1 поняття математичної моделі та математичного моделювання. Основи математичних моделей. Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики

Як систему рівнянь, або арифметичних співвідношень, або геометричних фігур, або комбінацію того й іншого, дослідження яких засобами математики має відповісти на поставлені питання про властивості деякої сукупності властивостей об'єкта реального світу, як сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі.

У автоматизованих системахуправління математична модель використовується визначення алгоритму функціонування контролера. Цей алгоритм визначає, як слід змінювати керуючий впливв залежності від зміни задає для того, щоб було досягнуто мети управління.

Класифікація моделей

Формальна класифікація моделей

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій:

і так далі. Кожна побудована модель є лінійною чи нелінійною, детермінованою чи стохастичною, … Природно, що можливі й змішані типи: в одному відношенні зосереджені (щодо параметрів), в іншому – розподілені моделі тощо.

Класифікація за способом представлення об'єкта

Поряд з формальною класифікацією моделі відрізняються за способом представлення об'єкта:

• Структурні чи функціональні моделі

Моделі-гіпотези в науці не можуть бути доведені раз і назавжди, можна лише говорити про їх спростування чи незаперечення в результаті експерименту.

Якщо модель першого типу побудована, це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але лише часовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише часовим.

Феноменологічна модель

Другий тип – феноменологічна модель ( «Поводимося так, ніби…»), містить механізм для опису явища, хоча цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома, і необхідно продовжити пошук «справжніх механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплороду та кваркову модель елементарних частинок.

Роль моделі у дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно нове знання може поступово прийти в суперечність із моделями-гіпотезами першого типу, і ті можуть бути переведені на другий. Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою.

Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайєрлс виділяє три типи спрощень у моделюванні.

Наближення

Третій тип моделей - наближення ( «щось вважаємо дуже великим чи дуже малим»). Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад - закон Ома.

Думковий експеримент

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot(x))=-kx),

де x ¨ (\displaystyle (\ddot (x)))означає другу похідну від x (\displaystyle x)по часу: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Отримане рівняння визначає математичну модель розглянутої фізичної системи. Ця модель називається "гармонічним осцилятором".

За формальною класифікацією ця модель лінійна, детерміністська, динамічна, зосереджена, безперервна. У процесі її побудови ми зробили безліч припущень (про відсутність зовнішніх сил, відсутність тертя, трохи відхилень і т. д.), які насправді можуть не виконуватися.

По відношенню до реальності це найчастіше модель типу 4 спрощення(«опустимо для ясності деякі деталі»), оскільки опущені деякі суттєві універсальні особливості (наприклад, дисипація). У деякому наближенні (скажімо, поки відхилення вантажу від рівноваги невелике, при малому терті, протягом не надто великого часу і при дотриманні деяких інших умов), така модель досить добре описує реальну механічну систему, оскільки відкинуті фактори мають зневажливий вплив на її поведінку. . Однак модель можна уточнити, взявши до уваги якісь із цих факторів. Це призведе до нової моделі, з ширшою (хоча і знову обмеженою) областю застосування.

Втім, при уточненні моделі складність її математичного дослідження може значно зрости і зробити модель практично марною. Найчастіше простіша модель дозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, ніж складніша (і, формально, «правильніша»).

Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, її змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія(«врахуємо лише деякі особливості»).

Жорсткі та м'які моделі

Гармонічний осцилятор – приклад так званої «жорсткої» моделі. Вона отримана внаслідок сильної ідеалізації реальної фізичної системи. Властивості гармонійного осцилятора якісно змінюються малими збуреннями. Наприклад, якщо додати до правої частини мале доданок − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(тертя) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- деякий малий параметр), то отримаємо експоненційно загасаючі коливання, якщо змінити знак додаткового доданку (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x))))то тертя перетвориться на накачування і амплітуда коливань експоненційно зростатиме.

Для вирішення питання про застосування жорсткої моделі необхідно зрозуміти, наскільки суттєвими є фактори, якими ми знехтували. Потрібно дослідити м'які моделі, які виходять малим обуренням жорсткою. Для гармонійного осцилятора вони можуть задаватися, наприклад, наступним рівнянням:

m x ¨ = − k x + ε f(x , x ˙).

Тут f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- деяка функція, у якій може враховуватися сила тертя чи залежність коефіцієнта жорсткості пружини від її розтягування. Явний вид функції f (\displaystyle f)нас зараз не цікавить.

Якщо ми доведемо, що поведінка м'якої моделі принципово не відрізняється від поведінки жорсткої (незалежно від явного виду факторів, що обурюють, якщо вони досить малі), завдання зведеться до дослідження жорсткої моделі. Інакше застосування результатів, отриманих щодо жорсткої моделі, вимагатиме додаткових досліджень.

Якщо система зберігає свою якісну поведінку при малому обуренні, то кажуть, що вона структурно стійка. Гармонічний осцилятор – приклад структурно-нестійкої (негрубою) системи. Проте, цю модель можна використовуватиме вивчення процесів на обмежених проміжках часу.

Універсальність моделей

Найважливіші математичні моделі зазвичай мають важливу властивість універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однієї й тієї математичної моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, але й інші коливальні процеси, що часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини U (\displaystyle U)-подібну посудину або зміна сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, що виражаються математичними моделями у різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення «загальної теорії систем».

Пряме та зворотне завдання математичного моделювання

Існує безліч завдань, пов'язаних із математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему об'єкта, що моделюється, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється на систему пластин і складніших тіл з різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики міцності), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються як несуттєві, виробляються розрахунки, порівнюються з вимірами, модель уточнюється, і таке інше. Проте розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи.

Традиційно виділяють два основні класи завдань, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні.

Пряме завдання: структура моделі та всі її параметри вважаються відомими, Головна задача- Провести дослідження моделі для отримання корисного знання про об'єкт. Яке статичне навантаження витримає міст? Як він реагуватиме на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдатів, або на проходження поїзда на різній швидкості), як літак подолає звуковий бар'єр, чи не розвалиться він від флаттера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильного прямого завдання (завдання правильного питання) вимагає спеціальної майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо було побудовано гарну модель для його поведінки. Так, в 1879 р. у Великобританії обрушився металевий Залізничний міст через Ферт-оф-Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про вітри, що постійно дмуть у тих місцях. І через півтора роки він звалився.

У найпростішому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже просте і зводиться до явного вирішення цього рівняння.

Зворотне завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних про об'єкт. Найчастіше структура моделі відома і необхідно визначити деякі невідомі параметри. Додаткова інформація може полягати у додаткових емпіричних даних, або у вимогах до об'єкта ( завдання проектування). Додаткові дані можуть надходити незалежно від процесу вирішення зворотного завдання ( пасивне спостереження) або бути результатом спеціально планованого в ході рішення експерименту ( активне спостереження).

Одним з перших прикладів віртуозного вирішення зворотної задачі з максимально повним використанням доступних даних був побудований Ньютоном метод відновлення сил тертя по спостерігається загасаючим коливанням.

Як інший приклад можна навести математичну статистику. Завдання цієї науки - розробка методів реєстрації, опису та аналізу даних спостережень та експериментів з метою побудови ймовірнісних моделей масових випадкових явищ. Тобто безліч можливих моделей обмежена імовірнісними моделями. У конкретних завданнях багато моделей обмежено сильніше.

Комп'ютерні системи моделювання

Для підтримки математичного моделювання розроблені системи комп'ютерної математики, наприклад, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim та ін. Вони дозволяють створювати формальні та блокові моделі як простих, так і складних процесів та пристроїв та легко змінювати параметри моделей у ході моделювання. Блокові моделіпредставлені блоками (найчастіше графічними), набір та з'єднання яких задаються діаграмою моделі.

Додаткові приклади

Модель Мальтуса

Відповідно до моделі, запропонованої Мальтусом, швидкість зростання пропорційна поточному розміру популяції, тобто описується диференціальним рівнянням:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot(x))=\alpha x),

де α (\displaystyle \alpha)- деякий параметр, що визначається різницею між народжуваністю та смертністю. Рішенням цього рівняння є експоненційна функція x(t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Якщо народжуваність перевершує смертність ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), розмір популяції необмежено і дуже швидко зростає. Насправді, цього не може відбуватися через обмеженість ресурсів. При досягненні деякого критичного обсягу популяції модель перестає бути адекватною, оскільки враховує обмеженість ресурсів. Уточненням моделі Мальтуса може бути логістична модель, яка описується диференціальним рівнянням Ферхюльста:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac(x)(x_(s)))\right)x),

де - «Рівноважний» розмір популяції, при якому народжуваність точно компенсується смертністю. Розмір популяції в такій моделі прагне рівноважного значення x s (\displaystyle x_(s)), причому така поведінка структурно стійка.

