Ano ang sikreto ng mga pinakamahusay na nagbebenta? Mag-ingat lamang para sa mga pinakamahusay na nagbebenta, maging isang kumpanya, tandaan na sila ay isang impiyerno ng isang bagay. Ang balat ng mga ito ay gumagana sa isang malaking bilang ng mga tao upang gumawa ng higit pang mga presentasyon, hindi gaanong matagumpay na mga salespeople. Cі tao rozumіyut, scho sales - bilang ng mga numero, at ang mas maraming mga tao mabaho sabihin tungkol sa kanilang mga serbisyo ng produkto, maglatag sila ng mas kasiya-siya - ang axis at lahat ng bagay. Kung iisipin mo, na hindi sapat na hindi sapat ang pakikipag-usap sa kanila, na magsasabi ng "ganun" sa kanila sa ibang paraan, ngunit sa mga hindi gaanong interesado sa kanilang panukala, kung gayon ang batas ng mga average ay tama. para sa kanilang kasakiman.

Ang iyong kita ay depende sa bilang ng mga benta, ngunit sa parehong oras ang baho ay direktang proporsyonal sa bilang ng mga presentasyon, habang nagtatrabaho ka. Sa sandaling maunawaan mo ito, magsisimula kang isabuhay ang batas ng mga average, ang pagkabalisa, na konektado sa simula ng isang bagong negosyo, magtrabaho sa isang bagong globo, ay ibababa. At bilang isang resulta, ito ay mas malamang na maging mas nakokontrol kaysa sa antas ng kita sa isang gusali. Kung gumagawa ka lang ng isang pagtatanghal at nalalaman ang iyong mga bagong dating sa proseso, mangyaring magpakita.

Bakit isipin ang tungkol sa bilang ng mga bagay, isipin ang higit pa tungkol sa bilang ng mga pagtatanghal. Walang sense na gumala o umuwi sa gabi at hulaan kung sino ang bibili ng iyong produkto. Natomist, planuhin ang iyong araw nang mas maganda, kailangan mong magtrabaho nang higit pa sa ilang mga dzvink. At pagkatapos, kahit na ano, i-ring out ang lahat ng mga singsing! Isang pidhid na magtanong sa iyo ng isang robot - dahil ang partikular na meta ay simple. Kung alam mong kailangan mong tumayo sa harap mo sa lahat ng oras, magiging mas madali para sa iyo na gawin ang nakaplanong bilang ng mga tawag. Kung sa prosesong ito ay minsan mong naramdaman ang "kaya" - ito ay mas mahusay!

At kung "nі", pagkatapos ay sa gabi makikita mo na tapat mong pinatay ang lahat ng iyong makakaya, at hindi ka pahihirapan ng mga pag-iisip tungkol sa mga iyon, kung gaano karaming mga pennies ang iyong kinita, kung hindi man ay nakakuha ka ng maraming mga kasama sa isang araw.

Halimbawa, sa iyong kumpanya o sa iyong negosyo, ang karaniwang salesperson ay nagbibigay ng isang pabor sa ilang presentasyon. Ngayon ipakita sa iyong sarili na ikaw ay gumuhit ng mga card mula sa deck. Isang skin card ng tatlong suit - spade, tamburin at club - ito ay isang pagtatanghal, kung saan propesyonal kang kumakatawan sa isang produkto, sa serbisyo ng pagkakataon. Gawin mo ang lahat ng iyong makakaya, hangga't kaya mo, ngunit hindi mo mapasaya. At ang card ng uod sa balat ay isang pabor na nagpapahintulot sa iyo na kumuha ng mga pennies o makakuha ng bagong kasama.

Sa ganoong sitwasyon, bakit ayaw mong gumuhit ng higit pang mga card mula sa deck? Sabihin nating nanalo ka sa mga istilo ng card, gusto mo ang mga skill card, at kung gusto mong bayaran ka, o dapat mong ipakita ang bagong kasama sa schoroza, kung nanalo ka sa card of hearts. Maaalala mo kung paano hilahin ang mga card, ang yelo ay pomіchayuchi, na angkop sa card nang matalino.

Alam mo na ang isang deck ng limampu't dalawang baraha ay may labintatlong puso. At ang dalawang deck ay may dalawampu't anim na card ng puso, at iba pa. Chi will you rozcharovani, vityagnuvshi write-offs, tamburin chi clubs? Walang galing! Iniisip mo ba ang tungkol sa mga iyon na papalapit sa iyo ng gayong balat - sa ano? Sa card ng puso!

Pero alam mo kung ano? Sinabihan ka na ng ganoong panukala. Ikaw ay nasa isang natatanging sitwasyon na nagbibigay-daan sa iyong kumita ng mga kasanayan, gusto mong manalo ng mga kasanayan, at gusto mong manalo ng mga kasanayan sa iyong buhay. At kung "pull the cards" mo lang, pagbutihin mo ang iyong mga kakayahan at magtiis ng tatlong peak, bubo at club, kung gayon ikaw ay magiging isang nagbebenta ng himala at makamit ang tagumpay.

Isa sa mga talumpati upang mapabagal ang proseso ng pagbebenta ng sahig sa mga sakim ay ang mga minsang binasa ang kubyerta, iba na ang paghahalo ng mga baraha. Paminsan-minsan, lumilitaw ang lahat ng mga uod sa cob ng deck, at pagkatapos ay ang mausok na distansya (kung nagkakaproblema na tayo, hindi tayo nakaprograma!) Sinusuri tayo para sa isang mahabang hanay ng mga card ng ibang suit. . At biglang, para sa mga unang uod na makalayo, ito ay dumaan sa hindi mauubos na bilang ng mga taluktok, isang club at isang bubo. At kung minsan ang mga card ng iba't ibang suit ay nahuhulog sa manipis na hangin. Ale, maging ito sa isang magulo, sa isang leather deck ng limampu't dalawang baraha, sa anumang pagkakasunud-sunod, palaging may labintatlong mga card sa puso. Kunin mo na lang ang mga baraha doti, hindi mo alam ang doki.

Uri: Leylya,  

Yakshcho isang pagpapakita ng katatagan gitna kung ito ay totoo, pagkatapos ay sa mga modelo ng matematika, para sa tulong ng kung saan kami ay bumubuo ng vipadkovі phenomena, ay nagkasala ng pagtatatag ng isang teorama na sumasalamin sa katotohanang ito.
Sa panahon ng theorem, ipinakilala namin ang isang pagpapalit sa mga reverse value X 1 , X 2 , …, X n:

a) cutaneous vipadical value Х i maє mathematical ochіkuvannya

M(Х i) = a;

b) pagpapakalat ng balat laki ng vipadkovy kіntseva o, maaari nating sabihin na ang mga pagpapakalat ay napapalibutan ng halimaw na may isa at parehong bilang, halimbawa W, pagkatapos.

D(Х i) < C, i = 1, 2, …, n;

c) ang mga variable na halaga ay independiyenteng magkapares, kaya maging dalawa X iі Xj sa i¹ j malaya.

Todd, malinaw naman

D(X 1 + X 2 + … + X n)=D(X 1) + D(X 2) + ... + D(X n).

Binubuo namin ang batas ng maraming bilang sa mga salita ni Chebishev.

Ang teorama ni Chebishev: na may walang limitasyong pagtaas ng bilang n independiyenteng pagsubok" ang arithmetic mean ay ang halaga ng variable na halaga, na kinatatakutan nilang magtagpo sa mga tuntunin ng pagkakatulad sa її mathematical ochіkuvannya. ”, pagkatapos ay para sa ilang uri ng positibo ε

R(| –isang| < ε ) = 1. (4.1.1)

pagpapahayag ng kahulugan "Ang ibig sabihin ng aritmetika = magtagpo nang maayos hanggang sa isang " naniniwala sa kung ano ang imovirnist ng kung ano Ang skіlki ay palaging magiging maliit na vіdіznyatis vіd a, hindi nakakahalata na lumalapit hanggang sa 1st increase n.

Nagdadala. Para sa huling numero n independiyenteng pagsubok ng hindi pantay ng Chebishev para sa vertical na halaga = :

R(|-M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Vrahovoyuchi exchange a - b, makalkula M( ) na D( ):

M( ) = = = = = = a;

D( ) = = = = = = .

Pagpapalit M( ) na D( ) sa hindi pantay (4.1.2), kinukuha namin

R(| –isang| < ε )≥1 – .

Kahit na sa hindi pantay (4.1.2) kumuha ng skilki na maliit ε >0і n® ¥, pagkatapos ay kunin namin

kung paano patunayan ang teorama ni Chebishev.

Mula sa napagmasdan na teorama, mayroong isang mahalagang praktikal na vysnovok: hindi namin maaaring palitan ang mathematical value ng vipadkovy value ng arithmetic mean values, kukunin namin ito para sa isang malaking bilang ng mga karagdagan. Sa kaso ng tsomu, mas maraming doslidіv para sa pagkalkula, tim na may higit pang imovirnіst (nadіynіstyu) ito ay malilinaw, na ang isang pagpapatawad ay dahil sa kapalit ( - a) huwag lumampas sa ibinigay na halaga ε .

