Alamin ang lahat ng makatwirang ugat ng isang mayamang termino online. Equation sa lahat ng matematika. Rational root ng rich terms. pakana ni Horner. Chi є tse rational number

Ang isang mayamang termino sa anyo ng variable na x ay tinatawag sa ibang paraan: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n ay isang natural na numero; isang, isang-1, . . . , a 1, a 0 - kung ang mga ito ay mga numero, na tinatawag na coefficients ng polynomial na ito. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial, at 0 ay tinatawag na isang arbitrary na miyembro. an - coefficient sa xn, an-1 - coefficient sa xn-1 at iba pa. halimbawa, ang rich term na 0x2 + 0x + 0 ay null. Mula sa talaan ng polynomial, malinaw na ang vin ay idinagdag mula sa bilang ng mga miyembro. Parang ang katagang "mayaman na miyembro" (mayayamang miyembro). Minsan ang isang mayamang termino ay tinatawag na polynomial. Ang katagang ito ay kahawig ng mga salitang Griyego na πολι - mayaman at νομχ - miyembro.

Ang isang mayamang miyembro sa anyo ng isang pagbabago x ay ipinapahiwatig: . f (x), g (x), h (x) at iba pa, halimbawa, bilang ang unang pagturo ng mas masaganang termino sa mga tuntunin ng f (x), pagkatapos ay maaari mong isulat ang: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Ang rich term na h (x) ay tinatawag na pinakamalaking sleeper ng rich terms f (x) at g (x), kaya posible upang magdagdag ng f (x), g (x) at leather na dilnik. 2. Ang rich term na f(x) na may coefficients mula sa field P ng step n ay tinatawag na reducible sa field P, kaya nagtatatag ng rich terms h(x), g(x) Î P[x] ng step less n upang f(x) = h( x)g(x).

Ito ang rich term f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, pagkatapos ay ang bilang n ay tinatawag na yugto ng rich term f (x) (o tila: f (x) ang n-th stage) at isulat ang Art. f(x) = n. At narito ang tinatawag na senior coefficient, at ang anxn ay ang senior member ng polynomial na ito. Halimbawa, kung f (x) = 5 x 4 -2 x +3, kung gayon ang Art. f(x) = 4, senior coefficient - 5, senior term - 5 x4. Ang polynomial na hakbang ay ang pinakamalaki sa mga bilang ng mga coefficient nito, ang nangungunang mga uri ng zero. Ang mga rich terms ng zero step ay ang buong numero, na pareho sa zero. ang zero rich term ng hakbang ay hindi maaaring; rich term f(x) = a, kung saan ang a ay isang numero, hindi katumbas ng zero, ang maximum na hakbang ay 0; hakbang na rin maging ilang iba pang polynomial, na mas mahal sa pinakamalaking tagapagpahiwatig ng hakbang ng pagbabago x, ang koepisyent sa susunod ay zero.

Rivnist ng mayamang miyembro. Dalawang rich term na f(x) at g(x) ay itinuturing na pantay, kahit na ang kanilang mga coefficient ay pantay-pantay sa parehong mga hakbang ng pagbabago ng x at mga libreng termino (katumbas ng їх sa mga tuntunin ng mga coefficient). f(x) = g(x). Halimbawa, ang mga rich terms f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 ay hindi pantay, ang una sa kanila ay may coefficient sa x3 na mas pantay. sa 1, at ang isa ay may zero ( Sa mga tinatanggap na katalinuhan, maaari naming isulat ang: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Kung saan: f (x) ≠ g (x) .x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

At ang axis ng rich term f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 nang pantay-pantay kahit na a = 3 , ngunit b = -2. Ibigay ang rich term f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 ay isang numero c. Numero f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . Ang +a 1 c+a 0 ay tinatawag na halaga ng polynomial f(x) sa x = c. Sa ganoong paraan, upang malaman ang f (c), kinakailangan na patunayan ang x at isagawa ang mga kinakailangang kalkulasyon. Halimbawa, kung f(x) = 2x3+3x2-x+5, kung gayon f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Maaaring kunin ang isang mayamang miyembro na may iba't ibang halaga ng pagbabagong x iba't ibang halaga. Ang numero ay tinatawag na ugat ng polynomial f (x), kaya f (c) =0.

Mahalagang bigyang-pansin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang pahayag: "ang rich term f(x) ay katumbas ng zero (kung hindi, ang rich term f(x) ay zero)" at "ang halaga ng polynomial f(x) sa x=z ay katumbas ng zero". Halimbawa, ang polynomial f (x) \u003d x 2 -1 ay hindi katumbas ng zero, ang vіn ay maaaring non-zero coefficients, tulad ng halaga sa x \u003d 1 ay katumbas ng zero. f(x) ≠ 0, at f(1) =0. Sa pagitan ng mga pag-unawa sa pagkakatumbas ng mga mayamang termino at ang kahulugan ng mayamang termino ay ang magkaparehong malapit na ugnayan. Kung ang dalawang pantay na polynomial na f(x) at g(x) ay ibinigay, kung gayon ang їх ay pantay na coefficients ng mga katumbas, at, samakatuwid, f(c) = g(c) para sa skin number с.

Ang mga operasyon sa polynomials Ang mga mayayamang termino ay maaaring idagdag, makita at i-multiply ayon sa karaniwang mga tuntunin para sa pagpapalawak ng arko at pagbabawas ng mga katulad na termino. Sa pamamagitan nito, bilang isang resulta, muli akong pumasok sa isang mayamang miyembro. Maaaring may kapangyarihan ang mga itinalagang operasyon: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Hayaan mong bigyan kita ng dalawang rich terms f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Malinaw na ang Art. f(x)=n, at art. g(x) = m. Kung paparamihin mo ang qi dalawang polynomial, mapupunta ka sa isang rich term ng form na f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 at bn≠ 0, pagkatapos ay anbm≠ 0, gayundin, art. (f(x)g(x))=m+n. Ang mga tunog ay malakas at mahalaga.

Mga hakbang upang magdagdag ng dalawang di-zero rich terms sa kabuuan ng mga hakbang ng mga multiplier, art. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Ang senior member (coefficient) ng paglikha ng dalawang non-zero rich terms upang maidagdag ang senior member (coefficients) ng multipliers. Ang isang libreng miyembro ng paglikha ng dalawang mayamang miyembro ay karapat-dapat sa paglikha ng mga libreng miyembro ng joint multiplier. Ang mga hakbang ng masaganang articulated f(x), g(x) at f(x) ±g(x) ay nauugnay sa paparating na spivvіdnoshennia: art. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Ang superposisyon ng maraming termino f(x) at g(x) ay tinatawag. rich term, na tinutukoy ng f (g (x)), na maaari ding pumunta sa polynomial f (x) sa halip na x, palitan ang polynomial g (x). Halimbawa, kung f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, kung gayon f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Makikita na ang f(g(x)) ≠g(f(x)), iyon ay isang superposisyon ng maraming termino f(x), g(x) at isang superposisyon ng maraming termino g(x), f( x) magkaiba. Sa ganitong paraan, ang operasyon ng superposisyon ay walang kapangyarihan ng displacement.

, Algorithm para sa underestimation at overflow Para sa kung f(x), g(x) ito ay malinaw q(x) (pribado) at r(x) (surplus), upang ang f(x)=g(x)q(x )+ r(x), at ang mga hakbang r(x)

Ang mga diksyunaryo ng polynomial Dictionary ng isang rich term f(x) ay isang rich term g(x) na ang f(x)=g(x)q(x). Ang pinakamalaking kama ng dalawang richly-segmented Ang pinakamalaking kama ng richly-segmented f(x) at g(x) ay isang double bed ng d(x), na maaaring hatiin sa anumang iba pang kama nila.

Ang algorithm ng Euclidean (algorithm ng huling subdivision) ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang talaarawan ng mga rich terms f(x) at g(x) Todi ay ang pinakamalaking dilnik ng f(x) at g(x).

Baguhin ang iba Solusyon: Alam namin ang GCD ng mga rich term na ito, inaayos ang Euclidean algorithm 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, rich term (- x2 - 3 x - 2) Ang resulta ay nasa ilalim ng banner ng polynomial of vіdomy.

Alamin natin ang resulta ng subdivision ng numero. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Ang pamamaraan ni Horner sa paghahati mula sa isang sobrang mayamang terminong f(x) sa isang hindi zero na rich term na g(x) - ang ibig sabihin ng ne ay upang ipakita ang f(x) sa view na f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) -rich terms i o r(x) = 0, o st. r(x)

Mga rich segment, na nakatayo sa kaliwa at kanang bahagi ng spіvvіdnoshennia nito, pantay, at gayundin, pantay їhnі vіdpovіdni koefіtsіetsi. Ito ay katumbas ng mga ito, na nagbukas ng mga busog sa harap at nagtanim ng magkatulad na mga paa sa kanang bahagi ng linya ng pagkakapantay-pantay. Minus: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih equalities: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Alam namin ang mga formula na maaaring magamit upang kalkulahin ang mga coefficient ng isang kakaibang pribadong s (x) at labis na r. Sa pamamagitan nito, ang mga singil ay iginuhit sa harap ng talahanayan; ito ay tinatawag na Horner's scheme.

