Invariance ng unang differential ng isang function ng maraming variable. Folding function differential invariance ng anyo ng implicit function differential ay katumbas ng eroplano at normal sa ibabaw

Namin bachili na ang kaugalian function ay maaaring nakasulat sa form:
(1),

yakscho є malayang pagbabago. Halika na є collapsible function , pagkatapos.
,
at doon
. Ano ang iba pang mga function
і
patunayan mo yan
parang foldable function. Differential
o. ale
at maaari tayong magsulat
, pagkatapos. otrimali viraz para sa
yak i (1).

Visnovok: tama ang formula (1) kung at kailan Ang є ay isang malayang pagbabago, kaya nasa mood ito, kung є gumana bilang isang malayang pagbabago . Sa unang mood pіd
maunawaan ang pagkakaiba ng malayang pagbabago
, ang isa ay may differential function (kung saan
, parang vzagali). Tsya power saving form (1) at tinatawag invariant form ng differential.

Ang invariance ng anyo ng differential ay nagbibigay ng mga benepisyo kapag kinakalkula ang mga pagkakaiba ng mga function ng natitiklop.

Halimbawa: mangyaring kalkulahin
. Ang Nezalezhnaya sa karagdagan, ang fallow chi ay independiyente sa minahan maaari naming isulat. Yakscho - function, halimbawa
, saka natin malalaman
na, ang koristyuyuchis іnvariantnіstyu na mga anyo ng kaugalian, ay maaaring may karapatang magsulat.

§labing walo. Pokhіdnі naivishchih orderіv.

Hayaang maiiba ang function na y \u003d  (x) sa kasalukuyang gap X, (upang ito ang huling y 1 \u003d  1 (x) sa skin point ng gap na iyon). Ang Todі 1 (x) є y X mismo ay isang function sa x. Siguro, ngunit sa ilang mga punto, ang chi override sa lahat ng x 1 (x) mismo ay maaaring mawala, kung gayon. іsnuє pokhіdna vіd pokhіdnoї (y 1) 1 \u003d ( 1 (x) 1. Para sa anong uri ng її ang tinatawag na isa pang pokhіdnoy o pokhіdnoy ng ibang pagkakasunud-sunod. pіdkreslity, na pokhіdna sa t.x 0,

y 11 / x \u003d x 0 o 11 (x 0) o d 2 y / dx 2 / x \u003d x 0

pokhіdna sa 1 ay tinatawag na pokhіdnaya ng unang pagkakasunud-sunod, o ang unang pokhіdnoy.

Ang Otzhe, katulad ng ibang pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na katulad na function sa isang katulad na unang pagkakasunud-sunod.

Sa kabuuan, sa katulad na paraan, ang pokhidna (doon, deva vona) sa ibang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na pokhidna ng ikatlong pagkakasunud-sunod, o ang ikatlong pokhidna.

Mean (y 11) 1 \u003d y 111 \u003d 111 (x) \u003d d 3 y / dx 3 \u003d d 3  (x) / dx 3

Ang mga function na y = (x) ay pinangalanang katulad ng n-th order ng function. (bilang mga baho ay kilala, zvіsno).

magpahiwatig

Basahin: n-a pokhіdna vіd y, vіd (x); d n at d x sa n-th.

Pang-apat, panglima, masyadong payat. ang pagkakasunud-sunod ay hindi manu-manong ipinapahiwatig ng mga stroke, upang isulat ang numero sa mga arko sa halip  v (x) isulat  (5) (x).

Sa mga braso, upang hindi malihis ang n-th order ng pareho at ang n-th stage ng function.

Pokhіdnі order, vyschі para sa una, tawagan ang pokhіdnim ng mas mataas na mga order.

Mula sa pinakamahalagang punto, malinaw na para sa pagkilala sa n-ї pokhіdnoї kinakailangang malaman ng sunud-sunod ang lahat ng pasulong mula sa 1st hanggang (n-1)-ої.

Mag-apply: 1) y \u003d x 5; y 1 \u003d 5x 4; y 11 = 20x3;

y 111 = 60x2; y (4) = 120x; y (5) = 120; y(6) = 0, ...

