (3) знаходимо .

У таблиці 1 наведено результати розрахунків найближчих значень площі параболічного сегмента для різних значень і . Так, із рис. 3 видно, що у квадрат потрапило 10 крапок, а сегмент – 6, тому першого наближення площі ми виходить:

; що й записуємо у першому рядку табл. 1:

Таблиця 1

Відповідь

Площа знайдена під час використання геометричного визначення ймовірності, яка вирахована та записана у таблиці.

Геометричне визначення ймовірності випадкової подіїоновлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру

План-конспект розроблений

Геометрична ймовірність

Цілі і завдання: 1) Познайомити учнів з одним із можливих способів завдання

ймовірності;

2) Повторення пройденого та закріплення навичок формалізації

текстових імовірнісних задач за допомогою геометричних фігур.

Результати навчання:

1) Знати визначення геометричної ймовірності вибору точки

усередині фігури на площині та прямій;

2) Вміти вирішувати найпростіші завдання на геометричну ймовірність,

знаючи площі фігур чи вміючи їх обчислювати.

I. Вибір точки фігури на площині.

приклад 1.Розглянемо уявний експеримент: точку навмання кидають на квадрат, сторона якого дорівнює 1. Постає питання, яка ймовірність події, яка полягає в тому, що відстань від цієї точки до найближчої сторони квадрата не більше ніж ?

У цьому завдання йдеться про так звану геометричні ймовірності.

Крапку навмання кидають у фігуру Fна площині. Якою є ймовірність того, що точка потрапляє в деяку фігуру G,яка міститься у фігурі F.

Відповідь залежить від того, який сенс ми вкладаємо у вираз «кинути крапку навмання».

Зазвичай цей вислів трактують так:

1. Покинута точка може потрапити в будь-яку частину фігури F.

2. Імовірність того, що крапка потрапляє у деяку фігуру Gвсередині фігури F,прямо пропорційна площі фігури G.

Підіб'ємо підсумок: нехай і - площі фігур Fі G. Ймовірність події А«точка Х належить фігурі G,яка міститься у фігурі F», рівна

Зауважимо, що площа фігури Gне більше, ніж площа фігури F,тому

Повернемося до нашого завдання. Фігура Fу цьому прикладі квадрат зі стороною 1. Тому =1.

Крапка віддалена від межі квадрата не більше ніж на , якщо вона потрапила в заштриховану на малюнку фігуру G.Щоб знайти площу, потрібно з площі фігури Fвідняти площу внутрішнього квадрата зі стороною.

Тоді ймовірність того, що крапка потрапила у фігуру G,дорівнює

приклад 2.З трикутника АВС випадково вибирається точка Х. Знайти ймовірність того, що вона належить трикутнику, вершинами якого є середини сторін трикутника.

Рішення:Середні лінії трикутника розбивають його на 4 рівні трикутники. Значить,

Імовірність того, що точка Х належить трикутнику KMN, дорівнює:

Висновок. Імовірність влучення точки в деяку фігуру прямо пропорційна площі цієї фігури.

Завдання. Нетерплячі дуелянти.

Дуелі у місті Обережності рідко закінчуються сумним результатом. Справа в тому, що кожен дуелянт прибуває на місце зустрічі у випадковий момент часу між 5 і 6 годинами ранку і, чекаючи на суперника 5 хвилин, видаляється. У разі прибуття останнього в ці 5 хвилин дуель відбудеться. Яка частина дуелей справді закінчується поєдинком?

Рішення:Нехай хі упозначають час прибуття 1-го т 2-го дуелянтів відповідно, виміряне у частках години, починаючи з 5 годин.

Дуелянти зустрічаються, якщо , тобто. x - < y< x + .

Зобразимо це на кресленні.

Заштрихована частина квадрата відповідає випадку, коли зустрічаються дуелянти.

Площа всього квадрата 1, площа заштрихованої частини:

.

Отже, шанси на поєдинок рівні.

II. Вибір точки з відрізка та дуги кола.

Розглянемо уявний експеримент, який полягає у випадковому виборі однієї точки Х із деякого відрізка MN.

Це можна розуміти так, ніби точку Х випадково «кидають» на відрізок. Елементарною подією цього досвіду може стати вибір будь-якої точки відрізка.

