Mga sistema ng linear na linya. Pangunahing pagbabago ng mga sistema ng vector. Hakbang-hakbang na sistema ng mga sistema ng vector

Paghirang 5. Mga pagbabago sa elementarya Ang mga sistema ng linear alignment ay tinatawag na її pagsulong ng mga pagbabagong-anyo:

1) permutasyon ng dalawang magkapantay na lugar o hindi;

2) pagpaparami ng parehong bahagi ng parehong pantay na bilang;

3) pagdaragdag sa parehong bahagi ng isang pantay na bahagi ng pangalawang katumbas, na pinarami ng numero k;

(kasabay nito, ang mga ilog ay nagiging permanente).

Ang zero ay katumbas tinatawag na katumbas ng nakakasakit na isip:

Teorama 1. Maging tulad ng huling pagkakasunud-sunod ng mga pagbabagong elementarya at ang pagbabago ng Linggo ng zero equalization upang isalin ang isang sistema ng mga linear na pagkakapantay-pantay na pantay na malakas at isa pang sistema ng mga linear na pagkakapantay-pantay.

Nagdadala. Sa isang sulyap sa awtoridad ng ika-4 na talata, upang dalhin ang teorama sa balat para sa pagbabago ng okremo.

1. Sa kaso ng permutation ng mga ranggo ng system, ang mga ranggo mismo ay hindi nagbabago, kaya ang sistema ay pantay na malakas para sa mga appointment.

2. Sa bisa ng unang bahagi ng patunay, ito ay sapat na upang dalhin ang katatagan para sa unang katumbas. Ang pag-multiply ng system (1) sa numero , kinukuha namin ang system

(2)

Halika na  sistema (1) . Ang parehong mga numero ay nakakatugon sa mga pagkakapantay-pantay ng system (1). Dahil ang oskіlki lahat ng mga katumbas ng sistema (2) ng unang isa zbіgayutsya na may katumbas ng sistema (1), pagkatapos ay ang mga numero masiyahan ang lahat ng mga katumbas. Ang mga shards ng numero ay nakakatugon sa unang pagkakapantay-pantay ng system (1), maaaring ang unang pagkakataon na ang numerical equality:

Pagpaparami ng yogo sa isang numero K, Kinukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero:

yun. i-install, ano  sistema (2).

Bumalik, yakscho solusyon ng system (2), pagkatapos ay ang mga numero ay nagbibigay-kasiyahan sa bigote ng system (2). Ang oskіlki lahat ng mga katumbas ng sistema (1) ng unang isa zbіgayutsya na may katumbas ng sistema (2), pagkatapos ay ang mga numero masiyahan ang lahat ng mga katumbas. Ang mga shards ng numero ay nakakatugon sa unang pagkakapantay-pantay ng system (2), pagkatapos ay ang numerical equality (4) ay wasto. Pagkatapos hatiin ang mga insulto sa numero, aalisin namin ang pagkakapantay-pantay ng numero (3) at tapusin na  decoupling ng system (1).

Ang Zvіdsi para sa mga appointment 4 system (1) ay katumbas ng system (2).

3. Sa bisa ng unang bahagi ng patunay, ito ay sapat na upang magdala ng katatagan para sa una at sa iba pang pantay na sistema. Dodamo sa parehong bahagi ng unang pagkakahanay ng system K, kunin ang sistema

(5)

Halika na solusyon sa sistema (1). Ang parehong mga numero ay nakakatugon sa mga pagkakapantay-pantay ng system (1). Dahil ang mga numero ng lahat ng katumbas ng sistema (5) ng una ay pinagsama sa mga katumbas ng sistema (1), kung gayon ang mga numero ay nakakatugon sa lahat ng katumbas. Ang mga shards ng numero ay nakakatugon sa unang equivalence ng system (1)

Pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa unang pagkakapantay-pantay sa isang kaibigan, na pinarami ng numero K kinukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero.

§7. Mga sistema ng linya

Mga pantay na sistema. Elementarya na pagbabago ng sistema ng mga linear na linya.