Mula sa kabilang panig, maaari mong virishuvati іnshi praktikal na mga gawain. Halimbawa, para sa kahulugan ng imovirnosti (nadіynostі) R=R(| – isang|< ε ) at pinakamataas na pinahihintulutang pagpapatawad ε ipahiwatig ang kinakailangang bilang ng doslidiv n; sa Rі P magpahiwatig ε; sa ε і P pumili sa pagitan ng imovirnosti podії | – isang |< ε.

Okremy vipadok. Halika sa n subukan mong mag-ingat n halaga ng slope x, maє mathematical ochіkuvannya M(X) at pagpapakalat D(X). Ang halaga ng Otrimanі ay posible bilang isang variable na halaga X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n,. Tse susunod upang maunawaan ito: serye z P ang pagsubok ay isinasagawa nang higit sa isang beses, kaya bilang isang resulta i-th test, i= l, 2, 3, ..., P, sa serye ng mga pagsusuri sa balat, lumalabas na mas mababa ang mga chi na iyon kaysa sa halaga ng halaga ng depresyon X, hindi nakikita ang distansya. Otzhe, i-e halaga x i laki ng vipadkovy, otrimane in i-m pagsubok ay binago ng vipadkovy ranggo, kaya pumunta sa isang serye ng mga pagsubok sa susunod. Sa ganoong ranggo, kahulugan ng balat x i maaaring ipasok ng halaga ng vipad Xi.

Ito ay katanggap-tanggap na ang pagsubok ay upang masiyahan ang sumusulong na vimog:

1. Malayang pagsubok. Ang ibig sabihin ng Tse ay kung ano ang resulta X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., X n viprobuvan - independiyenteng halaga ng vipadkovі.

2. Ang pagsubok ay isinasagawa sa parehong isip - nangangahulugan ito, mula sa punto ng view ng teorya ng kaisipan, na ang balat ng mga halaga ng vipadkovyh X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n Nawa'y ang naturang batas mismo ay nahati, na ang laki ng X sa ganyan M(X i) =M(X)і D(X i) = D(X), i = 1, 2, .... P.

Bale, alisin mo

R(| –isang| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Halimbawa 4.1.1. X 4. Magkano ang kailangan mong gawin ang mga independiyenteng numero, kung ito ay hindi bababa sa 0.9 ay maaaring maiskor, ano ang arithmetic mean ng halaga ng drop value na maituturing bilang isang mathematical score na mas mababa sa 0, 5?

Solusyon. Sa likod ng isip ε = 0,5; R(| – isang|< 0,5) ≥ 0.9. Gamit ang formula (4.1.3) para sa vipadical na dami X, kinuha

P(|-M(X)| < ε ) ≥ 1 – .

Zі spіvіdnoshennia

1 – = 0,9

makabuluhan

P= = = 160.

Vidpovid: kailangan mo ng 160 independent doslidiv.

Hayaan mo na lang, ang ibig sabihin ng arithmetic rozpodіlena nang normal, pagkatapos ay otrimuemo:

R(| – isang|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Ang mga tunog, na pinaikli ng talahanayan ng Laplace function, ay kinuha ≥
≥ 1.645, o 6.58, tobto. n ≥49.

Halimbawa 4.1.2. Pagpapakalat ng halaga ng pagbagsak X paalam D( X)=5. . Deputy ng hindi kilalang kahulugan ng mathematical honing a tinanggap . Italaga ang maximum na halaga ng pardon, na pinapayagan na may minimum na 0.8.

Solusyon. Sa likod ng isip n= 100, R(| –isang|< ε ) ≥0.8. Lutasin natin ang formula (4.1.3)

R(| –isang|< ε ) ≥1 – .

Zі spіvіdnoshennia

1 – = 0,8

makabuluhan ε :

ε 2 = = = 0,25.

Otzhe, ε = 0,5.

Vidpovid: maximum na halaga ng pagpapatawad ε = 0,5.

4.2. Ang batas ng malalaking numero sa anyo ni Bernoulli

Nais na maging batay sa pag-unawa sa imovirnosti, kung sa batayan ng ilang uri ng statistical visnovka, maaari lamang namin sa ilang mga kaso ipahiwatig ang imovirnіst podії nang walang tagapamagitan. Maaaring mai-install ang pagkita ng kaibhan mula sa mundo ng mahusay na proporsyon, pantay na posibilidad, ngunit sa isang unibersal na paraan lamang, na nagpapahintulot sa bi para sa isang sapat na antas upang ipakita ito, hindi ito. Ang teorama ni Bernoulli ay nagbibigay ng posibilidad ng isang tinatayang pagtatasa ng imovirnosti, na parang para sa isang podії, scho upang sabihin sa amin. PERO maaari kang magsagawa ng paulit-ulit na independiyenteng pagsubok. Hayaan itong masira P mga independiyenteng sample PERO mabilis at pantay nar.

Ang teorama ni Bernoulli. Sa uncircumcised growth, ang bilang ng mga independent sampling P nakikitang dalas PERO hindi natitinag sa imovirnosti p lumitaw podії PERO,T. e.

P(½ - p½≤ ε) = 1, (4.2.1)

de ε - skіlki zavgodno maliit na positibong numero.

Para sa final n para sa isip, scho, ang hindi pagiging matatag ni Chebishev para sa halaga ng vipadkovy ng matime ay tumingin:

P(| - p |< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Nagdadala. Pinatunayan namin ang teorama ni Chebishev. Halika na X i- Bilang ng mga pagpapakita PERO sa i-om nasubok, i= 1, 2, . . . , n. Laki ng balat X i Maaari ka lamang kumuha ng dalawang halaga:

X i= 1 (pod_ya PERO ito ay dumating) na may imovirnistyu p,

X i= 0 (podіya PERO hindi sumama) kasama ang imovirnistyu q= 1- p.

Halika na Y n=. Suma X 1 + X 2 + … + X n hanggang sa bilang m lumitaw podії PERO sa n pagsubok (0 m n), ibig sabihin Y n= - Nakikitang dalas ng paglitaw PERO sa n mga sample. Mathematically pino at pagkakaiba X i katumbas:

M( ) = 1∙p + 0∙q = p,

Stock 4.2.1. Sa paraan ng pag-install ng isang bahagi ng linya ng produkto, 1000 na mga yunit ang nasuri ayon sa scheme ng rotonda. Paano ang posibilidad ng kung ano ang naka-install sa bilang ng mga sample ng slub para sa ganap na halaga ng slub sa buong batch ay hindi hihigit sa 0.01 mas mababa, tulad ng sa average sa balat 10,000 mga depekto mahulog 500?

Solusyon. Para sa mental na gawain ng isang bilang ng mga independiyenteng pagsusulit n= 1000;

p= = 0,05; q= 1 – p= 0,95; ε = 0,01.

Zastosovuyuchi formula (4.2.2), kinukuha namin

P(| –p|< 0,01) ≥ 1 – = 1 – = 0,527.

Vidpovid: na may pagbabagong hindi bababa sa 0.527 dapat isaalang-alang na ang vibrating na bahagi ng gateway (ang dalas ng paglitaw ng gateway) ay sinisingil ng isang bahagi ng gateway para sa lahat ng mga produkto (sa kaso ng kalidad ng gateway) hindi hihigit sa 0.01.

Stock 4.2.2. Kapag nagtatak ng mga bahagi, ang sluice ay maaaring maging 0.05. Gaano karaming mga detalye ang kailangan upang suriin ang mga detalye, upang ito ay hindi bababa sa 0.95?

Solusyon. Sa likod ng isip R= 0,05; q= 0,95; ε = 0,01;

P(| – p|<0,01) ≥ 0,95.

Rivnosti 1 – = 0.95 na kilala n:

n= = =9500.

Vidpovid: 9500 na bahagi ang dapat suriin.

Paggalang. Ang mga pagtatantya ng kinakailangang bilang ng mga babala, dahil nanalo sila kapag ang mga teorema ni stosuvanni Bernoulli (abo Chebishev), ay higit pa. Magtatag ng mas tumpak na mga pagtatantya, iminungkahi nina Bernstein at Khinchin, ngunit nangangailangan ng isang sopistikadong kasangkapang pangmatematika. Upang maiwasan ang mga pagtatantya ng rebіlshennya, іnоdі koristuyutsya Laplace's formula

P(| – p|< ε ) ≈ 2Φ .

Ang isang maliit na halaga ng formula ay ang buong lawak ng pagtatasa ng error, na pinapayagan.

LECTURE 5

Pag-uulit ng nakaraan

Part 1 - ROZDIL 9. THE LAW OF GREAT NUMBERS. Boundary THEOREMS

Para sa statistical appointment
Hindi ito tatanggapin ng Imovirnosti na parang deak
numero
Ang dalas ng vipadkovy sa ilalim. Sa
axiomatically assigned imovirnist -
ce, sa katunayan, additive multiplier
resulta
podії. Ang unang view ay maaaring nasa kanan
empirical na hangganan, ang iba pang - s
teoretikal na konsepto ng mundo. Zovsim HINDI
halatang mabaho sila sa iisa
maintindihan. Tawag ng kaparian
Itinatag ng Imovirnosti ang teorama ni Bernoulli,
sho є ating palamutihan ng vipadka ang batas ng dakila
numero.

