Alamin ang pinakamahalagang function ng numero. Ang pinakamahalaga at hindi gaanong mahahalagang tungkulin ng ilang pagbabago sa rehiyon. Mga pag-andar ng maraming pagbabago

Paghirang 1.11 Hayaang itakda ang tungkulin ng dalawang tagapagpalit z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - panloob na punto ng lugar D .

Pumasok si Yakscho D є ganoong kapitbahayan UM 0 mga batik M 0 , na para sa lahat ng puntos

tapos isang batik M 0 ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto. At ang kahulugan z(M 0 ) - lokal na maximum.

At tungkol sa lahat ng mga puntos

tapos isang batik M 0 ay tinatawag na punto ng lokal na minimum ng function z(x,y) . At ang kahulugan z(M 0 ) - Lokal na minimum.

Ang lokal na maximum at lokal na minimum ay tinatawag na local extrema ng function z(x,y) . Sa fig. 1.4 ipinaliwanag geometric zmist lokal na maximum: M 0 - ituro ang pinakamataas, sa kung ano ang nasa ibabaw z = z(x, y) malinaw na punto C 0 upang malaman ang mas mahusay para sa anumang iba pang dahilan C (Alin ang may pinakamataas na lokalidad).

Sa paggalang, may mga tuldok sa ibabaw (halimbawa, Sa ), kung alam mo pa C 0 , ale qi dots (halimbawa, Sa ) hindi є "judicial" na may tuldok C 0 .

Zocrema, punto Sa kinukumpirma ang pag-unawa sa global maximum:

Katulad nito, ang pandaigdigang minimum ay tinutukoy:

Ang kaalaman sa mga pandaigdigang maximum at minimum ay tatalakayin sa talata 1.10.

Theorem 1.3 (kinakailangang extremum).

Hayaang maitakda ang function z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Lokal na extremum point.

Anong meron ka z" x і z" y , pagkatapos

Ang geometric na kumpirmasyon ay "malinaw." Anong susunod C 0 sa (Larawan 1.4) upang gumuhit ng isang dotically flat na lugar, mayroong "natural" na pumasa nang pahalang, ibig sabihin, sa ilalim ng hood 0° sa axis Oh ako sa axis OU .

Ang parehong napupunta para sa isang geometric na pagbabago ng mga pribadong kamag-anak (Larawan 1.3):

kung ano ang kailangang dalhin.

Paghirang 1.12.

Anong susunod M 0 isipin (1.41), pagkatapos ito ay tinatawag na nakatigil na punto ng function z (x, y) .

Theorem 1.4 (sapat na isip para sa extremum).

Hayaan mo akong magtanong z = z (x, y), (x, y) D , dahil maaaring may mga pribadong kaganapan sa ibang pagkakasunud-sunod sa paligid ng punto M 0 (x 0 ,y 0 ) D . At bakit M 0 - Nakatigil na punto Kalkulahin natin:

Ang patunay ng Vicorist theorem sa pamamagitan ng mga (Taylor's formula ng function ng isang bilang ng mga variable at ang teorya ng quadratic forms), na hindi isinasaalang-alang ng sinumang katulong.

puwit 1.13.

Pumunta sa extremum:

1. Alam natin ang mga nakatigil na punto na sumisira sa sistema (1.41):

kaya nakahanap kami ng ilang nakatigil na mga punto. 2.

pagkatapos ng Theorem 1.4, ang mga puntos ay may pinakamababa. At bakit

ayon sa Theorem 1.4 sa punto

Pinakamataas. At bakit

§10 Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ng dalawang variable sa isang saradong lugar

Theorem 1.5 Let go malapit sa isang saradong rehiyon D function ay nakatakda z = z(x, y) , na maaaring walang pagkaantala sa mga pribadong biyahe sa unang order. Cordon G mga rehiyon D є shmatkovo makinis (na nakatiklop mula sa shmatkіv "smooth on dotik" curves o straight lines). Todi sa rehiyon D function z(x,y) abutin ang iyong pinakamagaling M at least m halaga.

Nang walang kumpirmasyon.