2) y = e x; y 1 \u003d e x; y 11 = e x; ...;

3) y \u003d sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinх;

Magalang na ang isang kaibigan ay maaaring isang singing mechanical shifter.

Tulad ng una ay tulad ng isang landas sa oras at ang bilis ng isang tuwid na linya na hindi pantay na paggalaw

V \u003d ds / dt, de S \u003d f (t) - katumbas ng paggalaw, pagkatapos ay V 1 \u003d dV / dt \u003d d 2 S / dt 2 - ang bilis ng pagbabago ng bilis, tobto. mabilis na pagmamadali:

a \u003d f 11 (t) \u003d dV / dt \u003d d 2 S / dt 2.

Otzhe, ang landas ng kaibigan ay nawala pagkatapos ng isang oras, є mas maaga ang punto ng pagbabago - kung kanino ang mechanical zmist isa pang pokhіdnoy.

Sa isang bilang ng mga vipadkіv vdaєtsya magsulat ng viraz pokhіdnoї kahit anong pagkakasunud-sunod, na dumadaan sa gitna.

Mag-apply:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y = isang x; y 1 \u003d a x lna; y 11 \u003d a x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y = x; y 1 = αx α-1; y 11 =
; y (p) \u003d α (α-1) ... (α-n + 1) x α-n, na may =n siguro

y (n) = (x n) (n) = n! Pokhіdnі order vishchevsі katumbas ng zero.

y = sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinх; ... at iba pa.

y 1 \u003d kasalanan (x + /2); y 11 \u003d kasalanan (x + 2 /2); y 111 \u003d kasalanan (x + 3 /2); atbp., pagkatapos ay (n) \u003d (sinx) (n) \u003d kasalanan (x + n /2).

Madaling ipasok ang mga huling derivasyon at mga pandaigdigang formula:

1) (CU) (n) = C(U) (n); 2) (U ± V) (n) = U (n) ± V (n)

Ang formula para sa n-th na sunud-sunod na pagdaragdag ng dalawang function (U·V) (n) ay mas collaborative. Maaaring pangalanan ni Vaughn ang formula ni Leibnitz.

Alisin її

y = U V; y 1 \u003d U 1 V + UV 1; y 11 \u003d U 11 V + U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 \u003d U 11 V + 2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Katulad nito, ito ay kinuha

y (4) \u003d U (4) V + 4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) atbp.

Hindi mahalagang tandaan na ang mga tamang bahagi ng lahat ng mga formula na ito ay hinuhulaan ang layout ng mga hakbang ng binomial na U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 at iba pa. Ang mga deputy steps lang ng U at V ang dapat tumayo dito sa lower order. Podіbnіst bude lalo na povnim, akshcho otrimanih formula na isulat zamіst U і V, U (0) і V (0) , pagkatapos. 0-th pagkakatulad ng mga function na U at V (mga function mismo).

Ang pagpapalawak ng batas na ito sa kaso ng anumang n, inaalis namin ang formula

y(n) = (UV)(n) = U(n)V + n/1! U(n-1) V 1 + n(n-1)/2! U(n-2) V(2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-k+1)/K! U(k) V(n-k) +…+ UV(n) – Leibniz formula.

Stock: alam (e x x) (n)

(e x) (n) = e x, x 1 = 1, x 11 = 0 i x (n) = 0, kaya (e x x) (n) = (e x) (n) x + n/1 ! (e x) (n-1) x 1 \u003d e x x + ne x \u003d e x (x + n).

Ang formula para sa pagkakaiba ng isang function ay makikita

de - Pagkakaiba ng malayang pagbabago.

Ngayon ay magkaroon tayo ng isang collapsible (naiba-iba) na function, de. Ang parehong para sa formula ng isang katulad na function ng natitiklop ay kilala

kaya yak .

Otzhe, , pagkatapos. ang formula ng differential ay maaaring maging isa at parehong anyo para sa independiyenteng pagbabago para sa intermediate na argumento, na isang function, na nagpapaiba sa sarili nito.