Sa pagtaas ng bilang ng mga sample
binomial na batas ng pragne
normal na pamamahagi. Tse theorem
Moivre-Laplace, yak є
tawagin natin ang depresyon ng gitnang hangganan
theorems. Ito ay nananatiling sabihin kung ano ang function
rozpodіlu sumi malaya
mga variable na halaga mula sa pagtaas ng mga numero
dodankiv pragne normal
batas.
Ang batas ng malalaking numero ay sentro
Ang teorama ng hangganan ay nasa base
mga istatistika ng matematika.

9.1. Ang kaba ni Chebishev

Hayaan ang vipadic value na ξ maє
pangwakas na edukasyon sa matematika
M[ξ] at variance D[ξ]. Pareho para sa
anumang positibong numero ε
patas na hindi pagkakapare-pareho:

Mga Tala

Para sa protilezhny podії:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebishev ay may bisa para sa
hayaan mo akong sumunod sa ilang batas.
poklavshi
katotohanan:
, hindi bababa sa hindi mahalaga

9.2. Ang batas ng malalaking numero sa anyo ni Chebishev

Teorama
pairwise independent at mayut kіntsevi
pagpapakalat, pagpapalitan
mabilis
Pareho para sa
kahit ano
siguro
Sa ranggo na ito, pinag-uusapan ang law of great numbers
zbіzhnostі para sa ymovіrnіstyu arithmetic mean vypadkovy values ​​​​(tobto vypadkovy value)
sa arithmetic mean їх banig. ochikuvan (tobto.
hanggang sa hindi vipadkovo na halaga).

9.2. Ang batas ng maraming bilang sa anyo ng Chebishev: mga karagdagan

Theorem (Markov): ang batas ng dakila
binibilang ang mga numero, gayundin ang pagkakaiba
ang kabuuan ng mga halaga ng vipadic ay hindi tumataas
medyo masyadong mabilis zі rostannyam n:

10.9.3. Ang teorama ni Bernoulli

Tingnan natin ang pakana ni Bernoulli.
Halika μn - ang bilang ng bumaba A in
n mga independiyenteng pagsubok, p - ang kakayahan ng kasalukuyang pagsubok A sa isa
pagsubok. Todi para maging-kanino
Tobto. imovirnіst na, scho vіdhilennya
panlabas na dalas
yoga ymovіrnosti r ay magiging modulo yak zavgodno
kakaunti
subukan n.

11.

Patunay: Vipadian value μn
rozpodіlena para sa binomial na batas, na
siguro

12.9.4. Mga katangiang pag-andar

Katangian ng vipadical function
ang dami ay tinatawag na function
de exp(x) = ex.
sa ganoong paraan,
ay ang kanyang sarili
pagpipino sa matematika
kumplikadong dami ng slope
pov'yazanoї іz laki. Zokrema, yakcho
ay isang discrete vipad value,
ang pagkakasunud-sunod ng subdivision (xi, pi) ay ibinigay, de i
= 1, 2,..., n, pagkatapos

13.

Para sa walang patid na drop-down na dami
іz shіlnіstyu rozpodіlu
imovirnosti

14.

15.9.5. Central boundary theorem (Lyapunov theorem)

16.

Paulit-ulit

17. MGA PUNDASYON NG TEORYA NG MGA POSIBILIDAD AT MATHEMATICAL STATISTICS

BAHAGI II. MATHEMATICAL
STATISTICS

18. Epigraph

"Tatlong uri ng kalokohan ang nakikita ko: kalokohan,
kalokohan ang mga istatistika na iyon"
Benjamin Disraeli

19. Pagpasok

Dalawang pangunahing gawain ng matematika
istatistika:
pagpili at pagpapangkat ng istatistika
danih;
pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagsusuri
pag-aalis ng data sa hindi pa natutunaw na lupa
layunin ng follow-up.

20. Mga paraan ng istatistikal na pagsusuri ng data:

pagtatasa ng hindi kilalang kawalang-kilos;
pagtatasa ng hindi kilalang function
rozpodіlu;
pagtatasa ng mga parameter ng bahay
rozpodіlu;
muling pagpapatunay ng mga istatistikal na hypotheses tungkol sa species
hindi kilalang rozpodіlu abo tungkol sa
mga halaga ng mga parameter
rozpodіlu.

21. DIVISION 1. BATAYANG KONSEPTO NG MATHEMATICAL STATISTICS

22.1.1. Pangkalahatang kasal at pagpili

Pangkalahatang sukupnіst - lahat
impersonal na karagdagang mga bagay,
Vibіrka – koleksyon ng mga bagay na vipadkovo
pinili mula sa pangkalahatang kasal
para sa follow up.
Obligasyon ng pangkalahatang kasal
obsyag vibirki - ang bilang ng mga bagay sa pangkalahatang kasal at ang pagpili - ay magiging
italaga bilang N at n.

23.

Ang Vibirka ay uulitin, kung
bagay sa pagpili ng balat bago
sa pamamagitan ng pagpili ng isang nakakasakit na turn hanggang sa
pangkalahatang suupnist, iyon
nang walang pag-uulit, parang nanginginig
ang object ng pangkalahatang pagbili ay hindi
umikot.

24. Pagpili ng kinatawan:

wastong kumakatawan sa mga katangian
pangkalahatang kasal, tobto. є
kinatawan (representative).
Sa likod ng batas ng maraming bilang, maaari kang tumigas
scho tsya umova vykonuєtsya, yakscho:
1) obsyag vibirki n dosit mahusay;
2) ang balat ng bagay ng vibrating ay pinili sa isang vipadkovo na paraan;
3) para sa bagay ng balat, ang posibilidad ng pag-inom
pareho ang vibrator.

25.

Pangkalahatang kasal at pagpili
maaaring pareho
(iisang salik)
at rich-to-factory

26.1.2. Ang vibratory law ay na-subdivide (statistical series)

Hayaan ang mga vibrator obsyagom n
tsіkava para sa amin vipadkovy halaga ξ
(aling object parameter
pangkalahatang kasal) tanggapin n1
beses x1, n2 beses x2,... i
nk beses - halaga ng xk. Natatakot si Todi
mga halaga x1, x2,..., xk
Ang ξ ay tinatawag na mga variant, at n1, n2,..., nk
- xx frequency.

27.

Retail xmax - xmin є range
vibirki, vіdnoshennia ωi = ni /n -
nakikitang dalas ng variant xi.
Halatang ano

28.

Kung isusulat namin ang mga pagpipilian sa pagkakasunud-sunod na lumalaki, pagkatapos ay aalisin namin ang hanay ng variation. Ang talahanayan na binubuo ng tulad
pag-order ng variant ng mga frequency na iyon
(i/o mga panlabas na frequency)
ay tinatawag na serye ng istatistika o
batas vibirkovy rozpodіlu.
- Isang analogue ng batas ng discrete subdivision
halaga ng vipadkovy sa teorya ng imovirnosti

29.

Ang naturang variational series ay nakatiklop
malaking bilang ng mga numero
magpatuloy nang walang pagkaantala
isang senyales na vikoristovuyut groupovanu
vibrka. Para sa її otrimannya _interval,
kung saan ang lahat ay natatakot
ibig sabihin ay mga senyales na pumapasok
dekilka kumanta ng pantay na bahagi
(pіd_intervalіv) dovzhina h. Sa
natitiklop ang serye ng istatistika sa
i-vibrate ang gitna
pіd_intervalіv, at ni katumbas ng numero
variant, na natupok sa i-th interval.

30.

40
- Mga frequency -
35
30
n2
n3
ns
n1
25
20
15
10
5
0
a
a+h/2 a+3h/2
- Mga Pagpipilian -
b-h/2
b

31.1.3. Polygon ng mga frequency, function ng pagpili

Idinagdag namin ang halaga ng vertical na halaga xi ayon sa
ang abscissa axis, at ang ni value - kasama ang ordinate axis.
linya ng Laman
mga puntos na may mga coordinate (x1, n1), (x2, n2),..., (xk,
nk), ay tinatawag na polygon
mga frequency. Parang deputy
absolute value ni
sa y-axis ng klase
nakikitang mga frequency ωi,
pagkatapos ay kinukuha namin ang polygon ng mga nakikitang frequency

32.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pag-andar ng rozpodіlu
discrete drop-down na halaga para sa
vibirkov batas rozpodіlu ay maaaring maging
himukin ang vibirkov (empiric)
pag-andar ng rozpodіlu
de sumovuvannya vykonuetsya sa lahat
mga frequency
variant na mas maliit sa x. Iginagalang namin iyon
empirical function rozpodіlu
humiga sa obsyagu vibirki n.

33.

Sa view ng function
natagpuan
para sa halaga ng vipadkovy ξ
paraan sa mga resulta ng statistical data processing, tulong function
rozpodіlu
pov'yazanu s
pangkalahatang sukupnistyu, tawag
teoretikal. (Tumawag sa heneral
ang supply ng sahig ay mahusay, kaya
imposibleng makakuha ng її, tobto.
doslіdzhuvati її mas posible
ayon sa teorya).

34.

Pinahahalagahan namin na:

35.1.4. Ang pangingibabaw ng empirical function ng rozpodіlu

Hakbang-bahagi
naghahanap

36.

