Algebraic na pagpapalawak ng larangan. Patawarin ang pagpapalawak ng pagtutubig. Pagpapalawak ng bodega ng mga patlang ng algebra

extension ng algebraic field- — Paksa para sa proteksyon ng impormasyon EN extension field … Dovіdnik teknikal na pagsasalin

Field E, na binibigyan ng field K bilang subfield. Uri ng extension Extension ng extension ng algebra extension, lahat ng elemento ng naturang є algebraic sa ibabaw ng K, ibig sabihin, ang naturang elemento ng naturang є ay ang ugat ng isang rich term f (x) c ... Wikipedia

Algebraic extension ng field na EÉ K, na normal at mapaghihiwalay. Para sa mga tsikh minds, si E ay magiging pinakamaraming bilang ng mga automorphism sa K (bilang E ay natatangi, kung gayon ang bilang ng mga automorphism ay isa ring makabuluhan at mas advanced na antas ng pagpapalawak).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho revenge Av yak p_demigroup. Tunog tungkol sa pagpapalawak ng mga pangalan ng pangkat A, pagtali kay Atem sa ibang mga isip. Ang pinaka-advanced na teorya ng ideal na R. nap_vgroup (nap_vgroup, ano ang ipaghihiganti Av yak ......) Mathematical Encyclopedia

Katumbas ng isip ng de rich term ng ika-n yugto sa anyo ng isa o higit pa sa pagbabago. A. sa. na may isang hindi kilalang tunog. katumbas ng isip: Walang numero, tunog. ang mga coefficient ay pantay at є danimi, hnaz. nevidomim at є… Mathematical Encyclopedia

Mga patlang k algebraic. extension ng field k, na isang closed algebraic field. Ang nasabing extension para sa anumang field ay natatanging itinalaga hanggang sa isomorphism. A. h. mga patlang mga numero ng arawє patlang kumplikadong mga numero(Div. …… Mathematical Encyclopedia

Ang karaniwang pinahabang algebraic na extension ng field na EÉ K para sa anumang hindi mababawasan na rich term na f(x) sa K, na maaaring magkaroon ng isang ugat E, ay maaaring palawakin sa E sa mga linear multiplier. Katumbas na hinirang: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Ang isang separable na extension ng isang algebraic extension ng isang field na binubuo ng mga separable na elemento, na ang mga nasabing elemento ay α, ay ang pinakamababang annullator f(x) sa K kung saan walang maraming ugat. Pokhіdna f (x) maaari buti para sa vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Ang pagpapalawak ng patlang, tulad na E, ay mahusay, higit sa K yak espasyo ng vector. Ang pagpapalawak ng puwang ng vector E sa K ay tinatawag na antas ng pagpapalawak at itinalaga. Ang kapangyarihan ng mga huling pagpapalawak Sa ... ... Wikipedia

Ang mga field ay isang algebraic extension ng L field K, na nagbibigay-kasiyahan sa isa sa mga sumusulong na katumbas na isip: 1) kung ang field L ay naka-embed sa algebraic field. pagsasara ng field є sa pamamagitan ng automorphism ng field L; 2) L larangan ng pag-aayos ng isang naibigay na pamilya ng mga polynomial s ... ... Mathematical Encyclopedia

Algebraic na pagpapalawak ng mga patlang

Intro.

Ang mga unibersidad ng pedagogical ay naglunsad ng isang programa para sa isang pinag-isang kurso sa algebra at teorya ng numero. Ang pinuno ng meta-course ay ang pagbuo ng mga pangunahing sistema ng algebra at ang pagbuo ng algebraic na kultura, na kinakailangan para sa hinaharap na guro para sa isang malalim na pag-unawa sa mga layunin at ang gawain ng pangunahing kurso ng matematika sa paaralan, pati na rin ang mga kursong elektibo sa paaralan.

Sa aming opinyon, ang pinaka makabuluhang panimula sa kurikulum ng paaralan ay ang mga elemento ng kontemporaryong abstract algebra.

Ang proseso ng algebraicization ng matematika, na nagmula noong ikadalawampu siglo, ay hindi tinatanggap, ngunit sa halip ay pinilit na subukang maunawaan ang mga pangunahing kaalaman ng algebra sa edukasyon sa matematika ng paaralan.

Ang lalim ng matematika at napakalawak na saklaw ng density ng mga patlang ay isasama sa pagiging simple ng mga pangunahing probisyon - upang maunawaan ang mga patlang, ang isang buong bilang ng mga mahahalagang theorems ay maaaring mabuo at dalhin sa liwanag, madalas na lumilitaw sa uniberso ng teorya ng multiplicity. Samakatuwid, ang teorya ng larangan ay mas angkop para sa pagpapakita sa mga mag-aaral ng isang pananaw sa modernong matematika.

Bilang karagdagan, ang pag-unlad ng mga elemento sa teorya ng larangan ay pamilyar para sa mga mag-aaral, na nagpapasigla sa kanilang intelektwal na paglago, na ipinakita sa pag-unlad ng mga pinayaman na iba't ibang panig ng kanilang isip, katangian at katangian, pati na rin ang pag-unlad ng mga siyentipiko. , agham, at matematika.

1. Isang simpleng extension ng field algebra.

1.1. Palawakin lamang ang larangan.

Hayaang ang P[x] ay isang singsing ng mga polynomial tulad ng x sa ibabaw ng field P, kung saan ang P ay mga subfield ng field F. Hulaan natin na ang elemento a ng field F ay tinatawag na algebraic sa field na P, dahil ang a ay ang ugat ng tulad ng isang polynomial ng positibong hakbang P[x].

appointment. Hayaan si P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Hayaan ang a0F, P [x] - singsing ng polynomials sa x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

kaya ang P [a] ay impersonal ng lahat sa anyong a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - maging isang natural na numero.

Madaling makita na ang algebra +P[a], +, -, ., 1, ay ang subfield ng field na P(a) - ang subfield; ang buong singsing ay ipinapahiwatig ng simbolong P[a].

Teorama 1.1. Hayaan ang P [x] - isang singsing ng polynomial sa x sa ibabaw ng P at P (a) - isang simpleng extension ng field na P. Hayaan ang y - palawakin ang P [x] sa P [a] upang y (f) = f ( a) para sa be -th f іz P[x]. Todi:

(a) para sa anumang a z P y (a) = a;

(c) y ay isang homomorphism ng singsing na P[x] sa singsing na P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) factor-circle P[x]/Ker y isomorphic sa singsing na P[a].

Nagdadala. Ang assertion (a) at (b) ay humirit nang walang tagapamagitan mula sa appointment ni y. Ang pagpapakilala ng y ay nagse-save ng mga pangunahing operasyon ng singsing na P[x], kaya para sa anumang f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Ang katatagan (d) ay nagliliyab nang walang bakas mula sa y.

Kung ang singsing na y ay isang homomorphism ng singsing na P[x] papunta sa P[a], ang factor ring P[x]/Ker y ay isomorphic sa singsing na P[a].

Huling 1.2. Hayaan ang isang transendental na elemento sa ibabaw ng field na P. Kung ang polynomial ring P[x] ay isomorphic sa ring P[a].

Nagdadala. Pagbabalik-tanaw sa transcendence ng higit sa P Kery=(0). Sa P[x]/(0) na iyon - P[a]. Bilang karagdagan, ang ring factor na P[x] sa likod ng zero ideal ay isomorphic sa P[x]. Gayundin, P[x] - P[a].

1.2.Minimum na polynomial ng isang algebraic na elemento.

Hayaang ang P [x] ay isang singsing ng mga polynomial sa ibabaw ng field na P.

appointment. Hayaang ang a ay isang algebraic na elemento sa ibabaw ng field na P. Ang minimal polynomial ng isang elemento a sa P ay ang valuation polynomial ng P [x] ng pinakamaliit na degree, ang ugat nito ay є a. Ang hakbang ng minimal polynomial ay tinatawag na hakbang ng elemento a sa ibabaw ng P.