Ang kapangyarihan ng Qiu ay tinatanggap na tinatawag na kapangyarihan invariance ng formula o ang anyo ng differential. Sa paggalang, ang scho ay hindi maganda para sa mga awtoridad.

Zvyazok mizh bezperevnіstyu at pagkita ng kaibhan.

Teorama (Kailangang pag-andar ng pagkakaiba-iba ng isip). Kahit na ang pag-andar ay naiiba sa isang punto, ito ay walang tigil sa puntong ito.

Nagdadala. Halika sa function y=f(x) naiiba sa mga puntos X 0 . Damo sa tsіy point zbіlshennya argument  X. Tinatanggal ng function ang pagtaas  sa. Alam namin.

Otzhe, y=f(x) walang patid sa punto X 0 .

Bunga. Yakscho X Ang 0 ay ang punto ng pag-unlad ng pag-andar, kung gayon ang pag-andar ay hindi naiiba.

Ang assertion, na naging theorem, ay hindi totoo. Mula bezperevnosti hindi viplivaet pagkita ng kaibhan.

Differential. Geometric zmist. Zastosuvannya kaugalian sa pinakamalapit na kalkulasyon.

appointment

Pagkakaiba ng pag-andar ay tinatawag na linear na bahagi ng function. Si Vaughn ay ipinapahiwatig bilang abo. Sa ganitong paraan:

Paggalang

Ang differential function ay nagiging pangunahing bahagi ng її zbіlshennya.

Paggalang

Inutusang ipakilala ang pag-unawa sa pagkakaiba sa argumento mula sa pag-unawa sa pagkakaiba ng function. Para sa appointment pagkakaibang argumentoє zbіlshennya argument:

Paggalang

Ang formula para sa kaugalian ng isang function ay maaaring isulat sa sumusunod na paraan:

Dapat nating aminin iyon

Otzhe, ang ibig sabihin ng tse, na maaari itong ipakita bilang isang malaking pagkakaiba - isang extension ng differential function sa argumento.

Geometric differential lock

Ang pagkakaiba ng function sa punto ay katumbas ng pagtaas sa ordinate ng tuldok, na iginuhit sa graph ng function sa punto, na nagpapatunay sa pagtaas ng argumento.

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Pokhіdna postіyna, pokhіdna sumi.

Huwag hayaan ang mga function na magmukhang masaya sa punto. Todi

1. pare-pareho masisisi mo ang badge ng good luck.

5. Differential pare-pareho katumbas ng zero.

2. Pokhіdna sumi/tingi.

Pokhіdna sumi/prinsipyo ng dalawang funktіnіy dоrіvnіuє sumіlіvіrіnі іnіhіd vіd derzhіnі їnії ї.

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Magsaya ka.

3. Pokhіdna robot.

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Pokhіdna natitiklop at nagiging function.

5. Pag-andar ng natitiklop.

Pokhіdna foldable function dorovnyuє pokhіdnіy tsієї funktsії sa likod ng intermediate argument, pinarami ng pokhіdnu vіd intermediate argument sa likod ng pangunahing argumento.

Maaaring ako ay pokhіdnі vіdpovіdno sa punto. Todi

Teorama

(Tungkol sa patay na function)

Kung ang pag-andar ay walang tigil at mahigpit na monotoniko sa tunay na kapitbahayan ng punto, ito ay naiiba sa ika- punto, kung gayon ang nababaligtad na pag-andar ay maaaring mawala sa punto, bukod pa rito .

Mga formula ng pagkita ng kaibhan. Mga function ng display ng Pokhіdna.

