Vector vitvir- tse pseudovector, patayo sa eroplano, sapilitan ng dalawang spіvmultipliers, na resulta ng binary operation na "vector multiplication" sa mga vectors sa maliit na Euclidean space. Ang Vectorial TV ay walang kapangyarihan ng commutativity at associativity (є anticommutative) i, sa vіdmіnu vіd scalar na paglikha ng vectorіv, є vector. Malawakang nagwagi sa mayamang teknikal at pisikal na mga karagdagan. Halimbawa, ang sandali ng salpok at ang puwersa ng Lorentz ay nakasulat sa matematika bilang isang vector. Ang extension ng vector ng corisny para sa "pagbabaliktad" ng perpendicularity ng mga vectors - ang module ng extension ng vector ng dalawang vectors sa karagdagang extension ng kanilang mga module, dahil ang mga ito ay patayo, at nagbabago sa zero, dahil ang mga vector ay parallel o anti-parallel .

Posibleng kalkulahin ang pagdaragdag ng vector sa ibang paraan, at ayon sa teorya, sa espasyo, kung ito man ay dimensionality n, posibleng kalkulahin ang pagdaragdag ng n-1 na mga vector, na nag-aalis ng isang vector, patayo sa kanila na mayroon tayo. . Ngunit kung ang TV ay napapalibutan ng mga di-trivial na binary na mga likha na may mga resulta ng vector, kung gayon ang tradisyonal na vector TV ay itinalaga lamang sa mga walang kuwenta at pitong-mundo na espasyo. Ang resulta ng paglikha ng vector, tulad ng isang scalar, ay nasa Euclidean space metric.

Sa kabilang banda, sa anyo ng isang formula para sa pagkalkula ng mga coordinate ng vector sa isang scalar recursive coordinate system sa isang three-dimensional na rectangular coordinate system;

appointment:
Ang vector complement ng vector a vector b sa space R 3 ay tinatawag na vector c , na nakakatugon sa paparating na vimog:
Ang haba ng vector c ay pinalawak sa haba ng haba ng mga vectors a at b sa pamamagitan ng sine ng hiwa sa pagitan nila:
|c|=|a||b|kasalanan φ;
ang vector c ay orthogonal sa skin vector s a at b;
ang vector c ng mga pagwawasto upang ang trinity ng mga vector sa abc ay tama;
kailangan ng space R7 ang pagkakaugnay ng trio ng mga vectors a, b, c.
pagtatalaga:
c===a×b

kanin. 1. Ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng module ng paglikha ng vector

Geometric na kapangyarihan ng vector art:
Kailangan yan sapat na mental Ang collinarity ng dalawang di-zero na vector ay katumbas ng zero ng kanilang paglikha ng vector.

Vector creative module dorivnyuє lugar S parallelogram na inspirasyon ng mga vector na nabawasan sa cob aі b(Div. fig. 1).

Yakscho e- solong vector, orthogonal vector aі b at vibranium kaya na tatlo a,b,e- mga karapatan, at S- ang lugar ng parallelogram na sapilitan sa kanila (nakaturo sa cob), kung gayon ang sumusunod na formula ay wasto para sa paglikha ng vector:
=S e

Fig.2. Ang dami ng parallelepiped sa pagpapalit ng vector at scalar karagdagang mga vectors; ang mga tuldok na linya ay nagpapakita ng mga projection ng vector c sa a × b at ang vector a sa b × c, ang unang linya ay ang kahalagahan ng scalar creations

Yakscho c- aling vector, π - be-yak flat, scho vengeance tsey vector, e- isang solong vector na namamalagi malapit sa eroplano π ta orthogonal to c,g- solong vector orthogonal sa eroplano π at straightening upang ang tatlong vectors ecgє tama, pagkatapos ay para sa isang taong nakahiga sa plaza π vector a ang tamang formula ay:
=Pr e a |c|g
de Pr e a vector projection ng e sa a
|c|-modulus ng vector h

Kapag pumipili ng isang vector at isang scalar na paglikha, maaari mong gamitin ang parallelepiped, na inspirasyon ng mga vector na nabawasan sa cob a, bі c. Ang nasabing dobutok ng tatlong vectors ay tinatawag na zmishanim.
V=|a (b×c)|
Ang maliit ay nagpapakita na ito ay maaaring makamit sa dalawang paraan: ang geometric na resulta ay nai-save kapag pinapalitan ang "scalar" at "vector" na mga nilikha ng mga bagay:
V=a×b c=a b×c

Ang magnitude ng paglikha ng vector ay nakasalalay sa sine ng hiwa sa pagitan ng mga vector ng cob, kaya ang vector tvir ay maaaring gawin bilang mga hakbang ng perpendicularity ng vector sa parehong paraan, tulad ng scalar tvir ay makikita bilang mga hakbang ng parallelism . Vectorial na pagdaragdag ng dalawang solong vector sa 1 (nag-iisang vector), pati na rin ang mga vector at perpendicular, at bilang 0 (zero vector), bilang mga vector at parallel o anti-parallel.

Viraz para sa paglikha ng vector sa mga coordinate ng Cartesian
Yakscho dalawang vectors aі b itinalaga ng kanilang mga parihabang Cartesian coordinate, o sa halip, kinakatawan sa isang orthonormal na batayan
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
at ang coordinate system ay tama, kung gayon ang iyong vector tvir ay maaaring tumingin
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Para sa memorization ts_єї formula:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- isang simbolo ng Levi-Chiviti.