Talahanayan 1. Coefficients f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Ang mga coefficient na s(x) ay sobra. Sa isa pang row, malapit sa unang cell, isulat ang numero c. Ang Reshta clitin ng row ay pinupunan, binibilang, isa-isa, ang mga coefficient ng non-linear private s (x) at ang labis na r. Sa isa pang kliyente, isulat ang koepisyent bn-1, na, bilang na-install namin, ay mas mahal an.

Ang koepisyent para tumayo sa pader na nakakasakit sa balat ay kinakalkula ayon sa sumusunod na panuntunan: ang numero c ay pinarami ng numerong tatayo sa harap na dingding, at ang numero ay idinagdag sa resulta, upang tumayo sa itaas ng dingding, upang matandaan . Upang matandaan, sabihin nating, limang clitin, upang malaman na tumayo sa kanyang koepisyent, kinakailangan na i-multiply ang c sa bilang na nasa ikaapat na clitin, at idagdag sa resulta ang bilang na nakatayo sa itaas ng ikalimang clitin. Hatiin natin, halimbawa, ang mayamang terminong f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 sa x-2 іz nang labis, ang pamamaraan ni Horner. Kapag pinupunan ang unang hilera, ang mga numero ng scheme ay hindi maaaring makalimutan tungkol sa zero coefficients ng polynomial. Kaya, ang mga coefficient na f(x) ay ang mga halaga ng mga numero 3, 0, - 5, 3, - 1. Ang isa pang bagay na dapat tandaan ay ang hakbang ng isang hindi kumpletong pribado ay isang mas mababa kaysa sa hakbang ng ang mayamang terminong f(x).

Gayundin, tila na-subdivide ito ayon sa iskema ni Horner: Talahanayan 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Mahalagang tandaan na ang pribadong s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 at sobra r=33. Sa paggalang, nakalkula namin ang halaga ng polynomial f (2) =33. Ngayon, hatiin natin ang napakayamang term na f(x) sa x + 2 іz nang labis. Mayroon akong isang vipadku na may = -2. opsyonal: Talahanayan 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Bilang resulta, f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Root of polynomials Nehai с1, с2, …, сm - Iba't ibang ugat ng polynomial f(x). Pagkatapos ang f(x) ay nahahati sa x-c1, pagkatapos ay f(x) = (x-c1) s1(x). Bayaran natin ang equanimity na ito x=c2. Ibinabawas natin ang f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, kaya f(c2) =0, pagkatapos (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, pagkatapos c2 -c1≠ 0, na nangangahulugang s 1 (c 2) = 0. Gayundin, c2 ang ugat ng polynomial s 1 (x). Ipinapakita nito na ang s1(x) ay nahahati sa x-c2, kaya s1(x) = (x-c2) s2(x). Isipin ang pagbabawas ng virase para sa s 1 (x) y katumbas ng f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Maaaring f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Ang pagkakaroon ng ilagay sa natitirang bahagi ng pagkakapantay-pantay x \u003d c3, upang ayusin ang f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, ipinapalagay namin na ang c3 ay ang ugat ng polynomial s 2 (x). Kaya, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), at pagkatapos ay f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) at iba pa. para sa mga ugat na nawala, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) ay inalis, ito ay dinala sa mas mababang formula.

Dahil ang c1, c2, ..., cm ay ang iba't ibang ugat ng polynomial f (x), kung gayon ang f (x) ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng pagtingin sa f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x). Mukhang isang mahalagang kahihinatnan. Dahil ang c1, c2, ..., cm ay ang ugat ng polynomial f (x), kung gayon ang f (x) ay hinati sa polynomial (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Ang bilang ng iba't ibang mga ugat ng non-zero polynomial f(x) ay hindi mas malaki kaysa sa mas mababang hakbang. Totoo, dahil walang ugat ang f(x), malinaw na tama ang theorem, mas Art. f (x) ≥ 0. Hayaang ang f (x) ay mayroon na ngayong m mga ugat na c1, c2, ..., cm, bukod dito, lahat ng baho ay iba. Kung paanong ang f (x) ay hinati ng (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Minsan Art. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + sining. (X-C2) + ... + Art. (x-cm) \u003d m, pagkatapos ay st. f(x)≥m, at m ay ang bilang ng mga ugat ng rich term na maaaring isaalang-alang. At ang axis ng zero rich term ay walang katapusan na mayaman sa mga ugat, kahit na ito ay may kahulugan para sa anumang x ay mas maganda 0. Zokrema, para sa kapakanan ng sanhi nito, at huwag parusahan ang parehong hakbang sa pagkanta. Mula sa mahusay na napatunayang theorems, ang parehong assertion ay maliwanag.

Kung ang polynomial f(x) ay hindi multinomial ng step, mas malaki, mas mababa ang n, at maaaring mas malaki, lower n roots, kung gayon ang f(x) ay zero polynomial. Sa katunayan, mula sa isip ng isip ng kompanya, malinaw na ang f (x) ay isang zero polynomial, o sining. f(x) ≤n. Ipagpalagay na ang polynomial f(x) ay hindi zero, pagkatapos ay art. f(x) ≤n, at pagkatapos f(x) ay hindi maaaring higit pa, sa ibaba ng n mga ugat. Dumarating na tayo sa punto ng pagiging superb. Samakatuwid, ang f(x) ay isang non-zero rich term. Hayaang ang f(x) at g(x) ay hindi zero rich terms ng step, hindi mas malaki, lower n. Kung ang q polynomial ay nakakuha ng parehong halaga para sa n + 1 na mga halaga ng pagbabago x, pagkatapos ay f (x) = g (x).

Para sa patunay, tingnan natin ang mayamang termino h(x) = f(x) – g(x). Napagtanto ko na - alinman sa h (x) = 0, o st. h (x) ≤n, kung gayon ang h (x) ay hindi isang rich term ng hakbang, mas malaki kaysa, mas mababa sa n. Hayaan akong kunin ang numero upang f (c) = g (c). Pagkatapos h(c) = f(c) - g(c) = 0, pagkatapos h ay ang ugat ng polynomial h(x). Gayundin, ang mayamang terminong h(x) ay may n+1 na mga ugat, at kung, tulad ng ginawa nito, h(x) = 0, kung gayon ang f(x) = g(x). Kung ang f(x) at g(x) ay may parehong mga halaga para sa lahat ng mga halaga ng variable x, kung gayon

Maramihang mga ugat ng multinomial Dahil ang bilang na є ay ang ugat ng multinomial na f (x), ang polynomial na ito, tila, ay nahahati sa x-s. Posibleng ma-extend ang f(x) sa susunod na hakbang bugato-miyembro x-s, ibig sabihin, sa (x-c) k, k>1. Ang vipadka na ito ay tinatawag na multiple root. Buuin natin ang appointment nang mas malinaw. Ang numero ay tinatawag na ugat ng multiplicity k (k-fold root) ng polynomial f (x), kaya ang polynomial ay nahahati ng (x-c) k, k>1 (k ay isang natural na numero), ngunit hindi nahahati ng ( x-c) k + 1. Kung k=1, kung gayon ito ay tinatawag na isang simpleng ugat, at kung k>1, ito ay tinatawag na multiple root ng polynomial f (x).

Kaya ang polynomial f(x) ay maaaring katawanin bilang f(x)=(x-c)mg(x), m ay isang natural na numero, vin ay nahahati ng (x-c) m+1 at pagkatapos ay kung g(x) ay nahahati ng x-c . Sa katunayan, kung ang g(x) ay nahahati sa x-c, kung gayon ang g(x)=(x-c)s(x), kung gayon ang f(x)=(x-c) m+1 s(x), at gayundin, f(x ) ay nahahati sa (x-c) m+1. Bumalik, dahil ang f(x) ay nahahati ng (x-c) m+1, pagkatapos ay f(x)=(x-c) m+1 s(x). Pagkatapos (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) at pagkatapos ng maikling oras para sa (x-c) m, g (x) = (x-c) s (x) ay kinuha. Parang ang g(x) ay nahahati sa x-s.