Paano ang pag-andar ng mga independiyenteng variable na nag-iiba, ngunit ang pinakabagong kaugalian dz ay mas advanced? g, y) patunayan at siguraduhin na ang function r = f(x, y) ay naiiba sa ith point. Geometric zmist bagong kaugalian Ang normal sa ibabaw na Yak ay makikita mula sa mga formula (2), w at w nang walang pagkagambala sa punto ((, *?). Samakatuwid, ang function ay naiiba sa punto, ito ay katanggap-tanggap na gamitin ang formula ng kabuuang kaugalian para sa function sa anyo ng mga independiyenteng pagbabago £ at m], marahil ay pinapalitan ang mga tamang bahagi ng pagkakapantay-pantay (3) w at w їх virases mula sa mga formula (2), maaari itong kunin bilang isang function ng isip sa isang punto (( ,17) ay maaaring walang patid na pribado, pagkatapos ay isang baho sa puntong ito ng pagkita ng kaibhan at isang sp_v_dnoshenie (4) і (5) Ipinapalagay na ang Equation ng mga formula (1) at (6) ay nagpapakita na ang bagong kaugalian ng function na z = / (i, y) ay ipinahayag ng formula ng parehong uri tulad ng sa kaso, kung ang mga argumento x at y ng function / (r, y) є Invalid serpentine, kaya sa vipad, kung ang argument ay nasa ang kanyang uod na may mga function ng mga senior snake.Na may ranggo ng isang kaugalian, ang pag-andar ng mga gawa ay makapangyarihan, ang Kintsevoye ay hindi isang pagtunaw.sa deakіy lugar G sa eroplano хОу. th interval (ho - Lo, ho + ^o) ay katumbas ng isang halaga ng y, tulad ng sabay-sabay mula sa x ay nakakatugon sa pantay na (1), ang function na y \u003d y (x) ay tinutukoy, kung saan ang pagkakapantay-pantay ay katumbas ng x y sa itinalagang pagitan. Sa ilang paraan, tila ang equation (1) ay nagpapahiwatig ng halaga bilang isang implicit function ng x. Sa madaling salita, ang function na itinalaga sa katumbas, na hindi pinapayagan, ay tinatawag na implicit function", ito ay nagiging tahasan, dahil ang paglitaw ng y species x ay itinakda nang walang tagapamagitan. Ilapat. ang halaga ng y ay tinukoy bilang isang natatanging function x. points. Tingnan natin ang kanilang mga graph sa xOy plane (Larawan 11). parallel transfers vzdovzh osі Oh irivoy r \u003d r sin y. Ito ay geometrically halata na sa balat x ang mga kurba x = y at r = t + c $ 1pu ay maaaring magkaroon ng isang punto sa linya, ang pagkakasunud-sunod sa yakіy є function vіd x, dahil ito ay itinalaga na katumbas ng (2) nang tahasan . Sa pamamagitan ng elementarya functions, staleness ay hindi ipinahayag. 3. Ang Rivnyannya para sa x sa susunod na araw ay hindi nagbabago sa paggana ng argumentong x. Sa gayong sensor, maaaring pag-usapan ng isa ang tungkol sa mga implicit na function ng ilang pagbabago. Ang teorama ay darating oo sapat na isip hindi malabo razvyaznostі equalization = 0 (1) schodo sa sevnіy labas ng ibinigay na punto (®o> Uo). Theorem 8 (ang pagkakaroon ng isang implicit function). Mag-isip tayo ng ganito: 1) ang function ay itinalaga at walang pagkagambala sa isang tiyak na parihaba na may gitna sa punto sa punto ang function na y) nagiging n\l; 3) ang tuwid na linya D ay walang interruption pribadong holidays positibong numero e may kapitbahayan tsієї paligid іsnuє єdin ^ walang tigil na pag-andar(1) function, vvazhayuchi