Madaling malaman na para sa anumang elemento a, na algebraic sa P, mayroong minimal polynomial.

Panukala 1.3. Kung ang a ay isang elemento ng algebra sa ibabaw ng field P, at ang g at j ay ang th minimal polynomial sa P, kung gayon ang g = j.

Nagdadala. Ang mga hakbang ng minimal polynomials g at j ay tinanggal. Kung g ¹ j, kung gayon ang elemento a (hakbang n sa ibabaw ng P) ang magiging ugat ng polynomial g - j, ang hakbang na mas mababa sa hakbang ng polynomial j (mas mababa sa n), na imposible. Mamaya, g = j.

Teorama 1.4. Hayaan ang isang algebra na elemento ng degree n sa ibabaw ng field na P (aóP) at ang g ay ang th minimal polynomial sa P. Pagkatapos:

(a) ang polynomial g ay hindi na-induce sa bilog na P [x];

(b) kaya f (a) = 0, kung saan f 0 P[x], g divide f;

(c) ang factor-circle na P[x]/(g) isomorphic sa bilog na P[a];

(d) Ang P [x]/(g) ay isang field;

(e) ang singsing na P [a] ay tumugma sa field na P (a).

Nagdadala. Ipagpalagay na ang polynomial g ay na-induce sa bilog na P [x], pagkatapos ay sa P [x] ang mga polynomial na j at h ay maaaring itatag na

g = jh, 1£deg j, deg h

Pagkatapos g(a) = j(a)h(a) = 0. Dahil ang P(a) ay isang field, kung gayon ang j(a) = Pro o h(a) = 0, na imposible, shards, sa likod ng isip , ang mga hakbang na elemento a sa ibabaw ng P ay mas p.

Ipagpalagay na ang f 0 P[x] at f(a) = 0. Para sa isip, g(a) = 0. Kung gayon ang f at g ay hindi maaaring magkapatawaran. Kung ang polynomial g ay hindi mababawasan, pagkatapos ay g hatiin ang f.

Hayaang ang j ay isang homomorphism ng singsing na P[x] sa singsing na P[a] (y(f)=f(a) para sa alinmang f ⊂ P[x]), dahil sa Theorem 2.1. 3(b) ang kernel ng homomorphism y ay binubuo ng multiple ng polynomial g, kaya. Ker y = (g). Gayundin, ang ring factor P = P[x]/(g) ay isomorphic sa ring P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), pagkatapos ay P[a] ang lugar ng validity. Dahil ang P @ P [a], kung gayon ang quotient P ay ang domain din ng integridad. Kailangan nating ipakita na ang anumang di-zero na elemento f mula sa P ay maaaring bawasan sa P. Hayaan ang f na isang elemento ng sum class na f. Oskіlki f ¹ 0, pagkatapos ay f(a)¹0; Samakatuwid, ang polynomial g ay hindi maaaring hatiin ng polynomial f. Ang Oskіlki polynomial g ay hindi mababawasan, ang mga bituin ay malinaw, ngunit ang mga polynomial na f at g ay magkaparehong simple. Gayundin, ang Р[x] ay nagtatag ng mga polynomial na u at v na uf + vg=1. Ang value na uf = 1 ay nagpapakita na ang elementong f ay mabangis sa P ring.

З (с) і (d) P [a] є field at volume P(a)ÌP[a]. Sa kabilang panig, malinaw naman, P[a]ÌP(a). Gayundin, P[a] = P(a). Gayundin, ang singsing na P[a] ay itinugma sa field na P(a).

1.3. Ang simpleng extension ni Budov ng field algebra.

Teorama 1.5. Hayaan ang isang algebraic na elemento ng positibong klase n sa ibabaw ng field na P. Anumang elemento ng field na P(a) ay maaaring natatanging kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng n elemento 1, a, ..., isang n-1 na may mga coefficient na Р.

Nagdadala. Hayaan ang b-be-yakie na elemento ng field na P (a). Sa pamamagitan ng Theorem 1.4, P(a) = P[a]; gayundin, sa P[x] ang polynomial f ay ganoon

Hayaan ang g ang pinakamaliit na polynomial para sa higit sa P; sa bisa ng theorem, ang unang hakbang ay mas advanced.

(2) f = gh + r, de r = 0 o der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Ito ay ipinapakita na ang elemento ay natatanging kinakatawan sa isang linear na kumbinasyon ng mga elemento 1, a, ..., a n-1 . Halika na

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké tulad ng isang manipestasyon. Tingnan natin ang polynomial j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Ang Vipadok, kung ang hakbang j ay mas mababa sa n, imposible, ang mga sunog dahil sa (3) і (4) j(a) = 0 і ang hakbang j ay ang pinakamaliit na uri ng hakbang g. Hindi gaanong posible na baguhin, kung j \u003d 0, pagkatapos ay s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. Gayundin, ang elementong b ay maaaring natatanging kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga elemento 1, a,…,a n-1 .

1.4 Pagkakaiba-iba sa anyo ng algebraic irrationality sa banner ng isang fraction.

Isang gawain tungkol sa zvіlnennya sa anyo ng irrationality ng algebra sa banner ng isang fraction sa hakbang. Hayaan ang isang elemento ng algebra ng degree n>1 sa ibabaw ng field na P; f і h - polynomials mula sa bilog ng polynomial P[x] at h(a) ¹0. Kinakailangang ibigay ang elementong f(a)/h(a)0P(a) sa kaso ng isang linear na kumbinasyon ng mga hakbang ng elemento a, pagkatapos ay sa kaso ng j(a),

Tse vdannya virishuєtsya kaya. Hayaang ang g ay ang pinakamaliit na polynomial para sa isang higit sa P. Oskilki, ayon sa Theorem 1.4, ang polynomial ay hindi na-induce sa P і h(a) ¹ 0, kung gayon ang g ay hindi naghahati sa h і, gayundin, ang mga polynomial h і g ay magkapareho. simple lang. Samakatuwid, ang P[x] ay may ganitong mga polynomial na u at v na

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Gayundin, f(a)/h(a) = f(a)u(a), saka, f,u 0P[x] at f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, kami zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Parang irrationality sa bannerman

Ang mga rich terms na p(x) at g(x)=-x 2 +x+1 ay magkaparehong simple. Samakatuwid, may mga ganoong mayayamang termino j at y na

Para sa vіdshukannya j і y zastosuemo Euclidean algorithm sa polynomials p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

sa ganoong paraan,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Alam ni Zvіdki

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

sa ganoong paraan,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Natitiklop na extension ng field algebra.

2.1. Kіntseve pagpapalawak ng field.

Hayaan ang P ang mga subfield ng field F. Pagkatapos ay maaari nating tingnan ang F bilang isang vector space sa ibabaw ng P, upang matingnan natin ang vector space +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - ang operasyon ng pagpaparami ng mga elemento ng F sa pamamagitan ng scalar l0P.

appointment. Ang pagpapalawak ng field F ay tinatawag na terminal, tulad ng F, bilang isang vector space sa ibabaw ng P, posibleng tapusin ang pagpapalawak. Tsya rozmirnіst signified sa pamamagitan ng.

Panukala 2.1. Kung ang a ay isang algebraic na elemento ng degree n sa P, kung gayon = n.

Ang panukalang ito ay tahasang nagliliyab sa pamamagitan ng Theorem 1.5.

appointment. Ang extension F ng isang field P ay tinatawag na algebraic, dahil ang isang skin element ng F ay algebraic sa ibabaw ng P.

Teorama 2.2. Kung ang isang may hangganang extension ng field F ay algebraic sa P.

