Pag-order ng mga impersonal na natural na numero. Ang konsepto ng isang natural na numero at zero. Pagpapahayag ng "equally", "less", "greater" sa impersonal natural number Pag-unawa sa nutrisyon para sa mathematical analysis

Ang kahalili sa N natural na serye ay isang impersonal na natural na numero na hindi nagbabago sa natural na bilang na a, kaya N = (x | x N i x a).

Halimbawa, N ce impersonal natural na mga numero, kaya huwag baguhin ang 7, kaya. N = (1,2,3,4,5,6,7).

Makabuluhang dalawang pinakamahalagang kapangyarihan sa natural na serye:
1) Be-yaky vіdrіzok N paghihiganti kalungkutan. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka natural na serye.
2) Kung ang numerong x ay nawala mula sa kalaban N і x a, pagkatapos ay ang numerong x + 1 ay susunod sa kanila at naglalaho sa N .

Ang Bezlich A ay tinatawag na kіtsevim, na parang katumbas ito ng parehong katapat sa N natural na serye. Halimbawa, walang mukha At ang mga tuktok ng trikutnik, walang mukha ang mga baho ay katumbas ng N = (1,2,3), ibig sabihin. A~B~N .
Dahil ang numerong A ay walang laman at katumbas ng N, kung gayon ang natural na numerong a ay tinatawag na bilang ng mga elemento ng multiplier A at isulat ang n(A) = a. Halimbawa, kung ang A ay ang multiplicity ng vertices ng tricot, kung gayon n(A) = 3.

Kung hindi ito walang laman, ang kіtsev bezlіch ay katumbas ng isa at higit sa isang vіdrіzk ng natural na serye, tobto. skin endian plural At maaari itong ilagay sa isang natatanging pantay na bilang na a, kaya iyon ay hindi personal na A ay kapwa hindi malabo na may kaugnayan sa N .

Ang pag-aayos ng mutual at one-nobility ay ang etika ng mga unbearabels ng hindi mabata multi-livo at ang natural na hanay upang tawagan ang rahunke Elimente ng multi-okіye panty-vyshiye tilki, pagkatapos ay ang lahat ng purest ay ang lahat ng overgrown. Sa isang klase, ang lahat ng isang-element multiplicand ay mababawasan, sa isa pa - dalawang-elemento, atbp. Ang unang numero ay makikita bilang ang sukdulang kapangyarihan ng klase ng mga prinsipe na may pantay na lakas. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, mula sa theoretical-multiple point of view, isang natural na numero ang pangunahing kapangyarihan ng klase ng mga terminal multiplier.

Ang numerong 0 ay maaari ding multiplier-theoretic - dapat itong itakda sa isang walang laman na multiplier: n() = 0.

Gayundin, ang isang natural na numero bilang isang katangian ng dami ay makikita mula sa dalawang posisyon:

1) bilang ang bilang ng mga elemento sa set A, nanalo para sa isang rahunka;
2) gaano kalakas ang kapangyarihan ng klase ng kіtsevyh na pantay na malakas na mga tao.

Ang pagtatatag ng mga link sa pagitan ng huling multiplies at natural na mga numero ay nagbibigay-daan sa amin upang magbigay ng isang multiplier-theoretical clouding ng "mas mababa".

Kung a = n(A), b = n(B), kung gayon ang numero a ay mas mababa sa numerong b, kahit na kung ang multiplier A ay katumbas ng power submultiplier ng multiplier, kung gayon. A ~ B, de B, B, B (Larawan 1). Abo kung sa natural na serye N є makakuha tayo ng maraming kapangyarihan vіdrіzka N, tobto. N N .

Ang mga numero а і b pantay, yakscho stinks ay katumbas ng pantay na multiple: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Halimbawa, 2 = 2, dahil n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.

Ang pangingibabaw ng terminong "mas kaunti" para sa mga natural na numero ay katulad din ng multiplier-theoretic clouding: ang transitivity at antisymmetry ng terminong ito ay nauugnay dito, na kung saan ay transitive at antisymmetric ng terminong "naging isang multiplier".

Ipinapakita na ang multi-theoretical na interpretasyon ng "mas mababa" para sa mga natural na numero, na 2
Kunin natin ang multiplier A, para ipaghiganti ang 2 elemento, at ang multiplier B, para ipaghiganti ang 5 elemento, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Halimbawa, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Mula sa multiplier B makikita mo ang submultiple, ang katumbas na multiplier A: halimbawa B = (c, d) і A ~ B.
Pagkamakatarungan sa N
Tsyu nerіvnіst maaari mong tingnan ang maliit na 2. Halika sa 2 ay ang bilang ng mga fold, at 5 ay ang bilang ng mga parisukat. Kung ilalagay mo ang mga bilog sa mga parisukat, ligtas na sabihin na ang bahagi ng mga parisukat ay naiwang hindi natapos.

Otzhe, ang bilang ng mga fold ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga parisukat, tobto. 2
Multiplier-theoretic na pakiramdam ng hindi pagkakapantay-pantay 0

Ang pagkakahanay ng mga numero sa kursong cob ng matematika ay binuo sa iba't ibang paraan - ito ay batay sa lahat ng mga diskarte na aming tiningnan bago bigyang-kahulugan ang pariralang "mas mababa".

Theorems tungkol sa "pinakamalaking" at "pinakamaliit" na numero

Theorem 4 (tungkol sa "pinakamaliit" na numero). Kung ito ay hindi walang laman, napapaligiran ng ilalim ng impersonal na mga numero, paghihiganti ang pinakamaliit na bilang. (Dito, tulad ng sa kaso ng mga natural na numero, ang salitang "multiple" ay pinalitan ng salitang "multiple" E

Nagdadala. Hayaan ang O A Z i A ay fringed mula sa ibaba, tobto. 36? Zva? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Halika na LA.

Todi Ua at Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).

Gawin nating impersonal M ng lahat ng numero sa anyong a - b, de probіgaє impersonal A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)

Malinaw na ang impersonal na M ay hindi walang laman, ang mga shards A 74 0

Mas mataas ang Yak, M C N . Nang maglaon, kasunod ng theorem o r a l n o m h i s l e (54, ch. III), ang multiplier M ay may pinakamababang natural na bilang na m. A, at mga tipak ng hindi bababa sa M, pagkatapos Wah? A(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Theorem 5 (tungkol sa "pinakamalaking" integer). Maging isang bagay na hindi walang laman, palibutan ang halimaw ng hindi personal na mga numero, upang ipaghiganti ang pinakamaraming bilang.

Nagdadala. Hayaang ang O 74 AC Z i A ay napapaligiran ng halimaw na may bilang na b, kaya. ? ZVa at A(a< Ь). Тогда -а >b para sa lahat ng numero a? PERO.

Mamaya, ang multiplier M (z g \u003d -a, a? A) ay hindi walang laman at napapalibutan ng numero (-6) sa ibaba. Ayon sa nakaraang teorama, ang multiplier M ay may pinakamaliit na bilang, iyon ay. alas? ICC? M (z< с).

Tse ibig sabihin ano Wah? A(s< -а), откуда Уа? А(-с >a)

Z. Iba't ibang anyo ng paraan ng mathematical induction ng buong numero. Theorem tungkol sa podіl іz surplus

Theorem 1 (ang unang anyo ng paraan ng mathematical induction). Hayaan ang P(s) - iisang panaguri, mga pagtatalaga sa mga multiple ng Z buong numero., 4 . Sa parehong paraan Para sa anumang NUMBER a Z proposition P(o) і Para sa sapat na integer K > a C P(K) slid P(K -4- 1), kung gayon ang proposisyon P(r) ay tama Para sa lahat ng numero z > a (kaya sa multiplier Z є ang tunay na formula para sa pagkalkula ng mga predicate ay:

P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)

para sa anumang nakapirming integer a

Nagdadala. Hayaang ang mga proposisyon P (c) ay maging totoo sa lahat, upang pumunta para sa isip ng teorama, tobto.

1) P(a) - totoo;

2) Totoo rin ang KK SC to +.

Tipong hindi katanggap-tanggap. Ipagpalagay natin na mayroong ganoong numero

b> a, sho RF) - hello. Ito ay malinaw na ang a, oskіlki R (a) ay totoo. Satisfyingly impersonal M = (z?> a, P (z) - hibno).

Todi bezlich M0, oskіlki L? Ang M at M ay may hangganan sa ibaba ng bilang na a. Nang maglaon, pagkatapos ng theorem on na i m e n n m e l e l o m h i sl (Theorem 4, 2), ang multiplier M ay may pinakamaliit na bilang c. Zvіdsi z\u003e a, sho, my black, pulling s - 1\u003e a.