Maliwanag, halimbawa, na ang chi ay ang numero 2 bilang ugat ng rich term f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, at kung gayon, kung gayon alam natin ang multiplicity nito. Upang ma-verify ang unang power supply, maaari naming tingnan ang karagdagang Horner scheme, na naghahati sa f(x) sa x-2. maaaring: Talahanayan 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Tulad ng Bachimo, ang labis kapag hinahati ang f(x) ng x-2 ay higit sa 0, kaya dapat itong hatiin ng x-2. Kaya, ang 2-ugat ng polynomial. Bilang karagdagan, inalis namin ang f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Ngayon ay halata na, chi є f (x) sa (x-2) 2. Tse para magdeposito, kung paano dinala ni mi schoyno, sa view ng divisibility ng polynomial g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 sa x-2.

Muling pinabilis ng pamamaraan ni Horner: Talahanayan 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Pagkatapos f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Gayundin, ang f(x) ay nahahati sa (x-2) 2, ngayon ay kailangang sabihin na ang f(x) ay nahahati ng (x-2)3. Kung saan ito ay nababaligtad na ang h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 ay hinati sa x-2: Talahanayan 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, gayundin, Ang f(x) ay hinati ng (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Pagkatapos, sa katulad na paraan, posibleng suriin kung ang f(x) ay nahahati sa (x-2)4, upang ang s(x)=x 2+x-3 ay nahahati sa x-2: Talahanayan 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Alam na ang labis kapag ang s(x) ay nahahati sa x-2 ay katumbas ng 3, kung gayon ang s(x) ay hindi nahahati sa x-2. Gayundin, ang f(x) ay hindi sumasailalim sa (x-2) 4. Sa ganitong paraan, ang f(x) ay sumasailalim sa (x-2)3, ngunit hindi sumasailalim sa (x-2)4. Gayundin, ang numero 2 ay ang ugat ng multiplicity ng rich term 3 f(x).

Ipatunog ang reverb ng ugat para sa multiplicity ng pagbibilang ng mas kaunti sa talahanayan. Para sa application na ito, maaaring ganito ang hitsura ng talahanayan: Talahanayan 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Ibinawas ni Horner ang multinomial f (x) ng x-2, sa isa pang hilera ay inaalis namin ang mga coefficient ng polynomial g (x). Pagkatapos ay dalhin natin ang isa pang hilera sa unang hilera ng bagong sistema ng Horner at ibawas ang g (x) ng x-2 at iba pa. Sa ganitong paraan, ang multiplicity ng ugat ay katumbas ng bilang ng otrimanih zero surpluses. Sa isang hilera, upang ipaghiganti ang natitirang di-zero na labis, mayroon ding mga coefficient ng bahagi kapag ang f (x) ay nahahati sa (x-2) 3.

Ngayon, vikoristovuyuchi schoyno proponovan scheme ng reverification ng root para sa multiplicity, tila na ang gawain ay darating. Para sa alinmang a at b, ang mayamang terminong f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 maaari bang ang numero - 2 ang maging ugat ng multiplicity ng 2? Kaya't ang multiplicity ng root - 2 ay dahil sa pagdaragdag ng 2, pagkatapos, na hinati ito ng x + 2 para sa proponated scheme, tayo ay dahil sa doble upang kunin ang labis na 0, at sa pangatlo - ang labis, na kung saan ay katumbas ng zero. Mayo: Talahanayan 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Sa ranggo na ito, ang numero - 2 є ugat ng multiplicity ng 2 ng expiratory rich term, pagkatapos at pagkatapos lamang, kung

Ang makatwirang ugat ng polynomial Kung ang hindi maikling terminong l/m (l, m ay ang mga integer ng numero) ay ang ugat ng rich term na f(x) na may maraming coefficient, kung gayon ang pinakamataas na coefficient ng polynomial ay mahahati. sa pamamagitan ng m, at ang pangmatagalan ay nahahati sa 1. Totoo, tulad ng f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 ay mga integer, pagkatapos f(l/m) = 0, pagkatapos ay an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. I-multiply ang mga nakakasakit na bahagi ng presyo ng katumbas sa mn. Kumuha ng anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) tunog.

Bachimo, ang buong bilang na anln ay nahahati sa m. Ang Ale l/m ay isang hindi maikling drib, kaya ang mga numerong l at m ay magkaparehong simple, ngunit gayundin, ayon sa teorya ng validity ng mga integer na numero, ang mga numerong ln at m ay pareho ding simple. Otzhe, anln na nahahati sa m at m ay kapwa simple mula sa ln, gayundin, an na hatiin sa m. Alam natin ang nakapangangatwiran na ugat ng mayamang termino f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Ayon sa theorem, ang nakapangangatwiran na ugat ng polynomial ay matatagpuan sa mga di-maiikling fraction sa anyo l / m, de l ay ang dilnik ng libreng termino a 0 \u003d 8, at m ay ang dilnik ng pinakamataas na koepisyent a 4 \u003d 6. kung gayon, kung gayon ang l / m ay negatibo, kung gayon ang tanda na "-" ay lumalabas sa dial ng numero. Halimbawa, - (1/3) = (-1)/3. Gayundin, maaari nating sabihin na ang l ay ang kadahilanan ng numero 8, at ang m ay ang positibong kadahilanan ng numero 6.

Ang mga oscillator ng numero 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, at ang mga positibong dilator ng numero 6 ay magiging 1, 2, 3, 6, kung gayon ang makatwirang ugat ng mukhang mayamang termino ay kabilang sa mga numero ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Ipagpalagay na isinulat namin ang higit pa sa mga maikling fraction. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, maaari tayong magkaroon ng dalawampung numero - "mga kandidato" para sa mga ugat. Naiwan lamang na muling isaalang-alang ang balat ng mga ito at piliin ang mga iyon, na parang totoo sa mga ugat. May darating na theorem na magpapadali para sa robot. Hangga't ang l/m ay ang ugat ng maramihang terminong f(x) na may maraming coefficient, kung gayon ang f(k) ay hinati sa l-km para sa anumang integer k para sa isip, na l-km≠0.

Upang patunayan ang teorama, hinahati namin ang f(x) sa x-k іz nang labis. Ibinabawas natin ang f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Ang Oskіlki f(x) ay isang rich term na may qlimi coefficients, kung gayon ang ganoong rich term ay s(x), at ang f(k) ay isang whole number. Hayaan ang s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Pagkatapos f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Bayaran natin ang equanimity na ito 1 x=l/m. Kung f(l/m)=0, kung gayon f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). I-multiply ang nakakasakit na bahagi ng natitirang equity sa mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Malinaw na ang bilang mnf (k) ay nahahati sa l-km. Ang Ale oskіlki l і m ay kapwa simple, pagkatapos mn і l-km ay kapwa simple din, gayundin, ang f (k) ay hinati sa l-km. Nakumpleto na ang theorem.

Bumaling tayo sa aming puwitan at, pagkatapos na mapatunayan ang teorama, ito ay higit na matunog tungkol sa tunog ng nakapangangatwiran na ugat. Kinakailangang italaga ang theorem para sa k=1 і k=-1, iyon ay, dahil ang di-maikling drіb l/m ay ang ugat ng terminong f(x), pagkatapos ay f(1)/(l-m), at f(-1)/(l + m) . Madaling malaman na sa mga oras na f(1)=-5, at f(-1)=-15. Magalang, sa parehong oras, pinatay namin ito sa isang sulyap ± 1. Mula ngayon, ang makatwirang ugat ng aming rich term ay ang sumusunod na bilang ng mga gitnang numero ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2 , ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Tingnan natin ang l/m=1/2. Pagkatapos l-m=-1 at f(1)=-5 ay hinati sa buong numero. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 kaya mismo ay nahahati sa 3. Kaya, ang drib 1/2 ay naiwan sa gitna ng "mga kandidato" sa ugat.

Hayaan mo ako ngayon lm=-(1/2)=(-1)/2. Sa kasong ito, ang l-m=-3 і f(1) =-5 ay hindi nahahati sa - 3. Kaya, ang drіb -1/2 ay hindi maaaring maging ugat ng mayamang terminong ito, at maaari nating isara ito mula sa malayong pananaw. Kinakailangan na muling isaalang-alang para sa aplikasyon ng balat ng mga pag-shot, isinasaalang-alang namin na ang ugat ay matatagpuan sa mga numero 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Sa ranggo na ito, upang tapusin ang parehong simpleng trick, ang rehiyon ng mga nakapangangatwiran na ugat ng itinuturing na polynomial ay naging makabuluhan. Buweno, para muling suriin ang mga numerong naiwan, maaari nating gamitin ang Horner scheme: Talahanayan 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, ang scho 1/2 ay ang ugat ng mayamang terminong f(x) at f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Malinaw na ang iba pang mga ugat ng polynomial f(x) ay kinuha mula sa mga ugat ng polynomial g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, pagkatapos, ang karagdagang pagsusuri sa mga "kandidato" sa ang ugat ay maaaring isagawa na ng parehong polynomial. Alam natin: Talahanayan 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Inalis natin na ang labis kapag ang g(x) ay hinati ng x-2/3 ay higit pa - 80/9 , pagkatapos. Ang 2/3 ay hindi ugat ng polynomial na g(x), gayundin, i f(x). Dagdag pa, alam natin na - 2/3 ang ugat ng polynomial g (x) at g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Pagkatapos f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Maaaring isagawa ang karagdagang pag-verify para sa polynomial x 2+2 x-4, na mas simple, mas mababa para sa g (x) o mas malaki para sa f (x). Bilang isang resulta, ito ay isinasaalang-alang na ang mga numero 2 i - 4 ay hindi na-root. Gayundin, ang rich term f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ay may dalawang rational roots: 1/2 i - 2/3. Ginagawang posible ng pamamaraang ito na malaman lamang ang isang nakapangangatwiran na ugat ng isang mayamang termino na may malaking bilang ng mga coefficient. Minsan ay mayamang miyembro si Tim ng ina at hindi makatwiran na ugat. Kaya, halimbawa, kapag tinitingnan ang butt ng isang rich term, mayroon lamang dalawang ugat: - 1±√5 (ang ugat ng rich term na ito ay x2 + 2 x-4). ang polynomial ay maaaring tawaging di-materyal na rational root.