Nagdadala. Hayaang maging n-smooth ang F sa P. Ang theorem ay malinaw na totoo, dahil n = 0. Ipagpalagay na n>0. Kung ang n+1 na mga elemento ng F ay linearly fallow sa P. Sokrema, isang linearly fallow na sistema ng mga elemento 1, a, ..., a n , kung gayon ang P tulad ng mga elemento ng 0 , 1, ..., c n ay hindi lahat ay katumbas ng zero , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Ang elementong a ay algebraic din sa P.

Mahalaga na may mga extension ng field algebra na hindi terminal extension.

2.2. Pagpapalawak ng bodega ng larangan ng algebra.

Ang extension F ng field P ay tinatawag na collapsible, dahil ito ay

lumalagong lancet subfield L i ng field F tulad na

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Teorama 2.3. Hayaan ang F - end extension ng field L і L - end extension ng field P. Pagkatapos F - end extension ng field P i

=@[L:P].

Nagdadala. Halika na

(1) a 1 ,…,a m - batayan ng field na L sa P (tulad ng vector space) at

(2) b 1 ..., b n - batayan ng field F sa L . Anumang elemento d mula sa F ay maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng batayan:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Ang coefficient 1 k ay maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng batayan (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​​​(p ik 0P).

Ang pagpapalit ng marka para sa mga coefficient l k (3), ito ay katanggap-tanggap

d = p a a b k .

Sa ganitong paraan, ang elemento ng balat ng field F ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga elemento ng multiplier B, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Mahalaga na ang multiplier B ay nagdaragdag ng hanggang sa mga elemento ng nm.

Ipinakikita namin na ang F ay isang batayan sa P. Kailangan nating ipakita na ang sistema ng mga elemento ng multiplier B ay linearly independent. Halika na

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Dahil ang system (2) ay linearly independent sa L , kung gayon ang (5) ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​​​= 0 (k = 1,..., n).

Dahil ang mga elementong a 1 , ..., a m ay linearly na independyente sa P, kung gayon ang (6) ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

upang ipakita na ang mga coefficient sa (5) ay katumbas ng zero. Kaya, ang sistema ng mga elemento B ay linearly independent at ang batayan ng F sa P.

Otzhe, ipinasok, scho = nm = ×. Gayundin F є huling extension ng field P і maє misce formula (I).

appointment. Ang extension F ng field P ay tinatawag na foldable algebraic, dahil ito ang lumalagong lance ng mga subfield ng field P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

para sa i = 1,..., k field L i є palawakin na lang natin ang algebra ng field L i-1 . Ang bilang na k ay tinatawag na dozhina lance (1).

Huling 2.4. Ang mga extension ng bodega ng algebra F ng field P ay mga terminal extension ng field P.

Ang patunay ay madaling maisagawa sa pamamagitan ng induction sa likod ng lance (1) sa pagpapatibay ng Theorem 2.3.

Teorama 2.5. Hayaan ang isang 1 ,..., ak ay algebraic sa ibabaw ng field P ng mga elemento ng field F . Ang parehong field na P(a 1 ,..., ak) ay ang huling extension ng field na P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Pagkatapos ang L 1 = P ay isang simpleng extension ng algebra ng field na L 0 ; Ang L 2 ay isang simpleng extension ng algebra ng field na L 1, dahil

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) atbp.

sa ganoong paraan,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) para sa i = 1, ..., k, kung gayon ang skin term ng Lanziuk (2) ay isang simpleng extension ng algebra ng forward term ng Lanziuk. Mamaya, ang field F ay isang foldable extension ng algebra ng field na P. Muli, ayon sa Corollary 2.4, ang field F ay terminal extension ng field na P .

Huling 2.6. Extension ng bodega ng field algebra є extension ng algebraic field.

2.3. Ang pagiging simple ng pagpapalawak ng bodega ng field algebra.

Teorama 2.7. Hayaang ang field ng numero F ay isang foldable extension ng field algebra P . Pagkatapos F є ay pasimplehin natin ang mga extension ng algebra ng field na P.

Nagdadala. Hayaan ang P - L - F, bukod dito, L = P (a), F = L (b) i, gayundin, F = P (a, b).

Hayaan ang f at g na maging minimal na polynomial sa P, na wasto para sa mga numerong a at b at deg f = m, deg g = n. Ang mga polynomial na f і g ay hindi maaaring i-superimpose sa P і, samakatuwid, hindi ito maaaring nasa field E ng mga kumplikadong numero ng maramihang mga ugat. Halika na

a = a 1 ,..., a m - mga ugat ng polynomial f C i

b = b 1 ,..., b n - ugat ng polynomial g C.

Tingnan natin ang kіtsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Ang Oskіlki P ay isang numerical multiplier (i, samakatuwid, hindi limitado), pagkatapos P ay ang numero c, vidminne sa mga elemento ng multiplier M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Totoo, sa panahon ng pagkakapantay-pantay a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

ginamit ng scho superchilo ang pagpili ng bilang c.

Hayaan ang F 1 = P(g) at F 1 - isang singsing ng polynomial sa x. Hayaang ang h = f(g - cx) ay isang polynomial mula sa F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Maipapakita na ang x-b ay ang pinakamalaking katinig ng mga polynomial na h at g sa singsing na F 1 [x]. Mga kaliskis g(b) = 0, pagkatapos ay hatiin ng x-b ang g E[x]. Daly, dahil sa (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Sa x-b na iyon hatiin ang polynomial h E[x]. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang x-b ay isang sleeper h at g sa singsing na E[x].

Iniulat na ang g і h С walang mga ugat, vіdmіnkh vіd b. Sabihin na lang na b k , k0(2 ,..., n) ang ligaw na ugat nito. Pagkatapos h(b k) = f(g - сb k) = 0. Pagkatapos, mayroong ganoong index i0(1 ,..., m) ). Samakatuwid, posibleng ang x-b ang pinakamalaking sleeper ng g at h sa E[x]. Oskіlki x - b - normalization polynomial, pagkatapos ay ang bituin ay malinaw, scho x - b є ang pinakamalaking mainit na dilnik g at h y kіltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] at b 0 F 1 = P(g).

Bukod dito, a = g - cb 0 F 1 . sa ganoong paraan,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Patlang algebraic na mga numero.

Ang klase ng mga subfield ng larangan ng kumplikadong mga numero ay isa sa pinakamahalaga - ang larangan ng mga algebraic na numero.

appointment. Ang isang algebraic na numero ay tinatawag na isang kumplikadong numero, na siyang ugat ng isang polynomial ng positibong antas na may rational coefficients.

Mahalaga na ang bilang ng isang algebra, maging ito ay isang kumplikadong numero, ay maging algebraic sa ibabaw ng field na Q. Sokrema, maging ito ay isang rational na numero, maging algebraic.

Teorama 2.8. Ang impersonal na A ng lahat ng algebraic na numero ay sarado sa ring E = +C, +, -, 1, ng mga kumplikadong numero. Ang algebra A = +А, +, -, , 1 ay isang field, isang subfield ng field E.

Nagdadala. Hayaang ang a at b ay mga elemento ng A. Para sa huling 2.6, ang field na Q(a, b) ay algebraic sa Q. Samakatuwid, ang mga numerong a + b, -a, ab, 1 ay algebraic, upang ang mga multiple ng A ay kasinungalingan ., ang impersonal na A ay sarado ayon sa mga pagpapatakbo ng ulo ng cycle E. Samakatuwid, ang algebra A ay isang subcycle ng cycle E - ay isang cycle.

Bilang karagdagan, dahil ang a ay isang di-zero na elemento sa A, a -1 0 Q (a, b) at ang a -1 ay nasa A. Muli, ang algebra A ay isang field, mga subfield ng field na E.

appointment. Ang field A = +A, +, -, , 1 ay tinatawag na field ng algebraic numbers.