Maaari mong palaganapin ang susunod na plano ng pagsaway M і m . 1. Magiging upuan tayo, makikita natin ang lahat ng bahagi ng kordon ng rehiyon D at alam namin ang lahat ng "kutovі" na mga punto ng cordon. 2. Alam natin ang mga nakatigil na punto sa gitna D . 3. Ang mga nakatigil na punto ng balat mula sa mga cordon ay kilala. 4. Kalkulahin sa lahat ng nakatigil at tuktok na mga punto, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaraming M at least m ibig sabihin.

Kaso 1.14 Alamin pa M at least m halaga ng function z = 4x2-2xy+y2-8x malapit sa saradong lugar D , nilimitahan: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Ilipat natin ang lugar D (Larawan 1.5) sa patag Ohu .

Mga puntos ng Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordon G mga rehiyon D ay binubuo ng tatlong bahagi:

2. Alam natin ang mga nakatigil na punto sa gitna ng rehiyon D :

3. Nakatigil na mga punto sa mga kordon l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Anim na halaga ang binibilang:

Mula sa pag-alis ng anim na halaga, piliin ang pinakamarami at pinakamaliit.

Theorem 1.5 Let go malapit sa isang saradong rehiyon D function ay nakatakda z = z(x, y) , na maaaring walang pagkaantala sa mga pribadong biyahe sa unang order. Cordon G mga rehiyon D є shmatkovo makinis (na nakatiklop mula sa shmatkіv "smooth on dotik" curves o straight lines). Todi sa rehiyon D function z (x, y) abutin ang iyong pinakamagaling M at least m halaga.

Nang walang kumpirmasyon.

Maaari mong palaganapin ang susunod na plano ng pagsaway M і m .
1. Magiging upuan tayo, makikita natin ang lahat ng bahagi ng kordon ng rehiyon D at alam namin ang lahat ng "kutovі" na mga punto ng cordon.
2. Alam natin ang mga nakatigil na punto sa gitna D .
3. Ang mga nakatigil na punto ng balat mula sa mga cordon ay kilala.
4. Kalkulahin sa lahat ng nakatigil at tuktok na mga punto, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaraming M at least m ibig sabihin.

Kaso 1.14 Alamin pa M at least m halaga ng function z = 4x2-2xy+y2-8x malapit sa saradong lugar D , nilimitahan: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Ilipat natin ang lugar D (Larawan 1.5) sa patag Ohu .

Mga puntos ng Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordon G mga rehiyon D ay binubuo ng tatlong bahagi:

2. Alam natin ang mga nakatigil na punto sa gitna ng rehiyon D :

3. Nakatigil na mga punto sa mga kordon l 1 , l 2 , l 3 :

4. Anim na halaga ang binibilang:

Mag-apply

halimbawa 1.

Ang function na ito ay itinalaga sa lahat ng nagbabagong halaga x і y , crim the cob of coordinates, de znamennik turns to zero.

Rich Member x2+y2 walang patid na usudi, at samakatuwid ay walang patid na square root ng isang walang patid na function.

Magiging walang patid ang pag-drib sa lahat ng dako, Crimea dot, de banner to zero. Ang function na iyon, na tinitingnan, ay walang tigil sa buong coordinate plane Ohu , kabilang ang cob ng mga coordinate.

puwit 2.

Sundin ang function para sa kaligtasan z=tg (x, y) . Tangent ng mga halaga at walang pagkagambala para sa lahat mga huling kahulugan argumento, crim value, katumbas ng hindi ipinares na bilang ng magnitude π /2 , pagkatapos. kasama ang mga puntos, de

Na may cutaneous fixed "k" Ang equation (1.11) ay nagpapahiwatig ng hyperbole. Samakatuwid, ang function na є walang tigil na pag-andar x at y kabilang ang mga puntong nasa kurba (1.11).

halimbawa 3.

Alamin ang mga pribadong panlabas na function u=z-xy , z > 0 .

puwit 4.

Ipakita kung ano ang function

nasiyahan sa pagkakapareho:

– ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto para sa lahat ng mga punto M(x; y; z) cream point M 0 (a; b; c) .

