Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng lossy integral ay katulad ng pangkalahatang operasyon ng tumatakbong integral. Para sa її paglalarawan, ipinakilala namin ang pag-unawa sa tamang walang kuwentang bahagi:

Paghirang 9.1. Ang trivial na rehiyon V, na napapalibutan ng saradong ibabaw S, ay tinatawag na regular, dahil:

1. maging tuwid, parallel sa axis Oz na iginuhit sa panloob na punto ng rehiyon, tumatawid sa S sa dalawang punto;
2. ang buong rehiyon V ay inaasahang papunta sa Oxy plane sa isang regular na dalawang-mundo na rehiyon D;
3. kung ang isang bahagi ng lugar V, na nakikita sa loob nito ng isang eroplano, kahanay sa kung ito ay mula sa mga coordinate na eroplano, ay maaaring may kapangyarihan 1) at 2).

Tingnan natin ang tamang lugar V, lagyan ko ng hangganan ang ibaba at ang itaas na may mga ibabaw na z=χ(x,y) at z=ψ(x,y) at i-project papunta sa Oxu y plane, ang tamang lugar D, ang gitna kung saan ang x ay magbabago sa mga hangganan mula a hanggang b, ay mapapaligiran ng mga kurba y=φ1(x) at y=φ2(x) (Fig. 1). Hayaang ang f(x, y, z) ay isang tuluy-tuloy na function sa domain na V.

Paghirang 9.2. Ito ay tinatawag na tatlong-tiklop na integral ng function na f(x, y, z) sa rehiyon V sa anyo:

Trirazovy іntegra maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх nang walang kumpirmasyon, ang mga shards ng baho ay dinadala katulad ng pagbagsak ng yard-wise integral.

Pagkalkula ng lossy integral.

Teorama 9.1. Ang triple integral ng function na f(x,y,z) ng regular na domain na V ay kapareho ng triple integral sa parehong domain:

. (9.3)

Nagdadala.

Rozіb'ёmo area V eroplano, parallel sa coordinate eroplano, sa n regular na lugar. Todі z power 1 sumisigaw

saan ang tatlong beses na integral ng function na f(x,y,z) sa domain .

Vikoristovuyuchi formula (9.2), ang forward parity ay maaaring muling isulat sa isang sulyap:

Ang pag-unawa sa pagpapatuloy ng function na f (x, y, z) ay malinaw, na siyang hangganan ng integral sum, na nakatayo sa kanang bahagi ng equation ng pagkakapantay-pantay, at katumbas ng ikatlong integral. Pagkatapos, dumaan sa hangganan kung kailan, kukunin natin ang:

kung ano ang kailangang dalhin.

Paggalang.

Sa katulad na paraan sa pagbagsak ng undercurrent integral, maaaring dalhin ng isa na ang pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng pagsasama ay hindi nagbabago sa halaga ng tatlong-beses na integral.

puwit. Ang pagkalkula ng integral de V ay isang triangular na pyramid na may mga vertices sa mga punto (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) at (0, 0, 1). Її projection papunta sa Oxy plane є tricutnik na may vertices (0, 0), (1, 0) at (0, 1). Mula sa ibaba, ang lugar ay napapaligiran ng lugar na z = 0, at mula sa itaas – ng lugar na x + y + z = 1. Lumipat tayo sa triple integral:

Ang mga multiplier, na hindi namamalagi sa nababagong pagsasama, ay maaaring sisihin sa tanda ng double integral:

Curvilinear coordinate system sa maliit na espasyo.

1. Cylindrical coordinate system.

Cylindrical coordinates ng point Р(ρ,φ,z) - cepolar coordinates ρ, φ ng projection ng point sa Ohu plane at ang applicator ng ibinigay na point z (Fig. 2).

Ang mga formula para sa paglipat mula sa mga cylindrical na coordinate patungo sa mga coordinate ng Cartesian ay maaaring itakda bilang mga sumusunod:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Spherical coordinate system.

Para sa mga spherical coordinates, ang posisyon ng punto sa espasyo ay ipinahiwatig ng linear coordinate ρ - ang distansya mula sa punto hanggang sa cob ng Cartesian coordinate system (o ang mga pole ng spherical system), φ - ang polar edge sa pagitan ng positibo pіvvіssyu Ox at ang projection ng point papunta sa Oxy plane, at θ - ang kutom sa pagitan ng positive Oz at double OP (Fig. 3). kanino

Ibinigay ang pormula para sa paglipat mula sa spherical coordinate sa Cartesian:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobian at yogo geometrical zmist.

Tingnan natin ang ligaw na takbo ng pagpapalit ng mga pagbabago sa integral ng subway. Ang Nehai sa Ohu flat area D ay ibinibigay, na napapalibutan ng linyang L. Ipagpalagay na ang х і у є ay isang halaga at patuloy na pinag-iiba ang mga function ng bagong pagbabago ng u at v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Tingnan natin ang rectangular coordinate system Ouv, ang puntong P(u, v) na tumuturo sa P(x, y) mula sa rehiyon D. Ang lahat ng naturang mga punto ay bumubuo sa rehiyon D malapit sa eroplanong Ouv, Napapaligiran ako ng isang linya L?. Masasabing ang mga formula (9.6) ay nagtatatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga punto ng mga rehiyon D at D. Para sa aling mga linya u = const na

v = const sa Ouv plane ay magiging katulad ng mga linya sa Ohu plane.

Makikita natin sa Ouv plane ang isang hugis-parihaba na maidan ΔS, na may hangganan ng mga tuwid na linya u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé curvilinear maidanchik ΔS malapit sa Ohu flat (Fig. 4). Ang mga lugar ng pagsusuri ng Maidanchiks ay ilalarawan bilang ΔS at ΔS. Para sa ciomu ΔS = Δu Δv. Alam namin ang lugar na ΔS. Kapansin-pansin, ang mga vertices ng curvilinear chotyrikutnik P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Pinapalitan ang maliit na zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi differentials. Todi

Kung saan maaaring kunin ang chotirikutnik P1 P2 P3 P4 bilang parallelogram at ang lugar ay maaaring italaga sa formula para sa analytical geometry:

(9.7)

Paghirang 9.3. Ang variant ay tinatawag na functional variant o ang Jacobian ng mga function na φ(x, y) at ψ(x, y).

