Nasa tabi mismo ng open space ang Rivnyannia. Pagyupi ng eroplano: matarik, sa pamamagitan ng tatlong puntos, normal.

Ang mga kanonikal na tuwid na linya sa espasyo ay tinatawag na mga tuwid na linya, na nagpapahiwatig ng isang tuwid na linya, na dumadaan sa isang ibinigay na punto nang collinearly sa isang direktang vector.

Hayaang magbigay ng isang punto at isang direktang vector. Isang sapat na punto upang humiga sa isang tuwid na linya l sa ganoong paraan lamang, bilang mga vectors at collenears, upang para sa kanila ang isip ay manalo:

.

Itinuro ang higit pang mga tuwid na linya at kanonikal na mga tuwid na linya.

Numero m , nі pє projection ng direktang vector ng coordinate axis. Dahil ang vector ay hindi zero, kung gayon ang lahat ng mga numero m , nі p hindi maaaring umabot sa zero sa magdamag. Ngunit ang isa o dalawa sa kanila ay maaaring lumitaw na katumbas ng zero. Sa analytic geometry, halimbawa, pinapayagan ang sumusunod na notasyon:

,

na nangangahulugan na ang vector projection sa axis Ouchі Oz katumbas ng zero. Samakatuwid, ang i ay isang vector, ang i ay isang tuwid na linya, na ibinigay ng mga canonical na linya, patayo sa mga axes. Ouchі Oz, ibig sabihin, patag yOz .

halimbawa 1. Maglagay ng mga tuwid na linya sa espasyo, patayo sa eroplano dumaan ako sa punto ng crossbar tsієї na mga eroplano Oz .

Solusyon. Alam natin ang cross point Oz. Kaya tulad ng isang punto, kung ano ang humiga sa ehe Oz maє coordinate, pagkatapos, vvazhayuchi sa isang naibigay na pantay na eroplano x=y= 0, kunin ang 4 z- 8 = 0 o z\u003d 2. Sa ibang pagkakataon, ang tawiran na punto ay ibinibigay ng eroplano mula sa linya Oz may coordinate (0; 0; 2). Ang tuwid na linya ng Oskolki ay patayo sa eroplano, ito ay parallel sa normal na vector її. Samakatuwid, ang isang direktang vector ay maaaring maging isang normal na vector ibinigay na ibabaw.

Ngayon ay isulat natin ang mga tuwid na linya upang dumaan sa punto A= (0; 0; 2) y tuwid na vector:

Pag-align ng isang tuwid na linya upang dumaan sa dalawang ibinigay na mga punto

Ang isang tuwid na linya ay maaaring ibigay ng dalawang puntos, na nasa ibabaw nito і Para sa direktang vector na ito, ang isang direktang vector ay maaaring isang vector . Todі canonіchnі rіvnyannya direktang nabudu vglyadu

.

Ang pagturo ng higit pang mga tuwid na linya ay tumutukoy sa isang tuwid na linya, na dadaan sa dalawang ibinigay na mga punto.

puwit 2. Maglagay ng mga tuwid na linya sa bukas na espasyo upang dumaan sa mga punto i.

Solusyon. Isulat natin ang tunog ng tuwid na linya sa paningin, na dinala sa ibabaw sa teoretikal na konklusyon:

.

Oskіlki, pagkatapos ay ang linya ay patayo sa axis Ouch .

Isang tuwid na linya tulad ng isang linya ng mga flat

Ang isang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring italaga bilang isang linya ng pagtawid ng dalawang di-parallel na eroplano, kaya bilang isang impersonal na punto na nagbibigay-kasiyahan sa dalawang sistema mga linear na ilog

Ang leveling ng system ay tinatawag ding wild leveling ng tuwid na linya sa open space.

halimbawa 3. Ilagay ang canonical straight line sa open space, na itinakda ng wild lines

Solusyon. Upang maisulat ang canonical alignment ng mga tuwid na linya, o, na ang parehong mga tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, ito ay kinakailangan upang malaman ang mga coordinate kung mayroong dalawang mga punto ng tuwid na linya. Maaari silang maging mga punto ng cross line na may ilang uri ng dalawang coordinate planes, halimbawa yOzі xOz .