7.1. Pagtatalaga ng paglikha ng vector

Tatlong non-coplanar vectors a, b at c, na kinuha sa itinalagang pagkakasunud-sunod, ay nakakatugon sa tamang triple, na parang mula sa dulo ng ikatlong vector h, ang pinakamaikling pagliko mula sa unang vector a patungo sa isa pang vector b ay makikita, na kung saan sumusunod sa anti-godinnikov arrow, at lev, tulad ng para sa godinnikov ( div. Fig. 16).

Ang vector extension ng isang vector sa vector b ay tinatawag na vector h, na:

1. Patayo sa mga vectors a at b, kaya z ^ a at c ^ b;

2. May dozhina, ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng parallelogram, batay sa mga vectors a ib yak sa mga gilid (div. fig. 17), tobto.

3. Ang mga vectors a, b at h ay nagbibigay-kasiyahan sa tamang trinity.

Ang vector tvir ay tinutukoy ng a x b o [a, b]. Mula sa pagtatalaga ng paglikha ng vector nang walang tagapamagitan na humirit tulad spіvvіdnoshennia sa pagitan ng mga orts i jі k(div. fig. 18):

i x j = k , j x k = i , k x i = j .
Dalhin namin, halimbawa, iyon ako xj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, ngunit | ako x j| = | ako | |J| kasalanan(90°)=1;

3) mga vectors i, j i k masiyahan ang karapatan ng trio (Larawan 16).

7.2. Ang lakas ng paglikha ng vector

1. Kapag inaayos muli ang sp_multipliers, hindi binabago ng vector ang sign, ibig sabihin. at xb \u003d (b xa) (div. Fig. 19).

Ang mga vectors a хb і b х ay collinear, maaaring magkaroon ng parehong mga module (ang lugar ng parallelogram ay hindi nababago), at pati na rin ang mga tuwid na linya (triples a, b, а xb і a, b, b x a ng kabaligtaran na oryentasyon) . Naging nadambong axb = -(bxa).

2. Ang vector tvir ay maaaring mawalan ng kapangyarihan ng isang scalar multiplier, kaya l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Hayaan ang l>0. Vector l (a xb) patayo sa mga vectors a at b. Vector ( l a) x b patayo din sa mga vectors a i b(Vector a, l ngunit humiga sa isang patag). Ibig sabihin, vector l(a xb) na ( l a) x b collinear. Malinaw, scho ika direktang zbіgayutsya. Mayut ang parehong dovzhina:

Tom l(a x b) = l isang xb. Ito ay katulad na dinadala l<0.

3. Dalawang di-zero na vector a i b kolіnearnі tіlki tіlki tіlі, kung їхній vector tvіr dоrіvnyuє zero vector, pagkatapos ay а ||b<=>at xb = 0.

Zokrema, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Vector tvir ay maaaring rozpodіlnu kapangyarihan:

(a+b) xs = isang xs + b xs.

Katanggap-tanggap nang walang kumpirmasyon.

7.3. Paglikha ng Viraz vector sa pamamagitan ng mga coordinate

Mi vikoristovuvatimemo talahanayan ng paglikha ng vector ng vector i, j at k:

upang ang pinakamaikling landas mula sa unang vector patungo sa isa ay dumiretso sa mga arrow, ang tvir ay umabot sa ikatlong vector, kung hindi man ito ay umalis - ang ikatlong vector ay kinuha na may minus sign.

Bigyan ang gawain ng dalawang vectors a = a x i + a y j+az k ako b = b x i+sa pamamagitan ng j+bz k. Alam namin ang paglikha ng vector ng mga vector na ito, na nagpaparami sa kanila bilang mga rich terms (tila hanggang sa kapangyarihan ng paglikha ng vector):

Ang pormula ni Otriman ay maaaring isulat nang mas maikli:

Ang mga shards ng kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7.1) ay nagpapakita ng third-order ranking ng arbitrator sa likod ng mga elemento ng unang row. Ang Equity (7.2) ay madaling makalimutan.

7.4. Deyakі mga programa ng paglikha ng vector

Pagtatatag ng collinearity ng mga vectors

Ang halaga ng lugar ng parallelogram at trikutnik

Zgіdno z vznachennyam vector creative vectorіv a ako b |a xb | =| isang | * | b | sin g, ibig sabihin, S pares = | at x b |. І, mamaya, D S = 1/2 | a x b |

Pagtatalaga sa sandali ng puwersa o shodo point

Halika sa puntong Isang puwersa ang inilapat F = AB at hayaan mo ako Pro- Dejaka point sa space (div. Fig. 20).

Mula sa pisika ay malinaw na sandali ng puwersa F shodo points Pro tinatawag na vector M, na dumadaan sa isang punto Pro ta:

1) patayo sa eroplano, upang dumaan sa mga puntos O, A, B;

2) ayon sa bilang, higit na lakas sa balikat

3) itatag ang tamang trio na may mga vectors na OA at A .

Otzhe, M \u003d OA x F.

Kahalagahan ng line swiddenness wrapping

Shvidkist v puntos M ng isang solidong katawan w sa isang hindi umiikot na axis ay tinutukoy ng Euler formula v \u003d w xr, de r \u003d OM, de O-deac, ang punto ng axis ay hindi umiikot (div. Fig. 21).