Sabihin nating totoo ang Р(с-1). Kung c-1 = a, kung gayon ang P (c-1) ay totoo sa pamamagitan ng kaisipan.

Hayaan ang c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, paghila sa likod niya ang pagkakaroon ng s 1? M, na hindi maaaring ngunit, ang bilang ng s ay ang pinakamaliit sa M.

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, s - 1> a at P (c - 1) - totoo.

Isipin ang proposisyon P((c- 1) + 1) mula sa proposisyon P((c- 1) + 1) - totoo iyon. R(s) - totoo. Tse superechit ang pagpili ng numero c, oskіlki? Nakumpleto na ang theorem.

Sa paggalang, ang teorama na ito ay malapit na kinahinatnan ng Corollary 1 sa mga axiom ni Peano.

Theorem 2 (isa pang anyo ng paraan ng mathematical induction ng mga integer). Hayaan ang P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) sa multiplicity ng Z integers. Gayunpaman, ang proposisyon P (c) ay wasto Para sa isang decimal integer na numero K at Para sa isang sapat na bilang ng integer s Upang itama ang Proposisyon P (c) Para sa lahat ng integer na numero na nakakatugon sa mga iregularidad ng K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >dati.

p align="justify"> Ang patunay ng theorem na ito ay mayaman, kaya inuulit ko ang patunay ng isang katulad na theorem para sa natural na mga numero (Theorem 1, 55, Ch.III).

Theorem 3 (ang ikatlong anyo ng paraan ng matematikal na induction). Hayaan ang P(s) - one-single predicate, mga takdang-aralin sa multiplier Z cіlіs CHІСі. Kung totoo ang P(c) Para sa lahat ng numero ng decimal multiplier M ng zero natural na numero i Para sa sapat na integer a C ay totoo P(a) kung gayon ang P(a - 1) ay totoo, kung gayon ang proposisyon P(c) ay totoo Para sa lahat ng mga numero.

Ang patunay ay kahalintulad sa patunay ng double theorem para sa mga natural na numero.

Proponuemo yogo parang cicava right.

Karapat-dapat na tandaan na sa pagsasanay ang ikatlong anyo ng induction ng matematika ay mas malinaw, mas mababa at mas mababa. Ito ay ipinaliwanag na para sa її zastosuvannya ito ay kinakailangan upang malaman ang walang katapusang submultiplier M ng multiplier ng natural na mga numero, ito ay magiging malinaw sa theorem. Ang kaalaman sa naturang multiplier ay maaaring mukhang mahirap na gawain.

Kaya, ang bentahe ng ikatlong anyo bago ang iba ay sa katotohanan na ang karagdagang proposisyon na P (c) ay dinadala sa lahat ng integer na numero.

Sa ibaba ay nilalayon namin ang buttstock ng ikatlong anyo na zastosuvanya ". Ale, back to back, isa pang magalang na pag-unawa si damo.

appointment. Ang absolute value ng isang integer number a ay ang numerong itinalaga ayon sa panuntunan

0, kung a O a, kung a > O

Isang yakscho a< 0.

Otzhe, parang 0, tapos? N.

Iminumungkahi sa mambabasa na may karapatan siyang dalhin ang gayong kapangyarihan sa ganap na laki:

Theorem (tungkol sa overflow). Para sa anumang bilang ng mga numero a i b, de b 0, iсnuє i bago iyon, mayroon lamang isang pares ng mga numero q U m na ang a r: bq + T L D.

Nagdadala.

1. Base ng taya (q, t).

Hayaan ang a, b? Z i 0. Ipinapakita na mayroong isang pares ng mga numero q i

Ang patunay ay isinasagawa sa pamamagitan ng induction sa ikatlong anyo para sa dami a na may nakapirming bilang b.

M = (mlm = n lbl, n? N).

Malinaw na ang M lt ay isang expression na f: N M, na tinutukoy ng panuntunan f (n) = nlbl para sa anumang n? Ang N ay isang bijection. Tse ibig sabihin na M N, na. M-hindi malinaw.

Sabihin natin na mula sa isang tiyak na numero a? M (і L-fixed) assertion ng theorem tungkol sa batayan ng pares ng mga numero q і t ay totoo.

Totoo, hayaan itong maging isang (- M. Todi a pf! para sa isang tunay na p?

Kung b > 0, pagkatapos ay a \u003d n + O. Isinasaalang-alang ngayon q \u003d n at m O, kinukuha namin ang kinakailangang pares ng mga numero q at m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Zrobimo ngayon induction allowance. Ipagpalagay na mula sa isang sapat na integer na numero s (at isang sapat na fixed b 0) ang assertion ng theorem ay totoo, kung gayon. ay isang pares ng mga numero (q, m) tulad na

Maaari itong ipakita na ito ay mas tama para sa numero (з 1). Ang Z ay katumbas ng s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (isa)

Malamang bumagsak.

1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. Sa puntong ito, sa paglalagay ng - t - 1, kinukuha namin ang z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) malinaw na nakalulugod isip

0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1

Kung walang pagsasanay, posible na 0< < Д.

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang katatagan ay totoo at para sa isang taya ng mga numero

Nakumpleto na ang unang bahagi ng theorem.

P. Iisang taya q і atbp.

Ipagpalagay natin na para sa mga numerong a i b 0 posibleng magtatag ng dalawang pares ng mga numero (q, m) i (q1, upang masiyahan ang mga isipan (*)

Tingnan natin na umaalis ang mga baho. Ano ba naman yan

ako ay isang bq1 L O< Д.

Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1

Ipagpalagay natin ngayon na q ql, pagkatapos q - q1 0, mga bituin lq - q1l 1. - q11 D. (3)

Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

U r a f n i n nya:

1. Kumpletuhin ang mga patunay ng Theorems 2 at 3 ng 5 1.

2. Kumpletuhin ang corollary 2 mula sa Theorem 3, 1.

3. Upang idagdag, ano ang kabuuan ng NS Z, kung ano ang idinagdag mula sa mga ibinigay na numero sa form< п + 1, 1 >(n? N), saradong paraan ng pagtitiklop na pagpaparami.

4. Hayaang sabihin ng N ang parehong mga bagay na hindi personal na may karapatan kang 3. Dalhin ang iyong nakikita ј: M nalulugod sa isipan:

1) ј - bієktsіya;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) at j(nm) = j(n) j(m) para sa anumang numero n, m , i (H, +,).

5. Kumpletuhin ang patunay ng Theorem 1 ng 2.

6. Upang patunayan na para sa anumang bilang ng mga numero a, b, ang mga sumusunod na implikasyon ay wasto:

7. Sabihin sa isang kaibigan na ang ikatlong bahagi ng theorem mula sa Z.

8. Upang patunayan na ang bilang ng mga Z integer ay hindi naghihiganti sa mga numero ng zero.

Panitikan

1. Bourbaki N. Teorya ng multiples. M.: Svit, 1965.

2. Vinoradiv I. M. Mga Batayan ng teorya ng numero. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov I. T. Magbigay ng aritmetika. M: Uchpedgiz, 1963.

4. Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Mga Batayan ng teorya ng grupo.

M: Nauka, 1972.

5. Kostrikin A. I. Panimula sa Algebra. M: Nauka, 1994.

b. Kulikov L. Ya. Algebra at teorya ng numero. M: Vishcha. paaralan, 1979.

7. Kurosh A.G. Ang kurso ng pinaka-advanced na algebra. M: Nauka, 1971.

8. Lyubetsky V. A. Mga pangunahing konsepto ng matematika ng paaralan. M: Prosvitnitstvo, 1987.

9. Lyapin ES. na sa. Mula mismo sa teorya ng mga grupo. M: Nauka, 1967.

10. Maltsev A. I. Algebraic system. M: Nauka, 1970.

11. MenDelson Ege. Panimula sa mathematical logic. M: Nauka, 1971.

12. Nechaev V. I. Numerical system. M: Prosvitnitstvo, 1975.

13. Novikov P.S. Mga elemento ng lohika ng matematika. M.. Nauka, 1973.

14. Petrova V. T. Mga Lektura sa Algebra at Geometry.: U 2 taon.

CHL. M: Vlados, 1999.

15. Sochasni ambush school mathematics course Avt. kredito: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kaltzhnin LA Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980.