Ipakita na ang bilang a = algebraic.

Solusyon. Z a \u003d sumisigaw ng-.

Iniinsulto ang mga bahagi ng natitirang katumbas sa ikatlong hakbang:

a 3 -3a 2 9a-3=2

isang 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Ngayon ang mga nakakasakit na bahagi ng paninibugho ay dinadala sa ibang antas:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Sa ranggo na ito ay є ang ugat ng isang mayamang termino

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

mula sa rational coefficients. Ang ibig sabihin ng Ce ay ang a ay isang algebraic na numero.

2.5. Algebraic na pagsasara ng field ng mga numero ng algebra.

Teorama 2.9. Ang field ng numero ng isang algebra ay algebraically closed.

Nagdadala. Hayaang ang A [x] ay isang singsing ng mga polynomial sa x sa ibabaw ng field A ng mga algebraic na numero. Halika na

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Maging ilang polynomial ng positibong hakbang A[x]. Kailangan nating patunayan na ang f ay maaaring i-root sa A. Kung ang f0C[x] at ang field E ay algebraically closed, kung gayon ang f ay maaaring i-root sa E upang ito ay magkaroon ng ganitong kumplikadong numero s, na f (c) = 0. Hayaan ang L = Q (a 0 , ..., at n) at L(c) ay isang simpleng extension ng algebra ng field na L sa kabila ng tulong ng c. Pagkatapos Q - L - L (c) ay isang terminal extension ng algebra ng field L. Sa pamamagitan ng Theorem 2.2, L ay isang terminal extension ng field Q. Sa bisa ng Theorem 2.3, L (c) ay isang terminal extension ng ang patlang Q. ang patlang L (c) ay isang extension ng algebra ng patlang Q i, samakatuwid, c0A. Kaya, kung mayroong anumang polynomial sa A[x] ng positibong hakbang A ay maaaring magkaroon ng ugat, kung gayon ang patlang A ay algebraically sarado.

3. Hiwalay at hindi mapaghihiwalay na mga extension.

Halika sa D - field.

Tiyak, paano magiging ina ng maraming ugat ang isang di-nabubulok na D[x] polynomial?

Upang ang f(x) ay maging maraming ugat, ang mga rich term na f(x) at fN(x) ay dahil sa karaniwang double constant multiplier ng ina, na maaaring kalkulahin na sa D[x]. Kahit na ang polynomial na f(x) ay hindi nabubulok, kung gayon sa anumang mayamang termino ng mas mababang antas na f(x) ay hindi ito maaaring maging ina ng mga hindi maintindihang global multiplier, gayundin, maaaring magkaroon ng pagkakapantay-pantay f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Kaya fN(x) = O, ang skin coefficient ay nagkasala ng zero:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Ang mahalaga ay ang katangiang zero ng bituin, na ang isang n \u003d 0 lahat n ¹ 0. Gayundin, ang isang hindi naaayon na polynomial ay maaaring maging ina ng maraming ugat. Sa oras ng mga katangian p_evenness na n \u003d 0 posible na magkaroon ng n ¹ 0, ngunit maaari rin itong maging katumbas

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Bumalik: kung ang f(x) ay maaaring magmukhang ganito, kung gayon ang fN(x)=0.

Sa vipadka na ito maaari tayong sumulat:

Si Tim mismo ang nagdala ng assertion: Sa kaso ng characteristic zero, ang rich term na f (x) ay hindi mahahati sa D [x], maaari lamang itong maging isang simpleng ugat, sa kaso ng characteristic na p, ang polynomial f ( x) (na kapareho rin ng pare-pareho) ay maaaring isang multiple ng ugat, kung posible itong ipakita bilang isang polynomial j vіd x p.

Minsan, posibleng ang j(x) ay isang polynomial sa sarili nitong paraan x p . Kung gayon ang f(x) ay isang polynomial tulad ng x p 2 . Hayaan ang f(x) - rich term tulad ng xpe

ale є polynomial vіd x pe +1 . Mauunawaan, ang polynomial y(y) ay hindi nabubulok. Dali, y¢(y) ¹ 0, dahil kung hindi, ang y(y) ay magmumukhang c(y p) i, kung gayon ang f(x) ay magmumukhang c(x pe + 1), na hahalili sa pagkukulang. Otzhe, y (y) ay maaari lamang maging isang simpleng ugat.

Palawakin natin ang polynomial y upang mapalawak ang pangunahing larangan sa mga linear na kadahilanan: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Hayaang a i ang ugat ng polynomial x pe - bi. Pagkatapos x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Gayundin, a i є r e -multiple root ng polynomial x pe - b i

f(x) = J(x -a i) p e.

Ang bigote ng ugat ng polynomial f(x) ay maaaring, sa ganitong paraan, ay may parehong multiplicity ng p e.

Ang hakbang m ng polynomial y ay tinatawag na reduction step ng polynomial f(x) (o ang root a i); ang numerong e ay tinatawag na exponent ng polynomial f (x) (o ang ugat a i) sa ibabaw ng field D.

de m mas mahal na bilang ng iba't ibang ugat ng polynomial f(x).

Kung ang q ay ang ugat ng isang polynomial na hindi nabubulok sa singsing na D[x], na maaari lamang maging mga simpleng ugat, kung gayon ang q ay tinatawag na isang separable na elemento sa ibabaw ng D o isang elemento ng unang uri sa D 1). Sa pamamagitan nito, tinatawag na separable ang isang hindi maihahambing na mayamang termino, ang lahat ng mga ugat nito ay mapaghihiwalay. Kung hindi, ang algebraic na elementong q at ang hindi nabubulok na rich term na f(x) ay tinatawag na inseparable o isang elemento (tulad ng rich term) ng ibang uri. Ngayon, ang isang extension ng algebra S, ang lahat ng mga elemento na kung saan ay separable sa ibabaw ng D, ay tinatawag na separable sa ibabaw ng D, at anumang iba pang extension ng algebra ay tinatawag na inseparable.

Sa mga oras ng katangiang zero, sinasabing ang balat ay hindi isang hindi nabubulok na rich term (at samakatuwid ang skin extension ng algebra) ay mapaghihiwalay. Nais naming malaman na ang karamihan sa pinakamahalaga at pinakamahalagang extension ng mga patlang ay mapaghihiwalay at alam namin ang kalidad ng klase ng mga patlang, upang ang hindi mapaghihiwalay na mga extension (ang tinatawag na "tapos na ang patlang") ay hindi posible. Z tsієї causa all pov'yazane specially with inseparable extensions type in a different font.

Tingnan natin ngayon ang extension ng algebra S = D (q). Kung ang mga hakbang n ay katumbas ng f(x) = 0, na nangangahulugan ng isang mas malaki, mas advanced na hakbang (S: D), ang pagbawas ng mga hakbang m ay katumbas ng bilang ng mga isomorphism ng field S sa pagsulong na kahulugan: kami maaari lamang tumingin sa mga isomorphism na ito [email protected]", para sa anumang mga elemento ng subfield D ay napuno ng hindi marahas na i, pagkatapos, S ay inilipat sa katumbas na field S" (isomorphism ng field S sa ibabaw ng field D) at para sa anumang field-image S "sa kasinungalingan magkasama na may field na S sa gitna ng field W. tsikh umovah maє mistse theorem:

Sa isang naaangkop na pagpipilian ng field W, ang extension na S=D(q) ay maaaring magkaroon ng eksaktong m isomorphism sa D, at para sa anumang pagpipilian ng field W, ang field S ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa m tulad na isomorphism.