Halika na W- patlang kumplikadong mga numero. Kapantay ng isip

de
, ay tinatawag na linear equals n nevidomimi
. Set ng pag-order
,
tinatawag na mga desisyon na katumbas ng (1), tulad ng .

sistema m linear rivnyan z n ang sistema ay tinatawag na katumbas ng isip:

- Mga koepisyent ng sistema ng mga linear alignment, - Libreng mga miyembro.

Parihabang mesa

,

tinatawag na matrix ng mundo
. Ipakilala natin ang notasyon: - i-Ta row ng matrix,
- k-Ty stovpets matrix. Matrix PERO mas makahulugan
o
.

Ang paparating na pagbabago ng mga hilera sa matrix PERO ay tinatawag na elementarya:
) patayin ang zero row; ) pagpaparami ng lahat ng elemento ng anumang row sa isang numero
; ) isang addendum sa anumang row ng anumang iba pang row, na pinarami ng
. Mga katulad na pagbabago sa mga column ng matrix PERO ay tinatawag na elementarya na pagbabago ng matris PERO.

Ang unang non-zero na elemento (mas mahalaga sa kanan) ng anumang row ng matrix PERO ay tinatawag na conductive element ng row na ito.

appointment. matris
ito ay tinatawag na isang hakbang, na para bang sila ay inilaan tulad nito:

1) ang mga zero na hanay ng matrix (tulad ng baho) ay mas mababa kaysa sa mga hindi zero;

2) yakscho
magsagawa ng mga elemento ng isang hilera ng isang matrix, pagkatapos

Maging tulad ng isang non-zero matrix At sa kaso ng mga ordinaryong elementarya na pagbabago, maaari itong bawasan sa isang stepped matrix.

puwit. Inducible matrix
sa step matrix:
~
~
.

Matrix na nakatiklop na may mga coefficient ng system Ang mga linear na linya (2) ay tinatawag na pangunahing matrix ng system. Matrix
, Otriman, na may pagpasok ng mga libreng miyembro, ay tinatawag na pinalawak na matrix ng system.

Ang mga pag-order ng set ay tinatawag na mga solusyon ng sistema ng mga linear alignment (2), pati na rin ang mga desisyon ng skin linear alignment ng system.

Ang sistema ng mga linear alignment ay tinatawag na magkakaugnay, dahil maaari lamang itong maging isang solusyon, at hindi ito baliw, dahil hindi ito malulutas.

Ang sistema ng mga linear alignment ay tinatawag na pag-awit, dahil mayroon lamang isang solusyon, iyon ay hindi minarkahan, dahil mayroong higit sa isang solusyon.

Ang paparating na pagbabago ng sistema ng mga linear alignment ay tinatawag na elementarya:

) pagbubukod mula sa sistemang katumbas ng isip;

) multiple ng parehong bahagi, maging ito man ay katumbas ng
,
;

) pagdaragdag sa kung may iba pang katumbas, pinarami ng ,.

Dalawang sistema ng mga linear na linya n ang hindi kilala ay tinatawag na parehong malakas, dahil ang baho ay hindi magkakaugnay, ngunit marami sa kanilang mga desisyon ay kinuha.

Teorama. Halimbawa, ang isang sistema ng mga linear alignment ay inalis mula sa iba pang elementarya na pagbabago ng uri ), ), ), ito ay kasing lakas ng isang visual.

Pagbabago ng sistema ng mga linear na pagkakahanay sa pamamagitan ng paraan ng pagwawalang-bahala sa hindi alam (sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss).

Hayaan ang sistema m linear rivnyan z n unwidomimi:

Parang sistema (1) para ipaghiganti ang isip

kung gayon ang sistema ay hindi magkakaugnay.

Ipagpalagay natin na ang sistema (1) ay hindi katumbas ng anyo (2). Hayaang baguhin ng system (1) ang koepisyent x 1 sa una ay katumbas
(parang hindi ganoon, kung gayon sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga pantay na lugar ay hindi posible na maabot kung ano, kaya hindi lahat ng mga coefficient sa x 1 ay katumbas ng zero). Zastosuyemo sa sistema ng mga linear na linya (1) pagsulong ng mga lancet ng elementarya na pagbabago:

, Dodamo sa ibang antas;

Unang katumbas, pinarami ng
, Dodamo sa ikatlong antas at iba pa;

Unang katumbas, pinarami ng
dodamo sa ibang bahagi ng sistema.