Система хижак-жертва

Припустимо, що на деякій території живуть два види тварин: кролики (харчуються рослинами) і лисиці (харчуються кроликами). Нехай кількість кроликів x (\displaystyle x), число лис y (\displaystyle y). Використовуючи модель Мальтуса з необхідними поправками, що враховують поїдання кроликів лисицями, приходимо до наступної системи, яка має ім'я моделі Лотки - Вольтерри:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\end(cases)))

Поведінка даної системи не є структурно стійкою: мала зміна параметрів моделі (наприклад, що враховує обмеженість ресурсів, необхідних кроликам) може призвести до якісної зміни поведінки.

При деяких значеннях параметрів ця система має рівноважний стан коли число кроликів і лисиць постійно. Відхилення від цього стану призводить до поступово загасаючих коливань чисельності кроликів та лисиць.

Можлива й протилежна ситуація, коли будь-яке мале відхилення від положення рівноваги призведе до катастрофічних наслідків, аж до повного вимирання одного з видів. На питання про те, який із цих сценаріїв реалізується, модель Вольтерри – Лотки відповіді не дає: тут потрібні додаткові дослідження.

Див. також

Примітки

1. "A matematical representation of reality" (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик І. Б., Про філософські питання кібернетичного моделювання. М., Знання, 1964.
3. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарський А. А., Михайлов А. П.Математичне моделювання. Ідеї. Методи. Приклади. - 2-ге вид., Випр. - М.: Фізматліт, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 з ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А. Г. Моделювання технологічних процесів: підручник/А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. - М.: Легка та харчова промисловість, 1984. - 344 с.
7. Ротач В.Я.Теорія автоматичного керування. - 1-е. - М.: ЗАТ " Видавничий будинокМЕІ", 2008. - С. 333. - 9 с. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches для Multiscale Phenomena(англ.). Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Дата звернення 18 червня 2013 року. Архівовано 18 червня 2013 року.
9. «Теорія вважається лінійною чи нелінійною залежно від того, який – лінійний чи нелінійний – математичний апарат, які – лінійні чи нелінійні – математичні моделі вона використовує. … ез заперечення останньої. Сучасний фізик, доведися йому заново створювати визначення такої важливої ​​сутності, як нелінійність, швидше за все, вчинив би інакше, і, віддавши перевагу нелінійності як більш важливій і поширеній із двох протилежностей, визначив би лінійність як „не нелінійність“.» Данилов Ю. А., Лекції з нелінійної динаміки. Елементарне запровадження. Серія "Синергетика: від минулого до майбутнього". Вид.2. – M.: URSS, 2006. – 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамічні системи, які моделюються кінцевим числом звичайних диференціальних рівнянь, називають зосередженими або точковими системами. Вони описуються з допомогою кінцевого фазового простору і характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Одна й та система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена. Математичні моделі розподілених систем - це диференціальні рівняння у приватних похідних, інтегральні рівняння або звичайні рівняння із запізнілим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченне, і потрібна нескінченна кількість даних для визначення її стану.
    Аніщенко В. С., Динамічні системи, Соросівський освітній журнал, 1997 № 11, с. 77-84.
11. «Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі S всі види моделювання можуть бути поділені на детерміновані та стохастичні, статичні та динамічні, дискретні, безперервні та дискретно-безперервні. Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, в яких передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів; стохастичне моделювання відображає імовірнісні процеси та події. … Статичне моделювання служить для опису поведінки об'єкта у час, а динамічне моделювання відбиває поведінка об'єкта у часі. Дискретне моделювання служить для опису процесів, які передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделювання дозволяє відобразити безперервні процеси в системах, а дискретно-безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність дискретних, так і безперервних процесів.
    Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Зазвичай у математичної моделі відбивається структура (пристрій) моделируемого об'єкта, суттєві з метою дослідження якості та взаємозв'язку компонентів цього об'єкта; така модель називається структурною. Якщо ж модель відображає тільки те, як об'єкт функціонує - наприклад, як він реагує на зовнішні впливи, вона називається функціональною або, образно, чорним ящиком. Можливі моделі комбінованого типу. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 с

За підручником Радова і Яковлєва: «модель (лат. modulus – міра) – це об'єкт-заступник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу». (С. 6) «Заміщення одного об'єкта іншим з метою отримання інформації про найважливіші властивості об'єкта-оригіналу за допомогою об'єкта-моделі називається моделюванням». (с. 6) «Під математичним моделюванням розумітимемо процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, званого математичною моделлю, і дослідження цієї моделі, що дозволяє отримувати характеристики реального об'єкта, що розглядається. Вид математичної моделі залежить як від природи реального об'єкта, так і завдань дослідження об'єкта та необхідної достовірності та точності розв'язання цього завдання».

Нарешті, найбільш лаконічне визначення математичної моделі: «Рівняння, що виражає ідею».

Класифікація моделей

Формальна класифікація моделей

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій:

і так далі. Кожна побудована модель є лінійною чи нелінійною, детермінованою чи стохастичною, … Природно, що можливі й змішані типи: в одному відношенні зосереджені (щодо параметрів), в іншому – розподілені моделі тощо.

Класифікація за способом представлення об'єкта

Поряд з формальною класифікацією моделі відрізняються за способом представлення об'єкта:

• Структурні чи функціональні моделі

Структурні моделіпредставляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм та механізмом функціонування. Функціональні моделіне використовують таких уявлень і відображають лише зовні сприймається поведінка (функціонування) об'єкта. У їхньому граничному вираженні вони називаються також моделями «чорного ящика». Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями. сірої скриньки».

Змістовні та формальні моделі

Майже всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель. Усталеної термінології тут немає, інші автори називають цей ідеальний об'єкт концептуальна модель , умоглядна модельабо передмодель. При цьому фінальна математична конструкція називається формальною моделлюабо просто математичною моделлю, отриманої внаслідок формалізації даної змістовної моделі (передмоделі). Побудова змістовної моделі може здійснюватися за допомогою набору готових ідеалізацій, як у механіці, де ідеальні пружини, тверді тіла, ідеальні маятники, пружні середовища тощо дають готові структурні елементи змістовного моделювання. Однак у галузях знання, де не існує повністю завершених формалізованих теорій (передній край фізики, біології, економіки, соціології, психології, та більшості інших областей), створення змістовних моделей різко ускладнюється.

Змістовна класифікація моделей

Жодна гіпотеза в науці не буває доведена раз і назавжди. Дуже чітко це сформулював Річард Фейнман:

«У нас завжди є можливість спростувати теорію, але, зверніть увагу, ми ніколи не можемо довести, що вона є правильною. Припустимо, що ви висунули вдалу гіпотезу, розрахували, до чого це веде, і з'ясували, що її наслідки підтверджуються експериментально. Чи це означає, що ваша теорія правильна? Ні, просто це означає, що вам не вдалося її спростувати».

Якщо модель першого типу побудована, це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але лише часовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише часовим.

Тип 2: Феноменологічна модель (поводимося так, ніби якби…)

Феноменологічна модель містить механізм опису явища. Однак цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома і необхідно продовжити пошук «справжніх механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплороду та кваркову модель елементарних частинок.

Роль моделі у дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно, нове знання може поступово прийти в суперечність із моделями-гіпотезами першого типу і ті можуть бути переведені на другий. Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру, пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою.

Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайєрлс виділяє три типи спрощень у моделюванні.

Тип 3: Наближення (щось вважаємо дуже великим чи дуже малим)

Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад - закон Ома.

А ось і тип 8, поширений в математичних моделях біологічних систем.

Тип 8: Демонстрація можливості (головне - показати внутрішню несуперечність можливості)

Це теж уявні експериментиз уявними сутностями, які демонструють, що передбачуване явищеузгоджується з базовими принципами та внутрішньо несуперечливо. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя.

Один із найзнаменитіших таких експериментів - геометрія Лобачевського (Лобачевський називав її «уявною геометрією»). Інший приклад – масове виробництво формально – кінетичних моделей хімічних та біологічних коливань, автохвиль та ін. Парадокс Ейнштейна – Подільського – Розена був задуманий як модель 7 типу, для демонстрації суперечливості квантової механіки. Абсолютно незапланованим чином він згодом перетворився на модель 8 типу – демонстрацію можливості квантової телепортації інформації.