Sa antas na ito, maaari nating tingnan ang dalawa pang operasyon na may mga vector: vector booth vector_vі Zmіshany tvіr vectorіv (Vіdrazu possilannya, na nangangailangan ng mismong bagay). Walang kakila-kilabot, kaya minsan para lang sa kabuuang kaligayahan, krim scalar creative vector, Kailangan ng higit pa. Ito ang vector axis ng pagkagumon sa droga. Maaaring magdagdag ng hanggang sa kaaway, scho umakyat tayo sa lambat ng analytic geometry. Tse hindi naman. Sa sangay ng mga mathematician, maliit na kahoy na panggatong ang pinaputok, mas mahusay na tumambay sa Pinocchio. Talagang, ang materyal ay mas malawak at simple - halos hindi natitiklop, mas mababa kaysa sa pareho scalar tvir, magkakaroon ng hindi gaanong karaniwang mga gawain. Golovne sa analytic geometry, tulad ng maraming tao na nagbabago ng isip at nagulo na, WALANG PARTIDO SA HIVISLE. Ulitin tulad ng isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Tulad ng mga vector at nanginginig dito sa malayo, tulad ng mga kumikinang sa abot-tanaw, huwag maging, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga teapot, upang matuto o makakuha ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mga mambabasa ay maaaring matuto nang higit pa tungkol sa impormasyong ito, sinubukan kong mangolekta hangga't maaari ng isang koleksyon ng mga application, na kadalasang ginagamit ng mga praktikal na robot

Ano ang magpapasaya sa iyo? Kung maliit ako, natuto akong mag-juggling ng dalawa at magbalot ng tatlo sa mga bag. Ito ay katakut-takot. Hindi ka maaaring mag-juggling nang sabay-sabay, ang mga putol ng ating mga mata ay makikita space vectors lang, at ang mga flat vector mula sa dalawang coordinate ay naiwan. Bakit? Ang nasabing data ay ipinanganak na - ang vector at zmіshany tvіr vektorіv ay itinalaga upang magsanay sa trivimir space. Mas madali na!

Sa operasyong ito, tulad ng sa isang scalar na paglikha, makilahok dalawang vector. Hayaang magkaroon ng hindi nasisira na mga titik.

siya mismo mahirang pasok tayo sa rank: . Іsnuyet Іnshi varianty, ngunit ginagamit ko rin ang tunog upang magtalaga ng vector TV vector sa parehong paraan, sa mga square arm na may krus.

ako ay agad-agad pagkain: yakscho in paglikha ng scalar ng mga vectors kunin ang kapalaran ng dalawang vectors, at dito din multiply ang dalawang vectors, pagkatapos anong pagkakaiba? Malinaw na pagkakaiba, una sa lahat, bilang RESULTA:

Ang resulta ng paglikha ng scalar vector ay NUMBER:

VECTOR: , pagkatapos ay ang vector ay pinarami at ang vector ay kinuha muli. Saradong club. Vlasne, ang tunog ay ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang pangunahing panitikan, ang kahulugan ng pareho ay maaaring mabago, pinili ko ang titik .

Pagtatalaga ng paglikha ng vector

Babalik ako na may picture, tapos magkomento.

appointment: Vector creative hindi kolinear vectoriv, kinuha mula sa ibinigay na utos, tinatawag na VECTOR, dozhina ayon sa bilang mas mahusay na lugar ng paralelogram inspirasyon ng mga vectors na ito; vector orthogonal vector, at mga direksyon upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

We choose the appointment by the brushes, maraming cicada dito!

Gayundin, makikita mo ang mga sumusunod na sandali:

1) Mga vector sa labas, na minarkahan ng mga pulang arrow, para sa itinalaga hindi collinear. Vipadok kolіnearnyh vektorіv bude rozglyady vіznіshe bago ang ilog.

2) Kumuha ng mga vector sa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod: – "a" na pinarami ng "be", at ang chi ay hindi "maging" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng mga vectorє VECTOR, na nangangahulugang asul na kulay. Bilang isang vector at multiply sa reverse order, kumukuha kami ng pantay para sa haba at ang pagpapahaba para sa direktang vector (kulay ng pulang-pula). Tobto patas na selos .

3) Ngayon ay nakikilala mula sa geometric zm_st vector creation. Ito ay isang mahalagang punto! Ang haba ng asul na vector (at, gayundin, i ng crimson vector) ay ayon sa bilang na mas malaki kaysa sa lugar ng parallelogram, batay sa mga vector. Sa maliit ay isang paralelogram ng pagtatabing na may itim na kulay.

Tandaan : armchair є schematic, і, natural, ang nominal na haba ng vectorial extension ay hindi pareho sa lugar ng parallelogram.

Hulaan namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng parallelogram ay mas mahal upang idagdag ang kabuuan ng mga gilid sa sine ng hiwa sa pagitan nila. Samakatuwid, kasunod ng sinabi sa itaas, ang formula para sa pagkalkula ng DOVJINI ng paglikha ng vector ay wasto:

Kinukumpirma ko na ang mga formula ay may tungkol sa DOWN ng vector, at hindi tungkol sa vector mismo. Anong praktikal na zmist? At ang kahulugan ay tulad na sa mga problema ng analytical geometry ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na kilala sa pamamagitan ng konsepto ng paglikha ng vector:

Dalhin natin ang isang kaibigan ng isang mahalagang pormula. Ang dayagonal ng parallelogram (itim na tuldok na linya) ay naghahati sa yogo sa dalawang pantay na tricots. Gayundin, ang lugar ng manloloko, na inspirasyon ng mga vectors (itim na pagtatabing), ay maaaring malaman ng formula:

4) Walang gaanong mahalagang katotohanan na ang vector ay orthogonal sa mga vector, iyon . Mauunawaan, ang straightening vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa mga panlabas na vector.