Ang pagpasa sa hangganan na may pagkakapantay-pantay (9.7), inaalis namin ang geometric na Jacobian shift:

kaya ang Jacobian module ay ang hangganan sa pagitan ng lugar ng walang katapusang maliit na mga parisukat S at S.

Paggalang. Sa pamamagitan ng isang katulad na ranggo, maaaring italaga ng isa ang pag-unawa sa Jacobian at ang geometrical na kahulugan nito para sa n-world space: na x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), pagkatapos

(9.8)

Sa pamamagitan nito, ang Jacobian modulus ay nagbibigay ng hangganan sa pagitan ng "obsyagiv" na maliliit na lugar ng espasyo x1, x2, ..., xn at u1, u2, ..., un.

Pagpapalit ng Mga Pagbabago sa Maramihang Integral.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Hayaang maibigay ang tuluy-tuloy na function z = f(x,y) sa lugar D, ang parehong halaga ng function z = F(u, v) sa lugar D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Tingnan natin ang integral sum

Ang deintegral na kabuuan sa kanan ay kinukuha sa rehiyon D. Pagpasa sa hangganan kapag inalis namin ang formula para sa pagbabago ng mga coordinate sa sweeping integral.

Subukan ang mga integral. Pagkalkula ng dami ng katawan.
Trial integral sa cylindrical coordinates

Tatlong araw sa opisina ng dean ang langit ay nakahiga, sa pantalon ng mga damit na Pіthagoras,
Sa mga kamay ng Fikhtengolts, mayroong isang dami ng trimavs, na ang yogi ng puting liwanag ay buhay,
Upang hindi nila itinali ang ikatlong integral, at binalot ang bangkay sa matris,
At ang kinatawan ng panalangin ay parang isang nahabnik pagkatapos basahin ang teorama ni Bernoulli.

Ang mga nawawalang pagsasama ay ang mga hindi mo na matatakot pa =) Dahil kung babasahin mo ang buong teksto, mas mabuti para sa lahat ng mali mo teorya at praktika ng "superior" integral, pati na rin ang dependent integrals. At doon, de podvіyny, malapit at nawala:

Sa katunayan, ano ang dapat katakutan? Ang integral ay mas maliit, ang integral ay mas malaki.

Tingnan natin ang rekord:

- ang icon ng trinity integral;
- Pidіntegralna triple pagbabago function;
- Mga pagkakaiba sa Dobutok.
- Lugar ng pagsasama.

Lalo na kapansin-pansin para sa pagsasama ng gallery. Pumasok si Yakscho may salungguhit na integral nanalo patag na pigura, tapos eto - kalawakan ng katawan , yaka, alam mo sa taas. Sa ranggo na ito, ang krimen ng viscerally guessed na ikaw ay nagkasala ng pag-orient sa iyong sarili pangunahing ibabaw at tandaan na manalo ng pinakasimpleng trivimir armchair.

Ang mga deyakians ay napahiya, matalino…. Sa kasamaang palad, ang artikulo ay hindi matatawag na "mga kapaki-pakinabang na integral para sa mga dummies", at kinakailangang malaman / matandaan ang isang bagay. Ale, walang kakila-kilabot - lahat ng materyal ng mga publikasyon sa pinaka-naa-access na anyo ay magiging mastered sa pinakamaikling termino!

Ano ang ibig sabihin ng kalkulahin ang nawalang integral, at ano ang kinuha nito?

Kalkulahin ang nawalang integral - ibig sabihin ng tse alam KILO:

Sa pinakasimpleng paraan, kung, ang ikatlong integral ay ayon sa bilang na mas advanced na may kaugnayan sa katawan. І deisno, vіdpovіdno to pagsasama, tvir isa walang katapusang maliit ang dami ng elementarya na "ceglinka" ng katawan. At ang ikatlong integral ay nagkakaisa lahat ng qi walang katapusang maliliit na particle ayon sa rehiyon, pagkatapos ay lumabas ang integral (kabuuang) halaga ng dami ng katawan: .

Bilang karagdagan, ang ikatlong integral ay mahalaga mga pisikal na programa. Ale tungkol sa tse pіznіshe - sa ika-2 bahagi ng aralin, dedikasyon pagkalkula ng mga karagdagang pagkalugi ng mga integral, kung saan ang pag-andar ng variable ay pare-pareho bilang pare-pareho at walang tigil sa globo. Sa artikulong ito, makikita natin nang detalyado ang kahulugan ng obligasyon, dahil ang aking subjective na pagtatasa ay sinusunod nang 6-7 beses na mas madalas.

Paano malutas ang nawalang integral?

Ang Vіdpovіd ay lohikal na viplivaє mula sa nakaraang punto. Ito ay kinakailangan upang humirang order ng bypass ng katawan pupunta ako sa inuulit namin ang mga integral. Pagkatapos nito, sunud-sunod na lutasin gamit ang tatlong solong integral.

Yak bachite, lalong nagaduє ang buong kusina pinagbabatayan ng mga integral, Mula sa tієyu vіdminnіstyu, scho sa parehong oras ay binigyan kami ng dodatkova rozmіrnіst (halos tila, taas). Ako, isa-isa, marami sa inyo ang nahulaan kung paano lumalabag ang mga pagkalugi ng mga integral.

Isama natin kung ano ang nawala sa atin:

puwit 1

Maging mabait, muling isulat gamit ang isang selyo sa papel:

І magbigay ng payo sa susunod na pagkain. Chi know You, ano ang mga surface para itakda ang qi equal? Chi zrozumіly ka impormal zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, yak і ibabaw raztashovanі sa kalawakan?

Sa sandaling ikaw ay shilyatsya sa bulgar vіdpovіdі “higit pa nі, nizh kaya”, pagkatapos ay obov'yazkovo opratsyut aralin, kung hindi man ay hindi ka makakakuha ng mas malayo!

Solusyon: vicorist formula

Upang schob z'yasuwati order ng bypass ng katawan pupunta ako sa inuulit namin ang mga integral ito ay kinakailangan (lahat ay ingeniously simple) upang maunawaan kung ano ito ay. At ito ay mahusay na maglagay ng mga armchair sa tulad ng isang rosas sa rich vipadkas.