приклад

Розглянемо механічну систему, що складається з пружини, закріпленої з одного кінця, та вантажу масою, прикріпленого до вільного кінця пружини. Вважатимемо, що вантаж може рухатися тільки в напрямку осі пружини (наприклад, рух відбувається вздовж стрижня). Побудуємо математичну модель цієї системи. Описуватимемо стан системи відстанню від центру вантажу до його положення рівноваги. Опишемо взаємодію пружини та вантажу за допомогою закону Гука() після чого скористаємося другим законом Ньютона, щоб висловити його у формі диференціального рівняння:

де означає другу похідну від часу: .

Отримане рівняння визначає математичну модель розглянутої фізичної системи. Ця модель називається "гармонічним осцилятором".

За формальною класифікацією ця модель є лінійною, детерміністкою, динамічною, зосередженою, безперервною. У процесі її побудови ми зробили безліч припущень (про відсутність зовнішніх сил, відсутність тертя, трохи відхилень і т. д.), які насправді можуть не виконуватися.

По відношенню до реальності це найчастіше модель типу 4 спрощення(«опустимо для ясності деякі деталі»), оскільки опущені деякі суттєві універсальні особливості (наприклад, дисипація). У деякому наближенні (скажімо, поки відхилення вантажу від рівноваги невелике, при малому терті, протягом не надто великого часу і при дотриманні деяких інших умов), така модель досить добре описує реальну механічну систему, оскільки відкинуті фактори мають зневажливий вплив на її поведінку. . Однак модель можна уточнити, взявши до уваги якісь із цих факторів. Це призведе до нової моделі, з більш широкою (хоч і знову обмеженою) областю застосування.

Втім, при уточненні моделі складність її математичного дослідження може значно зрости і зробити модель практично марною. Найчастіше простіша модель дозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, ніж складніша (і, формально, «правильніша»).

Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, її змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія(«врахуємо лише деякі особливості»).

Жорсткі та м'які моделі

Гармонічний осцилятор – приклад так званої «жорсткої» моделі. Вона отримана внаслідок сильної ідеалізації реальної фізичної системи. Для вирішення питання про її застосування необхідно зрозуміти, наскільки суттєвими є фактори, якими ми знехтували. Іншими словами, потрібно дослідити «м'яку» модель, що виходить малим обуренням «жорсткою». Вона може задаватися, наприклад, наступним рівнянням:

Тут - деяка функція, у якій може враховуватися сила тертя чи залежність коефіцієнта жорсткості пружини від її розтягування, - деякий малий параметр. Явний вид функції нас зараз не цікавить. Якщо ми доведемо, що поведінка м'якої моделі принципово не відрізняється від поведінки жорсткої (незалежно від явного виду факторів, що обурюють, якщо вони досить малі), завдання зведеться до дослідження жорсткої моделі. Інакше застосування результатів, отриманих щодо жорсткої моделі, вимагатиме додаткових досліджень. Наприклад, рішенням рівняння гармонійного осцилятора є функції виду, тобто коливання постійної амплітудою. Чи випливає з цього, що реальний осцилятор нескінченно довго вагатиметься з постійною амплітудою? Ні, оскільки розглядаючи систему зі скільки завгодно малим тертям (завжди присутнім у реальній системі), ми отримаємо загасаючі коливання. Поведінка системи якісно змінилася.

Якщо система зберігає свою якісну поведінку при малому обуренні, то кажуть, що вона структурно стійка. Гармонічний осцилятор – приклад структурно-нестійкої (негрубою) системи. Проте, цю модель можна використовуватиме вивчення процесів на обмежених проміжках часу.

Універсальність моделей

Найважливіші математичні моделі зазвичай мають важливу властивість універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однієї й тієї математичної моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, але й інші коливальні процеси, які часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини в-подібній посудині або зміна сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, що виражаються математичними моделями у різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення «Загальної теорії систем».

Пряме та зворотне завдання математичного моделювання

Існує безліч завдань, пов'язаних із математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему об'єкта, що моделюється, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється на систему пластин і складніших тіл з різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики міцності), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються, як несуттєві , Виробляються розрахунки, порівнюються з вимірами, модель уточнюється, і так далі. Проте розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи.

Традиційно виділяють два основні класи завдань, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні.

Пряме завдання: структура моделі та її параметри вважаються відомими, головне завдання - провести дослідження моделі для отримання корисного знання об'єкт. Яке статичне навантаження витримає міст? Як він реагуватиме на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдатів, або на проходження поїзда на різній швидкості), як літак подолає звуковий бар'єр, чи не розвалиться він від флаттера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильного прямого завдання (завдання правильного питання) вимагає спеціальної майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо було побудовано гарну модель для його поведінки. Так, в 1879 р. у Великобританії обрушився металевий міст через річку Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про вітри, що постійно дмуть у тих місцях. І через півтора роки він звалився.

У найпростішому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже просте і зводиться до явного вирішення цього рівняння.

Зворотне завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних про об'єкт. Найчастіше структура моделі відома, і необхідно визначити деякі невідомі параметри. Додаткова інформація може полягати у додаткових емпіричних даних, або у вимогах до об'єкта ( завдання проектування). Додаткові дані можуть надходити незалежно від процесу вирішення зворотного завдання ( пасивне спостереження) або бути результатом спеціально планованого в ході рішення експерименту ( активне спостереження).

Одним з перших прикладів віртуозного вирішення зворотної задачі з максимально повним використанням доступних даних був побудований І. Ньютоном метод відновлення сил тертя по спостережуваним загасаючим коливанням.

Як інший приклад можна навести математичну статистику. Завдання цієї науки - розробка методів реєстрації, опису та аналізу даних спостережень та експериментів з метою побудови ймовірнісних моделей масових випадкових явищ. Тобто. безліч можливих моделей обмежена імовірнісними моделями. У конкретних завданнях багато моделей обмежено сильніше.

Комп'ютерні системи моделювання

Для підтримки математичного моделювання розроблені системи комп'ютерної математики, наприклад, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim та ін. Вони дозволяють створювати формальні та блокові моделі як простих, так і складних процесів та пристроїв та легко змінювати параметри моделей у ході моделювання. Блокові моделіпредставлені блоками (найчастіше графічними), набір та з'єднання яких задаються діаграмою моделі.

Додаткові приклади

Модель Мальтуса

Швидкість зростання пропорційна поточному розміру популяції. Вона описується диференціальним рівнянням

де - деякий параметр, що визначається різницею між народжуваністю та смертністю. Рішенням цього рівняння є експоненційна функція. Якщо народжуваність перевищує смертність (), розмір населення необмежено і дуже швидко зростає. Зрозуміло, що насправді це не може відбуватися через обмеженість ресурсів. При досягненні деякого критичного обсягу популяції модель перестає бути адекватною, оскільки враховує обмеженість ресурсів. Уточненням моделі Мальтуса може бути логістична модель, яка описується диференціальним рівнянням Ферхюльста

де - «Рівноважний» розмір популяції, при якому народжуваність точно компенсується смертністю. Розмір популяції в такій моделі прагне рівноважного значення, причому така поведінка структурно стійка.

Система хижак-жертва

Припустимо, що на деякій території живуть два види тварин: кролики (харчуються рослинами) і лисиці (харчуються кроликами). Нехай кількість кроликів, число лисиць. Використовуючи модель Мальтуса з необхідними поправками, що враховують поїдання кроликів лисицями, приходимо до наступної системи, яка має ім'я моделі Лотки - Вольтерра:

Ця система має рівноважний стан, коли кількість кроликів і лисиць постійно. Відхилення від цього стану призводить до коливань чисельності кроликів і лисиць, аналогічним коливанням гармонійного осцилятора. Як і у випадку гармонійного осцилятора, ця поведінка не є структурно стійкою: мала зміна моделі (наприклад, що враховує обмеженість ресурсів, необхідних кроликам) може призвести до якісної зміни поведінки. Наприклад, рівноважний стан може стати стійким, і коливання чисельності згасатимуть. Можлива і протилежна ситуація, коли будь-яке мале відхилення від положення рівноваги призведе до катастрофічних наслідків, аж до повного вимирання одного з видів. На питання про те, який із цих сценаріїв реалізується, модель Вольтерра – Лотки відповіді не дає: тут потрібні додаткові дослідження.