16. L. A. Kushnir, Mga Elemento ng Algebra. M: Nauka, 1980.

17. Stom R.R. Impersonality, logic, axiomatic theories. M.; Osvita, 1968.

18. Stolyar A. A. Lohikal na panimula sa matematika. Minsk: VISCHII. paaralan, 1971.

19. V. P. Filippov, Algebra at Number Theory. Volgograd: VGPІ, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Ibigay ang teorya ng multiples. M: Svit, 1966.

21. Fuchs L. Chastkovo na mga sistema ng pag-order. M.: Svit, 1965.

Unang nakita

Volodymyr Kostyantinovich Kartashov

PANIMULANG KURSO NG MATHEMATICS

Punong tulong

Paghahanda ng editoryal O. I. Molokanova Orihinal na layout na dinisenyo ni O. P. Boshchenko

„PR 020048 na may petsang 20.12.96

Nilagdaan sa isa't isa noong 28.08.99. Format 60x84/16. Opisina ng Druk. boom. uri ng. M 2. Uel. pich. l. 8.2. Uch.-view. l. 8.3. Sirkulasyon 500 kopya. Kaakit-akit 2

Vidavnitstvo "Zmina"

Ang isang natural na numero ay ang buong numero, na parang nanalo para sa isang rahunka ng mga bagay. Vono viniklo z praktikal na pangangailangan ng mga tao. Ang pag-unlad ng pag-unawa sa natural na bilang ay maaaring nahahati sa ilang yugto: 1. matatandang tao, upang malampasan ang kawalang-halaga, itinatag ang mga mahahalaga: halimbawa, ang mga insoles, ang mga daliri sa mga kamay. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli ngunit isang oras na magagamit para sa inspeksyon. 2. Bezlich - mga tagapamagitan, halimbawa, mga bato, pagong, patpat. Ang konsepto ng kіlkіst ay mas nakatiklop. І mga numero na nakatali sa mga partikular na paksa. 3. Hitsura ng isang numero (pagtatalaga ng isang numero sa pamamagitan ng nakikitang mga digit). Ang pagsilang ng matematika. Ang aritmetika bilang isang agham ay nagmula sa mga lupain ng Sinaunang Descent - China, India, Egypt, malayong pag-unlad sa Greece. Ang terminong "natural na bilang" ay unang ginamit ng mga turong Romano ni Boetius. Rakhunok ay kinakailangan upang magtalaga ng maraming pera. Rozіb'єmo lahat ng kіlkіsnі multiplier sa klase ng equivalence, halimbawa, sa isang klase ng equivalence. upang makita ang walang mukha na tuktok ng mga trikutnik, ang mga gilid ng parisukat, ang walang mukha na mga titik ng salitang liwanag. Kung ipagpapatuloy mo ang prosesong ito, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga may katumbas - lahat ay pantay na malakas. Kіntsevі multiply vyyavlyatsya para sa mga klase. yun. theoretically - ang plurality ng kіlkіsnogo natural na numero - є zagalna vlastіvіst class kіncevih pantay malakas na plurals. Ang klase ng balat ay may sariling numero. Nakatakda ang zero sa multiplier na walang laman.

Ang mga numerong A at B ay tinatawag na pantay, dahil sila ay pantay sa bilang.

Ang ganitong paraan ay tumitigil sa mga klase ng cob.

Ang pamamaraan ng pagtatrabaho sa mga gawain na nagpapakita ng mga tiyak na kahulugan ng arithmetic diy.

Ang mga gawain sa aritmetika sa kurso ng matematika ay sumasakop sa isang makabuluhang lugar. Mayzhe kalahating oras bago ang isang oras ng mga aralin sa matematika upang ipakilala sa pagkumpleto ng gawain. Ang lahat ng mahusay na espirituwal at nagliliwanag na roll, na ang baho ay gumaganap sa ilalim ng oras ng edukasyon ng mga bata. Ang mga gawain sa aritmetika ng Virishennya ay nakakatulong upang maihayag ang pangunahing matematika ng mga aksyong aritmetika, ikonkreto ang mga ito, at maiugnay sa sitwasyon sa buhay ng pagkanta. Zavdannya na pumalit maintindihan ang math, Vіdnosin, mga batas. Kapag natupad ang gawain, ang mga bata ay nagkakaroon ng lubos na paggalang, pag-iingat, mas lohikal na pag-iisip, Mova, kmіtlivist. Ang layunin ay bumuo ng mga proseso ng aktibidad na nagbibigay-malay bilang pagsusuri, synthesis, pagkakahanay, at pagpipino.

Sa proseso ng paglutas ng mga gawain sa aritmetika, natututo ang mga mag-aaral na magplano at kontrolin ang kanilang mga aktibidad, buksan ang pagtanggap, pagpipigil sa sarili (muling pag-verify ng mga gawain, pagtatantya ng mga gawain pagkatapos) sila ay umuugoy sa kanilang pagmamataas, bubuo ng interes hanggang sa punto. ng paglutas ng mga gawain. Mahusay ang papel ng virishennya zavdan sa paghahanda ng mga bata para sa buhay, para sa hinaharap aktibidad sa paggawa. Kapag nilulutas ang mga gawain sa balangkas, ang mga mag-aaral ay nagsisimulang lumipat sa pagitan ng mga bagay at halaga sa "wika ng matematika". Sa mga gawaing arithmetic, ang numerical na materyal ay nagwagi, na nagbibigay inspirasyon sa tagumpay ng bansa sa iba't ibang mga gallery ng estado, kultura, at agham ng mga tao. Tse spryaє palawakin ang abot-tanaw ng mga mag-aaral, pinayaman ng bagong kaalaman tungkol sa pangkasalukuyan na aksyon. Uminnyam vyrishuvati arithmetic zavdannya uchnі opanovuyut na may malaking kahirapan.

Ang mga dahilan para sa pagpapatawad ng mga gawain ng mga bata ay sumisigaw para sa amin sa harap ng mga kakaibang katangian ng kanilang mga isip. Sa proseso ng navchannya rozvyazannyu gawain ay dapat na katangi-tanging nakaunat sa tuktok ng gawain ng unang isip, ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang diskarte sa rozvyazannya ng mga gawain, upang orientate sa simpleng sitwasyon sa buhay, ang mga paglalarawan ng gawain , ang pagsasaalang-alang sa gawain, ang pagsasaalang-alang sa ibinigay na pangitain. Sa proseso ng pagtatrabaho sa anumang problema sa aritmetika, makikita mo ang mga sumusunod na yugto:

1. Magtrabaho sa task manager.

2. Poshuk paglutas ng problema.

3. Paglutas ng problema.

4. Pagbubuo ng opinyon.

5. Pagrerebisa ng paglutas ng problema.

6. Malayo sa robot sa mga nangungunang gawain.

Ibig kong sabihin ang paggalang sa susunod na ikabit ang mga robot sa ibabaw ng zmist ng pabrika, tobto. sa pag-unawa sa sitwasyon sa mga gawain, ang pagtatatag ng mga fallow sa pagitan ng danim at shukanim. Ang pagkakasunud-sunod ng trabaho sa pananakop ng gawain;

a) pagsusuri ng mga ignorante na salita at viraziv;

b) pagbasa ng tekstong ibinigay ng guro at pagkatuto;

c) isang talaan ng pag-iisip sa gawain;

d) pag-uulit ng gawaing pagkain.

Vyraznym pagbabasa ng teksto ng pinuno ng susunod na pag-aaral. Kinakailangang tandaan na ang mga bata ay lalo na kailangang magbasa ng isang pang-promosyon na pagbabasa, hindi nila mabasa nang tama ang gawain sa kanilang sarili, hindi makapag-ayos ng mga lohikal na boses, atbp.

Ang pagkakasunud-sunod ng pagkonkreto ng pagtatalaga para sa mga karagdagang paksa, stencil at maliliit na bata sa pagsasanay ng mga robot sa mga paaralan na may malawak na lawak ay nabuo sa ganoong anyo upang isulat ang pagtatalaga ng gawain:

1. Ang anyo ng tala ay pinaikli, kasama ang teksto ng gawain, isulat ang numerical data at ilang salita at salita lamang, kung kinakailangan para maunawaan ang lohikal na kahulugan ng gawain.

2. Isang maikling-istruktura na anyo ng pagsulat, kung ang balat na lohikal na bahagi ng gawain ay isinulat mula sa isang bagong hilera.

