Algebraic at transendental na mga numero. transendental na mga numerong transendental na mga numero

ibig sabihin, para sa a = 1 ay nagsilbi sa amin ang layunin ng kabuuan ng geometric progression. Sa pagpapalagay na ang Gauss theorem ay napatunayan, ipinapalagay na ang a = a 1 ay pantay na ugat (17),

Isinasaalang-alang ang virase s f(x) at mga tuntunin sa muling pagpapangkat, isinasaalang-alang namin ang pagkakapareho

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Ngayon ay sinusuri ang formula (20), makikita natin ang multiplier x − a 1 mula sa miyembro ng balat at pagkatapos ay sisihin si Yogo sa pana, bukod pa rito, ang mga paa ng mayamang miyembro, na naiwan sa mga busog, ay naging isa. mas mababa. Ang muling pagpapangkat ng mga bagong miyembro, inaalis namin ang pagkakapareho

f(x) = (x − a1 )g(x),

kung saan ang g(x) ay isang rich term ng step n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Ang pagkalkula ng mga coefficient, na kilala sa pamamagitan ng b, narito tayo upang tawagin.) Kinakailangang idistansya ang parehong pagkalkula mula sa polynomial g (x). Ayon sa Gauss theorem, ang square root a2 ay katumbas ng g(x) = 0, kaya na

g(x) = (x − a2 )h(x),

kung saan ang h(x) ay isang bagong polynomial ng hakbang n − 2. Inuulit ang n − 1 beses

Mula sa pagkakapareho (22) hindi lamang yaong mga kumplikadong numero a1, a2,

Ang isang ay ang kakanyahan ng ugat ng katumbas (17), at ang mga walang iba pang mga ugat ng katumbas (17). Totoo, ang yakbi number na y ay ang ugat ng katumbas na (17), pagkatapos ay s (22) slid bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Ale mi bachili (p. 115) na ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero sa zero sa ganoon at mas mababa sa ganoong paraan, bilang isa sa mga multiplier sa zero. Gayundin, ang isa sa mga multiplier na y−ar ay katumbas ng 0, kaya y = ar, na kinakailangang itakda.

§ 6.

1. Ang layunin ay ang nutritional na dahilan. Anumang numerong x ay tinatawag na algebraic number;

130 MATHEMATICAL NUMBER SYSTEM ch. II

de numbers ai numbers. Kaya, halimbawa, ang numero 2 ay algebraic, sa kung saan ay nalulugod sa katumbas

x2 − 2 = 0.

Sa parehong ranggo ng algebraic na numero, kung mayroong isang ugat, kung ito ay pantay, kasama ang buong koepisyent ng ikatlo, ikaapat, ikalima, maging ito man ay mundo, at independiyente, bilang karagdagan, maaari itong ipahayag o hindi ipahayag ng mga radikal. Ang konsepto ng isang algebraic na numero ay isang natural na pag-unawa sa konsepto ng isang rational na numero, sa paraang nagpapatunay sa okremy fall n = 1.

Hindi lahat ng totoong numero ay algebraic. Tse vipliva z offensive, na may Kantor, theorems: ang impersonality ng lahat ng numero ng algebra ng rachunkiv. Bo bezlich ushikh mga numero ng araw ay hindi nakikilala, pagkatapos ay ang obov'yazkovo ay dahil sa paggamit ng aktwal na mga numero, dahil hindi sila algebraic.

Ituro natin ang isa sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga impersonal na algebraic na numero. Balat na katumbas ng hitsura (1) katumbas ng target na numero

h = | isang | + | isang-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

para sa kapakanan ng estilo, tinatawag namin itong "mataas" na katumbas. Hanggang sa balat ang fixed value n ay ang huling numero na katumbas ng form (1) na may taas na h. Ang balat mula sa gayong mga katumbas ay maaaring higit sa n mga ugat. Para dito, posibleng gamitin lamang ang huling bilang ng mga numero ng algebra, na nabuo ng mga katumbas ng taas h; ama, lahat algebraic na mga numero maaari mong roztashuvati sa paningin ng pagkakasunod-sunod, overshooting ang ulo ng mga ito, bilang sila ay ipinanganak sa pamamagitan ng mga katumbas ng taas 1 pagkatapos - taas 2 at iba pa.

Ang patunay na ito ng pagkakakilanlan ng mga impersonal na algebraic na numero ay nagtatatag ng batayan ng mga tunay na numero, dahil ang mga ito ay hindi algebraic. Ang ganitong mga numero ay tinatawag na transendental (mula sa Latin na transcendere - pumunta sa ibabaw, lumiko); Binigyan siya ni Euler ng ganoong pangalan, na mabaho "para mabaligtad ang higpit ng mga pamamaraan ng algebra."

Ang patunay ni Cantor sa pundasyon ng transendental na mga numero ay hindi nasa harap ng mga nakabubuo. Sa teorya, posibleng mag-udyok ng transendental na numero para sa karagdagang diagonal na pamamaraan, na isinasagawa sa isang tahasang listahan ng sampu-sampung pagpapalawak ng lahat ng bilang ng algebra; Ngunit ang gayong pamamaraan ay naligtas sa anumang praktikal na kahalagahan at hindi hahantong sa isang numero na maaaring isulat sa sampu (o anumang iba pang) drib. Karamihan sa mga problemang nauugnay sa transendental na mga numero ay nauugnay sa pagpapatunay na ang peevn, mga partikular na numero (narito ang mga numerong p at e, tungkol sa div. 319-322) ay transendental.

**2. Ang teorama ni Liouville at ang pagbuo ng mga transendental na numero. Ang patunay ng pundasyon ng transendental na mga numero ay ibinigay bago ang Cantor ni J. Liouville (1809–1862). Ito ay nagpapahintulot sa amin na aktwal na bumuo ng mga halimbawa ng mga naturang numero. Ang patunay ni Lіouvil ay mas mahalaga, mas mababa kaysa sa patunay ng Cantor, at hindi nakakagulat, ang mga shards ay bumuo ng isang puwit, inflamed na tila, nakatiklop, mas mababa upang dalhin ang pundasyon. Nangunguna sa ibaba ang patunay ni Liouville, marahil ito ay mukhang hindi gaanong sinanay na mambabasa, na gustong maunawaan ang patunay na may sapat na kaalaman sa elementarya na matematika.

Tulad ng ipinakita sa Lіouville, ang mga hindi makatwirang algebraic na numero ay may kapangyarihan na hindi sila matantya ng mga makatwirang numero na may napakahusay na antas ng katumpakan, huwag lamang kunin ang mga banner ng mga fraction na kanilang tinatantya, napakahusay.