Примітки

1. "A matematical representation of reality" (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик І. Б., Про філософські питання кібернетичного моделювання. М., Знання, 1964.
3. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарський А. А., Михайлов А. П.Математичне моделювання. Ідеї. Методи. Приклади. - 2-ге вид., Випр. – М.: Фізматліт, 2001. – ISBN 5-9221-0120-X
5. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 з ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А.Г. Моделювання технологічних процесів: підручник/А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. - М.: Легка та харчова промисловість, 1984. - 344 с.
7. Wiktionary: mathematical model
8. CliffsNotes.com. Earth Science Glossary. 20 Sep 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches для Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. «Теорія вважається лінійною чи нелінійною залежно від того, який – лінійний чи нелінійний – математичний апарат, які – лінійні чи нелінійні – математичні моделі вона використовує. … ез заперечення останньої. Сучасний фізик, доведися йому заново створювати визначення такої важливої ​​сутності, як нелінійність, швидше за все, вчинив би інакше, і, віддавши перевагу нелінійності як більш важливій і поширеній із двох протилежностей, визначив би лінійність як „не нелінійність“.» Данилов Ю. А., Лекції з нелінійної динаміки. Елементарне запровадження. Серія "Синергетика: від минулого до майбутнього". Вид.2. – M.: URSS, 2006. – 208 с. ISBN 5-484-00183-8
11. «Динамічні системи, які моделюються кінцевим числом звичайних диференціальних рівнянь, називають зосередженими або точковими системами. Вони описуються з допомогою кінцевого фазового простору і характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Одна й та система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена. Математичні моделі розподілених систем - це диференціальні рівняння у приватних похідних, інтегральні рівняння або звичайні рівняння із запізнілим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченне, і потрібна нескінченна кількість даних для визначення її стану. Аніщенко В. С., Динамічні системи, Соросівський освітній журнал, 1997 № 11, с. 77-84.
12. «Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі S всі види моделювання можуть бути поділені на детерміновані та стохастичні, статичні та динамічні, дискретні, безперервні та дискретно-безперервні. Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, в яких передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів; стохастичне моделювання відображає імовірнісні процеси та події. … Статичне моделювання служить для опису поведінки об'єкта у час, а динамічне моделювання відбиває поведінка об'єкта у часі. Дискретне моделювання служить для опису процесів, які передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделювання дозволяє відобразити безперервні процеси в системах, а дискретно-безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність дискретних, так і безперервних процесів. Рад Б. Я., Яковлєв С. А. ISBN 5-06-003860-2
13. Зазвичай у математичної моделі відбивається структура (пристрій) моделируемого об'єкта, суттєві з метою дослідження якості та взаємозв'язку компонентів цього об'єкта; така модель називається структурною. Якщо ж модель відображає тільки те, як об'єкт функціонує - наприклад, як він реагує на зовнішні впливи, вона називається функціональною або, образно, чорним ящиком. Можливі моделі комбінованого типу. Мишкіс А. Д. ISBN 978-5-484-00953-4
14. «Очевидний, але найважливіший початковий етап побудови або вибору математичної моделі - це отримання по можливості чіткішого уявлення про об'єкт, що моделюється, і уточнення його змістовної моделі, засноване на неформальних обговореннях. Не можна шкодувати часу та зусиль на цей етап, від нього значною мірою залежить успіх всього дослідження. Не раз бувало, що значна праця, витрачена на вирішення математичного завдання, виявлялася малоефективною або навіть витраченою марно через недостатню увагу до цієї сторони справи. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 з ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
15. « Опис концептуальної моделі системи.На цьому підетапі побудови моделі системи: а) описується концептуальна модель М в абстрактних термінах та поняттях; б) надається опис моделі з використанням типових математичних схем; в) приймаються остаточно гіпотези та припущення; г) обґрунтовується вибір процедури апроксимації реальних процесів при побудові моделі. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.
16. Блехман І. І., Мишкіс А. Д.,

Ще немає стандартизованої термінології і вона навряд чи з'явиться, оскільки за історію математичного моделювання дуже багато учених займалися цією темою.

Математичне моделювання застосовується у різних сферах людського життя. Таких як, наприклад: математика, біохімія, медицина тощо.

Визначення математичної моделі, дане А.Д. Мішкісом.

Нехай ми досліджуємо сукупну величину S властивостей об'єкта A (об'єкт: система, ситуація, явище, процес і так далі). Навіщо ми будуємо математичний об'єкт A” – арифметичне співвідношення, геометрична фігура, система рівнянь тощо, дослідження якого засобами математики має дати відповіді поставлені питання властивості S. У. даному випадкуматематичний об'єкт A" називають математичною моделлю об'єкта A щодо сукупності властивостей S. У визначенні дає зрозуміти не тільки те, що об'єкти A та A" мають різну природу, а й те, що A" визначається не тільки самим оригіналом A, а й сукупністю його досліджуваних властивостей S. Якщо ми проводимо два дослідження однієї й тієї ж об'єкта A щодо двох різних сукупностей S1 і S2 його властивостей, відповідні математичні моделі " і " A1 A2 можуть бути різні. З цього дослідження випливає перша властивість математичних моделей - їх множинність Виділимо, що тут мається на увазі не тільки множинність моделей, пов'язана з їх ієрархічності, а й результат породжений необхідністю дослідження різних систем, ... S1 S2 його властивостей.

Наприклад, одна і теж масована купова хмара можна розглядати як з точки зору породження ним низхідних повітряних потоків, що розподіляються далі по поверхні землі і усвідомлювані нами як вітровий порив перед початком сильного зливи, так і як зону високої електричної активності атмосфери. Весь цей прояв об'єкта становить високу небезпеку для польоту повітряних суден. Східні потоки небезпечні на етапах зльоту - посадки, через значну зміну величини підземної сили крила повітряного судна (різка зміна напряму швидкості вітру з зустрічного на попутне). Сильні електричні поля, що виникають у такій хмарі, можуть створити розряд атмосферної електрики (блискавку), результатом впливу якого на повітряного судна може стати повний або частковий вихід з ладу радіоелектронної апаратури на борту повітряного судна. Зрозуміло, що в першому випадку для моделі використовуються рівняння аерогідродинаміки та досліджується поле швидкостей повітряних потоків (математична модель щодо сукупності ознак S1). У другому випадку вивчається електрична структура хмари та будується електродинамічна модель (щодо сукупності ознак S2).

Другою, найважливішою властивістю є єдність математичних моделей. Відмінним фактом є те, що різноманітні реальні системи або їх змістовні моделі можуть мати одну й ту саму математичну модель.

Вагомим у теорії математичного моделювання є постійне узгодження всіх аспектів побудови моделі із завданнями та цілями дослідження. Тому виділимо на перший план деякі суттєві для досліджень особливості механічних системта процесів.

По-перше, фактори, що визначають такі об'єкти, характеризуються як вимірні величини – параметри.

По-друге, в основі таких моделей лежать рівняння, що описують фундаментальні закони природи (механіки), які не потребують перегляду та уточнення. Навіть готові приватні моделі окремих явищ, що використовуються при складанні більш загальних, добре сформульовані та описані з точки зору умов та областей застосування.

По-третє, величезна перешкода розробки моделей механічних систем і процесів представляє опис недостовірно відомих характеристик об'єкта, як функціональних, і числових.

По-четверте, нинішні вимоги до таких моделей підводять до необхідності врахування багатьох факторів, що впливають на поведінку об'єкта, не тільки таких, які пов'язані відомими законами природи. Всі ці особливості призводять до того, що моделі механічних систем та процесів відносяться в основному до класу математичних.

Математичні моделі базуються на математичному описі об'єкта. У математичний опис, звісно, ​​передусім, входять взаємозв'язку параметрів об'єкта, що характеризує його особливості функціонування. Такі зв'язки можна подати у вигляді:

Малюнок 2.1.1 - Взаємозв'язок параметрів об'єкта

Перші чотири із зазначених видів мають узагальнюючу назву: аналітичних залежностей.

Математичне опис містить у собі як взаємозв'язку елементів і параметрів об'єкта (закономірності і закони), а й повний набір функціональних і числових даних об'єкта (характеристики; початкові, граничні, кінцеві умови; обмеження), і навіть методи обчислення вихідних параметрів моделі. Тобто математичний опис – повна сукупність функцій, методів, даних обчислення, що дозволяє отримати результат.

Однак у математичну модель може входити частина математичного описи (найчастіше деякі вихідні дані), але крім нього мають міститися описи всіх припущень, використаних її побудови, і навіть алгоритми перекладу вихідних і вихідних даних із моделі на оригінал і назад.