Tingnan natin ang function na z=f(x, y) ng dalawang independent variable at i-install ang geometric substitution ng private variables z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Kaninong isip ay pantay z=f (x, y) є leveling ng ibabaw (Larawan 1.3). Hinawakan patag y = const . Sa pererizі tsієї mababaw na ibabaw z=f (x, y) vide deyka line l 1 peretina, vzdovzh na nagbabago ng mas mababa sa laki X і z .

Private trip z" x (її geometric shift na walang gitnang vyplyaє z na kilala sa amin na geometric na kahulugan ng isang katulad na pag-andar ng isang variable) ay ayon sa bilang na nakahihigit sa tangent ng kuta α may sakit, sa pamamagitan ng extension sa ehe Oh , shodo L1 sa kurba l 1 , scho na pumunta malapit sa ibabaw z=f (x, y) patag y = const sa punto M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Sa retina at sa ibabaw z=f (x, y) patag X = const malawak na linya peretina l 2 , vzdovzh na mababago sa magnitude sa і z . Todi pribadong saya z" y numerical superior sa tangent ng kuta β nahilu sa pamamagitan ng extension sa axis OU , shodo L2 sa tinukoy na linya l 2 peretina sa mga tuldok M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Halimbawa 5.

Anong uri ng kutvoruє іz vіssyu Oh dotichna sa linya:

sa punto M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo geometric na pagpapalit ng isang pribadong kapalit para sa isang kapalit X (sa mabilis sa ):

Halimbawa 6.

Zgidno (1.31):

Halimbawa 7.

Vvayayuchi, scho equal

implicitly na tukuyin ang isang function

alam z" x , z" y .

Para sa kadahilanang ito (1.37) kailangan namin ng ebidensya.

Halimbawa 8.

Pumunta sa extremum:

1. Alam natin ang mga nakatigil na punto na sumisira sa sistema (1.41):

kaya nakahanap kami ng ilang nakatigil na mga punto.
2.

pagkatapos ng Theorem 1.4, ang mga puntos ay may pinakamababa.

At bakit

4. Anim na halaga ang binibilang:

Mula sa pag-alis ng anim na halaga, piliin ang pinakamarami at pinakamaliit.

Listahan ng panitikan:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. Mahusay na matematika para sa mga ekonomista I semester: Express course. - M.: Bagong kaalaman, 2002. - 140 p.

ü Gusak A. A. Pagsusuri sa matematika at pagkakahanay ng kaugalian. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Vishcha matematika. Gabay sa heading para sa mga mag-aaral sa unibersidad sa 2 volume. - Mn., 1998. - 544 p. (1 vol.), 448 p. (2 tonelada).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Mathematics for Economists: A Handbook for Universities / Ed. ang prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. ako. na sa. Vishcha matematika. Zagalniy course: Pidruchnik / Zag. ed. S. A. Samal. - Mn.: Vish. paaralan, 2000. - 351 p.

Parami nang parami ang kahulugan

Ang function, na napapalibutan sa isang saradong lugar, ay umaabot sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito, alinman sa mga nakatigil na punto, o sa mga puntong nasa hangganan.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function, ito ay kinakailangan:

1. Maghanap ng mga nakatigil na punto na nasa gitna ng rehiyong ito, at kalkulahin ang mga halaga ng function para sa kanila.

2. Alamin ang pinakamaraming (least) na halaga ng function ng inter-region.

3. I-equalize ang lahat ng negatibong value ng function: ang pinakamalaki (mas mababa) at magiging pinakamalaking (maliit) value ng function para sa gallery na ito.

puwit 2. Hanapin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function: y .

Solusyon.

ang punto ay nakatigil; .

2 . Ang hangganan ng saradong lugar ay ang singsing, de.

Ang function ng inter-region ay nagiging function ng isang pagbabago: , de . Alam namin ang pinakamahalaga at hindi gaanong mahahalagang function.

Para sa x = 0; (0,-3) at (0,3) ay mga kritikal na puntos.

Kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng wreath

3 . Porivnyuyuchi mizh kanyang sarili otrimuemo,

Sa puntong A at B.