Kapag sinusuri ang "mga kandidato" sa ugat ng mayamang terminong f(x) pagkatapos ng karagdagang elaborasyon ng iba pang theorems, dapat mong tawagan ang kaliwa para sa mga kandidato k=± 1. Sa madaling salita, kung ang l/m ay isang "kandidato" sa ang ugat, pagkatapos ay mag-o-overthink ka na ang f( 1 ) at f(-1) sa l-m at l+m ay tama. Ngunit maaaring ito ay, halimbawa, f(1) =0, ibig sabihin, 1 ang ugat, pagkatapos f(1) ay maaaring i-extend bilang isang numero, at ang muling pag-verify ay magkakaroon ng kahulugan. Sa kasong ito, hatiin ang f(x) sa x-1, kaya kunin ang f(x)=(x-1)s(x) at subukan ang polynomial s(x). Kung nakalimutan mo ang isang ugat ng polynomial f(x)-x 1=1 - alam na natin. Kung ang mga "kandidato" ay baligtad sa ugat, na nawala pagkatapos ng isa pang teorama tungkol sa nakapangangatwiran na ugat, pagkatapos ng pamamaraan ni Horner posible na, halimbawa, ang l / m ay ang ugat, kung gayon dapat mong malaman ang multiplicity nito. Kung ito ay mas mahal, sabihin nating, k, kung gayon ang f(x)=(x-l/m) ks(x), at ang karagdagang reverification ay maaaring gawin para sa s(x), na magpapaikli sa pagkalkula.

Solusyon. Pagkatapos baguhin ang pagbabago y=2 x, lumipat tayo sa isang polynomial na may coefficient na katumbas ng isa para sa pinakamataas na hakbang. Para sa balikat na ito, pinarami namin ang viraz sa 4. Kung ang pag-andar ng ugat ay inalis, kung gayon ang baho ay matatagpuan sa gitna ng libreng miyembro. Naisusulat ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Kinakalkula namin nang sunud-sunod ang halaga ng function na g(y) sa mga puntong ito hanggang sa zero. Tobto, y=-5 є ugat, otzhe, є ugat ng panlabas na function. Isinasagawa sa ilalim ng stovpchik (coil) ng rich term sa binomial

Ang muling pag-verify ng dilnikov, na nawala, ay dapat na isagawa nang hindi kumpleto, kaya mas madaling ilagay ang square trinomial Otzhe sa mga multiplier ng mga pagbabawas,

Mga formula ng Vykoristannya ng mabilis na multiplikasyon at binomial ni Newton para sa pagpapalawak ng isang mayamang termino sa mga salik na Inodi lumang hitsura polynomial upang magmungkahi tungkol sa paraan ng pagkalat ng yoga sa mga multiplier. Halimbawa, pagkatapos ng hindi pantay na mga pagbabagong-anyo, ang mga coefficient ng vishikovyvayutsya sa isang hilera mula sa trikot ni Pascal para sa mga coefficient ng binomial ng Newton. puwit. Ilatag ang multiplier term.

Solusyon. Binabalik namin ito sa punto: Ang pagkakasunud-sunod ng mga coefficient sa kabuuan sa mga armas ay malinaw na nagpapakita kung ano ito. Mula sa pareho, Ngayon, bubuo tayo ng pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: Viraz ang isa pang arko ay walang mga ugat ng pagkilos, ngunit para sa mayamang termino mula sa unang arko, muli nating bumalangkas ng pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat

Ang mga formula ng Vieta ay nagpapahayag ng mga koepisyent ng isang polynomial sa pamamagitan ng ika-ugat. Gamit ang mga formula na ito, maaari mong manu-manong iwasto ang kawastuhan ng kahulugan ng ugat ng mayamang termino, gayundin para sa pagtitiklop ng mayamang termino para sa mga ibinigay na ugat. Ang formula Bilang isang ugat ng isang polynomial, kung gayon ang mga coefficient ay ipinakikita ng mga simetriko na rich terms ng mga ugat, at

Sa madaling salita, ak dear sum ng lahat ng posibleng likha mula sa k ugat. Bilang senior coefficient ng polynomial, kinakailangan na hatiin ang lahat ng coefficient sa isang 0 bago ang formula ng Vieta. Mula sa natitirang bahagi ng formula na Vієta ay malakas, na parang ang ugat ng mayamang miyembro ay integer, kung gayon ang baho ay ang mga dilnik ng yogo free member, na integer din. Ang patunay ay batay sa pananaw ng katumbas, inaalis ang pagkakaayos ng mayamang termino ayon sa mga ugat, vrakhovuchi, na ang isang 0 = 1 Ang equating ng mga coefficient sa parehong antas ng x ay nahuhumaling sa formula na Vієta.

Alisin ang pagkakatali sa x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Alisin ang pagkakatali. Makabuluhang y \u003d x 3, kahit na ito ay katumbas ng pagtingin sa y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, kung hindi Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya ay katumbas ng kasal ng rіvnyan: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, i.e. X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vidpovіd: 1;

Bezout Destination Theorem 1. Ang isang elemento ay tinatawag na ugat ng isang rich term, kaya f(c)=0. Ang teorama ni Bezout. Ang labis sa subdivision ng polynomial Pn(x) ng binomial (x-a) ay nagpapataas ng halaga ng polynomial sa x = a. Nagdadala. Sa bisa ng algorithm, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de o r(x)=0, kung hindi man. Mamaya, f(x)=(x-c)q(x)+r, mamaya, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, at f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Huling 1: Ang labis sa subdivision ng polynomial na Pn (x) ng binomial ax+b ay mas mahalaga para sa polynomial sa x = -b/a, pagkatapos ay R = Pn (-b/a). Huling 2: Dahil ang numerong a ay ang ugat ng polynomial na P (x), na ang polynomial ay nahahati ng (x-a) nang walang labis. Aralin 3: Paano ang polynomial P(x) ay maaaring magkapares na magkaibang mga ugat a 1 , a 2 , … , an, vin dividing by tvir (x-a 1) … (x-an) nang walang labis. Aralin 4: Ang isang mayamang miyembro ng hakbang n ay maaaring tatlo o higit pa sa n magkakaibang ugat. Aralin 5: Para sa anumang polynomial P(x) na ang bilang na a ay naiiba (P(x)-P(a)) na nahahati nang walang labis ng binomial (x-a). Aralin 6: Ang bilang a ay ang ugat ng polynomial na P(x) ng digri na hindi mas mababa sa una at kung ang P(x) ay hinati ng (x-a) nang walang labis.

Pag-aayos ng rational fraction sa pinakasimpleng Ipakita natin na kung ang tamang rational fraction ay maaaring ikalat sa kabuuan ng pinakasimpleng fraction. Hayaang bigyan ito ng tamang makatwirang argumento (1).

Theorem 1. Hayaang x=а є ang ugat ng banner ng istilong k, pagkatapos , de f(a)≠ 0, kung gayon ang parehong tamang fraction ay maaaring ibigay sa kabuuan ng dalawa pang regular na fraction sa darating na pagkakasunud-sunod: ( 2) , at ang F 1 (x) ay isang mayamang termino, ang hakbang nito ay mas mababa kaysa sa hakbang ng pamantayan

de richomember, ang hakbang ng ilang uri ng mas mababang hakbang ng pamantayan. І katulad sa forward formula ay maaaring kunin: (5)

Tulad ng itinalaga na natin, ang isa sa pinakamahalagang gawain ng teorya ng mga terminong mayamang tinukoy ay ang gawain ng pag-unawa sa kanilang mga pinagmulan. Para sa pagsasakatuparan ng gawaing ito, maaari kang manalo sa paraan ng pagpili, tobto. kumuha ng totoong numero at baguhin ito, na siyang mga ugat ng polynomial na ito.

