Що станеться із площею прямокутного аркуша паперу. Застосування елементів триз під час уроків математики. Квадрати із Чотирьох частин

Розділи: Математика

Мета уроку:

Узагальнення та систематизування отриманих знань.
Розширення уявлень учнів про розв'язання завдань перебування найбільшого і найменшого значення.

Хід уроку

1 Етап уроку

Вступ вчителя:кожна людина іноді виявляється у ситуації, коли треба знайти найкращий спосіброзв'язання будь-якої задачі.

Наприклад: інженери-технологи намагаються так організувати виробництво, щоб отримати якнайбільше продукції, конструктори хочуть так спланувати прилади на космічному кораблі, щоб маса приладу була найменшою і т.д.

Можна сміливо сказати, що завдання знайти найбільшого і найменшого значення мають практичне застосування.

У доказі своїх слів хочу привести з розповіді Л.Н. Толстого «Чи багато людині землі потрібно» про селянина Пахома, які купували землю у башкирців.

- А ціна яка буде? – каже Пахом.
- Ціна у нас одна: 1000 грн. за день.
Не зрозумів Пахом.
- Який же це захід - день? Скільки у ній десятин буде?
- Ми цього, - каже, - не вміємо рахувати. А ми за день продаємо; скільки обійдеш на день, то й твоє, а ціна 1000 грн.
Здивувався Пахом.
- Та це, - каже, - у день обійти землі багато буде.
Засміявся старшина.
- Уся твоя, - каже. — Тільки одна вмовляння: якщо назад не прийдеш у день до того місця, з якого візьмешся, зникли твої гроші.
- А як же, - каже Пахом, - відзначити, де я пройду?
- А ми станемо на місце, де ти облюбуєш; ми стоятимемо, а ти йди, роби коло, а з собою скребку візьми і, де треба, помічай, на кутках ямки рій, дернички клади; потім із ямки на ямку плугом пройдемо. Який хочеш забирай коло, тільки до заходу сонця приходь до того місця, з якого взявся. Що обійдеш, все твоє.

Фігура, що вийшла у Пахома, зображено малюнку. Що то за фігура? (Прямокутна трапеція)

Запитання:Як ви вважаєте, чи найбільшу площу отримав Пахом. (з урахуванням того, що ділянки зазвичай мають форму чотирикутника)? Сьогодні на уроці ми це з'ясуємо.

Щоб вирішити цю задачу, нам потрібно згадати які етапи утримуватися при вирішенні екстремальних завдань?

Завдання перекладається мовою функції.
Засобами аналізу шукається найбільше чи найменше значення.
З'ясувати, який практичний сенс має отриманий результат.

Завдання №1 (Вирішимо всім класом)

Периметр прямокутника 120 см. Яку довжину повинні мати сторони прямокутника, щоб площа була найбільшою.

Повертаємося до завдання, з якого розпочали урок. Чи найбільшу площу отримав Пахом (з урахуванням того, що ділянки зазвичай мають форму чотирикутника)? З учнями обговорюємо, яку найбільшу площу міг отримати Пахом.

2 Етап уроку

За заздалегідь на дошці написаним завданням йде пояснення (їх дві).

Завдання №1

Знайти, за яких умов витрата жерсті виготовлення консервних банок циліндричної форми заданої ємності буде найменшою.
Звертаю увагу хлопців, що у нас в країні випускаються сотні мільйонів банок і заощаджена витрата жерсті хоча б на 1% дозволить додатково випускати мільйони банок.

Завдання №2

Човни розташовані на відстані 3 км від найближчої точки А берега. У пункті В, що знаходиться на відстані 5 км. від А, пожежа. Човняр бажає прийти на допомогу, тому йому потрібно потрапити туди в найкоротший час. Човен рухається із швидкістю 4 км/год, а пасажир 5 км/год. До якого пункту берега має причалити човняр?

3 Етап уроку

Робота з груп із наступним захистом завдань.

Завдання №1

Одна з граней прямокутного паралелепіпеда – квадрат. Сума довжин ребер, що виходять з однієї вершини паралелепіпеда, дорівнюють 12. Знайдіть його найбільший можливий об'єм.

Завдання №2

Для монтажу обладнання необхідна підставка об'ємом 240 дм3 у формі прямокутного паралелепіпеда. Основа підставки, яка буде вмонтована в підлогу, є прямокутником. Довжина прямокутника втричі більша за ширину. Задня довша стінка підставки буде вмонтована у стіну цеху. При монтажі підставки її стінки, не вмонтовані в підлогу або стіну, з'єднуються між собою за допомогою зварювання. Визначте розміри підставки, коли загальна довжина зварювального шва буде найменшою.

Завдання №3

З круглої колоди вирізають балку з прямокутним перетином найбільшої площі. Знайдіть розміри перерізу балки, якщо радіус перерізу колоди дорівнює 30 см.

Завдання №4

З прямокутного листа картону зі сторонами 80 см і 50 см потрібно зробити коробку прямокутної форми, вирізавши по краях квадрати і загнувши краї, що утворилися. Якою висоти має бути коробка, щоб її об'єм був найбільшим. Знайти цей обсяг.

4 Етап уроку

Вирішення завдань на оцінку на вибір.

Завдання №1

З дроту довжиною 80 см треба зробити прямокутник найбільшої площі. Знайти його розміри.

Завдання №2

Сума довжин ребер правильної трикутної призми дорівнює 18√3. Знайти найбільший можливий обсяг такої призми.

Завдання №3

Діагональ прямокутного паралелепіпеда, одна з бічних граней якого є квадратом, дорівнює 23. Знайдіть найбільший можливий обсяг такого паралелепіпеда.

5 етап уроку

Сторінка 6 з 8

Розділ п'ятий.

ЗНИКНЕННЯ ФІГУР. РОЗДІЛ I

У цьому й наступному розділах ми простежимо ходом розвитку багатьох чудових геометричних парадоксів. Всі вони починаються з розрізання фігури на шматки і закінчуються складанням цих шматків нової фігури. При цьому складається враження, що частина первісної фігури (це може бути частина площі фігури або один із кількох зображених на ній малюнків) безвісти зникла. Коли ж шматки повертаються на свої початкові місця, частина площі або малюнок, що зникла, таємничим чином виникають знову.

Геометричний характер цих цікавих зникнень і появ виправдовує зарахування цих парадоксів до розряду математичних головоломок.

Парадокс із лініями

Усі численні парадокси, які ми тут збираємося розглядати, ґрунтуються на тому самому принципі, який ми назвемо «принципом прихованого перерозподілу». Ось дуже старий і дуже елементарний феномен, який відразу пояснює суть цього принципу.

Накреслимо на прямокутному аркуші паперу десять вертикальних ліній однакової довжини та проведемо пунктиром діагональ, як показано на рис. 50.

Подивимося на відрізки цих ліній над діагоналлю та під нею; Неважко помітити, що довжина перших зменшується, а друге відповідно збільшується.

Розріжемо прямокутник по пунктирній лінії і зрушимо нижню частину вліво вниз, як показано на рис. 51.

Порахувавши кількість вертикальних ліній, ви виявите, що тепер їх стало дев'ять. Яка лінія зникла й куди? Посуньте ліву частину в попереднє положення, і зникла лінія з'явиться знову.

Але яка лінія стала на своє місце і звідки взялася?

Спочатку ці питання здаються загадковими, але після невеликого роздуму стає зрозумілим, що ніяка окрема лінія при цьому не зникає і не виникає. Відбувається таке: вісім цих прирощень точно дорівнює довжині кожної з початкових ліній.

Можливо, суть парадоксу виступить ще виразніше, якщо його ілюструвати на камінчиках.

Візьмемо п'ять купок каменів по чотири камені в купці. Перемістимо один камінчик з другої купки в першу, два камінчики з третьої в другу, три з четвертої в третю і, нарешті, всі чотири камінчики з п'ятої в четверту. Рис. 52 пояснює наші дії.

Після такої пересування виявляється, що купок стало лише чотири. Неможливо відповісти на запитання, яка купка зникла, тому що камінці були перерозподілені так, що в кожній з чотирьох купок по камінчику додалося. В точності те саме відбувається і в феномені з лініями. Коли частини листа зсуваються по діагоналі, відрізки розрізаних ліній перерозподіляються і кожна лінія, що виходить при цьому, стає трохи довшою за початкову.