Sa mga puntong C at D.

halimbawa 3. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa saradong lugar, dahil sa hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon. Ang lugar є trikutnik, palibutan natin ang mga axes ng mga coordinate і na may tuwid na linya x + y = 1.

1. Alam namin ang mga nakatigil na punto sa gitna ng rehiyon:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Ang nakatigil na punto ay hindi kabilang sa lugar na ito, kaya ang halaga ng z sa loob nito ay hindi kinakalkula.

2 .Doslіdzhuєmo function sa cordon. Ang mga shards ng hangganan ay nabuo mula sa tatlong dіlyanki, na inilarawan ng tatlong magkakaibang katumbas, doslіdzhuєmo function ng balat dіlantsі okremo:

a) div 0A: y=0- katumbas ng 0A, pagkatapos ; mula sa pantay ay malinaw na ang function ay tumataas ng 0A mula 0 hanggang 1. Mean .

b) sa layo na 0B: x = 0 - ang distansya 0B, pagkatapos; -6y + 1 = 0; - Kritikal na punto.

sa) sa direktang x + y = 1: y = 1-x, pagkatapos ay kunin namin ang function

Kinakalkula namin ang halaga ng function na z sa puntong B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi numero otrimuemo, scho

Sa tuwid na AB.

Sa punto B.

Pagsubok para sa kaalaman sa pagpipigil sa sarili.

isa. Extremum function – ce

a) її pokhіdnі unang order

b) її katumbas

c) її iskedyul

d) її maximum at minimum

2. Ang sukdulan ng paggana hangga't maaari ay maaaring maabot:

a) lamang sa mga punto na nasa gitna ng itinalagang lugar, kung saan ang mga pribadong halaga ng unang order ay mas malaki kaysa sa zero

b) lamang sa mga punto na nasa gitna ng itinalagang lugar, kung saan ang mga pribadong halaga ng unang order ay mas mababa sa zero

c) lamang sa mga punto na nasa gitna ng itinalagang lugar, kung saan ang mga pribadong halaga ng unang pagkakasunud-sunod ay hindi katumbas ng zero

d) lamang sa mga punto na nasa gitna ng itinalagang lugar, kung saan ang mga pribadong pagkakatulad ng unang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero

3. Isang function na walang tigil sa isang saradong lugar, na umaabot sa pinakamataas at pinakamababang value nito:

a) sa mga nakatigil na punto

b) alinman sa mga nakatigil na punto, o sa mga puntong nasa pagitan ng rehiyon

c) sa mga puntong nasa pagitan ng rehiyon

d) sa lahat ng punto

4. Mga nakatigil na puntos para sa paggana kung gaano karaming mga variable ang tinatawag na mga puntos:

a) para sa ilang u

b) ang ilan sa mga ito ay may mga pribadong first-order na pagkakaiba na mas malaki sa zero

c) para sa ilan sa mga ito, ang unang-order na mga pribadong pagbabago ay katumbas ng zero

d) para sa ilan sa kanila, ang mga pribadong pag-uugali ng unang pagkakasunud-sunod ay mas mababa sa zero

Hayaang maputol ang function na y = f (x) ng hangin. Tila, ang gayong pag-andar ay umabot sa pinakamalaki nito. yung hiring. halaga. Maaaring kunin ang function na ito sa panloob na punto ng window, o sa hangganan ng window, tobto. sa = a o = b. Tulad ng isang punto upang masubaybayan ang gitna ng mga kritikal na punto ng isang naibigay na function.

Ginagawa namin ang panuntunan ng halaga ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa:

1) matukoy ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan (a, b);

2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;

3) kalkulahin ang halaga ng pag-andar ng kintsyah vіdrіzka, tobto. sa mga puntong x=a at x=b;

4) ang average ng mga kinakalkula na halaga ng function ay upang piliin ang pinakamarami at hindi bababa sa.

Paggalang:

1. Kung ang function na y = f (x) ay may higit sa isang kritikal na punto sa bawat vdrіzku at nanalo є ang punto ng maximum (minimum), pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay nakakakuha ng pinakamalaking (hindi bababa) na halaga.