іsnuvannya tsієї pokhіdnoї dalhin. Hayaan ang y \u003d f (x) - isang implicit na function na naiiba, ay katumbas ng (1). Pareho sa pagitan) ay maaaring pareho. Natitiklop na pagkakaiba ng function. Invariant form ng differential. Mga implicit na function. , y), kung ano ang hihiga sa curve, kung ano ang hihiga sa paligid ng punto (xo, yo) "maє coordinates, po'yazanі rivnyann Zvіdsi at y \u003d f (x) ay kinuha, na i, otzhe, Butt. Alamin ang j * bilang isang function y \u003d y (x), kung paano ito katumbas ng B sa partikular na uri na ito Zvіdsi z formula (3) Paggalang. Theorem Dahil sa mga kundisyon para sa paglikha ng isang implicit function, ang graph nito ay dadaan sa isang naibigay na punto (xo, yo). sapat, ngunit hindi kailangan. Sa kanan, maaari nating tingnan ang pagkakapantay-pantay Dito maaari tayong walang patid na mga pribadong pagbabago sa zero sa puntong 0(0,0). protesta, Pantay si Dane mayroon lamang isang solusyon, na katumbas ng zero sa Zavdannya. Hayaang ibigay ang equalization - ang function na nakakatugon sa equalization ay hindi malabo (P). 1) Ilang single-valued function (2") ang nasiyahan ka sa pantay na (!")? 2) Ang mga bilang ba ng single-valued non-recursive function ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay (!")? 4) Gaano karaming mga single-valued, hindi-permanenteng function ang nakakatugon sa "katumbas (1"), kaya hindi sapat na gawin ito? Ang theorem ay nakabatay, katulad ng Theorem 8, ngunit kung ang implicit function z - z(x, y) ay dalawang beses ang implicit function z - z(x, y), ito ay katumbas ng privatni pokhіdnі Todі para sa kung o hindi upang makamit maliit na e\u003e O mayroong malapit sa G2 point (®o»Yo) / kung saan mayroong isang walang tigil na function z - / (x, y), na tumatagal sa halaga sa x \u003d x0, y \u003d yo , what satisfies the minds and beasts of equals (4) at the sameness: With this, the function in the division of Q can be without interruption in private holidays and GG We know the virazi for these wicked ones. Tukuyin natin ang z bilang isang hindi malabo na pagkakaiba-iba ng function z = /(x, y) ng mga independiyenteng pagbabago. Kung ang layunin ng pagpapalit ng z ay upang kumatawan sa function na f(x, y), kung gayon ang pagkakapareho ay maaaring alisin, ang parehong ay totoo para sa x at y ng function na y, z), de z = /(z, y ), dahil din sa ngunit katumbas ng zero. Differentiation, alam natin ang mga pangalan ng mga formula na ibibigay sa kaibahan sa mga pribadong katulad na implicit function ng dalawang independent variable. puwit. Alamin ang pribadong proiaaodnіa vіd funktsії х(r,y) na nakatalaga sa katumbas ng 4 Maєmo zvіdki §11. Dotichnaya eroplano at normal sa ibabaw 11.1. Front view Pumunta tayo sa ibabaw S itinalaga sa katumbas Hinirang*. Ang punto M(x, y, z) ng ibabaw (1) ay tinatawag na pangunahing punto ng ibabaw i, dahil sa puntong M lahat ng tatlo ay magkatulad at walang pagkagambala, bukod pa rito, kung isa lamang sa kanila ang makikita bilang zero . Kung sa mga puntong Mu, z) sa ibabaw (1) lahat ng tatlo sa kanila ay katumbas ng zero, o kung ang isa sa mga ito ay hindi pantay, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang espesyal na punto sa ibabaw. puwit. Makakakita tayo ng isang pabilog na kono (Larawan 13). Dito, ang cob ng mga coordinate 0(0,0,0) ay napaka-isa at manipis: sa puntong ito, ang mga pribadong pagkalugi ay nagiging zero nang sabay-sabay. kanin. 