Axioms ng tunay na mga numero. Pag-follow-up ng mga axiom ng teorya ng mga numero

Ang mga numero ng pagsasalita, na ipinahiwatig sa pamamagitan ng (tinatawag na R ruban), ang pagpapatakbo ng pagdaragdag (“+”) ay ipinakilala, upang ang pares ng balat ng mga elemento ( x,y) na may mga numero ng impersonal na pagsasalita na inilalagay sa elemento ng vіdpovіdnіst x + y z tsієї w multiplier, mga pamagat sumo xі y .

Axioms ng plurality

Ang pagpaparami ng operasyon (“·”) ay ipinakilala, kaya ang pares ng balat ng mga elemento ( x,y) para sa mga numero ng impersonal na pagsasalita, maglagay ng elemento (kung hindi man, dinaglat, xy) s tsієї w multiplier, mga pamagat ng paglikha xі y .

Zvyazok dodavannya na maramihan

Axioms na mag-order

Sa gawain ng order "" (mas mababa sa isa), pagkatapos ay para sa taya x, y vykonuєtsya gustong maging isa sa mga isip abo.

Zv'yazok sa pagkakasunud-sunod na natitiklop

Zvyazok vіdnoshennia order na maramihan

Axiom ng pagpapatuloy

Komentaryo

Ang ibig sabihin ng axiom na ito Xі Y- dalawang walang laman na multiplier ng mga tunay na numero na mayroong anumang elemento ng X huwag baligtarin ang anumang elemento Y, pagkatapos ay maaari kang maglagay ng speech number sa pagitan nila. Para sa mga rational na numero ang axiom na ito ay hindi nagwagi; classic butt: kinikilalang positibong mga rational na numero at nakikita sa impersonality X ang mga numerong iyon, ang parisukat na kung saan ay mas mababa sa 2, at ang isa pa - hanggang sa Y. Todi mizh Xі Y hindi maaaring magpasok ng rational number (hindi rational number).

Ito ang pangunahing axiom na nagse-secure ng seguridad at sa gayon ay nagbibigay-daan para sa mathematical analysis. Para sa paglalarawan ng kahalagahan nito, hayaan mong ituro ko ang dalawang pangunahing implikasyon mula rito.

Pamana ng mga axiom

Kung walang intermediary axiom, ang mga deacon ay mahalaga sa kapangyarihan ng mga numero ngayon, halimbawa,

pagkakaisa ng zero,
ang pagkakaisa ng proliferative at virulence elements.

Panitikan

Zorich V. A. Pagsusuri sa matematika. Tomo I. M.: Fazis, 1997, bahagi 2.

Div. din

Posilannya

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan din ang "Axiomatics of real numbers" sa ibang mga diksyunaryo:

Ang pagsasalita, na isang tunay na numero, ay isang abstraction ng matematika, na nangangailangan ng vinikla z ang paggamit ng mga geometriko at pisikal na dami ng kinakailangang mundo, pati na rin ang pagsasagawa ng mga operasyon tulad ng pagkuha ng ugat, pagkalkula ng mga logarithms, mga solusyon.

Speech, chi aktwal na mga numero ay isang mathematical abstraction, what to serve, zokrema, ang pagpapakita ng pagkakatulad na iyon ng halaga ng mga pisikal na dami. Ang nasabing numero ay maaaring intuitive na kinakatawan bilang naglalarawan sa posisyon ng isang punto sa isang tuwid na linya.

Ang Wiktionary ay may artikulong "axiom" Axiom (sa Griyego ... Wikipedia

Isang axiom, dahil ginagamit ito sa iba't ibang mga sistema ng axiomatic. Axiomatics of real numbers Hilbert's axiomatics of Euclidean geometry Axiomatics of Kolmogorov's theory of imovirnosti ... Wikipedia

Sistema ng numero

Hulaan natin na ang natural na serye ay lumitaw para sa paglipat ng mga bagay. Ngunit kung gusto naming magtrabaho sa mga bagay, kailangan namin ng mga operasyon ng aritmetika sa mga numero. Tobto, kung gusto nating magtiklop ng mansanas o hatiin ang isang cake, kailangan nating isalin ang bilang ng mga numero.

Ito ay isang kahiya-hiyang paggalang na pagkatapos ng pagpapakilala ng mga operasyon + і * sa wika ng mga natural na numero ay kinakailangan upang magdagdag ng mga axiom na nagpapahiwatig ng kapangyarihan ng mga operasyong ito. Aletodes at impersonal natural na mga numero tezh lumalawak.

Namangha kami sa kung paano lumalawak ang impersonal na natural na mga numero. Ang pinakasimpleng operasyon, dahil ito ay kinakailangan para sa isa sa mga unang - ce dodavannya. Kung gusto nating magtalaga ng karagdagang operasyon, kinakailangan na magtalaga ng pagbabalik dito - isang desisyon. Totoo, tulad ng alam natin, na bilang resulta ng pagdaragdag, halimbawa, 5 at 2, kung gayon tayo ay nagkasala ng pagdaragdag sa pagkakasunud-sunod ng uri: kung ano ang kailangang idagdag sa 4, upang kumuha ng 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya natural na mga numero magbigay muli natural na numero, pagkatapos ay ang pagtingin sa mga natural na numero ay nagbibigay ng resulta na hindi akma sa N. Kailangan namin ng higit pang mga numero. Sa pamamagitan ng pagkakatulad ng isang makatwirang pangitain ng mas malaking bilang ipinakilala ng lesser boulo ang panuntunan ng vidnіmannya z lesser greater - kaya lumitaw ang bilang ng mga negatibong numero.

Bilang pagpupuno sa natural na serye na may mga operasyon + і - mi, nakarating kami sa mga impersonal na integer.

Z=N+operasyon(+-)

Sistema ng mga rational na numero yak mov arithmetic

Ngayon tingnan natin ito para sa folding diu - plural. Sa katunayan, ito ay isang bagatarase na karagdagan. І karagdagang bilang ng mga integer ay puno ng isang buong numero.

Ale, isang reverse operation sa isang maramihang - tse podіl. Ngunit malayo ito sa palaging nagbibigay ng magandang resulta. At muli, nahaharap tayo sa isang dilemma - o kung hindi, tanggapin na parang ang resulta ay hindi "maiintindihan", o hulaan ang bilang ng isang bagong uri. Kaya sinisi nila ang mga rational number.

Kumuha tayo ng isang sistema ng mga integer at dagdagan ito ng mga axiom, na tumutukoy sa pagpapatakbo ng multiplikasyon at sa ilalim. Inalis namin ang sistema ng mga rational na numero.

Q=Z+mga operasyon(*/)

Ama, ang wika ng mga makatwirang numero ay nagpapahintulot sa iyo na magtrabaho lahat ng mga operasyon sa aritmetika higit sa mga numero. Ang wika ng mga natural na numero ay hindi sapat.

Ipakilala natin sa axiomatically ang sistema ng mga rational na numero.

appointment. Ang impersonal na Q ay tinatawag na impersonality ng mga rational na numero, tulad ng mga elemento - mga rational na numero, bilang ang sumusulong na kumplikado ng mga isip, ang mga pamagat ay tinatawag na axiomatics ng mga rational na numero:

Axioms ng natitiklop na operasyon. Para sa be-like-ordered bet x,y mga elemento Q deyaky elemento x+yÎQ, ranggo sa kabuuan Xі sa. Kapag nanalo ka, mag-isip ng ganito:

1. (Isnuvannya zero) Iznuє elemento 0 (zero) tulad na para sa anumang XОQ

X+0=0+X=X.

2. Para sa anumang elemento X Q Q pangunahing elemento - XО Q (kabaligtaran X) ganyan

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Commuativity) Para sa kahit ano x,yО Q

4. (Associativity) Para sa anumang x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Mga Axiom ng pagpaparami ng pagpaparami.

Para sa be-like-ordered bet x, y mga elemento ng Q na itinalaga sa aktwal na elemento huÎ Q, mga pamagat ng paglikha Xі y. Kapag nanalo ka, mag-isip ng ganito:

5. (Isnuvannya solong elemento) Iznuє elemento 1 Q tulad na para sa kahit ano XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Para sa anumang elemento X Q Q , ( X≠ 0) pangunahing elemento X-1 ≠0 ganyan

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Associativity) Para sa mga bagay x, y, zО Q

X . (sa . z) = (x . y) . z

8. (Commuativity) Para sa kahit ano x, yО Q

Ang Axiom zv'azku ay nakatiklop at dumami.

9. (Distributive) Para sa kahit ano x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Ang mga axiom ay nasa pagkakasunud-sunod.

Maging tulad ng dalawang elemento x, y, Q Q magsisimula sa dulo ng linya ≤. Kapag nanalo ka, mag-isip ng ganito:

10. (X≤sa)L ( sa≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Para sa be-yakah x, yО Q o x< у, либо у < x .

Setting< называется строгим неравенством,

Ratio = tinatawag na pagkakapantay-pantay ng mga elemento ng Q.

Axiom zv'yazku dodavannya na order.

13. Para sa anumang x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axiom zv'yazku mnozhennya na order.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Ang axiom ng perpetuity ni Archimedes.

15. Kung a > b > 0, mayroon tayong m N at n Q upang m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Kaya, ang sistema ng mga rational na numero ay ang aritmetika ni Zem.

Prote, on the top of practical counting tasks, the movie is not enough.

Axiomatic na pamamaraan sa matematika.

Pangunahing pag-unawa at pag-unawa sa teorya ng axiomatic ng natural na serye. Paghirang ng isang natural na numero.

Pagdaragdag ng mga natural na numero.

Pagtaas ng natural na bilang.

Kapangyarihan ng multiplier ng mga natural na numero

Vіdnіmannya raspodіl natural na mga numero.

Axiomatic na pamamaraan sa matematika

Sa axiomatic prompting, ang ilang uri ng matematikal na teorya ay dinagdagan kantahin ang mga patakaran:

1. Deyakі maunawaan ang teorya vibirayutsya tulad ng major tinatanggap siya nang walang warrant.

2. Binubuo mga axiom, na tinatanggap ng mga teoryang ito nang walang patunay, na may kapangyarihang maunawaan ang mga pangunahing.

3. Naiintindihan ng balat ang teorya, upang hindi maghiganti sa listahan ng mga pangunahing, ibinibigay ito appointment, para sa isang bago, ito ay ipinaliwanag yogo zmist para sa tulong ng mga pangunahing at ang harap sa pag-unawa na ito.

4. Ang panukalang balat ng teorya, na hindi maaaring makaligtaan ng listahan ng mga axiom, ay maaaring maipaliwanag. Ang ganitong mga panukala ay tinatawag theorems at dalhin ang mga ito sa batayan ng mga axiom at theorems, na gagawing muli.

Ang sistema ng mga axiom ay maaaring:

a) walang konsiderasyon: kami ay nagkasala ng buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z ibinigay na sistema ng axioms, hindi dumating sa superechnosti;

b) malaya: wala sa mga axiom ang nagkasala sa mga sumusunod sa iba pang mga axiom ng system.

sa) muli, kahit na sa loob ng balangkas na ito, laging posible na dalhin ang chi ng kompanya, kung saan nakalista ang yogo.

Ang unang patunay ng axiomatic motivation ng teorya ay dapat isaalang-alang ng Euclid's book of geometry sa Yogo "Cobs" (3rd century e.). Isang makabuluhang kontribusyon sa pagbuo ng axiomatic method na nagbibigay inspirasyon sa geometry at algebra ay binuo ni N.I. Lobachevsky at E. Galois. Halimbawa, 19 st. Sinira ng Italian mathematician na si Peano ang isang sistema ng mga axiom para sa arithmetic.

Pangunahing pag-unawa at pag-unawa sa teorya ng axiomatic ng natural na numero. Paghirang ng isang natural na numero.

Bilang pangunahing (hindi makabuluhang) pag-unawa sa deakіy multiplicity N pumili shutter , at navіt vikoristovuyutsya theoretical-multiple understanding, і navіt ang mga patakaran ng logic.

Isang elemento na sumusunod sa elemento nang walang pagkaantala a, magpahiwatig a".