5) Ang vector ng straightening kaya na batayan maaaring batas oryentasyon. Sa aralin tungkol sa pumunta sa isang bagong batayan Nag-uulat ako tungkol sa oryentasyon ng eroplano at sabay-sabay nating malalaman kung anong uri ng oryentasyon sa espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay. Pag-isipan mo kapansin-pansing daliri may vector i hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin pababa sa lambak. Ang resulta hinlalaki- Vector tvir ay mamangha pataas. Presyo at є right-orientation na batayan (sa maliit na sukat mismo). Ngayon tandaan ang mga vectors ( nagpapahayag at gitnang mga daliri) sa pamamagitan ng mga kamay, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay sumiklab, at ang vector tvir ay lilipat na pababa. Ito rin ay isang right-orientation na batayan. Posibleng, mayroon kang isang kindat ng pagkain: anong uri ng batayan ang maaari kong magkaroon ng kaliwang oryentasyon? "Imbitahan" ang parehong mga daliri kaliwang kamay vectors , at alisin ang kaliwang batayan at ang kaliwang oryentasyon ng espasyo (sa aking kaso, ang malaking daliri ay kumalat sa tuwid na linya ng mas mababang vector). Sa makasagisag na paraan, tila, ang mga base ay "twist" o i-orient ang espasyo sa magkaibang panig. At kung hindi natin ito naiintindihan, isipin natin ito nang abstract - kaya, halimbawa, ang oryentasyon ng espasyo ay nagbabago sa laki ng salamin, at ito ay tulad ng "strike the object out of the mirror", kung gayon hindi mo magagawa. makapasok sa "orihinal" sa ligaw. Bago magsalita, ilagay ang tatlong daliri sa salamin at suriin ang impression;-)

... mabuti pa, ano ang alam mo ngayon kanan at kaliwang oryentasyon base, mas nakakatakot na usapan ng mga ganyang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Vector tvir collinear vectors

Ang appointment ay nai-disassembled, wala nang paglilinaw, kung ano ang kailangan, kung ang mga vectors ay collinear. Dahil ang mga vector ay collinear, maaari silang hatiin sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay maaari ding "tiklop" sa isang tuwid na linya. Ang nasabing lugar, na tila mga mathematician, virogenous Ang paralelogram ay katumbas ng zero. Tse w vyplivaє i z formula - ang sine ng zero o 180 degrees hanggang zero, at samakatuwid, ang square ng zero

Sa ganoong ranggo, yakscho, kung gayon і . Upang bigyang-pansin ang katotohanan na ang vector mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasanay madalas na mahirap isulat na ang vector ay katumbas din ng zero.

Okremy vipadok - vector doboot ng isang vector sa sarili nito:

Para sa tulong ng paglikha ng vector, ang collinearness ng mga trivimer vector ay maaaring baligtarin, at ang gawain ng gitna ng iba pang mga salungatan ay maaaring ayusin.

Para sa pagiging perpekto ng mga praktikal na aplikasyon, maaaring kailanganin mo trigonometriko talahanayan, upang malaman ang kahulugan ng sinuses.

Buweno, sunugin natin ang apoy:

puwit 1

a) Alamin ang halaga ng paglikha ng vector ng mga vector, kaya

b) Hanapin ang lugar ng paralelogram batay sa mga vector, tulad ng

Solusyon: Hі, tse hindi isang drukarska pardon, vihіdnі danі sa mga punto ng isip, navmisno ko zrobiv ang parehong. Iyon ang dahilan kung bakit ang desisyon sa disenyo ay inaalagaan!

a) Kailangang malaman ng isip dozhina vector (lilikha ng vector). Para sa isang partikular na formula:

Vidpovid:

Kung kumain ka tungkol sa dovzhina, kung gayon malinaw na ikaw ay mapayapa - nag-iisa.

b) Kailangang malaman ng isip lugar isang paralelogram batay sa mga vectors. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na mas advanced kaysa sa vector one:

Vidpovid:

Upang ipakita ang paggalang, na walang paraan sa paligid ng vector telebisyon, kami ay inquired tungkol sa parisukat na mga pigura vіdpovіdno rozmіrnіst – square units.

Laging namamangha sa kung ano ang kailangang malaman sa kabila ng isip, malinaw patunay. Maaari kang makakuha ng malayo sa mga titik, ngunit maaari kang lumiko sa gitna ng vistachas, at may magandang pagkakataon na lumiko sa doopratsyuvannya. Kahit na ang pangangatwiran ay hindi partikular na pilit - kung ito ay hindi tama, kung gayon mayroong isang reaksyon na ang tao ay hindi naiintindihan sa mga simpleng talumpati at / o hindi sumasalamin sa kakanyahan ng gawain. Sa sandaling ito, kailangan mong subukan sa control, virishuyuchi maging-tulad zavdannya z mathematician at z іnshih paksa tezh.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, її posible na manatili sa desisyon, ngunit sa paraan ng pagpapabilis ng pag-record, hindi ko ito pinatay. spodіvayus ko, ang lahat ng zrozumіlo, scho at tse signification ng isa at pareho.