Bilang resulta, inaalis namin ang system ng mga linear alignment (binigay namin ang pinakamaikling SLN para sa system ng mga linear alignment) na katumbas ng lakas ng system (1). Maaari mong malaman na sa kabilang sistema ito ay katumbas ng bilang i, i 2, huwag maghiganti sa hindi alam x 2. Halika na k so least natural na numero, ano ang hindi alam x k Gusto kong ipaghiganti ang sarili ko sa isang pantay na bilang i, i 2. Ang sistema ng otrimana ay may kasamang sumusunod:

Ang sistema (3) ay katumbas ng sistema (1). Zastosuєmo ngayon sa subsystem
sistema ng mga linear alignment (3) mikroskopya, na nakalagay sa SLN (1). At sa ngayon. Bilang resulta ng prosesong ito, hanggang sa isa sa dalawang resulta ang darating.

1. Inaalis namin ang SLU, na katumbas ng isip (2). At dito ang SLE (1) ay hindi tugma.

2. Ang mga pagbabago sa elementarya, stasis sa SLN (1), ay hindi humahantong sa isang sistema na naghihiganti sa hitsura (2). Sa tsomu vipadku SLP (1) sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago
ituro ang sistemang katumbas ng isip:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

Ang sistema ng mga linear alignment sa anyo (4) ay tinatawag na stepwise. Dito maaari kang magkaroon ng dalawang talon.

a) r= n pagkatapos ay ang sistema (4) ay maaaring tumingin

(5)

Ang System (5) ay may isang solusyon lamang. Muli, ang system (1) ay maaari lamang malutas.

B) r< n. Kaninong isip ang walang tahanan
sa system (4) sila ay tinatawag na head non-dominants, kung hindi man non-dominant sa system na ito - libre (anim na numero uno n- r). Nadamo medyo ilang mga numerong halaga ay hindi kinakailangan, kahit na ang SLU (4) matime ay mukhang pareho sa system (5). Mula dito, ang mga headline ay hindi malabo. Sa ranggo na ito, maaaring malutas ang sistema, kaya ito ay isang magkakaugnay. Ang Oskіlki vіlnim nevidomim ay nagbigay ng medyo numerical na halaga W, pagkatapos ang system (4) ay hindi natukoy. Muli, ang sistema (1) ay hindi natukoy. Viraziv sa SLN (4) smut nevidomі sa pamamagitan ng vіlnі nevidomі, otrimaemo system, na tinatawag na wildest solusyon ng system (1).

puwit. Tanggalin ang pagkakatali sa sistema ng mga linear na pagkakahanay sa pamamagitan ng pamamaraan G aussa

Isinulat namin ang pinalawak na matrix ng sistema ng mga linear alignment at, pagkatapos ng tulong ng mga pagbabago sa elementarya na hilera, dinadala namin ito sa isang stepped matrix:

~

~
~
~

~ . Sa pamamagitan ng pag-alis sa matrix, mahahanap natin ang isang sistema ng mga linear alignment:
Ang sistemang Tsya ay katumbas ng panlabas na sistema. Parang ulo ng hindi kilala
vіlnі nevіdomі. Sa pamamagitan ng paraan, ang ulo ng hindi kilala ay sa pamamagitan lamang ng ligaw na hindi kilala:

Inalis namin ang buong solusyon ng SLN. Bitawan mo ako

(5, 0, -5, 0, 1) ay isang pribadong solusyon para sa SLP.

Gawain para sa malayang pangitain

1. Upang malaman ang pandaigdigang solusyon at isa pang solusyon ng pantay na sistema sa pamamagitan ng paraan ng pag-switch off sa hindi alam:

1)
2)

4)
6)

2. Alam para sa iba't ibang halaga parameter a pandaigdigang solusyon ng sistema ng mga ilog:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§walo. Mga puwang ng vector

Konsepto ng vector space. Ang pinakasimpleng kapangyarihan.

Halika na V ≠ Ø, ( F, +,∙) – field. Ang mga elemento ng patlang ay tinatawag na mga scalar.