Isa pang graphic tribute
mag-click sa amin vibrki є
histogram - hakbang na pigura,
kung ano ang binubuo ng mga parihaba, ang mga pangunahing kaalaman ay mga pagitan
lapad h, at taas - vіdrіzki zavdovka
ni/h (frequency histogram) o ωi/h
(Histogram ng mga nakikitang frequency).
Sa unang sandali
lugar na may mga histogram
mga pinili n,
sa isa pa - nag-iisa

37. Puwit

38. DIBISYON 2. MGA BILANG AT KATANGIAN NG VIBIRKA

39.

Pinuno ng Mathematics Statistics -
alisin para sa isang malinaw na pagpipilian
impormasyon tungkol sa heneral
kasal. Mga numerical na katangian ng isang kinatawan na sample - pagtatasa ng mga nauugnay na katangian
halaga ng doslіdzhuvanoї vipadkovoї,
nakatali sa heneral
sukupnistyu.

40.2.1. Vibration average at vibrancy variance, empirical moments

Vibrkov gitna ay tinatawag
ibig sabihin ng aritmetika
opsyon sa vibrator
Vybirkove average vikoristovuetsya para sa
istatistikal na pagsusuri ng matematika
ochіkuvannya doslіdzhuvanoy vypadkovy halaga.

41.

Vibration dispersion ang tawag
halaga, katumbas
Ang ibig sabihin ng Vibirkov ay parisukat
pagsisisi -

42.

Madaling ipakita kung ano ang panalo
halika spіvvіdnoshennia, mas mabuti para sa
pagkalkula ng pagkakaiba-iba:

43.

Iba pang mga katangian
serye ng pagkakaiba-iba є:
mode M0 - mga pagpipilian, kung ano ang maaari
pinakamataas na dalas, median ako -
variant, ano ang idaragdag na variant
isang hilera sa dalawang bahagi, katumbas ng bilang
iba't-ibang.
2, 5, 2, 11, 5, 6, 3, 13, 5 (mode = 5)
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 11.13 (median = 5)

44.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa vіdpovіdnimi
Ang mga teoretikal na viraz ay maaari
magdulot ng mga empirical na sandali,
huminto para sa istatistika
mga pagtatantya ng cob at central
sandali
magnitude.

45.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga sandali
mga teorya
Imovirnosti pochatkovy empirichnym
ang sandali ng order m ay ang dami
gitnang empirikal na sandali
order m -

46.2.2. Ang kapangyarihan ng mga pagtatasa ng istatistika ng mga parameter sa pamamahagi: kakulangan, kahusayan, kahusayan

2.2. Kapangyarihan ng mga pagtatantya sa istatistika
parametrіv rozpodіlu: nemіschenіst, effektіvnіst, sposobnіst
Pagkatapos otrimannya statistical pagtatantya
mga parameter
ang halaga ng ξ: vibration mean, vibration dispersion, atbp., ito ay kinakailangan upang muling isaalang-alang,
anong baho є kind close
para sa mga tiyak na parameter
teoretikal na pamamahagi ng ξ.
Alam natin kung paano mag-isip, kung paano mag-isip para kanino
ngiwi.

47.

48.

Ang istatistikal na marka A* ay tinatawag
hindi nababagabag, na parang mathematically
pagtatantya ng halaga ng nasuri na parameter
pangkalahatang kasal A para sa kahit ano
obsyag vibirki, tobto.
Parang hindi nanalo ang isip, assessment
ay tinatawag na misplaced.
Ang kawalang-kilos ng pagtatasa ay hindi sapat
mental approximation ng istatistika
grade A* sa reference (teoretikal) na halaga
tinantyang parameter A.

49.

Rozkid okremih meaning
ibig sabihin ng halaga M
deposito ayon sa halaga ng dispersion D.
Kung malaki ang dispersion, kung gayon ang halaga
kilala sa data ng isang vibirka,
maaaring ibig sabihin
nasuri na parameter.
Ama, para sa mga umaasa
ang pagtatantya ng variance D ay nagkasala
maging maliit. Pagsusuri ng istatistika
tinatawag na epektibo, kahit na
binigay na obligasyon ng pagpili n nanalo may
Mahahanap ko ang dispersion.

50.

Bago ang mga pagtatantya ng istatistika
may tulong pa
kakayahan. Tinatawag ang score
posible, para sa n → nanalo
pragne imovirnosti dati
nasuri na parameter. Iginagalang namin iyon
magiging walang pinapanigan ang pagtatasa
posible, kahit sa n → її
pagkakaiba-iba pragne 0.

51. 2.3. Ang pangingibabaw ng vibratory mean

Pakitandaan na ang mga opsyon ay x1, x2,..., xn
є mga halaga
malaya, gayunpaman, rozpodіlenih vypadkovyh halaga
,
kung paano mathematically mapabuti
pagpapakalat na iyon
. Todi
vibirkove middle ay posible
mukhang isang halaga ng vipadka

52.

Kawalang-kilos. 3 kapangyarihan
pagpipino sa matematika ng mga sumusunod
tobto. vibirkove average є
walang pinapanigan na pagtatasa ng matematika
ochіkuvannya vipadkovy laki.
Maaari mo ring ipakita ang pagiging epektibo
mga marka mula sa vibratory average na mathematical score (para sa normal
rozpodіlu)

53.

Pagkamatulungin. Hayaan ang isang - pagmamarka
parameter, ngunit ang mathematical
pag-iisa ang pangkalahatang kasal
- Pagpapakalat ng pangkalahatang kasal
.
Tingnan natin ang kaba ni Chebishev
Meron kami:
din
. Bilang n → ang kanang bahagi
hindi pantay sa zero para sa anumang ε > 0, pagkatapos.
i, gayundin, ang halaga ng X, na kumakatawan sa vibirkova
pagtatantya, pragne pagtatantya parameter a sa pamamagitan ng imovirnosti.

54.

Sa ranggo na ito, maaari kang mag-usbong ng visnovok,
ano ang average
hindi nababagabag, epektibo (ayon sa
tanggapin para sa normal
rozpodіlu) at posible
marka sa matematika
laki ng vipadkovy, pov'yazanoї s
pangkalahatang sukupnistyu.

55.

56.

LECTURE 6

57. 2.4. Ang pangingibabaw ng vibrational dispersion

Vibration dispersion D*
pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng rate ng pagkahulog

58.

59.

60. Stock

Alamin ang vibirkove average, vibirkove
pagkakaiba at rms
vіdhilennya, ang fashion ay naitama vibіrkovu
pagpapakalat para sa vibrating, kung ano ang maaaring dumating
ang batas ay hinati:
Solusyon:

61.

62. PARAMETER

63.

Vvazhatimemo, scho blatant na tumitingin sa batas
ipaalam sa amin
kailangang tukuyin ang mga detalye -
mga parameter, kung ano ang italaga sa yoga
anyo ng disenyo. Gamitin
sprat ng mga pamamaraan
gawain, dalawa sa kanila
sa isang sulyap: ang paraan ng sandali at ang pamamaraan
ang pinakamalaking kredibilidad

64.3.1. Paraan ng mga sandali

65.

Paraan ng mga sandali, sama ng loob ni Karl
Pirson noong 1894, ang mga pundasyon sa
vikoristannya tsikh nablizhdenih equalities:
sandali
umalis sa insurance
theoretically ayon sa batas
subdivision na may mga parameter na θ, at
vibratory moments
binibilang
para sa isang malinaw na pagpipilian. Hindi kilala
mga parameter
hinirang sa
ang mga resulta ng pag-unlad ng sistema r
pov'yazuyut vіdpovіdnі
teoretikal at empirikal na sandali,
Halimbawa,
.

66.

Maaari mo bang ipakita kung ano ang mga rating
mga parameter θ, inalis ng pamamaraan
sandali, posible, їх
pagpipino sa matematika
tingnan ang mga reference na halaga ng mga parameter sa
halaga ng pagkakasunud-sunod ng n-1, at ang average
quadratic deviation є
mga halaga sa pagkakasunud-sunod ng n-0.5

67. Puwit

Tila, ang mga katangian ng mga bagay
pangkalahatang kasal, pagiging vipadkovoy
halaga, maє katumbas rozpodіl, scho upang magdeposito sa anyo ng mga parameter a at b:
Kinakailangang kalkulahin sa pamamagitan ng paraan ng mga sandali
mga parameter a at b ayon sa vidomim vibrkov
gitna
na vibrational dispersion

68. kapalaran

α1 - mat.scoring β2 - variance

69.

(*)

70.

71.3.2. Paraan ng maximum na posibilidad

Ang pamamaraan ay batay sa pag-andar ng posibilidad
L(x1, x2,..., xn, θ), na siyang batas
rozpodіl vector
, de
pagbabagu-bago sa magnitude
tanggapin ang mga halaga
pagpipiliang vibirka, tobto. mayut pareho
Rozpodіl. Oskіlki vipadkovі halaga
independyente, ang pagpapaandar ng kredibilidad ay maaaring magmukhang:

72.

Ideya ng pinakamalaking pamamaraan
ang pagiging totoo ay nakasalalay sa kung ano tayo
paghusga sa pamamagitan ng parehong halaga ng mga parameter θ, sa
may lumabas na imovirnist
piliin ang pagpipiliang halaga x1, x2,..., xn
є ang pinakadakila. Sa ibang salita,
bilang isang pagtatantya ng mga parameter θ
isang vector ang kinuha, kung saan ang function
maaaring lokal ang katumpakan
maximum para sa ibinigay na x1, x2, …, xn:

73.