Nagdadala. Ang skin isomorphism sa ibabaw ng D ay may pananagutan sa pagsasalin ng elemento q sa mga kaugnayan nito sa elementong q" mula sa W. Piliin ang W upang ang f(x) ay lumawak sa ibabaw ng W sa mga linear multiplier; pagkatapos ay lumalabas na ang elementong q ay maaaring magkaroon ng eksaktong m paglitaw elemento q,q Kung gayon, bilang bi, ang field na W ay hindi napili, ang elementong q ay hindi matima sa anumang higit sa m kaso. Ito ay kagalang-galang ngayon na ang skin isomorphism D(q)@D(q") sa D ay ganap na nakadepende sa ibinigay na pagkakakilanlan ng q® q". Malinaw, kung ang q ay pupunta sa q "at ang lahat ng mga elemento mula sa D ay naiwan sa lugar, kung gayon ang elemento

3a k q k (yak 0D)

guilty pumunta sa

at ang cym ay nangangahulugang isomorphism.

Sokrema, dahil ang q ay isang separable na elemento, kung gayon m = n і, samakatuwid, ang bilang ng mga isomorphism sa pangunahing field ay mas pantay na pinalawak.

Kung gayon, kung ang patlang ay naayos, na maaaring masakop ang lahat ng mga patlang na tinitingnan, kung saan ang lahat ng mga ugat ng pagkakapantay-pantay ng balat f (x) = 0 ay matatagpuan (tulad ng, halimbawa, sa larangan ng mga kumplikadong numero) , pagkatapos ay sa kapasidad ng W maaari mong kunin ang patlang i minsan at para sa lahat Upang ito, idagdag ang pagdaragdag ng "sa gitna ng deaky W" sa lahat ng mga pahayag tungkol sa isomorphism. Kaya simulan ang pag-aayos ng theoretically numerical fields. Nais naming ipaalala sa iyo na para sa mga abstract na field ay maaari mo ring gamitin ang W field.

Ang binanggit na teorama ay ang sumusunod na pahayag:

Paano palawakin ang S upang lumabas mula sa D hanggang sa mga susunod na pagdating m

algebraic elements a 1 , ..., a m , saka, balat sa likod ng a i , є root

non-expandable over D(a 1 , ..., a i-1) ay katumbas ng pinababang yugto n" i , pagkatapos

Ang pagpapalawak ng S ay maaaring eksaktong ?n i ¢ isomorphism sa D i sa parehong paraan

walang extension mas malaking bilang tulad isomorphism ng field S.

Nagdadala. Para sa m = 1, ang teorama ay higit na binuo. Ipagpalagay na її wasto para sa extension S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є eksakto n i ¢ isomorphism ng field S sa D.

Hayaang maging isa ang S 1 ®S 1 sa Õ n i ¢ isomorphism. Ito ay argued na sa reverse order ng reversed field W alak ay maaaring magpatuloy sa isomorphism S = S 1 (am) @ S = S (am) hindi hihigit sa n_zh n m paraan.

Ang elementong a m ay nakakatugon sa equation na f 1 (x) = 0 sa S 1 na may n¢ m na magkakaibang mga ugat. Pagkatapos ng karagdagang isomorphism S 1 ® S 1, ang rich term f 1 (x) ay maaaring isalin sa isa pang rich term f 1 (x). Ale todі f 1 (x) sa isang malawak na pinalawak na paraan, ngunit n m iba't ibang mga ugat at wala na. Hayaan ang isang m - isa sa mga ugat na ito. Sa pagtingin sa pagpili ng elementong a m, ang isomorphism S 1 @S 1 ay tatlo sa isomorphism S (a m) @ S (am) para sa isang m ®a m sa isa at isang paraan lamang: epektibo, ang pagpapatuloy ay ibinibigay ng formula

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Ang mga halimbawa ng pagpili ng elementong a m ay maaaring tukuyin sa n "m na paraan, gamit ang n" m pagpapatuloy ng ganoong uri para sa reverse isomorphism å 1 ®å 1

Ang Oskіlki ay may sariling linya, at ang isomorphism na ito ay maaaring ma-convert

Х n" i mga paraan,

kung gayon ang lahat ay totoo (na ang patlang na W, kung saan ang lahat ng mga ugat ng lahat ay katumbas, na tinitingnan) ay matatagpuan)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

isomorphism ng extension ng S sa ibabaw ng field D, na kung saan ay kinakailangan upang dalhin.

Kung ang n i ay isang tunay (hindi binawasan) na hakbang ng elemento a i sa D (a 1 ,...,a i-1), kung gayon n i higit pang mga hakbang ng extension D (a 1 , ... , a i) ng field D(a 1 , .. ., a i-1);

otzhe, mga hakbang (S: D) higit pa

Paano itugma ang numero sa bilang ng mga isomorphism

Ang bilang ng mga isomorphism ng extension S = D(a 1 , ... , a m) sa D (para sa anumang ibinigay na extension W) ay isang karagdagang hakbang (S: D) kahit na kung ang elemento ng balat a i ay mapaghihiwalay sa ibabaw ng field D(a 1 , .. , a i-1). Kung nais mong ang isang elemento a i ay hindi mapaghihiwalay sa isang hiwalay na field, kung gayon ang bilang ng mga isomorphism ay mas mababa kaysa sa antas ng pagpapalawak.

Mula sa punto ng teorama, ang ilang mahahalagang pangungusap ay agad na lilitaw. Para sa amin, ang theorem ay nagsasaad na ang kapangyarihan ng elemento ng balat a i ay mapaghihiwalay sa front field, at ang kapangyarihan ng extension S mismo ay independiyente sa pagpili ng mga elemento na bumubuo ng isang i . Dahil ang isang karagdagang elemento ng patlang ay maaaring kunin bilang ang unang henerasyon, ang elemento b ay lumilitaw na maaaring paghiwalayin, dahil ang lahat ng a i ay gayon. Ama:

Ang mga elemento a i , ... ,a n i ay idinagdag nang sunud-sunod sa field D, ang elemento ng balat a i ay lilitaw na mapaghihiwalay sa ibabaw ng field, inaalis namin ang magkadugtong na mga elemento sa harap a 1, a 2 ,...,a i-1 expansion

S = D(a 1 , ... ,a n)

mapaghihiwalay sa D.

Zokrema, suma, retail, tvir na ang mga pribadong pinaghiwalay na elemento ay mapaghihiwalay.

Dagdag pa, dahil ang b ay mapaghihiwalay sa S, at ang patlang na S ay mapaghihiwalay sa D, kung gayon ang elementong b ay mapaghihiwalay sa D. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang b ay nakakatugon sa panghuling bilang ng mga coefficient a 1 , ... , a m з S i, muli, ay mapaghihiwalay sa D (a 1, ..., a m). Tim mismo separable extension

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, maaaring ibigay ang parehong lugar: ang bilang ng mga isomorphism ng isang terminal na mapaghihiwalay na extension S sa isang field D sa isang mas mataas na antas ng extension (S: D).

4. Walang limitasyong pagpapalawak ng irigasyon.

Ang field ng balat ay lumalabas mula sa simpleng sub-field nito para sa tulong ng panghuling chi ng hindi mauubos na pagpapalawak. Sa dibisyong ito, makikita ang hindi mabilang na pagpapalawak ng mga field, una sa lahat algebraic, at pagkatapos ay transendental.

4.1. Algebraically closed fields

Kabilang sa pagpapalawak ng algebra ng isang partikular na larangan, isang mahalagang papel ang ginagampanan, lalo na, sa pamamagitan ng pinakamataas na pagpapalawak ng algebra, upang hindi payagan ang karagdagang pagpapalawak ng algebra. Ang dahilan para sa mga naturang extension ay dadalhin sa talatang ito.