Pagbuburo φ : F× V –> V ay tinatawag na operasyon ng pagpaparami ng mga elemento ng pagpaparami V sa mga scalar mula sa field F. Makabuluhan φ (λ,a) sa pamamagitan ng λа elemento ng twir a sa isang scalar λ .

appointment. Bezlich V mula sa isang ibinigay na algebraic na operasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga elemento sa isang multiplier V na maraming elemento V sa mga scalar mula sa field F ay tinatawag na vector space sa ibabaw ng field F, na nangangahulugang ang mga sumusunod na axioms:

puwit. Halika na F patlang, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Maraming elemento ng katad F n tinawag n-simpleng arithmetic vector. Ipakilala natin ang pagpapatakbo ng pagdaragdag n-peace vectors at multiplikasyon n-world vector bawat scalar z field F. Halika na
. Gawin natin =( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Bezlich F n kung saan ang pagpapakilala ng mga operasyon ay vector space, at ito ay tinatawag n-simpleng arithmetic vector space sa ibabaw ng field F.

Halika na V- espasyo ng vector sa ibabaw ng field F, ,
. May mga ganitong katangian:

1)
;

3)
;

4)
;

Katibayan ng pagiging matigas 3.

Z ng paninibugho para sa batas ng mabilis na pangkat ( V+) siguro
.

Linear fallow, pagsasarili ng mga sistema ng vector.

Halika na V- Vector space sa ibabaw ng field F,

. Ang isang vector ay tinatawag na isang linear na kumbinasyon ng isang sistema ng mga vector
. Ang anonymity ng lahat ng linear na kumbinasyon ng vector system ay tinatawag linear shell tsієyu system vektorіv at poznaєєєєєyu.

appointment. Ang sistema ng mga vector ay tinatawag na linear fallow, dahil ginagamit ang mga scalar
hindi lahat ay katumbas ng zero, kaya

Paano nanalo ang katumbas (1) alinman o mas mababa kaysa doon, kung λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, ang sistema ng mga vector ay tinatawag na linearly independent.

puwit. Chi z'yasuvati chi є sistema ng mga vector = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) space R 3 linear fallow o independent.

Solusyon. Hayaan ang λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – solusyon ng system. Otzhe, ang vector system ay linearly independent.

Ang pangingibabaw ng linear fallacy at ang kalayaan ng vector system.

1. Ang sistema ng mga vector, na gustong maghiganti ng isang zero vector, ay linearly fallow.

2. Isang sistema ng mga vector upang maghiganti sa isang linear fallow subsystem, isang linear fallow.

3. Sistema ng mga vector, de
є linearly fallow kahit at isang beses lang, kung gusto mo ng isang vector ng system, isang vector, є isang linear na kumbinasyon ng mga forward vector.

4. Bilang isang sistema ng mga vector ay linearly independyente, ngunit isang sistema ng mga vectors
linearly fallow, pagkatapos ay ang vector maaari kang tumingin sa isang linear na kumbinasyon ng mga vector at hanggang sa parehong ranggo.

Nagdadala. Kung ang sistema ng vector ay linearly fallow, kung gayon
hindi lahat ay katumbas ng zero, kaya

Sa vector equivalence (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, pagkatapos ay s (2) \u003d\u003e Nakikita namin na ang sistema ng mga vector ay linearly fallow, shards λ 1 , λ 2 , … , λ m hindi lahat ay katumbas ng zero. Dumating sila para punasan ang kanilang isipan. Z (1) => de
.

Hayaang ipakita ang vector sa parehong paraan tulad ng nakikita mo: Todo na may pagkakapantay-pantay ng vector
sa pamamagitan ng linear na kalayaan ng vector system, makikita natin iyon
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Magbigay ng data sa dalawang sistema ng mga vector at
, m>k. Kung ang vector ng vector system ay maaaring pagsamahin bilang isang linear na kumbinasyon ng vector system, kung gayon ang vector system ay linearly fallow.

Batayan, ranggo ng sistema ng mga vectors.