Малюнок 2.1.2 – Математичне опис моделі

Як доповнення до класифікації математичні моделі залежно від природи об'єкта, розв'язуваних завдань та застосовуваних методів можуть відрізнятися такими видами:

- Розрахункові (алгоритми, номограми, формули, графіки, таблиці);

– відповідні (приклад: модель в аеродинамічній трубі та реальний політ літака в атмосфері);

– подібні (пропорційні відповідні параметри та однакові математичні описи);

- нелінійні та лінійні (описувані функціями, що містять основні параметри тільки в ступені 0 і 1, або будь-якими видами функцій),

- Нестаціонарні та стаціонарні (залежні або незалежні від часу),

- дискретні або безперервні,

– стохастичні або детерміновані (імовірнісні, однозначні чи точні: моделі масового обслуговування, імітаційні та ін.),

– нечіткі та чіткі (приклади нечітких множин: близько 10; глибоко чи дрібно; добре чи погано).

Виходячи з історичних подійсклалося так, що під математичною моделлю часом мають на увазі лише один особливий вид моделей, що містять тільки однозначний прямий математичний опис у вигляді обчислювальних алгоритмів або аналітичних залежностей - тобто детермінована математична модель, за допомогою якої за одних і тих же вихідних даних можна отримати лише один і той самий результат. Велике поширення набули детерміновані моделі, що встановлюють зв'язок з параметрами оригіналу за допомогою коефіцієнтів пропорційності, всіх одночасно рівних одиниці. Математичне опис, використовуване такою моделлю, природно розглядати як опис безпосередньо оригіналу – це твердження вірно: у моделі та оригіналу у разі існує одне загальне математичне опис. В умовах такої простоти недосвідчений інженер сприймає і модель вже не як модель, а як оригінал. Однак така математична модель є лише моделлю з усіма спрощеннями, умовностями, абстракціями, припущеннями, покладеними в її основу. З'являється бажання "спростити" процес добротного моделювання, що взагалі кажучи неможливо, тому що модель або відповідає оригіналу, або її взагалі немає. Недбале ставлення до цього призводить до безлічі помилкових висновків у прикладних дослідженнях, і отримані результати не відповідають реальному стану речей.

Як антипод детермінованих моделей представлені моделі імітаційні.

Імітаційні моделі (стохастичні) – це математичні моделі таких оригіналів, окремих елементів яких відсутня аналітичний вид математичного описи. Математичне опис імітаційних моделей містить у собі опис випадкових процесів (стохастичних). В якості такого опису є різноманітні форми законів розподілу, які можна скласти на підставі статистичної обробки результатів спостереження за оригіналом.

У математичний опис імітаційних моделей, крім законів розподілу випадкових величин, Які описують явище, може входити опис взаємозв'язків випадкових величин (наприклад, за допомогою моделей теорії масового обслуговування), а також алгоритм статистичних випробувань (метод Монте-Карло для реалізації випадкових елементарних подій). Звідси випливає, що імітаційні моделі використовують математичний апарат теорії ймовірностей: математичної статистики, теорії масового обслуговування та методу статистичних випробувань.

Концепція моделі та моделювання.

Модель у широкому розумінні- це будь-який образ, аналог уявний або встановлений зображення, опис, схема, креслення, карта тощо будь-якого обсягу, процесу або явища, що використовується як його замінник або представник. Сам об'єкт, процес чи явище називається оригіналом цієї моделі.

Моделювання - це дослідження якогось об'єкта чи системи об'єктів шляхом побудови та вивчення їх моделей. Це використання моделей для визначення або уточнення характеристик та раціоналізації способів побудови об'єктів, що знову конструюються.

На ідеї моделювання базується будь-який метод наукового дослідження, при цьому в теоретичних методах використовуються різноманітні знакові, абстрактні моделі, в експериментальних - предметні моделі.

При дослідженні складне реальне явище замінюється деякою спрощеною копією або схемою, іноді така копія служить тільки для того, щоб запам'ятати і при наступній зустрічі дізнатися про потрібне явище. Іноді побудована схема відображає якісь істотні риси, дозволяє розібратися в механізмі явища, дає можливість передбачити його зміну. Одному й тому явищу можуть відповідати різні моделі.

Завдання дослідника - передбачати характер явища та перебіг процесу.

Іноді буває, що об'єкт доступний, але експерименти з ним дорогі або призвести до серйозних екологічних наслідків. Знання про такі процеси отримують за допомогою моделей.

Важливий момент - сам характер науки передбачає вивчення одного конкретного явища, а широкого класу родинних явищ. Передбачає необхідність формулювання якихось загальних категоричних тверджень, які називаються законами. Природно, що при такому формулюванні багато подробиць нехтують. Щоб чіткіше виявити закономірність свідомо йдуть на огрубіння, ідеалізацію, схематичність, тобто вивчають не саме явище, а більш менш точну її копію чи модель. Усі закони- це закони про моделі, а тому немає нічого дивного в тому, що з часом деякі наукові теорії визнаються непридатними. Це не призводить до краху науки, оскільки одна модель замінилася іншою. більш сучасною.

Особливу роль науці грають математичні моделі, будівельний матеріал та інструменти цих моделей - математичні поняття. Вони накопичувалися і вдосконалювалися протягом тисячоліть. Сучасна математика дає виключно потужні та універсальні засоби дослідження. Практично кожне поняття з математики, кожен математичний об'єкт, починаючи з поняття числа, є математичної моделлю. При побудові математичної моделі, об'єкта, що вивчається, або явища виділяють ті його особливості, риси і деталі, які з одного боку містять більш-менш повну інформацію про об'єкт, а з іншого допускають математичну формалізацію. Математична формалізація означає, що особливостям і деталям об'єкта можна поставити у відповідність відповідні адекватні математичні поняття: числа, функції, матриці тощо. Тоді зв'язки та відносини, виявлені і передбачувані в об'єкті, що вивчається між окремими його деталями і складовими частинами можна записати за допомогою математичних відносин: рівностей, нерівностей, рівнянь. У результаті виходить математичний опис досліджуваного процесу чи явище, тобто його математична модель.

Вивчення математичної моделі завжди пов'язане з деякими правилами дії над об'єктами, що вивчаються. Ці правила відображають зв'язки між причинами та наслідками.

Побудова математичної моделі – це центральний етап дослідження чи проектування будь-якої системи. Від якості моделі залежить весь аналіз об'єкта. Побудова моделі – це процедура не формальна. Сильно залежить від дослідника, його досвіду та смаку, завжди спирається на певний досвідчений матеріал. Модель має бути досить точною, адекватною і має бути зручною для використання.

Математичне моделювання.

Класифікація математичних моделей.

Математичні моделі можуть бутидетерменованими і стохастичними .

Детерменовані моделей і- це моделі, у яких встановлено взаємно-однозначне відповідність між змінними описують об'єкт чи явища.

Такий підхід ґрунтується на знанні механізму функціонування об'єктів. Об'єкт, що часто моделюється, складний і розшифровка його механізму може виявитися дуже трудомісткою і довгою в часі. У цьому випадку надходять таким чином: на оригіналі проводять експерименти, обробляють отримані результати і, не вникаючи в механізм і теорію об'єкта, що моделюється за допомогою методів математичної статистики і теорії ймовірності, встановлюють зв'язки між змінними, що описують об'єкт. У цьому випадку одержуютьстахостичну Модель . У стахостичну моделі зв'язок між змінними носить випадковий характер, іноді це принципово. Вплив величезної кількості факторів, їх поєднання призводить до випадкового набору змінних об'єктів, що описують або явище. За характером режимів модель буваєстатистичними і динамічними.

СтатистичнаМодельвключає опис зв'язків між основними змінними об'єкта, що моделюється, в встановленому режимі без урахування зміни параметрів у часі.

У динамічноїмоделіописуються зв'язки між основними змінними об'єкта, що моделюється при переході від одного режиму до іншого.

Моделі бувають дискретнимиі безперервними, а також змішаного типу. У безперервних змінні приймають значення з деякого проміжку,дискретнихзмінні набувають ізольованих значень.

Лінійні моделі- всі функції та відносини, що описують модель лінійно залежать від змінних тане лінійнів іншому випадку.

Математичне моделювання.

Вимоги , що пред'являються до моделей.

1. Універсальність- характеризує повноту відображення моделлю досліджуваних властивостей реального об'єкта.

1. Адекватність - здатність відбивати необхідні властивості об'єкта з похибкою не вище заданої.
2. Точність – оцінюється ступенем збігу значень характеристик реального об'єкта та значення цих характеристик, отриманих за допомогою моделей.
3. Економічність - Визначається витратами ресурсів ЕОМ пам'яті та часу на її реалізацію та експлуатацію.

Математичне моделювання.

Основні етапи моделювання.

1. Постановка задачі.

Визначення мети аналізу та шляхи її досягнення та вироблення загального підходу до досліджуваної проблеми. На цьому етапі потрібне глибоке розуміння суті поставленого завдання. Іноді правильно поставити завдання не менш складно, ніж її вирішити. Постановка – процес не формальний, загальних правилні.