Sa likod ng isip, ang katawan ay napapalibutan ng mga ibabaw ng kilkom. Bakit simulan ang chic? Binibigkas ko ang susunod na order diy:

Sa cob ay maiisip parallel orthogonal projection ng katawan papunta sa coordinate plane. Sa unang pagkakataon na sinabi ko, ano ang pangalan ng projection, lol =)

Kung ang disenyo ay isasagawa sa isang malaking sukat, pagkatapos ay sa Persh ibabaw, yakі parallel sa tsієї axis. Hulaan ko kung anong uri ng mga ibabaw tulad huwag maghiganti sa mga titik na "ze". Ang sinuri na tagapamahala ay may tatlo:

- Ang Rivnyannya ay nagtatakda ng coordinate area, kung paano dumaan sa kabuuan;
- Ang Rivnyannya ay nagtatakda ng coordinate area, kung paano dumaan sa kabuuan;
- pantay na gawain patag "flat" tuwid parallel sa axis.

Shvidshe para sa lahat, shukana projection є darating na trikutnik:

Malamang, hindi lahat ay may natitirang pag-unawa kung saan pupunta. Ipakita na ang lahat ay lumalabas sa screen ng monitor at nananatili sa iyong paglipat ( tobto. lumabas ka, namangha ka sa 3rd world chair of the beast). Ang Doslіdzhuvane expanses ng katawan ay matatagpuan sa non-skinned trihedral "corridor" at ang projection nito sa lugar ng naimovіrnіshe є shaded tricutnik.

Binigyan ko ng espesyal na paggalang ang aming tinatambayan higit pang dahilan tungkol sa projection at ang babala na "neishvidshe", "nayimovirnishe" ay vipadkovy. Sa kanan, dahil hindi pa nasuri ang lahat ng mga ibabaw, at maaari itong maging gayon, na kahit na mula sa kanila ay "tuklasin" ang isang bahagi ng tricutnik. Parang primer butt na tinatanong mo globo nakasentro sa cob ng mga coordinate na may radius na mas mababa sa isa, halimbawa, isang globo – її projection sa eroplano (column ) Hindi ko uulitin ang "nakry" shaded area, at ang projection ng katawan ay tatawaging hindi trikot (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Mula sa kabilang panig ng entablado, ito ay z'yasovuєmo, chim ang katawan ay napapalibutan ng hayop, mas mababa mula sa ibaba at vikonuemo ang kalawakan ng armchair. Bumaling tayo sa isip at namamangha sa ibabaw, na parang nawala ang ibabaw. Ang leveling ay nagtatakda ng coordinate plane mismo, at ang leveling - parabolic cylinder, inuulit sa itaas patag at dumaan sa kabuuan. Sa ranggo na ito, ang projection ng katawan ay diisno є trikutnik.

Bago magsalita, dito lumitaw supermundane isipin - sa bagong bombilya, hindi obov'yazkovo na isama ang kahit na mga eroplano, mga shards ng ibabaw, na nakadikit sa abscissa axis, at sa gayon ang katawan ay nagsasara. Nangangahulugan ito na sa sandaling ito ay hindi tayo makakagawa ng projection - ang tricutnik ay "iginuhit" lamang pagkatapos ng pagsusuri ng equalization.

Ang isang fragment ng isang parabolic cylinder ay tumpak na inilalarawan:

Pagkatapos ng vikonannya armchair s pag-bypass sa katawan walang problema!

Sa likod ng ulo, ito ay makabuluhan ang pagkakasunud-sunod kung saan ang projection ay traversed (sa tulong ng pinakamahusay na kamay, gabayan ng dalawang-mundo na armchair). Tse nahihiya TALAGANG KAYA, yak ako mas mababang integral! Nanghuhula laser pointer na pag-scan ng isang patag na lugar. Piliin ang "tradisyonal" 1st bypass method:

Hinawakan ni Dali ang mga kamay ng kaakit-akit na lighter, na namamangha sa trivimir ng armchair at mahigpit na pababa maliwanagan ang pasyente. Mga pagbabago upang makapasok sa katawan sa pamamagitan ng ibabaw at lumabas mula dito sa pamamagitan ng ibabaw. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa katawan:

Lumipat tayo sa paulit-ulit na pagsasama:

1) Simulan ang sumusunod mula sa integral na "Z". Vikoristovuemo Formula ng Newton-Leibniz:

Isipin ang resulta ng integral na "laro":

Anong nangyari? Sa katunayan, ang solusyon ay nabawasan sa isang sub-integral, at mismo - sa isang formula. dami ng cylindrical beam! Higit pang nalalaman:

2)

Igalang ang makatwirang pamamaraan ng paglutas ng 3rd integral.

Vidpovid:

Ang pagkalkula ay maaaring isulat at "sa isang hilera":


Ngunit sa ganitong paraan, mag-ingat - kung manalo ka sa swidkost, magbanta ka sa ibang bagay, at kung mayroon kang isang mahalagang puwit, mayroong mas maraming pagkakataon para sa pagpapatawad.

Tandaan sa mahalagang nutrisyon:

Bakit kinakailangan na magtrabaho ng isang armchair, upang ang ulo ng isip ay hindi nangangailangan ng kanilang vikonannia?

Maaari kang uminom ng chotirma na may mga landas:

1) Iguhit ang projection ng parehong katawan. Ang pinakamagandang opsyon ay posible na mag-vikonate ng dalawang disenteng armchair, huwag managhoy, magnakaw ng mga armchair na nasaktan. Inirerekomenda ko sa amin pasulong.

2) Gumuhit ng higit pang katawan. Angkop, kung ang katawan ay clumsy, na malinaw na projection. Kaya, halimbawa, ang isang triple-breasted armchair ay natigil sa napiling puwit. Gayunpaman, narito ang minus - ayon sa 3D-larawan, hindi madaling matukoy ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa projection, at sa ganitong paraan masaya lang ako para sa mga taong may mahusay na antas ng pagsasanay.

3) Magpakita ng higit pang projection. Tezh hindi masama, ngunit tungkol sa obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, nizh zamezhena rehiyon mula raznih storіn. Sa kasamaang palad, ang pangatlong opsyon ay madalas na nakakalito - kung huli na, ito ay masyadong malaki upang harapin ang iba pang mga paghihirap. І takі apply mi so razglyademom.