Sa pamamagitan nito, maaari kang uminom ng shvidko sa ugat, o hindi mo ito malalaman. Imposibleng i-pervert aje lahat ng numero, para sa mga masyadong mayaman.

Insha ilog, yakby namin pinamamahalaang upang tunog ang rehiyon para sa isang biro, halimbawa, upang malaman kung ano ang ugat ay, sabihin, sa gitna ng tatlumpung tinukoy na mga numero. At para sa tatlumpung numero, maaari ka ring magtrabaho sa isang reverb. Sa link na may bigote, sinasabi namin ang mas mahalaga, at nakikita namin ang gayong katatagan.

Hangga't ang l/m (l,m - mga integer ng numero) ay ang ugat ng maramihang terminong f(x) na may mga integer coefficient, kung gayon ang mas mataas na koepisyent ng polynomial ay mahahati sa m, at ang mas malaking termino ay mahahati. sa pamamagitan ng 1.

Sa katunayan, kung ang f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 ay mga integer ng isang numero, kung gayon ang f (l /m) = 0, pagkatapos ay isang (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

I-multiply ang mga nakakasakit na bahagi ng presyo ng katumbas sa mn. Kunin anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Ang mga tunog ay sumisigaw:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, ang buong bilang na anln ay nahahati sa m. Ale l / m - hindi isang maikling drib, tobto. ang mga numerong l at m ay magkaparehong simple, gayundin, ayon sa teorya ng divisibility ng mga integer, ang mga numerong ln at m ay pareho ding simple. Otzhe, anln na nahahati sa m at m ay kapwa simple mula sa ln, gayundin, an na hatiin sa m.

Ang paksa ay dinala upang bigyang-daan ang lugar na maging makabuluhan sa pamamagitan ng paghahanap para sa isang makatwirang ugat ng isang mayamang termino na may maraming coefficient. Ipapakita namin ito sa isang partikular na aplikasyon. Alam natin ang makatwirang ugat ng mayamang terminong f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Ayon sa theorem, ang nakapangangatwiran na ugat ng polynomial ay matatagpuan sa gitna ng mga di-maiikling fraction sa anyo na l / m, ang de l ay ang dilnik ng pangmatagalang a0 = 8, at ang m ay ang dilnik ng pinakamataas na koepisyent. a4 = 6. kung gayon, ang yakscho drіb l/m ay negatibo, pagkatapos ay ang sign na "-" vodnosimeme sa numeral. Halimbawa, - (1/3) = (-1)/3. Gayundin, maaari nating sabihin na ang l ay ang kadahilanan ng numero 8, at ang m ay ang positibong kadahilanan ng numero 6.

Ang mga oscillator ng numero 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8, at ang mga positibong dilator ng numero 6 ay magiging 1, 2, 3, 6, kung gayon ang makatwirang ugat ng sinusuri na rich term ay ang gitna ng mga numero ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Ipagpalagay na isinulat namin ang higit pa sa mga maikling fraction.

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, maaari tayong magkaroon ng dalawampung numero - "mga kandidato" para sa mga ugat. Naiwan lamang na muling isaalang-alang ang balat ng mga ito at piliin ang mga iyon, na parang totoo sa mga ugat. Ngunit muli, kailangan kong gumawa ng maraming reworking. At ang axis ay darating, ang theorem ay gagawing mas madali para sa robot.

Hangga't ang l/m ay ang ugat ng maramihang terminong f(x) na may maramihang coefficients, kung gayon ang f(k) ay hinati sa l-km para sa anumang integer k, halimbawa, l-km?0.

Upang patunayan ang teorama, hinahati namin ang f(x) sa x-k іz nang labis. Kunin ang f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Dahil ang f(x) ay isang rich term na may maraming coefficients, kung gayon ang polynomial ay s(x), at ang f(k) ay isang whole number. Hayaan ang s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Pagkatapos f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Bayaran natin ang equanimity na ito x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, posible

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

I-multiply ang nakakasakit na bahagi ng natitirang selos sa mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Malinaw na ang bilang mnf (k) ay nahahati sa l-km. Ang Ale oskіlki l і m ay kapwa simple, pagkatapos mn і l-km ay kapwa simple din, gayundin, ang f (k) ay hinati sa l-km. Nakumpleto na ang theorem.

Bumaling tayo ngayon sa aming puwitan at, pagkatapos na mapatunayan ang teorama, ito ay tumunog nang mas malakas pagdating sa tunog ng nakapangangatwiran na ugat. Kinakailangang italaga ang theorem para sa k=1 і k=-1, kaya. bilang isang di-maikling drib l/m ay ang ugat ng f(x), pagkatapos ay f(1)/(l-m), at f(-1)/(l+m). Madaling malaman na f(1) =-5, at f(-1) =-15. Magalang, pinatay namin ang contagion sa isang sulyap ±1.

Gayundin, ang makatwirang ugat ng ating mayamang termino ay ang sumusunod sa mga gitnang numero ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Tingnan natin ang l/m=1/2. Pagkatapos l-m=-1 at f(1)=-5 ay hinati sa buong numero. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 kaya mismo ay nahahati sa 3. Kaya, ang drib 1/2 ay naiwan sa gitna ng "mga kandidato" sa ugat.

Hayaan mo ako ngayon lm = - (1/2) = (-1) / 2. Sa kasong ito, ang l-m=-3 і f(1) =-5 ay hindi nahahati sa - 3. Kaya, ang drіb - 1/2 ay hindi maaaring maging ugat ng mayamang terminong ito, at maaari nating isara ito mula sa malayong pananaw. Kinakailangan na muling isaalang-alang ang mga reseta ng dermal shot, isinasaalang-alang namin na ang ugat ay matatagpuan sa mga numero 1/2, ± 2/3, 2, - 4.

Sa ranggo na ito, upang tapusin ang parehong simpleng trick, makahulugan nilang pinatunog ang rehiyon sa paghahanap ng isang makatwirang ugat ng nasuri na polynomial. Well, para muling suriin ang mga numero, ginagamit namin ang pamamaraan ni Horner:

Talahanayan 10

Inalis nila na ang labis kapag ang g (x) ay nahahati sa x-2/3 ay katumbas ng 80/9, kaya ang 2/3 ay hindi ang ugat ng mayamang terminong g (x), ngunit nangangahulugang, i f (x) .

Dagdag pa, madaling malaman na - 2/3 ang ugat ng maramihang terminong g(x) at g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Pagkatapos f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ang karagdagang pag-verify ay maaaring isagawa para sa polynomial x2+2x-4, na malinaw na mas simple, mas mababang g(x) o mas malaki f(x). Bilang isang resulta, ito ay isinasaalang-alang na ang mga numero 2 i - 4 ay hindi na-root.

Gayundin, ang mayamang terminong f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 ay may dalawang makatwirang ugat: 1/2 i - 2/3.

Sa paghula, ang higit pang mga paglalarawan ng pamamaraan ay nagbibigay ng posibilidad na malaman ang nakapangangatwiran na ugat ng mayamang termino na may maraming coefficient. Minsan ay mayamang miyembro si Tim ng ina at hindi makatwiran na ugat. Kaya, halimbawa, kapag tinitingnan ang butt ng isang mayamang miyembro, mayroon lamang dalawang ugat: - 1±v5 (ang ugat ng isang mayamang miyembro ay x2 + 2x-4). At, tila, ang isang mayamang miyembro ay maaaring hindi ina ng isang makatwirang ugat.

Ngayon ay masaya ang ginang.

Kapag sinusubukan ang "mga kandidato" sa ugat ng mayamang terminong f(x), pagkatapos ng karagdagang paliwanag ng higit pang mga theorems, tunog sa kaliwa para sa vipadkіv k=±1. Sa madaling salita, dahil ang l/m ay isang "kandidato" sa ugat, ito ay baligtad kung ang f (1) at f (-1) ay mahahati sa l-m at l+m na malinaw naman. Ngunit maaaring ito ay, halimbawa, f (1) = 0, pagkatapos ay 1 ang ugat, at pagkatapos ay ang f (1) ay maaaring hatiin sa isang numero, at ang ating reverification ay may katuturan. І dito ang susunod na hakbang ay hatiin ang f (x) sa x-1, kaya. kunin ang f(x) = (x-1) s(x), at subukan ang polynomial na s(x). Kung hindi mo malilimutan ang isang ugat ng mayamang terminong f(x) – x1=1 – alam na natin. Tulad ng sa kaso ng pag-reverse ng "mga kandidato" sa ugat, na nawala pagkatapos ng isa pang teorama tungkol sa nakapangangatwiran na ugat, pagkatapos ng pamamaraan ni Horner posible na, halimbawa, ang l / m ay ang ugat, pagkatapos ay dapat mong malaman ang multiplicity nito. Kung ito ay mas mahal, sabihin nating, k, pagkatapos ay f(x) = (x-l/m) ks(x), at ang karagdagang reverification ay maaaring gawin para sa s(x), na magpapaikli sa pagkalkula.