Зникнення особи

Перейдемо до опису способів, з яких парадокс з лініями можна зробити цікавішим і цікавим. Цього можна, наприклад, досягти, замінивши зникнення та появу ліній таким самим зникненням та появою плоских фігур. Тут особливо підійдуть зображення олівців, цигарок, цегли, капелюхів з високою тулією, склянок з водою та інших вертикально протяжних предметів, характер зображення яких до і після зсуву залишається однаковим. За деякої художньої винахідливості можна брати і складніші предмети. Подивіться, наприклад, на обличчя, що зникає, на рис. 53.
При зсуві нижньої смуги на верхній частині малюнка вліво всі капелюхи залишаються незачепленими, проте одна особа повністю зникає! (Див. нижню частину малюнка). Безглуздо питати, яке саме обличчя, оскільки при зрушенні чотири особи поділяються на дві частини. Ці частини потім перерозподіляються, причому кожна особа отримує кілька додаткових рис: одне, наприклад, більш довгий ніс, інше - витягнуте підборіддя і т. д. Однак ці маленькі перерозподіли дотепно приховані, а зникнення всього обличчя, звичайно, вражає набагато сильніше, ніж зникнення шматка лінії.

«Зниклий воїн»

У цій головоломці парадоксу з лініями надано кругову форму та прямолінійні відрізки замінені фігурами 13 воїнів (рис. 54).
Велика стріла вказує при цьому на північний схід. Якщо ж малюнок розрізати по колу, а потім внутрішню частину почати повертати проти годинникової стрілки, то фігури спочатку розділяться на частини, потім з'єднаються знову, але вже по-іншому, і коли велика стріла вкаже північний захід С.З., малюнку буде 12 воїнів (рис. 55).
При обертанні кола у напрямку до положення, коли велика стріла встане знову на СВ., зниклий воїн з'явиться знову.

Якщо рис. 54 розглянути уважніше, можна помітити, що два воїна в лівій нижній частині малюнка розташовані по-особливому: вони знаходяться один проти одного, тоді як всі інші розміщені ланцюжком. Ці дві фігури відповідають крайнім лініям у феномені з відрізками. Виходячи з вимог малюнка, у кожної з цих фігур повинна бути частина ноги, і щоб у поверненому положенні колеса цей недолік був менш помітний, краще було зобразити їх поруч.

Зазначимо ще, що воїни зображені малюнку зі значно більшою винахідливістю, ніж це може здатися з першого погляду. Так, наприклад, щоб фігури залишалися у вертикальному положенні у всіх місцях глобуса, потрібно в одному випадку мати замість лівої ноги праву, а в іншому, навпаки, замість правої лівої ноги.

Зниклий кролик

Парадокс вертикальних ліній можна, очевидно, показувати і більш складних об'єктах, наприклад людських обличчях, фігурах тварин тощо. буд. На рис. 56 показано один варіант.
Коли після розрізання по товстій лінії міняють місцями прямокутники А, один кролик зникає, залишаючи замість себе пасхальне яйце. Якщо замість перестановки прямокутників А і В розрізати праву половину малюнка по пунктирній лінії і поміняти місцями праві частини, кількість кроликів збільшиться до 12, однак один кролик втрачає вуха і з'являються інші смішні деталі.

Розділ шостий.

ЗНИКНЕННЯ ФІГУР. РОЗДІЛ I I

Парадокс шахівниці

У близькому зв'язку з парадоксами, розглянутими у попередньому розділі, перебуває інший клас парадоксів, у якому «принципом прихованого перерозподілу» пояснюється таємниче зникнення чи поява площ. Один із найстаріших і найпростіших прикладів парадоксів цього роду наведено на рис. 57.
Шахова дошка розрізається навскіс, як це зображено на лівій половині малюнка, а потім частина зсувається вліво вниз, як це показано на правій половині малюнка. Якщо трикутник, що виступає у правому верхньому кутку, відрізати ножицями і помістити на вільне місце, що має вигляд трикутника в нижньому лівому куті малюнка, то вийде прямокутник в 7x9 квадратних одиниць.

Початкова площа дорівнювала 64 квадратним одиницям, тепер вона дорівнює 63. Куди зникла одна квадратна одиниця, що не вистачає?

Відповідь полягає в тому, що наша діагональна лінія проходить дещо нижче лівого нижнього кута клітини, яка знаходиться у правому верхньому кутку дошки.

Завдяки цьому відрізаний трикутник має висоту, що дорівнює не 1, а 1 1/7. І, таким чином, висота не дорівнює 9, а 9 1/7 одиницям. Збільшення висоти на 1/7 одиниці майже непомітно, але, беручи до уваги, воно призводить до необхідної площі прямокутника в 64 квадратні одиниці.

Парадокс стає ще більш разючим, якщо замість шахової дошки взяти просто квадратний аркуш паперу без клітин, тому що в нашому випадку при уважному вивченні виявляється неакуратне змикання клітин уздовж лінії розрізу.

Зв'язок нашого парадоксу з парадоксом вертикальних ліній, розглянутим у попередньому розділі, стає зрозумілим, якщо простежити за клітинами біля лінії розрізу. При просуванні вздовж лінії розрізу нагору виявляється, що над лінією частини розрізаних клітин (на малюнку вони затемнені) поступово зменшуються, а під лінією поступово збільшуються. На шахівниці було п'ятнадцять затемнених клітин, а на прямокутнику, що вийшов після перестановки частин, їх стало тільки чотирнадцять. Зникнення однієї затемненої клітини, що здається, є просто інша форма розглянутого вище парадоксу. Коли ми відрізаємо і потім перемішаємо маленький трикутник, ми фактично розрізаємо частину А шахівниці на два шматки, які потім міняються місцями вздовж діагоналі.

Для головоломки важливі тільки клітини, що прилягають до лінії розрізу, решта ніякого значення не має, граючи роль оформлення. Однак присутність їх змінює характер феномена. Замість зникнення однієї з кількох маленьких клітин (або дещо складнішої фігури, скажімо, гральні карти, людської особи і т. п., яку можна було накреслити всередині кожної клітини) ми стикаємося тут зі зміною площі великої геометричної фігури.

Парадокс із площею

Ось ще один парадокс із площею. Змінюючи положення А і З, як показано на рис. 58, можна перетворити прямокутник площею 30 квадратних одиниць на два менших прямокутника із загальною площею 32 квадратні одиниці, отримуючи, таким чином, «виграш» у дві квадратні одиниці. Як і в попередньому парадоксі, тут відіграють роль лише клітини, що примикають до лінії розрізу. Інші потрібні лише як оформлення.
У цьому феномені існують два дуже різних методи розрізування фігури на частини.

Можна почати з великого прямокутника розміром 3x10 одиниць (верхня частина рис. 58), акуратно проводячи в ньому діагональ, тоді два менші прямокутники (нижня частина рис. 58) будуть на 1/5 одиниці коротше своїх розмірів, що здаються.

Але можна почати з фігури, складеної з двох акуратно накреслених менших прямокутників розміром 2x6 і 4x5 одиниць; тоді відрізки, що з'єднують точку X з точкою і точку У з точкою Z, не становитимуть пряму лінію. І тільки тому, що утворений ними тупий кут з вершиною в точці У дуже близький до розгорнутого, ламана ХУZ здається прямою лінією. Тому фігура, складена з частин малих прямокутників, не буде прямокутником, так як ці частини будуть злегка перекриватися вздовж діагоналі. Парадокс з шахівницею, так само як і більшість інших парадоксів, які ми збираємося розглянути в цьому розділі, теж можуть бути представлені у двох варіантах. В одному з них парадокс виходить за рахунок незначного зменшення або збільшення висоти (або ширини) фігур, в іншому - за рахунок приросту або втрати площі вздовж діагоналі, що викликаються або перекриттям фігур, як у щойно розглянутому випадку, або появою порожніх місць, з чим ми незабаром зустрінемося.

Змінюючи розміри фігур і нахил діагоналі, цьому парадоксу можна надати різне оформлення. Можна досягти втрати або приросту площі в 1 квадратну одиницю або 2, 3, 4, 5 одиниць і т.д.

Варіант із квадратом

В одному витонченому варіанті вихідні прямокутники розміром 3x8 і 5x8 одиниць, будучи приставлені один до одного, утворюють звичайну шахівницю в 8х8 клітин. Ці прямокутники розрізаються на частини, які після перерозподілу утворюють новий великий прямокутник з приростом площі, що здається, в одну квадратну одиницю (рис. 59).
Суть феномена полягає в наступному. При акуратній побудові креслення квадрата суворої діагоналі великого прямокутника не виходить. Замість неї з'являється ромбоподібна фігура, настільки витягнута що сторони її здаються такими, що майже злилися. З іншого боку, при акуратному проведенні діагоналі великого прямокутника; висота верхнього із двох прямокутників, що становлять квадрат, буде трохи більше, ніж це має бути, а нижній прямокутник – трохи ширший. Зауважимо, що неакуратне змикання частин фігури при другому способі розрізування більше впадає у вічі, ніж неточності вздовж діагоналі у першому; тому перший спосіб кращий. Як і в прикладах, що раніше зустрічалися, всередині клітин, розсічених діагоналлю, можна малювати кружечки, фізіономії або які-небудь фігурки; при перестановці складових частин прямокутників цих фігурок ставатиме однією більше чи менше.