Mga pagtatantya para sa paraan ng maximum
lumalabas ang kredibilidad
kailangan isip ang extremum
gumagana ang L(x1,x2,..., xn,θ) sa punto

74. Mga Tala:

1. Sa loob ng isang oras hahanapin ko ang pinakamataas na function ng kredibilidad
para sa kapatawaran ng rozrakhunkiv, maaari mong vikonati
dії, na hindi nagbabago sa resulta: una,
palitan ang L(x1, x2,..., xn,θ) ng logarithmic likelihood function l(x1, x2,..., xn,θ) =
log L(x1, x2,..., xn,θ); sa ibang paraan, tingnan mo ang viraz
para sa pagpapaandar ng katumpakan, na hindi namamalagi sa anyo ng θ
dodanki (para sa l) o positibo
multiply (para sa L).
2. Mga pagtatantya ng mga parameter na sinuri namin,
ay maaaring tawaging point estimates, scaling para sa
hindi kilalang parameter θ, isa
iisang punto
ano ang yoga
lumapit tayo sa values. Gayunpaman, tulad ng isang pidkhid
ay maaaring humantong sa mga bastos na pagpapatawad, at punto
ang pagtatasa ay maaaring makabuluhang baguhin mula sa totoo
ang halaga ng tinantyang parameter (lalo na sa
sa panahon ng vibirki maliit na obyagu).

75. Puwit

Solusyon. Para sa aking mga gawain, sundin ang pagtatasa
dalawang hindi kilalang parameter: a at σ2.
function ng logarithmic na posibilidad
maaaring tumingin

76.

Vіdkinuvshi sa tsіy formulaі dodanok, na hindi
magdeposito ng vіd a і σ2, iimbak ang system na pantay
kredibilidad
Virishyuchi, otrimuemo:

77. KABANATA 4

78.

(*)

79.

(*)

80.4.1. Pagsusuri ng mathematical scaling ng isang normal na ibinabahaging halaga para sa isang partikular na pagkakaiba

vibirkove average
bilang kahulugan ng vipadkovo

81.

Maemo:
(1)
(2)

82.

(2)
(1)
(*)
(*)

83.4.2. Pagsusuri ng mathematical scaling ng isang normal na ibinabahaging halaga para sa hindi kilalang pagkakaiba

84.

hakbang ng kalayaan. Gustina

ang halaga ng є

85.

86. Rozpodіlu ng mag-aaral na may n - 1 degree ng kalayaan

87.

88.

89.

alam ang mga formula

90. 4.3. Pagtatantya ng root-mean-square deviation ng isang normal na distributed value

σ.

hindi pamilyar na matematika
puntos.

91. 4.3.1. Okremiya vіpadok vydomoy mathematicheskogo ochіkuvannya

Mga halaga ng vicorist
,


vibrational dispersion D*:

92.

magnitude
pakiramdam normal

93.

hugasan ang layo
de
– lapad ng rozpodіlu χ2

94.

95.

96.

97.4.3.2. Okremiya vpadok hindi kilalang mathematical ochіkuvannya

(halaga ng devipad


χ2 na may n-1 na hakbang ng kalayaan.

98.

99.4.4. Pagsusuri ng mathematical scaling ng drop value para sa patas na pagpili

Pagpili ng mahusay na obsyagu (n >> 1).

100.

dami
, ano ang dapat hugasan

pagpapakalat
, ngunit otrimane
vibirkove average
halaga ng yak
laki ng vipadkovy

magnitude
maaaring asymptotically


.

101.

kindat ang formula

102.

103.

Lektura 7

104.

Pag-uulit ng nakaraan

105. KABANATA 4

106.

Pagtatakda ng pagtatantya ng parameter ng input
rozpodіlu maaari virishuvati paraan
gisingin ang pagitan, kung alin sa mga ibinigay
Imovirnistyu gamitin ang reference na halaga
parameter. Ang pamamaraang ito ng pagtantya
tinatawag na interval assessment.
Tumawag sa matematika para sa pagtatasa
ang parameter θ ay magiging hindi pantay
(*)
Ang de number δ ay nagpapakilala sa katumpakan ng pagtatasa:
na mas mababa sa δ, kung gayon ang pagtatantya ay mas maikli.

107.

(*)

108.4.1. Pagsusuri ng mathematical scaling ng isang normal na ibinabahaging halaga para sa isang partikular na pagkakaiba

Doslіdzhuvana vipadkovy value ξ rozpodіlena ayon sa normal na batas іz vіdomim
rms deviations σ at
nevіdomim math ochіkuvannyam a.
Kinakailangan para sa mga halaga ng vibratory mean
suriin ang mathematically scaling ξ.
Katulad kanina, tumingin sa akin na obsessed
vibirkove average
bilang kahulugan ng vipadkovo
mga halaga, at ang halaga ng seleksyon x1, x2, …,
xn
rozpodіlenih nezalezhnyh vypadkovymi halaga
balat z yakikh maє banig. scaling a at mean square correction σ.

109.

Maemo:
(1)
(2)

110.

(2)
(1)
(*)
(*)

111.4.2. Pagsusuri ng mathematical scaling ng isang normal na ibinabahaging halaga para sa hindi kilalang pagkakaiba

112.

Tila, ang halaga ng tn ay vipadical,
binigyan ng ganoong ranggo, maє
Math ng mag-aaral k = n - 1
hakbang ng kalayaan. Gustina
rozpodіlu imovіrnosti tulad
ang halaga ng є

113.

114. Rozpodіlu ng mag-aaral na may n - 1 degree ng kalayaan

115.

116.

117.

Tandaan. Sa napakaraming hakbang
kalayaan k rozpodіl Mag-aaral
pragne normal rozpodіlu s
zero mathematical scores at
solong pagpapakalat. Samakatuwid, para sa k ≥ 30
Ang pagitan ng dovirchy ay maaaring maging praktikal
alam ang mga formula

118. 4.3. Pagtatantya ng root-mean-square deviation ng isang normal na distributed value

Hayaan akong tapusin ang halaga ng vipadka
ξ hinati ayon sa normal na batas
may mathematical points a na
hindi kilalang ibig sabihin ng parisukat
σ.
Tingnan natin ang dalawang view: s vіdomim і
hindi pamilyar na matematika
puntos.

119. 4.3.1. Okremiya vіpadok vydomoy mathematicheskogo ochіkuvannya

Ipaalam sa akin ang halagang M[ξ] = a i kinakailangan
tantyahin lamang ang σ o ang variance D[ξ] = σ2.
Hulaan natin kung ano ang para sa pamilyar na banig. puntos
walang pinapanigan na pagtatantya ng pagpapakalat e
vibrational dispersion D* = (σ*)2
Mga halaga ng vicorist
,
hinirang na mas mataas, ipinakilala ang vipadkov
ang halaga ng Y, na tumatanggap ng halaga
vibrational dispersion D*:

120.

Tingnan natin ang halaga ng vipadian
Sumi vipadkovі, kung ano ang dapat tumayo sa ilalim ng tanda
magnitude
pakiramdam normal
hinati-hati ang fN (x, 0, 1).
Todі Hn maє rozpodіl χ2 h n
hakbang ng kalayaan tulad ng kabuuan ng mga parisukat n
independiyenteng pamantayan (a = 0, σ = 1)
normal na halaga ng vipadkovyh.

121.

Makabuluhang agwat ng kumpiyansa h
hugasan ang layo
de
– lapad ng rozpodіlu χ2
at γ - superficiality (dovircha
imovirnist). Ang halaga ng γ ay mas maraming bilang
ang lugar ng shaded figure sa fig.

122.

123.

124.

125. 4.3.2. Okremiya vpadok hindi kilalang mathematical ochіkuvannya

Sa pagsasagawa, ang sitwasyon ay higit na pinalala,
kung walang mga pagkakasala sa mga parameter ng normal
rozpodіlu: mathematical chіkuvannya a ta
ugat-mean-square variation σ.
May tiwala ako
ang pagitan ay batay sa Fisher theorem,
Kit. susunod, anong halaga ng vipad
(halaga ng devipad
pagtanggap ng kahulugan na hindi nababagabag
vibratory dispersion s2, may rozpodil
χ2 na may n-1 na hakbang ng kalayaan.

126.

127.4.4. Pagsusuri ng mathematical scaling ng drop value para sa patas na pagpili

Pagsusuri ng pagitan ng matematika
pagmamarka ng M[ξ], pagbabawas para sa normal
razpodіlenoї vipadkoї halaga ξ ,
є, vzagali tila, hindi angkop para sa
mga halaga ng vipadkovyh
rozpodіlu. Gayunpaman, mayroong isang sitwasyon, kung
para sa anumang mga halaga ng vipadkovy posible
koristuvatisya katulad na pagitan
spіvvіdnoshnymi, - tse maє mіsce at
Pagpili ng mahusay na obsyagu (n >> 1).

128.

Tulad ng at higit pa, tingnan natin ang mga pagpipilian
x1, x2,..., xn bilang mga independiyenteng halaga,
gayunpaman, sa iba't ibang uri
dami
, ano ang dapat hugasan
pagpipino sa matematika M[ξi] = mξ i
pagpapakalat
, ngunit otrimane
vibirkove average
halaga ng yak
laki ng vipadkovy
Angkop sa central boundary theorem
magnitude
maaaring asymptotically
ang karaniwang batas ay nahahati c
mathematical scaling mξ at pagkakaiba
.