13 Tingnan natin ang open space curve L, na ibinigay ng parametric equalities, Hayaan ang mga function na makagalaw nang walang pagkaantala sa pagitan. Kabilang mula sa view ng mga partikular na punto ng curve, para sa ilan sa kanila - ang pinakamahalagang punto ng curve L, dahil ito ay nakasalalay sa mga halaga ng to parameter. Todі - vector, scho stosuetsya curves sa mga puntos. Ang nakikitang lugar ng surface ng Nehai surface 5 ay ibinibigay ng mga pagkakapantay-pantay. Kumuha tayo ng isang makabuluhang punto P sa surface S at gumuhit ng isang curve L sa pamamagitan nito, na nasa ibabaw at binibigyan ng mga parametric equalities. , wala kahit saan sa (a) p), na hindi bumabalik sa zero nang sabay-sabay. Para sa layunin, ang kurba L sa puntong P ay tinatawag na padaplis sa ibabaw 5 sa puntong ito. Ang L ay nasa ibabaw na S, antas (1 ) ilipat sa pagkakapareho ng t: Pagkita ng kaibhan ng pagkakapareho na may paggalang sa t, ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng function ng natitiklop, kinukuha namin ang Viraz sa kaliwang bahagi (3) є paglikha ng scalar ng dalawang vectors: curve L sa ika punto (Larawan 14). Kung ito ay nagkakahalaga ng vector p, pagkatapos ay magsinungaling lamang si vin sa anyo ng mga coordinate ng punto at ang uri ng function ^ "(x, y, z) at hindi magsinungaling sa anyo ng isang curve upang dumaan sa punto Р. vector n vіdmіnna vіd zero, Te, na isang scalar addition ay nangangahulugan na ang vector g, upang ang curve L ay nakatayo sa puntong P, patayo sa vector p sa qiy point (Fig. 14). point P i nakahiga sa ibabaw S. Pagkatapos, kung ito ay isang tuwid na linya patungo sa ibabaw 5 sa puntong P, ito ay patayo sa vector p, i, pagkatapos, lahat ng mga linya ng qi ay nasa parehong eroplano, patayo din sa ang vector p. lahat ng tuwid na linya na umaabot sa ibabaw 5, na dumadaan sa ibinigay na pangunahing punto P G 5, ay tinatawag na dotic surface plane sa puntong P (Fig. 15). sobrang P0 (®o, Uo" tsієї surfnі: Habang ang ibabaw 5 ay nakatakdang pantay, kung gayon, pagkatapos isulat ang tsієї і vglyadі otrimаєmo at ііnnja dіtіchі ї ploskoї і tochtsі, kung ganito ang hitsura 11. 3. Geometrical na pagbabago ng kabuuang differential Kung inilagay ang formula (7), hindi ito magiging tama \u003d / (x, y) dalawang independiyenteng pagbabago x at y sa punto M0, na tumataas- , Uo)) KAPAG dumaan mula sa puntong M0 (xo, Uo) hanggang sa punto - 11.4. Normal sa ibabaw Nakatalaga. Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong Po(ho, yo, tho) mula sa ibabaw na patayo sa tuldok na eroplano hanggang sa ibabaw sa puntong Po ay tinatawag na normal sa ibabaw sa puntong Pq. Vector) L ay isang direktang normal na vector, at її ang pagkakahanay ay maaaring magmukhang Tulad ng ibabaw 5 ay ibinibigay ng pagkakahanay, pagkatapos ay ang pagkakahanay ng normal sa punto) ay ganito ang hitsura: sa punto Dito Sa punto (0,0). ) (0,0,0) swells the offensive look: (hoy area). Equation ng normal