3. Eskematiko na anyo ng talaan.

4. Grapikong anyo ng pagsulat.

Dahil ang pag-andar ng kontrol sa mga bata ay humina, pagkatapos ay ang muling pagsusuri ng rozvyazannya zavdannya ay maaaring iluminado, at ika wihovne kabuluhan. Sa mas batang mga klase kinakailangan:

1. Pasalitang bumalangkas ng mga gawain, gumagala sa mga bagay.

2. Muling isaalang-alang ang realidad ng sitwasyon.

3. Muling isaalang-alang ang kasapatan ng isip at ang pagkain ng halaman. Muling suriin ang solusyon ng mga gawain sa ibang mga paraan її vyshennya ay posible mula sa ika-4 na klase.

Upang makontrol ang kawastuhan ng pagbuo ng gawain, kinakailangan na pumili at kumilos sa mga elemento ng naka-program na pagsasanay. Ang elementong ito ay mas corny tim, na muli kong isasaalang-alang ang kawastuhan ng chi at ang pagpapatawad sa aking sariling mga aksyon. Para sa kapatawaran ng desisyon ng mga alak, may mga bagong paraan ng cherry.

Ang guro sa paaralan ay pinaka-malamang na Sung na ang rozvyazannya avdannya ay naliwanagan sa pamamagitan ng mga aral. Mas mabuti para sa kanya na isagawa ang gawain ng pag-aayos ng pagkumpleto ng gawaing ito. Ang gawain ng mga nakapirming gawain ay maaaring isagawa sa iba't ibang paraan.

1. Mag-set up ng pagkain sa unibersidad upang makatipid sa araw.

2. Proponuetsya rozpovіsti lahat rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.

3. Maglagay ng pagkain hanggang sa okremih diy chi food. Para sa mga mag-aaral, ang bilang ng mga pagkakaiba-iba ng mga katulad na gawain ay mahalaga, at ang pag-unawa sa sitwasyon ng paksa ay mahalaga sa pagitan nila. Tsіy metі і upang maglingkod sa malayo bilang isang robot sa mga gawain ng gawain, dahil makikita mo kung gaano kahalaga ang pagbuo ng mga simula ng paglutas ng mga gawain ng ganitong uri. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa paksa, ang gawain, ang mga fallow sa pagitan ng data at shukani, ang pagiging perpekto ng gawain mula sa pang-araw-araw na numerical na data, na nakasulat hindi sa mga numero, ngunit sa mga salita. Maging maingat upang ipakita na ang pinakamahusay na mga guro ay malawak na nagwagi bilang isa sa mga pamamaraan ng pagtuturo ng mga gawain ng pag-aayos ng gawain ng pag-aayos ng mga gawain sa kanilang sarili.

Ang pagkakasunud-sunod ng gawain ay tumutulong sa mga bata na mas maunawaan ang praktikal na buhay na kahalagahan ng gawain, upang mas mahusay na maunawaan ang istraktura nito, at upang malaman ang pagkakaiba sa gawain ng iba't ibang mga species, upang maunawaan ang desisyon. Ang pag-order ng mga gawain ay isinasagawa nang kahanay sa mga desisyon ng mga inihandang gawain. Dosvid na pag-iingat ay magpapakita na ito ay mas madali para sa uchnіv chastkovo nakatiklop na gawain. Slid upang pasiglahin ang pagbuo ng mga turo ng mga pinuno ng iba't ibang mga plot. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet clemency, іnіtsiativi. Ito ay mas nakakahiya, kung para sa pag-iimbak ng pinuno ng paaralan ay nakuha nila ang materyal na "nakukuha" nila para sa isang oras ng mga ekskursiyon, mula sa dovіdnikіv, mga pahayagan, mga magasin, atbp. Ang mga mag-aaral ng mga senior class ay kailangang matutunan kung paano magsulat at magsulat ng mga dokumento ng negosyo na may kaugnayan sa mga ito at iba pang rosrahunka. Halimbawa, magsulat ng isang liham ng pag-apruba, punan ang form para sa isang sentimos na order ng maayos. Ang lahat ng mas mataas na appointment ay maaaring malawakang gamitin sa pagdiriwang ng lahat ng uri ng mga gawain.

Ang isang simpleng gawain sa aritmetika ay tinatawag na isang gawain, na parang isang gawain sa aritmetika ay dapat lutasin. Patawarin ang zavdannya upang gampanan ang super-pangunahing papel ng oras ng pagtuturo ng matematika. Ang pinakasimpleng mga gawain ay nagbibigay-daan sa iyo upang palawakin ang pangunahing kaalaman at ikonkreto ang mga arithmetic function, bumalangkas ng mga iyon at iba pang mga matematikal na konsepto. Patawarin ang pagkakasunud-sunod ng warehouse folding order, mamaya, humuhubog sa vminnya virishuvati їx, inihahanda ng guro ang mga mag-aaral sa pagbubukas ng folding order.

Sa batayan ng dermal priming, matutong matuto tungkol sa mga bagong uri ng pinakasimpleng gawain. Ang sunud-sunod na pagpapakilala ng mga ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng iba't ibang yugto ng problema ng pag-unawa sa matematika, ang proseso ng paglinang ng mga tahimik na proseso ng aritmetika, ang tiyak na solusyon ng naturang baho ay ipinahayag. Hindi bababa sa paggalang sa guro kapag pumipili ng pinuno ng kung anong uri ng merito at pagkonkreto ng karangalang iyon. Nareshti, reader sa concretize ang zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi na shukanimi para sa karagdagang mga paraan ng maikling pag-record.

Ang pagkumpleto ng gawain ng pinakamahusay na mga mambabasa ay nagpapakita na ang paghahanda para sa pagkumpleto ng mga gawain sa aritmetika ay dapat magsimula mula sa pagpapabuti ng pag-unlad ng praktikal na kaalaman sa pag-aaral, oryentasyon ng mga ito sa kinakailangang kahusayan. Ang pagkakaroon ng natutunan na ito ay kinakailangan upang mamuno sa sitwasyong iyon sa buhay, kung saan posible na mapabuti, baguhin ang mga gawain sa aritmetika, magtrabaho upang baguhin. Bukod dito, ang mga sitwasyong ito ay hindi ang susunod na bagay upang lumikha ng piraso sa pamamagitan ng piraso, sila ay mas malamang na tumalikod at kumuha ng respeto ng mga mag-aaral. Ang guro ay nag-aayos ng pagbabantay para sa pagbabago ng bilang ng mga elemento sa paksang maraming tao sa halip na mga sisidlan. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst to znajomstvo їх іz sing termіnologiєyu, yak zstrіnetsya na may pandiwang pagbabalangkas ng gawain: naging, nawala ang lahat, kinuha nila ito, nadagdagan ito, nagbago ito, atbp. Kinakailangan na ayusin ang gayong mapaglaro at praktikal na aktibidad ng mga mag-aaral, upang, bilang walang patid na mga kalahok sa aktibidad na ito, pati na rin ang posterigayuchi, ang mga mag-aaral mismo ay maaaring gumawa ng visnovka sa creamy drop ng balat; ang bilang ng mga elemento ng multiplier ay tumaas o ang bilang ng mga elemento ng multiplier ay nagbago, at ang ilang operasyon na verbal viraz ay nagpapakita ng pagtaas o pagbabago. Ang yugtong ito ng paghahanda ng gawain ay nagsisimula sa cob ng trabaho sa mga numero ng unang sampu at pamilyar sa mga aritmetika na aksyon, na may mga solusyon at natitiklop na aplikasyon ng mga operasyon mula sa mga pangmaramihang paksa.