Kіntseva vector system sa kalawakan V sa ibabaw ng field F makabuluhang sa pamamagitan ng S.

appointment. Be-yaka linearly independent subsystem ng vector system S ay tinatawag na batayan ng sistema ng mga vectors S yakscho be-yaky vector system S maaari mong tingnan ang linear na kumbinasyon ng vector system.

puwit. Hanapin ang batayan ng sistema ng mga vectors = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Ang sistema ng mga vectors, linearly independent, oskіlki, vіdpovіdno sa dominion 5 ang sistema ng mga vectors ay inalis mula sa sistema ng mga vectors karagdagang tulong mga pangunahing kaalaman electromechanotronics: inisyalkaragdagang tulong pundasyon electrical engineering";...

Bago ang elementarya na pagbabago ay makikita ng isang tao:

1) Isang karagdagan sa parehong bahagi ng isang pantay na bahagi ng isa, na pinarami ng parehong numero na hindi katumbas ng zero.

2) Permutasyon ng mga katumbas ng mga misyon.

3).

TEOREM NG KRONECKER - CAPELLI

(Integridad ng Umova system)

(Leopold Kronecker (1823–1891) German mathematician)

Teorama: Ang sistema ay nahati (maaaring gusto ng isang solusyon) alinman o mas mababa kung ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix.

Malinaw, ang system (1) ay maaaring isulat bilang:

x 1 + x 2 + … + x n

Nagdadala.

1) Kung ang desisyon ay ginawa, kung gayon ang haligi ng mga libreng miyembro ay isang linear na kumbinasyon ng mga haligi ng matrix A, na idinagdag din sa matrix, iyon ay. hindi binabago ng transition А®А* ang ranggo.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse ay nangangahulugan na ang baho ay maaaring nasa parehong pangunahing menor de edad. Stovpets vіlnyh termіnі - linear kumbinasyon ng stovptsіv base menor de edad, tі tamang notation, itinuro ang mas mataas.

puwit. Kalkulahin ang pagkakapare-pareho ng sistema ng mga linear alignment:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

Nakakabaliw ang sistema.

puwit. Tukuyin ang kabuuan ng sistema ng mga linear alignment.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistema ng pagtulog. Solusyon: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 PARAAN NG GAUSS

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) Aleman na matematiko)

Sa batayan ng pamamaraan ng matrix at paraan ng Cramer, ang pamamaraang Gauss ay maaaring ma-convert sa mga sistema ng mga linear na pagkakahanay mula sa isang malaking bilang ng mga pagkakahanay at hindi alam. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay batay sa kasunod na pagsasama ng mga non-domestic na pasyente.

Tingnan natin ang sistema ng mga linear alignment:

Hatiin natin ang mga nakakainsultong bahagi ng 1st equal sa isang 11 ¹ 0, pagkatapos ay:

1) multiply sa isang 21 na nakikita ko mula sa isa pang katumbas

2) multiply sa isang 31 na nakikita ko mula sa ikatlong katumbas

, de d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

puwit. Ipakita ang sistema ng mga linear na linya gamit ang Gaussian method.

, Ang mga bituin ay katanggap-tanggap: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

puwit. Suriin ang sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss.

Palawakin natin ang system matrix.

Sa ranggo na ito, ang panlabas na sistema ay maaaring ipakita sa sumusunod na paraan:

, Katanggap-tanggap ang mga bituin: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana para sa sistemang ito sa pamamagitan ng paraan ng Cramer at ang paraan ng matrix.

Para sa isang malayang pananaw:

Mungkahi: (1, 2, 3, 4).

PAKSA 3. MGA ELEMENTO NG VECTOR ALGEBRI

BATAYANG DESIGNASYON

appointment. Vector tinatawag na mga tuwid na linya (isang pares ng mga punto ang iniutos). Bago ang vector_v_vіdnosti din sero vector, ang cob ng ganoong uri ng zbіgayutsya.

appointment. Dovzhina (module) ang vector ay tinatawag sa pagitan ng cob at dulo ng vector.

appointment. Ang mga vector ay tinatawag collinear parang baho na kumalat sa isa o sa magkatulad na linya. Ang null vector ay collinear sa anumang vector.

appointment. Ang mga vector ay tinatawag coplanar parang totoong flat, parang parallel na baho.

Ang mga colinear vector ay palaging coplanar, ngunit hindi lahat ng coplanar vector ay collinear.

appointment. Ang mga vector ay tinatawag pantay na parang collinear sila, gayunpaman, sila ay itinuwid at maaaring maging parehong mga module.