4) Maglibot nang walang silyon. Kinakailangan para sa bawat tao na ipakita ang katawan ng kaisipan at magkomento sa form / format sa pamamagitan ng pagsulat. Mahusay na pumunta para sa mga pinakasimpleng tіl chi zavdan, de vikonannya pareho ang armchair ay mahalaga. Ngunit pareho, mas mabuti kung gusto mong gumamit ng mga maliliit na maliliit, ang mga shards ng isang "layunin" na solusyon ay maaaring tanggihan.

Halika sa katawan para sa independiyenteng tulong:

puwit 2

Para sa tulong ng pagkawala ng integral, kalkulahin ang dami ng katawan, na napapalibutan ng mga ibabaw

Sa sa partikular na uri na ito ang lugar ng pagsasama ay binibigyan ng mas mahalaga sa pamamagitan ng mga iregularidad, at ang presyo ay mas maikli - nang walang anumang mga iregularidad nagtatakda ng 1st octant, kabilang ang mga coordinate planes, at ang hindi pagkakapantay-pantay - napіvspіr, kung paano ipaghiganti ang cob ng mga coordinate (reverse)+ ang lugar mismo. Ang "vertical" na eroplano ay ikinakalat sa pamamagitan ng isang paraboloid parabola at sa armchair bazhan ito ay kinakailangan upang ibuyo ang mga dandelion. Para kanino kinakailangang malaman ang karagdagang reference point, sa mas simpleng mga termino, ang tuktok ng parabola. (Makikita natin ang kahulugan at rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Patuloy nating unawain:

puwit 3

Kalkulahin para sa tulong ng pagkawala integral ang dami ng katawan na napapalibutan ng mga itinalagang ibabaw. Vikonati armchair.

Solusyon: ang formula na "viconati of the armchair" ay nagbibigay sa amin ng deak na kalayaan, ale, mas mahusay para sa lahat, paglilipat ng vikonanny ng isang maluwang na armchair. Gayunpaman, hindi rin matatapos ang projection, hindi ito ang pinakamadaling gawin dito.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї mas maaga taktika ibabaw, na parang parallel sa axis ng application. Ang pagkakapantay-pantay ng naturang mga ibabaw ay hindi dapat ipaghiganti sa pamamagitan ng malinaw na pagbabago ng "Z":

- Itinatakda ng Rivnyannya ang coordinate plane na dumaan sa kabuuan ( Ang yak sa flat ay itinalaga sa "parehong pangalan" na katumbas);
- pantay na gawain patag, upang dumaan sa "parehong linya" "flat" tuwid parallel sa axis.

Ang katawan na nagbibiro ay napapaligiran ng patag na ilalim at parabolic cylinder hayop:

Magsama-sama tayo ng isang pamamaraan para sa pag-bypass sa katawan, kung saan ang "iksovі" at "igrokovі" na pagsasama, sa palagay ko, mas mahusay na kumanta sa likod ng dalawang-mundo na mga armchair:

Sa ganitong paraan:

1)

Kapag ang pagsasama sa likod ng "iplayer" - ang "ix" ay itinuturing na isang pare-pareho, kung gayon ang pare-pareho ay dapat sisihin para sa pag-sign ng integral.

3)

Vidpovid:

Kaya, nang hindi nalilimutan ng kaunti, zdebіlshogo otmany ang resulta ng kaunti (at navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym armchairs, oskolki z great ymovіrnіstyu vinikne ilusyon oblige, Tungkol sa yaku I rozpov_shche sa aralin Dami ng pambalot sa katawan. Kaya, sa pagtatantya ng katawan ng tumingin-out na pinuno, masuwerte ako na mayroong higit sa 4 na "cube" sa bago.

Isang nakakasakit na puwit para sa isang malayang pananaw:

puwit 4

Kalkulahin para sa tulong ng pagkawala integral ang dami ng katawan na napapalibutan ng mga itinalagang ibabaw. Ang gawain ng armchair ng katawan na ito at ang projection nito sa eroplano.

Dinisenyo si Zrazok bilang isang gawain para sa isang aralin.

Ito ay hindi bihira, kung ang vikonnanny ng trivimir chair ay mas mahirap:

puwit 5

Para sa tulong ng lossy integral, upang malaman ang dami ng katawan, na ibinigay ng mga ibabaw, na pumapalibot dito.

Solusyon: ang projection dito ay clumsy, ngunit sa pagkakasunud-sunod ng bypass, kailangan mong isipin Paano pipiliin ang 1st na paraan, kung gayon ang figure ay kailangang hatiin sa 2 bahagi, na kung saan ay hindi maaaring hindi nagbabanta sa pagkalkula ng sumi dalawa Mga integral ng Trinity. Para sa isang taong may mas mayamang pananaw, may isa pang landas. Ito ay makikita at makikita sa pamamagitan ng projection ng katawan na ito sa armchair:

Hihilingin ko muli para sa katumpakan ng mga naturang larawan, iniikot ko ang mga ito nang direkta mula sa aking sariling mga manuskrito.

Pumili kami ng isang mas mabubuhay na order para sa pag-bypass sa figure:

Ngayon sa kanan sa likod ng katawan. Mula sa ibaba, ito ay napapalibutan ng isang patag na lugar, mula sa hayop - ng isang patag na lugar, upang dumaan sa buong ordinate. At ang lahat ay magiging wala, ngunit ang natitirang bahagi ng flat ay masyadong matarik at ito ay hindi napakadaling maglibot sa lugar. Ang pagpipilian dito ay hindi nakakainggit: alinman sa alahas robot ay sa isang maliit na sukat (dahil ito ay manipis upang gawin itong manipis), o ang armchair ay tungkol sa 20 sentimetro ang taas (iyon at ang mga maaaring magkasya).

Si Ale at ang pangatlo, mahinahong paraan ng Ruso sa paglutas ng problema ay ang pag-iskor =) at isang patag sa gilid, isang patag sa ibaba, at isang patag sa hayop.

Ang "Vertical" na inter-integration ay malinaw na ganito:

Kalkulahin natin ang dami ng katawan, hindi nalilimutan na nakalibot tayo sa projection sa isang mas maliit na pinalawak na paraan:

1)

Vidpovid:

Tulad ng naaalala mo, ang proponing sa zavdannya ng katawan ay hindi mahal para sa isang daang bucks, madalas na napapalibutan ng isang patag sa ibaba. Ngunit hindi ito isang panuntunan, kaya kailangan mong maging handa - maaari mong gugulin ang araw, de tilo roztashovani pid patag. Kaya, halimbawa, kung titingnan mo ang flat sa napiling zamіst, pagkatapos ay ang katawan ay magiging simetriko na kinakatawan sa mas mababang espasyo at napapalibutan ng isang patag mula sa ibaba, at ng isang patag sa hayop!