Числа Фібоначчі

Виявляється, що довжини сторін чотирьох частин, що становлять фігури (рис. 59 і 60), є членами ряду Фібоначчі, тобто ряду чисел, що починається з двох одиниць: 1, 1, кожне з яких, починаючи з третього, є сумою двох попередніх. Наш ряд має вигляд 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Розташування частин, на які був розрізаний квадрат, у вигляді прямокутника ілюструє одну з властивостей ряду Фібоначчі, а саме наступне: при зведенні в квадрат будь-якого члена цього ряду виходить добуток двох сусідніх членів ряду плюс або мінус одиниця. У нашому прикладі сторона квадрата дорівнює 8, а площа дорівнює 64. Вісімка в ряді Фібоначчі розташована між 5 і 13. Оскільки числа 5 і 13 стають довжинами сторін прямокутника, то площа його повинна бути рівною 65, що дає приріст площі в одну одиницю.

Завдяки цій властивості ряду можна побудувати квадрат, стороною якого є будь-яке число Фібоначчі, більше одиниці, а потім розрізати його відповідно до двох попередніх чисел цього ряду.

Якщо, наприклад, взяти квадрат 13x13 одиниць, то три його сторони слід розділити на відрізки довжиною 5 і 8 одиниць, а потім розрізати, як показано на рис. 60. Площа цього квадрата дорівнює 169 квадратних одиниць. Сторони прямокутника, утвореного частинами квадратів, будуть 21 і 8, що дає площу 168 квадратних одиниць. Тут завдяки перекриванню частин уздовж діагоналі одна квадратна одиниця не додається, а втрачається.

Якщо взяти квадрат зі стороною 5, теж відбудеться втрата однієї квадратної одиниці. Можна сформулювати та загальне правило: Прийнявши за бік квадрата якесь число з «першої» підпослідовності розташованих через одне чисел Фібоначчі (3, 8 ...) і склавши з частин цього квадрата прямокутник, ми отримаємо вздовж його діагоналі просвіт і як наслідок приріст площі, що здається, на одну одиницю. Взявши за бік квадрата якесь число з «другої» підпослідовності (2, 5, 13…), ми отримаємо вздовж діагоналі прямокутника перекриття площ і втрату однієї квадратної одиниці площі.

Можна побудувати феномен навіть на квадраті зі стороною в дві одиниці. Але тоді в прямокутнику 3x1 виходить настільки очевидне перекриття, що ефект феномена повністю втрачається.

Використовуючи для феномена інші ряди Фібоначчі, можна отримати безліч варіантів. Так, наприклад, квадрати, засновані на ряді 2, 4, 6, 10, 16, 26 і т. д., призводять до втрат або приростів площі 4 квадратні одиниці. Величину цих втрат або приростів можна дізнатися, обчислюючи для даного рядурізниці між квадратом будь-якого його члена та твором двох його сусідніх членів зліва та праворуч. Ряд 3, 4, 7, 11, 18, 29 і т. д. дає приріст або втрату п'ять квадратних одиниць. Т. де Мулідар навів малюнок квадрата, заснованого на ряді 1, 4, 5, 9, 14 і т. д. Сторона цього квадрата взята рівною 9 і після перетворення його в прямокутник втрачається 11 квадратних одиниць. Ряд 2, 5, 7, 12, 19… також дає втрату чи приріст 11 квадратних одиниць. В обох випадках перекривання (або просвіти) вздовж діагоналі виявляються настільки більшими, що їх одразу можна помітити.

Позначивши якісь три послідовних числа Фібоначчі через А, В і С, а через X - втрату або приріст площі, ми отримаємо такі дві формули:

А + В = С

У 2 = АС ± Х

Якщо підставити замість X бажаний приріст або втрату, а замість число, яке прийнято за довжину сторони квадрата, то можна побудувати квадратне рівняння, з якого знайдуться два інші числа Фібоначчі, хоча це, звичайно, не обов'язково будуть раціональні числа. Виявляється, наприклад, що, поділяючи квадрат на фігури з раціональними довжинами сторін, не можна отримати приріст або втрату в дві або три квадратні одиниці. За допомогою ірраціональних чиселце, звісно, можна досягти. Так, ряд Фібоначчі 2 1/2 , 2·2 1/2 , 3·2 1/2 , 5·2 1/2 дає приріст або втрату у дві квадратні одиниці, а ряд 3 1/2 , 2·3 1/ 2, 3·3 1/2, 5·3 1/2 призводить до приросту або втрати в три квадратні одиниці.

Варіант із прямокутником

Існує багато способів, якими прямокутник можна розрізати на невелику кількість частин, а потім скласти їх у вигляді іншого прямокутника більшої чи меншої площі. На рис. 61 зображено феномен, також заснований на ряді Фібоначчі.
Подібно щойно розглянутому випадку з квадратом, вибір якого-небудь числа Фібоначчі з «другої» підпослідовності як ширина першого прямокутника (в даному випадку 13) призводить до збільшення площі другого прямокутника на одну квадратну одиницю.

Якщо ж за ширину першого прямокутника прийняти якесь число Фібоначчі із «додаткової» підпослідовності, то у другому прямокутнику площа зменшиться на одну одиницю. Втрати та прирости площі пояснюються невеликими перекриваннями чи просвітами вздовж діагонального розрізу другого прямокутника. Інший варіант такого прямокутника показаний на рис. 62 при побудові другого прямокутника призводить до збільшення площі на дві квадратні одиниці.

Якщо заштриховану частину площі другого прямокутника помістити над незаштрихованою частиною, два діагональні розрізи зіллються в одну велику діагональ. Переставляючи тепер частини А та В (як на рис. 61), ми отримаємо другий прямокутник більшої площі.

Ще один варіант парадоксу

При підсумовуванні площ частин перестановка трикутників і С у верхній частині рис. 63 призводить до втрати однієї квадратної одиниці, що здається.
Як читач зауважить, це відбувається за рахунок площ заштрихованих частин: на верхній частині малюнка є 15 заштрихованих квадратиків, на нижній - 16. Замінюючи заштриховані шматки двома фігурами спеціального виду, що покривають їх, ми приходимо до нової, вражаючої форми парадоксу. Тепер перед нами прямокутник, який можна розрізати на 5 частин, а потім, змінюючи їх місцями, скласти новий прямокутник, причому, незважаючи на те, що його лінійні розміри залишаються колишніми, усередині з'являється отвір площею одну квадратну одиницю (рис. 64).
Можливість перетворення однієї фігури в іншу, тих самих зовнішніх розмірів, але з отвором усередині периметра, ґрунтується на наступному. Якщо взяти точку X точно в трьох одиницях від основи та в п'яти одиницях від бічної сторони прямокутника, то діагональ через неї проходити не буде. Однак ламана, що з'єднує точку X з протилежними вершинами прямокутника, так мало відхилятися від діагоналі, що це буде майже непомітно.

Після перестановки трикутників В та С на нижній половині малюнка частини фігури злегка перекриватимуться вздовж діагоналі.

З іншого боку, якщо у верхній частині малюнка розглядати лінію, що з'єднує протилежні вершини прямокутника, як точно проведену діагональ, лінія XW буде трохи довше трьох одиниць. І як наслідок цього другий прямокутник буде дещо вищим, ніж здається. У першому випадку одиницю площі, що бракує, можна вважати розподіленою з кута на кут і утворює перекривання вздовж діагоналей. У другому випадку квадратик розподілений по ширині прямокутника. Як ми вже знаємо з попереднього, всі подібні парадокси можна віднести до одного з цих двох варіантів побудови. В обох випадках неточності фігур настільки незначні, що вони виявляються непомітними.

Найбільш витонченою формою цього парадоксу є квадрати, які після перерозподілу частин та утворення отвору залишаються квадратами.

Такі квадрати відомі в незліченних варіантах і з отворами будь-яку кількість квадратних одиниць. Деякі, найцікавіші їх зображені на рис. 65 та 66.

Можна вказати просту формулу, що зв'язує розмір отвору з пропорціями великого трикутника. Три розміри, про які йтиметься, ми позначимо через А, В до С (рис. 67).
Площа отвору в квадратних одиницях дорівнює різниці між твором А на З і найближчим до нього кратним розміру В. Так, в останньому прикладі добуток А і С дорівнює 25. Найближчий кратний розмір В до 25 є 24, тому отвір виходить в одну квадратну одиницю. Це правило діє незалежно від того, проведена справжня діагональ або точка X на рис. 67 акуратно нанесено на перетині ліній квадратної сітки.

