Ring at vector space matrice. Linear vector space: appointment, awtoridad. Puwang ng linya ng vector

Lecture 6. Vector space.

Pangunahing nutrisyon.

1. Vector linear space.

2. Ang batayan ay ang pagpapalawak ng espasyo.

3. Oryentasyon sa kalawakan.

4. Pag-deploy ng isang vector sa likod ng isang batayan.

5. Vector coordinate.

1. Vector linear space.

Anonymity, na binubuo ng mga elemento ng anumang kalikasan, kung saan ang mga linear na operasyon ay ipinahiwatig: pagdaragdag ng dalawang elemento, na ang pag-multiply ng isang elemento sa isang numero ay tinatawag mga bukas na espasyo, At їх elemento - mga vector th space і ay itinalaga bilang і, yak і mga dami ng vector sa geometry: . Mga vector tulad abstract expanses, bilang isang panuntunan, ay hindi maaaring conceived ng may pinakamalaking geometric vectors. Ang mga elemento ng abstract space ay maaaring mga function, isang sistema ng mga numero, matrice, atbp., at sa isang okreme case, variable vectors. Kaya naman nakaugalian na ang pangalan mga bukas na espasyo ng vector .

vector space, Halimbawa, hindi mabilang na bilang ng mga nonary vector na ipinahiwatig V1 , nang walang mga coplanar vector V2 , malaki ang impersonal na vector (tunay na espasyo) V3 .

Para sa partikular na vipadka na ito, posibleng magbigay ng stepping stone sa vector expanse.

Paghirang 1. Anonymous na vector ang tinatawag espasyo ng vector, Bilang isang linear na kumbinasyon, kung mayroong anumang mga vector sa isang multiplier, isa rin itong vector ng multiplier na iyon. Ang mga vector mismo ay tinatawag mga elemento espasyo ng vector.

Ito ay mas mahalaga kapwa sa teoretikal at sa inilapat na pananaw at sa mas abstract (abstract) na pag-unawa sa vector space.

Paghirang 2. Bezlich R mga elemento, kung saan para sa alinmang dalawang elemento at ang kabuuan ay itinalaga at para sa anumang elemento width="68" ay tinatawag vector(o linear) bukas na espasyo, tulad ng mga elemento - mga vector, tulad ng pagpapatakbo ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero upang masiyahan ang mga darating na isip ( mga axiom) :

1) ang karagdagan ay commutative, kaya gif width = "184" height = "25";

3) gumamit ng gayong elemento (zero vector), na para sa anumang https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) para sa anumang bilang ng mga vectors, ang nasabing bilang na λ ay maaaring pantay;

6) para sa anumang mga vector at anumang mga numero λ і µ pagiging patas https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ patas ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Mula sa mga axiom na nagpapahiwatig ng vector space, ibulalas ang pinakasimpleng ebidensya :

1. Ang vector space ay may higit sa isang zero - ang elemento ay isang zero vector.

2. Ang isang vector space ay may isang vector.

3. Hanggang sa balat elemento vykonuetsya equanimity.

4. Para sa anumang numero ng araw λ i ng zero vector.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> tinatawag ang isang vector na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/ text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno, at impersonal ng lahat ng mga geometric na vector sa є linear (vector) na espasyo, kaya para sa mga elemento kung saan ang multiplier ay itinalaga sa pagdaragdag at pagpaparami ng numero, na nakakatugon sa pagbabalangkas ng mga axiom.

2. Ang batayan ay ang pagpapalawak ng espasyo.

Іstotnimi konsepto ng vector space є pag-unawa sa batayan at rozmіrnіst.

appointment. Ang koleksyon ng mga linearly independent vectors na kinuha mula sa sing order batayan anong espasyo. Vector. Warehouse na batayan para sa espasyo, tinatawag batayan .

Ang batayan ng mga impersonal na vectors, kumalat sa dolnіy straight line, maaari mong gamitin ang isang collinear straight vector .

Base sa eroplano Pangalanan natin ang dalawang non-collinear vector sa eroplanong ito, na kinuha sa parehong pagkakasunud-sunod.