Madaling lumipat upang makita ang parehong resulta:

(Tandaan na kailangang maglibot mahigpit na pababa!)

Bilang karagdagan, ang "pag-ibig" sa flat ay maaaring hindi lumitaw sa harap ng kanan, ang pinakasimpleng puwit: isang sako, na nakatago nang higit pa kaysa sa flat - sa pagkalkula ng obligasyon ng yogo, ang katumbas ay hindi kailangan sa harap.

Makikita natin ang lahat ng mga pananaw na ito, ngunit sa ngayon, ang gawain para sa isang malayang pananaw ay magkatulad:

puwit 6

Para sa tulong ng lossy integral, upang malaman ang tungkol sa katawan, na napapalibutan ng mga ibabaw

Sa madaling sabi, ang solusyon ay upang ilarawan ang aralin.

Lumipat tayo sa isa pang talata na walang gaanong sikat na mga materyales:

Trial integral sa cylindrical coordinates

Cylindrical coordinate - ce, sa katunayan, polar coordinate sa kalawakan.
Sa isang cylindrical coordinate system, ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay tinutukoy ng mga polar coordinates ng punto - ang projection ng punto papunta sa eroplano at ang applique ng punto mismo.

Ang paglipat mula sa trivimer Cartesian system patungo sa cylindrical coordinate system ay isinasagawa ng mga sumusunod na formula:

Isang daan at limampu sa aming mga pagbabago ay ganito ang hitsura:

Ako, tila, sa isang simpleng paraan, na madaling makita sa artikulong ito:

Golovne, huwag kalimutan ang tungkol sa karagdagang multiplier "er" at wastong ayusin polarity sa pagitan ng pagsasama kapag lumalampas sa projection:

puwit 7

Solusyon: dotrimuєmosya ng parehong pagkakasunud-sunod diy: tumingin tayo sa unahan sa pantay, sa ilang mga araw ang "Z" ay binago Mayroon lamang dito. projection cylindrical na ibabaw sa lugar є "ng parehong pangalan" colo .

Mga parisukat palibutan ang katawan ng shukane mula sa ibaba at ang hayop ("hang" yoga mula sa silindro) at idinisenyo sa colo:

Sa isang itim na trivimir armchair. Ang pangunahing kahirapan ay nasa ibabaw na lugar, na parang ang silindro ay baluktot sa ilalim ng "slanted" hood, pagkatapos ay pupunta elips. Linawin natin ang muling pagsulat na ito nang analytical: kung saan muling isinulat natin ang plane ng functional view at kinakalkula namin ang halaga ng function ("taas") sa mga puntong hinihiling namin, na parang nasa interprojection:

Mukhang alam mo ang mga punto sa armchair at maingat (at hindi ganoon, tulad ko =)) zadnuєmo їх linya:

Ang projection ng katawan papunta sa eroplano ay ang haba, at ang haba ng argument para sa bilis ng paglipat sa isang cylindrical coordinate system:

Alam namin ang pagkakahanay ng ibabaw sa cylindrical coordinates:

Ngayon sundin ang pamamaraan para sa pag-bypass sa katawan.

Tingnan natin ang likod ng ulo mula sa projection. Paano matukoy ang pagkakasunud-sunod ng bypass? Ganyan talaga pagkalkula ng mga sub-integral sa polar coordinate. Narito ang alak ay elementarya:

Ang "Vertical" interintegration ay halata din - ito ay pumapasok sa katawan sa pamamagitan ng eroplano at lumabas dito sa pamamagitan ng eroplano:

Lumipat tayo sa paulit-ulit na pagsasama:

Kung saan ang multiplier na "er" ay agad na inilalagay sa "sariling" integral.

Ang Vinik yak zavzhd ay mas madaling masira sa mga sanga:

1)

Kinukuha namin ang resulta ng nakakasakit na integral:

At dito hindi nakalimutan na ang fi ay mahalaga bilang isang pare-pareho. Ale tse hanggang sa oras ng pagkanta:

Vidpovid:

Katulad na gawain para sa isang malayang pananaw:

puwit 8

Kalkulahin para sa tulong ng pagkawala integral ang dami ng katawan na napapalibutan ng mga ibabaw. Vikonati armchair ng katawan na ito at ang projection nito sa square.

Zrazok pinong disenyo tulad ng isang aralin.

Upang makatiyak, na sa isip ng mga problema ng parehong salita ay hindi sinabi tungkol sa paglipat sa isang cylindrical coordinate system, at ang tao ay hindi malalaman na nakikipagpunyagi sa mahahalagang integral sa mga coordinate ng Cartesian. ... O marahil hindi ito magiging - kahit na ito ang pangatlo, mahinahong paraan ng paglutas ng mga problema ng Ruso.

Magsisimula lang ang lahat! …sa mabuting kahulugan: =)

puwit 9

Para sa tulong ng lossy integral, upang malaman ang tungkol sa katawan, na napapalibutan ng mga ibabaw

Mahinhin at may sarap.

Solusyon: buo may hangganang ibabawі elliptic paraboloid. Mga mambabasa, na magalang na pamilyar sa mga materyales ng artikulo Pangunahing ibabaw ng espasyo, na ipinakita, na parang tumitingin sa katawan, ngunit sa pagsasanay nakatiklop vipads madalas na bitag, kaya ako ay magsasagawa ng isang ulat sa analytical mundo.

Alam namin ang mga linya sa likod, kung saan ang mga ibabaw ay tinted. Binubuo at itinatayo namin ang sumusunod na sistema:

Mula sa 1st equal, makikita natin ang isa't isa sa mga tuntunin ng mga termino:

Bilang resulta, ang dalawang ugat ay inalis:

Isipin na alam mo ang kahulugan kung ang sistema ay pantay:
nagsisigawan ang mga bituin
Otzhe, ugat vіdpovіdaє solong punto - ang pumalo ng mga coordinate. Natural - kahit na ang mga tuktok ng mga tuktok ng mga tuktok ay tumatakbo.