Ipagpalagay na ang numerong z ay nakakatugon sa equation ng algebra na may integer coefficients

ngunit hindi ka nasisiyahan sa gayong pag-level ng mas mababang hakbang. Todi

tila ang x mismo ay ang bilang ng algebra ng degree n. Kaya, halimbawa,

ang numero z = 2 ay ang numero ng algebra level 2, upang ang level x2 − 2 = 0√ ay nasiyahan sa level 2, ngunit hindi ang level ng unang level ay hindi nasiyahan; ang numero z = 3 2 - hakbang 3, na nasiyahan sa x3 - 2 = 0, ngunit hindi nasiyahan (tulad ng ipinapakita namin sa seksyon III) sa mas mababang hakbang. Algebraic na numero ng hakbang n > 1

hindi maaaring makatwiran, dahil ang rational number z = p q

nakakatugon sa antas qx − p = 0 hakbang 1. Balat hindi makatwiran na numero Ang z ay maaaring, na may ilang antas ng katumpakan, tinatantya ng karagdagang rational na numero; ay hindi nangangahulugan na maaari mong palaging ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod ng mga rational na numero

p1, p2,. . .

q 1 q 2

hindi napapalibutan ng lumalagong mga banner, na si Volodya Tim-

ano, ano

p r → z. qr

Nakakabigla ang theorem ni Liouville: kung walang bilang ng algebra z ng hakbang n > 1, hindi ito maaaring mas malapit sa isang karagdagang rational

upang tapusin ang mahusay na bannermen obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Pinipili naming patunayan ang theorem, at mas maaga ay ipapakita kung paano makukuha ang mga transendental na numero para sa karagdagang tulong. Tingnan natin ang numero

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai ay nangangahulugan ng ilang mga numero mula 1 hanggang 9 (mas madaling ilagay ang lahat ng ai katumbas ng 1), at ang simbolo n! . . n. Ang katangian ng kapangyarihan ng ikasampung pamamahagi ng naturang numero ay ang mga pangkat, na mabilis na lumaki sa likod ng kanilang dozhina, ang mga zero ay iginuhit sa bago na may mga okremi digit, na mukhang zero. Makabuluhang sa pamamagitan ng zm, ang dulo ng ikasampung drib, na kung saan ay naayos, kung ang lahat ng mga miyembro ay kinuha sa layout hanggang sa am · 10−m! kasama. Todi alisin ang kaba

Ipagpalagay na ang z ay ang bilang ng algebra ng hakbang n. Todi, nirerespeto ang kaba ng Lіouville (3) pq = zm = 10pm! , guilty kaming mga nanay

|z - zm | > 10(n+1)m!

sa mataas na halaga ng m. Paghahambing ng natitirang hindi pantay sa kaba (4) oo

sumusunod ang mga bituin (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 para sa mahusay na m. Mali si Alece para sa mga halagang m higit sa n (hayaan ang mambabasa na subukang magbigay ng detalyadong patunay ng pahayag na ito). Kami didshli super-matalim. Gayundin, ang bilang na z ay transendental.

Ito ay nananatiling tapusin ang teorama ni Liouville. Ipagpalagay na ang z ay ang bilang ng algebra ng degree n > 1, na nakakatugon sa equation (1), upang

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Pagharap sa mga nakakainsultong bahagi sa zm − z at coring gamit ang isang algebraic formula

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

tinatanggap namin:

Dahil ang zm ay ang tamang z, pagkatapos ay kapag naabot mo ang dakilang m, ito ay makatuwiran na ang bilang na zm ay dapat isaalang-alang na mas mababa ang z ng isa. Samakatuwid, para sa dosing ng mahusay na m, maaari kang kumita ng isang magaspang na pagtatantya:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

bukod pa rito, upang maging kanang kamay, ang bilang M ay pare-pareho, ang mga shards z ay hindi nagbabago sa panahon ng proseso ng patunay. Ang Vibero ngayon ay mahusay na sa sahig, shob

fraction z m = p m pamantayan q m mas mataas, mas mababang M; din qm

upang ito ay posible ring makita ang multiplier (x − zm ) mula sa polynomial f(x), i, gayundin, z ay nasiyahan sa antas ng mas mababang mas mababang n. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale numeral sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (9) Sa ganoong paraan, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) at (9) vyplyaє nerіvnіst

pa rin warehouse zmіst zaznachenї teorama.

Sa kahabaan ng ilang natitirang dekada, ang posibilidad ng pagtatantya ng mga algebraic na numero ng mga makatwiran ay sumundot sa malayo. Halimbawa, natuklasan ng Norwegian mathematician na si A. Tue (1863–1922) na ang Liouville unevenness (3) ay maaaring magkaroon ng exponent n + 1 na pinapalitan ng mas maliit na exponent n 2 + 1.

Siegel na nagpapakita na maaari kang kumuha ng kahit na mas maliit (mas maliit

na may mas malaking n) indicator 2 n.

Ang mga transendental na numero ay palaging isang paksa, dahil pinalaki nila ang paggalang ng mga mathematician sa kanilang sarili. Ale, hanggang sa kamakailang oras ng kalagitnaan ng araw, tulad ng tsіkavі sa pamamagitan ng makapangyarihang pwersa, hindi gaanong ganoon, ang transendental na kalikasan ng naturang bulo ay na-install. (Dahil sa transcendence ng bilang p, tulad ng nangyayari sa seksyon III, ang imposibilidad ng pag-squaring ng stake sa tulong ng isang pinuno at isang compass.) Sa kanyang talumpati sa Paris International Mathematical Congress 1900 r. Si David Hilbert ay umaawit ng tatlumpung matematika

mga problema na nagpapahintulot sa simpleng pormularyo, deyakі - navіt zovsіm elementarya at mas popular, sa ilang kadahilanan ay hindi lamang hindi vilіshena, ngunit ang navіtі ay hindi ibinigay ng gusali ngunit pinahintulutan ng mga mathematician ng panahon ng tієї. Ang Qi "Mga problema ni Hilbert" ay nagbigay ng malakas na panawagan sa pag-unlad ng matematika sa darating na panahon. Mayzhe lahat ng mga baho ay pinahintulutan nang sunud-sunod, at sa mayayamang vipadka ang kanilang virishennia ay dahil sa malinaw na nahayag na mga tagumpay sa kahulugan ng mas mapangahas at maliliwanag na pamamaraan. Isa sa mga problemang pinangahasan ng walang pag-asa na harapin

patunay na ang bilang

є transendental (chi wanta b irrational). Sa loob ng tatlong dekada, hindi posible na bigyan ng presyon ang gayong pidhіd na magpakain mula sa panig ng ibang tao, na nag-udyok ng pag-asa para sa tagumpay. Sina Zreshtoyu, Zigel at, nang nakapag-iisa, ang batang Ruso na matematiko na si A. Gelfond ay nakatuklas ng mga bagong pamamaraan para patunayan ang transcendence ng kayamanan

mga numero, na maaaring mangahulugan ng kahulugan ng matematika. Zokrema, Bulo inserted

transcendence tulad ng isang Hilbert number 2 2 , at th integer sa isang mahusay na klase ng mga numero ng anyong ab , kung saan ang a ay isang algebraic na numero, isang panuntunan ay 0 at 1, at ang b ay isang hindi makatwiran na algebraic na numero.

DAGDAG KAY RAZDILU II

Algebra ng multiples

1. Mainit na teorya. Ang konsepto ng klase, sukupnostі, chi impersonal na mga bagay - isa sa mga pinaka-pangunahing sa matematika. Ang impersonal ay nangangahulugang isang deaco power ("attribute") A, na kasalanan ng ina, o hindi ng ina ng balat na nagsusuri ng bagay; ang mga bagay na iyon, tulad ng mga ito ay maaaring kapangyarihan A, ay nagtatag ng impersonality ng A. Kaya, hangga't nakikita natin ang mga numero, ang kapangyarihan ng A ay upang "magpatawad", kung gayon ang impersonality ng A ay binubuo ng karaniwang prime mga numero 2, 3, 5, 7 , . . .