Tila nasiyahan ang "walang tagapamagitan para sa" sa mga paparating na axiom:

Axioms Peano:

Axiom 1. Sa walang mukha N іsnuє elemento, walang gitna hindi nakakasakit walang mga multiplier para sa anumang elemento. Tawagan natin ang yoga kalungkutan na sumasagisag 1 .

Axiom 2. Para sa elemento ng balat a h N pangunahing solong elemento a" , walang humpay na sumusulong para sa a .

Axiom 3. Para sa elemento ng balat a h Nіsnuє hindi hihigit sa isang elemento, kung saan ito ay sumusunod nang walang tagapamagitan a .

Axiom 4. Maging parang multiplier M walang mukha N spіvpadє z N , yakscho maє power: 1) 1 maghiganti sa M ; 2) mula sa ano a maghiganti sa M , susunod, ano ako a" maghiganti sa M.

Paghirang 1. Bezlich N , para sa mga elemento kung saan naka-install ang shutter "Sumunod ka agad", na nakakatugon sa axioms 1-4, ay tinatawag bezlіchchu natural na mga numero, at mga elemento ng yoga - natural na mga numero.

Ang hinirang na taong ito ay walang masasabi tungkol sa likas na katangian ng mga elemento ng multiplier N . Kaya, maaari kang naroroon. Vibirayuchi na parang walang mukha N ang araw ay isang tiyak na multiplier, kung saan ang isang tiyak na sanggunian ay ibinibigay "nang walang intermediary follow", na nakakatugon sa mga axioms 1-4, kinukuha namin ito modelo ng sistemang ito mga axiom.

Ang karaniwang modelo ng sistema ng mga axiom ni Peano ay isang serye ng mga numero, na siyang ugat ng proseso ng makasaysayang pag-unlad ng sunod-sunod na: 1,2,3,4,... Ang natural na serye ay nagsisimula sa numero 1 (axiom 1). ); pagkatapos ng natural na bilang ng balat, isang natural na numero ang agad na sumusunod (axiom 2); ang natural na numero ng balat ay sumusunod ng hindi hihigit sa isang natural na numero (axiom 3); simula sa numero 1 at gumagalaw upang ang mga natural na numero ay sumusulong nang isa-isa, kinukuha namin ang lahat ng mga multiplier ng mga numero (axiom 4).

Otzhe, binuo namin ang axiomatic pobudov system ng mga natural na numero na may pagpili ng pangunahing vodnosiny "nang walang tagapamagitan sa pagsunod para sa" na axiom, sa ilang mga paglalarawan ng yoga ng kapangyarihan. Kaunti pa sa teorya ni pobudov ng paglilipat ng pagtingin sa mga kapangyarihan ng mga natural na numero at mga operasyon mula sa kanila. Ang baho ay maaaring rozkritі sa hinirang at theorems, tobto. ipinakilala ng pang-araw-araw na lohikal na landas ng pagpapakilala ng "walang gitnang pagsasaalang-alang", at axioms 1-4.

Ang unang bagay na dapat maunawaan, habang ipinakilala namin pagkatapos ng pagtatalaga ng isang natural na numero, ay shutter "agad na pasulong" , yake madalas vikoristovuyut para sa isang oras upang tingnan ang mga kapangyarihan ng natural na serye.

Paghirang 2. Ano ang natural na numero b sumunod nang walang tagapamagitan natural na numero a, ang numerong iyon a tinawag direkta sa unahan(kung hindi man ang harap) bilang b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє sa tabi ng mga awtoridad.

Theorem 1. Ang pagkakaisa ay walang natural na numero ng pasulong.

Theorem 2. Ang balat ay isang natural na numero a, Vіdmіnne vіd 1, maє isang forward number b, e ano ngayon b"= a.

Ang axiomatic rationale ng teorya ng natural na mga numero ay hindi nakikita sa gitnang paaralan o sa gitnang paaralan. Prote dominion vіdnosinі "nang walang tagapamagitan na sumusunod", tulad ng sa Peano's axioms, є ang paksa ng pag-aaral sa kursong cob ng matematika. Nasa unang klase na, isang oras na para tingnan ang mga numero ng unang sampu, malinaw na, dahil makakakuha ka ng skin number. Kung kanino naiintindihan ang mga salitang "slid" at "noon". Ang balat ay isang bagong numero bilang pagpapatuloy ng baluktot na twist ng natural na serye ng mga numero. Matutong muling isaalang-alang sa tsiom, scho na may numero ng balat, ito ay pareho, at higit sa isa, na ang natural na serye ng mga numero ay hindi mauubos.

Pagdaragdag ng mga natural na numero

Para sa mga alituntunin ng pag-udyok sa teorya ng axiomatic, na nagtatalaga ng pagdaragdag ng mga natural na numero, kinakailangan na isagawa, vicarious, "sumunod ka agad", naiintindihan ko "natural na numero"і "nakaraang numero".

Viperedimo vyznachennya nakatiklop sa pamamagitan ng pagsulong mirkuvannyami. Paano sa anumang natural na numero a magdagdag ng 1, pagkatapos ay kunin ang numero a", walang humpay na sumusulong a, pagkatapos. a+ 1= a" At, pagkatapos, kinukuha namin ang panuntunan ng pagdaragdag ng 1 sa anumang natural na numero. Ale yak idagdag sa a natural na numero b, vіdmіnne vіd 1? Pinapabilis natin ang paparating na katotohanan: kung nakita natin na 2 + 3 = 5, kung gayon ang kabuuan ay 2 + 4 = 6, na sumusunod sa numero 5 nang walang tagapamagitan. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Sa init mukhang siguro, .

Ang katotohanang ito ay ang batayan para sa pagtatalaga ng mga natural na numero sa teorya ng axiomatic.

Paghirang 3. Pagdaragdag ng mga natural na numero tinatawag ang isang algebraic na operasyon, na maaaring maging malakas:

Numero a + b tinawag kabuuan ng mga numero aі b , at ang mga numero mismo aі b - dodanki.

OMSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY
SANGAY NG OmDPU malapit sa G. TARI
Ang LBC ay nagtatrabaho para sa mga desisyon ng editoryal at paglalathala
Ika-22 ika-73 sangay ng OmDPU malapit sa metro Tari
Ch67

Ang mga rekomendasyon ay kinikilala para sa mga mag-aaral ng mga unibersidad ng pedagogical, habang itinuturo nila ang disiplina na "Algebra at Number Theory". Sa loob ng balangkas ng disiplinang ito, ang dibisyong "Mga Numero ng sistema" ay binuo sa ika-6 na semestre. Kasama sa mga rekomendasyong ito ang materyal tungkol sa axiomatic rationale para sa mga sistema ng natural na mga numero (Peano's system of axioms), mga sistema ng integer at rational na mga numero. Ang Tsya axiomatics ay nagpapahintulot sa iyo na mas maunawaan kung ano ang isang numero, bilang isa sa mga pangunahing upang maunawaan ang kurso ng matematika ng paaralan. Para sa pinakamaikling asimilasyon ng materyal, iminumungkahi ang pagpapakilala ng mga nauugnay na paksa. Halimbawa, mga rekomendasyon at rekomendasyon, mga pahayag, mga gawain.

Tagasuri: Ph.D., prof. Dalinger V.A.

Nilagdaan sa kaibigan - 22.10.98

Papel ng pahayagan
Sirkulasyon 100 kopya.
Operative na pamamaraan para sa bawat isa
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tukhachevsky, 14
filiya, 644500, Tara, st. Shkilna, 69

1. NATURAL NUMBERS.

Gamit ang axiomatic reasoning ng sistema ng mga natural na numero, mahalagang isaalang-alang ang pag-unawa sa multiplier, blue, function at iba pang multi-theoretical na pag-unawa.

1.1 Sistema ng mga axiom ni Peano at ang pinakasimpleng mga hinuha.

Ang karaniwang pag-unawa sa axiomatic theory ng Peano ay ang impersonal na N (bilang ito ay tinatawag na impersonality ng natural na mga numero), lalo na ang numerong zero (0) mula sa bago at binary na ugnayang "sumusunod" sa N, na tinutukoy ng S ( a) (o isang ().
AXIOM:
1. ((a(N) a"(0 (Ito ay natural na numero 0, na hindi sumusunod sa anumang numero.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (Ang natural na numero ng balat ay sumusunod sa higit sa isang numero.)
4. (axiom of induction) Bilang isang multiplier na M(N at M ay nagbibigay-kasiyahan sa dalawang isip:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, pagkatapos ay M=N).
Sa functional na terminology, ang ze ay nangangahulugan na ang S:N®N ay hindi aktibo. Mula sa axioms 1 ay malinaw na ang S:N®N fermentation ay hindi sur'active. Ang Axiom 4 ay ang batayan para sa pagpapatunay ng pagsusumikap "sa pamamagitan ng pamamaraan ng mathematical induction".
Makabuluhang gumaganap ng kapangyarihan ng mga natural na numero, na walang tagapamagitan na sumisigaw para sa mga axiom.
Kapangyarihan 1. Ang balat ay isang natural na numero a(0 kasunod ng isa at higit sa isang numero.
Nagdadala. Makabuluhang sa pamamagitan ng M impersonal natural na numero, scho vanish zero at lahat ng natural na numero, balat ng anumang sumusunod para sa anumang numero. Sapat na upang ipakita na M=N, ang pagkakaisa ay maliwanag mula sa mga aksiom 3. Patunayan natin ang axiom ng induction 4:
A) 0(M - sa pamamagitan ng prompt multiplier M;
B) kahit a(M, ang mga a"(M, more a" ay sumusunod sa a.
Mean mula sa axioms 4 M=N.
Kapangyarihan 2. Tulad ng isang (b, pagkatapos ay isang "(b").
Ang kapangyarihan ay dinadala ng pamamaraang "mula sa hindi katanggap-tanggap", vicorist axiom 3. Katulad nito, ang gayong kapangyarihan ay dinadala 3, vicorist axiom 2.
Kapangyarihan 3. Tulad ng isang "(b", pagkatapos ay isang (b.)"
Power 4. ((a(N)a(a". (Walang natural na numero ang sumusunod dito).)
Nagdadala. Hayaan ang M=(x(x(N, x(x))). ) sa ganoong ranggo ng Umov A) axioms 4 0(M - panalo. Kung x(M, pagkatapos x(x"), pagkatapos ay 2 x" ((x")" ay nasa kapangyarihan, at ang ibig sabihin ng tse ay Umov B) x ( M ® x"(M. Alethodically follows axiom 4 M=N."
Hayaan (- ang deuce ng kapangyarihan ng mga natural na numero. Ang katotohanan na ang numero a ay may kapangyarihan (, isulat ang ((a)).
Gawain 1.1.1. Hayaan mong sabihin ko sa iyo na ang axiom 4 ng pagtatalaga ng mga impersonal na natural na numero ay mas malapit sa sumusulong na katigasan: para sa anumang uri ng awtoridad (, tulad ng ((0) i, pagkatapos).
Gawain 1.1.2. Ang unary operation (: a(=c, b(=c, c(=a)) ay tinukoy sa ganitong paraan sa trielement multiplier A=(a,b,c).)
Gawain 1.1.3. Hayaan ang A \u003d (a) - multiplier ng isang elemento, a (= a) Yaki na may mga axiom ng katotohanan ng Peano sa multiplier A na may operasyon (?)
Gawain 1.1.4. Sa isang multiplicity ng N, ang isang makabuluhang unary na operasyon ay makabuluhan, kahit sino. Ipaliwanag kung ano ang magiging totoo sa mga axiom ng Peano na nabuo sa mga tuntunin ng operasyon.
Gawain 1.1.5. Halika na. Patunayan na ang A ay sarado gamit ang operasyon (. Baligtarin ang katotohanan ng mga axiom ni Peano sa multiplier A na may operasyon (.).
Gawain 1.1.6. Halika, . Ang makabuluhang sa A ay isang unary na operasyon, gayunpaman. Paano totoo ang mga axiom ni Peano sa multiplier A ng operasyon?