Isang sikat na puwit para sa malayang pangitain:

puwit 2

Alamin ang lugar ng trikutnik, inspirasyon ng mga vector, yakscho

Ang formula para sa lugar ng tricot sa pamamagitan ng vector dobutok ay ibinibigay sa mga komento bago ang appointment. Ang solusyon ay sundin ang halimbawa ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang mga ulo ay talagang mas malawak, maaari silang i-roll up sa mga tricots.

Para sa pagsasakatuparan ng iba pang mga gawain, kailangan namin:

Ang lakas ng vector creative vector

Tiningnan na namin ang mga pinuno ng awtoridad ng paglikha ng vector, isasama ko sila sa listahan.

Para sa higit pang mga vector at mas maraming bilang, ang mga sumusunod na kapangyarihan ay may bisa:

1) Sa ibang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang bagay na ito ay hindi naririnig ng mga awtoridad, ngunit ito ay mahalaga pa rin sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - kapangyarihan tezh rozіbrana higit pa, іnоdі її pangalan anticommutative. Kung hindi man, tila, ang pagkakasunud-sunod ng vector ay maaaring makabuluhan.

3) - masaya o nag-uugnay mga batas ng kasanayan sa vector. Walang putol na sinisisi ni Konstanty ang pagkamalikhain ng intervector. Talaga, ano ang kailangan nilang gawin?

4) - rozpodіlnі abo distributive mga batas ng kasanayan sa vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng kadena.

Bilang isang pagpapakita, ang isang maikling puwit ay tinitingnan:

puwit 3

Alam yakscho

Solusyon: Para sa isip, kinakailangang malaman ang kaharian ng paglikha ng vector. Isulat natin ang ating miniature:

(1) Zgіdno z nag-uugnay na mga batas, sinisisi namin ang pare-pareho para sa paglikha ng intervector.

(2) Sinisisi namin ang inter-module constant, ang sarili nitong module ay may "minus" sign. Maaaring negatibo ang Dovzhina.

(3) Naintindihan ko pa.

Vidpovid:

Panahon na upang magdagdag ng panggatong sa apoy:

puwit 4

Kalkulahin ang lugar ng manloloko, na inspirasyon ng mga vector, bilang

Solusyon: Ang lugar ng trikutnik ay kilala sa pamamagitan ng formula . Ang catch ay ang mga vector na "ce" at "de" mismo ay kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at hulaan kung ano, ilapat ang No. 3 at 4 sa aralin Scalar doboot vector_v. Para sa kalinawan, ang solusyon ay nahahati sa tatlong yugto:

1) Sa unang gantsilyo, makikita natin ang vector tvir sa pamamagitan ng vector tvir, sa katunayan, virazimo vector sa pamamagitan ng vector. Tungkol sa dozhini wala pa ring salita!

(1) Kinakatawan ng isang bilang ng mga vector.

(2) Vikoristovuyuchi distributive na mga batas, na binubuksan ang mga arko para sa panuntunan ng pagpaparami ng mga mayayamang termino.

(3) Vikoristovuyuchi associative law, sinisisi namin ang lahat ng constants para sa mga likha ng intervector. Sa isang maliit na dosvіdі dії 2 і 3 posible na matalo ang isang oras.

(4) Ang una at huling mga karagdagan ay katumbas ng zero (zero vector) na mga punto ng pagtanggap ng kapangyarihan. Ang isa pang addendum ay may kapangyarihan ng anticommutativity ng paglikha ng vector:

(5) Magmungkahi ng katulad na dodanki.

Bilang resulta, lumitaw ang vector sa pamamagitan ng vector, na kinakailangan upang makamit ang:

2) Sa isa pang yugto, malalaman natin ang haba ng paglikha ng vector na kailangan natin. Tsya deya guessing Butt 3:

3) Alam namin ang lugar ng shukan tricoutnik:

Ang mga yugto 2-3 solusyon ay maaaring makumpleto sa isang hilera.

Vidpovid:

Tingnan ang gawain upang gawing mas malawak ito sa mga control robot, ang axis ng butt para sa isang malayang pagkakaiba:

puwit 5

Alam yakscho

Sa madaling sabi, ang solusyon ay upang ilarawan ang aralin. Nakakagulat, gaano ka kagalang-galang sa mga upos sa harap ;-)

Vector tvіr vectorіv y coordinate

, na ibinigay sa orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Ang pormula ay talagang simple: ang mga coordinate vector ay nakasulat sa itaas na hilera ng signifier, ang mga coordinate vector ay "nakasalansan" sa isa at pangatlong hanay, at sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- Mga unang coordinate ng "ve" na vector, pagkatapos ay mga coordinate ng "double-ve" na vector. Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang mga hilera ay dapat tandaan bilang mga puwang:

puwit 10

I-verify, ano ang mga susunod na vectors at space:
a)
b)

Solusyon: Ang rebisyon ay batay sa isa sa mga prinsipyo ng araling ito: dahil ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang vector complement ay katumbas ng zero (zero vector): .

a) Alam namin ang vector TV:

Sa ganitong paraan, ang mga vector ay hindi collinear.

b) Alam namin ang vector TV:

Vidpovid: a) hindi collinear, b)

Axis, marahil, at lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa paggawa ng vector ng mga vector.