Teorya ng matematika ang mga multiple ay lumalabas sa katotohanan na posible na magtatag ng mga bagong multiplier para sa mga karagdagang operasyon (katulad din, mula sa mga numero para sa karagdagang operasyon ng pagtitiklop ng multiplier na iyon, lilitaw ang mga bagong numero). Ang mga pagpapatakbo ng Vyvchennya sa multiplies upang maging paksa ng "multiple algebra", dahil maaari itong maging mayaman na magkakaugnay sa isang mahusay na numerical algebra, na gustong makita kung bakit at sa loob nito. Ang katotohanan na ang mga pamamaraan ng algebra ay maaaring i-staggered sa punto ng pagsasama ng mga bagay na di-numero, tulad ng impersonal, ilu-

isang stream ng mahusay na convergence ng mga ideya ng modernong matematika. Sa natitirang oras, malinaw na ang algebra ng multiplies ay nagbibigay ng bagong liwanag sa mayamang magic ng matematika, halimbawa, ang teorya ng mundo at ang teorya ng mga haka-haka na bagay; Ang vona korisna ay isa ring pіd hour ng systematization maintindihan ang math na z'yasuvannі їх lohikal na zv'yazkіv.

Nadal Ang ibig kong sabihin ay ang deak ng postiynu impersonal na mga bagay, ang likas na katangian ng naturang baiduzh, at bilang maaari nating tawagan itong unibersal na impersonality (o ang uniberso ng mirkuvannya), at

A, B, C, . . . Kung ako ang mayorya ng lahat ng natural na numero, kung gayon ang A, sabihin nating, ay maaaring mangahulugan ng kawalan ng lahat ng ipinares na mga numero, B - ang kawalan ng lahat ng hindi naipares na numero, C - ang kawalan ng lahat ng prime number, at iba pa. sa flat , kung gayon ang A ay maaaring maging isang walang kabuluhang punto sa gitna ng stake na ito, B - isang walang kabuluhang punto sa gitna ng isa pang stake, at iba pa. Meta, na parang sumusunod sa ganoong piraso ng pagpapalawak, na tumutusok sa pag-save ng posisyong iyon, na ang awtoridad ng balat A ay nagpapakita ng maraming elemento mula sa I, na hahantong sa kapangyarihan ng awtoridad. Sa mga oras, bilang A є universally vykonuvan authority, ang puwitan kung saan maaari kang maglingkod (tulad ng makikita mo tungkol sa mga numero) ang awtoridad ay natutugunan ang walang kuwentang equivalence x = x, pagkatapos ay sa kaso ng isang multiplier ako ay magiging ako mismo, ang elemento ng balat maaaring magkaroon ng gayong awtoridad; mula sa kabilang panig, bilang A є bilang isang panloob na napakalakas na kapangyarihan (sa kshtalt x 6 = x), kung gayon hindi posible na ipaghiganti ang mga elemento, ito ay "walang laman" at tinutukoy ng isang simbolo.

Tila ang multiplier A ay ang submultiplier ng multiplier B, sa madaling salita, "A ay pumapasok sa B", o "B avenges A", dahil ang multiplier A ay walang ganoong elemento, na hindi katulad ng multiplier B.

A B o B A.

Halimbawa, ang impersonal A ng lahat ng integer na numero, na nahahati sa 10, ay ang submultiple ng impersonal na B ng lahat ng integer na numero, na nahahati ng 5, kaya ang skin number, na nahahati sa 10, ay nahahati din ng 5. Hindi kasama sa A B ang B A. maє mіsce i te y inshe, then

Tse ay nangangahulugan na ang balat elemento A є sa parehong oras ang elemento B, і pabalik, kaya multiply A at B upang palitan ang parehong mga elemento.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny mayaman sa kung ano ang hulaan spіvіdnoshennia a 6 b mizh numero. Zokrema, obviously traced

pamumulaklak ng kapangyarihan ng spіvvіdnoshennia na ito:

1) A A.

2) Kung AB at BA, kung gayon A = B.

3) Parang A B at B C, tapos A C.

Para sa mga dahilan ng spіvvіdnoshennia AB ay tinatawag minsan "upang mag-order". Golovna Vidmіnniy Analized SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b mina sa mga numero ng Polega sa isa, ang pinsan ng baka ng bilang ng mga numero a і b ay hindi isang reserv analogous assertion ay mali. Halimbawa, ang A ay impersonal, na binubuo ng mga numero 1, 2, 3,

at ang B ay isang multiplier, na idinagdag mula sa mga numero 2, 3, 4,

pagkatapos ay walang oras para sa A B, o B A. Walang mga dahilan upang sabihin na A, B, C, . . . multiplier I є “partially ordered”, kapareho ng mga epektibong numero a, b, c, . . .

magtatag ng isang "ganap na iniutos" na order.

Magalang, bukod sa iba pa, na walang pagkakaiba sa pagitan ng A at B, na, kung walang multiplier ng A, isang multiplier ng I,

Power 4) ay maaaring medyo kabalintunaan, ngunit, kung iisipin mo ito, ito ay lohikal na sumusunod sa eksaktong pagbabago ng itinalagang tanda. Totoo, ang spіvvіdnoshnya A ay nasira lamang

sa sa vipadka na iyon, na parang walang laman, maraming elemento ang nagkamali sa elemento, na hindi naghiganti b A; ngunit kaya, tulad ng isang walang laman na impersonal, huwag maghiganti sa mga elemento, kung gayon hindi ka maaaring maging, kung hindi dahil kay A.

Kami ngayon ay makabuluhang dalawang operasyon sa multiplies, na pormal na nagpapahintulot sa mga mayamang awtoridad ng algebraic na idagdag ang multiplicity ng mga numero, na nagnanais para sa kanilang panloob na zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh arithmetic diy. Hayaang maging dalawang multiplier ang A at B. Sa ilalim ng mga termino, o "lohikal na kabuuan", naiintindihan ng A at B ang impersonal, na binubuo ng mga tahimik na elemento, na matatagpuan sa A o

sa B (kabilang ang mga elementong iyon na makikita sa A at B). Ang multiplier na ito ay tinutukoy ng A + B. 1 Sa ilalim ng "peretina", o "lohikal na paglikha", ang A at B ay nauunawaan nang hindi personal, na binubuo ng mga tahimik na elemento, na makikita sa A at sa B. Ang multiplier na ito ay ipinahiwatig ng AB.2

Kabilang sa mga mahahalagang kapangyarihan ng algebra ng mga operasyong A + B at AB, ang opensiba ay nalulula. Maaaring baligtarin ng mambabasa ang pagiging patas, depende sa layunin ng mga operasyon mismo:

Ang muling pag-verify ng lahat ng batas na ito ay ang pinakasimpleng lohika sa kanan. Halimbawa, ang panuntunan 10) ay nagsasaad na ang mga elemento ay impersonal, na alinman sa A, o A, o ang impersonal na A; panuntunan 12) na nagsasaad na ang mga impersonal na elemento, kung sila ay nasa A at sa parehong oras ay alinman sa B o C, ay mga impersonal na elemento, kung sila ay alinman sa A at B, o sa A at C vykoristovuyutsya sa pagpapatunay ng isang katulad na uri ng mga tuntunin, inilarawan sa kamay, na para bang naiisip natin ang hindi personal na A, B, C, . . . sa paningin ng gayong mga figure sa parisukat, magiging mas magalang tayo sa paggalang na iyon, upang hindi makaligtaan ang mga lohikal na posibilidad, kung mayroong tungkol sa pagkakaroon ng mga pangunahing elemento ng dalawang set, o, sa kabaligtaran, ang presensya ng isang hanay ng mga elemento, kung hindi makikita sa isa pa.