Нехай відрізок CD міститься у відрізку MN. Нас цікавить подія А , що полягає в тому, що обрана точка Х належить відрізку CD.

Метод обчислення цієї ймовірності той самий, що й фігур на площині: ймовірність пропорційна довжині відрізка CD.

Отже, ймовірність події А «точка Х належить відрізку CD, що міститься у відрізку MN» дорівнює, .

приклад 1.Усередині відрізка MN випадково вибирається точка Х. Знайдіть ймовірність того, що точка Х ближче до точки N, ніж до M.

Рішення:Нехай точка О – середина відрізка MN. Наша подія настане тоді, коли точка Х лежить усередині відрізка ON.

Тоді .

Нічого не змінюється, якщо точка Х вибирається з відрізка, та якщо з дуги деякої кривої лінії.

приклад 2.На колі дані точки А і В, причому ці точки не є діаметрально протилежними. На цьому ж колі вибирається точка С. Знайти ймовірність того, що відрізок ВС перетне діаметр кола, що проходить через точку А.

Рішення:Нехай довжина кола дорівнює L. Цікава для нас подія До «відрізок ВС перетинає діаметр DA» настає, тільки якщо т. С лежить на півкола DA, що не містить точку В. Довжина цього півкола дорівнює L.

.

приклад 3.На колі взята точка А. На коло «кидають» точку В. Яка ймовірність того, що довжина хорда АВ буде меншою за радіус кола.

Рішення:Нехай r – радіус кола.

Для того щоб хорда АВ була коротшою за радіус кола, точка повинна потрапити на дугу В1АВ2, довжина якої дорівнює довжині кола.

Імовірність того, що довжина хорди АВ буде меншою за радіус кола, дорівнює:

III. Вибір точки з числового відрізка

Геометричну ймовірність можна застосовувати до числових проміжків. Припустимо, що випадково вибирається число Х, що задовольняє умові . Цей досвід можна замінити досвідом, у якому з відрізка на числовій прямій вибирається точка з координатою Х.

Розглянемо подію, яка полягає в тому, що точка з координатою Х обрана з відрізка , що міститься у відрізку . Цю подію позначимо. Його ймовірність дорівнює відношенню довжин відрізків і .

.

приклад 1.Знайти ймовірність того, що точка, яка випадково вибрана з відрізка , належить відрізку .

Рішення:За формулою геометричної ймовірності знаходимо:

.

приклад 2.Згідно з правилами дорожнього руху, пішохід може перейти вулицю у невстановленому місці, якщо в межах видимості немає пішохідних переходів. У місті Миргороді відстань між пішохідними переходами на вулиці Сонячній дорівнює 1 км. Пішохід переходить вулицю Сонячну десь між двома переходами. Він може бачити знак переходу не далі ніж за 100 м від себе. Знайдіть ймовірність того, що пішохід не порушує правила.

Рішення:Скористаємося геометричним методом. Розташуємо числову пряму так, що ділянка вулиці між переходами виявиться відрізком . Нехай пішохід підходить до вулиці в деякій точці з координатою Х. Пішохід не порушує правила, якщо він знаходиться на відстані більш ніж 0,1 км від кожного переходу, тобто 0,1

.

приклад 3.Поїзд проходить повз платформу за півхвилини. Якоїсь миті, зовсім випадково визирнувши зі свого купе у вікно, Іван Іванович побачив, що поїзд іде повз платформу. Іван Іванович дивився у вікно рівно десять секунд, а потім відвернувся. Знайдіть ймовірність того, що він бачив Івана Никифоровича, який стояв посередині платформи.

Рішення:Скористаємося геометричним методом. Будемо вести відлік за секунди. За 0 секунд приймемо момент, коли Іван Іванович зрівнявся з початком платформи. Тоді кінця платформи він досяг у момент 30 секунд. За Х сек. Позначимо момент, коли Іван Іванович визирнув у вікно. Отже, число Х випадково вибирається з відрізка . З Іваном зрівнявся на момент 15 секунд. Він побачив Івана Никифоровича, тільки якщо він визирнув у вікно не пізніше за цей момент, але не раніше, ніж за 10 секунд до цього. Таким чином, потрібно знайти геометричну ймовірність події. За формулою знаходимо

.