Ang punto ng cross line ay tuwid sa eroplano yOz abscissa x= 0. Para doon, ang vvazhayuchi sa aking sistema ay katumbas x= 0 kinukuha namin ang system na may dalawang pagbabago:

Її desisyon y = 2 , z= 6 nang sabay-sabay x= 0 ay nagtatalaga ng isang punto A(0; 2; 6) shukano straight lines. Vvazhayuchi potim sa gawain ng system rivnyan y= 0 kunin ang system

Її desisyon x = -2 , z= 0 magkasama y= 0 ay nagtatalaga ng isang punto B(-2; 0; 0) tuwid na linya na may patag xOz .

Ngayon isulat natin ang pagkakahanay ng tuwid na linya, na dadaan sa mga specks A(0; 2; 6) B (-2; 0; 0) :

,

kung hindi, ipinadala ko ang mga bannermen sa -2:

,

panayam 6-7. Mga elemento ng analytical geometry.

Ang ibabaw ay makinis.

halimbawa 1.

Sphere

puwit 2.

F(x, y, z) = 0(*),

Tse - makinis na ibabaw

Mag-apply:

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (kono)

patag.

Flatness ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto patayo sa isang ibinigay na vector.

Tingnan natin ang lugar na malapit sa espasyo. Hayaang M 0 (x 0, y 0, z 0) - isang punto ng eroplano P ang ibinigay, at - isang vector ng mga patayo sa eroplano ( normal na vector mga flat).

(1) – vector flatness ng lugar.

Para sa coordinate form:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Inalis namin ang patag ng lugar upang dumaan sa isang naibigay na punto.

Zagalne patag ng lugar.

Pagbubukas ng mga arko sa (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 o

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Otrimane leveling ng lugar linearly, pagkatapos. pag-level ng 1 hakbang para sa x, y, z coordinates. Samakatuwid, ang lugar - ibabaw ng unang order .

Kumpirmasyon: Kung ito ay pantay, linearly x, y, z ay nagtatakda ng eroplano.

Be-yak flat m. ibinigay sa katumbas ng (3), bilang ito ay tinatawag zagalnym flat ng lugar.

Okremi vipadki zagalnogo rivnyannya.

a) D = 0: Ax + By + Cz = 0. Since Dahil ang mga coordinate ng point O(0, 0, 0) ay nakakatugon sa parehong antas, kung gayon ang eroplano ay ibibigay upang dumaan sa cob ng mga coordinate.

b) C \u003d 0: Ax + By + D \u003d 0. Sa ganitong paraan, ang normal na vector ng lugar parisukat na iyon, itinalaga sa katumbas parallel sa OZ axis.

c) C \u003d D \u003d 0: Ax + By \u003d 0. Ang eroplano ay kahanay sa OZ axis (dahil C \u003d 0) at dumaan sa cob ng mga coordinate (dahil D \u003d 0). Lumabas, lumabas sa buong OZ.

d) B \u003d C \u003d 0: Ax + D \u003d 0 o . vector, tobto. na . Gayundin, ang eroplano ay parallel sa mga axes OY at OZ, tobto. parallel sa eroplanong YOZ at dumaan sa punto.

Tingnan mo mismo ang talon: B = 0, B = D = 0, A = 0, A = D = 0, A = C = 0, A = B = 0/

Pag-align ng eroplano sa pamamagitan ng tatlong ibinigay na mga punto.

kasi Kung dalawa o higit pang mga punto ang nasa eroplano, kung gayon ang mga q vector ay coplanar, kaya. x zmіshany tvіr isang zero:

Nakakuha ng isang patag na eroplano upang dumaan sa tatlong puntos hitsura ng vector.

Para sa coordinate form:

(7)

Sa sandaling mabuksan ang vyznachnik, aalisin namin ang patag ng lugar sa paningin:

Ax+By+Cz+D=0.

puwit. Isulat ang antas ng eroplano na dadaan sa mga puntos na M1 (1, -1,0);

M 2 (-2.3.1) at M 3 (0.0.1).