Ang isang mambabasa, walang alinlangan, na nawalan ng paggalang sa mga taong batas 6), 7), 8), 9) at 12) ay tinatawag na pareho sa mga kilalang commutative, associative at distributive na batas ng sonic algebra. Zvіdsi viplivaє, scho tse panuntunan zvichaynoї algebra, yakі z tsikh batas, epektibo sa algebra ng set. Navpaki, mga batas 10), 11) at 13) walang mga analogue ng orihinal na algebra, at binibigyan nila ang algebra ng maraming simpleng istraktura. Halimbawa, ang binomial na formula sa algebra ng multiplies ay maaaring bawasan sa pinakasimpleng pagkakapantay-pantay

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

bilang isang bagay ng batas 11). Batas 14), 15) at 17) upang pag-usapan ang mga iyon na ang kapangyarihan ng mga plural na I sa mga tuntunin ng bilang bago ang operasyon ng pagdaragdag ng numerong iyon ay katulad ng kapangyarihan ng mga numero 0 at 1 sa mga tuntunin ng termino bago ang pagpapatakbo ng mga numerong numero at ang pagdaragdag ng maramihang iyon. Ale law 16) ay walang analogue sa numerical algebra.

Ang isa pang operasyon sa algebra ng mga set ay nananatiling ibibigay. Hayaan ang A na maging submultiplier ng unibersal na multiplier I. Kaya, sa ilalim ng additive A sa I, ang impersonal ng lahat ng elemento ng I ay mauunawaan, kung hindi sa A. Para sa multiplier, ipinakilala namin ang halagang A0. Kaya, kung ako ay impersonal sa lahat ng natural na numero, at A ay impersonal sa lahat ng prime number, ang A0 ay impersonal, na idinaragdag mula sa lahat ng mga numero ng warehouse at ang numero 1. awtoridad:

23) A00 = A.

24) Spivvidnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Muling pagpapatunay ng mga kapangyarihang ito ay muling nadaemo chitachev.

Batas 1)-26) sumasailalim sa algebra ng mga set. Ang baho ng mahimalang kapangyarihan ng "duality" sa nakakasakit na sensasyon:

Tulad ng sa isa sa mga batas 1)–26) palitan ang isa para sa isa

(para sa dermal input), pagkatapos bilang isang resulta, isa sa mga batas na ito ay muling lumitaw. Halimbawa, ang batas 6) ay nagbabago sa batas 7), 12) - sa 13), 17) - sa 16) lamang. usbong. , "Dvіyna" їth theorem, na lumalabas sa una para sa mga karagdagang kahulugan ng permutasyon ng mga simbolo. Totoo, mga piraso ng patunay

Layunin. II ALGEBRA MNOZHIN 139

ang unang teorama ay binubuo ng sunud-sunod na pagwawalang-kilos (sa iba't ibang yugto ng pagkakasundo na isasagawa) ng mga batas 1–26), kung gayon ang pagwawalang-kilos sa mga huling yugto ng "dalawang" batas sa bodega ay ang patunay ng " dobleng” teorama. (Dahil sa drive ng naturang "doubleness" sa geometry ng div. Seksyon IV.)

2. Zastosuvannya mathematical logic. Ang muling pag-verify ng mga batas ng algebra ng multiplies ay batay sa pagsusuri ng lohikal na kahulugan ng spiving A B at mga operasyong A + B, AB at A0. Maaari na nating baligtarin ang prosesong ito at isaalang-alang ang mga batas 1)–26) bilang batayan para sa "algebra of logic". Upang ilagay ito nang mas tumpak: ang bahaging iyon ng lohika, dahil marami, o, sa katunayan, pareho, ang mga kapangyarihan ng mga bagay na tinitingnan, ay maaaring bawasan sa isang pormal na sistemang algebraic batay sa mga batas 1) –26). Ang lohikal na "matalinong omniscience" ay nagpapahiwatig ng impersonal na I; dermal power A ay nangangahulugang impersonal A, na binubuo ng mga tahimik na bagay I, tulad ng ito ay maaaring kapangyarihan. Mga panuntunan para sa pagsasalin ng pinaka-lohikal na terminolohiya sa wika

Sa mga tuntunin ng algebra, mayroong syllogism na "Barbara", na nangangahulugang "para sa bawat A є B at para sa bawat B є C, pagkatapos para sa bawat A є C", mukhang simple ito:

3) Kung AB at BC, pagkatapos ay AC.

Katulad nito, ang "batas ng paglaban", na nagpapatunay na "ang isang bagay ay hindi maaaring sabay na mamuno at hindi maaaring humantong sa gayong kapangyarihan", ay naitala ng manonood:

20) AA 0 = ,

a "ang batas ng kasamang pangatlo", na ang ibig sabihin ay "ang bagay ay dapat sisihin para sa ina, ngunit hindi ang ina para sa diyakono ng kapangyarihan", ay nakasulat:

19) A+A0=I.

Sa ganitong paraan, ang bahaging iyon ng lohika, tulad ng nakikita sa mga tuntunin ng mga simbolo, +, · at 0, ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang pormal na sistema ng algebra, sa ilalim ng mga batas ng 1)–26). Sa batayan ng isang lohikal na pagsusuri ng matematika at pagsusuri sa matematika ng lohika, isang bagong disiplina ang nilikha - lohika ng matematika, tulad ng wala sa kanila ang sumasaway sa proseso ng magulong pag-unlad.

Mula sa axiomatic point of view, dahil sa paggalang sa mahimalang katotohanang iyon, na kinumpirma ng 1)-26), kasama ang iba pang theorems ng algebra ng set, ay lohikal na makikita mula sa darating na tatlong pagkakapantay-pantay:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Ito ay malinaw na ang algebra ng multiplies ay maaaring motivated bilang isang deductive teorya, sa batayan ng Euclidean geometry, sa batayan ng tatlong mga posisyon, na kung saan ay tinatanggap bilang axioms. Bilang axiomatically accepted, ang operasyon AB at ang proposisyon A B ay tinukoy sa mga tuntunin ng A + B at A0 :

Ang isa pang halimbawa ng isang sistemang matematika, kung saan ginagamit ang lahat ng pormal na batas ng algebra ng mga multiplier, ay ibinigay ng isang sistema ng walong numero 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: dito ang ibig sabihin ng a + b ,

ang pinakamataas, pinakamababang maramihang ng a і b, ab - ang pinakamataas na dіlnik a і b, a b - katigasan "b ay nahahati sa a" at a0 - ang bilang na 30 a. su-

Ang batayan ng naturang mga aplikasyon ay naging sanhi ng pagbuo ng mga mapangahas na algebraic system, na nakakatugon sa mga batas 27). Ang ganitong mga sistema ay tinatawag na "Boolean algebras" - bilang parangal kay George Boole (1815-1864), isang English mathematician at logician, na ang aklat na "An investigation of the laws of thought" ay lumabas noong 1854.