Una sa lahat, ang simula ng pag-aaral ng mga gawain sa aritmetika, ang guro ay nagkasala ng malinaw na pagbubunyag ng kanyang sarili, tulad ng kaalaman, kinakailangan na ibigay ang mga kasanayang iyon sa mga mag-aaral. Upang malutas ang gawain, alamin ang mga tungkulin ng arithmetic arithmetic, makinig, at pagkatapos ay basahin ang gawain, ulitin ang gawain mula sa pagkain, para sa isang maikling tala, mula sa memorya, tingnan ang mga bahagi ng warehouse sa problema, suriin ang gawain, at baligtarin ang kawastuhan ng pagkasira. Sa 1st class, sinimulan ng mga mag-aaral na suriin ang gawain ng pagsaway sa bag at ang labis. Ang qi ng gawain ay ipinasok bago ang simula ng oras ng simula ng mga numero ng unang sampu. Sa simula ng rozvyazannya, ang gawain ay upang baguhin ang kabuuan ng parehong dodankivs, sa ibaba sa pantay na bahagi ng chi ay nagpatuloy para sa pilak, na sinusundan ng spiraling sa pag-unawa sa mga pang-araw-araw na proseso ng aritmetika ng multiplikasyon at ang ilalim. Bago ang pagbubukas ng pagkakasunud-sunod ng pagkakaiba sa pagitan ng mga turo, kinakailangang magbigay ng pag-unawa sa pagkakasunud-sunod ng mga bagay sa isang kabuuan, dalawang layunin na kabuuan, sukat, numero, pagtatakda ng s-pagkakatulad ng mga ito sa parehong linya ng pagkakapantay-pantay at kaba. Pagsama-samahin natin, o pagsama-samahin, ang mga gawain sa aritmetika ay tinatawag na mga gawain, tulad ng hindi magagawa ng dalawang tao higit pa mga proseso ng aritmetika. Ang mga sikolohikal na pag-aaral ng pagbuo ng mga tampok ng mga gawain sa bodega ng aritmetika ay nagpapakita na ang mga bata ay hindi nakikilala ang mga simpleng gawain sa konteksto ng isang bagong gawain sa bodega. Ang paghahanda ng gawain hanggang sa pagkumpleto ng mga gawain sa bodega ay dapat gawin ng sistema ng mga karapatan, pagtanggap, at mga direktiba ng mga institusyong pang-edukasyon hanggang sa pagkumpleto ng mga gawain sa bodega. Bago makumpleto ang manager ng warehouse, maaari kang pumunta sa parehong lugar, kung magbago ang iyong isip, na pinagkadalubhasaan ng mga siyentipiko ang pag-aayos ng mga simpleng gawain sa tulong ng mga trick, kung pupunta ka sa manager ng warehouse, maaari mong ilagay ang iyong sarili. sama-sama ang isang simpleng gawain ng isang isip ng pag-awit. Kapag rozv'yazannі warehousing zavdan uchnі povinnі o sa danih ilagay zapitanya o pitanya makakuha ng data. Gayundin sa panahon ng paghahanda, tobto. sa pamamagitan ng pag-uunat sa huling ng unang kapalaran, na sa cob ng iba pang kapalaran, pag-aaral, pagsunod sa mga turo ng gawain:

1. Hugasan ang iyong pagkain bago ito handa.

2. Mula sa pagkain, idagdag ang gawain, kunin ang pang-araw-araw na numerical data.

Ang pagtitiklop ng mga simple at mga gawain sa bodega, ang pag-aaral ng hakbang-hakbang upang matuto mula sa mga gawain sa bodega ay simple, kahit na natapos mo ang mga ito nang mas tama, may karapatan kang itiklop ang mga gawain sa pagtitiklop. Tse tanggapin ang pinakamaikling pag-master ng mga pananaw ng mga simpleng gawain, pahusayin ang mga ito upang makilala ang mga ito sa mga gawain sa bodega, at tulungan ang mga mag-aaral na suriin ang mga gawain. Kapag vyrіshennі warehouse zavdan uchnіv sled nauchit zagalnyh priyom_v trabaho z zavdannyam; vminnyu upang pag-aralan ang mga gawain ng zmist, nakikita sa ibinigay na data, shukane (upang itatag kung ano ang kinakailangan upang makilala sa gawain), depende sa kung aling data ay hindi ginagamit para sa pagsusuri sa ulo ng nutrisyon sa gawain. Sa pagsasagawa, ang gawain ng paaralan ay totoo sa sarili nito sa pamamagitan ng paggamit ng trabaho na may mga card, mga gawain kung saan ang pagkakasunud-sunod ng trabaho sa mga gawain ay inilatag. Kapag nakumpleto ang order, ang desisyon ay isusulat kasama ng nutrisyon, o ang pagkilos ng balat ay naitala at ipinaliwanag. Ang pagkakaiba-iba ng tinukoy na paraan ng pag-aayos ng mga gawain ng isang naibigay na uri ay tinitiyak ng variant ng pag-aayos ng mga gawain na may iba't ibang uri, mga plot, mga solusyon na inihanda at nakatiklop ng mga mag-aaral mismo, mga gawain ng isang naibigay na uri na may mga uri ng mga problema na dati nang nalutas, at iba pa.

1. Ipaliwanag ang paraan ng pagbibilang para sa vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 ay dapat mabilang na may isang daang konsentrasyon.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54

4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36

5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18

6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45

Usі priyomi pagbibilang usnі at vykonuyutsya sa batayan para sa mga ranggo ng natitiklop at vіdnіmannya.

Sa lumalabas, ang hindi mabilang na mga natural na numero ay maaaring ilagay sa pagkakasunud-sunod para sa isang karagdagang "mas kaunting" expression. Ngunit ang mga patakaran ng teorya ng axiomatic ay dapat na bigyang-diin, upang ang layunin ay hindi lamang natukoy, ngunit pinabuting din batay sa mga nakatalaga sa teoryang ito upang maunawaan. Maaari kang gumawa ng higit pa sa pamamagitan ng paggawa ng pagbabayad na "mas mababa" sa pamamagitan ng karagdagan.

appointment. Ang bilang a ay mas mababa sa numerong b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

Para tsikh minds to say the same, scho number b higit pa a sumusulat siya b > a.

Teorama 12. Para sa anumang natural na numero aі b maaaring isa at isa lamang sa tatlong mabubuhay: a = b, a > b, a < b.

Ang patunay ng teorama na ito ay tinanggal. Z ієї ng theorem ay halata, ano ito

a ¹ b, te chi a< b, o a > b tobto. vіdnoshennia "mas mababa" ay maaaring ang kapangyarihan ng pov'yazanostі.

Teorama 13. Yakscho a< b і b< с. pagkatapos a< с.

Nagdadala. Ang theorem na ito ay nagpapahayag ng kapangyarihan ng transitivity sa pamamagitan ng pagmumungkahi ng "mas mababa".

kaya yak a< b і b< с. pagkatapos, para sa layunin ng pagpapangalan ng "mas kaunti", mayroong mga natural na numero dati at ano b \u003d a + i c \u003d b + I. Ale todi h = (a + k)+ / і sa batayan ng pagkakaugnay ng natitiklop ay kinuha: h \u003d a + (sa +/). Oskilki sa + ako - ay isang natural na numero, kung gayon a< с.

Teorama 14. Yakscho a< b, hindi totoo yan b< а. Nagdadala. Ang teorama ng Tsya ay nagpapahayag ng kapangyarihan antisymmetry vodnosini "mas mababa".

Magsimula tayo sa simula, ano para sa anumang natural na numero a wag kang mag-wi-!>! ■ ) її pagbibitiw a< a. Huwag nating tanggapin, tobto. Ano a< а maє mistse. Todi, para sa mga layunin ng asul na "mas mababa", mayroong isang natural na numero kasama, Ano a+ h= a, at hindi upang palitan ang Theorem 6.

Ngayon sabihin natin na yakscho a< b, saka hindi totoo yun b < a. Huwag nating tanggapin, tobto. anong yakscho a< b , pagkatapos b< а panalo. Isang listahan ng mga pagkakapantay-pantay sa Theorem 12 a< а, na imposible.

Kaya, gaya ng sinasabi natin, ang "mas mababa" ay antisymmetric at transitive at maaaring may kapangyarihan kaugnay sa linear order, ngunit ang impersonality ng mga natural na numero linearly ordered na walang mukha.

Mula sa pagtatalaga na "mas mababa" na ang yoga ng kapangyarihan ay maaaring ipakilala sa bahay ng kapangyarihan ng isang multiplier ng natural na mga numero.

Teorama 15. Sa lahat ng natural na numero, isa ang pinakamaliit na bilang, tobto. ako< а для любого натурального числа a¹1.

Nagdadala. Halika na a- maging isang natural na numero. Pagkatapos ay mayroong dalawang posibilidad: a = 1 ta isang ¹ 1. Yakscho a = 1, pagkatapos ito ay isang natural na numero b, para sa kung alin ang sumusunod a: a \u003d b " \u003d b + Ako = 1+ b, tobto, para sa layunin ng vodnosini na "mas mababa", 1< a. Otzhe, natural man na mas mahal ang 1 chi higit sa 1. Abo, ang kalungkutan ay ang pinakamaliit na natural na numero.

Ang pagpapakilala ng "mas kaunti" ay konektado sa pagtitiklop at pagpaparami ng mga numero sa pamamagitan ng kapangyarihan ng monotony.

Teorama 16.

a \u003d b => a + c \u003d b + c na a c \u003d b c;

a< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c at ac > bc.