Sa ranggo na ito, natutunan nating malaman ang makatwirang ugat ng mayamang termino na may malalaking coefficient. Lumilitaw na tayo mismo ay natutong malaman ang hindi makatwirang ugat ng mayamang termino na may mga rational coefficient. Sa katunayan, hangga't kaya ko, halimbawa, isang mayamang termino f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, pagkatapos, na idinagdag ang mga coefficient sa sleeping banner at pagdaragdag ng yoga sa pamamagitan ng mga armas, kumuha kami ng f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Malinaw na ang mga ugat ng polynomial f(x) ay nabuo mula sa mga ugat ng mayamang termino, na nakatayo sa mga bisig, at sa bagong koepisyent - ang mga numero. Sabihin natin, halimbawa, na ang sin100 ay isang hindi makatwirang numero. Pagpapabilis gamit ang home formula sin3?=3sin?-4sin3?. Mga bituin sin300 = 3sin100-4sin3100. Sa pagbabalik-tanaw sa mga nagkasala300=0.5 at nagsasagawa ng mga awkward na pagbabago, maaari nating ipagpalagay na 8sin3100-6sin100+1=0. Gayundin, ang sin100 ay ang ugat ng terminong f(x) = 8x3-6x+1. Kung paanong shukatimemo ang makatwirang ugat ng mayamang miyembro na iyon, pagkatapos ay perekaєmosya natin, wala tayo sa kanila. Otzhe, ang ugat ng sin100 ay isang rational number, tobto. Ang sin100 ay isang hindi makatwirang numero.

Halika na

- mayamang termino ng hakbang n ≥ 1 sa epektibong halaga ng complex variable z na may epektibong halaga ng complex coefficients a i . Patunayan natin ang sumusunod na teorama.

Teorama 1

Pag-level ng P n (z) = 0 Gusto ko ba ng isang ugat.

Halika na tayo Lema.

Lemma 1

Hayaan ang P n (z)- mayamang termino ng hakbang n, z 1 - ang ugat ng ilog:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) maaaring ihayag sa isang paraan sa pamamagitan ng pagtingin sa:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- rich term step n - 1 .

Nagdadala

Para patunayan ito, gumawa tayo ng theorem (div. Ang paghahati ng maramihang termino sa pamamagitan ng maramihang termino sa pamamagitan ng fold at stump), posible para sa alinmang dalawang rich terms P n (z) ako Qk (z), mga hakbang n at k, saka, n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- mayamang termino ng hakbang n-k, U k- 1(z)- ang rich term ng hakbang ay hindi mas mataas sa k- 1 .

Ilagay natin ang k = 1 , Qk (z) = z - z 1 din
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - mabilis. Isipin dito z = z 1 na vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
kung ano ang kailangang dalhin.

Ang pagpapalawak ng mayamang termino sa mga multiplier

Gayundin, sa batayan ng Theorem 1, ang mayamang terminong P n (z) Gusto ko ba ng isang ugat. Makabuluhang yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Pareho sa stand lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, parang n > 1 , pagkatapos ay ang polynomial P n- 1(z) kaya gusto ko ng isang ugat, na makabuluhan tulad ng z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, dumating tayo sa konklusyon na mayroon tayong n mga numerong z 1, z 2, ..., z n ganyan
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Ang equating ang mga coefficients sa z n , ito ay kilala na ito ay mas mahal a n . Bilang resulta, nahuhumaling tayo sa formula para sa paghahati ng isang mayamang termino sa mga multiplier:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Mga numero z i є sa mga ugat ng mayamang terminong P n (z).

Sa zagalny vpadku hindi lahat z i, scho upang ipasok bago (1) , Riznі. Kabilang sa mga ito ay maaaring may parehong mga halaga. Paano palawakin ang isang rich term sa mga multiplier (1) maaari kang sumulat sa paningin:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Dito z i ≠ z j para sa i ≠ j. Yakscho n i = 1 , pagkatapos ugat z i tinatawag na magpatawad. Vіn pumasok sa layout para sa mga multiplier sa paningin (z-z i). Yakscho n i > 1 , pagkatapos ugat z i tinatawag na multiple root ng multiplicity n i . Pumasok si Vіn sa layout ng mga multiplier kapag tinitingnan ang pagkuha ng n i prime multiplier: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Mga rich term na may mabisang coefficient

Lemma 2

Dahil ito ay isang kumplikadong ugat ng isang polynomial na may mabisang mga coefficient, kung gayon ang bilang ay kumplikado rin na nauugnay sa ugat ng polynomial, .

Nagdadala

Deisno, yakscho, at polynomial coefficients - diysnі numero, pagkatapos.

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang kumplikadong ugat ay kasama sa layout sa mga multiplier sa mga pares kasama ang kanilang mga kumplikadong kahulugan:
,
de, - Mga totoong numero.
Parehong layout (2) ang isang mayamang termino na may epektibong mga koepisyent para sa mga multiplier ay maaaring isampa sa paningin, sa pagkakaroon lamang ng epektibong mabilis:
(3) ;
.

Mga pamamaraan para sa paghahati ng isang rich term sa multiplier

Sa pagpapabuti ng sinabi sa itaas, para sa decomposition ng isang polynomial sa mga salik, kinakailangang malaman ang lahat ng mga ugat ng equation na P n (z) = 0 at italaga ang kanilang multiplicity. Ang mga multiplier na may kumplikadong mga ugat ay kailangang igrupo sa isang kumplikadong paraan. Ang parehong layout ay depende sa formula (3) .

Sa ranggo na ito, ang paraan ng pagpapakalat ng mayamang termino sa mga multiplier ay ginagamit sa opensiba:
1. Alam natin ang root z 1 pagkakapantay-pantay P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho root z 1 epektibo, pagkatapos ay sa layout ay nagdaragdag kami ng isang multiplier (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), simula sa punto (1) , Hanggang malaman natin ang lahat ng ugat.
2.2. Bilang isang kumplikadong ugat, ang bilang na є ay kumplikadong nakuha bilang ugat ng isang mayamang termino. Todі bago mag-laying ipasok ang multiplier

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Sa isip ko, sa layout ay nagdaragdag kami ng multiplier (z 2 + b 1 z + c 1) i dilute ang rich term P n (z) sa pamamagitan ng (z 2 + b 1 z + c 1). Bilang resulta, kumuha kami ng isang mayamang termino ng hakbang n - 2 :
.
Ulitin natin ang proseso para sa polynomial P n- 2(z), simula sa punto (1) , Hanggang malaman natin ang lahat ng ugat.

Kaalaman sa ugat ng mayamang miyembro

punong tanggapan, na may pagpapalawak ng polynomial sa mga kadahilanan, ang kahalagahan ng ugat ng yogo. Sa kasamaang palad, hindi ka palaging makakapag-analytically. Dito ay susuriin natin ang sprat ng vipadkiv, kung malalaman mo ang ugat ng rich term analytically.

Root ng mayamang miyembro ng unang yugto

Ang mayamang miyembro ng unang hakbang ay isang mahalagang function. Mayroon lamang isang ugat. Ang layout ay maaari lamang maging isang multiplier upang ipaghiganti ang pagbabago ng z:
.

Root ng isang mayamang miyembro ng ibang antas

Upang malaman ang ugat ng mayamang termino ng isa pang antas, kinakailangan na tanggalin ang pantay na parisukat:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Bilang isang discriminant, mayroong dalawang tunay na ugat:
, .
Tingnan lamang ang mga multiplier:
.
Ano ang discriminant D = 0 , pagkatapos ay katumbas ng isang dvorazovy root:
;
.
Bilang discriminant D< 0 , kung gayon ang ugat ay mas kumplikado,
.

Mayaman articulated hakbang mas mataas para sa isa pa

Mga formula ng Іsnuyu para sa kahulugan ng mga ugat ng mga rich segment ng ika-3 at ika-4 na hakbang. Bihira silang mag-cory sa kanila, napakalaki ng mga shards ng baho. Walang mga formula para sa kaalaman ng mga ugat ng richly articulated degree na mas mataas kaysa sa ika-4. Ignorante on the spot, sa deyakih vipadkas, isa napupunta sa pagkalat ng rich term sa multipliers.

Kahalagahan ng buong ugat

Tila ito ay isang mayamang termino, para sa ilang mga coefficient - ang bilang ng mga numero, ang bilang ng mga ugat, na maaaring malaman sa pamamagitan ng pag-uuri sa lahat ng posibleng mga halaga.

Lemma 3

Bigyan mo ako ng isang mayamang titi
,
coefficients a i kung saan - ang bilang ng numero na maaaring maging ugat ng z 1 . Parehong ugat ng dilnik ng numero a 0 .