«Ймовірнісне підґрунтя»

На самому початку поеми «Мертві душі» двоє мужиків сперечаються щодо того, як далеко доїде колесо в екіпажі Чичикова:

«...два російських мужика, що стояли біля дверей шинку проти готелю, зробили деякі зауваження, що стосувалися втім, більше до екіпажу, ніж до того, що сидів у ньому. «Бач ти», сказав один одному: «Ось яке колесо! Що ти думаєш, доїде те колесо, якби трапилося, до Москви, чи не доїде? – «Доїде», відповідав інший. «А до Казані, я думаю, не доїде?» «До Казані не доїде», відповідав інший».

Завдання на вирішення.

1. Знайти ймовірність того, що точка випадково кинута в квадрат ABCD зі стороною 4 потрапить у квадрат A1B1C1D1 зі стороною 3, що знаходиться всередині квадрата ABCD.

Відповідь. 9/16.

2. Дві особи А і В домовилися зустрітися в певному місці в проміжку часу від 900 до 1000. Кожна з них приходить навмання (у вказаний проміжок часу), незалежно від іншої і чекає 10 хвилин. Яка ймовірність того, що вони зустрінуться?

Відповідь. 11/36.

3. У відрізку АВ довжини 3 випадково з'являється точка С. Визначити ймовірність того, що відстань від точки до В перевищує 1.

Відповідь. 2/3.

4. У коло радіусом 5 вписано трикутник найбільшої площі. Визначте ймовірність попадання в трикутник точки випадково кинутої в коло.

5. Буратіно посадив на прямокутний лист розміром 20 см на 25 см круглу ляпку радіусом 1 см. Відразу після цього Буратіно посадив ще одну таку ж ляпку, яка цілком опинилася на аркуші. Знайдіть ймовірність того, що ці дві ляпки не стикаються.

6. У коло вписано квадрат ABCD. На цьому колі випадково вибирається точка М. Знайдіть ймовірність того, що ця точка лежить на: а) меншій дузі АВ; б) більшу дугу АВ.

Відповідь. а) 1/4; б) 3/4.

7. На відрізок випадково кидається точка Х. З якою ймовірністю виконується нерівність: а) ; б); в)?

Відповідь. а) 1/3; б) 1/3; в) 1/3.

8. Про село Іванове відомо лише, що воно знаходиться десь на шосе між Миргородом та Старгородом. Довжина шосе дорівнює 200 км. Знайдіть ймовірність того, що:

а) від Миргорода до Іваново шосе менше 20 км;

б) від Старгорода до Іваново шосе більше 130 км;

в) Іваново знаходиться менш ніж за 5 км від середини шляху між містами.

Відповідь. а) 0,1; б) 0,35; в) 0,05.

Додатковий матеріал

Геометричний підхід до ймовірності події не залежить від виду вимірювань геометричного простору: важливо тільки, щоб безліч елементарних подій F і безліч G, що представляє подію А, були б однакового виду та однакових вимірювань.

2. Випадкова точка Х рівномірно розподілена у квадраті . Знайти ймовірність того, що квадрат із центром Х та сторонами довжини b, паралельними осям координат, цілком міститься у квадраті А.

Література:

1. Теорія ймовірностей та статистика / , . - 2-ге вид., Перероблене. - М.: МЦНМО: підручники », 2008. - 256 с.: Іл.

2. Теорії ймовірностей та математична статистика в прикладах та задачах із застосуванням Excel / , . - Вид. 4-те. - Ростов н / Д: Фенікс, 2006. - 475 с.: Іл. - (Вища освіта).

3. П'ятдесят цікавих ймовірнісних завдань із рішеннями. Пров. з англ. / За ред. . 3-тє вид. - М.: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 88 с.

4. Збірник завдань з теорії ймовірностей: Навч. Посібник для вузів. /, - 2-ге вид., Випр. І дод. - М.: Наука. Гол. ред. Фіз.-мат. Літ. - 1989. - 320с.

5. Факультативний курс з математики: Теорія ймовірностей: Навч. Посібник для 9-11 кл. середовищ. шк./ – 3-тє вид. перероб. - М.: Просвітництво, 1990. - 160 с.