Upang ang field na W ay maging pinakamataas na extension ng algebra, kinakailangan na isulong ang isip: ang polynomial ng balat ng bilog na W[x] ay maaaring mabulok sa mga linear multiplier. Sapat na ang isip ng Tsya. Sa katunayan, dahil ang polynomial ng balat sa W[x] ay nabubulok sa mga linear na multiplier, kung gayon ang lahat ng simpleng polynomial sa W[x] ay linear at ang mga elemento ng balat ng anumang extension ng algebra W" ng field na W ay lumilitaw na ugat ng anumang linear rich term x - a sa W[x] , ibig sabihin, gumagana ito sa aktwal na elemento a ng field na W.

Sa damo na iyon ay ang parehong kapalaran:

Ang field na W ay tinatawag na pagsasara ng algebra, dahil ang anumang polynomial sa W [x] ay maaaring mabulok sa mga linear na salik.

Ang parehong mahalaga ay ang sumusunod: ang field na W ay algebraically sarado, upang ang polynomial sa W[x] ay maaaring maging isang natatanging polynomial sa W[x] na may isang ugat, iyon ay, na may isang linear multiplier sa W[x] .

Sa katunayan, bilang isang matalinong vikonan at medyo maraming pagkuha, ang polynomial f (x) ay nabubulok sa mga salik na hindi nabubulok, kung gayon ang lahat ng baho ay dapat sisihin ngunit linear.

Ang "Basic Theorem of Algebra" ay nagsasaad na ang larangan ng kumplikadong mga numero ay algebraically closed. Ang isang paparating na butt ng isang algebraically closed field ay maaaring maging field ng lahat ng kumplikadong algebraic na numero, upang hindi personal na kumplikadong mga numero, tulad ng pagiging nasiyahan sa anumang uri ng pagkakapantay-pantay sa mga rational coefficient. Ang kumplikadong ugat ay katumbas ng mga coefficient ng algebra є at talagang algebraic hindi lamang sa larangan ng mga algebraic na numero, kundi pati na rin sa field mga rational na numero, ibig sabihin, ang kanilang mga sarili ay mga algebraic na numero.

Dito namin ipapakita kung paano mag-udyok ng isang saradong algebraic extension ng isang sapat na ibinigay na field P at sa isang purong algebraic na paraan. Steinitz na humiga ng ganyan

Pangunahing teorama. Para sa skin field P, isang saradong algebraic extension ng algebra W. Eksaktong hanggang sa katumbas, ang extension ay katangi-tanging tinukoy: kung mayroong dalawang algebraically closed algebraic extension na W, W "ng field P ay katumbas.

Ang patunay ng mga theorems na ito ay dahil sa labis ng lem:

Lemma 1. Hayaan ang W, na maging extension ng field algebra P. Sapat na isip upang ang W ay maging isang pagsasara ng algebra, є pagpapalawak sa mga linear na salik ng anumang polynomial sa P[x] sa singsing na W[x].

Nagdadala. Hayaang ang f(x) ay isang karagdagang polynomial mula sa W[x]. Kung ang vin ay hindi nabulok sa mga linear na multiplier, kung gayon ang isa ay maaaring kumuha ng ika-ugat a i para makarating sa itaas na superfield na W. Ang elementong a ay algebraic sa ibabaw ng W, at ang W ay isang extension ng algebra ng field na P, ang ugat ng susunod na polynomial g(x) sa P[x]

Lemma 2. Kung ang field P ay holistically ordered, ang ring ng polynomials P[x] ay maaaring holistically ordered at hanggang sa lawak na ang order na ito field P ay magiging triple.

Nagdadala. Makabuluhang baguhin ang pagkakasunud-sunod sa pagitan ng mga polynomial na f(x) sa P[x] gaya ng sumusunod: hayaan ang f(x)

1) step f(x) ay isang mas maliit na uri ng step g(x);

2) hakbang f(x) mas hakbang g(x) at mas n, pagkatapos.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i para sa susunod na index k:

at i = b i para sa i

isang k

Kung gayon, para sa polynomial 0, ang sisihin ay ibinibigay: ito ay itinalaga ng isang hakbang 0. Ito ay malinaw na ang ganitong paraan upang lumabas sa pagkakasunud-sunod ay, para sa kahulugan kung saan ang P [x] ay ganap na iniutos. Ipapakita ito bilang mga sumusunod: sa balat na hindi walang laman na maramihan ng mga rich segment, mayroong isang hindi walang laman na sub-multiple ng rich segment ng pinakamaliit na antas; huwag hai ang napakagandang numero. Sa bawat submultiple, mayroong isang non-empty submultiple ng rich-terms, ang coefficient ay 0, na siyang una sa kahulugan ng pangunahing pagkakasunud-sunod ng gitna ng malalaking bahagi ng rich-terms, na tinitingnan; sa itinalagang submultiple є ay may sariling line submultiplier ng mga rich terms na may unang a 1 at iba pa. minimnosti, na magkakasunod na nanalo, sa pagpili); ang polynomial na ito ay ang unang elemento ng ibinigay na multiplier.

Lemma 3. Kung ang patlang P ay inayos sa kabuuan, ang mayamang terminong f(x) ng entablado n і n ay sumasagisag ng 1 ..., a n pagkatapos ay ang patlang na P (a 1 ,..., a n), sa kung aling f(x) ang papalawakin sa mga linear multiplier

Ang Õ(x-a i), ay magiging isang ranggo at isang buo

utos. Field P sa sensi tsiy є vіdrіzkom.

Nagdadala. Idinagdag namin ang ugat a 1 ..., a n sunud-sunod, pagkatapos nito P = P 0 sunud-sunod na manalo sa mga patlang Р 1 , ..., Р n . Ipagpalagay natin na R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - ang field ay na-induce na at ang P ay isang kontrata sa R ​​i-1; tapos si R i will be so.

Bago ang problema 2, ang singsing ng polynomials Р i-1 [x] ay inayos nang buo. Ang polynomial f ay nabubulok sa bawat kіltsi sa mga hindi mapaghihiwalay na salik, ang gitna nito ay ang unang lugar x - a 1 ,..., x - a i-1 ; sa iba pang maramihan, hayaang ang f i (x) ang una sa kahulugan ng malinaw na pagkakasunud-sunod. Kasama ang simbolo na a i, na tumutukoy sa ugat ng mayamang terminong f i (x), ipinapahiwatig namin ang field na P i = P i -1 bilang kabuuan ng mga kabuuan

de h ay ang hakbang ng mayamang termino f i (x). Kung ang f i (x) ay linear, kung gayon, siyempre, iginagalang natin ang P i = P i -1; hindi kailangan ang karakter a i. Hikayatin ang field sa kabuuan na mag-order para sa karagdagang nakakasakit na katalinuhan: ang elemento ng balat ng field

marahil ay isang mayamang miyembro

At ang mga elemento ng field ay inayos sa parehong paraan, tulad ng pag-order ng kanilang mga rich terms.

Malinaw, ang parehong Р i-1 ay nauugnay sa Р i, at sa і P - na may kaugnayan sa Р i.

Tim ang mga patlang P 1 ,..., P n ang kanilang mga sarili ay motivated sa pamamagitan ng isang buong pag-order. Ang field na Р n ay natatanging nahahanap ng unang field na P(a 1 ,..., a n).

Lemma4

Nagdadala. Para sa alinmang dalawang elemento a, b, pagsamahin ang dalawang patlang S a , S b , upang palitan ang a, b at mula sa alinman sa bago ang isa. Sa namamaos na field, ang mga elementong a + b at a × b ay itinalaga sa mga elemento sa field ng balat, upang maipaghiganti ang a at b, dahil ang dalawang ganoong field ay nauuna sa isa at yogo subfield. Halimbawa, upang dalhin ang batas ng pakikisama

ab g = a bg,

alam natin ang mga gitnang patlang S a , Sb, S g yaong sumasaklaw sa dalawa pang larangan (ang pinakamalaki); saang larangan mayroong a, b at g i sa bagong batas ng associativity vikonano. Sa parehong paraan, ang mga tuntunin ng reshta para sa pagkalkula ng mga elemento ng asosasyon ay binago.