, (x - 1) 3 - (y + 1) (-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Pag-leveling ng lugar malapit sa windrows

Bigyan natin ang mas mataas na antas ng lugar na Ax + By + Cz + D = 0 at D ≠ 0, pagkatapos. ang eroplano ay hindi dumaan sa cob ng mga coordinate. Hatiin natin ang mga nakakasakit na bahagi sa -D: iyon ay makabuluhan: ; ; . Todi

kinuha pag-leveling ng eroplano sa windrows .

kung saan ang a, b, c ay ang mga halaga ng vіrіzkіv, na nakikita ng eroplano ng mga coordinate axes.

halimbawa 1. Isulat ang antas ng eroplano upang makadaan sa mga puntong A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) at C(0, 0, -3).

a=3; b = 2; c = -3, o 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

puwit 2. Alamin ang laki ng vіdrіzkіv, yakі vіdtinaє flat

4x - y - 3z - 12 = 0 sa mga coordinate axes.

4x - y - 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Normal na flatness.

Hayaan ang deyak na mabigyan ng eroplanong Q. Mula sa cob ng mga coordinate ay iginuhit namin ang patayo na OP sa eroplano. Hayaan ang gawain |OP|=р na vector: . Kumuha tayo ng kasalukuyang puntong M(x, y, z) ng lugar at isang kalkuladong scalar vector augmentation na : .

Kung ipo-project mo ang point M sa isang tuwid na linya, pagkatapos ay maaari tayong pumunta sa point P. Kaya, pantay ang kukunin natin

(9).

Naka-install na mga linya sa espasyo.

Ang linya L sa espasyo ay maaaring itakda bilang isang peretina ng dalawang ibabaw. Hayaang ang puntong M(x, y, z) ay nasa linyang L, nasa ibabaw ng P1, at sa ibabaw ng P2. Kaya ang mga coordinate ng mga punto ng fault ay dapat na katumbas ng parehong ibabaw. Sa pid na iyon katumbas ng linyang L sa espasyo upang maunawaan ang kasal ng dalawang magkapantay, ang balat ng mga iyon ay katumbas ng magkapantay na ibabaw:

Ang mga linya L ay nasa pagitan ng ika at ika na mga punto, ang mga coordinate na kung saan ay nakakatugon sa parehong mga antas sa (*). Tingnan natin ang iba pang mga paraan ng pag-set up ng mga linya sa kalawakan.

Isang grupo ng mga flat.

Sinag ng mga flat- Marami sa lahat ng eroplano na dumadaan sa isang tuwid na linya - ang buong sinag.

Upang magtakda ng isang grupo ng mga eroplano, sapat na upang i-install ang lahat ng ito. Hayaang ibigay ang linya ng mga tuwid na linya sa kasumpa-sumpa na tumitingin:

.

Tiklupin ang bundle- nangangahulugang tiklop ang antas, kung saan maaari mong alisin para sa pandagdag na isip ang antas ng sinag, cream b.m. mag-isa. I-multiply natin ang II equal sa l at itabi ito sa I equal:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) o

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l - parameter - isang numero, upang makakuha ka ng mga tunay na halaga. Para sa anuman ang kabaligtaran na kahulugan ay (1) at (2) linear, iyon ay. tse - leveling ng deykoi area.

1. pasikat, upang ang eroplano ay dumaan sa buong beam L. Kumuha ng sapat na punto M 0 (x 0, y 0, z 0) L. Mamaya, M 0 R 1 at M 0 R 2 . Ibig sabihin:

Otzhe, ang patag, na inilalarawan ng katumbas ng (1) o (2), na nakahiga sa sinag.

2. Maaari mong dalhin at protilezhne: kung ang eroplano na dumadaan sa tuwid na linya L ay inilarawan ng katumbas ng (1) para sa ibang pagpipilian ng parameter l.

puwit 1. Maglagay ng mga patag na eroplano upang dumaan sa linya ng mga eroplano x + y + 5z - 1 = 0 at 2x + 3y - z + 2 = 0 at sa puntong M (3, 2, 1).

Ang pagkakahanay ng beam ay naitala: x + y + 5z - 1 + l (2x + 3y - z + 2) = 0. Para sa halaga ng l, tama na ang M R:

Maging ito sa ibabaw sa kalawakan, makikita mo ito bilang isang geometrically spaced point, na maaaring may kapangyarihan, isang palatandaan para sa lahat ng mga punto.

halimbawa 1.

Sphere - isang impersonal na punto, na eksaktong nasa layo mula sa ibinigay na punto C (sa gitna). Z (x 0, y 0, z 0). Para sa mga appointment |CM|=R o . Tse pantay vikonuєtsya lahat ng mga punto ng globo at їm lamang. Kung x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0, kung gayon .