Denmark ay hindi magiging mahusay, ang shards ng ulo, de victorious zmіshane tvіr vectorіv, hindi mayaman. Sa katunayan, ang lahat ay isinasaalang-alang sa pamamagitan ng appointment, geometric na pagbabago at isang pares ng mga gumaganang formula.

Zmishany TV vector:

Ang axis ay napakabaho tulad ng isang tren at suriin, huwag suriin, kung sila ay sinisingil.

Sa likod ng aking ulo, muli kong matutuklasan ang larawang iyon:

appointment: Nilikha nang may pagkamalikhain hindi koplanar vectoriv, kinuha mula sa ibinigay na utos, tinawag kuboid na dami, batay sa mga vectors na ito, na may “+” sign, kaya ang batayan ay tama, at ang “–” sign, kaya ang batayan ay naiwan.

Nakikita namin ang mga maliliit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay tinawid ng isang tuldok na linya:

Porinaemo sa appointment:

2) Kumuha ng mga vector sa pagkakasunod-sunod ng kanta, kaya ang permutasyon ng mga vector sa paglikha, gaya ng iyong hula, ay hindi pumasa nang walang mga bakas.

3) Bago iyon, bilang isang komentaryo sa isang geometrical na pagbabago, sasabihin ko ang isang malinaw na katotohanan: zmіshany dobutok vector_v: . Sa paunang panitikan, ang disenyo ay maaaring kahit papaano ay naiiba, ang ibig kong sabihin ay ang tunog ay zmishane tvir sa pamamagitan ng, at ang resulta ay kinakalkula gamit ang titik na "ne".

Para sa appointment zmіshany tvіr - tse obsyag paralelepiped, batay sa mga vectors (ang figure ay na-crossed na may mga pulang vector at mga linya ng itim na kulay). Iyan ang bilang ng lumang obyagu ng parallelepiped na ito.

Tandaan : ang mga upuan ay sketchy.

4) Huwag nating alalahanin ang muling pag-unawa sa oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ng isa na maaaring kumuha ng obligatory sign ay minus. Sa simpleng salita, ang zmishane tvir ay maaaring negatibo: .

Ang sumusunod ay isang formula para sa pagkalkula ng volume ng isang parallelepiped batay sa mga vectors.

Kinakalkula ng Denmark online calculator ang vector income vector. Umaasa kaming mag-ulat ng solusyon. Upang kalkulahin ang pagdaragdag ng vector sa vector, ipasok ang mga coordinate ng vector sa kahon at mag-click sa pindutang "Kalkulahin."

×

Advance

I-clear ang lahat ng kwarto?

Isara ang Clear

Mga tagubilin para sa pagpasok ng data. Ang mga numero ay ipinasok bilang mga buong numero (ilapat: 487, 5, -7623 thin.), ikasampung numero (hal. 67., 102.54 thin.) o mga fraction. Ang fraction ay kailangang mai-type sa paningin ng a / b, de a і b (b> 0) tsіlі o sampu-sampung numero. Ilapat ang 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 manipis.

Vector TV vector

Una sa lahat, pumunta sa pagtatalaga ng paglikha ng vector ng vector, tingnan natin ito nag-order ng vector trio, kaliwa vector vector trio, kanang vector trio.

Depinisyon 1. Tatlong vector ang tawag inutusan ng trinity(abo triykoy), gaya ng itinalaga, alin sa mga vector na ito ang una, alin ang isa at alin ang pangatlo.

Itala cba- ibig sabihin - una є vector c, iba є vector b at pangatlong є vector a.

Pagtatalaga 2. Trinity ng non-coplanar vectors abc ito ay tinatawag na kanan (kaliwa), tulad ng kapag ang cob ay nabawasan sa cob, ang mga vectors ay ruffled kaya, bilang ang raster ay halatang mahusay, hindi baluktot, at ang gitnang daliri ng kanang (kaliwang) kamay.

Ang Destinasyon 2 ay maaaring buuin at kung hindi man.

Pagtatalaga 2". Trinity ng mga non-coplanar vectors abc tinatawag ang kanan (kaliwa), tulad ng kapag dinala sa cob, vector c roztashovuetsya sa na bіk vіd ng lugar, na kung saan ay minarkahan ng mga vectors aі b, mga bituin ang pinakamaikling pagliko a dati b vіdbuvaєtsya laban sa arrow ng taon (sa likod ng arrow ng taon).

Tatlong vector abc, ipinapakita sa fig. 1 є kanan, at tatlo abc ipinapakita sa fig. 2 є ang natitira.

Tulad ng dalawang triplets ng mga vector at kanan o kaliwa, tila sila ay pareho ang oryentasyon. Kung hindi, tila ang baho ay nasa kabaligtaran na oryentasyon.

Paghirang 3. Ang Cartesian o affine coordinate system ay tinatawag na kanan (kaliwa), dahil ang tatlong base vector ay sumasagot sa kanan (kaliwa) triple.

Para sa kapakanan ng pagkanta, tingnan natin ang mga tamang sistema ng coordinate.