Be-yaki vectors at maaaring dalhin sa masaganang cob, tobto. upang ibuyo ang mga vectors at vidpovidno pantay na data at gumawa ng isang mainit na pumalo. Mula sa pagtatalaga ng pagkakapantay-pantay ng vector, malinaw na kung ang isang vector ay maaaring maging isang impersonal na vector, katumbas mo.

appointment. Mga operasyon ng linya over vectors ay tinatawag na karagdagan at multiplikasyon sa isang numero.

Sumoyu vector_v є vector -

Tvir - , kung saan kolіnearen .

Vector ng direksyon іz vector ( ), kaya a > 0.

Ang vector ng protivolezhnoy direktiba na may vector (?), Kaya na a< 0.

KAPANGYARIHAN NG VECTORIV

1) + = + - commutativity.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – associativity

6) (a + b) = a + b - distributivity

7) a(+) = a + a

appointment.

1) Batayan ang espasyo ay tinatawag na parang 3 non-coplanar vectors, kinuha sa parehong pagkakasunud-sunod.

2) Batayan sa flat ay tinatawag na 2 non-collinear vectors, kinuha sa parehong pagkakasunud-sunod.

3)Batayan sa isang tuwid na linya ay tinatawag na isang non-zero vector.

Dalawang sistema ng mga linear alignment sa isang set x 1 ..., x n

Ang mga ito ay tinatawag na katumbas, dahil ang kanilang mga impersonal na desisyon ay iniiwasan (samakatuwid, ang pagpaparami at K n ay iniiwasan,). Ang ibig sabihin ng Tse, sho: o mabaho nang sabay-sabay є walang laman na submultiple (kaya nakakasakit ng mga sistema (I) at (II) na hindi maayos), o mabaho nang sabay-sabay na hindi walang laman, i (kaya solusyon sa balat ng system I є mga solusyon ng system II і solusyon sa balat ng System II є solusyon ng system I ).

Stock 3.2.1.

Pamamaraan ng Gaus

Ang plano para sa algorithm na iminungkahi ni Gaus ay medyo simple:

1. zastosovuvat sa sistema ng mga linear alignment nang sunud-sunod, upang hindi mabago ang impersonal na solusyon (sa ganitong paraan, nai-save namin ang impersonal na solusyon ng visual system), at pumunta sa katumbas na sistema, na maaaring "simpleng hitsura" (ito ay ang pangalan ng form ng hakbang);
2. para sa "simpleng isip" ng system (na may stepwise matrix) ilarawan ang impersonal na solusyon na ginagamit para sa impersonal na solusyon ng visual system.

Mahalaga na ang malapit na paraan na "fan-chen" ay ginamit na sa sinaunang matematika ng Tsino.

Elementarya na pagbabago ng mga sistema ng mga linear alignment (hilera ng mga matrice)

Pagtatalaga 3.4.1 (elementarya na pagbabago ng unang uri). Kapag ang i-th alignment ng system ay idinagdag sa k-th alignment, na i-multiply sa numero (signed: (i)"=(i)+c(k); pagkatapos ay isang i-th alignment (i) lamang ang pinalitan ng bagong pagkakahanay (i) "=(i)+c(k)). Maaaring magmukhang bagong i-e equal (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k, o, sa madaling sabi,

Ibig sabihin, sa bagong i-th district a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Pagtatalaga 3.4.2 (elementaryong uri ng conversion 2). Para sa i -е і k -е ang mga katumbas ay binago ng mga ranggo, ang iba pang katumbas ay hindi binago (mga palatandaan: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Paggalang 3.4.3. Para sa kalinawan, para sa mga partikular na kalkulasyon, maaari kang magdagdag ng mga elementarya na pagbabagong-anyo ng ika-3 uri: ang i-th na pagkalkula ay pina-multiply sa isang hindi-zero na numero , (i)" = c (i) .

Panukala 3.4.4. Tulad ng uri ng system na ipinasa ko sa system II para sa tulong ng panghuling bilang ng elementarya na pagbabago ng ika-1 at ika-2 uri, pagkatapos ay sa anyo ng system II maaari kang bumaling sa system I pati na rin ang mga elementarya na pagbabago ng ika-1 at 2nd type.