Якщо діагональ, як і має бути, викреслюється як суворо пряма лінія або якщо точка X береться точно однієї з вершин квадратної сітки, то ніякого феномена не виходить. У цих випадках формула дає отвір розміром нуль квадратних одиниць, позначаючи цим, звичайно, що отвори немає взагалі.

Варіант із трикутником

Повернемося до першого прикладу феномена (див. рис. 64). Зауважимо, що великий трикутник А не змінює свого становища, тоді як інші частини переміщаються. Оскільки цей трикутник не відіграє суттєвої ролі у парадоксі, його можна взагалі відкинути, залишаючи лише правий трикутник, розрізаний на чотири частини. Ці частини можна потім перерозподілити, отримуючи при цьому прямокутний трикутник з отвором (рис. 68), ніби дорівнює вихідному.
Складаючи два такі прямокутні трикутники катетами, можна побудувати багато варіантів рівнобедрених трикутників, подібних до зображеного на рис. 69.
Так само як і в раніше розглянутих парадоксах, ці трикутники можна будувати двома способами: або проводити їх бічні сторони строго прямолінійно, тоді точка X не потрапить на перетин ліній квадратної сітки, або поміщати точку X точно в перетин, тоді бічні сторони будуть злегка опуклими або увігнутими. Останній спосіб, здається, краще маскує неточності креслення. Парадокс здасться ще більш дивним, якщо на частинах, що становлять трикутник, нанести лінії квадратної сітки, підкреслюючи цим, що частини виготовлялися з необхідною акуратністю.

Надаючи нашим рівнобедреним трикутникам різні розміри, можна досягти приросту чи втрати будь-якого парного числа квадратних одиниць.

Декілька типових прикладів дано на рис. 70, 71 та 72.

Складаючи основами два рівнобедрених трикутники будь-якого з цих типів, можна побудувати самі різні варіантиромбічного виду; однак вони не додадуть нічого істотно нового до нашого феномена.

Квадрати із Чотирьох частин

Усі розглянуті нами досі види парадоксів із зміною площі близько пов'язані між собою за способом побудови. Проте існують парадокси, отримані й дуже відмінними методами. Можна, наприклад, розрізати квадрат на чотири частини однакової форми та розміру (рис. 73), а потім скласти їх по-новому так, як показано на рис. 74. При цьому виходить квадрат, розміри якого здаються такими, що не змінилися і в той же час з отвором у середині.
Подібним чином можна розрізати прямокутник з будь-яким співвідношенням довжин сторін. Цікаво, що точка А, в якій перетинаються дві, які здаються такими, що не змінилися і в той же час з отвором у середині.

Подібним чином можна розрізати прямокутник з будь-яким співвідношенням довжин сторін. Цікаво, що точка А, в якій перетинаються дві взаємно перпендикулярні лінії розрізу, може знаходитися в будь-якому місці всередині прямокутника. У кожному разі при перерозподілі частин з'являється отвір, причому розмір залежить від величини кута, утвореного лініями розрізу зі сторонами прямокутника.

Цей парадокс відрізняється порівняльною простотою, проте він багато втрачає завдяки тому, що навіть при поверхневому вивченні видно, що сторони другого прямокутника мають бути трохи більшими, ніж сторони першого.

Більш складний спосіб розрізання квадрата на чотири частини, при якому виходить внутрішній отвір, зображений на рис. 75.

Він заснований на парадоксі з шахівницею, яким відкривається справжній розділ. Зауважимо, що з перерозподілу частин дві їх потрібно перевернути зворотним боком догори. Зауважимо також, що при відкиданні частини А отримуємо прямокутний трикутник, складений із трьох частин, усередині якого можна утворити отвір.

Квадрати із трьох частин

Чи існує спосіб розрізування квадрата на три частини, які можна скласти по-новому так, щоб вийшов квадрат з отвором усередині? Відповідь буде позитивною. Одне витончене рішення ґрунтується на застосуванні парадоксу, розглянутого у попередньому розділі.

Замість того, щоб спеціальним чином розташовувати картинки уступами, а розріз робити прямолінійно (горизонтально), картинки розміщують на одній прямій, а розріз роблять уступами. Результат виходить вражаючий: не тільки пропадає картинка, але на місці її зникнення з'являється отвір.

Квадрати із двох частин

Чи можна зробити те саме при двох частинах?

Я не думаю, що в цьому випадку можна якимось способом отримати внутрішній отвір у квадраті за рахунок непомітного збільшення його висоти чи ширини. Однак було показано, що парадокс з отвором у квадраті, що розрізається на дві частини, можна побудувати на принципі, який застосовується в парадоксі зі воїном, що зникає. У цьому випадку замість розміщення фігурок по спіралі або сходинкою їх розміщують по колу, тоді як розріз роблять спіральним або ступінчастим; в останньому випадку він має вигляд зубчастого колеса із зубцями різних розмірів. При обертанні колеса одна фігурка зникає і замість неї з'являється отвір.

Нерухомі і обертові частини акуратно пригнані один до одного тільки в положенні, коли з'являється отвір. У вихідному положенні видно невеликі просвіти у кожного зубця, якщо розріз був ступінчастим, або один безперервний круговий просвіт при розрізі, що йде по спіралі.

Якщо вихідний прямокутник не є квадратом, його можна розрізати на дві частини, а потім отримати всередині отвір при зовсім мало помітної зміни зовнішніх розмірів. На рис. 76 показано один варіант.

Обидві частини при цьому тотожні як за формою, так і за розмірами. Найпростіше демонструвати цей парадокс наступним чином: вирізати частини з картону, скласти їх у вигляді прямокутника без отвору, покласти на аркуш паперу та обвести олівцем по периметру. Складаючи тепер частини по-іншому, можна побачити, що вони, як і раніше, не виходять за проведену лінію, хоча посередині прямокутника утворився отвір.

До наших двох частин можна, звичайно, додати третю, виготовлену у вигляді смуги, яка, будучи прикладена до однієї зі сторін прямокутника, перетворює його на квадрат; таким чином ми отримуємо ще один спосіб розрізання квадрата на три частини, що дає внутрішній отвір.

Криволінійні та тривимірні варіанти

Наведені нами приклади ясно показують, що область парадоксів зі зміною площі ще тільки-но починає розроблятися. Чи існують якісь криволінійні фігури, наприклад кола або еліпси, які можна розрізати на частини, а потім скласти інакше так, щоб при цьому без помітного спотворення фігури виходили внутрішні отвори?

Чи існують тривимірні фігури, специфічні саме для трьох вимірів, тобто не є тривіальним наслідком двовимірних фігур? Адже ясно, що до будь-якої плоскої фігури, з якою ми зустрічалися в цьому розділі, можна «додати вимір», вирізаючи її просто з досить товстого картону, висота якого дорівнює «довжині третього виміру»).

Чи можна куб або, скажімо, піраміду розрізати не дуже складним способом на частини так, щоб, складаючи їх по-новому, отримати помітні порожнечі?

Відповідь буде така: якщо не обмежувати кількість частин, то такі просторові фігури вказати зовсім неважко. Досить зрозуміло це у разі куба.

Тут внутрішня порожнечаможе бути отримана, проте питання про найменшу кількість частин, з якими цього можна досягти, складніше. Його свідомо можна виготовити із шести частин; Ймовірно, цього можна досягти і з меншим числом.

Такий куб можна ефектно демонструвати наступним чином: вийняти його з скриньки, зробленої точно по кубу, розібрати на частини, виявивши при цьому всередині кульку, знову скласти частини в суцільний куб і показати, що він (без кульки), як і раніше, щільно заповнює ящик. Ми висловимо припущення, що має існувати багато таких фігур, як плоских, так і просторових, до того ж форми, що відрізняються простотою і витонченістю. Майбутні дослідники цієї цікавої області матимуть задоволення відкрити їх.

Приклад 1 . З дроту завдовжки 20см треба зробити прямокутник найбільшої площі. Знайти його розміри.

Рішення:Позначимо одну сторону прямокутника через х см, тоді друга буде (10-х) см, площа S (х) = (10-х) * х = 10х-х 2;

S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х = 5;

За умовою задачі х (0;10)

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 5) та на проміжку (5; 10). Похідна змінює знак із “+” на “-”. Звідси: х = 5 точка максимуму, S (5) = 25см 2 - найбільше значення. Отже, одна сторона прямокутника 5см, друга 10-х = 10-5 = 5см;

приклад 2. Ділянку площею 2400м 2 треба розбити на дві ділянки прямокутної форми так, щоб довжина огорожі була найменшою. Знайти розміри ділянок.

Рішення:Позначимо одну сторону ділянки через х м, тоді друга буде м, довжина огорожі Р(х) = 3х +;

Р / (х) = 3-; Р / (х) = 0; 3х 2 = 4800; х 2 = 1600; х = 40. Беремо лише позитивне значення за умовою завдання.

