Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному накресленні без заливання. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb(I) =\mathbb(R) \backslash \mathbb(Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Ірраціональними є:

  Приклади доказу ірраціональності

  Корінь з 2

  Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .

  Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Історія

  Античність

  Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені [ ] .

  Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е..), піфагорійцю. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .

  Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .

  Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

  Ця властивість відіграє важливу роль у вирішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння

  

  є функція

  

  де c- Довільна константа.

  • 1. Число eірраціонально і навіть трансцендентно. Його трансцендентність було доведено лише 1873 року Шарлем Ермітом. Передбачається, що e- Нормальне число, тобто ймовірність появи різних цифр у його записі однакова.
  • 2. Число eє обчислюваним (отже, і арифметичним) числом.

  Формула Ейлера, зокрема

  

  5. т.з. "інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"

  

  8. Подання Каталана:

  

  9. Подання через твір:

  

  10. Через числа Белла:

  

  11. Міра ірраціональності числа eдорівнює 2 (що є найменше можливе значення для ірраціональних чисел).

  Доказ ірраціональності

  Припустимо, що

  де a та b - натуральні числа. Враховуючи цю рівність і розглядаючи розкладання в ряд:

  

  отримуємо наступну рівність:

  

  Представимо дану суму у вигляді суми двох доданків, одна з яких - сума членів ряду по nвід 0 до a, а друге - сума решти членів ряду:

  

  Тепер перенесемо першу суму до лівої частини рівності:

  

  Помножимо обидві частини набутої рівності на. Отримаємо

  Тепер спростимо отриманий вираз:

  

  Розглянемо ліву частину отриманої рівності. Очевидно, що ціле число. Цілим є і число, оскільки (звідси випливає, що це числа виду цілі). Тим самим ліва частина набутої рівності - ціле число.

  Перейдемо тепер до правої частини. Ця сума має вигляд

  
  

  За ознакою Лейбніца цей ряд сходиться, та його сума Sє речовим числом, укладене між першим доданком і сумою перших двох доданків (зі знаками), тобто.

  Обидва ці числа належать між 0 і 1. Отже, тобто. - права частина рівності - може бути цілим числом. Отримали протиріччя: ціле число не може бути рівне числу, яке не є цілим. Це протиріччя доводить, що число eне є раціональним, а отже є ірраціональним.

  1. Доказ є прикладами дедуктивного міркування і від індуктивних чи емпіричних аргументів. Доказ повинен продемонструвати, що твердження, що доводиться, завжди вірне, іноді шляхом перерахування всіх можливих випадків і показуючи, що твердження виконується в кожному з них. Доказ може спиратися на очевидні чи загальноприйняті явища чи випадки, відомі як аксіоми. Попри це доводиться ірраціональність “кореня квадратного з двох”.
  2.Втручання топології тут пояснюється самою природою речей, що означає, що чисто алгебраїчного способу доказу ірраціональності, зокрема, виходячи з раціональних чисел немає.Ось приклад, за вами право вибору: ….= 2 чи 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
  Якщо ви приймете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, що вважається “алгебраїчним” підходом, то зовсім не важко показати, що існує n/m ∈ ℚ, яке на нескінченній послідовності є ірраціональним і кінцевим числом. Це підказує, що ірраціональні числає замиканням поля ℚ, але це стосується топологічної особливості.
  Так для чисел Фібоначчі, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
  Це лише показує, що існує безперервний гомоморфізм ℚ → I, і можна показати суворо, що існування такого ізоморфізму не є логічним наслідком алгебраїчних аксіом.

  Саме поняття ірраціонального числа так влаштоване, що воно визначається через заперечення властивості "бути раціональним", тому доказ протилежного тут є найбільш природним. Можна, проте запропонувати ось яке міркування.

  Чим відрізняються принципово раціональні числа від ірраціональних? Як ті, так і інші, можна наблизити раціональними числами з будь-якою заданою точністю, але для раціональних чисел є наближення з "нульовою" точністю (самим цим числом), а для ірраціональних чисел це вже не так. Спробуємо на цьому зіграти.

  Насамперед, відзначимо такий простий факт. Нехай $%\alpha$%, $%\beta$% - два позитивних числа, які наближають один одного з точністю $%\varepsilon$%, тобто $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Що станеться, якщо замінимо числа на зворотні? Як зміниться точність? Легко бачити, що $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|alpha-beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\alpha\ beta),$$ що буде строго менше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Це твердження можна розглядати як самостійну лему.