Nagdadala.

Paggalang 3.4.5. Ang katatagan ay totoo at kasama sa elementarya na pagbabago ng elementarya na pagbabago ng ika-3 uri. Yakscho i (i)"=c(i) , pagkatapos ta (i)=c -1 (i)" .

Teorama 3.4.6.Pagkatapos ng huling paghinto ng huling bilang ng mga elementarya na pagbabago ng ika-1 o ika-2 na uri, ang sistema ng mga linear alignment, katumbas ng cob, ay lalabas sa sistema ng mga linear alignment.

Nagdadala. Mahalagang tingnan ang paglipat mula sa sistema I patungo sa sistema II sa tulong ng isang elementarya na pagbabagong-anyo at upang dalhin ang solusyon ng pagsasama sa kayamanan (ang mga shards sa pamamagitan ng dinala na panukala ng sistema II ay maaaring mailipat sa sistema I at doon , pagsasama, upang dalhin ang pagkakapantay-pantay).

Paghirang 1. Ang sistema ng linear alignments isip (1) , de , field, ay tinatawag isang sistema ng m linear na linya mula sa n nevidomimi sa ibabaw ng field, - Mga koepisyent para sa hindi pang-domikong, , , - mga libreng miyembro ng system (1).

Paghirang 2. Inutusan n-ka (), de, tinatawag sa tuktok ng sistema ng mga linear na linya(1), kahit na pinapalitan ang pagbabago sa balat, ang system (1) ay binago sa tamang pagkakahanay ng numero.

Paghirang 3. inaantok baka gusto ni yakscho vain na gumawa ng isang desisyon. Kung hindi, ang sistema (1) ay tinatawag baliw.

Paghirang 4. Ang sistema ng mga linear alignment (1) ay tinatawag pagkanta maaari lamang magkaroon ng isang solusyon. Kung hindi, ang sistema (1) ay tinatawag hindi hinirang.

Sistema ng mga linear na linya

(є desisyon) (walang desisyon)

nakakaantok ang loko

(isang desisyon) (hindi isang desisyon)

hindi kilala si pevna

Paghirang 5. Ang sistema ng mga linear na linya sa ibabaw ng field R tinawag homogenous yakscho lahat ng її vіlnі termino katumbas ng zero. Kung hindi, ang sistema ay tinatawag magkakaiba.

Tingnan natin ang sistema ng mga linear na linya (1). Ang parehong homogenous system na nasa isip ay tinatawag na homogenous system, nauugnay mula sa system (1). Ang homogenous na SLN sa unang pagkakataon, maaaring magpasya ang oskolki.

Para sa cutaneous SLN, dalawang matrice ay maaaring ipakilala sa isang sulyap - ang pangunahing isa ay pinalawak.

Paghirang 6. Ang pangunahing matrix ng sistema ng mga linear alignment(1) ang matrix ay tinatawag na, ito ay binubuo ng mga coefficient na walang nakakasakit na uri: .

Paghirang 7. Pinalawak na matrix ng sistema ng mga linear alignment(1) ang matrix ay tinatawag, pinutol mula sa matrix sa pamamagitan ng isang landas na kadugtong dito isang hanay ng mga libreng miyembro: .

Paghirang 8.Mga pagbabago sa elementarya ng sistema ng mga linear alignment ay tinatawag na mga sumusunod: 1) pagpaparami ng parehong bahagi ng parehong pantay na sistema sa pamamagitan ng scalar; 2) pagdaragdag sa parehong bahagi ng isang antas ng sistema ng mga pangalawang bahagi ng kabilang antas, na pinarami ng isang elemento; 3) pandagdag o pagpapatunay na katumbas ng isip.

Paghirang 9. Dalawang sistema ng mga linear na linya sa ibabaw ng field R ano ang tawag sa pagbabago pare-parehong malakas, dahil iniiwasan ang kanilang mga impersonal na desisyon.

Teorama 1 . Kung paanong ang isang sistema ng mga linear na pagkakapantay-pantay ay inalis mula sa isa pa para sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang gayong mga sistema ay pantay na malakas.

Ang mga manu-manong pagbabagong elementarya ay hindi dinadala sa isang sistema ng mga linear na pagkakahanay, ngunit sa isang pinalawak na matrix.