Sa pamamagitan ng isang katulad na ranggo, maaari mong tiklop ang pagkakahanay, maging ito man sa ibabaw, na parang napili ang coordinate system.

puwit 2. x=0 – alignment ng YOZ area.

Virazivshi disenyong geometriko ibabaw sa pamamagitan ng mga coordinate ng flow point at pagpili ng lahat ng mga bodega sa isang bahagi, isinasaalang-alang namin ang pagkakapantay-pantay ng isip

F(x, y, z) = 0(*),

Tse - makinis na ibabaw , kaya ang mga coordinate ng lahat ng mga punto sa ibabaw ay nasisiyahan sa ganitong pagkapantay-pantay, at ang mga coordinate ng mga punto na hindi nakahiga sa ibabaw ay hindi nasisiyahan.

Kasama, ang balat ng balat ng piniling sistema ng coordinate ay nagpapakita ng sarili nitong pagkakahanay. Gayunpaman, hindi ang hitsura ng balat (*) ay nagpapakita ng ibabaw sa isang makabuluhang paraan.

Mag-apply:

2x - y + z - 3 = 0 (flat)

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (kono)

x 2 + y 2 +3 = 0 - ang mga coordinate ng parehong punto ay hindi nasiyahan.

x 2 + y 2 + z 2 = 0 - isang punto (0,0,0).

x 2 \u003d 3y 2 \u003d 0 - Straight (lahat ng OZ).

Ang lahat ng leveling ng lugar, tulad ng mga dibisyon sa mga nakakasakit na punto, ay maaaring alisin mula sa malalim na antas ng lugar, at dalhin din sa malalim na antas ng lugar. Sa ranggo na ito, kung pinag-uusapan natin ang flatness ng flat, maaari nating sabihin na flat ang flat sa lupa, dahil hindi ito itinalaga kung hindi man.

Pag-leveling ng flat sa windrows.

Rivnyannia isip , de a, b і c – vіdminnі vіd zero diysnі numero, tinawag katumbas ng lugar sa windbreaks.

Ang ganitong pangalan ay hindi vipadkova. Ang mga ganap na halaga ng mga numerong a, b at c ay katumbas ng taas ng vіdrіzkіv, yakі vіdsіkaє ang lugar sa coordinate axes Ox, Oy at Oz ay malinaw, nagbabago-bago sa cob ng mga coordinate. Ang tanda ng mga numerong a, b at c ay nagpapakita, kung saan direksyon (positibo o negatibo) mayroong isang bakas ng isang krus sa mga coordinate axes.

Para sa buttstock, kakailanganin para sa rectangular coordinate system na Oxyz na magkaroon ng isang eroplano, na nakatalaga sa pantay na mga eroplano ng mga butas. . Para sa kung aling punto ang ipinahiwatig, ito ay 5 unit ang layo mula sa cob ng mga coordinate malapit sa negatibong direksyon ng abscissa axis, 4 na unit sa kahabaan ng negatibong direksyon ng ordinate axis at 4 na unit ang layo mula sa positibong direksyon ng applicative axis. Nawala ang ilang qi point na may mga tuwid na linya. Ang lugar ng trimmed tricot at є flat, na nagpapakita ng flatness ng flat sa paningin .

Para sa karagdagang impormasyon, mangyaring pumunta sa artikulo pag-leveling ng eroplano sa windrows, doon ay ipinapakita ang isang ibinigay na leveling ng eroplano sa vіdrіzkakh sa malalim na leveling ng eroplano, doon mo rin malalaman ang mga ulat ng mga katangian ng mga aplikasyon at ang gawain.

Normal na flatness.

Tawagan ang mas patag na lugar ng isip normal na eroplano, gusto dovnyuє kalungkutan, tobto, , ta .

Madalas mong masasabi na normal para sa eroplano na maitala bilang . Narito ang mga direktang cosine ng normal na vector ng isang naibigay na lugar ng isang solong eroplano, tobto , at p ay isang hindi kilalang numero na katumbas ng cob ng mga coordinate sa eroplano.