2. Dahil ang function na y=f(x) ay walang kritikal na puntos, nangangahulugan ito na ang function ay monotonously tumaas at bumababa para sa bago. Gayundin, dinadala ng function ang maximum na halaga nito (M) sa isang dulo ng stroke, at ang pinakamaliit (m) sa kabilang dulo.

60. Mga kumplikadong numero. Formula de Moivre.
kumplikadong numero pangalan viraz isip z = x + iy, de x at y - diysnі numero, at ako - tinatawag na. halatang kalungkutan. Kung x=0, ang bilang na 0+iy=iy ay nagra-rank. ipakita natin ito sa pamamagitan ng numero; kahit na y=0, ang numerong x+i0=x ay naka-map sa kasalukuyang numerong x, ngunit nangangahulugan ito na ang impersonal na R ng lahat ng mga function. mga numero yavl. sa ilalim ng multiplicity ng impersonal Z usikh kumplikadong mga numero, pagkatapos. . Numero x mga pangalan ang decimal na bahagi z, . Dalawang kumplikadong numero і ay tinatawag na pantay (z1=z2) kahit na at isang beses lamang, kung ang mga pantay na bahagi at pantay na bahagi ay pantay: x1=x2, y1=y2. Zocrema, ang complex number Z=x+iy ay katumbas ng zero at pagkatapos ay kung x=y=0. Ang mga konsepto ng "mas malaki" at "mas mababa" para sa mga kumplikadong numero ay hindi ipinakilala. Dalawang kumplikadong numero z \u003d x + iy і, na isinasaalang-alang lamang ng tanda ng tahasang bahagi, ay tinatawag na nakuha.

Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

Kung ang isang kumplikadong numero z = x + iy ay maaaring katawanin ng isang punto M(x,y) ng eroplanong Oxy na ang x=Re z, y=Im z. Una, ang skin point M(x;y) ng coordinate plane ay maaaring gamitin bilang imahe ng complex number z = x + iy. Ang lugar, kung saan ipinapakita ang mga kumplikadong numero, ay tinatawag na kumplikadong lugar, dahil kailangan niyang isinungaling ang tunay na mga numero z = x + 0i = x. Ang lahat ng mga ordinate ay tinatawag na tahasang mga vertices, sa katotohanan na dito namamalagi ang maliwanag na kumplikadong mga numero z = 0 + iy. Ang complex number Z=x+iy ay maaaring ipasok sa likod ng auxiliary radius vector r=OM=(x,y). Ang haba ng vector r, na kumakatawan sa complex number z, ay tinatawag na modulus ng numerong ito at tinutukoy ng | z | o r. Rozmir kuta mizh poklade. Direkta sa totoong axis, ang vector r, na kumakatawan sa isang kumplikadong numero, ay tinatawag na argumento ng kumplikadong numero, na tinutukoy ng Arg z o . Ang argumento ng complex number Z = 0 ay hindi itinalaga. Ang argumento ng isang kumplikadong numero - ang halaga ay napakahalaga at sinusukat nang may katumpakan hanggang sa dodanku, de arg z - ang pangunahing halaga ng argumento, ilagay sa espasyo (), pagkatapos. - (Minsan bilang head value ng argument, kunin ang value na dapat maglaman ng gap (0; )).

Ang pagsulat ng bilang na z bilang z=x+iy ay tinatawag na algebraic na anyo ng isang kumplikadong numero.

Dії sa mga kumplikadong numero

Addendum. Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero na z1=x1+iy1 at z2=x2+iy2 ay isang kumplikadong numero na katumbas ng: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay maaaring magbago at magbago ng kapangyarihan: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vіdnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya yak dіya, zvorotne dodavannya. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kumplikadong numero na z1 at z2 ay tinatawag na isang kumplikadong numero z na, kapag idinagdag sa z2, ay nagbibigay ng bilang na z1, iyon ay. z = z1-z2, kaya z + z2 = z1. Tulad ng z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, madaling alisin ang z sa takdang-aralin na ito: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). maramihan. Ang complement ng complex number z1=x1+iy1 at z2=x2+iy2 ay isang complex number na katumbas ng z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, at vyplyaє: . Tulad ng bilang ng mga takdang-aralin para sa trigonometric form: .