Ang patunay ng pangunahing teorama ay nahahati sa mga bahagi: ang subfield W at ang patunay ng pagkakaisa.

Ang mga patlang ng Pobudov na W. Lemma 1 ay nagpapatunay na para sa isang tila algebraically closed extension na W ng field P ay sapat na upang mapukaw ang gayong extension ng algebra ng field P, upang ang polynomial sa P[x] ay mapalawak sa mga extension na ito sa mga linear multiplier.

1. Ang field na P f є ob'ednannyam field P і lahat ng field S g para sa g

2. Ang field na P f ay inayos sa paraang P at lahat ng field na S g na may g

3. Ang field na S f ay nagmumula sa R ​​f hanggang sa ibinigay na mga ugat ng rich term na f pagkatapos ng mga karagdagang simbolo a 1 ,..., a n ay may bisa hanggang lemi 3.

Kinakailangang sabihin na sa ganitong paraan ang buong pag-order ng mga patlang Р f , S f ay maaaring tahasang italaga ng buong patlang ng pag-order, pati na rin ang lahat ng mga pasulong na Р g , S g ay naitalaga na nang mas madalas.

Yakshcho vikonano 3, pagkatapos ay nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 nakikita natin na ang field P i skin field S g (g

Р - vіdrіzok S h at h

S g - doble S h at g

Parang P i field S h (h b, maaaring i-save ang yak sa Pf. Ang parehong pagkakasunud-sunod ay isa at pareho sa lahat ng mga patlang P abo S g yak yak yak a, kaya ib, na ang lahat ng ts field є v_drіzkami isa sa isa. Otzhe, ang pag-set up sa order ay itinalaga. Yaong mga ganap na iniutos na impersonal, malinaw naman, upang ang balat ay hindi walang laman impersonal x sa Р f upang maghiganti kahit isang elemento ng gawain ng deyakogo field S g, at iyon ang unang elemento ng x x Ç Work x Ç S g. Ang elementong ito ay isang oras є i ang unang elemento x.

Sa pagtingin sa iyong isip 3, ang polynomial f(x) ay muling nabubulok sa mga linear na salik sa field na S f . Dagdag pa, pagkatapos ng tulong ng transfinite induction, ipinapakita na ang S f ay algebraic sa P. Sa katunayan, ipinapalagay na ang lahat ng mga field S g (g

Ngayon iniimbak namin ang pool W ng lahat ng field Sf; zgіdno z lemoy 4 nanalo є field. Ang buong field ay algebraically sa P at lahat ng rich terms f ay pinalawak sa ibabaw nito (maliit na skin polynomial f ay pinalawak na sa S f). Gayundin, ang field na W ay algebraically closed (Lema 1).

Ang pagkakaisa ng field na W. Hayaang ang W at W" ay dalawang field na algebraic at closed algebraic extension ng field na P. Dalhin natin ang equivalence ng mga field na ito. ay isinasaalang-alang din ng isa sa mga argumentong ito) submultiple ¢ sa W " at ilang isomorphism

P(Â) @ P(¢).

Ang natitirang bahagi ng Mayo ay masisiyahan sa paparating na umuulit na spiving.

1. Ang isomorphism na P(Â) @ P(¢) ay dahil sa pagkaubos ng elemento ng balat ng field P sa field.

2. Ang isomorphism na P(Â) @ P(¢) na may ÁÌ Â ay maaaring extension ng isomorphism na P(Â) @ P(Á").

3. Kung ang  ay ang natitirang elemento a, upang  = ÁÈ(a), at kung a ang ugat ng mayamang terminong f(x) na hindi mabulok sa P (Á), kung gayon ang elementong a" ay sisihin ang unang ugat ng genus na P(Á) @ P(I"), isang polynomial f¢(x) sa isang maayos na field na W".

Kinakailangang ipakita na ang isomorphism na P(Â) @ P(¢) ay epektibong itinalaga sa parehong paraan, kahit na ang mga alak ay nakatalaga na para sa lahat ng pasulong na gilid ng ÁÌ Â. Narito ito ay kinakailangan upang makilala ang dalawang puntos.

Unang patak. Impersonal  ay hindi maaaring magkaroon ng natitirang bahagi ng elemento. Ang parehong elemento ng katad ay dapat nakahiga sa singing front breech Á; sa na  є sa pinagsamang pagtutubig ng Á, sa P(Â) na iyon - sa pinagsama-samang mga patlang P(Á) para sa ÁÌ Â. Kung ang mga elemento ng balat mula sa mga isomorphism na P(Á) @P(Á") ay nagpapatuloy mula sa mga nauna, kung gayon ang elemento ng balat a kasama ng lahat ng isomorphism na ito ay binibigyan lamang ng isang elemento a". Samakatuwid, mayroong isa at higit sa isang inflection P(Â) → P(¢), na nagpapatuloy sa lahat ng forward isomorphism P(Á) → P(Á"), at ang inflection mismo a®a". Ito ay malinaw na ito ay isang isomorphism at isang kumbinasyon ng 1 at 2.

Isa pang patak. Anonymous maє natitirang elemento a; gayundin,  = ÁÈ(a). Panghuli, ang elementong a" na nauugnay sa elementong a ay katangi-tanging itinalaga. Dahil ang a" sa ibabaw ng field na P(I") (sa kahulugan ng nasuri na isomorphism) ay nakakatugon sa "parehong" na hindi pare-parehong katumbas ng i a sa P(I), pagkatapos ay ang isomorphism P(I) → P(I") (sa kaso, kung ako ay walang laman, pagkatapos ay ang parehong isomorphism P®P) ay umaakyat sa isomorphism P(I, a) ®P(I", a¢ ), kapag ang isang pumasa sa isang". Ang dermal isomorphism ay malinaw na natukoy sa pamamagitan ng mungkahi ng balat, kaya ang rational cutaneous function na j(a) na may mga coefficient ng pangkalahatang wika ay pumasa sa function na j "(a") na may katumbas na coefficients ng Á". ) ® Malinaw na tumutugma ang P(¢) sa 1 at 2.

Kaya, ang pagpapalit ng isomorphism na P(Â)→P(¢) ay nakumpleto. Makabuluhang sa pamamagitan ng W" ang generalization ng lahat ng field P(В¢); pagkatapos ay mayroong isomorphism P(W)®W" o W®W", na nagdaragdag ng elemento ng field P sa espasyo ng balat. Dahil ang Ang field na W ay algebraically sarado, gayundin ang Buti і W ", at sa W na iyon ay itinugma sa kinakailangang field na W¢.

Ang kahulugan ng isang algebraically closed extension ng isang ibinigay na field ay pareho sa na, hanggang sa punto ng equivalence, posible na malampasan ang mga posibleng extension ng algebraic field. Mas tiyak:

Kung ang W ay isang algebraically closed extension ng algebra ng field na P at S ay isang medyo algebraic extension ng field P, kung gayon sa gitna ng W ay mayroong pangkalahatang extension ng S 0 , na katumbas ng extension ng S.

Nagdadala. Maaari naming i-extend ang S sa isang tiyak na saradong extension ng algebraic na W". Ito ay magiging algebraic at higit sa P, at samakatuwid ay katumbas ng isang extension na W. Sa ilalim ng anumang isomorphism, upang maisalin ang W" sa W, na kumukuha ng hindi malalabag na elemento ng balat ng P, ang field S ay pumasa sa isang deak na katumbas ng yoma subfield S 0W.