За умовою задачі х (0; )

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 40) та на проміжку (40; ?). Похідна змінює знак із “-” на “+”. Звідси х=40 точка мінімуму, отже, Р(40)=240м найменше значення, отже, одна сторона 40м, друга =60м.

приклад 3. Ділянка прямокутної форми однією стороною прилягає до будівлі. При заданих розмірах периметра в 1 м треба обгородити ділянку так, щоб площа була найбільша.

Рішення:

Позначимо одну сторону прямокутної ділянки через х м, тоді друга буде (-2х) м, площа S (х) = (-2х) х = х -2х 2;

S/(х)=-4х; S/(х)=0; -4х; х =;

За умовою задачі х (0; )

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; )і на проміжку ( ; ). Похідна змінює знак із “+” на “-”. Звідси х = точка максимуму. Отже одна сторона ділянки = м, друга -2х = м;

приклад 4. З прямокутного листа картону зі сторонами 80см і 50см потрібно зробити коробку прямокутної форми, вирізавши по краях квадрати і загнувши краї, що утворилися. Якою висоти має бути коробка, щоб її об'єм був найбільшим?

Рішення:Позначимо висоту коробки (це сторона вирізаного квадрата) через х м, тоді одна сторона основи буде (80-2х)см, друга (50-2х)см, об'єм V(х) = х(80-2х)(50-2х) = 4х 3 -260х 2 +4000х;

V / (х) = 12х2 -520х +4000; V/(х)=0; 12х2 -520х +4000 = 0; х 1 = 10; х 2 =

За умовою задачі х (0; 25); х 1 (0; 25), х 2 (0; 25)

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 10) та на проміжку (10; 25). Похідна змінює знак із “+” на “-”. Звідси х = 10 точка максимуму. Отже, висота коробки = 10см.

Приклад 5. Ділянка прямокутної форми однією стороною прилягає до будівлі. При заданих розмірах периметра 20 м треба обгородити ділянку так, щоб площа була найбільша.

Рішення:

Позначимо одну сторону прямокутника через х м, тоді друга буде (20 -2х) м, площа S (х) = (20-2х) х = 20х -2х 2;

S/(х) = 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х = 0; х = = 5;

За умовою задачі х (0; 10)

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 5) та на проміжку (5; 10). Похідна змінює знак із “+” на “-”. Звідси х = 5 точка максимуму. Отже одна сторона ділянки = 5м, друга 20 -2х = 10м;

Приклад 6 . Щоб зменшити тертя рідини об стіни і дно каналу, потрібно змочувану нею площу зробити можливо малою. Потрібно знайти розміри відкритого прямокутного каналу з площею перерізу 4,5 м 2 при яких змочується площа буде найменшою.

Рішення:

Позначимо глибину канави через х м, тоді ширина буде м, Р (х) = 2х +;

Р / (х) = 2-; Р / (х) = 0; 2х 2 = 4,5; х = 1,5. Беремо лише позитивне значення за умовою завдання.

За умовою задачі х (0; )

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 1,5) та на проміжку (1,5; ?). Похідна змінює знак із “-” на “+”. Звідси х=1,5 точка мінімуму, отже, Р(1,5)=6м найменше значення, отже, одна сторона канави 1,5м, друга =3м.

Приклад 7. Ділянка прямокутної форми однією стороною прилягає до будівлі. При заданих розмірах периметра 200м треба обгородити ділянку так, щоб площа була найбільша.

Хрестина Надія Михайлівна, педагог з роботи з дітьми НОУ ДОД «ДРЦ «Країна чудес», м. Рязань [email protected]

Застосування елементів ТРВЗ на уроках математики

Анотація. У статті розглядається застосування на уроках математики елементів структури креативного уроку в інноваційній педагогічній системі НФТМТРІЗ. Автором пропонується методична розробкауроку математики в 5 класі, де продемонстровано, як можна розвивати творчі здібності учнів у рамках шкільної програми. Ключові слова: універсальні навчальні дії, творче мислення, системно-діяльнісний підхід, креативний урок, рефлексія.

Математика - це наука, яка життєво необхідна всім. З найменшого віку дитини оточує світ цифр, форм тощо. І водночас, цей світ дуже складний і багатогранний. Багато дітей, стикаючись з труднощами у вивченні матеріалу, втрачають інтерес до предмета і «незнання» накопичується, як снігова куля. Тому перед учителем постає проблема: не тільки навчити, а й прищепити інтерес, а значить, дати дитині інструменти для самостійного освоєння нових знань (універсальні навчальні дії). мислення, вміння працювати з проблемою і вирішувати її, робити висновки, шукати нові оригінальні підходи, бачити красу результатів, що вийшли. відповідальної особистості учня. Стандарт диктує нам відхід від класноурочної системи Яна Амоса Коменського, в якій вчитель є «оповідачем», а учні – «оповідачами». Нові типи уроку, такі як: « мозковий штурм », диспут, проектна діяльність, допоможуть дитині в постійно мінливому світі. Які ж результати повинен отримати вчитель у результаті своєї роботи? та самоосвіти на основі мотивації до навчання та пізнання, усвідомленого вибору професії; сформувати комунікативну компетентність; вміння ставити мети, шукати шляхи їх досягнення, володіти основами самоконтролю і т.д. збільшенню числа винаходів і нових професій, учень повинен бути готовим до постійно змінних запитів ринку праці. розуміти, що предметні результати тепер не єдині головні, йому також необхідно сформувати особистісні та метапредметні. Саме формулювання результатів змінилася, оскільки дитина тепер має опанувати способи дій, тобто. універсальними навчальними діями, які є метапредметними результатами. Тільки сукупність універсальних дій дасть можливість сформувати в учня вміння вчитися, як систему. Вона дає можливість наочно простежити, як і якому етапі формуються ті чи інші універсальні навчальні дії. Для досягнення цілей вчителю може допомогти використання елементів креативної педагогічної системи безперервного формування творчого мислення (НФТМ), в якій є інструменти теорії вирішення винахідницьких завдань (ТРВЗ). , дозволяє зробити урок яскравішим, менш стресовим для дитини, тримати дитину в концентрації все заняття, а головне, не надати йому готові знання, а дати можливість отримати їх самим. Також важливим питанням є частковий перехід від завдань закритого типу до завдань відкритого типу. типу, що зачіпають повсякденний досвід учнів, змушують учнів замислюватися вже за прочитанні умови, оскільки є недостатнім, «розмитим», може містити надлишок інформації. Різноманітність методів рішення призводить до руйнування психологічної інерції – звички до стандартних дій у знайомій ситуації або прагнення думати та діяти відповідно до накопиченого досвіду. Набір можливих відповідей допомагає навчити дитину рефлексії та самооцінки. повній відмовівід закритих завдань. Вони хороші в малих кількостях, коли просто треба «набити руку» на конкретній формулі чи властивості. Але пояснення нового матеріалу може бути без проблеми. Адже перше питання після прочитання теми на уроці у голові у дітей: «А навіщо мені це?» або «А де мені це знадобиться?» Все вище сказане дає нам система НФТМ – безперервне формування творчого мислення та розвиток творчих здібностей дітей. класі на тему «Площа прямокутника. Одиниці площі» Тип уроку: Урок вивчення нового матеріалу. Цілі уроку: 1. Предметні: сформувати в учнів уявлення про площу фігури, встановити зв'язок між одиницями вимірювання площі, познайомити учнів з формулами площі прямокутника і квадрата. Особистісні: формувати вміння визначати способи дій у рамках запропонованих умов і вимог, коригувати свої дії відповідно до ситуації, що змінюється. Метапредметні: формувати вміння бачити математичне завдання в контексті проблемної ситуації, у навколишньому житті.

учні отримають уявлення про площу фігур і її властивості, навчаться встановлювати зв'язки між одиницями виміру площі, застосовувати формули площі прямокутника і квадрата; одержування аналізу, порівнювати, узагальнювати, робити висновки; роботи у групі та парах. Підручник: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Математика 5 клас. Підручник для учнів загальноосвітніх установ. 2014 року.

Етапи уроку Завдання етапу Діяльність вчителя Діяльність учнів УУД1. Мотивація Створити сприятливий психологічний настрій на роботу, мотивацію учнів до заняття. Привітання, перевірка підготовленості до навчального заняття, організація уваги дітей. з'являється 8 маленьких. - Як це сталося? - Чим ми займалися на минулому уроці? - Сьогодні ми продовжимо роботу з прямокутниками. Включаються в діловий ритм уроку.

Діти пробують розгадати фокус. Активізують знання минулого уроку.