3. Isa sa mga hinto bago ang teorya ng kawalang-kilos. Ang algebra ay maaaring maging mas malapit sa teorya ng kawalang-kilos at nagbibigay-daan sa iyong tingnan ito sa isang bagong liwanag. Tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa: gumawa tayo ng sarili nating eksperimento mula sa huling bilang ng posibleng nasledkiv, yakі lahat ay nag-iisip tulad ng "pantay na magagawa". Halimbawa, ang isang eksperimento ay maaaring magsinungaling sa katotohanan na maaari tayong gumuhit ng isang card mula sa isang bagong deck, na mahusay na na-shuffle. Kung ang multiplier ng lahat ng mga resulta ng eksperimento ay makabuluhan sa pamamagitan ng I, at ang A ay nangangahulugan na ito ay isang submultiplier ng I, kung gayon ang posibilidad na ang resulta ng eksperimento ay lumilitaw na nakasalalay sa submultiplier ng A ay ipinapahiwatig bilang isang extension

p(A) = bilang ng mga elemento sa A. bilang ng mga elemento sa I

Kung iisipin natin ang bilang ng mga elemento sa anumang multiplier A bilang n(A), kung gayon ang natitirang pagkakapantay-pantay ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng pagtingin sa

Lumilitaw ang mga ideya ng algebra ng maramihan kapag kinakalkula ang mga posibilidad ng pareho, kung posible, alam ang imovirness ng ilang plural, upang mabilang ang imovirness ng iba. Halimbawa, ang pag-alam sa dynamics ng p(A), p(B) at p(AB), maaari nating kalkulahin ang dynamics ng p(A + B):

Hindi mahalaga kung dalhin ito. Ako maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

mga shards ng mga elemento na maaaring sakupin sa parehong oras sa A at B, pagkatapos ay ang mga elemento ng AB ay isinasaalang-alang kapag binibilang ang kabuuan n(A) + n(B), at, samakatuwid, ito ay kinakailangan upang kunin n(AB ) mula sa kabuuan ng n(A + B) ang titik ng paghahati ay tama. Panatilihin natin ang mga nagkasala sa pamamagitan ng bahagi ng katumbas sa n(I), aalisin natin ang spontaneity (2).

Cіkavіsha formula para lumabas, kaya may mga tatlong multiplier A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Ang batas (12) mula sa nakaraang talata ay nagbibigay sa atin ng (A + B) C = AC + BC. Ang mga tunog ay sumisigaw:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Ang pagpapalit sa nakaraang pagkakasunud-sunod ng halaga ng p[(A + B)C] at ang halaga ng p(A + B), na kinuha mula sa (2), nakarating tayo sa kinakailangang formula:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Tulad ng isang puwit, maaari tayong tumingin sa isang nakakasakit na eksperimento. Tatlong numero 1, 2, 3 ay nakasulat sa anumang pagkakasunud-sunod. Ano ang kahulugan ng katotohanan na ang isa sa mga digit ay tinatanggap na batay sa overhead (sa sensi numbering) space? Hayaang ang A ay isang impersonal na permutasyon, kung saan ang numero 1 ay dapat nagkakahalaga ng unang lugar, B - isang impersonal na permutasyon, kung saan ang numero 2 ay dapat na nagkakahalaga ng isa pang lugar, C - isang impersonal na permutasyon, kung saan ang numero 3 ay dapat na nagkakahalaga ng ikatlong lugar . Kailangan nating kalkulahin ang p(A+B+C). napagtanto ko na

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

epektibo, na parang ang pigura ay nakatayo sa tamang lugar, pagkatapos ay mayroong dalawang posibilidad na muling ayusin ang solusyon ng dalawang numero mula sa pangunahing numero 3 2 1 = 6 posibleng permutations ng tatlong digit. Dali,

Tama. Maglagay ng wastong formula para sa p(A + B + C + D) at maghintay hanggang sa eksperimento, na kinabibilangan ng 4 na digit. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0.6250.

Maaaring magmukhang isang karaniwang formula para sa pagsasama-sama ng n multiplies

mga kumbinasyon upang maghiganti ng isa, dalawa, tatlo,. . . , (n − 1) titik mula sa numerong A1 , A2 , . . .

isang. Ang formula na ito ay maaaring ipasok pagkatapos ng karagdagang mathematical induction - tulad ng formula (3) ay ipinakilala mula sa formula (2).

Mula sa formula (4) posible na magdagdag ng mga wisps, upang mayroong n digit 1, 2, 3, . . . n nakasulat sa anumang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang kakayahang tanggapin ang isa sa mga numero upang sumandal sa isang wastong lugar ay higit pa

bukod pa rito, bago ang natitirang miyembro, mayroong isang palatandaan + o −, na tumatawag para sa mga ipinares at hindi ipinares. Zocrema, para sa n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0.6333. . .

Sa VIII division, gusto naming malaman na kung walang incompatibility, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

pragne sa pagitan ng 1 e, ang kahulugan nito, na may limang palatandaan pagkatapos ng Komi,

isa 0.36788. Mula sa formula (5) malinaw na pn = 1 − Sn, kung gayon ang bituin ay malinaw, na para sa n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0.63212.

Ang salitang "transendental" ay nauugnay sa transendental na pagmumuni-muni at iba't ibang esotericism. Ngunit upang mabuhay nang tama ang yoga, kinakailangan bilang isang minimum na muling buhayin ang yoga mula sa terminong "transendental", at bilang isang maximum - upang hulaan ang papel ng yoga sa mga robot ni Kant at iba pang mga pilosopo.

Tse naiintindihan na kahawig ng Latin transcendens - "to cross", "to cross", "to go beyond". Sa pangkalahatan, ang ibig sabihin ng mga alak ay yaong mahalagang hindi naa-access sa empirical na kaalaman, o batay sa ebidensya. Pag-isipang muli ang terminong viniklische philosophy of neoplatonism - ang nagtatag nang direkta Plotin pagkakaroon ng isang vchennya tungkol sa One - ang lahat-ng-magandang pershopochka, dahil ito ay imposible upang makilala ang mga saloobin sa tulong ng isip, nang walang tulong ng isang sensitibong isip. "Wala ang isa, ngunit ama Yogo" - paliwanag ng pilosopo.

Ang pinakahuling terminong "transendental" ay binuo sa pilosopiya ni Immanuel Kant, de vin vikoristovuvsya upang makilala, malinaw na kailangang-kailangan sa kaalaman at kung paano pakiramdam na ang ating mga katawan ay sensitibo, iniwan sa prinsipyo na hindi nakikilala, tulad ng sa pagsasanay, at sa teorya. Paglaganap ng transcendence - : nangangahulugan ito ng alinman sa invisibility, panloob na link, maging ito bilang ang object ay kasama ng object mismo, o ang pagkilala sa object sa espesyal na sertipiko. Halimbawa, ipagpalagay natin na ang All-World of creations, sa likod ng isang magandang ideya, ay nag-isip ng sarili na transendente para sa atin - maaari lang tayong gumawa ng mga hypotheses tungkol sa isang bagong bagay. At gayon pa man, sa aking pag-iisip, ito ay totoo, at ang mga kahihinatnan para sa atin ay immanent, na nakakaimpluwensya sa mga pisikal na batas at kundisyon, na maaari nating ubusin. Samakatuwid, sa ilang mga teolohiko konsepto, ang Diyos ay transendente at perebuvaet pustura nilikha sa pamamagitan ng kanya butts.

Ang mga aktwal na talumpati ay naa-access pa rin sa isang priori na kaalaman: halimbawa, espasyo at oras, mga ideya ng Diyos, kabutihan at kagandahan, mga lohikal na kategorya. Tobto transendental na mga bagay - tse, na tila makasagisag, "sa likod ng hanay ng linya" sa ating isipan

Ang pahayag tungkol sa transendental na kalikasan sa matematika: ang transendental na numero ay isang numero na hindi maaaring kalkulahin gamit ang karagdagang algebra o algebraically (iyon ay, hindi ito maaaring maging ugat ng isang mayamang termino na may maraming coefficient na hindi katulad ng zero). Bago sila pumasok, halimbawa, ang mga numero π і e.