Paghirang 4. malikhaing vector vector a bawat vector b tinatawag na vector h, na tinutukoy ng simbolo c=[ab] (o c=[a,b], o c=a×b) at nasiyahan sa darating na tatlong vimog:

• dozhina vector h dobootku dozhin vektoriv aі b sa sinus kuta φ sa pagitan nila:

|c|=|[ab]|=|a||b|kasalananφ;

(1)

• vector h orthogonal hanggang dermal vector aі b;
• vector c pagtuwid kaya na tatlo abcє tama.

Vector dobutok vector sa maaari pa ring kapangyarihan:

• [ab]=−[ba] (antipermutability spіvmulnikiv);
• [(λa)b]=λ [ab] (kaligayahan shodo numerical multiplier);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (rozpodіlnіst shodo sumi vectoriv);
• [aa]=0 para sa anumang vector a.

Geometric na kapangyarihan ng paglikha ng vector.

Theorem 1. Para maging collinear ang dalawang vector, kinakailangan upang makamit ang zero equality ng kanilang paglikha ng vector.

Nagdadala. Pangangailangan. Halika na vectori aі b collinear. Todi cut sa pagitan ng mga ito 0 o 180° kasalananφ=kasalanan180=kasalanan 0 = 0. Muli, binaligtad ng (1), ang vector c katumbas ng zero. Todi c null vector.

Availability. Halika sa vector dobutok vector_v aі b nav sa zero: [ ab]=0. Ipaalam sa amin na ang mga vectors aі b collinear. Gusto ko ng isa sa mga vectors aі b zero, kung gayon ang mga q vector ay collinear (dahil ang zero vector ay maaaring direktang magkatugma at maaari itong ituring na isang collinear vector).

Yakshcho OK pagkakasala vectori aі b nonzero, pagkatapos | a|>0, |b|>0. Todi z [ ab]=0 at (1) kasalananφ=0. Otzhe vectori aі b collinear.

Nakumpleto na ang theorem.

Theorem 2. Dovzhin (module) ng paglikha ng vector ab] mas mahal na lugar S isang paralelogram na inspirasyon sa pamamagitan ng pagturo sa mga vector ng cob aі b.

Nagdadala. Tulad ng nakikita mo, ang lugar ng parallelogram ay mas mahal upang idagdag ang kabuuan ng mga gilid ng parallelogram na ito sa sine ng hiwa sa pagitan nila. Ama:

Ang todo vector dobutok tsikh vector_v ay maaaring magmukhang:

Rozkrivayuchi vyznachnik sa likod ng mga elemento ng unang hilera, isinasaalang-alang namin ang layout ng vector. a×b batayan ako, j, k, na katumbas ng formula (3).

Patunay ng Theorem 3. Pinagsasama namin ang lahat ng posibleng taya mula sa mga base vectors ako, j, k at porahuєmo їhnіy vector TV. Ito ay kinakailangan upang matiyak na ang mga batayang vector ay magkaparehong orthogonal, upang masiyahan ang karapatan ng isang trio at magkaroon ng isang douzhina (sa madaling salita, maaaring ipalagay na i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k= (0, 0, 1)). Todi maєmo:

Para sa natitirang equanimity at spіvvіdnoshen (4), kukunin namin ang:

Pagdaragdag ng 3×3 matrix, ang unang hilera ay ang batayan ng vector ako, j, k, at iba pang mga hilera na puno ng mga elemento ng vector aі b:

Sa ranggo na ito, ang resulta ng paglikha ng vector ng mga vectors aі b will vector:

.

Halimbawa 2. Hanapin ang vectorial na pagdaragdag ng mga vectors [ ab], de vector a representasyon sa pamamagitan ng dalawang puntos. Pochatkov point ng vector: , end point vector a: , vector b maaaring tumingin .

Rozvyazannya. Ilipat ang unang vector sa cob ng mga coordinate. Kung saan ang mga nakikitang coordinate ng end point ay ang mga coordinate ng corn point:

Bilangin natin ang vyznachnik ts_єї matrix, rozklavshi її sa unang hilera. Bilang resulta, kinakalkula namin ang karagdagang vector ng vector aі b.

ZMISHANIY CREATOR NG TATLONG VECTOR SA YOGO OF POWER NA IYON

Zmіshanim malikhain tatlong vector ang pangalan ng numero na maganda. Hinirang . Dito ang unang dalawang vectors ay pinarami ng vectorially at pagkatapos ay ang pagbabawas ng vector ay scalarly na pinarami ng ikatlong vector. Obviously, sprat ang ganyang TV.

Tingnan natin ang kapangyarihan ng pinaghalong paglikha.

1. Geometric zmist nakakabaliw na paglikha. Zmishane tvir 3 vectors na may katumpakan hanggang sa tanda ng lumang obyagu paralepiped, na sinenyasan ng mga vector na ito, tulad ng sa ribs, tobto. .

   Sa ganoong paraan, .

   

   Nagdadala. Vіdklademo vektori vіd zagalnogo cob at pobuduєmo sa kanila paralepiped. Makabuluhan at magalang, scho. Para sa layunin ng paglikha ng scalar

   Hinahayaan ko ang nalalaman ko h ang taas ng parallelepiped, alam natin.

   Sa ganoong paraan, sa

   Well, pagkatapos ay ika. Ama, .

   Ob'ednuyuchi insulto at vipadki, otrimuєmo alinman.

   Ang pagkumpirma ng Z ng kalidad ng zokrem ay viplivay, na ang ikatlong vector ay tama, pagkatapos ay zmishane tvir, at yakshcho - leva, pagkatapos.