Особистісні: самовизначення. Регулятивні: самоорганізація. Комунікативні: планування навчального співробітництва з учителем і однолітками. Пізнавальні: навички дослідницької діяльності. 2. Змістовна частина. У сусідів розбрат. Хазяїну синьої ділянки, щоб потрапити на свій город, треба проходити червоною ділянкою сусіда. Що робити? Вхід на ділянки

З досвіду ми знаємо, що рівні земельні ділянки мають рівні площі. Який висновок ми можемо зробити? Чоловік вирішив пофарбувати підлогу у себе на дачі. Але підлога має незвичайну форму. Але він не знає, скільки треба фарби, на банці з фарбою написано 100гр на 1м2. Площа меншої фігури 12м2, площа більша –20м 2. Що робити?

Висувають версії врегулювання спору. Разом з учителем вибирають вірну: треба синьому взяти шматок землі червоного, а йому замість віддати рівновеликий.

Роблять висновок: рівні фігури мають рівні площі. розвиток регуляції навчальної діяльності. Комунікативні: вміння працювати в колективі, чути та поважати думку інших, вміння відстоювати свою позицію.

Рис.2Евристична розмова з елементами методу спроб і помилок. На столі у вчителя лежить лінійка, циркуль, транспортир. Ми говорили про площу, а як можна її виміряти? Давайте виміряємо площу нашої дошки. Що у нас є для вимірювання відрізків? Що є для вимірювання кутів? Робимо висновок: за одиницю вимірювання площі вибираємо квадрат, сторона якого дорівнює одиничному відрізку. Як ми назвемо такий квадрат? Щоб виміряти площу треба підрахувати, скільки одиничних квадратів у ній міститься?

Діти перебирають усі можливі інструменти, приходять до висновку, що їх мало.

-Один з учнів виходить до дошки, вважає, за допомогою заздалегідь приготовленого одиничного квадрата зі стороною 1 м, площа дошки. тему уроку: «Площа прямокутника». 3. Психологічна розвантаження. Дати можливість учням змінити вид діяльності. Завдання на розвиток творчих здібностей. Орієнтація в просторі. 1. Пара коней пробігла 20 км. Скільки кілометрів пробіг кожен кінь? (20 км)2. У клітці знаходилися 4 кролики. Четверо хлопців купили по одному з цих кроликів і один кролик залишився у клітці. Як це могло вийти? (Одного кролика купили разом з кліткою) 3. У двох гаманцях лежать дві монети, причому, в одному гаманці монет удвічі більше, ніж в іншому. Як таке може бути? (Один гаманець лежить всередині іншого) Клас розбивається на групи по 6 осіб, у групах учителем вибирається капітан, який після обговорення проблеми обирає правильну відповідь. На обговорення подається 1 хвилина.

Особистісні: самовизначення. Регулятивні: розвиток регуляції навчальної діяльності. Комунікативні: взаємодія з партнерами по спільній діяльності. Пізнавальні: навички дослідницької діяльності. Розвиток творчого мислення.

4. Два сини і два батьки з'їли 3 яйця. Скільки яєць з'їв кожен? (По одному яйцю кожен). Іграшарт: «Доторкніться правого вуха сусіда зліва ліктем лівої руки» 4. Головоломка.

Представити систему ускладнюються головоломок, втілених в реальних об'єктах. Самостійне рішення завдань. 40 км. За скільки годин вона пройде з тією самою швидкістю 24 км?4.Яку цифру треба поставити замість зірочок 1*+3*+5*=111, щоб вийшла вірна рівність?5.

Правильні відповіді.

Рис.3В зошити записують лише відповіді, потім змінюються зошитами із сусідом по парті та перевіряють одна в одну. В кінці на екрані з'являються правильні відповіді. Особистісні: сенсоутворення. Регулятивні: саморегуляція емоційних та функціональних станів, самоорганізація. Розвиток творчого мислення.

5. Інтелектуальна розминка. логічне мисленняі творчі способности.1.Сторона прямокутного аркуша паперу має цілу довжину (в сантиметрах), а площа аркуша дорівнює 12 см2. Скільки квадратів площею 4 см2 можна вирізати з цього прямокутника? 2. На дошці через проектор виводять наступний рисунок Рис. Як одним прямолінійним розрізом розділити отриману фігуру на дві фігури з рівними площами. Один учень у дошки, інші працюють з місця. дослідницької діяльності.6.Змістовна частина.

Містить програмний матеріал навчального курсу і забезпечує формування системного мислення та розвитку творчих здібностей. Важко нам було вважати площу за допомогою квадрата? Якщо одна сторона дошки 2 м, а інша сторона 1м, дошка прямокутної форми, її можна розділити на 2×1 одиничних квадратів. Тому чому дорівнює площа дошки? Якщо a і b – сусідні сторони прямокутника виражені в одних і тих самих одиницях. Як знайти площу такого прямокутника?

Проблема. Як знайти площу правильного чотирикутника, у якого всі сторони і кути рівні?

Вводяться нові одиниці виміру площі: ар (сотка), гектар.1 а = 10 м * 10 м = 100 м2

1га = 100 м * 100 м = 10000 м2

Для яких вимірів потрібні великі одиниці площі?

S=ab Формулу записуємо в зошити. Учні обговорюють проблему в групах, раніше сформованих у психологічній розминці, єдина одна група стають експертами (прослухавши висунуті версії, вони займаються їх обробкою і пропонують одну на їхню думку вірну). Відбувається обговорення вирішення проблеми. Потім у зошитах записуємо отриману формулу площі квадрата S = a 2

-Для вимірювання площі земельних ділянок, сіл, стадіонів і т.д.. Особистісні: самовизначення. Регулятивні: розвиток регуляції навчальної діяльності. . Розвиток творчого мислення.

7. Комп'ютерна інтелектуальна розминка. Забезпечити мотивацію та розвиток мислення. Встановлення правильності та усвідомленості вивчення теми.

Тест на комп'ютері. Вчитель контролює кількість помилок. рис.5 (рисунок знаходиться під таблицею)

Учні працюють на комп'ютері в парах, проходять тест. Особистісні: самовизначення. Регулятивні: розвиток регуляції навчальної діяльності. Резюме. Домашнє завдання. Підведення підсумків уроку. Забезпечити зворотний зв'язок на уроці.

Домашнє завдання. Даний квадрат зі стороною 8 см. Знайдіть його площу. Використовуючи різнокольорові шматочки, поясніть, а потім спростуйте мою гіпотезу: 8 * 8 = 65 Рис.6 Учні оцінюють урок, свої дії на уроці, дії однолітків.

- Формулу площі прямокутника, квадрата, одиниці виміру площі. Будинки учні проводять досвід з частинами квадрата. Контрольне рішення.

Такі розрахунки виходять, тому що між деталями при складанні прямокутника утворюється щілина. Особистісні: саморозвиток моральної свідомості та орієнтування учнів у сфері морально-етичних відносин. Регулятивні: розвиток регуляції навчальної діяльності.

Посилання на джерела 1. Федеральний державний освітній стандарт основної загальної освіти. Федеральний законРФ від 17 грудня 2010р. № 1897ФЗ.2.М.М.Зіновкіна. НФТМТРИЗ: креативна освіта ХХI століття. Москва,2007. -313с.

«Застосування похідної для вирішення завдань»

(10 клас)

Методична система діяльності вчителя цьому уроці передбачає формування вміння учнів самостійно планувати і виконувати поетапно дослідницьку роботу. Учень має право консультуватися з учителем, дискутувати, отримувати від вчителя поради чи підказки з метою допомогти дитині розібратися у різноманітті способів вирішення та визначити вірний.

На уроці проводиться обговорення теоретичного матеріалу, клас ділиться групи для забезпечення різноманітності запропонованих ними способів міркувань з наступним відбором найбільш прийнятних їх.

Поряд із самостійною діяльністю доцільно на уроці використовувати диференційовані завдання різного рівня та відповідно їх оцінювати.

Аналіз результатів виконання цих завдань учнями, крім інформації про їх засвоєння, дає вчителю картину головних труднощів учнів, їх основних прогалин, що допомагає намітити основні шляхи вирішення проблем.

Мета уроку:засвоєння умінь самостійно в комплексі застосовувати знання, вміння та навички, здійснювати їх перенесення у нові умови, використовуючи дослідницький метод.

Завдання:

Навчально-пізнавальна:закріплення, систематизація та узагальнення знань та умінь, пов'язаних з оволодінням поняттям «найбільше та найменше значення функції»; практичне застосування формованих умінь та навичок.

Розвиваюча:розвиток умінь самостійно працювати, ясно висловлювати думку, проводити самооцінку навчальної діяльності під час уроку.