129.

Kaya naman, makikita natin ang halaga ng dispersion
vipadkovy halaga ξ, pagkatapos ay maaari naming
nanliligaw sa mga tinatayang formula
Ano ang halaga ng dispersion ng quantity ξ
hindi alam na may dakilang n posible
kindat ang formula
de s - naitama por_vn.-sq. pag-iisip

130.

Paulit-ulit

131. KABANATA 5. PAGBALIKOD NG MGA ISTATISTIKONG HIPOTESIS

132.

Ang statistical hypothesis ay isang hypothesis tungkol sa
pagtingin sa hindi kilalang rozpodil o tungkol sa mga parameter
Vіdomogo rozpodіlu vipadkovoї laki.
Ang hypothesis ay reverified, kung ano ang ibig sabihin sa tunog tulad ng
H0 ay tinatawag na null o pangunahing hypothesis.
Dodatkovo vikoristovuetsya hypothesis H1,
upang palitan ang mga hypotheses H0, na tinatawag
nakikipagkumpitensya sa alternatibo.
Statistical verification ng hanging zero
hypotheses H0
vibratory tributes. Para sa ganoong rebisyon
Ang mga pagpapatawad ng dalawang uri ay posible:
a) mga pardon ng unang uri - vipadki, kung nakikita mo
tama ang hypothesis H0;
b) pagpapatawad ng ibang uri - vipadki, kung
ang hypothesis H0 ay tinanggap nang hindi tama.

133.

Imovirnist pardon ng unang uri ay magiging
pangalanan ang pantay na kahalagahan at italaga
yak α.
Ang pangunahing paraan ng reverification ng istatistika
ang mga hypotheses ay nakasalalay sa katotohanan na
ang aktwal na pagpili ay kinakalkula ang mga halaga
istatistikal na pamantayan - mabisa
ang variable na halaga ng T, na posible
Nilabag ko ang batas. Halaga ng lugar T,
kung saan ang pangunahing hypothesis H0 ay maaaring
hahatulan, tawaging kritikal, at
area value T, kung saan qu hypothesis
maaaring tanggapin, - tinatanggap ang lugar
mga hypotheses.

134.

135.5.1. Pagsusuri muli ng mga hypotheses tungkol sa mga parameter ng ibinigay na mga parameter

5.1.1. Pagsusuri muli ng mga hypotheses tungkol sa matematika
normal
magnitude
Hayaan ang vipadic value na ξ maє
normal na rosas.
Kinakailangan na muling isaalang-alang ang pagpasok tungkol sa mga iyon
kung ano ang її mathematically malinaw na isa
tunay na numero a0. Tingnan natin ang cream
pagbabagu-bago, kung ang pagpapakalat ng bahay at kung
out of nowhere.

136.

Para sa iba't ibang variance D[ξ] = σ2,
yak і sa clause 4.1, makabuluhang Vipadkov
ang halaga na kumukuha ng halaga
vibratory mean. Hypothesis H0
pabalik-balik ay binabalangkas bilang M[ξ] =
a0. Oskіlki Vibrkove Middle
є walang pinapanigan na pagtatantya M[ξ], kung gayon
hypothesis H0 ay maaaring katawanin bilang

137.

Proteksyon
vibratory variances, posible ang null hypothesis
sumulat ng ganito:
halaga ng devipad
tanggapin ang naitama na halaga
ang pagpapakalat ng halaga ng ξ i ay katulad ng pagkakaiba
ang halaga ng Z na tinalakay sa Seksyon 4.2.
Paano ang statistical criterion para sa vibero
halaga ng vipadic
Tinatanggap ko ang kahulugan ng mas dakila
vibrational dispersion sa pinakamababa.

145.

Vipadkov halaga F maє
rozpodіl Fischer – Snedekor z
bilang ng mga hakbang ng kalayaan k1 = n1 – 1 at k2
= n2 – 1
higit pa
naitama ang pagkakaiba-iba
, at n2 -
obsyag isa pang pagpipilian, para sa kung saan
mas maliit na pagkakaiba ay kilala.
Tingnan natin ang dalawang vidi na nakikipagkumpitensya
hypothesis

146.

147.

148. 5.1.3. Pagpantay-pantay ng mathematical na pagtatantya ng mga independiyenteng pagbabagu-bago

Sa likod ng ulo, maaari nating tingnan ang normal
rozpodіlu vipadkovyh halaga v_domimi
pagpapakalat, at pagkatapos, sa batayan ng yoga,
drop ng isang medyo malaking pagkakaiba sa mga halaga sa
upang tapusin ang mahusay na independiyenteng vibirki.
Hayaang maging malaya ang mga variable na halaga ξ1 at ξ2
Ang mga dibisyon ay normal, ngunit hayaan silang magkaroon ng kanilang mga pagkakaiba D[ξ1]
at D[ξ2] vіdomi. (Halimbawa, makikita ang mga baho
sa anumang iba pang kaalaman sa insurance
ayon sa teorya). Panginginig ng boses n1 at n2
malinaw naman. Halika na
– vibirkovі
average para sa mga vibes na ito. Kailangan para sa vibrkovim
average sa isang ibinigay na katumbas na kahalagahan α
baligtarin ang hypothesis tungkol sa bisa ng matematika
pagtatasa ng pagsusuri ng mga vipadical na halaga ng paglago mula sa isang priori mirkuvan,
Batay sa mga isip ng eksperimento, iyon
ilang dahilan tungkol sa mga parameter
rozpodіl dosl_dzhuyutsya, tulad ng ipinapakita
kanina. Gayunpaman, madalas na sinisisi ng isa
ang pangangailangang baguhin ang isip
napatunayan ang hypothesis tungkol sa batas.
Pamantayan sa istatistika, pagkilala
para sa naturang perevіrok, zazvychayutsya
matugunan ang pamantayan.

154.

Vіdomo kіlka kіlka іїv sgodi. Perevagoyu
Ang criterion ni Pearson ay yoga universality. 3 yoga
tulungan kang baguhin ang mga hypotheses tungkol sa mga pagkakaiba
batas ang rozpodіlu.
Ang pamantayan ni Pearson para sa mga base sa pantay na frequency,
kilala sa pamamagitan ng vibration (empirical frequency), s
mga frequency
sa batas ng rozpodіlu (theoretical frequency)
Sound empirical at theoretical frequency
lumaban. Slid z'yasuvati, chi vipadkovo
pagkakaiba-iba ng mga frequency kung hindi man ay makabuluhan at ipinaliwanag
tandaan na ang theoretical frequency ng pagkalkula ng frequency ng
maling hypotheses tungkol sa rozpodіl pangkalahatan
kasal.
Ang pamantayan ni Pearson
nutrisyon, chi є zgoda hanging hypothesis
empirical data para sa isang naibigay na katumbas
kahalagahan.

155. 5.2.1. Pagbabalik-tanaw sa hypothesis tungkol sa normal na rozpodil

Tara na є vipadkovy value ξ і zroblena
vibirka na gawin ang dakilang obliga n na may higit pa
kіlkіstyu iba't ibang halaga iba't-ibang. Kailangan
na may katumbas na kahalagahan ng α, baligtarin ang null hypothesis
H0 tungkol sa mga na hinati ang halaga ng vipad
ayos lang.
Para sa kalinawan, ang pagpili ng pagpili ay kukuha ng dalawang numero
α at β:
at hatiin ang pagitan [α, β] sa s
pіd_intervalіv. Isaalang-alang natin kung ano ang kahulugan ng pagpipilian,
kung ano ang kanilang nainom sa pagitan ng katad, humigit-kumulang pantay
numero na nagtatakda sa gitna ng pagitan.
Inayos ang bilang ng mga opsyon, na kinuha sa balat Dami ng pagkakasunud-sunod ng α (0< α < 1) непрерывной
Ang halaga ng vipadkovy ξ ay tinatawag na isang numerong xα,
kung kanino nananalo ang paninibugho
.
Ang quantile x½ ay tinatawag na median
dami ξ, quantiles x0 at x2 - її quartile, a
x0.1, x0.2,..., x0.9 - decile.
Para sa pamantayan normal na rozpodіlu(a=
0, σ = 1) i, gayundin,
de FN (x, a, σ)
divergence variable value, at Φ(x) –
Laplace function.
Dami ng karaniwang normal na distribusyon
Ang xα para sa isang ibinigay na α ay maaaring malaman mula sa ugnayan

162.6.2. Rosepodil na Estudyante

Yakscho
– malaya
vipadkovі halaga, scho mayut
normal na rozpodіl іz nullovim
pagpipino ng matematika at
solong pagkakaiba, kung gayon
laki ng rozpodіl vipadkovoї
tawag sa Student's rose
na may n hakbang ng kalayaan (W.S. Gosset).

batas ng malalaking numero sa theory of similitudes, nakakagulat na ang empirical average (arithmetic mean) para matapos ang mahusay na final selection mula sa fixed distribution ay malapit sa theoretical average (mathematical grading) ng distribution. Ang mahinang batas ng mga malalaking numero ay stally sa view ng zbіzhnosti, kung may puwang para sa zbіzhnist, imovirnosti, at ang batas ng mahusay na mga numero ay malakas, kung may puwang para sa zbіzhnіst, maaaring mayroong kahit saan.