Kung ang mga batayang vector ay pairwise perpendicular (orthogonal), kung gayon ang batayan ay tinatawag orthogonal, at kung ang mga q vector ay maaaring doble, katumbas ng isa, kung gayon ang batayan ay tinatawag orthonormal .

Pinakamalaking numero linearly independent vectors ay tinatawag sa kalawakan kapayapaan ang espasyong iyon, ibig sabihin, ang pagpapalawak ng espasyo ay tumataas sa bilang ng mga pangunahing vector sa espasyong iyon.

Otzhe, malinaw na pinuri sa dagi:

1. Isang mundong espasyo V1 ay isang tuwid na linya, at ang batayan ay nabuo mula sa isang collinear vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Malaking kalawakan na may maliit na kalawakan V3 , ang batayan nito ay nabuo mula sa tatlong di-coplanar vector_v.

Tila sa akin na ang bilang ng mga batayang vector sa isang tuwid na linya, sa isang eroplano, sa totoong espasyo ay nag-iiba-iba doon, na sa geometry ay karaniwang tinatawag na bilang ng isang tuwid na linya, isang eroplano, isang espasyo. Ito ay natural na humantong sa mas tahasang parusa.

appointment. Vector space R tinawag n- mapayapa, tulad ng sa bagong mundo wala na n linearly independent vectors at itinalaga R n. Numero n tinawag kapayapaan space.

Vіdpovіdno hanggang sa rozmіrnostі open space podіlyayutsya kіntsevіі walang limitasyon. Ang pagiging bukas ng zero expanse na lampas sa mga appointment ay itinuturing na katumbas ng zero.

Paggalang 1. Sa espasyo ng balat, maaari mong tukuyin kung gaano karaming mga base ang kailangan, ngunit ang lahat ng mga base ng puwang na ito ay idinagdag mula sa parehong bilang ng mga vector.

Tandaan 2. Sa n- sa isang mapayapang vector space, ang batayan ay tinatawag kung ang iniutos o hindi ay n linearly independent vectors.

3. Oryentasyon sa kalawakan.

Para sa upang mai-orient ang espasyo, kinakailangan na magtakda ng isang tiyak na batayan at ipahayag ito nang positibo .

Maaari mong ipakita na ang mga impersonal na pangunahing kaalaman ng espasyo ay nahahati sa dalawang klase, na nahahati sila sa dalawang submultiple, na hindi sila nagsasapawan.

a) lahat ng base na kabilang sa isang submultiple (class) ay maaaring gayunpaman oryentasyon (same-menu na batayan);

b) anumang dalawang batayan na nagsisinungaling buhay p_dmnozhin (mga klase), mayut protilezhnu oryentasyon, ( magkaiba batayan).

Kung ang isa sa dalawang klase ng mga base ay positibo, at ang isa ay negatibo, kung gayon tila ang kalawakan nakatuon .

Kadalasan, kapag nag-orient sa espasyo, tinatawag ang isang batayan pamahalaan, at інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> pangalan tuntunin, Gayunpaman, kapag ang ikatlong vector ay nababantayan, ang pinakamaikling pagliko ng unang vector ay anti-taon na arrow(Larawan 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

kanin. 1.8. Kanan na batayan (a) na kaliwang batayan (b)

Tumawag nang may positibong batayan

Ang kanan (livy) na batayan ng espasyo ay maaaring italaga, at para sa karagdagang panuntunan ng "kanan" ("kaliwa") na tornilyo o baluktot.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa cim, ang konsepto ng kanan at kaliwa ay ipinakilala triplets non-communal vectors, na dahil sa pag-order (Larawan 1.8).

Sa ganitong paraan, sa isang ligaw na trend, ang dalawang ordered triple ng hindi planadong mga vector ay maaaring magkaroon ng parehong oryentasyon (pareho) sa espasyo V3 kung ang baho ng pagkakasala ay tama, o kung ito ay nakakasakit, ito ay kaliwa, at ang kabaligtaran na oryentasyon (naiiba), kung ang isa sa kanila ay tama, at ang isa ay kaliwa.

Katulad ng magkasya at may espasyo V2 (Mga parisukat).