Nagdadala

Isulat muli natin ang pantay na P n (z1) = 0 sa nakikita:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Hinati ng z 1 :
.
Oskіlki M - qile, pagkatapos ay i - qile. Ano ang kailangan upang dalhin.

Samakatuwid, bilang mga coefficient ng isang polynomial - ang mga bilang ng mga numero, maaari mong subukang malaman ang mga numero ng ugat. Para kanino kinakailangang malaman ang lahat ng mga dilnik ng isang libreng miyembro 0 і, pagpapalit ng equalization P n (z) = 0, perverti, chi є mabaho sa mga ugat ng katumbas na iyon.
Tandaan. Dahil ang mga coefficient ng isang polynomial ay mga rational na numero, kung gayon ang pagpaparami ng pantay na P n (z) = 0 sa mataas na pamantayan ng mga numero a i kinukuha namin ang equalization para sa polynomial na may integer coefficients.

Ang kahulugan ng makatwirang ugat

Dahil ang mga coefficient ng isang polynomial - ang mga numero ng numero at ang bilang ng mga ugat ay hindi, kung gayon para sa isang n ≠ 1 , maaari mong subukang malaman ang makatwirang ugat. Para kanino kinakailangan na lumikha ng isang kapalit
z = y/a n
at i-multiply nang pantay-pantay sa isang n n- 1 . Bilang resulta, isinasaalang-alang namin ang pagkakapantay-pantay para sa mayamang termino sa anyo ng pagbabago at sa bilang ng mga coefficient. Dali shukaimo ang ugat ng mayamang miyembro ng gitnang miyembro ng libreng miyembro. Dahil alam natin ang ganoong ugat na y i , pagkatapos ay dumaan sa pagbabago x , ipapalagay natin ang isang makatwirang ugat
z i = y i / a n.

Mga formula na may kulay

Ipinakilala namin ang mga formula, sa tulong kung saan posible na palawakin ang polynomial sa mga kadahilanan.

Magkaroon ng isang mas mabangis na ugali, upang mag-ipon ng isang mayamang miyembro
P n (z) = z n - a 0,
de a 0 - ito ay mas kumplikado, ito ay kinakailangan upang malaman ang lahat ng mga ugat ng yogo, upang maaari mong malutas ang pantay:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya ay madaling magkamali, na parang upang patunayan a 0 sa pamamagitan ng module r i argument?
.
Oskilki a 0 huwag baguhin, bilang upang idagdag sa argumento 2 π, pagkatapos ay isipin a 0 sa nakikita:
,
de k – qile. Todi
;
.
Pagtatalaga ng mga halaga k k = 0, 1, 2, ... n-1, Kinukuha namin ang n mga ugat ng polynomial. Ang layout ng Todi yogo para sa mga multiplier ay maaaring magmukhang:
.

Bisquare bagatonic term

Tingnan natin ang biquadratic na termino:
.
Ang isang biquadrate rich term ay maaaring hatiin sa mga multiplier, na walang ugat.

Kailan, marahil:

,
de.

Bicubic at rich segment na maaaring gawing parisukat

Tingnan natin ang mayamang miyembro:
.
Ang ugat ng Yogo ay nangangahulugang katumbas ng:
.
Gagabayan hanggang sa parisukat na pagkakahanay pagpapalit t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, alam natin ang ugat ng yogo, t 1 , t 2 . Kung alam natin ang kaayusan sa paningin:
.
Dali sa pamamaraan, tingnan natin ito, palawakin ito sa mga multiplier z n - t 1 i z n - t 2 . Ang visnovka ay may pangkat ng mga multiplier, na naghihiganti sa ugat sa isang komplikadong paraan.

Rotary stalks

Tinatawag ang mayamang miyembro bumalik Ang mga coefficient ng yakscho yogo ay simetriko:

Butt ng storable bagato-member:
.

Dahil ang mga hakbang ng reverse polynomial n ay walang kapares, ang naturang polynomial ay maaaring magkaroon ng ugat z = -1 . Ang paghahati ng gayong mayamang termino sa z + 1 , kinukuha namin ang return rich term ng hakbang

Sa kaso ng paghahati ng pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay, madalas na sinisisi ng isa ang pangangailangan na hatiin ang isang polynomial sa mga multiplier, na ang mga hakbang ay tatlo o higit pa. Maaari nating tingnan ang mga istatistikang ito, kung paano ito gawing mas simple.

Tulad ng isang zavzhd, hayop para sa tulong sa teorya.

Ang teorama ni Bezout stverzhuє, scho surplus sa paghahati ng isang polynomial sa isang binomial dorivnyuє.

Ngunit kung ano ang mahalaga para sa amin ay hindi ang teorama mismo, ngunit bunga nito:

Dahil ang numero ay ang ugat ng isang polynomial, kung gayon ang polynomial ay maaaring hatiin nang walang labis na binomial.

Bago sa atin ay ang gawain ng pag-alam kung paano malaman ang isang ugat ng isang mayamang termino, pagkatapos ay hatiin natin ang mayamang termino sa, de - ang ugat ng isang mayamang termino. Bilang isang resulta, kumuha kami ng isang mayamang miyembro, ang paa ng isa ay isang mas maliit, ang mas mababang ay ang tadyang ng panlabas na isa. At pagkatapos ay para sa pagkonsumo, maaari mong ulitin ang proseso.

Nahati ang Tse zavdannya sa dalawa: kung paano malalaman ang ugat ng isang mayamang termino, at kung paano hatiin ang isang mayamang termino sa isang binomial.

Iulat natin ang mga puntong ito.

1. Paano malalaman ang ugat ng isang mayamang miyembro.

Ang likod ng kamay ay iginagalang, ang chi ay ang numero 1 at -1 ng mga ugat ng mayamang miyembro.

Narito ang ilang mga katotohanan upang matulungan kami:

Dahil ang kabuuan ng lahat ng mga coefficient ng polynomial ay katumbas ng zero, ang numero ay ang ugat ng polynomial.

Halimbawa, ang polynomial ng kabuuan ng mga coefficient ay katumbas ng zero: . Madaling ma-misinterpret kung ano ang ugat ng isang mayamang miyembro.

Dahil ang kabuuan ng mga koepisyent ng polynomial sa mga ipinares na hakbang ay kapareho ng kabuuan ng mga koepisyent sa mga hakbang na hindi ipinares, ang numero ay ang ugat ng polynomial. Vilniy member vvazhaetsya coefficient sa double level, oskolki, at - guy number.

Halimbawa, sa polynomial ng kabuuan ng mga coefficient sa ipinares na mga hakbang : , at ang kabuuan ng mga coefficient sa mga hindi naipares na hakbang : . Madaling ma-misinterpret kung ano ang ugat ng isang mayamang miyembro.

Kung nі 1, nі -1 є sa mga ugat ng polynomial, pagkatapos ay bumagsak ang distansya.

Para sa induced rich term ng step (tobto the rich term, kung saan ang senior coefficient ay ang coefficient sa - ang nangunguna), valid ang sumusunod na formula:

De - ang ugat ng mayamang miyembro.

Mayroong higit pang mga formula ng Vієta, na mayroong iba pang mga coefficient ng polynomial, ngunit maaari nating pag-usapan ito sa ating sarili.

Z tsієї formula Vієta viplivaє, scho bilang ugat ng isang mayamang miyembro ng integer, pagkatapos ay ang baho ng mga dilnik ng yogo free member, na isang buong numero din.

Vihodyachi z tsogo, kailangan nating ilatag ang variable na termino ng rich term sa multiple, at sunud-sunod, mula sa pinakamaliit hanggang sa pinakamalaki, baligtarin, kung alin sa mga plural ang ugat ng rich term.

Tingnan mo, halimbawa, mayamang miyembro

Mga diary ng libreng miyembro: ; ; ;

Ang kabuuan ng lahat ng mga coefficient ng isang polynomial ay mas mahal, kung gayon, ang numero 1 ay tumigil na maging ugat ng isang polynomial.

Ang kabuuan ng mga coefficient para sa kambal na hakbang:

Kabuuan ng mga koepisyent para sa mga hakbang na walang pagkakapares:

Gayundin, ang numero -1 ay ang ugat din ng isang polynomial.

Nababaligtad na ang chi ay ang numero 2 bilang ugat ng isang mayamang termino: gayundin, ang numero 2 ay ang ugat ng isang mayamang termino. Nang maglaon, kasunod ng teorama ni Bezout, ang isang mayamang termino ay maaaring hatiin nang walang labis sa isang binomial.

2. Paano ibawas ang isang rich term sa isang binomial.

Ang mayamang termino ay maaaring hatiin sa isang binomial na may tuod.