Palaging alamin ang gayong huling bilang ng mga pagsubok, na may ilang uri ng paunang natukoy na imovirnistyu na mas kaunti 1 ito ay kapansin-pansin ang dalas ng paglitaw ng isang deaco ї podії yak zavgodno maliit na vіrіznyatiyetsya vіd yogo imovіrnostі.

Zagalny zm_st sa batas ng malalaking numero: spіlna diya malaking numero upang ilabas ang pareho at independiyenteng mga salik ng pagkasumpungin sa resulta na imposibleng mahulog sa pagbagsak.

Para kanino ang kapangyarihan ng mga pundasyon ng paraan ng pagtatasa ng katatasan at pagpapabuti ng pagsusuri ng panghuling pagpili. Ang isang pangunahing halimbawa ay ang hula ng mga resulta ng mga seleksyon batay sa pagpili ng mga seleksyon ng mga seleksyon.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

✪ Batas ng maraming bilang

✪ 07 – Teorya ng Imovirnosti. batas ng malalaking numero

✪ 42 Law of Great Numbers

✪ 1 - batas ng malaking bilang ng Chebishev

✪ Baitang 11, aralin 25, Gaussian curve. batas ng malalaking numero

Mga subtitle

Tingnan natin ang batas ng malalaking numero, na, marahil, ang pinaka-intuitive na batas sa matematika at ang teorya ng imoralidad. At ang mga tipak ng alak ay tumitigil sa masaganang pananalita; Magsimula tayo sa katumpakan ng Bibigyan kita ng isang layunin, at pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa intuwisyon. Kumuha tayo ng halaga ng vipadkovu, halimbawa X. Ipagpalagay natin, alam natin її mathematically ochіkuvannya chi averaging para sa kasal. Ang batas ng malalaking numero ay tila na kunin natin ang halimbawa ng n-th na bilang ng mga guwardiya ng isang vipadkovy magnitude at ipinapakita natin ang average na bilang ng lahat ng mga ito na mga guwardiya ... Let's take a change. Tinatawag naming її Х із ang mas mababang index n і з rice upland. Ang arithmetic mean ng nth number ay ang tagapag-alaga ng aming vipadkovy value. Mas nababantayan ang axis ko. Isasagawa ko ang eksperimento nang isang beses at para sa pag-iingat, pagkatapos ay isasagawa ko itong muli at gagawin ko ang axis ng pag-iingat, isasagawa ko ito nang paulit-ulit na may pinakamalaking aksis. Isasagawa ko ang eksperimentong ito n-th na bilang ng beses, at pagkatapos ay idadagdag ko ang bilang ng aking mga babala. Ang axis ay ang aking average na halaga. Ang axis ng ibig sabihin ng halaga ng lahat ng mga bantay, yak zrobila. Sinasabi sa atin ng law of great numbers na ang aking average na vibrance ay papalapit na sa mathematical scaling ng magnitude. Kung hindi man, maaari ko ring isulat na ang aking vibratory average ay magiging malapit sa average para sa suupnistyu para sa n-ї kіlkost, na hindi ang kaso para sa hindi pagkakapare-pareho. Hindi ko malinaw na nakikilala ang mga konsepto ng "malapit" at "kaginhawahan", ngunit sa palagay ko, kung intuitively mong naiintindihan na kukuha ako ng isang malaking seleksyon dito, pagkatapos ay aalisin ko ang matematika para sa kabuuan bilang isang buo. Sa tingin ko, karamihan sa inyo ay matalino, kaya makakakuha ako ng sapat na bilang ng mga pagsubok na may mahusay na seleksyon ng mga application, pinapayagan akong subukan at bigyan ako ng malinaw na kahulugan, dalhin ito sa punto ng paggalang, sa matematika. paglilinis nito, at iba pa. Si Ale, sa palagay ko, ay madalas na hindi alam kung bakit tila ganoon. Una, sa ibaba, sisimulan kong ipaliwanag kung bakit ganito, hayaan mo akong ituro ang isang tiyak na halimbawa. Sinasabi sa atin ng batas ng malalaking numero kung ano ang... Ipagpalagay natin na mayroon tayong malaking halaga ng X. Mas marami ang mga agila na may 100 tamang barya. Nasampered, alam namin mathematically ochіkuvannya tsієї vypadkovoї halaga. Tse kіlkіst pіdkidan coin chi vyprobuvan, pinarami ng mga pagkakataon ng tagumpay maging-anumang viprobuvannya. Kaya, tse one 50. Iyan ang batas ng malalaking numero upang sabihin na kukuha tayo ng pagsusulit, kung hindi, dadalhin ko ang pagsubok sa average na halaga, kukunin ko ito. .. Una, kung gugugol ko ang pagsubok, maghulog ako ng isang barya ng 100 beses, o kukuha ako ng isang kahon na may isang daang barya, natatakot ako, at pagkatapos ay hihipan ko ito, kukunin ko ang bilang ng mga agila sa akin, at Kukunin ko ang layo, halimbawa, ang numero 55. Ito ay magiging X1. Pagkatapos ay muli kong i-string ang kahon at ibawas ang bilang na 65. Hayaan akong muli - at ibawas ang 45. Susuriin ko ang bilang ng beses, at pagkatapos ay susuriin ko ang bilang ng beses. Sinasabi sa atin ng law of great numbers na ang average (ang average na halaga ng lahat ng aking mga bantay) ay aabot sa 50 sa oras na iyon, tulad ng n pragnite of incompetence. Ngayon gusto kong magsalita ng kaunti tungkol sa mga nakakaramdam ng ganito. Mahusay na malaman na kahit na pagkatapos ng 100 pagsubok, ang aking resulta ay mas mataas kaysa sa karaniwan, pagkatapos ayon sa mga batas ng kakayahang umangkop, maaari akong magkaroon ng higit pa o mas kaunting mga agila upang, maging ito man, mabayaran ang pagkakaiba. Hindi namin tinatawag ang mga magiging. Ang Tse ay kadalasang tinatawag na "pardon of gambling engraving." Hayaan mong ipakita ko sa iyo ang pagkakaiba. I vikoristovuvatimu pagdating puwit. Gumuhit tayo ng graph. Naaalala natin ang kulay. Tse n, ang bigat ko X - Tse n. Tse kіlkіst viprobuvan, yakі gagastos ako. At ang buong Y ko ang magiging gitna. Alam namin na ang mathematically scaling ay higit sa sapat na 50 taong gulang. Magpintura tayo. Tse 50. Bumaling tayo sa ating puwitan. Hindi naman masama... Para sa unang oras ng aking unang pagsusulit, kumuha ako ng 55, ngunit iyon ang aking average. Wala akong isang data entry point. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawang pagsubok, aalisin ko ang 65. Mamaya, ang aking average ay magiging 65 + 55, na hinati ng 2. Tse 60. At ang aking average ay tatlong beses na higit. Pagkatapos ay ibinawas ko ang 45, na muling nagpababa sa aking arithmetic mean. Hindi ko inilalagay ang 45 sa chart. Ngayon kailangan kong dalhin ang lahat sa average na halaga. Bakit sulit ang 45+65? Hayaan akong basagin ang halaga, upang markahan ang punto. Ce 165 kasipagan ng 3. Ce 53. Kumusta, 55. Sa paglaon, ang average na halaga ay muling bumaba sa 55. Maaari tayong magpatuloy sa pagsubok. Dahil nakagawa tayo ng tatlong pagsubok at inalis ang mga nasa gitna, maraming tao ang nag-iisip na ang mga diyos ng makapangyarihan ay dapat gumawa sa paraang mas mababa ang ating mga agila sa hinaharap, na sa darating na mga pagsubok ay magiging mas mababa ang mga resulta, upang ang average na halaga ay magbago. Ale tse zavzhd kaya. Nadal ymovіrnіst zavzhaєєєєєєє tulad mismo. Ang kadaliang kumilos ng kung ano ang isang agila sa akin ay magiging 50%. Hindi ang mga nasa akin ay nahulog ng kaunti pa kaysa sa isang dakot ng mga agila, higit pa, mas mababa ang sinusuri ko, ngunit sa malayo ay mabilis na lumiliko ang mga buntot. Tse "paumanhin ukit." Dahil lamang sa mayroon kang napakaraming mga agila, hindi ito nangangahulugan na sa sandaling kumanta mayroon kang napakaraming buntot. Hindi namin iyon tinatawag. Sinasabi sa atin ng batas ng maraming bilang kung ano ang hindi mahalaga. Sabihin nating, pagkatapos ng bilang ng mga pagsubok ng huling kіlkost, ang iyong average ... Imovіrnіst kogo dosit maliit, prot... Sabihin natin, ang iyong average ay umabot sa bilang ng mga badge - 70. Sa tingin mo: "Wow, mukha kaming mathematician nang matalino." Ale, ang batas ng maraming bilang, tila, sa iyo baiduzhe, sinubukan ako ng skilki. Pareho tayong nawalan ng hindi mauubos na dami ng pagsubok sa harap. Mathematically ochіkuvannya tsієї neskіnchenї kolkosti vyprobuvan, lalo na sa podіbnіy situatsії, ay darating. Kung dumating ka bago ang huling petsa, parang lumingon malaking halaga, ang walang katapusang bilang na kasama nito, gagawin ko itong muli sa isang mathematical refinement. Tse, zvichayno, kahit na mas madilim, ale tse ang mga na tila sa amin ang batas ng malaking bilang. Mahalaga si Tse. Parang hindi tayo nagkaroon ng maraming agila, tapos posibleng tumaas ang resolution ng pagbagsak ng resolution para makabawi. Kaninong batas ang magsasabi sa amin na hindi mahalaga, kung ano ang resulta ng huling bilang ng mga pagsubok, dahil nawala ka pa rin nang maaga ng walang katapusang bilang ng mga pagsubok. At sa sandaling lumaki ka nang sapat sa kanila, babalik ka muli sa pagpipino ng matematika. Isang mahalagang sandali. Mag-isip ng bago. Ngunit hindi kami nananalo ngayon sa pagsasanay sa mga lottery at sa casino, kung gusto naming makita na mayroon ka pa ring sapat na dami ng sampling ... Malamang na makatakas kami ... bakit namin pinapahalagahan ang kalidad sa kung ano ang seryoso nating pinaniniwalaan sa pamantayan? Ngunit ang mga casino at lottery ay gumagawa na ngayon sa prinsipyong ito, na kumuha ng sapat na bilang ng mga tao, natural, sa maikling panahon, na may maliit na sample, ng ilang tao upang manalo ng jackpot. Ale, para sa mahusay na termino, ang casino ay mawawalan ng pera mula sa nanalo sa pamamagitan ng mga parameter ng laro, at hihilingin sa iyo na mabayaran mula sa baho. Ito ang mahalagang prinsipyo ng imovirnosti, na intuitive. Kung gusto mo, kung pormal mong ipaliwanag ito sa iyo gamit ang mga halaga ng vipadkovymi, ang lahat ay tila nalilito. Ang sinasabi lang ng batas ay mas maraming vibes, mas maraming arithmetic mean ng mga vibrok pragnime na ito sa tamang mean. At kung ikaw ay mas tiyak, ang arithmetic mean ng iyong pinili ay tutugma sa mga mathematical na pagtatantya ng magnitude. Mula sa lahat. See you next video!