Комунікативні: вміння брати участь у дискусії, слухати та чути

Хід уроку

Організаційний момент

1. Кожна людина іноді виявляється у ситуації, коли треба знайти найкращий спосіб вирішення будь-якої завдання, і математика стає засобом вирішення проблем організації виробництва, пошуків оптимальних рішень. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва та покращення якості продукції є широке впровадження математичних методів у техніку.

Повторення

p align="justify"> Серед завдань математики важливу роль відводять завданням на екстремуми, тобто. завданням знайти найбільшого і найменшого значення, найкращого, найбільш вигідного, найбільш економного. З такими завданнями доводиться мати справу представникам різних спеціальностей: інженери-технологи намагаються так організувати виробництво, щоб вийшло якнайбільше продукції, конструктори хочуть так спланувати прилад на космічному кораблі, щоб маса приладу була найменшою, економісти намагаються спланувати прикріплення заводів до джерел сировини. щоб транспортні витрати виявлялися мінімальними. Можна сміливо сказати, що завдання знайти найменшого і максимального значення мають велике практичне застосування. Сьогодні на уроці ми займемося вирішенням таких завдань.

Закріплення вивченого матеріалу

2. До дошки викликаються два «сильні» учні вирішувати завдання (10 хв.).

1-й учень:Даний бак без кришки у вигляді прямокутного паралелепіпеда, в основі якого лежить квадрат і об'єм якого дорівнює 108 см 3 . За яких розмірів бака на його виготовлення піде найменша кількість матеріалу?

Рішення:Позначимо бік основи через х см, виразимо висоту паралелепіпеда. Знайдемо похідний знак на проміжках. Похідна змінює знак із «–» на «+». Звідси х=6 точка мінімуму, отже, S(6)=108 см 2 – найменше значення. Отже, сторона основи дорівнює 6 див, висота – 12 див.

2-й учень:В коло радіусом 30 см вписаний прямокутник найбільшої площі. Знайти його розміри.

Рішення:Позначимо одну сторону прямокутника через х см, тоді виразимо площу прямокутника. Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 30) та на проміжку (30; 60). Похідна змінює знак із «+» на «–». Звідси х=30 – точка максимуму. Отже одна сторона прямокутника – 30, друга – 30.

3.У цей час виполняється взаємоперевірка на тему «Застосування похідної» (за кожну правильну відповідь виставляється 1 бал). Кожен учень відповідає та для перевірки передає свою відповідь сусідові по парті.

Питання записані на переносній дошці, дається лише відповідь:

Функція називається зростаючою на даному проміжку, якщо…

Функція називається спадною на даному проміжку, якщо…

Точка х 0 називається точкою мінімуму, якщо…

Точка х 0 називається точкою максимуму, якщо…

Стаціонарними точками функції називають точки…

Написати загальний вигляд рівняння дотичної

Фізичний зміст похідної

Робимо висновки

4. Клас поділяється на групи. Групи виконують завдання знайти мінімуму і максимуму функції.

5. Надається слово «сильним» учням. Учні класу перевіряють свої рішення (10 хв.).

6. Видаються завдання вибору для кожної групи (10 хв.).

1 група.

На позначку «3»

Для функції f(х)=х 2 *(6-х) визначити найменше значення на відрізку .

Рішення: f(х) = х 2 * (6-х) = 6х 2 + х 3; f/(х) = 12х-3х 2; f/(х)=0; 12х-3х 2 = 0; х 1 = 0; х 2 = 4;

f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max.

На позначку «4»

З дроту завдовжки 20 см треба зробити прямокутник найбільшої площі. Знайти його розміри.

Рішення: Позначимо одну сторону прямокутника через х см, тоді друга буде (10-х) см, площа S (х) = (10-х) * х = 10х-х 2; S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х = 5. За умовою задачі х (0; 10). Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 5) та на проміжку (5; 10). Похідна змінює знак із «+» на «–». Звідси: х=5 – точка максимуму, S(5)=25 див 2 – максимальне значення. Отже одна сторона прямокутника – 5 см, друга – 10-х=10-5=5 см.

На позначку «5»

Ділянку площею 2400 м 2 треба розбити на дві ділянки прямокутної форми так, щоб довжина огорожі була найменшою. Знайти розміри ділянок.

Рішення: Позначимо одну сторону ділянки через х м, запишемо довжину огорожі та знайдемо похідну Р/(х)=0; 3х2 = 4800; х 2 = 1600; х = 40. Беремо лише позитивне значення за умовою завдання.

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 40) і проміжку (40;?). Похідна змінює знак із «–» на «+». Звідси х=40 – точка мінімуму, отже, Р(40)=240 – найменше значення, отже, одна сторона дорівнює 40 м, друга – 60 м.

2 група.

На позначку «3»

Для функції f(х)=х 2 +(16-х) 2 визначити найменше значення на відрізку .

Рішення: f/(х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f/(х)=0; 4х-32 = 0; х = 8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min.

На позначку «4»

Ділянка прямокутної форми однією стороною прилягає до будівлі. При заданих розмірах периметра м треба обгородити ділянку так, щоб площа була найбільша.

На позначку «5»

Позначимо висоту коробки (це сторона вирізаного квадрата) через х м, тоді одна сторона основи буде (80-2х) см, друга - (50-2х) см, об'єм V (х) = х (80-2х) (50-2х ) = 4х 3, 260х 2 +4000х; V / (х) = 12х2 -520х +4000; V/(х)=0; 12х2 -520х +4000 = 0.

За умовою задачі х (0; 25); х 1 (0; 25), х 2 (0; 25).

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 10) та на проміжку (10; 25). Похідна змінює знак із «+» на «–». Звідси х=10 – точка максимуму. Отже, висота коробки = 10 див.

3 група.

На позначку «3»

Для функції f(х)=х*(60-х) визначити максимальне значення на відрізку .

Рішення: f(х)=х*(60-х)=60х-х 2; f/(х) = 60-2х; f/(х)=0; 60-2х = 0; х = 30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max.

На позначку «4»

Ділянка прямокутної форми однією стороною прилягає до будівлі. При заданих розмірах периметра 20 м треба обгородити ділянку так, щоб площа була найбільшою.

Позначимо одну сторону прямокутника через х м, тоді друга буде (20-2х) м, площа S (х) = (20-2х) х = 20х-2х 2; S/(х)=20-4х; S/(х)=0; 20-4х = 0; х = 5. За умовою задачі х € (0; 10). Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 5) та на проміжку (5; 10). Похідна змінює знак із «+» на «–». Звідси х=5 – точка максимуму. Отже, одна сторона ділянки = 5 м, друга - 20-2 * 5 = 10 м.

На позначку «5»

Щоб зменшити тертя рідини об стіни і дно каналу, потрібно змочувану нею площу зробити можливо малою. Потрібно знайти розміри відкритого прямокутного каналу з площею перерізу 4,5 м 2 при яких змочується площа буде найменшою.

Позначимо глибину канави через х м, Р/(х) = 0; 2х 2 = 4,5; х = 1,5. Беремо лише позитивне значення за умовою завдання. Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 1,5) та на проміжку (1,5;?). Похідна змінює знак із «–» на «+». Звідси х=1,5 – точка мінімуму, отже, Р(1,5)=6 м – найменше значення, отже, одна сторона канави – 1,5 м, друга – 3 м.

4 група.

На позначку «3»

Для функції f(х)=х 2 (18-х) визначити максимальне значення на відрізку .

f(х)=х 2 (18-х)=18х 2 -х 3; f / (х) = (18х 2 -х 3) /; f/(х)=0; 36х-3х 2 = 0; х 1 = 0; х 2 = 12 f (0) = 0; f(18)=0; f(12)=864-max.

На позначку "4".

Ділянка прямокутної форми однією стороною прилягає до будівлі. При заданих розмірах периметра 200 м треба обгородити ділянку так, щоб площа була найбільшою.

Позначимо одну сторону прямокутної ділянки через х м, тоді друга буде (200-2х) м, площа S (х) = (200-2х) х = 200х-2х 2; S/(х)=200-4х; S/(х)=0; 200-4х = 0; х = 200/4 = 50. За умовою задачі х (0; 100). Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 50) та на проміжку (50; 100). Похідна змінює знак із «+» на «–». Звідси х=50 – точка максимуму. Отже, одна сторона ділянки = 50 м, друга - 200-2х = 100 м.

На позначку «5»

Потрібно виготовити відкриту коробку у формі прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою, з найменшим об'ємом, якщо на її виготовлення можна витратити 300 см 2 .

Позначимо одну сторону основи через х см і виразимо об'єм, тоді V/(х)=0 300-3х 2 =0; х 2 = 100; х = 10. Беремо лише позитивне значення за умовою завдання.

Знайдемо знак похідної на проміжку (0; 10) та на проміжку (10; 0). Похідна змінює знак із «–» на «+». Звідси х=10 – точка мінімуму, отже, V(10)=500см 3 – найменше значення, отже, сторона основи – 10 див, висота – 50 див.