1.2. Non-superelectiveness at categoricalness ng Peano's system of axioms.

Ang sistema ng mga axiom ay tinatawag na non-superable, tulad ng sa її axioms imposibleng dalhin ang theorem T at її transverse (T. Naunawaan na ang mga super-efficient na sistema ng axioms ay hindi maaaring magkaroon ng parehong halaga sa matematika, dahil sa naturang isang teorya posible na dalhin ang lahat na Samakatuwid, ang kakulangan ng superbness ng sistema ng axioms ay ganap na mahalaga.
Ang Yakshcho sa Aksіomatic Theoret ay hindi nag-stream ng theorem t і ї ї ї ї ї ї ї hindi ibig sabihin, ang sistema ng aksi ay hindi nalulula; sa katotohanan na ang interpretasyon ng sistema ng mga aksiom sa isang malinaw na hindi superequalable na teorya na S, kung gayon ang sistema ng mga axiom mismo ay hindi pantay.
Para sa sistema ng axioms ng Peano, maaari isa zbuduvat rich iba't ibang mga interpretasyon. Lalo na mayaman sa interpretasyon ng teorya ng multiplicity. Ang isa sa mga naturang interpretasyon ay makabuluhan. Sa pamamagitan ng natural na mga numero, maaari tayong kumuha ng multiple (, ((), ((())), (((()),..., makikilala natin ang zero sa pamamagitan ng numero (. (M), ang tanging elemento ng ganito at ganito M. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ("=((), (()"=((() at iba pa)). ay maliit: ipinapakita nito na ang sistema ng mga axioms ni Peano ay kahit na ang teorya ng multiples. ay hindi superlatibo, ngunit ang patunay ng nonsupercity ng sistema ng axioms ng teorya ng multiple ay mas mahalaga.
Ang isang sistema ng mga axiom na hindi superlatibo ay tinatawag na independyente, dahil ang skin axiom ng sistemang ito ay hindi maaaring patunayan bilang isang teorama batay sa iba pang mga axiom. Upang dalhin sa liwanag na ang axiom
(1, (2, ..., (n, ((1)))
sapat na upang patunayan na ang sistema ng mga axiom ay hindi nasusukat
(1, (2, ..., (n, (((2))))
Totoo, yakby (posibleng mag-iba mula sa iba pang axioms ng system (1), pagkatapos ang system (2) ay sobrang matalino, ang mga shards nito ay magiging totoo sa theorem (at axiom ((.)).
Gayundin, upang maihatid ang kalayaan ng mga axiom (mula sa iba pang mga axiom ng system (1), sapat na upang hikayatin ang interpretasyon ng sistema ng mga axiom (2).
Ang pagsasarili ng sistema ng axioms ay isang mahusay na neobov'yazkova. Minsan, upang maiwasan ang patunay ng "mahahalagang" theorems, gagawa tayo ng supra-world (deposit) na sistema ng mga axiom. Gayunpaman, pinadali ng mga "zayv" na axiom na makita ang papel ng mga axiom sa teorya, pati na rin ang mga panloob na lohikal na ugnayan sa pagitan ng iba't ibang dibisyon ng teorya. Bilang karagdagan, ang pobudova іnterpretatsіy para sa mga fallow system ng axioms ay makabuluhang nakatiklop, mas mababa para sa mga independyente; kahit na kailangan mong muling isaalang-alang ang bisa ng "zayvih" axioms. Sa mga dahilan para sa nutrisyon ng fallow land, kabilang sa mga axioms noong unang panahon, ang unang kahalagahan ay ibinigay. Subukang dalhin ito sa iyong oras na ang ika-5 postulate sa axiomatics ni Euclid "Ito ay hindi hihigit sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A parallel sa tuwid na linya" (", є ng theorem (upang nakahiga sa iba pang mga axiom) at dinala sa konklusyon ng geometry ni Lobachevsky).
Ang isang non-superscriptive system ay tinatawag na deductively new, na parang ang proposisyon A ng isang ibinigay na teorya ay maaaring dalhin, o ipahayag, pagkatapos ay alinman sa A, o (A ay isang theorem ng ibinigay na teorya. Ang isang axiom ay tinatawag na Deductive povnota - tezh hindi obov'yazkova vimoga, halimbawa, isang sistema ng axioms ng teorya ng mga grupo, ang teorya ng teritoryo, ang teorya ng pagtutubig - hindi totoo, shards ay batay sa at kіntsevі at neskіnchennі grupo, kіltsya, mga patlang, pagkatapos ay sa mga ito mga teoryang hindi mo maaaring itanong, hindi ka maaaring magdala ng proposisyon.: "Group (kіltse, field) to revenge kіltse kіlkіst elements".
Dapat pansinin na sa mayamang mga teoryang axiomatic (sa kanilang sarili, sa mga di-pormal) ang mga impersonal na panukala ay hindi maaaring isaalang-alang nang eksakto, at imposibleng dalhin ang deduktibong pagkakumpleto ng sistema ng mga axiom ng naturang teorya. Ang pangalawang pagbabago ay madalas na tinatawag na kategorya. Ang sistema ng mga axiom ay tinatawag na kategorya, kaya't ito ay dalawang interpretasyon na isomorphic, upang mayroong magkaparehong hindi malabo na pagkakaiba sa pagitan ng maraming bagay na cob at iba pang mga interpretasyon. Categoricalness - tezh neobov'yazkova isip. Halimbawa, ang sistema ng axiom ng teorya ng grupo ay hindi kategorya. Ang dahilan dito ay ang pangkat ng Kintsev ay hindi maaaring maging isang isomorphic na grupong walang balat. Gayunpaman, sa axiomatization ng teorya ng isang numerical system, ang kategoryang katangian ng obov'yazkova; Halimbawa, ang kategoryang katangian ng sistema ng mga axiom, na nagpapahiwatig ng mga natural na numero, ay nangangahulugan na, hanggang sa isomorphism, mayroon lamang isang natural na serye.
Dalhin natin ang kategorya ng sistema ng mga axiom ni Peano. Hayaang ang (N1, s1, 01) at (N2, s2, 02) ay dalawang interpretasyon ng sistema ng mga axiom ni Peano. Kinakailangang ipahiwatig ang gayong biektivne (parehong hindi malabo) na expression f: N1®N2, kung saan dapat mong isipin:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) para sa alinmang x N1;
b) f(01) = 02
Kung ang unary operations s1 at s2 ay nasaktan ng parehong stroke, pagkatapos ay umova a) muling isulat
a) f(x()=f(x)(.
Mahalaga sa multiplier N1(N2)
1) 01f02;
2) paano xfy, x(fy(.
Baguhin natin, ano ang silbi ng fermentation N1 to N2, saka sa dermal x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Makabuluhang sa pamamagitan ng M1 impersonal na mga elemento x N1, para sa ilang mga isip (1) manalo. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 sa bisa ng 2) at ang kapangyarihan ng 1 punto 1).
Samakatuwid, ayon sa axiom 4, posible na ang M1=N1, at tse i ay nangangahulugan na ang pagpapakilala ng f є fermentation ng N1 N2. Sa tsimu z 1) malinaw na f (01) = 02. Ang Umov 2) ay nakasulat nang ganito: f(x)=y, pagkatapos ay f(x()=y(. Parang f(x()=f(x)(. Gayundin, para sa repleksyon ng f, isipin ang a )) at b.
Makabuluhang sa pamamagitan ng M2, impersonal na tahimik na mga elemento ng N2, balat ng alinman sa mga ito sa anyo ng isa at isang elemento lamang ng N1 kapag f ay ipinapakita.
Shards f(01)=02, pagkatapos ay 02 є. Kung gayon x(N2 і x(01), kung gayon para sa kapangyarihan 1 aytem 1 x ay sumusunod sa kasalukuyang elemento c z N1 і pagkatapos f(x)=f(c()=f(c)((02. Mean, 02 f) ang ranggo ng isang elemento 01, pagkatapos ay 02 (M2.
Sige y(M2 і y=f(x), kung saan ang x ay ang solong preimage ng elementong y. Pagkatapos, sa bisa ng a) y(=f(x)(=f(x()), pagkatapos ay y( є ang larawan ng elementong x ) (. Hayaang ang c ay isang pre-imahe ng elementong y(, pagkatapos ay f(c)=y(. Skіlki y((02, pagkatapos c(01 і c)) ay ang pasulong na elemento, na makabuluhan sa pamamagitan ng d.)) Pagkatapos y( =f( c)=f(d()=f(d)(, dahil sa axiom 3 y=f(d)).M2 ® y
Ang lahat ng pre-Greek na matematika ay may maliit na katangiang empirikal. Ang lahat ng mga elemento ng teorya ay nalulunod sa masa ng mga empirical na diskarte sa pagbuo ng mga praktikal na gawain. Ibinigay ng mga Greek ang empirical na materyal na ito ng lohikal na pagsusuri, sinubukang hanapin ang koneksyon sa pagitan ng iba't ibang data ng empirikal. Para kanino ang buong kahulugan ng geometry ay may malaking papel na ginagampanan ni Pythagoras at ng paaralang її (ika-5 siglo AD). Ang mga ideya ng pamamaraang axiomatic ay malinaw na ipinahayag sa mga turo ni Aristotle (ika-4 na siglo AD). Prote, isang praktikal na pag-unlad ng mga ideyang ito ay isinagawa ni Euclid sa yoga "Cobs" (3 siglo AD).
Tatlong anyo ng mga teoryang axiomatic ang maaaring pangalanan.
isa). Zmistovna axiomatics, na parang isa hanggang sa kalagitnaan ng huling siglo.
2). Napіvformal axiomatics, scho vinyl sa huling quarter ng nakaraang siglo.
3). Pormal (o pormal na) axiomatics, ang petsa ng kapanganakan nito ay maaaring kunin bilang 1904, kung inilathala ni D. Hilbert ang kanyang sikat na programa tungkol sa mga pangunahing prinsipyo ng pormal na matematika.
Ang bagong anyo ng balat ay hindi naka-block sa harap, ngunit sa isang pag-unlad at paglilinaw, ang parehong ay totoo para sa pagbuo ng bagong anyo ng balat, mas mababa sa harap.
Ang Zmistovna axiomatics ay nailalarawan sa pamamagitan ng ang katunayan na ang mga ito ay maaaring maunawaan nang intuitively malinaw bago formulating axioms. Kaya, sa "Cobs" ng Euclid, sa ilalim ng punto ng pag-unawa, ang mga taong intuitively maliwanag sa ilalim ng mga pang-unawa. Kasabay nito, mayroong isang mahusay na wika, at isang mahusay na intuitive na lohika, na mas katulad ni Aristotle.
Ang mga pormal na teorya ng axiomatic ay mayroon ding isang malakas na wika at intuitive na lohika. Gayunpaman, ang mga unang nakakaunawa ay hindi umaasa sa parehong intuitive na kahulugan, sila ay nailalarawan lamang ng mga axiom. Si Tim mismo ay gumagalaw ng kahigpitan, mga pira-piraso ng intuwisyon sa isang mundo ng pag-awit ay sumasakop sa kahigpitan. Bilang karagdagan, ang pag-aantok ay lumalaki, dahil ang skin theorem, na dinala sa naturang teorya, ay magiging patas sa anumang interpretasyon. Malinaw sa anyo ng isang pormal na teorya ng axiomatic - ang teorya ni Hilbert, na kasama sa aklat na "Imagine Geometry" (1899). Ang mga butts ng mga teoryang nap_vformalnyh ay ang teorya din ng mga kіlet at iba pang mga teorya, na ipinakita sa kurso ng algebra.
Ang butt ng isang pormal na teorya ay ang pagkalkula ng pagsasalita, na binuo sa kurso ng matematikal na lohika. Sa vіdmіnu vіd zmіstovnoї napіvformalії аksiomatiki, vіdmіnu vіd zmіstovnoї ї napіvformalії aksiomatics, sa formalіzirovanіy teorії vykoristovuєєіch osoblіchna simbolo. Ang alpabeto ng teorya ay itinakda para sa sarili nito, upang ito ay isang deuce ng mga impersonal na simbolo, na gumaganap ng parehong papel bilang mga titik sa orihinal na wika. Maging ito ay isang kіntseva sequence ng mga simbolo ay tinatawag na isang viraz o isang salita. Sa mga virus, mayroong isang klase ng mga formula, at ang eksaktong criterion na nagpapahintulot sa skin virus na makilala ay ipinahiwatig ng formula. Ang mga formula ay gumaganap ng parehong papel bilang ang pagsasalita ng mahusay na wika. Deyakі formula goloshuyutsya axioms. Bilang karagdagan, ang mga lohikal na tuntunin ng pangitain ay itinakda; Ang ganitong panuntunan ay nangangahulugan na mula sa aktwal na kumbinasyon ng mga formula, ang buong formula ay walang gitna. Ang patunay ng theorem mismo ay ang dulo ng lantz ng mga formula, ang natitirang formula ay ang theorem mismo at ang skin formula ay alinman sa isang axiom, o ang theorem ay dinala nang mas maaga, kung hindi man ay kumakanta ito mula sa gitna ng forward. mga pormula ng sibat sa isa sa mga tuntunin ng pagmamasid. Sa ranggo na ito, hindi tayo dapat manindigan para sa ebidensya tungkol sa bisa ng ebidensya: kung hindi man Danish lanciugє patunay, o є, walang sumnivnyh ebidensya. Sa link sa cim, ang axiomatics ay pormal na masanay sa mga partikular na banayad na pitfalls ng priming mga teorya sa matematika, kung ang halatang intuitive na lohika ay maaaring humantong sa mga pagpapatawad, na siyang pangunahing ranggo sa pamamagitan ng mga kamalian at kalabuan ng ating dakilang kilusan.
Kaya, tulad ng sa pormalisasyon ng teorya tungkol sa skin viraz, masasabi ng isa na ito ay isang pormula, kung gayon ang mga impersonal na proposisyon ng pormal na teorya ay maaaring isaalang-alang. Kaugnay nito, posible, sa prinsipyo, na masira ang argumento tungkol sa patunay ng deduktibong dahilan, gayundin ang tungkol sa patunay ng di-mababaw, nang hindi napupunta sa interpretasyon. Sa ilang pinakasimpleng paraan, makikita mo ang pagkakaiba. Halimbawa, ang kakulangan ng superficiality ng pagkalkula ay isinasagawa nang walang interpretasyon.
Sa mga di-pormal na teorya, ang mga impersonal na proposisyon ay hindi malinaw na tinukoy; samakatuwid, ang dahilan para sa pagpapatunay ng di-mababaw, nang walang pagpunta sa interpretasyon, ay inilalagay nang katangahan. Yaong parehong halaga at pagkain tungkol sa patunay ng deductive povnoti. Gayunpaman, tulad ng isang panukala ng isang hindi pormal na teorya ay narinig, dahil imposibleng dalhin ito o itanong, kung gayon ang teorya, malinaw naman, ay deduktibong hindi tumpak.
Ang pamamaraan ng axiomatic ay matagal nang itinatag hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa pisika. Una, subukan ito nang direkta, sinubukan ni Aristotle na gawin ito, ngunit itinuwid din niya ang kanyang sariling axiomatic na pamamaraan sa pisika, hindi kasama ang mga robot ni Newton mula sa mekanika.
Sa link sa magulong proseso ng mathematization ng mga agham, mayroon ding proseso ng axiomatization. Wala sa mga axiomatic na pamamaraan ang matatagpuan sa iba't ibang dibisyon ng biology, halimbawa, sa genetika.
Ang mga posibilidad ng pamamaraang axiomatic ay hindi walang katapusang.
Mahalaga na hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa pag-formalize ng mga teorya upang mawala ang intuwisyon. Ang teorya mismo ay pormal na walang anumang interpretasyon ng nais na kahulugan. Ang sisihin dito ay mababa sa koneksyon sa pagitan ng pormal na teorya at ng interpretasyon. Bilang karagdagan, tulad ng sa mga pormal na teorya, mayroong isang katanungan tungkol sa hindi superability, kalayaan at pagkakumpleto ng sistema ng mga axiom. Ang kabuuan ng lahat ng naturang pagkain ay nagiging esensya ng isa pang teorya, dahil ito ay tinatawag na metatheory ng isang pormal na teorya. Sa batayan ng pormal na teorya, ang metatheory ng wika ay ang pinakamahalagang pang-araw-araw na wika, at ang lohikal na pag-mirror ay isinasagawa ng mga alituntunin ng natural na intuitive na lohika. Sa ganitong paraan, ang intuwisyon, na muling kinuha mula sa pormal na teorya, ay muling lumitaw sa metatheory.
Ngunit ang pangunahing kahinaan ng pamamaraang axiomatic ay wala sa tsoma. Noong nakaraan, naisip na ang tungkol sa programa ng D. Hilbert, dahil inilatag nito ang pundasyon para sa isang pormal na pamamaraan ng axiomatic. Ang pangunahing ideya ni Hilbert ay ang gawing pormal na teorya ng axiomatic ang klasikal na matematika, upang magdala ng di-superability. Gayunpaman, ang programa sa mga pangunahing punto nito ay lumilitaw na utopian. Noong 1931, binuo ng sikat na Austrian mathematician na si K. Gödel ang kanyang mga sikat na theorems, na ginawang malinaw na hindi nai-publish ang pagkakasala sa mga pangunahing gawain na itinakda ni Hilbert. Si Yomu ay lumampas sa tulong ng kanyang paraan ng coding upang matuto para sa tulong ng mga formula ng pormal na aritmetika, at upang dalhin ang tulong ng metatheory na ang mga formula na ito ay hindi nakikita sa pormalisasyon ng aritmetika. Sa ganitong paraan, ang pormal na aritmetika ay mukhang deduktibong hindi tumpak. Mula sa mga resulta ni Gödel, malinaw na kahit na ang isang hindi mapapatunayang formula ay kasama sa bilang ng mga axiom, kung gayon ay may isa pang hindi mapapatunayang formula na nagpapahayag ng parehong tamang proposisyon. Ang lahat ng ito ay nangangahulugan na hindi lamang lahat ng matematika, ngunit upang matuto ng aritmetika - ang pinakasimpleng bahagi, imposibleng gawing pormal. Zokrema, Gödel, na nagbigay inspirasyon sa isang pormula na nagpapatunay sa mga proposisyon na "Ang pormal na aritmetika ay hindi nasusukat", at nagpapakita na ang formula ay hindi rin maipapakita. Ang katotohanang ito ay nangangahulugan na ang di-kasakdalan ng pormal na aritmetika ay hindi maaaring dalhin sa gitna ng aritmetika mismo. Sa ngayon, maaari mong hikayatin ang isang malakas na pormal na teorya at її sa pamamagitan ng pagdadala ng hindi superity ng pormal na aritmetika, at mas mahalaga din na sisihin ang tungkol sa hindi superity ng bagong teorya.
Ang mga resulta ni Gödel ay nagpapahiwatig ng bisa ng axiomatic method. At, mas mahalaga, podstav para sa pessimistic visnovkіv sa teorya ng kaalaman ng isa na hindi alam ang katotohanan, - hindi. Ang katotohanan na ang mga katotohanan ng aritmetika ay itinatag, na hindi maaaring dalhin sa pormalisasyon ng aritmetika, ay hindi nangangahulugan ng pagpapakita ng kamangmangan ng mga katotohanan at hindi nangangahulugan ng kalabuan ng pag-iisip ng tao. Nangangahulugan lamang si Vin na ang mga posibilidad ng ating pag-iisip ay hindi dapat bawasan sa mga pamamaraan, na sila ay magiging mas pormal, at ang mga tao ay kailangan pa ring sumubok at makahanap ng mga bagong prinsipyo ng patunay.