4. Pag-deploy ng isang vector sa likod ng isang batayan.

Para sa kapakanan ng pagiging simple, ang pag-mirror ay makikita sa halimbawa ng isang trivimir vector space R3 .

Halika - dovіlny vector tsgo space.

VECTOR SPACE (linear expanse), isa sa mga pangunahing pag-unawa sa algebra, zagalnyuyuche pag-unawa sa kabuuan ng (libre) vectors. Sa espasyo ng vector, ang mga vector ay isinasaalang-alang kung sila ay mga bagay, kung maaari silang idagdag at i-multiply sa mga numero; kung kinakailangan, upang ang mga pangunahing kapangyarihan ng mga pagpapatakbo ng algebraic ay kapareho ng para sa mga vector sa elementarya na geometry. Sa eksaktong itinalagang numero, sila ay pinalitan ng mga elemento ng field K. Ang vector space sa ibabaw ng field K ay tinatawag na impersonal V na may operasyon ng pagdaragdag ng mga elemento mula sa V at ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga elemento mula sa V sa pamamagitan ng mga elemento mula sa field K , na maaaring humantong sa pagsulong ng kapangyarihan:

x + y \u003d y + x kung x, y z V, upang ang V ay matiklop sa isang Abelian group;

λ(x + y) = λ χ + λy para sa anumang λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх para sa anumang λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) para sa anumang λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x para sa anumang x mula sa V, dito 1 ay nangangahulugan ng pagkakaisa ng field K.

Butts ng vector space є: multipliers L 1 L 2 і L 3 ng lahat ng vectors sa elementarya geometry, tila sa isang tuwid na linya, mga eroplano і sa espasyo na may natitirang mga operasyon ng natitiklop na vectors at multiply sa isang numero; coordinate vector space K n , ang mga elemento kung saan є lahat ng row (vectors) ay n na may mga elemento mula sa field K, at ang mga operasyon ay ibinibigay ng mga formula

impersonal F(M, K) ng lahat ng mga function na nakatalaga sa isang nakapirming multiplier M at kumuha ng mga halaga sa field na To, na may pinakamahalagang operasyon sa mga function:

Ang mga elemento ng vector space e 1 ..., e n ay tinatawag na linearly independent, dahil sa pagkakapantay-pantay λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Sa kabilang direksyon, ang mga elemento e 1 , e 2 , ·· ·> e n ay tinatawag na linearly fallow. Kung ang vector space V ay may n + 1 elemento e 1 ,..., e n+1 linearly indeterminate at n linearly independent elements, ang V ay tinatawag na n-world vector space, at n ang dimensyon ng vector space V Tulad ng isang vector space V para sa anumang natural n umiiral na n linearly independent vectors, ang V ay tinatawag na isang walang katapusang vector space. Halimbawa, ang vector space L 1 , L 2 , L 3 і K n sa parehong paraan 1-, 2-, 3- at n-mіrnі; kung ang M ay impersonal, ang vector space F(M, K) ay hindi limitado.

Ang vector space V at U sa ibabaw ng field K ay tinatawag na isomorphic, upang ang φ : V -> U ay kapwa natatangi, upang ang φ(x+y) = φ(x) + φ(y) para sa alinman sa x, y z V at φ (λx) = λ φ(x) para sa anumang λ z K i x z V. Isomorphic vector spaces ay algebraically indistinguishable. Ang pag-uuri ng mga finite vector space hanggang sa isomorphism ay ibinibigay sa kanilang pagkakaiba-iba: kung mayroong n-dimensional na vector space sa ibabaw ng field na Do ay isomorphic sa coordinate vector space Do n . Mamangha sa parehong kalawakan ng Hilbert, Linear Algebra.

Hayaan ang R - field. Mga elemento a, b, ... н R pangalanan natin mga scalar.