2. Вивчення теоретичних основ та збирання інформації про об'єкт оригіналу.

На цьому етапі підбирається або розробляється відповідна теорія. Якщо її немає, встановлюються причинно-наслідкові зв'язки між змінними описуючими об'єктами. Визначаються вхідні та вихідні дані, приймаються спрощувальні припущення.

3. Формалізація.

Полягає у виборі системи умовних позначень і з допомогою записувати відносини між складовими об'єкта як математичних выражений. Встановлюється клас завдань, до яких можна віднести отримана математична модель об'єкта. Значення деяких параметрів на цьому етапі можуть бути не конкретизовані.

4. Вибір способу решения.

У цьому етапі встановлюються остаточні параметри моделей з урахуванням умови функціонування об'єкта. Для отриманої математичної задачі вибирається будь-який метод розв'язання або розробляється спеціальний метод. При виборі методу враховуються знання користувача, переваги, а також переваги розробника.

5. Реалізація моделі.

Розробивши алгоритм, пишеться програма, яка налагоджується, тестується і виходить вирішення потрібної задачі.

6. Аналіз отриманої інформації.

Зіставляється отримане та передбачуване рішення, проводиться контроль похибки моделювання.

7. Перевірка адекватності реальному об'єкту.

Результати, отримані за моделлю зіставляютьсяабо з наявною об'єктом інформацією або проводиться експеримент та його результати зіставляються з розрахунковими.

Процес моделювання є ітеративним. У разі незадовільних результатів етапів 6. або 7. здійснюється повернення до одного з ранніх етапів, що могло призвести до розробки невдалої моделі. Цей етап і всі наступні уточнюються і таке уточнення моделі відбувається доти, доки не будуть отримані прийнятні результати.

Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання – дослідити ці об'єкти та передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає змогу керувати ним.

Математичне моделювання та пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент історії, щоб перевірити, «що було б, якби...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі явищ, що вивчаються.

1.1.2 2. Основні етапи математичного моделювання

1) Побудова моделі. На цьому етапі визначається деякий «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено.Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.

2) Розв'язання математичного завдання, до якого наводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методів вирішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.

3) Інтерпретація одержаних наслідків з математичної моделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.

4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була адекватнішою дійсності, або її спрощення задля досягнення практично прийнятного рішення.

1.1.3 3. Класифікація моделей

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути поділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині чи просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні, однозначні прогнози. Моделі другого типу ґрунтуються на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають ймовірнісний характер.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ВСІЙ КОМП'ЮТЕРИЗАЦІЯ АБО ІМІТАЦІЙНІ МОДЕЛІ

Зараз, коли в країні відбувається чи не загальна комп'ютеризація, від фахівців різних професій доводиться чути висловлювання: "Ось впровадимо у себе ЕОМ, тоді всі завдання відразу ж будуть вирішені". Ця думка зовсім не вірна, самі по собі ЕОМ без математичних моделей тих чи інших процесів нічого зробити не зможуть і про загальну комп'ютеризацію можна лише мріяти.

На підтвердження сказаного вище спробуємо обгрунтувати необхідність моделювання, в тому числі математичного, розкриємо його переваги в пізнанні і перетворенні людиною зовнішнього світу, виявимо існуючі недоліки і підемо ... до імітаційного моделювання, тобто. моделювання з використанням ЕОМ. Але все гаразд.

Насамперед відповімо на запитання: що таке модель?

Модель – це матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові властивості.

Добре побудована модель доступніша для дослідження – ніж реальний об'єкт. Наприклад, неприпустимі експерименти з економікою країни з пізнавальною метою, тут без моделі не обійтися.

Резюмуючи сказане, можна відповісти на запитання: для чого потрібні моделі? Для того щоб

• зрозуміти, як влаштований об'єкт (його структура, властивості, закони розвитку, взаємодії з навколишнім світом).
• навчитися керувати об'єктом (процесом) та визначати найкращі стратегії
• прогнозувати наслідки на об'єкт.

Що позитивного у будь-якій моделі? Вона дозволяє отримати нові знання про об'єкт, але, на жаль, тією чи іншою мірою не сповнена.

Модельсформульована мовою математики з використанням математичних методів називається математичною моделлю.

Вихідним пунктом її побудови зазвичай є деяке завдання, наприклад, економічна. Широко поширені як дескриптивні, так і оптимізаційні математичні, що характеризують різні економічні процесита явища, наприклад:

• розподіл ресурсів
• раціональний розкрій
• транспортні перевезення
• укрупнення підприємств
• мережеве планування.

Як відбувається побудова математичної моделі?

• По-перше, формулюється мета та предмет дослідження.
• Во–вторых , виділяються найважливіші показники, відповідні цієї мети.
• По-третє, словесно описуються взаємозв'язки між елементами моделі.
• Далі взаємозв'язок формалізується.
• І проводиться розрахунок з математичної моделі та аналіз отриманого рішення.

Використовуючи цей алгоритм можна вирішити будь-яку оптимізаційну задачу, зокрема і багатокритеріальну, тобто. ту в якій переслідується не одна, а кілька цілей, зокрема суперечливих.

Наведемо приклад. Теорія масового обслуговування – проблема утворення черг. Потрібно врівноважити два фактори – витрати на утримання обслуговуючих пристроїв та витрати на перебування у черзі. Побудувавши формальний опис моделі проводять розрахунки, використовуючи аналітичні та обчислювальні методи. Якщо модель хороша, то відповіді знайдені з її допомогою адекватні моделі, що моделює, якщо погана, то підлягає поліпшенню і заміні. Критерієм адекватності є практика.

Оптимізаційні моделі, у тому числі багатокритеріальні, мають спільну властивість - відома мета (або кілька цілей) для досягнення якої часто доводиться мати справу зі складними системами, де йдеться не стільки про вирішення оптимізаційних завдань, скільки про дослідження та прогнозування станів залежно від стратегій управління, що обираються. І тут ми стикаємося із труднощами реалізації колишнього плану. Вони полягають у наступному:

• складна система містить багато зв'язків між елементами
• реальна система піддається впливу випадкових факторів, облік їх аналітичним шляхом неможливий
• Можливість зіставлення оригіналу з моделлю існує лише на початку та після застосування математичного апарату, т.к. проміжні результати можуть мати аналогів у реальній системі.

У зв'язку з перерахованими труднощами, що виникають щодо складних систем, Практика вимагала більш гнучкий метод, і він з'явився - імітаційне моделювання "Simujation modeling".

Зазвичай під імітаційною моделлю розуміється комплекс програм для ЕОМ, що описує функціонування окремих блоків систем та правил взаємодії між ними. Використання випадкових величин робить необхідним багаторазове проведення експериментів з імітаційною системою (на ЕОМ) та наступний статистичний аналіз отриманих результатів. Досить поширеним прикладом використання імітаційних моделей є вирішення задачі масового обслуговування методом МОНТЕ-КАРЛО.

Таким чином, робота з імітаційною системою є експериментом, здійснюваним на ЕОМ. У чому полягають переваги?

-Велика близькість до реальної системи, ніж у математичних моделей;

-Блоковий принцип дає можливість верифікувати кожен блок до його включення до загальної системи;

–Використання залежностей складнішого характеру, не описуваних простими математичними співвідношеннями.

Перелічені переваги визначають недоліки

-Побудувати імітаційну модель довше, важче і дорожче;

-Для роботи з імітаційною системою необхідна наявність відповідної за класом ЕОМ;

-взаємодія користувача та імітаційної моделі (інтерфейс) має бути не надто складним, зручним та добре відомим;

-Побудова імітаційної моделі вимагає більш глибокого вивчення реального процесу, ніж математичне моделювання.

Постає питання: чи може імітаційне моделювання замінити методи оптимізації? Ні, але зручно доповнює їх. Імітаційна модель – це програма, що реалізує певний алгоритм, для оптимізації управління яким раніше вирішується оптимізаційне завдання.

Отже, ні ЕОМ, ні математична модель, ні алгоритм на її дослідження порізно що неспроможні вирішити досить складне завдання. Але разом вони уявляють ту силу, яка дозволяє пізнавати навколишній світкерувати ним на користь людини.