Pag-unawa, malapit sa "transendental", at kahit na higit pa sa mga kahulugan - "transendental". Sa likod ay nangangahulugan lamang ito ng lugar ng mga abstract na kategorya ng rozum, at sa pagtatapos ng taon, na pinalaki si Kant, na nakainom ng pasta mula sa vlasnu: imposibleng mapukaw ang sistemang pilosopikal sa empirical data lamang, ngunit ito ay imposibleng makilala ang mga luma ng ibang tao, ang krimen ng empirics, nang hindi nalalaman ang alak. Upang makabalik, nagkaroon ng pagkakataon ang mga pilosopo na aminin na ang ilang mga talumpati ay naa-access pa rin sa isang priori na kaalaman: halimbawa, espasyo at oras, mga ideya ng Diyos, kabutihan at kagandahan, mga lohikal na kategorya. Ang mga transendental na bagay na iyon - tse, na tila makasagisag, "bago itakda sa likod ng mga utak" sa ating isipan - kung kanino ang impormasyon tungkol sa mga ito ay maliwanag at hindi nakukuha mula sa ating kaalaman.

May isa pang kontrobersyal na pag-unawa - transcendence. Sa malawak na kahulugan, ang salitang "vono" ay nangangahulugang ang paglipat sa cordon sa pagitan ng dalawang magkaibang rehiyon, lalo na ang paglipat mula sa globo ng mundong ito patungo sa globo ng hinaharap, ang transendente. Para sa pagiging simple, kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa science fiction: isang parallel na mundo para sa dakilang tao- transendental na pagpapakita. Ngunit kung ang bayani ay uminom sa kanyang parallel na liwanag, tila ang ranggo ay ipinahayag ng gusali yoga spriymati, tse transcendence. Ngunit isang natitiklop na halimbawa ng isang eksistensyal na pilosopiya: Jean-Paul Sartre, na natanto na ang isang tao ay transendente, ang mga shards ay hindi lalampas sa mga limitasyon ng anumang uri ng posibleng basang katotohanan: maaari nating navkolishniy svit mula sa iba't ibang panig, ngunit sa anumang kaso ay hindi tayo makakalapit sa ganap na pagkilala sa ating sarili. Ale, sabay-sabay, ang isang tao ay maaaring bumuo ng higit sa transcendence: siya ay lumalampas kung ito ay isang ilog, na nagbibigay ng kahulugan. Ang transcendence ay isang mahalagang elemento sa relihiyon: tinutulungan nito ang mga tao na lumago sa kanilang materyal na kalikasan at maabot ang isang bagay na banyaga.

Mula sa pilosopiya, ang konsepto ng transcendentality ay lumipat sa sikolohiya: ang Swiss psychologist na si Carl Jung ay bumuo ng konsepto ng "transendental function" - ang parehong function na sumasabay sa hindi maintindihan na iyon. Zocrema, ang transendental na function ay maaaring pagtagumpayan ng isang psychoanalyst - tulungan ang pasyente na pag-aralan ang mga larawan ng hindi nakikita (halimbawa, pangangarap) at ipakita ang mga ito nang sabay-sabay mula sa kanilang sariling mga proseso ng saykiko.

Yak talk

Mali "Nag-sign up ako para sa isang klase sa transendental meditation." Tama iyon - "transendental".

Tama, "Kapag pumunta ako sa templo, pinapanood ko ang isang bagay na transcendent."

Tama, "Ang sining ng transendence ay nakakaalam sa atin ng mga bagay mula sa materyal na mundo, na nagpapaalala sa kanila na may pinakamalaking liwanag."

Illya Shchurov

Mathematician na si Illya Shchurov tungkol sa sampu-sampung fraction, transcendence at irrationality ng numerong Pi.

Paano nakatulong ang "kalungkutan" upang magbigay ng inspirasyon sa unang lugar at sa dakilang imperyo? Paano mo pinasabog ang isipan ng mga tao? Ano ang papel na ginampanan niya sa hitsura ng mga pennies? Yak "isa" nagkakaisa sa zero, upang mamuno modernong mundo? Ang kasaysayan ng pagiging walang asawa ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa kasaysayan ng sibilisasyong European. Si Terry Jones ay virushaya sa isang nakakatawang paraan na mas mahal sa paraan ng pagsasama-sama ng kamangha-manghang kasaysayan ng aming pinakasimpleng numero. Para sa tulong ng mga computer graphics sa program na ito, ang isa ay nabubuhay sa iba't ibang anyo. Mula sa kasaysayan ng kalungkutan, ito ay naging malinaw, ang mga bituin ay lumitaw ngayon, at tulad ng mga faults ng zero, vryatuvav sa liwanag ng pangangailangan upang manalo ng Roman numeral.

Jacques Cesiano

Kaunti lang ang alam natin tungkol kay Diophantus. Buweno, buhay si Vin sa Oleksandriya's. Wala sa mga Greek mathematician ang nakaisip nito hanggang sa ika-4 na siglo, para doon, si ymovirno, ay buhay sa kalagitnaan ng ika-3 siglo. Ang ulo ng robot ni Diophantus, "Arithmetic" (Ἀριθμητικά), ay kinuha sa cob ng 13 "libro" (βιβλία), upang hatiin. Sa ngayon ay maaaring mayroon tayong 10 sa kanila, at sa sarili nito: 6 sa tekstong Griyego at 4 na iba pa sa gitnang pagsasalin ng Arabe, ang ilan sa gitna ng mga aklat na Griyego: mga aklat I-III sa Griyego, IV-VII sa Arabic, VIII -X sa Griyego . Ang "Arithmetic" ng Diophantus ay nauuna sa iskedyul, malapit lamang sa 260. Mga teorya, tila totoo, wala; Wala nang mga pangkalahatang tagubilin sa simula ng aklat, at higit na pribadong paggalang sa ibang mga direktor, kung kinakailangan. Ang "Arithmetic" ay mukhang isang algebraic treatise. Diophantus sa pumalo iba't ibang palatandaan, schob vyslovlyuvati nevidome na yogo hakbang, din deakі calculus; tulad ng lahat ng algebraic na simbolo ng gitna, ang simbolismo nito ay kahawig ng mga salitang matematika. Pagkatapos, ipinaliwanag ni Diophantus kung paano lutasin ang problema gamit ang paraan ng algebra. Ngunit ang gawain ng Diophantus ay hindi algebraic sa pangunahing kahulugan, upang ang lahat ay maaaring mabawasan sa taas ng isang hindi natukoy na katumbas, o mga sistema ng gayong mga katumbas.

George Shabat

Programa ng kurso: Kasaysayan. Mga unang rating. Ang problema sa pagkakapare-pareho ng isang stake na may diameter na її. Neskіchennі row, likhain ang inshі vrazi na iyon para sa π. Zbіzhnist at її yakіst. Virazi, ano ang paghihiganti π. Mga sequence na mabilis na nagsasama-sama hanggang sa π. Mga modernong pamamaraan pagkalkula ng π, bilang ng mga computer. Tungkol sa irrationality at transcendence ng π at iba pang mga numero. Ang pasulong na kaalaman ay hindi kailangan para sa kurso.

Sinabi ng mga opisyal mula sa Unibersidad ng Oxford na ang mga maagang pagpapakilala ng numerong 0 upang ipahiwatig ang bilang ng mga sunud-sunod na araw (tulad ng sa numerong 101) ay dapat isaalang-alang ang teksto ng Indian na manuskrito ng Bakhshali.

Vasil Pispanen

Sino ang hindi nakaukit ng mga bata sa pangkat na "pangalanan ang pinakamalaking bilang"? Ang Milyoni, trillioni at iba pang "-sila" ay makikita sa mga kaisipang maayos na, ngunit susubukan naming lutasin ang "mastodon" sa matematika - ang numero ni Graham.