Paghirang 1. klase V mga bagay (mga elemento) , , , ... na may sapat na kalikasan ay tinatawag vector space sa ibabaw ng field Р, at ang mga elemento ng klase V ay tinatawag mga vector kahit na sarado ang V, ngunit ang operasyong “+” ay ang operasyon ng multiplikasyon sa pamamagitan ng mga scalar mula sa P (iyon ay, para sa alinmang , нV + н V; "aÎ R aÎV), at vykonuyutsya kaya isip:

A 1: Algebra - grupong Abelian;

A 2: para sa kung a, bÎР, para sa kung ÎV o hindi, a(b)=(ab)-kaugnay na batas na nauugnay;

A 3: para sa anumang a, bÎP, para sa anumang ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: para sa anumang a z P, para sa anumang s V, nanalo tayo ng a(+)=a+a(increased distributive laws);

A 5: manalo man o hindi ang V 1 = , de 1 - ang pagkakaisa ng field P - ang kapangyarihan ng pagkakaisa.

Ang mga elemento ng field P ay tinatawag na mga scalar, at ang mga elemento ng multiplier V ay tinatawag na mga vectors.

Paggalang. Ang pag-multiply ng vector sa isang scalar ay hindi isang binary na operasyon sa multiplier V, ngunit ang scaling ay PV®V.

Tingnan natin ang mga vector space.

halimbawa 1. Zero (zero-world) vector expanse - expanse V 0 =() - na binubuo ng isang zero-vector.

Para sa kahit anong aОР a=. Muli nating isaalang-alang ang bisa ng mga axiom ng vector space.

Sa paggalang, ang zero-dimensional na espasyo sa ibabaw ng field R. Kaya, ang zero-dimensional na espasyo sa ibabaw ng field mga rational na numero ako sa itaas ng field mga numero ng araw vvazhayutsya raznimi, hoch magdagdag ng up mula sa isang solong zero-vector.

puwit 2. Ang field P ay mismong isang vector space sa ibabaw ng field P. Hayaan ang V=P. Muli nating isaalang-alang ang bisa ng mga axiom ng vector space. Dahil ang P ay isang field, kung gayon ang P ay isang additive group at ang A1 ay nanalo. Pagbabalik-tanaw sa zdіysnennostі sa R ​​asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Ang Axioms A 3 at A 4 ay nanalo dahil sa katotohanan na ang R ay distributive at malayang pinarami. Ang mga shards sa field na R ay isang elemento 1, ang kapangyarihan ng pagkakaisa A 5 . Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang field P ay isang vector space sa ibabaw ng field P.

halimbawa 3. Arithmetic n-dimensional na vector space.

Hayaan ang R - field. Medyo impersonal V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Ipakilala natin sa multiplier V ang operasyon ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng vector sa isang scalar ayon sa mga sumusunod na patakaran:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Ang mga elemento at multiplies V ay tinatawag n-world vectors. Dalawang n-world vector ang tinatawag na pantay, dahil ang kanilang dalawang-dimensional na bahagi (coordinate) ay pantay. Maaaring ipakita na ang V ay isang vector space sa ibabaw ng field P. Dahil ang operasyon ng pagtitiklop ng isang vector sa at pagpaparami ng isang vector sa isang scalar ay kilala, ang V ay isang saradong pagpipilian ng mga operasyong ito. Dahil ang pagdaragdag ng mga elemento mula sa V ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga elemento ng field na P, at ang P ay isang additive Abelian group, kung gayon ang і V ay isang additive Abelian group. Bukod dito, ang = , de 0 ay ang zero ng field Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). Sa ranggo na ito, panalo ang A1. Ang mga scaling ng multiplikasyon ng elementong V sa elementong P ay binabawasan sa pagpaparami ng mga elemento ng field P, pagkatapos ay:

A 2 panalo dahil sa pagkakaugnay ng multiplier sa P;

Ang A 3 at A 4 ay pinagdugtong ng distributive multiplication kung paano natitiklop sa P;

At 5 panalo, dahil ang 1 P ay isang neutral na elemento na maaaring i-multiply sa R.

Paghirang 2. Ang impersonal na V = P n na may mga operasyong tinukoy ng mga formula (1) at (2) ay tinatawag na arithmetic n-dimensional vector space sa ibabaw ng field na Р.

Tingnan natin ang pagkakasunud-sunod na nabuo ng mga elemento ng aksyon simpleng larangan GF(q) (a^, a......isang p). Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay tinatawag l-by

hindi pagbabago sa ibabaw ng field GF)