1.2 Класифікація моделей

1.2.1 Класифікація з урахуванням фактора часу та сфери використання (Макарова Н.А.) Статична модель -це як би одномоментний зріз інформації з об'єкта (результат одного обстеження) Динамічна модель-дозволяє побачити зміни об'єкта в часі (Картка в поліклініці) Можна класифікувати моделі і з того, до якої галузі знань вони належать(біологічні,історичні, екологічні тощо) Повернення на початок

1.2.2 Класифікація в галузі використання (Макарова Н.А.) Навчальні-наочніпосібники, тренажери ,про бучаючіпрограми Досвідчені моделі-зменшені копії (автомобіль в аеродинамічній трубі) Науково-технічні-синхрофазотрон, стенд для перевірки електронної апаратури Ігрові-економічні, спортивні, ділові ігри Імітаційні-непросто відображають реальність, але імітують її (на мишах випробовуються ліки, у школах проводяться експерименти тощо. Такий метод моделювання називається методом проб та помилок Повернення на початок

1.2.3 Класифікація за способом уявлення Макарова Н.А.) Матеріальні моделі- інакше можна назвати предметними. Вони сприймають геометричні та фізичні властивості оригіналу і завжди мають реальне втілення. Інформаційні моделі-не можна торкнутися чи побачити. Вони будуються лише з інформації .Інформаційнамодель сукупність інформації, що характеризує властивості та стану об'єкта, процесу, явища, а також взаємозв'язок із зовнішнім світом. Вербальна модель -інформаційна модель у мисленній або розмовній формі. Знакова модель-інформаційна модель виражена знаками ,Т.. засобами будь-якої формальної мови. Комп'ютерна модель - м одяг, реалізована засобами програмного середовища.

1.2.4 Класифікація моделей, наведена у книзі "Земля Інформатика" (Гейн А.Г.)) "... ось нехитра на перший погляд завдання: скільки потрібно часу, щоб перетнути пустелю Каракуми?" Відповідь, зрозумілозалежить від способу пересування. Якщо подорожувати наверблюдах, то знадобиться один термін, інший-якщо їхати на автомобілі, третій - якщо летіти літаком. А найголовніше – для планування подорожі потрібні різні моделі. Для першого випадку необхідну модель можна знайти в мемуарах знаменитих дослідників пустель: адже тут не обійтися без інформації про оазиси та верблюжі стежки. У другому випадку незамінна інформація, що міститься в атласі автомобільних шляхів. У третьому – можна скористатися розкладом літакових рейсів. Відрізняються ці три моделі – мемуари, атлас та розклад та характером пред'явлення інформації. У першому випадку модель представлена ​​словесним описом інформації (описова модель), у другому-як би фотографією з натури (Натурна модель), у третьому - таблицею, що містить умовні позначення: час вильоту та прильоту, день тижня, ціна квитка (Так звана знакова модель)Втім цей поділ дуже умовно-у мемуарах можуть зустрітися карти і схеми (елементи натурної моделі), на картах є умовні позначення (елементи знакової моделі), в розкладі наводиться розшифровка умовних позначень (елементи описової моделі). Так що ця класифікація моделей... на наш погляд малопродуктивна" На мій погляд, цей фрагмент демонструє загальний для всіх книг Гейна описовий (чудова мова і стиль викладу) і як би, сократівський стиль навчання (Всі вважають, що це ось так. Я цілком згоден з вами, але якщо придивитися, то...).У таких книгах досить складно знайти чітку систему визначень (вона не передбачається автором). У підручнику за редакцією Н.А. Макарової демонструється інший підхід - визначення понять чітко виділені та дещо статичні.

1.2.5 Класифікація моделей наведена у посібнику А.І.Бочкіна Способів класифікації надзвичайно багато .Приведемолише деякі, найбільш відомі підстави та ознаки: дискретністьі безперервність, матричніта скалярні моделі, статичні та динамічні моделі, аналітичні та інформаційні моделі, предметні та образно-знакові моделі, масштабні та немасштабні... Кожна ознака дає певнезнання про властивості і моделі, і реальності, що моделюється. Ознака може бути підказкою про спосіб виконаного чи майбутнього моделювання. Дискретність та безперервність Дискретність - характерна ознакасаме комп'ютерних моделей .В їдькомп'ютер може бути в кінцевому, хоча і дуже великій кількості станів. Тому навіть якщо об'єкт безперервний (час), у моделі він змінюватиметься стрибками. Можна вважати безперервністьознакою моделей некомп'ютерного типу. Випадковість та детермінованість . Невизначеність, випадковістьспочатку протистоїть комп'ютерного світу: Запущений знову алгоритм має повторитися і дати самі результати. Але для імітації випадкових процесів використовують датчики псевдовипадкових чисел. Введення випадковості в детерміновані завдання призводить до потужних та цікавих моделей (Обчислення площі методом випадкових кидань). Матричність - скалярність. Наявність параметрів у матричноїмоделі говорить про її більшу складність і, можливо, точність порівняно зі скалярної. Наприклад, якщо не виділити в населенні країни всі вікові групи, розглядаючи його зміну як ціле, отримаємо скалярну модель (наприклад модель Мальтуса), якщо виділити - матричну (статевому). Саме матрична модель дозволила пояснити коливання народжуваності після війни. Статичність динамічність. Ці властивості моделі зазвичай визначаються властивостями реального об'єкта. Тут нема свободи вибору. Просто статичнамодель може бути кроком до динамічної, чи частина змінних моделі можна вважати поки незмінною. Наприклад, супутник рухається навколо Землі, на його рух впливає Місяць. Якщо вважати Місяць нерухомим за час обороту супутника, отримаємо простішу модель. Аналітичні моделі. Опис процесів аналітично, формулами та рівняннями. Але при спробі побудувати графік зручніше мати таблиці значень функції та аргументів. Імітаційні моделі. Імітаційнімоделі з'явилися давно у вигляді масштабних копій кораблів, мостів тощо з'явилися давно, але у зв'язку з комп'ютерами розглядаються нещодавно. Знаючи як пов'язаніелементи моделі аналітично і логічно, простіше вирішувати систему деяких співвідношень і рівнянь, а відобразити реальну систему на згадку про комп'ютера, з урахуванням зв'язків між елементами пам'яті. Інформаційні моделі. Інформаційнімоделі прийнято протиставляти математичним, точніше алгоритмічним. Тут важливим є співвідношення обсягів дані/алгоритми. Якщо даних більше, або вони важливіші, маємо інформаційну модель, інакше - математичну. Предметні моделі. Це насамперед дитяча модель – іграшка. Образно-знакові моделі. Це перш за все модель в умі людини: образна, якщо переважають графічні образи, та знаковаякщо більше слів або (і) чисел. Образно-знакові моделі будуються на комп'ютері. Масштабні моделі. До масштабниммоделям ті з предметних чи образних моделей, що повторюють форму об'єкта (карта).

ЕОМ міцно увійшла в наше життя, і практично немає такої галузі людської діяльності, де не застосовувалася б ЕОМ. ЕОМ зараз широко використовується в процесі створення та дослідження нових машин, нових технологічних процесів та пошуку їх оптимальних варіантів; під час вирішення економічних завдань, під час вирішення завдань планування і управління виробництвом різних рівнях. Створення великих об'єктів у ракетотехніці, авіабудуванні, суднобудуванні, і навіть проектування гребель, мостів, та інших. взагалі неможливо без застосування ЕОМ.

Для використання ЕОМ при вирішенні прикладних завдань, перш за все прикладне завдання має бути "перекладено" на формальний математична мова, тобто. для реального об'єкта, процесу чи системи має бути побудована його математична модель.

Слово "Модель" походить від латинського modus (копія, образ, контур). Моделювання - це заміщення деякого об'єкта А іншим об'єктом Б. Об'єкт А, що заміщується, називається оригіналом або об'єктом моделювання, а заміщаючий Б - моделлю. Іншими словами, модель – це об'єкт-замінник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу.

Метою моделювання є отримання, обробка, подання та використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою та зовнішнім середовищем; а модель тут постає як пізнання якостей і закономірності поведінки об'єкта.

Математичне моделювання - це засіб вивчення реального об'єкта, процесу чи системи шляхом їх заміни математичною моделлю, зручнішою для експериментального дослідження за допомогою ЕОМ.

Математичне моделювання - процес побудови та вивчення математичних моделей реальних процесів та явищ. Всі природничі та суспільні науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють реальний об'єкт його моделлю і потім вивчають останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище, що повністю вивчається, і питання про застосовність отриманих таким чином результатів є дуже змістовними. Математична модель – це спрощений опис реальності за допомогою математичних понять.

Математична модель виражає суттєві риси об'єкта чи процесу мовою рівнянь та інших математичних засобів. Власне, сама математика зобов'язана своїм існуванням з того що вона намагається відобразити, тобто. промоделювати, своєю специфічною мовою закономірності навколишнього світу.