1.3 Pag-iimbak ng mga natural na numero

Ang mga operasyon ng pagtitiklop at pagpaparami ng mga natural na numero sa pamamagitan ng sistema ng mga axes ni Peano ay hindi pinopostulate, ngunit sa halip na mga operasyon.
appointment. Ang pagdaragdag ng mga natural na numero ay tinatawag na binary algebraic operation + sa multiplier N, na maaaring maging malakas:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Pagsisi sa nutrisyon - ano ang naturang operasyon, ngunit kung ito ay, kung gayon ano ito?
Teorama. Ang pagdaragdag ng mga natural na numero ay kinakailangan at isa lamang.
Nagdadala. Ang binary operation ng algebra sa multiplicity N ay ang fermentation (:N(N®N. Kinakailangang dalhin na isa lang ang fermentation (:N(N®N na may powers: 1)) ((x(N)) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)))). 0) )=x; ).
Makabuluhang sa multiplier N, binary expression fx sa pamamagitan ng mga isip:
a) 0fxx;
b) paano yfxz, y(fxz(.
Baguhin natin, ano ang silbi ng N to N, saka sa balat y z N
(((z(N)) yfxz (1)
Kapansin-pansin, sa pamamagitan ng M, ang multiplier ng natural na mga numerong y, kung saan ang isip (1) ay nanalo. Kaya isipin ang a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) at kapangyarihan 1 p. at nangangahulugan na ang fx ay ang pagbuburo ng N hanggang N. Para sa aling pagbuburo, isipin:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - hanggang b).
Si Tim mismo ang nagdala ng katwiran para sa pagtiklop.
Nagdadala tayo ng pagkakaisa. Hayaan ang + i (- maging tulad ng dalawang binary na operasyon ng algebra sa set N na may kapangyarihan 1c at 2c. Kinakailangang dalhin iyon
((x, y(N) x + y = x(y)
Ito ay naayos na sapat na bilang x i ay makabuluhan sa pamamagitan ng S ng impersonal natural na mga numero y, para sa kung saan equanimity
x+y=x(y(2)
panalo. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, pagkatapos
A) 0(S
Ngayon, hayaan ang y(S, para manalo ang pagkakapantay-pantay (2). Kaya x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)))(і x+y=x(y, then)) ) axioms 2 x+y(=x(y(, para manalo ang isip)
B) y(S ® y((S.))
Kaya, sa pamamagitan ng axiom 4 S=N, na kumukumpleto sa patunay ng theorem.
Dalhin natin ang mga awtoridad sa dodavannya.
1. Ang numero 0 ay ang neutral na elemento ng karagdagan, kaya a+0=0+a=a para sa balat natural na numero a.
Nagdadala. Ang Equanimity a+0=a ay sumisigaw mula sa isip 1s. Nagdadala kami ng pagkakapantay-pantay 0+a=a.
Makabuluhang sa pamamagitan ng M impersonal na mga numero, na hindi mananalo. Malinaw, 0+0=0 at 0(M. Hayaan ang a(M, pagkatapos ay 0+a=a.) Pagkatapos ay 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) ) Otzhe, M=N, kung paano at ito ay kinakailangan upang dalhin.
Bigyan mo kami ng lema.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Nagdadala. Hayaang ang M ay isang impersonal na numero ng lahat ng natural na numero b, kung saan ang pagkakapantay-pantay ay a(+b=(a+b)(totoo para sa anumang halaga ng a.):
A) 0(M, shards a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Tiyak, dahil posible ang b(M at 2c)))
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
kaya b ((M. Mean, M = N, kung ano ang kailangan kong dalhin).
2. Ang pagdaragdag ng mga natural na numero ay commutative.
Nagdadala. Hayaan M=(a(a(N(((b(N))a+b=b+a))) Sabihin mo sa akin na M=N. Siguro:
A) 0(M - gastos 1.
C) a(M ® a((M))
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Mean a((M, i mula sa axiom 4 M=N).
3. Pagdaragdag nang may kaugnayan.
Nagdadala. Halika na
M=(c(c(N(((a,b(N))))(a+b)+c=a+(b+c))
Kailangang dalhin ang M=N na iyon. Kaya (a+b)+0=a+b at a+(b+0)=a+b, pagkatapos ay 0(M. Hayaan ang s(M, pagkatapos ay (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Mean c((M i sa pamamagitan ng axiom 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Nagdadala. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Kung b(0), kung gayon ((a(N)a+b(a)).
Nagdadala. Hayaan ang M=(a(a(N(a+b(a))) 0+b=b(0, pagkatapos ay 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(kung hindi man a( +b) (a)) ay nangangahulugang a((M і M=N)).
6. Kung b(0, kung gayon ((a(N)a+b(0)))
Nagdadala. Kung a=0, pagkatapos ay 0+b=b(0, kung a(0 і a=c(, pagkatapos ay a+b=c(+b=(c+b)))((0. Kaya, y be- which oras a) + b (0.
7. (Ang batas ng trichotomy folding). Para sa anumang natural na mga numerong a at b, isa lamang at isa lamang sa tatlong pagkakatulad ang totoo:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Nagdadala. Inaayos namin ang isang tiyak na numero a at makabuluhan sa pamamagitan ng M ang multiplier ng lahat ng natural na numero b, kung saan ang isa sa mga konotasyon 1), 2), 3) ay nanalo. Kailangang dalhin ang M=N na iyon. Hayaan ang b = 0. Kung a=0, pagkatapos ay 1), at kung a(0, 3 lang), kung gayon a=0+a. Otzhe, 0(M.
Katanggap-tanggap na ngayon na ang b(M, upang ang kabaligtaran ng a ay isa sa mga kabaligtaran ng 1), 2), 3). Kung a=b, pagkatapos ay b(=a(=a+1, pagkatapos ay para sa b(ang offset 2 ay binibilang).) Kung b=a+u, pagkatapos ay b(=a+u(, pagkatapos ay para sa b(ang offset ay binibilang) 2 ) Kung a=b+v, kung gayon ang dalawang deklinasyon ay posible: v=1 at v(1. Kung v=1, kung gayon a=b+v=b", kung gayon para sa b" ang kabaligtaran na ratio 1 ay kinuha. at v(1 , pagkatapos v=c", de c(0 at pagkatapos ay a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, kaya para sa b " mayroon tayong converse 3). Nang maglaon, dinala natin ang b (M ® b "(M, i, din M = N, kaya kung ang a at b, gusto ng isa na gumamit ng isa sa mga consonance 1), 2), 3). hindi sila matatalo nang sabay-sabay. spіvvіdnoshennia 2) at 3), pagkatapos ay maliit na b a = (a + u) + v = a + + (u + v), ngunit ito ay imposible sa pamamagitan ng kapangyarihan ng 5 at 6. Ang kapangyarihan ng 7 ay dinala sa pagtatapos.
Gawain 1.3.1. Hayaan ang 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))))). Sabihin mo sa akin 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. PAGDAMI NG NATURAL NUMBERS.