Nagdadala. 1) Ang katarungan ng katatagan na ito ay kitang-kita mula sa pagkakaisa ng pagtitiklop at pagpaparami.

2) Yakscho a< b, pagkatapos ito ay isang natural na numero k, Ano a + k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ sa)= (a + c) + k. Equity b+ c = (a + c) + sa ibig sabihin nun a + c< b + Sa.

So it goes without saying na a< b =>alas< bс.

3) Dalhin sa parehong paraan.

Teorama 17(Reverse Theorem 16).

1) a+ c = b + c o ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с o alas< bcÞ a< Ь:

3) a + c > b+ w o ac > bcÞ a > b.

Nagdadala. Nagdadala kami, halimbawa, kung ano alas< bс susunod a< b Huwag nating tanggapin, tobto. na ang teorama ay hindi nagwagi. Todi hindi pwede buti, scho a = b. sa katotohanan na kahit na ang paninibugho ay mananalo ac = bc(Teorama 16); hindi pwede i a> b, alinman sa paraan ac > bc(Teorama!6). Samakatuwid, hanggang sa Theorem 12, a< b.

Mula sa Theorems 16 at 17, maaaring ipakilala ng isa ang tuntunin ng termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga iregularidad. Inalis namin ito.

Teorama 18. Para sa anumang natural na numero aі b; ay isa ring natural na bilang n, na p a.

Nagdadala. Para maging-kanino a hanapin ang ganyang numero P, Ano n > a. Para kanino sapat na kumuha n = a + 1. Pagpaparami ng termino sa terminong hindi pantay P> aі b> 1, katanggap-tanggap pb > a.

Mula sa pagtingin sa mga awtoridad, makikita ang asul na "mas kaunti" upang kantahin ang mga mahahalagang singularidad ng multiplier ng natural na mga numero, na kung saan ay hinihikayat namin nang walang patunay.

1. Ні para sa isang natural na numero a walang ganoong natural na numero P, Ano a< п < а + 1. Tsya power ang tawag nasa kapangyarihan
discreteness impersonal natural na mga numero, at mga numero aі isang + 1 pangalan panghukuman.

2. Be-yak hindi walang laman submultiplier ng natural na mga numero upang maghiganti
pinakamaliit na bilang.

3. Yakscho M- Walang laman na bilang ng mga impersonal na natural na numero
at pareho ang numero b, ano ang para sa lahat ng mga numero x s M hindi mananalo
pagkakapantay-pantay x< b, tapos sa walang mukha Mє karamihan.

Inilalarawan ang kapangyarihan ng 2 at 3 sa puwitan. Halika na M- hindi kilalang dalawang-digit na numero. kaya yak Mє submultiplier ng mga natural na numero і para sa lahat ng numero< 100, то в множестве Mє ang pinakamalaking bilang ay 99. M, - Numero 10.

Sa ganitong paraan, ang pagpapakilala ng "mas kaunti" ay pinapayagan na tingnan (at dalhin sa isang hilera ng vipadkiv) ang kahalagahan ng bilang ng mga kapangyarihan ng isang multiplier ng mga natural na numero. Zokrema, ito ay linearly arranged, discrete, at least 1.

Sa setting na "mas kaunti" ("higit pa") para sa mga natural na numero, ang mga batang mag-aaral ay pamilyar sa pinakasimula ng pag-aaral. At madalas, sa pagkakasunud-sunod ng yogo multiplier-theoretic na mga interpretasyon, ang kahulugang ibinigay sa amin sa loob ng balangkas ng teoryang axiomatic ay tahasang pinagtibay. Halimbawa, maaaring ipaliwanag ng mga mag-aaral na 9 > 7, shards 9 - hindi 7 + 2. Madalas at walang laman na panalo kapangyarihan monotony folding at multiplikasyon. Halimbawa, ipinaliwanag ng mga bata na “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

tama

1, Bakit hindi ma-order ang mga impersonal na natural na numero pagkatapos ng tulong ng asul na "sa likod ng linya"?

Bumuo ng isang pangitain a > b at patunayan na ito ay parehong palipat at antisymmetric.

3. Sabihin mo sa akin kung ano ito a, b, c- natural na mga numero, pagkatapos ay:

a) a< b Þ ас < bс;

b) a+ h< b + su> a< Ь.

4. Ang ilang mga theorems tungkol sa monotonicity ng karagdagan at pagpaparami ay maaaring
vykoristovuvaty batang mag-aaral, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, huwag vykonuyuchi kalkulahin":

a) 27+8...27+18;

b) 27-8...27-18.

5. Tulad ng kapangyarihan ng multiplier ng natural na mga numero, ang mga batang mag-aaral ay tahasang nanalo, nanalo sa parehong gawain:

A) Isulat ang mga numero, tulad ng mas malaki, mas mababa 65, mas maliit, mas mababa 75.

B) Pangalanan ang susunod na numero ayon sa petsa bago ang numerong 300 (800,609,999).

C) Pangalanan ang pinakamaliit at pinakamalaking tatlong-digit na numero.

Vidnimannya

Sa axiomatic motivation Ang teorya ng natural na mga numero ay kilala na parang isang operasyon na bumalik sa stock.

appointment. Isinasaalang-alang ang mga natural na numero a at b, ang operasyon ay tinatawag, na nakalulugod sa isip: a - b = s lamang at iilan lamang, kung b + c = a.

Numero a - b tinatawag na pagkakaiba ng mga numero a i b, numero a- baguhin, at ang numero b- nakita.

Teorama 19. Pagkakaiba-iba ng mga natural na numero a- bіsnuє tоdі і mas mababa sa tоdі, kung b< а.

Nagdadala. Hayaan tingi a- bІсnuє. Todi, para sa itinalagang retail, mayroong isang natural na numero kasama, Ano b + c = a, at ang ibig sabihin ng tse ay b< а.

Yakshcho b< а, pagkatapos, para sa layunin ng pagpapangalan ng "mas kaunti", ito ay isa ring natural na numero na b + c = a. Todi, para sa itinalagang retail, c \u003d a - b, tobto. tingi a - bІсnuє.

Theorem 20. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga natural na numero aі b I'm sure, isa lang.

Nagdadala. Katanggap-tanggap na dalawa iba't ibang halaga pagkakaiba ng mga numero aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, saka c₁ ¹ c₂ . Todi para sa mga itinalagang retailer, maaaring: a = b + c₁,і a = b + c₂ : . Tingnan kung ano ang kasunod b+ s ₁ \u003d b + c ₂ : at sa batayan ng Theorem 17 posibleng magkasya c₁ = c₂. Dumating sila sa punto ng pagkukulang, pagkatapos, ito ay mali, ngunit ang teorama ay tama.

Vyhodyachi z vznachennya raznitsі natural na mga numero na isip її іsnuvannya, maaari mong sundin ang mga tuntunin ng vіdomі vіdnіmannya mga numero mula sa sumi at sumi mula sa mga numero.

Teorama 21. Halika na a. bі h- natural na mga numero.

pero yakscho a > c, pagkatapos (a + b) - c \u003d (a - c) + b.

b) Yakscho b > c. pagkatapos ay (a + b) - h - a + (b - c).

c) Yakscho a > c at b > c. pagkatapos ay maaari mong vikoristovuvati kung-yaku mula sa mga formula na ito.
Nagdadala. Sa mga oras a) pagkakaiba sa mga numero aі cіsnuє, oskelki a > c. Makabuluhang її sa pamamagitan ng x: a - c \u003d x. mga bituin a = c + x. Yakscho (a+ b) - c \u003d y. pagkatapos, para sa itinakdang presyo, a+ b = h+ sa. Kinakatawan namin sa qiu equanimity zamіst a viraz h + x:(h + x) + b = c + y. Pinapabilis namin ang kapangyarihan ng pagkakaisa upang magdagdag ng: c + (x + b) = c+ sa. Baguhin natin ang pagkakapantay-pantay na ito batay sa kapangyarihan ng monotony, idinagdag, kunin natin:

x + b = y.. Pinalitan sa Danish na katumbas na x ng viraz a - c, tayo nanay (a - G) + b = y. Sa ganitong ranggo, kami ay dinala, scho yakscho a > c, pagkatapos (a + b) - c = (a - c) + b

Katulad nito, ang patunay ay isinasagawa kung sakaling b).