  Тепер покладемо $%x=\sqrt(2)$%, і нехай $%q\in(\mathbb Q)$% - раціональне наближення числа $%x$% з точністю $%\varepsilon$%. Ми знаємо, що $%x>1$%, а щодо наближення $%q$% вимагатимемо виконання нерівності $%q\ge1$%. У всіх чисел, менших $%1$%, точність наближення буде гіршою, ніж у $%1$%, і тому ми не будемо їх розглядати.

  До кожного з чисел $%x$%, $%q$% додамо по $%1$%. Очевидно, точність наближення залишиться тією ж. Тепер у нас є числа $% alfa=x+1$% і $%beta=q+1$%. Переходячи до зворотних чисел і застосовуючи "лему", ми прийдемо до висновку, що точність наближення у нас покращилася, ставши строго меншою за $%\varepsilon$%. Необхідна умова $% alpha beta>1$% у нас дотримано навіть із запасом: насправді ми знаємо, що $% alpha>2$% і $% betage2$%, звідки можна зробити висновок, що точність покращується як мінімум у $%4$% разу, тобто не перевищує $%\varepsilon/4$%.

  І тут - основний момент: за умовою, $%x^2=2$%, тобто $%x^2-1=1$%, а це означає, що $%(x+1)(x- 1)=1$%, тобто числа $%x+1$% і $%x-1$% обернені один одному. А це означає, що $%\alpha^(-1)=x-1$% буде наближенням до (раціонального) числа $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% з точністю строго менше $%\varepsilon$%. Залишилося додати по $%1$% до цих чисел, і виявиться, що у $%x$%, тобто у $%\sqrt(2)$%, з'явилося нове раціональне наближення, що дорівнює $%\beta^(- 1)+1$%, тобто $%(q+2)/(q+1)$%, з "покращеною" точністю. Це завершує доказ, оскільки у раціональних чисел, як ми зазначали вище, існує "абсолютно точне" раціональне наближення з точністю $% \ varepsilon = 0 $ %, де точність у принципі підвищити не можна. А ми зуміли це зробити, що говорить про ірраціональність нашого числа.

  Фактично, це міркування показує, як будувати конкретні раціональні наближення для $% \ sqrt (2) $ % з точністю, що все погіршується. Треба спочатку взяти наближення $%q=1$%, і далі застосовувати одну й ту саму формулу заміни: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. У ході цього процесу виходить наступне: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ і так далі.

  Які числа є ірраціональними? Ір раціональне число — це раціональне речове число, тобто. воно не може бути представлене як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m- ціле число, n- натуральне число . Ірраціональне числоможна уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.

  Ірраціональне числонеспроможна мати точного значення. Тільки у форматі 3,333333. Наприклад, квадратний корінь із двох - є числом ірраціональним.

  Яке число ірраціональне? Ірраціональним числом(на відміну від раціональних) називається нескінченна десяткова неперіодична дріб.

  Безліч ірраціональних чиселнайчастіше позначають великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливання. Т.о.:

  Тобто. безліч ірраціональних чисел це різниця множин речових і раціональних чисел.

  Властивості ірраціональних чисел.

  • Сума 2-х неотрицательных ірраціональних чисел то, можливо раціональним числом.
  • Ірраціональні числа визначають дедекіндові перерізи в безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає найбільшого числа, а у верхньому немає меншого.
  • Будь-яке речовинне трансцендентне число- Це ірраціональне число.
  • Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними або трансцендентними.
  • Безліч ірраціональних чисел скрізь щільно на числовій прямий: між кожною парою чисел є ірраціональне число.
  • Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
  • Безліч ірраціональних чисел нескінченно є безліччю 2-ї категорії.
  • Результатом кожної арифметичної операції з раціональними числами (крім поділу на 0) є раціональні числа. Результатом арифметичних операцій над ірраціональними числами може стати як раціональне, і ірраціональне число.
  • Сума раціонального та ірраціонального чисел завжди буде ірраціональним числом.
  • Сума ірраціональних чисел може бути раціональним числом. Наприклад,нехай xірраціональне, тоді y=x*(-1)також ірраціональне; x+y=0,а число 0 раціональне (якщо, наприклад, скласти корінь будь-якого ступеня з 7 і мінус корінь такого ж ступеня із семи, то отримаємо раціональне число 0).

  Ірраціональні числа, приклади.

  γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