Paghirang 1. Ang pagpaparami ng mga natural na numero ay tinatawag na tulad ng isang binary na operasyon (sa multiplier N, kung saan ang isip ay binibilang:
1u. ((x(N) x(0=0);
2y. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Muli kong pinagtitibay ang nutrisyon - bakit ganoon ang operasyon at paano ito, kung gayon ano ang tanging bagay?
Teorama. Ang operasyon ng pagpaparami ng mga natural na numero ay isa lamang.
Ang patunay ay maaaring isagawa sa parehong paraan, tulad ng para sa karagdagang patunay. Kinakailangang malaman ang gayong ekspresyon (:N(N®N), bilang
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Nag-aayos kami ng isang bilang na x. Posible rin para sa skin x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N s authority
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
pagkatapos ay ang function ((x,y), na katumbas ng ((x,y)=fx(y) at nagbibigay-kasiyahan sa isip 1) at 2).
Sa paglaon, ang patunay ng theorem ay umaakyat sa patunay ng batayan ng pagkakaisa na iyon para sa skin x ng function na fx(y) na may kapangyarihan na 1") at 2"). Itakda natin ang bilang ng mga halaga ng N ayon sa sumusunod na panuntunan:
a) ang numerong zero ay nakatakda sa numerong 0,
b) dahil ang numerong y ay binibigyan ng numerong c, kung gayon ang numerong y (ang bilang na c + x ay pantay).
Isaalang-alang natin muli na sa gayong setting ang numero ng balat na y ay maaaring maging isang solong imahe: at ito ay makabuluhan na posible na i-convert ang N sa N. Makabuluhang, sa pamamagitan ng M ang impersonality ng lahat ng natural na numero y, isang solong imahe ay maaaring mabuo. Isipin a) na ang axiom 1 ay tama, kaya 0(M. Hayaang y(M. Think b) at axiom 2 ay malinaw na ang y((M. Kaya, M=N, kaya ang ating patunay ay N) sa N , ay signifi - kaunti sa mga tuntunin ng fx, pagkatapos fx(0)=0 sa pamamagitan ng dahilan ng a) at fx(y()=fx(y)+x - sa pamamagitan ng dahilan ng b).
Nang maglaon, nakumpirma ang dahilan para sa pagpaparami. Hayaan mo ako ngayon (i (- maging dalawang binary operations sa multiplier N na may mga kapangyarihan na 1y at 2y. Naiwan na sabihin na ((x,y(N)) x(y=x(y)) Inaayos namin ang isang numerong x at huwag))
S=(y?y(N(x(y=x(y))))
Laktawan ang 1y x(0=0 і x(0=0, pagkatapos ay 0(S. Hayaan ang y(S),), pagkatapos ay x(y=x(y)))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y()
i, pagkatapos, y((S. So, S=N, lower i, ang patunay ng theorem ay nagtatapos).
Makabuluhang maraming diakono ng kapangyarihan.
1. Ang neutral na elemento ay karaniwang ang numero 1=0(, kaya ((a(N) a(1=1(a=a)))).
Nagdadala. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a))) Sa ganitong paraan, natapos na ang pagkakapantay-pantay ng a(1=a. N) (1(a=a). Kaya 1 (0=0, pagkatapos ay 0(M. Hayaan ang a(M, pagkatapos ay 1(a=a))). Pagkatapos ay 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Kaya, mula sa axioms 4 M=N, na kung saan ay kinakailangan upang dalhin).
2. Para sa isang hanay ng mga fairs, isang tamang batas sa pamamahagi, kung gayon
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Nagdadala. Hayaan ang M=(c(c(N(((a,b(N)))(a+b)c=ac+bc))). , pagkatapos ay 0(M. Kaya c(M, pagkatapos (a+b) c=ac+bc), pagkatapos (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Kaya, c((M і M=N).
3. Ang multiplikasyon ng mga natural na numero ay commutative, iyon ay ((a,b(N) ab=ba).
Nagdadala. Itama natin ito para sa b (N katumbas ng 0 (b = b (0 = 0. Ang katumbas na b (0 = 0)) ay malinaw na 1y. Hayaan ang M = (b (b (N (0 (b = 0))))) ) 0 =0, pagkatapos ay 0(M. Kaya b(M, pagkatapos ay 0(b=0, pagkatapos ay 0(b(=0(b+0=0)))) i, gayundin, b((M. Kaya, M= N, pagkatapos ay pagkakapantay-pantay 0(b=b(0 na dinala sa lahat ng b(N. Tayo'y pumunta pa) S=(a (a(N(ab=ba)))). a) (S, pagkatapos ay ab = ba. Pagkatapos a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, pagkatapos ay a ((S. So S = N), na kinakailangang dalhin) .
4. Maramihang distributive folding. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 at 4.
5. Ang maramihan ay nag-uugnay, iyon ay ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Ang patunay ay isinasagawa, tulad ng ika sa bodega, induction sa s.
6. Kung a(b=0, pagkatapos ay a=0 at b=0, ang N ay walang zero divisors.
Nagdadala. Hayaan ang b(0 і b=c(. Kung ab=0, pagkatapos ay ac(=ac+a=0, ang mga palatandaan ay sumusunod sa kapangyarihan ng 6 item 3, kaya a=0).
Gawain 1.4.1. Hayaan ang 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))))). Sabihin mo sa akin kung ano ang 2(4) =8, 3(3=9.
Hayaan ang n, a1, a2, ..., an ay natural na mga numero. Ang kabuuan ng mga numerong a1, a2,...,an ay tinatawag na bilang, dahil ito ay tinutukoy ng mga isip; para sa anumang natural na numero k
Ang isang subset ng mga numerong a1, a2,...,an ay isang natural na numero, dahil ito ay tinutukoy ng i at tinutukoy ng mga isip: ; para sa anumang natural na numero k
Paano ipinapahiwatig ang numerong iyon sa pamamagitan ng isang.
Gawain 1.4.2. Magdala ng ano
a);
b);
sa);
G);
e);
e);
at);
h);
і) .

1.5. ORDER NG SYSTEM NG NATURAL NUMBERS.

Ang pahayag na "sumusunod" ay antireflexive at antisymmetric, ngunit hindi transitive at hindi sumusunod sa order na iyon. Malaki ang pagbabago ng order namin, umaasa sa pagdaragdag ng mga natural na numero.
Paghirang 1. a
Patutunguhan 2. a(b (((x(N)) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі natural na mga numero, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Nagdadala. Ang dominasyon 1.1 at 1.2 ay lumalabas mula sa kakaiba ng mga operasyon ng pagtitiklop at pagpaparami. Yakscho a
2. ((a(N) a
Nagdadala. Oskils a(=a+1, pagkatapos ay a
3. Ang pinakamaliit na elemento N ay 0, at ang pinakamaliit na elemento N\(0) ay ang numero 1.
Nagdadala. Kaya ((a(N) a=0+a, pagkatapos ay 0(a, i, samakatuwid, 0 ang pinakamaliit na elemento ng N.) Pagkatapos, tulad ng x(N\(0), pagkatapos x=y(, y( N ) , kung hindi naman x = y + 1. Ang sagot ay ((x (N \ (0))) 1 (x, kaya 1 ang pinakamaliit na elemento sa N \ (0)).
4. Mungkahi ((a, b (N) ((n (N))) b (0 (nb> a)).
Nagdadala. Malinaw, para sa anumang natural na a, mayroon ding natural na numero n, na
a Ang nasabing numero є, halimbawa, n = a (. Dahl, kung b (N \ (0), pagkatapos ay para sa kapangyarihan 3
1(b(2)
Z (1) at (2) sa batayan ng mga kapangyarihan 1.10 at 1.4 tumagal aa.

1.6. ANG TUNAY NA ORDER NG SYSTEM OF NATURAL NUMBERS.

Appointment 1. Bilang isang skin non-empty submultiplier ng inorder na multiplier (M; Muling isaalang-alang na ang bagong order ay linear. Hayaan ang a at b ay dalawang elemento mula sa buong ordered multiplier (M; Lema) . 1) a
Nagdadala.
1) a((b (b=a(+k, k(N))(b=a+k(, k((N\(0)))))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))))
Teorama 1. Ang natural na pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga natural na numero ay isang mas mataas na pagkakasunud-sunod.
Nagdadala. Hayaang walang laman ang M sa mga impersonal na natural na numero, at ang S ay ang immateriality ng lower inters sa N, kaya S = (x (x (N (((m (M)))) x (m)). susunod, 0(S) . Si Yakby ay nanalo at ang iba pang mga axiom ng Umov ay 4 n(S(n((S, pagkatapos ay maliit na b S=N))).
Theorem 2. Kung mayroong isang walang laman na hangganan para sa hayop ng hindi personal na natural na mga numero, maaaring mayroong pinakamalaking elemento.
Nagdadala. Hayaang ang M ay isang walang laman na hangganan sa pagitan ng hayop ng mga impersonal na natural na numero, at ang S ay ang impersonality ng itaas na mga kordon, kaya S=(x(x(N((m(M)))) m(x)).) Makabuluhang sa pamamagitan ng x0, ang pinakamaliit na elemento ng y S. Kung m
Gawain 1.6.1. Magdala ng ano
a);
b);
sa).
Gawain 1.6.2. Halika na (- deak power ng natural na mga numero at k - higit pa sa natural na numero. Dalhin kung ano
a) maging tulad ng isang natural na numero ay maaaring kapangyarihan (tulad ng 0 lamang ay maaaring kapangyarihan para sa anumang n (0
b) kung ito ay isang natural na numero, mas malaki kaysa o katumbas ng k, maє kapangyarihan (, kung k maє tsyu kapangyarihan i para sa anumang n (k (n) s pagkukulang, scho n maє kapangyarihan (, susunod, scho number n + 1 din Volodya tsієyu kapangyarihan). ;
c) kung ito ay isang natural na numero, mas malaki kaysa o katumbas ng k, ay maaaring magkaroon ng kapangyarihan (dahil ang k lamang ang may kapangyarihan at para sa anumang n (n>k) ay isang allowance, na ang lahat ng mga numero t, itinalaga ng mental k (t