Ang resulta ng theorem ay maaaring mabalangkas bilang isang panuntunan na madaling matandaan: upang kunin ang numero mula sa kabuuan, sapat na upang kunin ang numero mula sa isang kabuuan ng bodega at sa resulta ng pagdaragdag ng higit pang mga pandagdag.

Teorama 22. Halika na a, b i c - natural na mga numero. Yakscho a > b+ c, pagkatapos a- (b + c) = (a - b) - c o a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Ang patunay ng teoryang ito ay katulad ng patunay ng Theorem 21.

Ang Theorem 22 ay maaaring mabalangkas bilang isang visual na panuntunan, upang isaalang-alang ang kabuuan ng mga numero mula sa numero, sapat na upang isaalang-alang ang kabuuan ng mga numero nang sunud-sunod, isa-isa.

Sa cob mathematicians vyznachennya vіdnіmannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, sa paningin, tunog, huwag magbigay, ngunit sila ay patuloy na koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya dіy sa paglipas ng single-digit na mga numero. Matutong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa kung ano ang iyong sasabihin tungkol sa mga fold, at manalo sa mga ugnayan kapag nagkalkula. Tingnan, halimbawa, mula sa numero 40 ang numero 16, matutong markahan ang ganito: "Tingnan ang numero 16 mula sa 40 - na nangangahulugang malaman ang gayong numero, kapag natitiklop ito sa numero 16, ipasok ang 40; ang bilang na ito ay magiging 24, kaya 24 + 16 = 40. Mean. 40 - 16 = 24".

Mga panuntunan para sa pagbibigay-kahulugan sa mga numero mula sa kabuuan at kabuuan mula sa mga numero sa kursong cob ng matematika є teoretikal na batayan Kalkulahin ang iba pang kita. Halimbawa, ang halaga ng isang virase (40 + 16) - 10 ay maaaring malaman, hindi lamang sa pamamagitan ng pagbibilang ng kabuuan sa mga braso, ngunit pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagbibilang ng bilang na 10 mula dito, ngunit sa ganoong ranggo;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

tama

1. Tama ang Chi, ano ang natural na bilang ng balat na lalabas sa walang patid na pagsulong ng kalungkutan?

2. Bakit espesyal ang lohikal na istruktura ng Theorem 19? Maaari mo bang її bumalangkas, matagumpay, ang mga salitang “kailangan na sapat”?

3. Dalhin kung ano:

pero yakscho b > c, pagkatapos (a + b) - c \u003d a + (b - c);

b) yakscho a > b + c, pagkatapos a - (b+ c) = (a – b) – p.

4. Maaari Chi, nang hindi binibilang, sabihin, ang kahulugan ng naturang virazіv dorivnyuvatimut:

a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16 -14 ),

b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.

a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;

b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;

c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.

5. Yakі power vіdnіmannya є theoretical na batayan ng pagsulong ng priyomіv calculus, scho vychayutsya sa kursong cob ng matematika:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 \u003d 16-6 - P;

c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Ilarawan ang mga posibleng paraan para sa pagkalkula ng halaga sa pamamagitan ng paningin. a - b- h at ilarawan ang mga ito sa mga tiyak na puwit.

7. Sabihin mo sa akin kung ano b< а at maging anumang natural c virna equanimity (a - b) c \u003d ac - bc.

Vkazivka. Ang patunay ay batay sa axiom 4.

8. Kalkulahin ang halaga ng virazu, nang hindi binibilang ang mga titik. Pambalot ng Vidpovidi.

a) 7865 × 6 - 7865 × 5; b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 - 7×36.

Podil

Sa ilalim ng axiomatic theory ng natural na mga numero, ang rozpodil ay parang isang operasyon, naging multiplikasyon.

appointment. Ang subdivision ng mga natural na numero a at b ay isang operasyon na nagbibigay-kasiyahan sa isip: a: b \u003d s todi at todi lamang, dati kung b× h = a.

Numero a:b tinawag pribado numero aі b, numero a dilimim, numero b- dilnik.

Tulad ng tila, hindi kinakailangan na makilala ang mga natural na numero sa mga impersonal na natural na numero, at walang ganoong malinaw na mga palatandaan ng isang pribadong batayan, dahil ito ay kinakailangan para sa tingian. Є tilki kinakailangang isip ang batayan ng pribado.

Teorama 23. Upang makagawa ng pribadong dalawang natural na numero aі b kailangan b< а.

Nagdadala. Panatilihin ang mga pribadong natural na numero aі b Alam ko yan. ay tulad ng isang natural na bilang c na bc = a. Ang Oskіlki para sa anumang natural na numero 1 ay wastong nerіvnіst 1 £ kasama, pagkatapos, i-multiply ang nakakasakit na bahagi sa isang natural na numero b, kinuha b£ bc. ale bc \u003d a, otzhe, b£ a.

Teorama 24. Gaano ang mga pribadong natural na numero aі bіsnuє, meron lang.

Ang patunay ng theorem ay katulad ng patunay ng theorem tungkol sa pagkakaisa ng pagkakaiba ng natural na mga numero.

Vyhodyachi z vyznachennya bahagi ng natural na mga numero na isip yogo іsnuvannya, maaari mong iikot ang mga patakaran para sa subіlu sumi (tingi, lumikha) sa numero.

Teorama 25. Ano ang mga numero aі b hatiin sa bilang kasama, tapos yung halaga a + b ibahagi sa, at mas pribado a+ b bawat numero kasama, isang kabuuan ng mga pribado a sa hі b sa h, pagkatapos. (a + b):c = a: c + b:Sa.

Nagdadala. Oskіlki na numero a mahahati sa kasama, pagkatapos ito ay isang natural na numero x = a; h, sho a = cx. Katulad ng umiiral na natural na numero y = b:kasama, Ano

b= su. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Ang ibig sabihin ni Tse a + b hinati ng c, saka mas pribado, na inaalis kapag nagkakalat ng sumi a+ b sa numerong c, na mas mahal x + y, tobto. palakol + b: c.

Ang resulta ng theorem ay maaaring buuin gamit ang panuntunan ng pag-subdivide ng kabuuan sa pamamagitan ng numero: upang hatiin ang kabuuan sa numero, sapat na upang hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga karagdagan sa balat at ibawas ang mga resulta.

Teorama 26. Tulad ng mga natural na numero aі b hatiin sa bilang hі a > b tapos tingi a - b hatiin ng c, tsaka ito ay pribado, nanalo kapag hinati ang pagkakaiba sa bilang c, mas pribado, nanalo kapag hinati ang pagkakaiba a sa hі b hanggang c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.

Ang patunay ng theorem na ito ay isinasagawa katulad ng patunay ng nakaraang theorem.

Ang theorem na ito ay maaaring buuin bilang panuntunan para sa subdivision ng pagkakaiba sa numero: para sa Bilang karagdagan, upang hatiin ang pagkakaiba sa pamamagitan ng numero, sapat na upang hatiin sa buong numero, na nagbabago at nakikita mula sa unang pribadong paningin ng isang kaibigan.

Teorama 27. Ano ang natural na numero a mahahati sa natural na numero c, pagkatapos ay para sa anumang natural na numero b tvir ab ibahagi sa p. Sa kaso ng anumang privacy, kung ano ang aalisin kapag nagkalat ka ng pagkamalikhain ab sa bilang na z , isang dobutka ng isang pribado a sa kasama, numero ko b: (a × b): c - (a: c) × b.

Nagdadala. kaya yak a mahahati sa kasama, tapos may natural number x na a:s= x, mga bituin a = cx. Ang pagkakaroon ng multiply ang mga nakakasakit na bahagi ng selos sa pamamagitan ng b, kinuha ab = (cx) b. Oskіlki plural associatively, pagkatapos (cx) b = c(x b). Zvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Ang theorem ay maaaring buuin bilang panuntunan para sa pag-subdivide ng isang numero sa isang numero: hatiin ang numero sa isang numero, hatiin ang numero sa isa sa mga multiplier, at ibawas ang resulta, i-multiply ang isa pang multiplier.