2. Para sa kahit anong vectors , , patas ang pagkakapantay-pantay

   Ang patunay ng kapangyarihan ng kapangyarihan ay kitang-kita mula sa kapangyarihan 1. Totoo, madaling ipakita na ito nga. Hanggang doon, ang mga palatandaan na "+" at "-" ay kinukuha nang sabay-sabay, dahil kuti mizh vectors ta і isang oras gostrі o bobo.

3. Kapag rearranging, kung mayroong dalawang spіvmulnіnіv zmіshanі tvіr baguhin ang sign.

   Ito ay totoo, na parang maaari nating tingnan ang kalituhan ng TV, kung gayon, halimbawa, o

4. Zmіshany tvіr tіlki tіlki tіlki і, kung іz сpіvmіnnіkіv dоrіvnyuє zero аbо vectors ay coplanar.

   Nagdadala.

   Kasama, ang kinakailangan at sapat na mental coplanarity ng 3 vectors at ang pagkakapantay-pantay sa zero ng kanilang pinaghalong paglikha. Bilang karagdagan, malinaw na ang tatlong vector ay nagtatag ng isang batayan para sa espasyo, halimbawa.

   Pati na rin ang mga vector at gawain sa coordinate form, posibleng ipakita na ang mga pagbabagong ito ay kilala sa pamamagitan ng formula:

   .

   Kaya, zmіshany dobutok dobutok sa ikatlong-order signifier, na sa unang hilera ay may mga coordinate ng unang vector, sa kabilang hilera - ang mga coordinate ng isa pang vector i sa ikatlong hilera - ang ikatlong vector.

   mag-apply.

ANALYTICAL GEOMETRY SA SPACE

Rivnyannia F(x, y, z)= 0 ay itinalaga sa espasyo Oxyz ibabaw ng deaku, tobto. geometrical na punto ng lugar, mga coordinate kung saan x, y, z bigyang-kasiyahan ang sinumang naiinggit. Ang linya ay tinatawag na katumbas ng ibabaw, at x, y, z- kasalukuyang mga coordinate.

Gayunpaman, kadalasan ang ibabaw ay hindi tinatanong ng mga katumbas, ngunit bilang isang impersonal na punto ng espasyo, na maaaring may iba pang kapangyarihan. At dito ito ay kinakailangan upang malaman ang pagkakapareho ng ibabaw, mula sa її geometrical kapangyarihan.

LUGAR.

NORMAL AREA VECTOR.

PAGTATATAS NG LUGAR UPANG DUMAAN SA ISANG BIGAY NA PUNTO

Tingnan natin ang kalawakan ng isang malaking lugar σ. Ang posisyon ay nakasalalay sa ibinigay na vector na patayo sa ibinigay na eroplano, na nakapirming punto M0(x0, y 0, z0) na matatagpuan malapit sa eroplano σ.

Ang vector na patayo sa eroplanong σ ay tinatawag normal vector qієї lugar. Hayaang may mga coordinate ang vector.

Tingnan natin ang eroplanong σ, na dumaraan binigyan ng punto M0 at maaaring isang normal na vector. Kung saan kami sumakay sa eroplano σ isang sapat na punto M(x, y, z) Tumingin ako sa vector.

Para sa kahit anong punto MÎ σ vector. Samakatuwid, ang scalar karagdagan sa zero Tsya jealousy is the mind of the point MО σ. Ito ay patas para sa lahat ng mga punto sa eroplano at nasira, tulad ng isang punto lamang M lean back pose na may eroplano σ.

Paano malalaman sa pamamagitan ng radius-vector ng isang punto M, ay ang radius vector ng punto M0, pagkatapos ay maitala ang katumbas sa isang sulyap

Tse equal ang tawag vector katumbas ng lugar. Isulat natin ang yoga sa coordinate form. Oscilki, kung gayon

Otzhe, inalis namin ang patag ng lugar, upang maipasa ang puntong ito. Sa ganitong paraan, upang matiklop ang flatness ng eroplano, kailangang malaman ang mga coordinate ng normal na vector at ang mga coordinate ng deuce point na nasa eroplano.

Sa paggalang, na ang eroplano ay katumbas ng katumbas ng 1st stage ng flow coordinates x, yі z.

mag-apply.

ZAHALNE RIVNYANNYA SQUARE

Maaari mo bang ipakita kung gaano kapantay ang unang hakbang sa mga coordinate ng Cartesian x, y, zє katumbas ng deykoї area. Ang presyo ay naitala bilang:

Ax+By+Cz+D=0

at tinatawag ligaw na selos eroplano, at ang mga coordinate A, B, C narito ang mga coordinate ng normal na vector ng lugar.

Tingnan natin ang paligid ng talon nakakahiyang pagseselos. Siyempre, habang ang eroplano ng sistema ng coordinate ay pinalawak, nangangahulugan ito na ang isa o higit pang mga decal coefficient ay nababagay sa zero.

A - ang core ng vіdrіzka, na nakikita ng eroplano sa axis baka. Katulad nito, maaari itong ipakita na bі c- Dovzhini vіdrіzkіv, scho vіdsіkayutsya flat sa axes, scho na makikita. Ouchі Oz.

Ang Rivnyannyam flats sa windbreaks ay madaling masunog para sa pagtaas ng flats.