Kapag ang mga kumplikadong numero ay pinarami, ang kanilang mga module ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag. Formula ng De Moivre(pati na rin ang є n multiplier at parehong mabaho): .

Sa pagtatapos ng 2020, ang NASA ay naglulunsad ng isang ekspedisyon sa Mars. Ihatid ang spacecraft sa Mars gamit ang isang electronic carrier na naglalaman ng mga pangalan ng lahat ng rehistradong kalahok sa ekspedisyon.

Pagpaparehistro ng mga kalahok sa boto. Kunin ang iyong tiket sa Mars para sa mga pagpapala.

I-like ang post na ito, kapag nalutas na ang iyong problema, o pagiging karapat-dapat lang sa iyo, ibahagi ang iyong lakas sa iyong mga kaibigan sa mga social network.

Kailangan mong kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon ng code na ito sa code ng iyong web page, sa pagitan ng mga tag і o pagkatapos lang ng tag . Sa likod ng unang bersyon ng MathJax, mas gusto ang mas maliit at hindi gaanong tacky na bahagi. Awtomatikong pinipili at ina-upgrade ng Natomist ang isa pang opsyon sa pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung maglalagay ka ng ibang code, mas magiging interesado ang mga panig, kaya hindi mo na kailangang patuloy na sundin ang mga update sa MathJax.

Paganahin ang MathJax sa pinakasimpleng paraan sa Blogger o WordPress: magdagdag ng widget sa checkout panel ng site, ang mga destinasyon para sa pagpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o isa pang opsyon sa engagement code na ipinakita sa itaas, at baguhin ang laki ng widget na mas malapit sa tuktok ng template (bago ang pagsasalita, hindi namin kailangan ng bagong 'wika) , ang mga script ng MathJax na script ay ini-invoke nang asynchronously). Mula sa lahat. Ngayon suriin ang syntax ng MathML, LaTeX at ASCIIMathML, at handa ka nang magpasok ng mga mathematical formula sa mga web page ng iyong site.

Chergovy bago ang Bagong Bato... ang panahon ay nagyelo, ang mga snizhinki sa shibtsі... Lahat ay nag-udyok sa akin na magsulat muli tungkol sa... fractals, at tungkol sa mga nakakaalam tungkol sa Wolfram Alpha. Іz thogo drive є tsіkava stattya, sa yakіy є pigi ng two-dimensional fractal structures. Kaagad, makikita ng mundo ang mga nakatiklop na butts ng mga trivial fractals.

Ang isang fractal ay maaaring biswal na maipakita (inilarawan), tulad ng isang geometric na pigura o isang katawan (lumulutang sa hangin, na hindi rin personal, sa partikular na uri na ito, impersonal na tuldok), ang mga detalye na gumagawa ng ganoong hugis, tulad ng figure mismo. Tobto tse self-similar structure, tinitingnan ang mga detalye na parang pinalaki, gayahin ang mismong anyo na walang pagpapalaki. Katulad nito, sa isang visually striking geometric figure (hindi isang fractal), na may higit pang mga maliliit na detalye, na parang isang simpleng anyo ay maaaring gawin, ang figure ay mas mababa. Halimbawa, kapag natapos mo ang malaking bahagi ng ellipse, mukhang isang tuwid na puno. Hindi ito ang kaso ng mga fractals: para sa anumang uri ng pagpapabuti, uulitin namin ang parehong form na natitiklop, na parang may mga pagpapabuti sa balat, ulitin nang paulit-ulit.

Si Benoit Mandelbrot, ang nagtatag ng agham ng fractals, ay sumulat sa kanyang artikulong Fractals and Mystery sa pangalan ng agham: pormal na anyo. Iyon ay, kung ang isang bahagi ng fractal ay palakihin sa lawak ng kabuuan, ito ay makikita bilang isang buo, o eksakto, o, marahil, na may bahagyang pagpapapangit.