1.7. PRINSIPYO NG INDUCTION.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost ng sistema ng mga natural na mga numero, maaari mong dalhin tulad ng isang teorama, isa sa mga pundasyon ng mga pamamaraan ng patunay, mga pamagat sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.
Theorem (prinsipyo ng induction). Usі vyslovlyuvannya z sequent A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya isip:
1) A1 ay totoo;
2) kung paano gamitin ang Ak na may k
Nagdadala. Tinatanggap na huwag tanggapin: isipin ang 1) at 2) upang manalo, ngunit kung ang teorama ay hindi totoo, kung gayon hindi namin papayagan ang є impersonal M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). elemento, na makabuluhan sa mga tuntunin ng n. mentally 1) A1 ay totoo, at An ay masama, pagkatapos ay 1(n, i, aka, 1)
Para sa kumpirmasyon sa pamamagitan ng paraan ng induction, dalawang yugto ang makikita. Sa unang yugto, na kung saan ay tinatawag na batayan ng induction, ang kaisipan ng isip ay binaligtad 1). Mula sa kabilang panig ng entablado, na tinatawag na induction crock, ang isip ay dinadala sa isip 2). Sa pinakamadalas, ang mga vipad ay binabagtas, kung upang patunayan ang katotohanan ng An, hindi posible na gamitin ang tagumpay ng katotohanan ng Ak at k
puwit. To bring unevenness Payable = Sk. Kinakailangang dalhin ang katotohanan ng konstelasyon Ak=(Sk Ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkonsumo, gaya ng inilarawan sa Theorem 1, ay maaaring magmula sa panaguri A(n) na itinalaga sa set N o sa subset Nk=(x(). x(N, x(k)), kung saan ang k ay isang nakapirming natural na numero.
Sokrema, kung k=1, pagkatapos ay N1=N(0), at ang pagnunumero ay maaaring isagawa para sa mga karagdagang pagkakapantay-pantay A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Kung k(1, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ng mga pangyayari ay maaaring kunin mula sa mga karagdagang pagkakapantay A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . . .Vidpovidno sa naturang mga halaga, ang Theorem 1 ay maaaring mabuo sa ibang anyo.
Theorem 2. Ang panaguri A(m) ay totoo din sa multiplier Nk, kaya alam mo:
1) Ang A(k) ay totoo;
2) kung paano gamitin ang A(m) para sa m
Gawain 1.7.1. Hayaan mong sabihin ko sa iyo na ang ganitong uri ng pagkakapantay-pantay ay hindi gumagawa ng desisyon sa gallery ng mga natural na numero:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Gawain 1.7.2. Dalhin, matagumpay na prinsipyo ng mathematical induction:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
sa);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA NATURAL NUMBERS.

Pagtatalaga 1. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga natural na numero a at b ay isang natural na bilang na x na b+x=a. Ang pagkakaiba ng mga natural na numero a at b ay tinutukoy sa pamamagitan ng a-b, at ang operasyon ng pagkakaiba ng pagkakaiba ay tinatawag na pagkakaiba. Ang Vіdnimannya ay hindi isang operasyon ng algebra. Tse vyplyvaє iz nastupnoї theorem.
Theorem 1. Ang retail a-b ay ang tanging pagkakaiba at isa lamang, kung b(a. Kung may pagkakaiba, isa lamang).
Nagdadala. Kung b(a, kung gayon para sa pagtatalaga ng isang sanggunian (kung ito ay isang natural na numerong x, kung gayon ang b+x=a. Ang ibig sabihin ng Ale ce i na x=a-b. na b + x = a. Ang ibig sabihin ng Alece na b (a) .
Nagdadala tayo ng pagkakaisa tingian a-b. Hayaan ang a-b=x at a-b=y. Ganoon din sa mga appointment 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, gayundin, x=y.
Patutunguhan 2. Ang fraction ng dalawang natural na numero a at b(0) ay tinatawag na natural na bilang c na ang a = bc.
Theorem 2. Ito ay mas pribado kaysa sa isa.
Nagdadala. Halika = x na = y. Ganoon din sa mga appointment 2 a=bx at a=by. Zvіdsi bx=by і, gayundin, x=y.
Karapat-dapat tandaan na ang mga operasyong isinagawa sa okasyong iyon ay mabibilang nang literal sa parehong paraan, tulad ng sa kaso ng mga katulong sa paaralan. Nangangahulugan ang Tse na sa mga talata 1-7, sa batayan ng mga axiom ni Peano, ang teoretikal na pundasyon ng aritmetika ng mga natural na numero ay inilatag, at ang mga karagdagang pag-unlad ay kasunod na itinatag sa kursong high school sa matematika at sa kursong unibersidad na "Algebra at Numero. Teorya".
Gawain 1.8.1. Dalhin ang katarungan ng gayong mga pahayag, na umamin na ang lahat ng mga pagkakaiba na nakasaad sa kanilang mga pormula ay malinaw:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
sa) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Gawain 1.8.2. Upang mabigyan ng hustisya ang mga darating na paghihirap, pag-amin na ang lahat ay pribado, na ang mga ito ay nakasaad sa ibinigay na pormula, ito ay malinaw.
a); b); sa); G); e); e); at); h); i); sa); l); m); n); tungkol); P); R).
Gawain 1.8.3. Upang patunayan na ang mga ina ng dalawang magkaibang natural na solusyon ay hindi maaaring magkapantay-pantay: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Gawain 1.8.4. Tanggalin ang pagkakatali ng mga natural na numero na katumbas ng:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Gawain 1.8.5. Upang patunayan na walang ganoong pantay na solusyon sa globo ng mga natural na numero: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; sa); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Gawain 1.8.6. Unraveling ang natural na mga numero ng unevenness: a) ; b); sa); d) x+y2 Gawain 1.8.7. Sabihin sa akin na sa larangan ng natural na mga numero, ang simula ng spiving ay patas: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9 KILKSNIY DEATH natural na mga numero.
Talagang, dapat ilagay ang mga natural na numero bilang head rank ng rahunka ng mga elemento, at kung alin ang kailangang ilagay sa calculus ng mga natural na numero ayon sa teorya ni Peano.
Destinasyon 1. Anonymous (x(x(N, 1(x(n))) ay tinatawag na contrast sa natural na serye) at tinutukoy sa pamamagitan ng (1; n ()).
Paghirang 2. Ang isang kіntsevoj multiplier ay tinatawag kung ito ay isang multiplier, katumbas ng anumang counter ng natural na serye, at isang walang laman na multiplier. Bezlich, tulad ng hindi є kіtsevim, ay tinatawag na unskinned.
Teorama 1 sa basa(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Nagdadala. Paano A=(, ang theorem ay totoo, walang mga walang laman na shards ng mga walang laman na submultiple. Hayaan natin A((і A pare-parehong mahirap (1,n((A((1,n())).))) Mapapatunayan natin ang theorem sa pamamagitan ng induction sa n. Yaksho n= 1 , pagkatapos ay A((1,1(, pagkatapos ay ginagamit namin ang solong submultiplier ng multiplier A ay isang walang laman na multiplier). Malinaw na ang A(i, din, para sa n=1 , ang theorem ay totoo. Ipagpalagay na ang theorem ay totoo para sa n=m, pagkatapos ang lahat ng mga terminal multiplier, pantay na lakas sa hangin (1,m(, huwag mag-isip ng pantay na lakas sa hangin). kabaligtaran)) (1, m+1(sa A. Kung ang ((k) ay kilala ng ak, k=1,2,...,m+1, kung gayon ang impersonal na A ay maaaring isulat bilang A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Ang aming layunin ay patunayan na ang A ay walang parehong malakas na power submultiple.
Tingnan natin ang mga multiplier A1 = A (am + 1) at B1 = B (am + 1). Dahil ang f(am+1)=am+1, kung gayon ang function na f zdіysnyuvatime ay bioactive na ipinapakita ang multiplier A1, sa pamamagitan ng multiplier B1. Sa ranggo na ito, ang impersonal na A1 ay magiging katumbas ng makapangyarihang submultiple B1 nito. Ale oskіlki A1((1,m(, huwag papalitan ang allowance ng induction).
Konklusyon 1. Ang kawalan ng mga natural na numero ay hindi limitado.
Nagdadala. Mula sa mga axiom ni Peano, malinaw na ang S:N®N\(0), S(x)=x(bjectively) ay fermented.
Konklusyon 2. Kung ang multiplier A ng kіntsev ay hindi walang laman, ito ay katumbas ng isa at isa lamang na katapat ng natural na serye.
Nagdadala. Hayaan ang A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, dahil sa Theorem 1 ito ay malinaw),) kaya m=n.)).
Pinahihintulutan ka ng huling 2 na magpasok ng isang pagtatalaga.
Pagtatalaga 3. Bilang A((1,n(, kung gayon ang natural na numero n ay tinatawag na bilang ng mga elemento sa multiplier A), at ang proseso ng pagtatatag ng magkaparehong hindi malabo na pagkakapareho sa pagitan ng mga multiplier A at (1,n (tinatawag na numero ng mga elemento sa multiplier A. Ang bilang ng mga natural na elemento ng multiple ng walang laman ay ipasok) ang numerong zero.
Tungkol sa kadakilaan ng kahalagahan ng rahunka para sa isang praktikal na buhay, magsalita zayve.
Sa paggalang, alam ang calculus ng isang natural na numero, posibleng kalkulahin ang pagpaparami sa pamamagitan ng pagdaragdag mismo:
.
Hindi kami nagpadala sa paraang ito sa ngayon, upang ipakita na ang arithmetic mismo ay hindi kinakailangan sa calculus sense: ang calculus sense ng natural na numero ay kailangan lamang sa mga karagdagan sa arithmetic.

1.10. ANG SYSTEM NG NATURAL NUMBERS BILANG DISCRETE REVERSE AY ORDERLY BAGATO.

Ipinakita namin na ang mga impersonal na natural na numero ay tugma sa natural na pagkakasunud-sunod at sa buong pagkakasunud-sunod. Kung gayon, ((a(N)) a
1. para sa anumang numero a(N іsnuє sudіdnє na susunod sa kanya 2. para sa anumang numero a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma sa harap mo) Ang buong pagkakasunud-sunod ng impersonal (A;()) na may kapangyarihan 1 at 2 ay tinatawag na memo discrete cycle Lumilitaw na ang pag-order na may kapangyarihan 1 at 2 ay ang katangian ng kapangyarihan ng sistema ng mga natural na numero. elemento i, gayundin, axiom 1 Peano ang nanalo).
Kaya ito ay tulad ng isang linear na pagkakasunud-sunod, pagkatapos para sa anumang elemento ay mayroong isang elementong sumusunod dito at hindi hihigit sa isang pasulong na elemento ng sudidny. isipin:
1) a0(M, kung saan ang a0 ay ang pinakamaliit na elemento ng A;
2) a(M (a((M.)))
Sabihin nating M=N. Ang tinatanggap ay hindi tinatanggap, pagkatapos ay A\M((. Kapansin-pansin, hanggang b, ang pinakamaliit na elemento sa A\M.
Dinala din namin ang posibilidad ng isa pang pagtatalaga ng sistema ng mga natural na numero.
appointment. Ang sistema ng mga natural na numero ay tinatawag kung ang multiplicity ay inayos sa kabuuan, kung saan ang mga isip ay binibilang:
1. para sa anumang elemento, mayroong susunod na elemento ng pagsulong sa likod nito;
2. para sa anumang elemento, ang hindi gaanong nakikitang elemento, ang pangunahing elemento ng hudisyal.
Іsnuyut іnshі pіdhodi destinasyon ng sistema ng mga natural na numero, kung saan hindi namin dito zupinaєmosya.