Viktor Kleptsin

Ang tamang numero ay maaaring matantiya nang eksakto ng mga makatwiran. At kung gagawin natin ito, maaari ba tayong maging malapit sa isa't isa - nakahanay ba ito sa yoga folding? Halimbawa, breaking ikasampung entry mga numero x sa k-ika na digit pagkatapos nito, inaalis namin ang proximity x≈a/10^k na may pardon ng order na 1/10^k. I vzagali, na naayos na ang banner q sa fraction na papalapit, tiyak na makukuha natin ang approach na may pagpapatawad sa order na 1/q. At ano ang maaari mong gawin nang mas mahusay? Alam ng lahat, ang proximity π≈22/7 ay nagbibigay ng pardon sa pagkakasunud-sunod ng 1/1000 - iyon ay malinaw na mas mahusay, mas mababa ang maaaring itama. Bakit? Naligtas kami, bakit ang lapit ng π sa є? Lumilitaw na para sa anumang hindi makatwirang numero є impersonal na mga praksyon p / q, na mas malapit dito, mas mababa ang 1 / q ^ 2. Tseverzhuє Dirichlet's theorem - at mi pochnemo course іz її troha non-standard proof.

Noong 1980, inulit ng Guinness Book of Records ang mga pahayag ni Gardner, na lalong nagpapataas ng interes ng publiko hanggang sa bilang na iyon. Ang numero ni Graham sa pangalan ng bilang ng beses na higit pa, mas mababa kung hindi man ay mabuti sa bahay mahusay na mga numero, kaya, tulad ng googol, googolplex at navit pa, babaan ang numero ng Skewes at numero ng Moser. Sa totoo lang, napakaliit ng buong mundo para kunin ng isang tao ang sarili niyang ikasampung tala ng numero ni Graham.

Dmitro Anosov

Binasa ng mga lektura si Anosov Dmitro Viktorovich, Doktor ng Physical and Mathematical Sciences, Propesor, Academician ng Russian Academy of Sciences. Summer School "Modern Mathematics", Dubna. Abril 16-18, 2002

Hindi posibleng tumugon nang tama sa food chain, shards serye ng numero huwag maє itaas na hangganan. Kaya, hanggang sa isang tiyak na numero, sapat na upang magdagdag ng isa pa, upang makuha ang numero nang higit pa. Kahit na ang mga numero mismo ay hindi limitado, ang kanilang mga pangalan ay hindi masyadong mayaman at mayaman, kaya karamihan sa kanila ay nasiyahan sa mga pangalan na idinagdag mula sa mas maliit na mga numero. Napagtanto ko na sa huling hanay ng mga numero, na naipon ng mga tao para sa kanilang makapangyarihang mga pangalan, sila ang pinakamarami. Ngunit paano ito tinawag at bakit ito pantay? Halika, subukan nating malaman ito sa ilang paraan at kilalanin ang impeksyon, ang mga mathematician ay nakabuo ng ilang mahusay na numero.

Tinatawag ang numero algebraic yakscho ito ang ugat ng isang deaky rich term na may maraming coefficients

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(i.e. ang ugat ng katumbas a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de isang n, isang n-1, ..., a 1, a 0--- numero, n 1, a 0).

Ang isang impersonal na algebraic na numero ay makabuluhang isang titik .

Madaling makita kung ang isang rational na numero ay algebraic. Totoo, - ang ugat ng ilog qx-p=0 na may maraming mga coefficient a 1 =qі isang 0 =-p. Otzhe, .

Gayunpaman, hindi lahat ng algebraic na numero ay makatwiran: halimbawa, ang numero ay ang ugat ng pagkakapantay-pantay x 2 -2 = 0, otzhe, --- algebraic numero.

Ang lumang oras ay hindi ginalaw, mahalaga para sa nutrisyon sa matematika: ? Mas mababa sa 1844, ang kapalaran ng Lіouville ay unang nakakuha ng isang halimbawa ng isang transendental (tobto. non-algebraic) na numero.

Sa unang araw ng buwan, ang patunay ng transcendence nito ay mas natitiklop. Posibleng dalhin ang theorem sa batayan ng mga transendental na numero sa isang makabuluhang mas simpleng paraan, sa pamamagitan ng pagturo ng pagkakapareho at hindi pagkakapantay-pantay ng mga numerical multiplies.

At mismo, maaari nating dalhin, na ang mga impersonal na algebraic na numero ay Rakhunkov. Gayunpaman, ang mga shards ng lahat ng mga tunay na numero ay hindi pantay, maaari naming itakda ang base ng mga hindi algebraic na numero.

Tayo'y magkahiwalay na magkakilala sa pagitan at may isang dosena . Makahulugan si Tse, sho - Ito ay mabuti chi rakhunkovo. Ale oskilki , pagkatapos neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Halika - deyake number ng algebra. Tingnan natin ang lahat ng mga rich terms na may bilang ng mga coefficient, ang ugat nito ay є, at piliin ang gitna ng rich terms. P ang pinakamababang hakbang (upang hindi ito maging ugat ng parehong mayamang termino kasama ang buong coefficient ng mas mababang hakbang).

Halimbawa, para sa isang rational na numero, ang naturang polynomial ay maaaring magkaroon ng hakbang 1, at mga numero - hakbang 2.

Hatiin natin ang lahat ng coefficient ng isang mayamang miyembro P sa kanilang pinakamalaking natutulog. Inalis namin ang polynomial, ang koepisyent na kung saan ay kapwa simple nang sabay-sabay (ang kanilang pinakamalaking natutulog ay 1). Zreshtoyu, bilang isang senior coeficient isang n vіd'єmniy, pinaparami namin ang lahat ng coefficient ng polynomial sa pamamagitan ng -1 .

Ang pagbabawas ng rich term (iyon ay, ang rich term na may malalaking coefficient, ang ugat nito ay ang numero, na maaaring pinakamaliit na posibleng hakbang, mutually simple coefficient at positive senior coefficient) ay tinatawag na minimum rich term ng numero.

Mapapatunayan na ang naturang polynomial ay natatanging itinalaga: ang skin number ng isang algebra ay maaaring eksaktong isang minimal polynomial.

Ang bilang ng mga tunay na ugat ng isang polynomial ay hindi mas malaki kaysa sa mas mababang hakbang. Gayundin, maaari mong bilangin (halimbawa, para sa paglago) ang mga ugat ng gayong mayamang termino.

Ngayon, maging ang bilang ng algebra, ito ay makikilala sa pamamagitan ng kaunting rich term nito (iyon ay, sa hanay ng mga coefficient nito) at ang bilang, na iba sa iba pang mga ugat ng polynomial: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Sa ibang pagkakataon, para sa skin algebraic na numero, itinakda namin ang pagkakaiba ng panghuling hanay ng mga buong numero, bukod pa rito, ito ay katangi-tangi na sinusundan ng hanay na ito (kaya iba't ibang mga hanay ang ibinibigay sa iba't ibang mga numero).

Ang lahat ng mga prime number ay binibilang sa pagkakasunud-sunod ng paglago (hindi mahalaga na ipakita na sila ay masyadong mayaman). Inalis namin ang hindi mapapatawad na pagkakasunud-sunod (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Ngayon ay isang set ng mga integer (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) maaari mong ilagay ang iyong vіdpovidnіst tvіr

(Ang numerong ito ay mas positibo at makatuwiran, ngunit huwag maging natural, kahit na ang gitna ng mga numero a 0, a 1, ..., isang n-1, maaaring negatibo). Magalang, na ang bilang ay hindi panandalian, ang mga shards ay simpleng multiplier, upang ipasok bago ang pagtula ng numero ng libro at banner, pagkakaiba. Ito rin ay nagkakahalaga ng paggalang na ang dalawang di-maiikling praksiyon na may positibong mga numeral at mga saknong ay magkapantay, kahit na ang mga ito ay pantay-pantay, ang mga їх ay magkaparehong mga saknong.