Para sa cob-savvy mathematician, ang podil ay itinalaga bilang ang operasyon ng turnaround, para sa mabagsik na hitsura, hindi ito nagbibigay ng tunog, ngunit sila ay patuloy na koristuyutsya, simula sa mga unang aralin ng kaalaman ng podil. Matutong sisihin ang magandang dahilan, na ibinigay niya ang mga dahilan para sa pagpaparami at matagumpay na mga ugnayan sa panahon ng mga kalkulasyon. Halimbawa, hinati niya ang 48 sa 16, ganito ang sinasabi ng mga mag-aaral: “Ang paghahati ng 48 sa 16 ay nangangahulugan ng pag-alam ng ganoong numero, kapag dina-multiply ito sa 16, gagawa tayo ng 48; ang numerong ito ay magiging 3, shards 16 × 3 = 48. Gayundin, 48: 16 = 3.

tama

1. Dalhin kung ano:

a) isang bahagi lamang ng mga natural na numero a b kung ito ay, pagkatapos ay mayroon lamang isa;

b) tulad ng mga numero a b mag-subscribe sa hі a > b pagkatapos (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Ano ang maaaring kumpirmahin na ang lahat ng data ay tama:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850: 170 = 850: 10:17.

Ano ang panuntunan upang palubhain ang mga vipadkіv na ito? Bumuo ng yoga at dalhin ito.

3. Yakі kapangyarihan podіlu є teoretikal na batayan para sa
vikonanna darating na mga araw, ipinangaral sa mga mag-aaral mga klase ng cob:

Paano mo masasabi, nang hindi nakasalalay sa ibaba, na ang mga kahulugan ng naturang mga salita ay magiging pareho:

a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;

b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;

Chi vіrnі іvnostі:

a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);

c) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Ilarawan ang mga posibleng paraan upang makalkula ang halaga ng virus
isip:

a) (a+ b):c; b) a:b: Kasama; sa) ( a × b): s .

Mga iminungkahing pamamaraan at ilarawan sa mga tiyak na puwit.

5. Alamin ang kahulugan ng pagpapahayag sa makatwirang paraan; sariling
i-wrap:

a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. Bilugan ang mga susunod na hakbang at ibaba sa dobleng numero:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.

7. Huwag matalo ang iyong sarili sa ilalim ng sopa, hanapin ang pinaka-makatuwiran
sa pribadong paraan; pumili ng isang paraan upang maging prime:

a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;

6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.

Lektura 34

1. Anonymous na bilang ng mga hindi kilalang numero. Ang kapangyarihan ng isang multiplicity ng tsilih nevid'emnyh numero.

2. Pag-unawa sa natural na serye ng mga numero at elemento ng final multiplier. Ordinal at kіlkіsnі natural na mga numero.

Hanggang sa soberanya ng espesyalidad

1. Linear (vector) na espasyo sa ibabaw ng field. mag-apply. Sa ilalim ng espasyo, ang pinakasimpleng kapangyarihan. Linear at independiyenteng mga vector.

2. Batayan at kapayapaan espasyo ng vector. Ang matrix ng mga coordinate ng sistema ng mga vectors. Paglipat mula sa isang batayan patungo sa isa pa. Isomorphism ng vector space.

3. Algebraic na pagsasara ng larangan ng mga kumplikadong numero.

4. Isang singsing ng mga buong numero. Pag-order ng mga buong numero. Theorems tungkol sa "pinakamalaking" at "pinakamaliit" na numero.

5. Magpangkat, mag-apply ng grupo. Ang pinakasimpleng mga pangkat ng kapangyarihan. Mga subgroup. Homomorphism at isomorphism ng mga grupo.

6. Ang pangunahing kapangyarihan ng mga pekeng numero. Patawarin ang mga numero. Infinity ng mga impersonal na prime number. Ang canonical na layout ng stock number ay ang uniqueness na iyon.

7. Ang Kronecker-Capelli theorem (criterion para sa integridad ng system mga linear na ilog).

8. Pangunahing katangian ng mga kalsada. Povna na sapilitan ng system v_drahuvan modulo. Kіltse kіltse v_drahuvan para sa module. Euler's theorem at Fermat.

9. Ang addendum ng teorya ng porіvnyan sa vysnovka ay tanda ng kasinungalingan. Zvernennya zvichaynogo fraction sa ikasampu at ang appointment ng huling panahon ng yogo.

10. Tagumpay ng isang tahasang ugat ng isang polynomial na may mabisang coefficient. Nangyari sa larangan ng tunay na mga numero na may mayayamang termino.

11. Linear alignment na may isang pagbabago (criterion ng rozvyaznosti, mga paraan ng rozvyazannya).

12. Pantay na sistema ng mga linear alignment. Ang paraan ng kasunod na pagbubukod ay hindi alam.

13. Kiltse. Maglagay ng kilya. Ang pinakasimpleng kapangyarihan ng mga kіlet. Pidkiltse. Mga homomorphism at isomorphism ng singsing. Patlang. Halimbawa ng patubig. Ang pinakasimpleng kapangyarihan. Minimality ng larangan ng mga rational na numero.

14. Natural na mga numero (pundasyon ng axiomatic theory ng natural na mga numero). Theorems tungkol sa "pinakadakilang" at "pinakamaliit" natural na numero.

15. Mga mayamang segment sa field. Theorem tungkol sa podіl іz surplus. Ang pinakamalaking collaborative na dilnik ng dalawang mayamang miyembro, ang kapangyarihan ng ganoong paraan ng pag-alam.

16. Binary blues. Mungkahi ng pagkakapareho. Mga klase ng equivalence, factor multiplier.

17. Mathematical induction para sa natural at integer na mga numero.

18. Ang pangingibabaw ng magkaparehong prime numbers. Ang hindi bababa sa makabuluhang multiple ng mga numero, ang kapangyarihan ng paraan ng pag-alam.

19. Field ng mga kumplikadong numero, numerical field. Geometric na hitsura trigonometrikong anyo kumplikadong numero.

20. Ang theorem tungkol sa podіl іz surplus para sa buong numero. Ang pinakamalaking koleksyon ng mga numero ng mga numero, ang kapangyarihan ng paraan ng pag-alam.

21. Mga linear na operator ng vector space. Kernel at imahe ng isang linear operator. Algebra ng mga linear operator sa vector space. Mga halaga ng kapangyarihan at mga vector ng kapangyarihan ng isang linear operator.

22. Athenian pagbabagong-anyo ng flat, ang kanilang kapangyarihan ay ang paraan ng zavdannya. Isang pangkat ng mga pagbabagong Athenian ng eroplano at її subgroup.

23. Bagatokutniki. Bagatokutnik square. Ang teorama ng katwiran at pagkakaisa.

24. Katumbas at kapantayan ng bagatokutnikiv.

25. Geometry ng Lobachevsky. Nonsuperity ng Lobachevsky's system of axioms of geometry.

26. Ang konsepto ng parallelism sa geometry ng Lobachevsky. Mutual na pagpapalawak ng tuwid na lugar ng Lobachevsky.

27. Mga formula ruhіv. Pag-uuri ng mga guho ng lugar. Dodatki sa rozvyazannya mga gawain.

28. Mutual expansion ng dalawang flat, straight flats, dalawang straight flats malapit sa expanse (sa isang analytical presentation).

29. Projective na pagbabago. Ang teorama ng katwiran at pagkakaisa. Mga formula ng projective transformations.

30. Scalar, hindi vector lumikha ng zmіshane vectors, їх mga karagdagan sa pagbuo ng mga gawain.

31. Weyl's system of axioms ng trivi-metrical Euclidean space at її zmistovna non-superity.

32. Ruhi ng lugar at yoga ng kapangyarihan. Patag ng mga guho. Ang teorama ng pundasyon at pagkakaisa ng paggalaw.

33. Ang projective plane ng її model na iyon. Projective transformation, kapangyarihan. Grupo ng mga pagbabago sa disenyo.

34. Repormasyon ng pagkakahawig sa patag, ang kanilang kapangyarihan. Isang pangkat ng mga pagbabagong katulad ng eroplano at її subgroup.

35. Makinis na ibabaw. Ang unang parisukat na anyo ng ibabaw ay zastosuvannya.

36. Parallel projecting na yoga ng kapangyarihan. Mga larawan ng mga flat at maluwang na figure sa isang parallel projection.

37. Makinis na linya. Ang curvature ng space curve ay pareho.

38. Elips, hyperbola at parabola bilang isang may hangganang parabola. Pagkakapantay-pantay ng kanonikal.

39. Direktoryal na kapangyarihan ng ellipse, hyperbole at parabola. Polar alignment.

40. Sa ilalim ng impluwensya ng ilang mga punto ng tuwid na linya, ang kapangyarihan ng pagkalkula na iyon. Harmonious split steam tuldok. Povniy chotirikutnik at yoga ng kapangyarihan. Isang addendum sa rozvyazannya mga gawain sa pobudova.

41. Pascal at Brianchon's theorems. Mga pole at polar.

Masarap na pagkain pagsusuri sa matematika