2. TSILI AT RATIONAL NUMBERS.

2.1. KAHALAGAHAN AT KAPANGYARIHAN NG SYSTEM OF NUMBERS.
Tila na walang bilang ng mga integer sa isip ng isang intuitive na pag-iisip, at ang singsing ay nagagawang tiklop ang multiplier na iyon, bukod pa rito, ang singsing ay upang ipaghiganti ang mga natural na numero. Naunawaan na walang pagmumura sa mga numero ng kіltsі tsіlih, tulad ng paghihiganti nito sa lahat ng natural na numero. Ang qi ng kapangyarihan, tila, ay maaaring ilagay bilang batayan para sa isang mahigpit na pagtatalaga ng isang sistema ng mga numero. Sa mga talata 2.2 at 2.3, dadalhin ang kawastuhan ng naturang pagtatalaga.
Paghirang 1. Ang sistema ng mga numero ay tinatawag na algebraic system, kung saan ang isip ay:
1. Algebraic system є kіltse;
2. Ang hindi pagkakakilanlan ng mga natural na numero ay dapat isaalang-alang, bukod dito, ang pagdaragdag ng multiplikasyon na iyon sa kіltsі sa submultiple ay kinuha mula sa pagdaragdag ng multiplier na iyon ng mga natural na numero, tobto
3. (umova minimality). Ang Z ay ang minimum para sa pagsasama ng multiplier na may kapangyarihan 1 at 2. Sa madaling salita, upang maipaghiganti ang mga natural na numero, pagkatapos ay Z0=Z.
Ang appointment 1 ay maaaring bigyan ng axiomatic character. Ang mga unang konsepto sa teoryang axiomatic na ito ay:
1) Anonymous Z, ang mga elemento nito ay tinatawag na mga buong numero.
2) Isang espesyal na numero ng integer, dahil ito ay tinatawag na zero at ipinahiwatig sa pamamagitan ng 0.
3) Ternary vіdnosini + ta (.
Sa pamamagitan ng N, gaya ng dati, ang mga impersonal na natural na numero ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagtitiklop (at pagpaparami (. Sa katunayan, hanggang sa pagtatalaga 1, ang sistema ng mga integer ay tinatawag na ganoong sistema ng algebra (Z; +, (, N). ), kung saan ang mga sumusunod na axiom ay nagwagi):
1. (Axioms ng kіltsya.)
1.1.
Ang axiom na ito ay nangangahulugan na ang + є ay isang binary operation ng algebra sa set Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, kaya ang numero 0 ay maaaring idagdag bilang neutral na elemento).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), kaya para sa skin integer mayroong kabaligtaran na numero a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Ang axiom na ito ay nangangahulugan na ang multiplication ay isang binary operation ng algebra sa multiplier Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b))) = c (a + c (b))
2. (Axioms ng link sa pagitan ng Z at ang sistema ng mga natural na numero.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Axiom of minimality.)
Kung ang Z0 ay ang dulo ng singsing na Z at N(Z0, kung gayon ang Z0=Z.
Makabuluhang gawa ng kapangyarihan ng sistema ng mga numero.
1. Ang bilang ng mga skin ay maaaring katawanin sa pamamagitan ng pagtingin sa pagkakaiba sa pagitan ng dalawang natural na numero. Ang hitsura ay hindi maliwanag, bukod pa rito, z=a-b at z=c-d, de a, b, c, d (N, pareho at kung a+d=b+c lang).
Nagdadala. Kapansin-pansin, sa pamamagitan ng Z0, ang kawalan ng lahat ng integer, ang balat ng alinman sa mga ito, ay mukhang dalawang natural na numero. Malinaw, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Tara na x,y(Z0, tapos x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Tapos x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Makikita na ang x-y, x(y(Z0 i, simula ngayon, Z0 ay isang subset ng ring Z, upang ipaghiganti ang impersonal na N.)).
2. Ang singsing ng mga integer ay isang commutative ring na may pagkakaisa, at ang zero ng singsing ay ang natural na numero 0, at ang pagkakaisa ng singsing ay ang natural na numero 1.
Nagdadala. Hayaan ang x,y(Z. Valid to power 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Pagkatapos x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)))). Samakatuwid, dahil sa commutativity ng multiplication ng natural na numero, akma ito sa xy=yx. Ang commutativity ng multiplication sa ang ring Z ay dinala. 2 vyplyvayut mula sa nakakasakit na halatang pagkakapantay-pantay, kung saan, sa pamamagitan ng 0 at 1, ang mga natural na numerong zero at isa ay kilala: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b) 1 = a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SYSTEM CYLIKH NUMBER.

Ang sistema ng mga numero ay itinalaga sa 2.1 bilang pinakamababa para sa pagsasama ng singsing, na naghihiganti sa mga natural na numero. Vikaє pitanya - ano ang parehong kіltse? Sa madaling salita, ang sistema ng axioms s 2.1 ay super-simplistic. Upang maihatid ang di-kapangyarihan ng sistema ng mga axiom, kinakailangan na mag-udyok ng isang interpretasyon sa isang malinaw na hindi pinangangasiwaang teorya. Ang nasabing teorya ay isinasaalang-alang ng aritmetika ng mga natural na numero.
Muli, kinakailangang ipaliwanag ang interpretasyon ng sistema ng mga axioms 2.1. Umalis tayo para sa impersonal. Para kanino ang impersonal ay makabuluhang dalawang binary na operasyon, at isang binary na setting. Kung ang pagdaragdag ng pagpaparami ng mga pares na iyon ay binabawasan sa pagdaragdag ng pagpaparami ng mga natural na numero, kung gayon para sa mga natural na numero, ang pagdaragdag ng pagpaparami ng mga pares na iyon ay commutative, associative, at ang multiplikasyon ay distributively katulad ng karagdagan. Muli nating isaalang-alang, halimbawa, ang commutativity ng pagdaragdag ng mga pares: +===+.
Tingnan natin ang kapangyarihan ng vіdnoshennia ~. Oskіlki a + b = b + a, pagkatapos ~, pagkatapos ay itakda ang ~ reflexively. Kung ~, pagkatapos ay a+b1=b+a1, pagkatapos ay a1+b=b1+a, pagkatapos ~. Otzhe, setting ~ simetriko. Sige na ~ i ~. Ang mga pagkakapantay-pantay na a+b1=b+a1 at a1+b2=b1+a2 ay wasto din. Ang pagdaragdag ng mga bilang ng mga pagkakapantay-pantay, aalisin natin ang a + b2 = b + a2, pagkatapos ay ~. Otzhe, setting ~ din transitively і, otzhe, є katumbas. Ang klase ng equivalence na naghihiganti sa isang mag-asawa ay matutukoy sa pamamagitan ng. Sa ranggo na ito, ang klase ng equivalence ay maaaring italaga sa iyong sariling mag-asawa at kasama nito
(1)
Ang anonymity ng lahat ng klase ng equivalence ay makabuluhan sa pamamagitan ng. Ang aming gawain ay upang ipakita na ang multiplier sa kaso ng isang tinukoy na operasyon ng natitiklop at multiplikasyon ay ang interpretasyon ng sistema ng mga axiom mula sa 2.1. Ang mga operasyon sa walang mukha ay makabuluhan ayon sa pagkakapantay-pantay:
(2)
(3)
Kung i ay, pagkatapos ay sa multiplier N ang pagkakapantay-pantay a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)) ay wasto, ang pagkakapantay-pantay (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), na, sa bisa ng (1), ay katanggap-tanggap, na kung saan. Ang ibig sabihin ng Tse na ang equivalence (2) ay nagpapahiwatig ng isang natatanging operasyon ng pagdaragdag sa isang multiplier, kaya bilang hindi magsinungaling sa pagpili ng mga pares, na nangangahulugang mga addendum) at pagiging natatangi ng pagpaparami ng mga klase Sa ganitong paraan, ang mga pagkakapantay-pantay (2) at (3) ay itinalaga sa multiplicity ng binary operations ng algebra.
Ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga klase ng Oskіlki ay maaaring mabuo hanggang sa pagtitiklop at pagpaparami ng mga pares, ang mga operasyong ito ay commutative, associative at multiplying na mga klase ay distributively madaling pagtiklop. Mula sa pagkakapantay-pantay, inilatag na ang klase ay isang neutral na elemento ng paraan ng pagtitiklop at ang skin class ay ang proliferative one class. Kaya, ang multiplier ay isang bilog, kaya ang mga axiom ng pangkat 1 mula sa 2.1 ay binibilang.
Tingnan natin ang kіl'tsі podmnozhina. Kung a(b, pagkatapos ay sa pamamagitan ng (1) , at kung a
Sa impersonal, ang binary ay makabuluhan (sumusunod (; mismo, sumusunod sa klase, sumusunod sa klase, de x (є natural na numero, susunod sa x. Class, coming after naturally signified through). sumusunod ang klase sa class i before it ay isa lamang.
Tingnan natin ang larawan. Malinaw na ang layunin ng fermentation ay biactive at ang isip f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Sa madaling salita, algebra (;, () ay isang interpretasyon ng sistema ng mga axiom ng Peano. Nagmula sa isomorphic algebras, kaya magalang mong isaalang-alang na ang impersonal na N mismo ay submultiplied. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, na nangangahulugan na ang pagdaragdag ng iyon Ang multiplikasyon sa kіltsi sa submultiple N ay idinagdag sa mga pagdaragdag at pagpaparami ng mga natural na numero. Kaya, ang pagdaragdag ng mga axiom ng pangkat 2 ay naka-install.
Halika Z0 - maging tulad ng isang kіltse pіdkіltse, scho upang ipaghiganti ang impersonal N i. Sa paggalang, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - isang kіlce, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng mga klase na ito ay maaari ding magsinungaling sa isang kіltsu Z0. З equalities -= (= fit, sho (Z0 і, aka, Z0=. Dinadala ang non-superity ng system of axioms ng item 2.1).

2.3. PAGKAKAISA NG SISTEMA NG MGA BILANG.

Mayroon lamang akong isang sistema ng mga numero para sa aking intuitional na pag-iisip. Nangangahulugan ang Tse na ang sistema ng mga axiom, na nagpapahiwatig ng mga bilang ng mga numero, ay maaaring maging kategorya, kaya maging ang interpretasyon ng sistema ng mga axiom na isomorphic. Kategorya at nangangahulugan na, hanggang sa isomorphism, mayroon lamang isang sistema ng mga numero. Perekonayemosya, scho tse true kaya.
Hayaang ang (Z1;+,(,N) at (Z2;(,(,N)) ay dalawang interpretasyon ng sistema ng mga axiom ng aytem 2.1.) ay puno ng mabagsik at cream para sa anumang elementong x at y mula sa singsing na Z1 pagkamakatarungan
(1)
. (2)
Sa paggalang, ang mga shards N(Z1 at N(Z2, pagkatapos
, a(b=a(b. (3)
Hayaang x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Itakda ang elementong x=a-b sa elementong u=a(b, de) , mga bituin z (3) a(d=b(c і, otzhe, Ang ibig sabihin ng a(b=c(d)) tse ay ang kapasidad nating mahulog bilang kinatawan ng elementong x bilang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang natural na numero at cim ay ipinapakita sa f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Ang pag-unawa na ang v(Z2 і v=c(d), pagkatapos ay v=f(c-d).) ang expression na f ay sur'jective.
Kung x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), pagkatapos ay a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) puwersa (3) a+d=b+c, kaya a-b=c-d Dinala namin, na ang pagkakapantay-pantay ng x=y ay maliwanag mula sa pagkakapantay-pantay ng f(x)=f(y), pagkatapos ay ang pagpapahayag ng f ay hindi aktibo.
Kung a(N, pagkatapos ay a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Kaya, ang mga natural na numero ay hindi marahas kapag pinalaki ang f. Malayo, tulad ng x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, pagkatapos x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Napatunayan na ang pagiging patas ng pagkakapantay-pantay (1). Reversible equality (2). Mga Scale f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c)))), at sa kabilang panig f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c)))). Kaya, f(xy)=f(x) (f(y)) , na kumukumpleto sa patunay ng kategorya ng sistema ng mga axioms n.) 2.1.