Paghirang 10. Magbigay tayo ng isang matrix na may mga elemento mula sa field R. Mga pagbabago sa elementarya Ang mga matrice ay tinatawag na ganito:

1) pagpaparami ng lahat ng elemento ng anumang hilera sa matrix sa pamamagitan ng aО Р # ;

2) pagpaparami ng lahat ng mga elemento ng anumang hilera sa matrix sa pamamagitan ng aО Р # at pagdaragdag ng iba pang mga elemento ng susunod na hilera;

3) permutation ng mga lugar sa pamamagitan ng dalawang hanay ng matrix;

4) pagdaragdag o paglalabas ng zero row.

8. SLU solusyon: m paraan ng kasunod na pagbubukod ng mga hindi alam (Gauss method).

Tingnan natin ang isa sa mga pangunahing pamamaraan ng decoupling system ng mga linear alignment, na tinatawag na sa pamamagitan ng paraan ng kasunod na pagsasama ng hindi alam, ano pa, Pamamaraan ng Gauss. Tingnan ang system(1) m linear rivnyan z n nevidomimi sa ibabaw ng field R:(1) .

Gusto ng system (1) ang isa sa mga coefficient kung hindi maganda 0 . Іnakshe (1) - ang sistema ng katumbas mula sa () nevіdomimi - tse superechit isip. Naaalala natin ang mga pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mga buwan upang ang koepisyent sa unang pagkakapantay-pantay ay hindi maganda 0 . Sa ranggo na ito, maaari kang mag-vvazhati, sho. I-multiply ang mga nakakasakit na bahagi ng unang katumbas at idagdag sa pangalawang bahagi ng isa, pangatlo, ..., m ika katumbas. Kinukuha namin ang isip ng system: , de s- ang pinakamaliit na bilang, kaya gusto ko ang isa sa mga coefficient kung hindi malusog 0 . Naaalala namin ang mga pagkakapantay-pantay sa mga buwan upang ang kabilang hilera ay may koepisyent kapag binabago ang gastos 0 , pagkatapos. mahuhulaan natin kung ano. I-multiply natin ang mga nakakainsultong bahagi ng iba pang katumbas at idagdag sa pantay na bahagi ng pangatlo, ..., m ika katumbas. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, isinasaalang-alang namin ang system:

Ang sistema ng mga linear equalities, yak, ayon sa Theorem 1, ay katumbas ng system (1) . Ang sistema ay tinatawag na stepped system ng mga linear alignment. Mayroong dalawang mga posibilidad: 1) Ang pagnanais ng isa sa mga elemento ay hindi mabuti 0 . Halika, halimbawa. Pareho sa sistema ng mga linear alignment, katulad ng isip na imposible. Nangangahulugan ang Tse na ang system ay walang solusyon, at samakatuwid ang system (1) ay hindi maaaring magkaroon ng solusyon (sa mga oras na (1) ay isang hindi naaayon na sistema).

2) Halika, ...,. Todi para sa tulong ng elementarya pagbabagong-anyo Z) inaalis namin ang sistema - ang sistema r linear rivnyan z n hindi kilala. Sa anumang pagbabago, para sa mga coefficient sila ay tinatawag pagbabago ng ulo(tse), їх kabuuan r. Інші ( n-r) baguhin ang mga pangalan libre.

Mayroong dalawang mga posibilidad: 1) Yakshcho r=n, pagkatapos - ang sistema ng trikot hitsura. Para sa isang ito, mula sa huling katumbas, alam natin ang pagbabago, mula sa huli - pagbabago, mula sa unang katumbas - pagbabago. Gayundin, mayroon lamang isang solusyon para sa sistema ng mga linear na pagkakahanay, at para din sa sistema ng mga linear na pagkakahanay (1) (kung minsan ang system (1) ay itinalaga).

2) Halika r . At narito ang mga pangunahing pagbabago ay lumiliko sa mga viles at nanalo sa mapagpasyang solusyon ng sistema ng mga linear na linya (1). Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut iba't ibang mga pribadong solusyon ng sistema ng mga linear na linya (1) (system (1) ay hindi nakikita sa kasong ito).