4.2. Patawarin ang transendente na pagpapalawak.

Ang balat ay simpleng transendental na extension ng field D, na tila katumbas ng field ng pribadong D(x) ng singsing ng polynomials D[x]. Upang na mi vivchimo tse pribadong larangan

Ang mga elemento ng field W ay mga rational function

Teorama. Ang transendental na elemento h ng hakbang n ay transendental sa ibabaw ng D і ang patlang D(x) ay isang extension ng algebra ng patlang D(h) ng hakbang n.

Nagdadala. Ang pagsusumite h = f(x)/g(x) ay hindi panandalian. Parehong elemento x nasiyahan

g(x)×h - f(x)=0

na may mga coefficient D(h). Ang mga bilang ng mga coefficient ay hindi maaaring katumbas ng zero. Sa katunayan, kung ang lahat ng baho ay katumbas ng zero at ak letter bi sa parehong mundo x ay isang non-zero coefficient ng polynomial g (x), at b k - isang non-zero coefficient ng polynomial f (x), kung gayon ito hindi sapat para maging pantay ang ina

bituin h = b k / ak = const, na isang pamahiin. Muli, ang elementong x ay algebraic sa D(h).

Kung ang elementong h ay algebraic sa D, kung gayon ang x ay bi algebraic sa D, na, gayunpaman, ay hindi ganoon. Muli, ang elementong h ay transendental sa D.

Ang elementong x ay ang ugat ng mayamang termino ng hakbang n

sa singsing D(h)(z). Ang polynomial na ito ay hindi nabubulok sa D(h)[z], ang mga shards ay vin bouv bi din ay maaaring mabulok n sa kіlci D, і, ang mga shards ng vin ay linear sa h, ang isa sa mga multiple ng maw bi ay hindi posible. magdeposito ng h, o mas kaunti z. Ngunit ang ganitong multiplier ay hindi maaaring, dahil ang g(z) at f(z) ay magkaparehong simple.

Gayundin, ang elementong x ay isang hakbang ng algebra n sa ibabaw ng field na D(h). Ang mga bituin ay solid, kaya (D(x) : D(h)) = n

Para sa isang makahulugan, ito ay makabuluhan na ang isang mayamang miyembro

walang multiple na malapit lang sa z (to lie near D[z]). Ang tse solidification ay na-override, kung ang h ay pinalitan ng mga halaga nito f (x) / g (x) at pinarami ng banner g (x), tayo mismo ay isang polynomial.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D walang mga multiplier, mahulog lamang sa vіd z.

Mula sa mga theorems na dinala sa itaas, mayroong tatlong remarks.

1. Ang function na hakbang h - f(х)/g(х) ay dapat na ideposito lamang sa mga field na D(h) at D(x), at hindi sa pagpili ng isa pang elemento na bumubuo ng x.

2. Ang Rivnist D(h) = D(x) ay mas mababa sa pareho, kung h ay mas mababa sa 1, ito ay isang shot-linear function. Ang ibig sabihin ng Tse ay: ang parent na elemento ng field, ang crim ng elementong x, ay maaaring isang fractional-linear na function tulad ng x at tanging ganoong function.

3. Anumang automorphism ng field na D(x), na nag-iiwan ng elemento ng field D sa canvas, ay nagkasala sa pagsasalin ng elementong x sa anumang elemento ng field. Bumalik, kung ang x ay isinalin sa isang parent na elemento x = (ax + b) / (cx + d) at skin function j (x) - y function j (x), pagkatapos ay lalabas ang isang automorphism, kapag naiwan ang lahat ng elemento D sa target. Otzhe,

Ang lahat ng automorphism ng field D(x) sa ibabaw ng field D ay shot-linear substitution

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Mahalaga para sa ilang mga geometrical na tagumpay

Ang teorama ni Lurot. Ang skin-intermediate na field S, kung saan ang DÌSID(x) ay mga simpleng transendental na extension: S = D(q).

Nagdadala. Ang elementong x ay nagkasala ng pagiging algebraic sa S, dahil kung h - kung anumang elemento ng S ay hindi kabilang sa field D, kung gayon, gaya ng ipinakita, ang elementong x ay algebraic sa D (h) at mas algebraic sa S. S [z] rich term na may senior coefficient 1 at root x ay maaaring magmukhang

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (isa)

Ang mayamang miyembro ni Z'yasuєmo Budov.

Mga elemento a i є rational functions x. Para sa tulong ng pagpaparami sa pamamagitan ng sleeping banner ng їх, maaari mo itong gamitin sa maraming makatwirang pag-andar at, bukod dito, kumuha ng mayamang termino tulad ng x іz sa halip na 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Ang mga hakbang ng polynomial ay makabuluhan sa mga tuntunin ng m, at sa z - sa mga tuntunin ng n.

Ang mga coefficients a i \u003d b i / b 0 z (1) ay hindi maaaring maging independyente sa x, upang ang x ay lilitaw bilang isang algebraic na elemento sa D; kaya isa sa kanila, sabihin,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

ay talagang nagkasala ng deposition vіd x; Isulat natin ang yoga sa isang maikling hitsura:

Ang mga hakbang ng polynomial na g(x) at h(x) ay hindi lalampas sa m. Polynomial

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(na hindi parehong zero) kung ang ugat z = x, kung gayon ang vin ay mahahati sa f 0 (z) sa singsing na S[z]. Kung gusto mong pumunta mula sa thir rational sa mga tuntunin ng x rich terms tungo sa tsilih sa x rich terms na may zmist 1, dapat mong i-save ang iyong divisibility, at kukunin namin ito

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Ang kaliwang bahagi ng equanimity na ito ay may mga hakbang sa kahabaan ng x, ngunit hindi ito gumagalaw t. Ang Ale sa kanan ay isa nang mayamang miyembro ng f stupіn t; otzhe, ang mga hakbang ng kaliwang bahagi ay eksaktong luma at ang q(x, z) ay hindi nasa x. Gayunpaman, imposibleng magdeposito ng mas mababa sa isang z multiplier upang hatiin ang kaliwang bahagi (div. higit pa); sa q(x, z) na iyon ay isang pare-pareho:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Dahil ang presensya ng pare-parehong q ay hindi gumaganap ng isang papel, ang Budov polynomial f(x, z) ay ganap na inilarawan. Ang mga hakbang ng polynomial f(x, z) sa x ay mas advanced (na may symmetry ng symmetry), at ang mga hakbang sa z ay mas advanced, kaya m = n. m, mamaya, i function q ay dahil sa ina ng mga hakbang m x.

Si Tim mismo, ang mga shards mula sa isang panig ay nakatakdang pantay

(D(x):D(q)) = m,

and for the rest - selos

ang mga shards na iyon upang maghiganti D(q),

Visnovok.

Ang mga robot ay ganito ang hitsura, tingnan ang pagpapalawak ng numeric field P:

Isang simpleng extension ng field algebra.

Pagpapalawak ng bodega ng larangan ng algebra.

Hiwalay at hindi mapaghihiwalay na mga extension.

Walang limitasyong pagpapalawak ng pagtutubig.

Pag-aaral ng trabaho, maaari kang lumikha ng deaky visnovki.

Tiningnan ni Z ang unang dalawang bahagi ng pagpapalawak, tulad ng:

simpleng pagpapalawak ng algebra;

wakasan ang pagpapalawak;

pagpapalawak ng bodega ng algebra.

Susunod, kung nakikita mo ang mga extension na zbіgayutsya і, zokrema, ay iginuhit ng mga simpleng algebraic extension ng field P.

Listahan ng mga sanggunian

1. L.Ya. Kulikiv. Algebra at teorya ng numero. - M.: Vishch. Paaralan, 1979.-528-538s.

2. B.L. Van der Waerden. Algebra.- M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Shmigiryov, S.V. Ignatovich. Teorya ng mayamang termino. - Mosir 2002.

Para sa paghahanda ng gawaing ito, nakolekta namin ang mga materyales mula sa site