2.4. HALAGA AT KAPANGYARIHAN NG SYSTEM NG RATIONAL NUMBERS.

Anonymous Q rational number sa ibinigay na intuitive rozumіnnі field, para sa ilang impersonal na Z integer na numero є pіdkіltsem. Kapag malinaw na ang Q0 ay ang subfield ng field na Q, upang maghiganti sa mga numero, pagkatapos ay Q0 = Q.
Paghirang 1. Ang sistema ng mga rational na numero ay isang sistema ng algebra (Q; +, (; Z), kung saan ginagamit ang isip:
1. algebraic system (Q; +, () є field;
2. ring Z integer na mga numero є pіdkіltsem field Q;
3. (minimum) kung ang subfield na Q0 ng field na Q ay naghihiganti sa subfield na Z, kung gayon ang Q0=Q.
Sa madaling salita, ang sistema ng mga rational na numero ay ang pinakamababa para sa kasamang field upang ipaghiganti ang bilang ng mga numero. Maaari kang magbigay ng higit pang mga ulat sa axiomatic na kahulugan ng sistema ng mga rational na numero.
Teorama. Ang isang skin rational number x ay maaaring katawanin bilang isang pribadong dalawang integer, kaya
, de a, b (Z, b (0. (1)
Ang hitsura ay hindi maliwanag, bukod dito, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Nagdadala. Kapansin-pansin sa mga tuntunin ng Q0, mayroong mga impersonal na rational na numero, tulad ng nakikita sa (1). Upang tapusin ang pagkakasundo, kaya Q0 = Q. Halika, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Pagkatapos, para sa kapangyarihan ng field, posible: , at para sa c (0) Ang ibig sabihin ng Q0 ay sarado sa isang hindi-zero na numero, i, pagkatapos, є subfield ng field na Q. Kaya kung ang numero a ay kinakatawan sa paningin, kung gayon ang Z (Q0. Dahil sa katotohanan na ito ay minimal at halata , Q0 = Q. Ang patunay ng ibang bahagi ng halatang teorama.

2.5. PUNDASYON NG SYSTEM NG RATIONAL NUMBERS.

Ang sistema ng mga rational na numero ay itinalaga bilang pinakamababang field para ipaghiganti ang bilang ng mga numero. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє tulad ng isang field, na chi є є nesuperechlivuyu sistema ng axioms, scho vyznaє rational na mga numero. Upang kumpirmahin ang hindi superyoridad, kinakailangan na magbuod ng interpretasyon ng sistema ng mga axiom. Kung kanino posible na i-spiral ang batayan ng sistema ng mga buong numero. Maglaan tayo ng ilang sandali upang bigyang-kahulugan ang Z(Z\(0) bilang isang hindi nababagong numero. Dalawang binary na operasyon ng algebra ang makabuluhan sa multiplier
, (1)
(2)
binary na iyon
(3)
Dotsіlnіst sama tulad ng isang pagtatalaga ng mga operasyon at vіdnosinі ~ vyplyaє z na sa іy іyіnpretatsії, bilang ako ay magiging, ang isang pares ng mga salita ay mas pribado.
Madaling isipin na ang mga operasyon (1) at (2) ay commutative, associative at multiply distributively. Ang lahat ng kapangyarihan ng kapangyarihan ay iginagalang sa batayan ng mas mataas na kapangyarihan ng pagdaragdag ng pagpaparami ng mga numero. Pereverimo, halimbawa, ang pagkakaugnay ng maraming pares: .
Sa katulad na paraan, muling isasaalang-alang na ang pagkakaiba ay katumbas ng ~ є, at, samakatuwid, ang impersonal na Z(Z \ (0)) ay nahahati sa mga klase ng equivalence. sa mga pares i ayon sa kabutihan ng pag-iisip (3) kinukuha natin ang:
. (4)
Ang aming gawain ay italaga ang operasyon ng pagtitiklop sa multiplier na iyon sa multiplier, upang ito ay isang field. Ang bilang ng mga operasyon ay makabuluhan ayon sa pagkakapantay-pantay:
, (5)
(6)
Kaya, pagkatapos ay ab1=ba1 at pagkatapos ay cd1=dc1, pagkatapos ay i-multiply ang mga halaga ng pagkakapantay-pantay, kunin namin ang (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), at ang ibig sabihin ng tse na babaguhin tayo ng Tse mula sa isa na ang katumbas (6) ) ay epektibong nagpapahiwatig ng isang hindi malabo na operasyon sa isang impersonal na uri, tulad ng pagsisinungaling sa pagpili ng mga kinatawan ng klase ng balat. Katulad nito, ang pagiging natatangi ng operasyon (5) ay binago.
Dahil ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga klase ay maaaring bawasan sa pagtitiklop at pagpaparami ng mga pares, kung gayon ang mga operasyon (5) at (6) ay commutative, associative at distributive at maaaring idagdag.
Sa mga pagkakapantay-pantay, inilatag na ang klase ay isang neutral na elemento kapag dinagdagan at para sa klase ng balat, ang elementong protella yoma ang ginagamit. Katulad nito, malinaw na ang klase ay isang neutral na elemento ng plurality at para sa skin class ay ang corrective class. Gayundin, є ang larangan ng mga operasyon (5) at (6); unang Umov sa itinalagang punto 2.4 panalo.
Tingnan natin ang impersonal na distansya. Malinaw, . Ang impersonality ay sarado sa pamamagitan ng pagtingin sa maramihan na iyon at, sa paglaon, ng pidkil ng field. Tama,. Tingnan natin ang pangitain, . Ang sur'jectivity ng manipestasyong ito ay halata. Kung f(x)=f(y), kung gayon x(1=y(1 o x=y. Ibig sabihin f at injectively. Bilang karagdagan, isomorphic kіltsya, posibleng maunawaan na ang Z kіlce ay ang subkіlcem ng field, upang ang isip ay tinalo 2 sa itinalagang sugnay 2.4. fields i, halika na. Bo, ah, kung gayon. Ale oskіlki - ang field, pagkatapos ay pribadong tsikh elemento tezh kasinungalingan sa field. Si Tim mismo ang nagdala nito, ano ito, kung gayon, tobto. Nakumpleto na ang batayan ng sistema ng mga rational na numero.

2.6. PAGKAKAISA NG SISTEMA NG RATIONAL NUMBERS.

Kung mayroon lamang isang sistema ng mga rational na numero sa modernong intuitive na kahulugan, kung gayon ang axiomatic theory ng mga rational na numero, tulad ng lumilitaw dito, ay maaaring maging kategorya. Kategorya at nangangahulugan na, hanggang sa isomorphism, mayroon lamang isang sistema ng mga rational na numero. Ipakita natin na totoo.
Hayaan ang (Q1;+, (; Z) at (Q2; (, (; Z)) - maging tulad ng dalawang sistema ng mga rational na numero.
(1)
(2)
para sa anumang elementong x at y mula sa field Q1.
Ang mga pribadong elemento a at b sa field Q1 ay tutukuyin ng, at sa field Q2 - ng a:b. Dahil Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, pagkatapos ay para sa anumang bilang ng mga numero a і b katumbas
, . (3)
Halika at de, . Itinalaga namin sa ibinigay na elemento x ang elementong y=a:b mula sa field na Q2. Kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo sa field na Q1, kung gayon, ang theorem ng item 2.4 sa singsing na Z ay nanalo sa pagkakapantay-pantay ab1=ba1, kung hindi, dahil sa (3), pagkakapantay-pantay, at katulad din para sa parehong teorama, ang pagkakapantay-pantay a: b=a1:b1 ay wasto sa field Q2. Nangangahulugan ang Tse na sa pamamagitan ng pagtatalaga sa elemento ng field Q1 ng elementong y=a:b mula sa field na Q2, ipapakita namin ito, .
Anumang elemento mula sa field Q2 ay maaaring katawanin bilang a:b, de, otzhe, є ang ranggo ng elemento mula sa field na Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Oo, pagkatapos ay sa patlang Q1 at pareho. Sa ganitong paraan, ang fermentation f є bієktivnym at lahat ng tsіlі na numero ay nagiging masuwayin. Kailangang bigyan ng hustisya ang pagkakapantay-pantay (1) at (2). Sabihin nating a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Pagkatapos i, mga senyales dahil sa (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Katulad nito, at mga bituin.
Isomorphism ng mga interpretasyon ng (Q1; +, (; Z) at (Q2; (, (; Z)) na sumusulong.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Solusyon. Hayaang maging totoo ang mga axioms 4 ng isip (tulad ng kapangyarihan ng mga natural na numero na ((0) i. Gawin natin ito. Kung natutugunan ng M ang mga kapangyarihan ng axioms 4, shards ((0) (0(M i. Otzhe), M=N , then be-like natural ).ang numero ay makapangyarihan (. Bumalik. Katanggap-tanggap na kung may kapangyarihan o wala (mula doon ((0) i, susunod. Hayaan ang M na maging submultiplier ng N, na 0(M) i.) Ipapakita na M = N. Ipakilala natin ang kapangyarihan (, nang may paggalang. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Hatol: Tunay na paninindigan ng 1st at 4th axioms ng Peano. Pagkumpirma ng 2nd axioms ng Hibne.
1.1.3. Hatol: makatotohanang pahayag ng 2,3,4 axioms ng Peano. Pagkumpirma ng 1st axioms ng Hibne.
1.1.4. Mga totoong assertion 1, 2, 3 Peano's axioms. Pahayag ng ika-4 na axiom ng Hibne. Vkazіvka: upang dalhin, scho nasiyahan sa mga posibilidad ng axiom 4, formulated sa mga tuntunin ng operasyon, ale.
1.1.5. Vkazіvka: upang patunayan ang katotohanan ng axiom 4, tingnan ang submultiplier M z A, dahil ito ay nagbibigay-kasiyahan sa isip: a) 1 ((M, b), at impersonal.
1.1.6. Tunay na assertion ng Peano's 1,2,3 axioms. Pahayag ng ika-4 na axiom ng Peano Hibne.
1.6.1. a) Desisyon: Mangyaring ipaalam sa akin kung 1am na. Bumalik. Halika na am
1.6.2. a) Desisyon: Katanggap-tanggap. Sa pamamagitan ng M, ang lahat ng mga numero ay makabuluhang impersonal, upang hindi sila maging makapangyarihan (. Sa palagay, M((. Sa bisa ng Theorem 1, M ay may pinakamaliit na elemento n(0). Maging ang bilang x
1.8.1. f) Lagyan ng tsek ang p. e) at p. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, gayundin, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Manalo ng kapangyarihan.
l) Lagyan ng tsek ang p. b).
l) Lagyan ng tsek ang p. b) at p. h).
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Ama, .
d) Maemo. Ama, .
at).
1.8.3. a) Tulad ng (i (iba't ibang solusyon na katumbas ng ax2+bx=c), pagkatapos ay a(2+b(=a(2+b(.)) . Eksakto ((. Gayunpaman (2=a(+b>a(,), din, (>a.))).
c) Nehai (i (- magkaibang mga ugat ng pantay na i (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Mamaya, a((+()=2), pero (+(>2), mamaya, a((+()>2), na imposible).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y ay isang natural na numero; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Eksaktong hanggang sa mga permutasyon x=1, y=2, z=3. Solusyon: Halimbawa, sabihin natin x(y(z. Then xyz=x+y+z(3z, so xy(3.) So xy=1, then x=y=1 і z=2+z, so) Imposible : kung xy = 2, kung gayon x = 1, y = 2. Kung saan ang 2z = 3 + z, pagkatapos ay z = 3. Kung xy = 3, kung gayon x = 1, y = 3. Pagkatapos ay 3z = 4+z , kaya z=2, upang i-superimpose ang allowance y(z.
1.8.5. b) Kung ang x=a, y=b ay isang split, kung gayon ang ab+b=a, kung gayon. a>ab, na imposible. d) Kung ang x=a, y=b ay isang split, kung gayon b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - sapat na natural na numero at y(1. b) x - sapat na natural na numero, y=1. c) ang x ay medyo natural na bilang na y=1. d) Walang solusyon. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Kung a = b, 2ab = a2 + b2. Halika, halimbawa, a

PANITIKAN

1. Redkov M.I. Numerical system. /Mga rekomendasyong pamamaraan sa kursong "Mga sistema ng numero". Bahagi 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Numerical system. / Pag-unlad ng pamamaraan para sa praktikal na pagkuha. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.