Ngayon tingnan natin ito ng isang butil ng asin:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Ang iba't ibang numero ng algebra sa Oskіlki ay nagtakda ng iba't ibang set ng mga integer na numero, at iba't ibang set --- iba mga rational na numero, pagkatapos kami, sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay nagtatag ng magkaparehong hindi malabo na bisa sa pagitan ng isang multiplicity at may isang dosena . Samakatuwid, ang mga impersonal na algebraic na numero ay makabuluhan.

Ang mga shards ng impersonal na tunay na mga numero ay hindi nakikilala, dinala namin ang batayan ng mga hindi algebraic na numero.

Gayunpaman, ang theorem sa pangangatwiran ay hindi nagpapakita kung paano matukoy kung ano buong bilang algebraic. At kung minsan ang nutrisyon ay mahalaga para sa matematika.

transendente na numero

isang numero (dіysne abo yavne), na hindi nasisiyahan sa anumang equalization ng algebra (Div. Algebraic equalization) na may maraming coefficient. Sa ranggo na ito, ang T. h. ay itinalaga sa mga algebraic na numero. Іsnuvannya T. H. unang itinatag ang J. Liouville (1844). Ang tamang punto para sa Liouville ay ang ika-teorama, na nagsasaad na ang anumang pagkakasunud-sunod ng pagtatantya ng isang rational fraction na may ibinigay na pamantayan sa ika irrational na algebraic na numero ay hindi maaaring sapat na mataas. Ang pinaka-algebraic na numero a natutugunan ang hindi nabawasang katumbas ng algebra n na may maraming coefficient, pagkatapos ay para sa anumang rational na numero na magdeposito lamang α ). Samakatuwid, para sa isang hindi makatwirang bilang na α, posibleng magpakita ng mga impersonal na rational approximations na hindi nakakatugon sa induction ng unevenness para sa anumang hі n(ilang at tahimik para sa lahat ng malapit), pagkatapos α є T. h. Ang butt ng naturang numero ay oo:

R. Kantor (1874), na binanggit na ang impersonality ng lahat ng algebraic na numero ay nakikilala (upang ang lahat ng algebraic na numero ay maaring mabilang muli; div. Multiplicity theory), kung gayon ang impersonality ng lahat ng tunay na numero ay hindi nababago. Parang ang impersonal na T. h.

Ang pinakamahalagang gawain ng teorya ng T.h. ay ang layunin ng pagpapaliwanag ng halaga ng mga analytical function, na maaaring mayroong iba pang mga arithmetic arithmetic na kapangyarihan na may mga algebraic na halaga ng argumento. Ang gawain kung saan ang pamilya ay namamalagi bago ang pinakamahalagang gawain ng modernong matematika. U 1873 Sh.

Noong 1882, nakakuha ng mas makabuluhang resulta ang German mathematician na si F. Lindemann: dahil ang α ay ang bilang ng algebra, kung gayon e Ang resulta ng α - T. h. Lipdeman ay makabuluhang pinalubha ng German mathematician na si K. Siegel (1930), na pinatunayan, halimbawa, ang transcendence ng halaga ng isang malawak na klase ng cylindrical function na may mga halaga ng argumento ng algebra. Noong 1900, sa Mathematical Congress sa Paris, D. Hilbert, kabilang sa 23 hindi malalabag na problema ng matematika, na itinuturo ang nakakasakit: chi є transendental number α β , de α і β - mga algebraic na numero, bukod dito β - numerong hindi makatwiran, i, zokrema, chi є transendental na numero e π α β bula muna sa pribadong anyo ay inilagay ni L. Euler, 1744). Ang panlabas na bersyon ng problema (sa isang solidong kahulugan) ay higit pa o hindi gaanong isinasaalang-alang noong 1934 ni A. O. Gelfond. Mula sa pahayag ni Gelfond, zokrema, malinaw na ang lahat ng sampu ng logarithms ng mga natural na numero (iyon ay, "tabular logarithms") ay T. h. Mga Paraan ng teorya T. h.

Lit.: Gelfond A. O., Transcendental at algebraic na mga numero, M., 1952.

Great Radianska Encyclopedia. - M: Radianska Encyclopedia. 1969-1978 .

Mamangha sa ganitong "Transcendent number" sa iba pang mga diksyunaryo:

Isang numero na hindi nasisiyahan sa anumang katumbas ng algebra sa anumang bilang ng mga coefficient. Transendental na numero є: numero? 3.14159...; ang ikasampung logarithm ng anumang buong numero, na hindi kinakatawan ng isa na may mga zero; numero e = 2.71828 ... ta sa ... Malaki Diksyonaryo ng ensiklopediko

- (Latin transcendere go over, turn over) tse recheve abo kumplikadong numero, na hindi algebraic sa madaling salita, isang numero na hindi maaaring maging ugat ng isang mayamang termino na may maraming coefficient. Zmist 1 Power 2 ... ... Wikipedia

Isang numero na hindi nasisiyahan sa anumang katumbas ng algebra sa anumang bilang ng mga coefficient. Transendental na numero є numero π = 3.14159...; ang ikasampung logarithm ng anumang buong numero, na hindi kinakatawan ng isa na may mga zero; numero e = 2.71828... ta in. Diksyonaryo ng ensiklopediko

Isang numero na hindi nakakatugon sa parehong algebra. ur nіu na may qіlimi coefficients. T. taon. є: numero ПІ = 3.14159...; ang ikasampung logarithm ng anumang buong numero, na hindi kinakatawan ng isa na may mga zero; numero e = 2.71828... ta in. Likas na agham. Diksyonaryo ng ensiklopediko

Ang numero, na hindi ugat ng parehong mayamang termino na may parehong coefficient. Ang saklaw ng naturang mga numero ay ang zero ng tunay, kumplikado at radial na mga numero. Іnuvannya na malinaw na nag-udyok sa pagkilos ni T. h. obguruntuvav J. Liouville ... Mathematical Encyclopedia

Pantay, parang hindi є algebraic. Tawagan ang presyo na katumbas, na maaaring ipakita, logarithmic, trigonometriko, nababaligtad na trigonometriko function, halimbawa: Suvorishe ng pagtatalaga tulad ng: Transendental na katumbas na halaga ... Wikipedia

Ang bilang, humigit-kumulang 2.718, ay kadalasang ginagamit sa matematika at natural na agham. Halimbawa, kapag ang radioactive na pagsasalita ay nasira pagkatapos ng pagtatapos ng oras t, sa pagtatapos ng panahon ng pagsasalita, isang bahagi ang nawala na mas mahal e kt, de k number, ... Collier Encyclopedia

Ang E ay isang mathematical constant, ang batayan ng natural na logarithm, isang hindi makatwiran at transendental na numero. Sa madaling salita, ang numerong e ay tinatawag na Euler number (huwag malito sa tinatawag na Euler number ng unang uri) o ang Napier number. Ito ay ipinapahiwatig ng maliit na letrang Latin na "e".

Ang E ay isang mathematical constant, ang batayan ng natural na logarithm, isang hindi makatwiran at transendental na numero. Sa madaling salita, ang numerong e ay tinatawag na Euler number (huwag malito sa tinatawag na Euler number ng unang uri) o ang Napier number. Ito ay ipinapahiwatig ng maliit na letrang Latin na "e".