Ang normal na pagkakahanay ng eroplano sa rectangular coordinate system na Oxyz ay tumutukoy sa eroplano, hangga't ang cob ng mga coordinate ay nasa layo p ng positibong direksyon ng normal na vector ng eroplano . Kung p=0 kung gayon ang eroplano ay dumaan sa cob ng mga coordinate.

Idirekta natin ang butt ng normal na flatness ng lugar.

Hayaang ibigay ang lugar sa rectangular coordinate system na Oxyz sa itaas na mga eroplano ng eroplano sa anyo . Tse galnee alignment ng lugar є normal alignment ng area. Tama, i normal vector ng eroplano maaaring dozhina katumbas ng kalungkutan, shards .

Ang flatness ng eroplano sa normal na paningin ay nagpapahintulot sa iyo na malaman lumipat mula sa punto patungo sa eroplano.

Inirerekomenda na mag-aral nang mas detalyado sa ganitong uri ng pag-level ng eroplano, upang tingnan ang mga ulat sa mga solusyon ng mga tipikal na aplikasyon sa araw na iyon, at upang matutunan din kung paano gawing normal ang pag-level ng lugar. Tse ay maaaring maging robiti, na bumaling sa estado.

Listahan ng panitikan.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiselova L.S., Poznyak E.G. Geometry. Katulong para sa mga baitang 10–11 ng isang sekondaryang paaralan.
• Bugrov Ya.S., Mikilsky S.M. Mahusay na matematika. Unang Volume: Mga Elemento ng Linear Algebra at Analytic Geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytical geometry.

Be-yak katumbas ng unang hakbang ng mga coordinate x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

tumutukoy sa lugar, at muli: kung ang lugar ay maaaring katawanin ng mga katumbas (3.1), gaya ng tawag dito katumbas ng lugar.

Vector n(A, B, C), orthogonal sa eroplano, tinatawag normal na vector mga flat. Ang equation (3.1) ay may mga coefficient A, B, C na hindi katumbas ng 0 sa parehong oras.

Mga partikular na uri ng equivalence (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 – ang lugar na dadaan sa cob ng mga coordinate.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - ang eroplano ay parallel sa Oz axis.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - ang lugar na dadaan sa lahat ng Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ang eroplano ay parallel sa eroplanong Oyz.

Alignment ng coordinate planes: x=0, y=0, z=0.

Ang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring ibigay:

1) tulad ng isang linya upang tumawid sa dalawang eroplano, tobto. sistema ng rivnyan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) dalawa sa mga punto nito M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), kahit na tuwid, upang dumaan sa kanila, ay ibinibigay ng mga katumbas:

= ; (3.3)

3) punto M 1 (x 1, y 1, z 1), kung saan ї ika kasinungalingan, і vector a(m, n, р), їй ay collinear. Ang Todi ay direktang iniuugnay sa mga katumbas ng:

. (3.4)

Rivnyannia (3.4) ay tinatawag kanonikal ay katumbas ng tuwid.

Vector a tinawag direktang vector direkta.

Ang parameter ay inalis sa pamamagitan ng equating ang balat mula sa wear (3.4) sa parameter t:

x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+rt. (3.5)

Virishuyuchi system (3.2) bilang isang sistema ng mga linear equalities xі y dumiretso kami sa ilog mga projection o hanggang gumawa tayo ng mga tuwid na linya:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Vіd rivnyan (3.6) maaari kang pumunta sa canonical rivnyan, alam z mula sa antas ng balat at ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga:

.

Tingnan ligaw na ilog(3.2) posibleng ipasa sa kanonikal at iba pang mga pamamaraan, upang malaman kung ang punto ng linya ng linya at ang linya n= [n 1 , n 2], de n 1 (A 1 , B 1 , C 1) at n 2 (A 2 B 2 C 2) - mga normal na vector ng mga ibinigay na eroplano. Tulad ng isa sa mga sikat m,n o R ang katumbas ng (3.4) ay lumilitaw na katumbas ng zero, pagkatapos ay ang number-book ng isang katulad na fraction ay dapat itakda na katumbas ng zero, pagkatapos. sistema

pantay na sistema ; tulad ng isang linya ay patayo sa axis Ox.

Sistema parehong malakas na sistema x = x 1, y = y 1; tuwid na linya parallel sa Oz axis.