Ngayon isipin natin ang isa pang ugat - pareho para sa kung pantay ang sistema:

Ano ang geometrical na kapalit para sa resulta? "Sa taas" (malapit sa eroplano) ang paraboloid at ang kono ay tinted kasama cola- solong radius na nakasentro sa punto.

Kapag ang "cup" ng paraboloid ay naglalaman ng "funnel" ng kono, huminahon ang pangwakas na ibabaw ay dapat na tumawid sa isang tuldok na linya (sa likod ng baging ito ay isang malayong tanawin sa amin, tulad ng nakikita mula sa anggulong ito):

Ang projection ng katawan sa eroplano colo na may gitna sa cob ng mga coordinate ng radius 1, na hindi ko nangahas na ilarawan sa pamamagitan ng pagiging malinaw ng katotohanang ito (prote letter comment robimo!). Bago ang talumpati, sa dalawang upuan sa harap sa upuan, ang mga projection ay maaaring matalo, yakby not mind.

Kapag lumipat sa cylindrical coordinates, ang mga karaniwang formula ay maaaring gamitin upang isulat ang hindi pagkakapantay-pantay sa pinakasimpleng paraan at upang ma-bypass ang projection ng mga pang-araw-araw na problema:

Alam namin ang pagkakahanay sa ibabaw ng cylindrical coordinate system:

Dahil ang problema ay tumitingin sa itaas na bahagi ng kono, makikita ito:

"Scanuemo body" mula sa ibaba pataas. Baguhin ang ilaw upang pumasok bago ang bagong through elliptic paraboloid at lumabas sa dulong ibabaw. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang "vertical" na pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa katawan:

Pangalawang tamang pamamaraan:

Vidpovid:

Ito ay hindi bihira, kung ang katawan ay hihilingin na huwag palibutan ito ng mga ibabaw, ngunit walang anumang mga iregularidad:

puwit 10

Geometric zmist kalawakan ng mga iregularidad, iniulat ko na ipinaliwanag mula sa parehong nagpapatunay na artikulo. Ang mga pangunahing ibabaw ng espasyo.

Tse zavdannya gusto at itago ang parameter, ngunit payagan para sa eksaktong armchair, na nagbibigay inspirasyon sa isang mahalagang hitsura ng katawan. Mag-isip tulad ng isang vikonati pobudova. Sa madaling salita, ang solusyon ay patunayan ito - parang aral.

... well, ano, sprat ba ito? Nag-iisip tungkol sa pagtatapos ng aralin, ngunit pagkatapos ay hulaan ko kung ano ang gusto mo pa =)

puwit 11

Para sa tulong ng lossy integral, kalkulahin ang dami ng ibinigay na katawan:
, De - Higit pang positibong numero.

Solusyon: hindi pantay itakda ang haligi na may gitna sa cob ng mga coordinate sa radius, at ang hindi pantay - "Internality" ng isang circular cylinder na may lahat ng symmetry ng radius. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang katawan, na parang bumubulong, ay napapalibutan ng isang pabilog na silindro sa gilid at mga spherical na segment na simetriko sa ibabaw sa itaas at ibaba.

Sa pagkuha para sa pangunahing yunit ng mundo, kinuha namin ang armchair:

Mas tiyak, ang yoga ay dapat tawaging isang maliit na sanggol, ang mga shards ng proporsyon sa kahabaan ng axis ay hindi ako magiging mas mahusay. Prote, para sa kapakanan ng hustisya, para sa isip, ito ay hindi kinakailangan upang itaas ang anumang bagay, at tulad ng isang ilustrasyon ay lumitaw na lubos na sapat.

Upang ipakita ang paggalang, na narito ito ay hindi obov'yazkovo z'yasovuvati taas, sa tulad ng isang silindro na nakabitin mula sa likod ng "sumbrero" - kumuha lamang ng isang compass sa iyong mga kamay at markahan ang haligi na may gitna sa cob ng mga coordinate na may isang radius na 2 cm, pagkatapos ay ang mga punto ng crossbar na may silindro ay lilitaw nang mag-isa .

1. Ang mga cylindrical coordinates ay isang set ng polar coordinates sa xy plane at mula sa makabuluhang Cartesian applicator z (Fig. 3).

Hayaang ang M(x, y, z) ay isang sapat na punto sa espasyong xyz, ang P ay ang projection ng puntong M sa eroplanong xy. Ang puntong M ay katangi-tanging itinalaga ng isang trinity ng mga numero - ang polar coordinate ng point P, z - ang applicate ng point M. Ang mga formula na tinatawag silang Cartesian ay maaaring magmukhang

Jacobian fermentation (8)

puwit 2.

Kalkulahin ang integral

de T - lugar na napapalibutan ng mga ibabaw

Solusyon. Ipinapasa namin ang integral sa spherical coordinates gamit ang mga formula (9). Ang parehong lugar ng pagsasama ay maaaring itakda sa mga iregularidad

At ang kahulugan niyan ay

puwit 3 Alamin ang volume ng katawan, fringed:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - isang globo na may radius R \u003d v8 na may sentro sa puntong O (000),

Ang itaas na bahagi ng kono z2 = x2 + y2 kasama ang lahat ng simetrya ng Oz at ang tuktok sa puntong O (Larawan 2.20).

Alam namin ang linya ng crossbar ng sphere ng cone:

І shards para sa isip z? 0, pagkatapos

Bilugan ang R=2, na matatagpuan malapit sa eroplanong z=2.

Tama iyan (2.28)

de area na nasa hangganan ng halimaw

(bahagi ng isang globo),

(Bahagi ng isang kono);

Ang area U ay inaasahang nasa Ohu area area D - radius 2.

Gayundin, upang ipasa ang incrementally sa integral sa cylindrical coordinates, matagumpay na mga formula (2.36):

Sa pagitan ng mga pagbabago, ang r ay makabuluhan ayon sa distansya D v sa labas ng column R=2 na may gitna sa puntong O, sa parehong tanda: 0?c?2p, 0?r?2. Sa ganitong paraan, ang rehiyon U sa cylindrical coordinate ay minarkahan sa pamamagitan ng pagsulong ng mga iregularidad:

Iginagalang namin iyon

Zavantage mula sa Depositfiles

Potensyal na integral.

Kontrolin ang pagkain.

Pare-parehong integral, yoga ng kapangyarihan.