При математичне моделюванняВивчення об'єкта здійснюється за допомогою моделі, сформульованої мовою математики з використанням тих чи інших математичних методів.

Шлях математичного моделювання в наш час набагато більш всеосяжний, ніж моделювання натурного. Величезний поштовх розвитку математичного моделювання дало появу ЕОМ, хоча сам метод зародився одночасно з математикою тисячі років тому.

Математичне моделювання як таке не завжди вимагає комп'ютерної підтримки. Кожен фахівець, який професійно займається математичним моделюванням, робить все можливе для аналітичного дослідження моделі. Аналітичні рішення (тобто представлені формулами, що виражають результати дослідження через вихідні дані) зазвичай зручніше та інформативніше чисельних. Можливості аналітичних методів вирішення складних математичних завдань, однак, дуже обмежені і, як правило, ці методи набагато складніші за чисельні.

Математична модель є наближеним уявленням реальних об'єктів, процесів чи систем, вираженим у математичних термінах і зберігає суттєві риси оригіналу. Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу чи системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.

Усі моделі можна розділити на два класи:

1. речові,
2. ідеальні.

У свою чергу речові моделі можна розділити на:

1. натурні,
2. фізичні,
3. математичні.

Ідеальні моделі можна поділити на:

1. наочні,
2. знакові,
3. математичні.

Речовинні натурні моделі - це реальні об'єкти, процеси та системи, над якими виконуються експерименти наукові, технічні та виробничі.

Речові фізичні моделі- це макети, муляжі, що відтворюють фізичні властивості оригіналів (кінематичні, динамічні, гідравлічні, теплові, електричні, світлові моделі).

Речові математичні – це аналогові, структурні, геометричні, графічні, цифрові та кібернетичні моделі.

Ідеальні наочні моделі – це схеми, карти, креслення, графіки, графи, аналоги, структурні та геометричні моделі.

Ідеальні знакові моделі – це символи, алфавіт, мови програмування, впорядкований запис, топологічний запис, мережеве уявлення.

Ідеальні математичні моделі – це аналітичні, функціональні, імітаційні, комбіновані моделі.

У наведеній класифікації деякі моделі мають подвійне тлумачення (наприклад аналогові). Усі моделі, крім натурних, можна поєднати до одного класу уявних моделей, т.к. є продуктом абстрактного мислення людини.

Елементи теорії гри

У випадку рішення гри представляє досить важке завдання, причому складність завдання та обсяг необхідні рішення обчислень різко зростає зі збільшенням . Однак це проблеми не носять принципового характеру і пов'язані лише дуже великим обсягом розрахунків, який у ряді випадків може виявитися практично нездійсненним. Важлива сторона способу пошуку рішення залишається за будь-якого однієї й тієї ж.

Проілюструємо це на прикладі гри. Дамо їй геометричну інтерпретацію – вже просторову. Три наші стратегії, зобразимо трьома точками на площині ; перша лежить на початку координат (рис.1). друга та третя - на осях Охі Оуна відстані 1 від початку.

Через точки проводяться осі I-I, II-II та III-III, перпендикулярні до площини. . На осі I-I відкладаються виграші за стратегії на осях II-II і III-III - виграші при стратегіях. Кожна стратегія противника зобразиться площиною, що відсікає на осях I-I, II-II та III-III, відрізки, рівні виграшам

при відповідних стратегія та стратегія . Побудувавши, таким чином, усі стратегії супротивника, ми отримаємо сімейство площин над трикутником (рис2).

Для цього сімейства також можна побудувати нижню межу виграшу, як ми це робили у випадку, і знайти на цьому кордоні точку N з максимальною висотою нал площиною . Ця висота і буде ціною гри.

Частоти стратегій в оптимальній стратегії будуть визначатися координатами (x, у)точки N, а саме:

Однак така геометрична побудова навіть для випадку нелегко здійсненна і потребує великої витрати часу та зусиль уяви. У загальному випадку гри воно переноситься в - мірний простір і втрачає будь-яку наочність, хоча вживання геометричної термінології в ряді випадків може виявитися корисним. При вирішенні ігор практично зручніше користуватися не геометричними аналогіями, а розрахунковими аналітичними методами, тим паче, що з вирішення завдання обчислювальних машинах ці методи єдино придатні.

Всі ці методи по суті зводяться до вирішення задачі шляхом послідовних проб, але впорядкування послідовності проб дозволяє побудувати алгоритм, що веде до вирішення найбільш економічним способом.

Тут ми коротко зупинимося на одному розрахунковому методі вирішення ігор - на так званому методі "лінійного програмування".

Для цього дамо спочатку загальну постановку задачі про знаходження рішення гри. Нехай дана гра з тстратегіями гравця Аі nстратегіями гравця Ута задана платіжна матриця

Потрібно знайти рішення гри, тобто дві оптимальні змішані стратегії гравців А та В

де (деякі з чисел можуть бути рівними нулю).

Наша оптимальна стратегія S* Aповинна забезпечувати нам виграш, не менший, за будь-якої поведінки противника, і виграш, рівний, при його оптимальній поведінці (стратегія S* B). Аналогічно стратегія S* Bповинна забезпечувати противнику програш, не більший, при будь-якій нашій поведінці і рівний при нашій оптимальній поведінці (стратегія S* A).

Розмір ціни гри у разі нам невідома; будемо вважати, що вона дорівнює деякому позитивному числу. Вважаючи так, ми не порушуємо спільності міркувань; щоб було > 0, очевидно, достатньо, щоб усі елементи матриці були неотрицательными. Цього завжди можна досягти, додаючи до елементів досить велику позитивну величину L; при цьому ціна гри збільшиться на L, а рішення не зміниться.

Нехай ми вибрали свою оптимальну стратегію S*A.Тоді наш середній виграш при стратегії супротивника дорівнюватиме:

Наша оптимальна стратегія S* Aволодіє тим властивістю, що з будь-якій поведінці противника забезпечує виграш не менший, ніж ; отже, будь-яке з чисел може бути менше . Отримуємо низку умов:

(1)

Розділимо нерівності (1) на позитивну величину та позначимо:

Тоді умова (1) запишеться у вигляді

(2)

де - Невід'ємні числа. Так як величини задовольняють умові

Ми хочемо зробити свій гарантований виграш максимально можливим; Вочевидь, у своїй права частина рівності (3) приймає мінімальне значення.

Таким чином, завдання знаходження рішення гри зводиться до наступної математичної задачі: визначити невід'ємні величини , що задовольняють умовам (2), так, щоб їх сума

була мінімальною.

Зазвичай під час вирішення завдань, що з знаходженням екстремальних значень (максимумів і мінімумів), функцію диференціюють і прирівнюють похідні нулю. Але такий прийом у даному випадку некорисний, тому що функція Ф, яку потрібнозвернути в мінімум, лінійна, і її похідні за всіма аргументами дорівнюють одиниці, тобто ніде не звертаються в нуль. Отже, максимум функції досягається десь на межі області зміни аргументів, що визначається вимогою невід'ємності аргументів та умовами (2). Прийом знаходження екстремальних значень за допомогою диференціювання непридатний і в тих випадках, коли для вирішення гри визначається максимум нижньої (або мінімум верхньої) межі виграшу, як ми. наприклад, робили при вирішенні ігор. Дійсно, нижня межа складена з ділянок прямих ліній, і максимум досягається не в точці, де похідна дорівнює нулю (такої точки взагалі немає), а на межі інтервалу або в точці перетину прямолінійних ділянок.

Для вирішення подібних завдань, які досить часто зустрічаються на практиці, в математиці розроблено спеціальний апарат лінійного програмування.

Завдання лінійного програмування ставиться в такий спосіб.

Дана система лінійних рівнянь:

(4)

Потрібно знайти невід'ємні значення величин, що задовольняють умовам (4) і водночас звертають у мінімум задану однорідну лінійну функцію величин (лінійну форму):

Легко переконатися, що поставлене вище завдання теорії ігор є окремим випадком задачі лінійного програмування при

З першого погляду може здатися, що умови (2) не еквівалентні умовам (4), оскільки замість знаків рівності містять знаки нерівності. Однак від знаків нерівності легко позбутися, вводячи нові фіктивні невід'ємні змінні та записуючи умови (2) у вигляді:

(5)

Форма Ф, яку потрібно звернути в мінімум, дорівнює

Апарат лінійного програмування дозволяє шляхом порівняно невеликої кількості послідовних спроб підібрати величини , що задовольняють поставленим вимогам. Для більшої ясності ми продемонструємо застосування цього апарату прямо на матеріалі вирішення конкретних ігор.