Stock 1.15. Tiklupin ang pagkakahanay ng eroplano, alam na ang punto A (1, -1,3) ay ang substava na patayo na iginuhit mula sa cob ng mga coordinate hanggang sa gitna ng eroplano.

Solusyon. Sa likod ng utak vector OA(1,-1,3)
x-y+3z+D=0. Ang pagpapalit ng mga coordinate ng punto A(1,-1,3), na nakahiga patag, alam natin ang D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Gayundin, x-y+3z-11=0.

Stock 1.16. Ilagay ang patag ng lugar upang dumaan sa buong Oz at buuin ang lugar na 2x+y-z-7=0 kut 60 o.

Solusyon. Ang lugar na dumadaan sa lahat ng Oz ay ibinibigay ng Ax + By = 0, habang A at huwag lumiko sa zero nang sabay-sabay. Halika, huwag
isang 0, A/Bx+y=0. Ayon sa cosine formula kuta sa pagitan ng dalawang eroplano

.

Virishyuchi parisukat na pagkakahanay 3m 2 + 8m - 3 \u003d 0, alam natin ang ugat ng yogo
m 1 \u003d 1/3, m 2 \u003d -3, ang mga bituin ay kinuha mula sa dalawang lugar 1/3x + y \u003d 0 at -3x + y \u003d 0.

puwit 1.17. Tiklupin ang mga canonical na tuwid na linya:
5x + y + z = 0, 2x + 3y – 2z + 5 = 0.

Solusyon.Pagkakapantay-pantay ng kanonikal diretsong tingin:

de m, n, p- mga coordinate ng direktang vector ng tuwid na linya, x1, y1, z1- mga coordinate ng anumang punto, na nakahiga nang tuwid. Ang tuwid na linya ay ibinibigay bilang isang linya sa pagitan ng dalawang eroplano. Upang malaman ang punto, upang maglatag ng mga tuwid na linya, upang ayusin ang isa sa mga coordinate (ang pinakasimpleng ay ilagay, halimbawa, x = 0) at ibubulok ko ang sistema bilang isang sistema ng mga linear alignment na may dalawang hindi alam. Pagkatapos, mataas ang x \u003d 0, pagkatapos ay y + z \u003d 0, 3y - 2z + 5 \u003d 0, mga bituin y \u003d -1, z \u003d 1. Ang mga coordinate ng point M (x 1, y 1, z 1), na nasa linyang ito , ipinakita namin ang: M (0,-1,1). Ang direktang vector ay madaling malaman kung alam mo ang mga normal na vector at panlabas na mga eroplano. n 1 (5,1,1) iyon n 2(2,3,-2). Todi

Ang canonical alignment ng tuwid na linya ay makikita: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z – 1)/13.

Stock 1.18. Para sa isang sinag na tinukoy ng mga eroplano 2x-y+5z-3=0 і x+y+2z+1=0, hanapin ang dalawang patayong eroplano, ang isa ay dumadaan sa puntong M(1,0,1).

Solusyon. Ang pagkakahanay ng beam, na tinukoy ng mga eroplanong ito, ay maaaring magmukhang u (2x-y + 5z-3) + v (x + y + 2z + 1) \u003d 0, de u at v ay hindi nagiging zero magdamag. Isulat muli natin ang pagkakahanay ng beam na may nakakasakit na ranggo:

(2u + v) x + (-u + v) y + (5u + 2v) z - 3u + v = 0.

Upang makita ang isang eroplano mula sa beam na dumadaan sa punto M, kinakatawan namin ang mga coordinate ng punto M ng pagkakahanay ng beam. Kinukuha namin ang:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v = 0, o v = - u.

Alam natin na alam natin ang pagkakapantay-pantay ng eroplano, na dumadaloy sa M, sa pamamagitan ng pagpapalit ng v = - u sa equalization ng beam:

u(2x-y+5z - 3) - u(x+y+2z+1) = 0.

kasi u ¹0 (ngayon v=0, kung hindi man ay i-supercalculate ang direksyon ng beam), maaaring maging ang eroplanong x-2y+3z-4=0. Ang isa pang eroplano, na nakahiga sa sinag, ay maaaring patayo. Isulat natin ang mental orthogonality ng mga eroplano:

(2u + v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, o v = - 19/5u.

Otzhe, katumbas ng ibang lugar ay maaaring magmukhang:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 o 9x +24y + 13z + 34 = 0.