Pagpapalit ng mga pagbabago sa ikatlong integral. Pagkalkula ng lossy integral sa cylindrical coordinates.

Pagkalkula ng lossy integral sa spherical coordinate.

Halika sa function u= f(x,y,z) na itinalaga sa saradong lugar V space R 3 . Rehiyon ng Rozib'ёmo V disenteng ranggo sa n elementarya saradong mga lugar V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n malinaw naman. Makabuluhan d- ang pinakamalaki sa mga diameter ng mga rehiyon V 1 , … ,V n. Sa lugar ng balat V k pumili ng magandang punto P k (x k ,y k ,z k) at bodega integral sum mga function f(x, y,z)

S =

appointment.Pagsubok integral uri ng pag-andar f(x, y,z) ayon sa rehiyon V tinatawag na inter-integral sum
yakscho vin isnuє.

sa ganoong paraan,

(1)

Paggalang. Integral sum S deposito sa paraan ng paghiwa-hiwalay ng rehiyon V piliin ang punto P k (k=1, …, n). Gayunpaman, kung mayroong isang hangganan, hindi ito magsisinungaling sa paraan ng paghiwa-hiwalay sa rehiyon V piliin ang punto P k. Kung ihahambing mo ang pagtatalaga ng subvariant at mga incremental integral, kung gayon madaling gamitin ang parehong pagkakatulad sa kanila.

Sapat na pangangatwiran para sa lossy integral. Trial integral (13) ay ginagamit bilang isang function f(x, y,z) ay nakadikit V ako ay walang tigil sa V, sa likod ng korona ng huling bilang ng bukol-makinis na ibabaw, nabubulok sa V.

Mga gawa ng kapangyarihan ng integral ng palayok.

1) Yakscho W- Numerical constant, kung gayon

3) Additiveness ayon sa rehiyon. rehiyon ng Yakscho V nahahati sa mga rehiyon V 1 і V 2, pagkatapos

4) Pagkasyahin ang katawan V dorivnyuє

(2 )

Pagkalkula ng lossy integral sa mga coordinate ng Cartesian.

Halika na D projection ng katawan V sa flat xOy, ibabaw z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) palibutan ang katawan V sa ilalim ng halimaw na iyon ay malinaw. Ang ibig sabihin ni Tse

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Ang nasabing katawan ay tinatawag z- Cylindrical. Trial integral (1) z- cylindrical na katawan V kinakalkula sa pamamagitan ng paglipat sa paulit-ulit na integral, na idinagdag mula sa hinged na uri ng integral:

(3 )

Sa paulit-ulit na integral na ito ng backbone, kinakalkula ang internal sing integral ng pagbabago z, Kung saan x, y vvazhayutsya napipintong. Magbilang tayo mababang integral view ng napiling function ayon sa rehiyon D.

Yakscho V x- cylindrical o y- cylindrical body, pagkatapos ay itama sa formula

Para sa unang formula D  projection ng katawan V papunta sa coordinate plane yOz, at sa isa pa - sa eroplano xOz

mag-apply. 1) Kalkulahin ang kabuuang katawan V, napapaligiran ng mga ibabaw z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Solusyon. Magbilang tayo para sa tulong ng pagkawalang integral sa likod ng formula (2)

Lumipat tayo sa paulit-ulit na integral pagkatapos ng formula (3).

Halika na D- kulay x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Ang Todi na sumusunod sa formula (3) ay kinuha

Upang kalkulahin ang integral na ito, pumasa kami sa mga polar coordinates. Kapag tsimu kolo D ibahin ang anyo ng walang mukha

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V napapaligiran ng mga ibabaw z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Kalkulahin

Mga parisukat z=y , z=-y upang palibutan ang katawan mula sa ibaba at sa hayop, patag x= 0 , x= 2 palibutan ang katawan sa likod at harap, at ang patag y= 1 kanang kamay V-z- cylindrical body, yoga projection D sa flat hoyє parihaba OABC. Ibaba na natin φ 1 (x , y ) = -y

Reworking ng vertical integral sa anyo ng mga rectangular coordinates sa polar coordinate
, konektado sa mga right-angled na coordinate
,
, sundin ang formula

Ano ang lugar ng pagsasama
napapaligiran ng dalawang palitan
,
(
), na lumalabas sa mga poste, ang dalawang iyon ay baluktot
і
, pagkatapos ay ang pinagbabatayan na integral ay kinakalkula gamit ang formula

.

puwit 1.3. Kalkulahin ang lugar ng figure, na napapalibutan ng mga linyang ito:
,
,
,
.

Solusyon. Para sa pagkalkula ng lugar ng rehiyon
pinabilis ng formula:
.

Maiisip na lugar (Larawan 1.5). Para kung kanino kami nagko-convert ng mga kurba: , , , . Lumipat tayo sa polar coordinates: , . . Sa polar coordinate system, ang lugar ay inilarawan ng mga katumbas:

.

1.2. Mga potensyal na integral

Ang mga pangunahing kapangyarihan ng ikatlong integral ay kahalintulad sa mga kapangyarihan ng mas mababang integral.

Sa mga coordinate ng Cartesian, ang ikatlong integral ay dapat na isulat bilang mga sumusunod:

.

Yakscho
, pagkatapos ay ang ikatlong integral sa rehiyon numerical mas malaking volume ng katawan :

.

Pagkalkula ng lossy integral

Hayaan ang lugar ng pagsasama ito ay napapaligiran mula sa ibaba at hanggang sa hayop ng malinaw na malinaw na walang patid na mga ibabaw
,
, saka, ang projection ng lugar papunta sa coordinate plane
є patag na lugar
(Larawan 1.6).