Ang Mahina na Batas ng Dakilang Bilang

Ang mahinang batas ng malalaking numero ay tinatawag ding teorem ni Bernoulli, pagkatapos ni Jacob Bernoulli, na nagpatunay nito noong 1713.

Hayaang magkaroon ng isang inconsequential sequence (succession of recurrence), gayunpaman, sa mga divisions at uncorrelated fluctuations. Iyon ang covariance c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Halika na. Makabuluhang sa pamamagitan ng average ng una n (\displaystyle n) miyembro:

.

Todi X n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Tobto para maging-something positive ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Pagpapalakas ng batas ng maraming bilang

Halika, mayroong isang hindi mauubos na pagkakasunud-sunod ng independyente, gayunpaman, iba't ibang mga subdivision ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), itinalaga sa isang ymovirnіsny kalawakan (Ω , F , P) (\displaystyle (Omega ,(\mathcal (F)), \mathbb (P))). Halika na E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Makabuluhang sa pamamagitan ng X n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) vibirkove gitna ng una n (\displaystyle n) miyembro:

X n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar(X))_(n)=(\frac(1)(n))\sum \limits _(i= 1 )^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Todi X n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) mangyaring maghintay.

Pr (lim n → ∞ X n = μ) = 1. kanan) = 1.) .

Para bang ito ay isang batas sa matematika, ang batas ng maraming bilang, maaari itong maging tunay na liwanag lamang sa tulong ng mga allowance, ito ay makakamit lamang sa mundo ng pagkanta ng katumpakan. Kaya, halimbawa, hugasan ang mga huling sample ay madalas na hindi mai-save nang walang katiyakan sa loob ng mahabang panahon at may ganap na katumpakan. Bilang karagdagan, ang batas ng maraming bilang ay hindi gaanong masasabi tungkol sa pagpapangalan makabuluhang halaga ng average na halaga ng mathematical value.

Ang pag-andar ng rozpodіlu vipadkovoї magnitude at її kapangyarihan.

Ang function ay na-subdivide Ang vipadical value ng X ay tinatawag na function F(X), na nagpapakita para sa skin x ng kakayahan ng vipadical value ng X na kumuha ng value na mas mababa sa x: F(x)=P(X

Function F(x) iba ang pangalan integral function rozpodіlu abo іtegral na batas rozpodіlu

Ang kapangyarihan ng function ay hinati:

1. Ang function ng pag-subdivide ng variable na value ay isang invisible function, na inilagay sa pagitan ng zero at unity:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Ang function ng divergence ng isang variable na value ay isang invariable function kasama ang buong numerical axis.

3. Sa minus ng inconsistency, tumaas ang function sa zero, kasama ang infinity sa isa, kaya: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. Posibilidad ng pagbaba ng halaga hanggang sa pagitan [x1,x2) (kabilang ang x1) upang mapataas ang paglaki ng function ayon sa interval na ito, tobto. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Kawalang-katiyakan ng Markov at Chebisheva

Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Markov

Teorama: Kahit na ang halaga ng X ay tumatagal lamang ng mga hindi kapansin-pansing halaga at maaaring mapino sa matematika, kung gayon para sa anumang positibong numero A, ang pagkakapantay-pantay ay tama: P(x>A) ≤ .

Kung ang X > A at X ≤ A ay pinahaba, pagkatapos ay pinapalitan ang P (X > A) posibleng lumiko sa 1 - P (X ≤ A), dumating tayo sa ibang anyo ng hindi pagkakapantay-pantay ni Markov: P (X ≥ A) ≥ 1 - .

Ang hindi pantay ng Markov zastosovuetsya upang maging-anumang nevid'emnyh vipadkovyh halaga.

Ang kaba ni Chebishev

Teorama: Para sa kung mayroong isang baligtad na halaga, tulad ng isang mathematical na pagkalkula ng pagkakaiba-iba na iyon, ang hindi maiiwasang Chebishev ay wasto:

Р (|Х – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 o Р (|Х – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2 de a = M(Х), ε>0.

Ang batas ng malalaking numero "sa anyo" ng teorama ni Chebishev.

Ang teorama ni Chebishev: Magkano ang dispersion n mga independiyenteng halaga ng vipadic Х1, Х2,…. X n fringed isa at pareho at pare-pareho, pagkatapos ay may isang unfenced pagtaas sa bilang n ang arithmetic mean ng mga bumabagsak na halaga ay nagtatagpo pagkatapos ng arithmetic mean ng mathematical refinement a 1 ,a 2 ….,a n, pagkatapos .

Ang kahulugan ng batas ng mahusay na mga numero ay batay sa katotohanan na ang average na mga halaga ng mga bumabagsak na halaga ay maaaring kalkulahin mula sa pagkalkula ng matematika sa n→ ∞ imovirno. Vіdhilennya avіdnіh vіd mathematical ochіkuvannya staє skіlki zavgodno maliit z ymovirnіstyu, malapit sa isa, yakscho n dosit malaki. Sa madaling salita, ang posibilidad ng anumang pagbabago sa mga average na halaga a ang mga kasanayan ay palaging maliit para sa mga sukat n.

30. Ang teorama ni Bernoulli.

Ang teorama ni Bernoulli: Bahagi ng paraan upang n paulit-ulit na mga independiyenteng pagsubok, sa mga sakit sa balat, maaaring posible para sa isa at sa parehong oras na alisin, na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n converge para sa imovirnistyu sa imovirnosti r tsієї podії sa okremu testing: \

Ang theorem ni Bernoulli ay isang legacy ng Chebishev's theorem, dahil ang bahagi ng subdivision ay posible bilang arithmetic mean ng n independent alternative variable values, ang parehong batas ay maaaring subdivided.

18. Pagsusuri sa matematika ng mga discrete at non-stop na pagbabagu-bago at ang kanilang kapangyarihan.

Mga puntos sa matematika ang kabuuan ng mga likha ng lahat ay tinatawag

Para sa isang discrete drop-down na dami:

Para sa walang patid na drop-down na halaga:

Ang kapangyarihan ng pagpipino ng matematika:

1. Pagsusuri sa matematika ng pare-parehong halaga ng pinakabagong halaga: M(S)=S

2. Ang patuloy na multiplier ay maaaring sisihin para sa tanda ng pagpipino ng matematika, kaya M(kX)=kM(X).

3. Ang mathematical grading ng algebraic sum ng huling bilang ng variable values ​​ay ang kabuuan lamang ng їх mathematical grading, ibig sabihin. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Ang mathematical grading sa paglikha ng huling bilang ng mga independent variable values ​​ay kapareho ng paglikha ng kanilang mathematical grading: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Kung ang lahat ng mga halaga ng halaga ng vipadkovoї ay binago (binago) ng pare-pareho, pagkatapos ay sa pamamagitan ng tsyu w ang pare-parehong Z ay nadagdagan (binago) sa matematika, ang halaga ng halaga ng vipadkovy ay: M(X±C)=M(X)±C.

6. Mathematical grading ng variable value sa anyo ng її mathematical grading sa zero: M=0.