Hinahati namin ang mayamang termino sa isang binomial na may stompchik:

Ang pangalawang paraan upang i-subdivide ang isang polynomial sa isang binomial ay ang scheme ni Horner.

Panoorin ang video upang maunawaan kung paano hatiin ang isang mayamang termino sa isang binary na termino na may isang hakbang i para sa karagdagang pamamaraan ng Horner.

Igagalang ko na kapag rozpodіlі stovpchik tulad ng mga hakbang na hindi pamilyar sa vyhіdny polynomial vіdsutnya, її mіstsі magsulat ng 0 - tulad ng і, tulad ng mula sa nakatiklop na talahanayan para sa scheme ni Horner.

Samakatuwid, dahil kailangan nating hatiin ang mayamang termino sa isang binary na termino at bilang resulta ay kinuha natin ang mayamang termino, pagkatapos ay malalaman natin ang mga koepisyent sa likod ng pamamaraan ni Horner:

Maaari din tayong magtagumpay pakana ni Horner upang baligtarin, kung ang numero ay ibinigay bilang ugat ng rich term: kung ang numero ay ang ugat ng rich term, kung gayon ang labis sa subfield ng rich term ay katumbas ng zero, kaya sa natitirang column ng ang kabilang hilera ng Horner scheme ay kinukuha natin ng 0.

Ang pamamaraan ni Vikoristovuyuchi Horner, "kumatok kami sa dalawang ibon na may isang bato": isang oras na tinitingnan namin na ang numero ay ang ugat ng isang mayamang termino at hinahati namin ang mayamang termino sa isang binomial.

puwit. Virishiti Rivnyannia:

1. Isulat ang mga dilnik ng malayang miyembro, at shukatimemo ang ugat ng mayamang miyembro ng gitnang dilnik ng malayang miyembro.

Mga diyalogo ng numero 24:

2. Sa baligtad, ang chi ay ang numero 1 na ugat ng isang mayamang termino.

Ang kabuuan ng mga coefficient ng polynomial, gayundin, ang numero 1 ay ang ugat ng polynomial.

3. Hatiin ang panlabas na rich term sa isang binary term gamit ang Horner's scheme.

A) Isulat ang unang hilera ng talahanayan ng mga coefficient ng output polynomial.

Oskіlki member, scho vengeance vіdsutnya, sa table table na iyon, na maaaring may coefficient kapag sumulat tayo ng 0. Sumulat tayo ng masamang ugat ng kaalaman: numero 1.

B) I-save ang unang hilera ng talahanayan.

Sa natitirang bahagi ng column, na parang malinaw, ibinawas namin ang zero, hinati ng mundo ang huling rich term sa isang binomial na walang labis. Ang mga coefficient ng polynomial, na kung saan ang resulta ay nasa ilalim ng imahe sa asul na kulay sa isa pang hilera ng talahanayan:

Madaling hindi maunawaan na ang mga numero 1 at -1 ay hindi mga ugat ng isang mayamang termino

C) Ipinagpatuloy namin ang mesa. Sa baligtad, ang chi ay ang numero 2 bilang ugat ng isang mayamang termino:

Kaya ang hakbang ng polynomial, na lumilitaw sa resulta ng sub-term ay isang mas mababa kaysa sa hakbang ng output rich term, gayundin ang bilang ng mga coefficient at ang bilang ng mga column ay mas mababa ng isa.

Sa natitirang bahagi ng column, inalis namin ang -40 - isang numero na hindi nagdaragdag sa zero, samakatuwid, ang rich term ay hinati ng binary term mula sa labis, at ang numero 2 ay hindi ang ugat ng rich term.

C) Sa baligtad, ang chi ay ang numero -2 bilang ugat ng isang mayamang termino. Kaya, tulad ng dati, ang pagsubok ay hindi malayo, upang walang swindle na may mga coefficient, ako ay nasa isang hilera, na kinukumpirma ko ang aking pagsubok:

Himala! Ang zero ay inalis mula sa labis, pagkatapos, ang mayamang termino ay hinati sa isang binomial na walang labis, at ang bilang -2 ay ang ugat ng mayamang termino. Ang mga coefficient ng polynomial, na sa resulta ay hinahati ang polynomial sa isang binomial sa talahanayan ng imahe sa berdeng kulay.

Bilang resulta, ibinawas namin ang square trinomial , ang ugat nito ay madaling malaman sa likod ng Viet theorem:

Otzhe, ang ugat ng panlabas na muling pagbabangon:

{}

Mungkahi: ( }

Yakscho rich member

Nagdadala

Hayaan natin ang mga coefficient ng polynomial na may mga numerong integer, at hayaan ang numerong a na may ugat ng ika- rich term. Sa isa kung saan nagniningning ang tunog sa bawat sandali, ang koepisyent ay nahahati sa a.

Paggalang. Ang theorem na ito ay talagang nagpapahintulot sa iyo na malaman ang mga ugat ng pinakamayamang termino sa kasong iyon, kung ang mga coefficient ng mga rich term na ito ay mga numero, at ang ugat ay makatwirang numero. Ang theorem ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: tulad ng alam natin na ang mga coefficient ng isang polynomial ay ang mga numero ng numero, at ang ugat ng yogo ay rational, kung gayon ang rational root ay maaari lamang maging tulad ng de p bilang isang dilnik ng isang numero (isang libreng termino), at ang numero q ay isang dilator ng isang numero (isang senior coy) .

Ang teorama tungkol sa buong ugat, kung ano ang maghihiganti sa iyong sarili

Kung ang buong bilang na α ay ang ugat ng mayamang termino na may bilang ng mga coefficient, kung gayon ang α ay ang dilnik ng yogic free term.

Nagdadala. Halika:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

rich term na may qlimi coefficients at qile number α - yogo root.

Pagkatapos ang halaga ng ugat ay equalized P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny multiplier α para sa mga busog, alisin ang katumbas:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , mga bituin

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Mga shards ng numerong a 0 , a 1 ,…a n-1 , isang i α −tsіlі, kung gayon ang mga arko ay dapat ang buong bilang, pagkatapos, a n ay hatiin ng α, dahil maaaring makumpleto ako.

Ang teorama ay dinala, ngunit maaari itong mabuo sa paraang: ang bilang ng mga ugat ng polynomial na may bilang ng mga coefficient ay ang dilator ng unang libreng termino.
Sa theorem ng mga pundasyon, ang algorithm para sa paghahanap para sa integer root ng isang rich term na may buong bilang ng mga coefficient:

2. Dodatkova theorem tungkol sa root value

Kung mayroong isang bilang ng mga α-roots ng rich term P(x) na may integer coefficients, pagkatapos ay α-1-divisor ng numerong P(1), α+1-divisor ng numerong P(-1)

Nagdadala. 3 ang pagkakapareho

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

makikita mo na mula sa bilang ng mga numero b і c ang bilang na bⁿ-cⁿ ay nahahati sa b∙c. Ale para sa kahit sinong mayamang miyembro P retail

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, gayundin, para sa isang polynomial P na may zіlimi coefficients і zіlih numero b і c ang pagkakaiba P(b)-P(c) ay nahahati sa b-c.

Tandaan natin: para sa b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), na nangangahulugang ang P (1) ay nahahati sa α-1. Katulad nito, may isa pang pananaw.

pakana ni Horner

Teorama: Hayaan ang isang panandaliang drib p / q є ugat na pantay a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 na may maraming coefficient, parehong numero q є dilnik ng senior coefficient a0, at ang numero R є dilnik libreng miyembro an.

Paggalang 1. Maging ugat ng relasyon sa bilang ng mga coefficient at dilnik ng yogo free member.

Paggalang 2.Dahil ang senior coefficient ay katumbas ng bilang ng mga coefficient ng kalsada 1, ang lahat ng mga makatwirang ugat, bilang ang baho ay kilala - ang numero.

Ang ugat ng mayamang miyembro. Ang ugat ng isang mayamang miyembro f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , e ano ngayon f (c)=0 .

Tandaan 3. Yakscho x = c ugat ng isang mayamang miyembro , kung gayon ang mayamang termino ay maaaring isulat bilang: f(x)=(x−c)q(x) , de tse pribadong view sa ilalim ng mayamang miyembro f(x) sa isang monomial x-c

Maaari mong i-subdivide ang isang rich term sa isang monomial gamit ang scheme ni Horner:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , pagkatapos ay kapag rozpodіlі f (x) sa g (x) pribado q(x) maaaring tumingin q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. sobra r alam ang formula r=c b n − 1 +a n

Solusyon: Ang coefficient sa senior level ay katumbas ng 1; 2; 3; apat; 6; 12. Vikoristovuyuchi Horner's scheme, alam natin ang bilang ng mga ugat na pantay:

Mayroong isang ugat ng pagpipilian para sa pamamaraan ni Horner. pagkatapos ay maaari mong gawin ito tulad nito x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3