Запитання до класу

7. Делегати від груп пояснюють рішення вибраних завдань (10 хв.).

8. З урахуванням балів у розминці та роботі у групах виставляються позначки за урок.

Підбиття підсумку уроку

Домашнє завдання

Розв'язання задачі на бал вище; учні, які виконали завдання на «5», звільняються від роботи.

Аналіз результатів виконання цих завдань учнями, крім інформації про їх засвоєння, дає вчителю картину основних труднощів учнів, їх основних прогалин, що допомагає намітити основні шляхи їхньої ліквідації.

	ФОМКІНА ТЕТЯНА ФЕДОРІВНА
ВІЗИТНА КАРТКА
Посада	Вчитель російської мови та літератури
Місце роботи	Муніципальна загальноосвітня установа «Середня загальноосвітня школа№9» міста Оренбурга
Стаж роботи на посаді

Конкурсний бал
Тема педагогічного досвіду	Формування лінгвістичної компетентності учнів на основі діяльнісно-системного підходу у навчанні російської мови за УМК С.І. Львівський
Сутність методичної системивчителя, що відображає провідні ідеї досвіду	Сутність методичної системи вчителя – в організації навчальної діяльності як руху від питання лінгвістичного характеру (що дозволяє звернути увагу учнів на змістовну мовну сутність того чи іншого орфографічного написання) до способу дії (на основі правила, звернення до словника), а потім – до результату (вільного) оперування правилами в ході листа або використання орфографічного словника.
Робота з поширення власного досвіду, уявлення методичної системи різних рівнях (форми, інтелектуальні продукти)	Досвід роботи Фомкіної Т.Ф. узагальнено у 2009 році на рівні МО МОУ «ЗОШ №9» та схвалено методичною радою. У 2009 та 2010 pp. представлений серед учителів міста Оренбурга на муніципальному рівні. Тетяна Федорівна виступала на окружних методичних об'єднаннях з питань: «Використання ІКТ під час уроків російської мови та літератури як формування лінгвістичної компетентності», «Діятивний підхід до побудови освітніх стандартів».
Результативність реалізації методичної системи	Формування стійкої позитивної мотивації та підвищення інтересу учнів до предмета; Позитивна динаміка щодо учнів до вчителя, уроків російської мови та літератури, розвиток здатності учнів до прогностичної діяльності та активізація процесів пізнання; Значне зростання якості творчих робіт, творів, що підтверджується результатами випускних іспитів: у 2007 році за результатами ДПА успішність – 100%, кількість справлених із завданнями на «4» та «5» – 87%; у 2008 році по результатам ЄДІуспішність – 100%, кількість упораних із завданнями на «4» і «5» – 92%, найвищий бал – 87; у 2009 році за результатами ЄДІ успішність – 100%, кількість справлених із завданнями на «4» та «5» – 58%, найвищий бал – 96; Збільшення кількості учнів, які беруть участь у науково-практичних конференціях, конкурсах, олімпіадах: X окружна науково-практична конференція учнів «Ти – Оренбуржець» (III місце), XV міська конференція учнів «Інтелектуали XXI століття» (диплом за «Різностороннє дослідження сім'ї»), Всеросійський заочний конкурс «Пізнання та творчість», 2010 р. (III місце, лауреат), обласний очно-заочний конкурс «Батьківщина», 2009 р. (III місце), VI Міжнародна олімпіада з основ наук, 2010 р. (дипломи І та ІІ ступеня), Міжнародна гра-конкурс «Російське ведмежа», 2010 р. (15 місце по регіону). Моніторинг освітньої діяльності показує високий рівень навчання учнів Фомкіної Тетяни Федорівни: російська мова – 69% (2009 р.), література – 77% (2009 р.).

МАТЕРІАЛИ З ДОСВІДУ РОБОТИ

Урок засвоєння нових знань

з різнорівневою диференціацією навчання

«НЕ з іменниками»

(5 клас)

Представлений конспект уроку складено відповідно до «Програми з російської мови для 5-6 класів» С.І. Львів (М.; «Мнемозина», 2008 р.). Урок спрямовано формування лінгвістичної, мовної і мовної компетентності учнів. Матеріал, включений в урок, носить навчальний, розвиваючий характер.

Завдання уроку:

1) розвивати комунікативні вміння: формулювати питання та відповідати на граматичну тему; здійснювати мовну взаємодію у мобільній групі; створювати власні тексти на тему;

2) формувати лінгвістичну та мовну компетенцію: знати правило правопису НЕ з іменником ;вміти з допомогою алгоритму застосовувати це правило практично; повторити орфограму « НЕ з дієсловом» , правило про іменник;

3) виховувати дбайливе ставлення до слова як духовної цінності народу.

Обладнання:мультимедійне обладнання, відеопрезентація, опорні картки, тест, файли із дослідницьким завданням.

Хід уроку

Організаційний момент

Здрастуйте, шановні колеги! Так-так, саме колеги. Я назвала вас так не випадково. Сьогодні ми займатимемося спільною справою: вирішуватимемо лінгвістичні завдання, відкриватимемо таємниці написання слів. Адже, за твердженням Льва Миколайовича Толстого, «Слово – справа велика... Словом можна служити любові, словом можна служити ворожнечі і ненависті» (Епіграф до уроку).

Лінгвістична розминка «Так – ні»

Ось навик володіння словом і допоможе вам впоратися з лінгвістичною розминкою, яка називається «Так – ні». Правила цієї розминки такі: я загадала правило, а ви спробуєте відгадати його, задаючи питання, що наводять, які повинні бути сформульовані таким чином, щоб я могла відповісти словами «так» чи «ні». Оцінюватиму ваші відповіді сьогодні я буду жетонами. Ставте мені запитання.

Учні ставлять вчителю запитання. Наприклад:

1. Це правило ми навчали у 5 класі? (Так)

2. Це правило про правопис слів? (Ні)

3. Це правило про частини мови? (Так)

4. Це правило про іменник? (Так)

– Молодці! Відгадали!

Актуалізація знань

А тепер давайте згадаємо, що ж таке іменник. Але розповімо про нього ланцюжком, передаючи один одному естафету, як спортсмени на змаганнях. Хто хоче, може скористатися під час відповіді картками-помічниками. Оцінювати ваші відповіді я буду жетонами ( відповіді учнів).

Чудово впоралися! Знання правила про іменник нам потрібно для того, щоб вміти відрізняти іменники від інших частин мови.

Це вміння ми перевіримо, виконавши усний розподільчий диктант.

Прочитайте уважно слова (по клацанню миші на екрані проектора зображення вицвітає).

Але що ж це? Що сталося із зображенням? Діти, там помилка!

Ловіть її! (Прийом «Лови помилку»)

«Обурюватися» треба писати разом.Чому?

Це дієслово, яке не вживається без НЕ.

(Клацніть мишею)

Завдання:розділіть слова на дві групи частинами мови. (Учні виконують завдання)

1. Які частини промови вам зустрілися? (Іменники та дієслова)

2. Назвіть іменники.

3. Назвіть дієслова.

4. Як пишеться НЕ з дієсловом?

Цілепокладання

Отже, знання правила про іменник і про правопис НЕ з дієсловом допоможе нам впоратися з новою темою, яка звучить так: «НЕ з іменниками».Запишіть її в зошит.

Хід наших думок я записала в «Думковийлист», Що складається з трьох граф: «Знаю», «Хочу дізнатися», «Дізнався(а)».

В графі «Знаю» дано правило, на яке ми сьогодні спиратимемося. Це правило про написання НЕ з дієсловом .

В графі "Хочу знати" сформульовано питання дня: «З'ясувати, коли НЕ з іменником пишеться разом, а коли – окремо».

В графі «Дізнався» ми запишемо відповідь це питання.

Але спочатку виконаємо словникову роботу.

Хлопці, а хто такі невіглаі невіглас?Яких людей ми так називаємо? (Відповіді учнів)

Запишіть у зошит ці слова та їх лексичні значення. А тепер складіть з ними словосполучення чи речення (на вибір).

Вивчення нового матеріалу

Як ви думаєте, хлопці, чому слова «невіглас» і «невіглас» пишуться разом? (Бо не вживаються без НЕ)Доповідь

Переможцями пріоритетногонаціональногопроекту « Освіта". Отриманий досвід самоаналізу, порівняння власних досягнень із досягненнями колег приніс новупедагогічну ...

Досвід створення інтернет-ресурсів педагогами оренбуржжя

Автореферат дисертації

Системи освітив освітній установі; виявлення сфери поширення передовогопедагогічногодосвіду... загальноосвітня школа»стала переможцем конкурсного відбору у рамках Пріоритетногонаціональногопроекту « Освіта". У...