Pareho sa mga nakapirming halaga mga wastong aplikasyon punto ng lugar pagbabago sa mga hangganan. Todi otrimuemo: . Ano, bukod dito, isang projection nagpapahiwatig ng mga iregularidad , , de - hindi malabo walang tigil na pag-andar sa , pagkatapos

.

puwit 1.4. Kalkulahin
, de - solid, napapalibutan ng mga flat:

	, , , ( , , ). Solusyon. Ang lugar ng pagsasama ay ang pyramid (Larawan 1.7). Projection ng lugar є trikutnik , sa pamamagitan ng mga tuwid na linya , , (Larawan 1.8). Sa Applique na tuldok satisfy ang kaba sa ganyan .
	Pag-aayos ng interintegration para sa tricoutnik , kinuha

Trial integral sa cylindrical coordinates

Kapag lumipat sa mga coordinate ng Cartesian
sa cylindrical coordinate
(Larawan 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, saka

	, ,, ang ikatlong integral ay na-convert sa: puwit 1.5. Kalkulahin ang dami ng katawan, na napapalibutan ng mga ibabaw: , , . Solusyon. Dami ng katawan, kung anu-anong biro dorivnyuє .
	Ang mga lugar ng pagsasama ay bahagi ng isang silindro, na napapalibutan ng isang patag na ilalim. , ngunit ang halimaw ay patag (Larawan 1.10). Projection ng lugar є kolo nakasentro sa cob ng mga coordinate at may isang solong radius. Lumipat tayo sa cylindrical coordinates. , , . Sa Applique na tuldok , sinasalubong ang kaba o sa cylindrical coordinate:

Rehiyon
, napapaligiran ng isang kurba
, umasa na makita, kung hindi man
at tsimu polar kut
. Nawa ang mga resulta

.

2. Mga elemento ng teorya sa larangan

Hulaan natin nang maaga kung paano kalkulahin ang mga curvilinear at surface integral.

Pagkalkula ng curvilinear integral sa mga coordinate ng mga function na itinalaga sa mga curve , ay bawasan sa pagkalkula ng unang integral sa anyo

gaano baluktot ibinigay parametrically
ipinapakita ang cob ng curve , a
- Її punto ng pagtatapos.

Pagkalkula ng integral sa ibabaw bilang isang function
, na minarkahan sa double-sided na ibabaw , magdagdag ng hanggang sa pagkalkula ng underestimated integral, halimbawa, isip

,

tulad ng ibabaw , itinalaga sa equals
, natatanging naka-project sa eroplano
sa rehiyon
. Dito - gupitin sa pagitan ng isang normal na vector sa ibabaw at lahat
:

.

Natupok ng mga isip ng ulong bahagi ng ibabaw ay tinutukoy ng pagpili ng tanda ng formula (2.3).

Paghirang 2.1. larangan ng vector
ay tinatawag na vector function ng punto
sabay-sabay mula sa lugar її itinalaga:

larangan ng vector
nailalarawan sa pamamagitan ng isang scalar value - pagkakaiba-iba:

Paghirang 2.2. daloy larangan ng vector
sa pamamagitan ng ibabaw ay tinatawag na integral sa ibabaw:

,

de - isang solong normal na vector sa napiling bahagi ng ibabaw , a
- scalar doboot vector_v і .

Paghirang 2.3. sirkulasyon larangan ng vector

sa saradong kurba tinatawag na curvilinear integral

,

de
.

Formula ng Ostrogradsky-Gauss magtakda ng link sa pagitan ng daloy ng vector field sa pamamagitan ng saradong ibabaw at ang divergence ng field:

de - Sa itaas, napapalibutan ng saradong loop , a - Single normal na vector sa ibabaw. Direktang normal, maaaring may mga benepisyo mula sa isang direktang bypass ng tabas .

puwit 2.1. Kalkulahin ang integral sa ibabaw

,

de - Zovnishnya bahagi ng kono
(
), na nakikita ng eroplano
(Larawan 2.1).

Solusyon. sa taas natatanging dinisenyo sa lugar
mga flat
, at ang integral ay kinakalkula pagkatapos ng formula (2.2).

Isang normal na vector sa ibabaw alam natin mula sa formula (2.3): . Dito, para sa normal, ang plus sign ay pinili, ang mga shards ay pinutol kalagitnaan ng hangin na normal - bobo ako, otzhe, maaaring negatibo. Vrakhovuyuchi sho , sa ibabaw katanggap-tanggap

Rehiyon
є kolo
. Samakatuwid, sa natitirang integral pumasa kami sa mga polar coordinates, kung saan
,
:

puwit 2.2. Hanapin ang divergence at curl ng isang vector field
.

Solusyon. Para sa formula (2.4) kinukuha namin

Ang rotor ng vector field ay kilala mula sa formula (2.5)

puwit 2.3. Alamin ang halaga ng vector field
sa pamamagitan ng bahagi ng lugar :
, roztashovanu sa unang oktantі
).

	Solusyon. Ang lakas ng formula (2.6) . Kinakatawan namin ang isang bahagi ng lugar : , raztashovanu sa unang octant. Maaaring magmukhang ang pagkakahanay ng ibinigay na lugar sa mga windbreak (Larawan 2.3). Ang normal na vector sa eroplano ay maaaring mag-coordinate: , solong normal na vector
	. . , , mga bituin , otzhe,

de
- projection ng lugar sa
(Larawan 2.4).

Halimbawa 2.4. Kalkulahin ang flux ng isang vector field sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw , inayos sa isang flat
bahaging iyon ng kono
(
) (Larawan 2.2).

Solusyon. Pinabilis ng formula ng Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Alam namin ang pagkakaiba-iba ng field ng vector formula (2.4):

de
- obsyag kono, yakim isinasagawa іtegruvannya. Pabilisin gamit ang home formula para sa pagkalkula ng dami ng kono
(- radius ng base ng kono, - Yogo taas). Para sa ating isip, maaari nating kunin
. Nalalabi

.

puwit 2.5. Kalkulahin ang sirkulasyon ng field ng vector
kasama ang tabas , natatakpan ng peratin sa itaas
і
(
). I-verify ang resulta gamit ang formula ng Stokes.

Solusyon. Peretina zaznachenih ibabaw є colo
,
(Larawan 2.1). Direktang lampasan ang vibrate, tunog ang mga schob na napapalibutan nito, ang lugar ay naiwan na may kasamaan. Isulat natin ang parametric alignment ng contour :

mga bituin

saka, ang parameter pagbabago sa dati
. Sa likod ng formula (2.7) mula sa mga equation (2.1) at (2.10) na kinukuha natin

.

Sabihin natin ngayon ang formula ng Stokes (2.9). Yak ibabaw , nakaunat sa tabas , maaari kang kumuha ng bahagi ng lugar
. Direktang normal
sa tsієї surfy zgodzhuєtsya z direktang circuit bypass . Ang rotor ng ika-vector na field ng mga kalkulasyon sa application 2.2:
. Kaya shukana sirkulasyon

de
- lugar ng rehiyon
.
- malapit sa radius
, mga bituin