Ang Virase ng kabuuang pagkakaiba ng pag-andar ng ilan sa mga nababago mismo ay mukhang independiyente doon, na independiyente sa mga nababagong pag-andar ng iba pang mga independiyenteng nagbabago.

Ang patunay ay nakasalalay sa formula ng kabuuang pagkakaiba

Ano ang kailangan upang dalhin.

5. Pangkalahatang katulad na mga function- Pokhіdna funktsії pagkatapos ng isang oras vzdovzh traєktorії. Hayaang makita ang function at її ang mga argumento ay nasa oras: . Todi , de - mga parameter na nagtatakda ng tilapon. Gaano karaming mga function (sa punto) para sa ganoong ibang pribadong oras para sa isang oras (sa punto ng pag-alis) at maaaring kalkulahin gamit ang formula:

de - Mga pribadong pista opisyal. Makabuluhang, scho znachennja є razumnіm і hindi maє vіdnoshennia sa podіlu differentials. Bilang karagdagan, ang pinakamahalagang function na magdeposito ay hindi lamang sa anyo ng mismong function, kundi pati na rin sa anyo ng trajectory.

Halimbawa, may mga katulad na function:

Dito, walang mga shards sa kanilang sarili ("malinaw naman") na hindi mahulog sa tubig.

Bagong kaugalian

Bagong kaugalian

mga function f (x, y, z,...)

sa isang vіpadku, kung ito ay sumasabog sa harap ng kabuuang swell

f = f(x + x, y + y, z + z, ...) - f(x, y, z, ...)

sa pamamagitan ng isang halaga na hindi maiiwasang maliit sa mga tuntunin ng

Dotichnaya flat sa ibabaw

(X, Y, Z - kasalukuyang coordinate ng punto sa dottic plane; - radius-vector ng point; x, y, z - coordinate ng dotik point (valid para sa normal); - dotistic vectors sa coordinate lines ng ang dotik v = const u = const ; )

1.

2.

3.

normal sa ibabaw

3.

4.

Ang konsepto ng kaugalian. Geometric differential lock. Invariant form ng unang differential.

Tingnan natin ang function na y = f(x), na naiba sa puntong ito x. Ang pagtaas ng Dy її ay maiisip sa isang sulyap

Dy \u003d f "(x) Dx + a (Dx) Dx,

una sa lahat, ang karagdagan ay linearly Dx, at ang isa ay nasa puntong Dx = 0 isang walang katapusang maliit na function na mas malaki. mataas na pagkakasunud-sunod mas mababang Dx. Kung f "(x) № 0, ang unang karagdagan ay ang head na bahagi ng increment na Dy. Ang head na ito ay ang pagtaas ng linear function ng argument na Dx at tinatawag na differential ng function na y = f (x) . Kung f "(x) = 0, kung gayon ang differential ng function ang halaga ay katumbas ng zero.

Pagtatalaga 5 (differential). Ang differential ng function na y = f(x) ay ang pangunahing linear na distansya Dx na bahagi ng increment na Dy, na katulad ng pagtaas ng independiyenteng pagbabago

Mahalaga na ang pagkakaiba ng independiyenteng pagbabago ay malusog para sa pagtaas ng presyo ng pagbabago dx = Dx. Samakatuwid, ang formula para sa kaugalian ay tinatanggap na isulat sa paraang: dy = f "(x) dx. (4)

Z'yasuёmo ilang uri ng geometric zmіst kaugalian. Kunin ang graph ng function na y = f(x) ng sapat na punto M(x, y) (Fig. 21.). Iginuhit sa curve y \u003d f (x) sa punto M, upang makagawa ng f na may positibong direktang axis na OX, pagkatapos ay f "(x) \u003d tgf.

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

tapos dy = KN.

Kaya, ang differential ng function ay ang pagtaas ng ordinate na iginuhit sa graph ng function na y = f(x) sa qiy point, kung ang x ay kinuha na ang pagtaas sa Dx.

Makabuluhang ang pangunahing kapangyarihan ng pagkakaiba, bilang kahalintulad sa kapangyarihan ng mahihirap.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Sabihin nating isa pang kapangyarihan, na isang pagkakaiba, ngunit hindi ito maaaring masama. Tingnan natin ang function na y = f(u), kung saan u = f(x), kaya tingnan natin ang collapsible function na y = f(f(x)). Kung paanong ang mga function ng balat na f at f ay nagkakaiba, kung gayon ang mga function ng natitiklop ay katulad ng theorem (3) na mas mahusay na y" = f "(u) u".

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

dahil u "dx = du. Kaya dy = f" (u) du. (5)

Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang formula ng differential ay hindi nagbabago, upang ang pagpapalit ng function na x ay tumitingin sa function sa anyo ng isang pagbabago u. Inalis ng kapangyarihan ng differential ang pangalan ng invariance ng anyo ng unang differential.

Paggalang. Mahalaga na ang formula (4) ay may dx = Dx, habang ang formula (5) du ay may linear na bahagi lamang ng mas malaking function na u.

Ang integral na pagkalkula ay isang dibisyon ng mga mathematician, kung saan ang mga kapangyarihan ng pamamaraang iyon ng pagkalkula ng pagsasama at ang kanilang mga zastosuvannya ay baluktot. ako. sa. malapit na nauugnay sa mga pagkalkula ng kaugalian at pagdaragdag ng isa sa mga pangunahing bahagi ng mga ito